精品解析：北京市东城区第二十一中学2025-2026学年上学期七年级期末数学模拟试卷

2025-2026学年北京市东城区第二十一中学七年级（上）期末数学模拟试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一运动员某次跳水的最高点离跳台2 m，记作＋2 m，则水面离跳台10 m可以记作(　　) A. －10 m B. －12 m C. ＋10 m D. ＋12 m 2. 我国自主研发的人工智能“绝艺”获得全球前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，其中一个大数据中心能存储亿本书籍，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列几何体中，属于棱柱的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，为锐角，下列说法： ①；②；③；④；其中，能说明射线为的平分线的条件有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 5. 下列式子中，运算结果一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于的方程的解为，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 若有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，在下列结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第2023个图案中的“”的个数是（ ） A. 6074 B. 6072 C. 6070 D. 6068 二、填空题：本题共10小题，共20分． 9. 为数轴上表示的点，将点沿数轴向右平移5个单位长度到点，则点所表示的数为______． 10. 已知，则代数式的值为______． 11. 王小毛同学做教室卫生时，发现座位很不整齐，他思考了一下，将第一座和最后一座固定之后，沿着第一座最后一座这条线就把座位摆整齐了！他利用了数学原理：_____． 12. 计算：______． 13. 2023年北京市科技经费投入统计公报显示，2023年全市投入研究与试验发展（R&D）经费比上一年增长．如果设上一年投入的该项经费为亿元，则2023年投入该项经费为______亿元． 14. 如图，为线段上一点，点为的中点，且，则_______． 15. 若一个角的余角是它的补角的，则这个角的度数为______________． 16. 干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表农历年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2024年为例：天干为：；地支为：；对照天干地支表得出，2024年为农历甲辰年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2049年为农历______年． 17. 现把2021个连续整数1，2，3，……，2021的每个数的前面任意填上“＋”号或者“－”号，然后将它们相加，则所得的结果绝对值的最小值为______． 18. 对于个位数字不为零的任意三位数，将其个位数字与百位数字对调得到，则称为的“倒序数”，将一个数与它的“倒序数”的差的绝对值与99的商记为．例如523为325的“倒序数”，． （1）_______； （2）对于任意三位数满足：的值是_______． 三、计算题：本大题共3小题，共18分． 19. 计算： （1）； （2）； （3）． 20. 合并同类项：． 21. 解方程： （1）； （2）． 四、解答题：本题共7小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22. 化简求值：，其中． 23. 如图，已知点A，B，C，D，请按要求画出图形. （1）画直线AB和射线CB； （2）连结AC，并在直线AB上用尺规作线段AE，使.（要求保留作图痕迹） （3）在直线AB上确定一点P，使的和最短，并写出画图的依据. 24. 如图，点O在直线上，．若，，求的补角的度数． 25. 如图，点，在直线上． 按要求补全图形，并回答问题： （1）画直角（点在直线下方），画的平分线； （2）在射线上截取，画直线，在直线上作点，使得（尺规作图，保留作图痕迹）； （3）设，则线段的长为______． 26. 某商场经销，两种商品，种商品每件进价元，售价元；种商品每件售价元，利润率为． （1）每件种商品利润率为______，种商品每件进价为______； （2）若该商场同时购进，两种商品共件，恰好总进价为元，则该商场购进种商品多少件？ （3）在“元旦”期间，该商场对，两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过元 不优惠 超过元，但不超过元 按总售价打九折 超过元 其中元部分打八折优惠，超过元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买，商品实际付款元，求小华此次购物打折前的总金额． 27. 已知为直线上的一点，，射线平分． （1）如图①中，若，则_______，_______； （2）将图①中的绕顶点逆时针旋转至图②的位置，其他条件不变，若，求的度数（用含的式子表示）； （3）将图①中的绕顶点顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变，直接写出和之间的数量关系． 28. 已知数轴上两点，对应的数分别为，，点为数轴上一动点，其对应的数为． （1）若点为线段的中点，则点对应的数______； （2）点在移动的过程中，其到点、点的距离之和为，求此时点对应的数的值； （3）对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足倍关系时，则称该点是其他两个点的“倍点”如图，原点是点，的倍点． 现在，点、点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度同时向右运动，同时点以每秒个单位长度的速度从表示数的点向左运动．设出发秒后，点恰好是点，的“倍点”，请直接写出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北京市东城区第二十一中学七年级（上）期末数学模拟试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一运动员某次跳水的最高点离跳台2 m，记作＋2 m，则水面离跳台10 m可以记作(　　) A. －10 m B. －12 m C. ＋10 m D. ＋12 m 【答案】A 【解析】 【详解】解：水面离跳台10m可以记作–l0m．故选A． 2. 我国自主研发的人工智能“绝艺”获得全球前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，其中一个大数据中心能存储亿本书籍，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 3. 下列几何体中，属于棱柱的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据棱柱的定义，即有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，进行判断即可． 【详解】解：A．圆锥属于锥体，故此选项不符合题意； B．圆柱属于柱体，故此选项不符合题意； C．棱锥属于锥体，故此选项不符合题意； D．长方体属于棱柱，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查棱柱的定义，熟记定义是解题的关键． 4. 如图，为锐角，下列说法： ①；②；③；④；其中，能说明射线为的平分线的条件有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义和性质，角的和差计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键，从一个角的顶点引出的把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：①当在外部时，则不成立，故①错误； ②当在外部时，则不成立，故②错误； ③只要在内部时，，本身就满足这个等量关系，故不成立，故③错误； ④，则在内部，故成立， ∴正确的只有④， 故选：D． 5. 下列式子中，运算结果一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了去括号，含乘方的有理数混合运算，合并同类项等知识点，熟练掌握整式和有理数的运算法则是解题的关键． 根据去括号、含乘方的有理数混合运算、合并同类项法则逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，故选项不符合题意； B、，原计算错误，故选项不符合题意； C、和不是同类项，不能合并，原计算错误，故选项不符合题意； D、，计算正确，故选项符合题意； 故选：D． 6. 关于的方程的解为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，正确解方程是解题的关键．将代入方程，然后解方程即可． 【详解】解：关于的方程的解为 故选：A． 7. 若有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，在下列结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数与数轴，根据数轴上点的位置得到，然后一一判断即可，掌握绝对值与数轴上点的特征是解题的关键． 【详解】解：由题意可知， ， ，故A错误 ，故B正确； ， 那么当，时，，，，故C错误； ，故D错误； 故选：B． 8. 观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第2023个图案中的“”的个数是（ ） A. 6074 B. 6072 C. 6070 D. 6068 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得第n个图案中的“”的个数为个，即可求解． 【详解】解：∵第1个图案中的“”的个数（个）， 第2个图案中的“”的个数（个）， 第3个图案中的“”的个数（个）， …， 第2023个图案中的“”的个数（个）， 故选：C． 【点睛】本题考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律． 二、填空题：本题共10小题，共20分． 9. 为数轴上表示的点，将点沿数轴向右平移5个单位长度到点，则点所表示的数为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了数轴，有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 根据题意得到点所表示的数为． 【详解】解：由题意得：点所表示的数为， 故答案为：3． 10. 已知，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，先由得，再将变形得，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时， ． 故答案为：． 11. 王小毛同学做教室卫生时，发现座位很不整齐，他思考了一下，将第一座和最后一座固定之后，沿着第一座最后一座这条线就把座位摆整齐了！他利用了数学原理：_____． 【答案】两点确定一条直线 【解析】 【分析】由题知，将教室座位看作一个个点，座位整齐否，只需要观察每个点是否在同一条直线即可，根据直线的性质解答． 【详解】王小毛利用的数学原理：两点确定一条直线； 故答案为：两点确定一条直线． 【点睛】本题考查直线的性质及定义，难点在于对实际问题数学模型化，寻找对应的原理． 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据乘法分配律计算即可． 【详解】解：原式， ， ， 故答案为： 13. 2023年北京市科技经费投入统计公报显示，2023年全市投入研究与试验发展（R&D）经费比上一年增长．如果设上一年投入的该项经费为亿元，则2023年投入该项经费为______亿元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，明确题意，列出相应的代数式是解题的关键．根据题意和题目中的数据，可知2023年投入该项经费为亿元，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 2023年投入该项经费为， 故答案为：． 14. 如图，为线段上一点，点为的中点，且，则_______． 【答案】6 【解析】 【分析】先根据中点的定义求出的长，再根据即可求出的长． 本题主要考查线段的中点的定义和线段的和差，熟练掌握中点的定义是解题的关键． 【详解】∵点B为的中点，且， ． 又， ． 故答案为：6 15. 若一个角的余角是它的补角的，则这个角的度数为______________． 【答案】72° 【解析】 【分析】设这个角的度数为x，根据题意列方程，求解即可． 【详解】设这个角的度数为x， 根据题意得：， 解得x=， 故答案为：． 【点睛】此题考查余角、补角的定义及计算，掌握角的余角及补角的表示方法，列出方程解答问题是解题的关键． 16. 干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表农历年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2024年为例：天干为：；地支为：；对照天干地支表得出，2024年为农历甲辰年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2049年为农历______年． 【答案】己巳 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，计算出相应的年数．根据题意，可以计算出2049年对应的天干和地支，从而可以写出2049年为农历哪一年． 【详解】解：由题意可得， 天干为：； 地支为：； 对照天干地支表得出，2049年为农历己巳年， 故答案为：己巳． 17. 现把2021个连续整数1，2，3，……，2021的每个数的前面任意填上“＋”号或者“－”号，然后将它们相加，则所得的结果绝对值的最小值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据有理数和绝对值的意义，得出绝对值是最小值时的符号规律，进而求出答案． 【详解】， ， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查绝对值及有理数的运算，掌握有理数的运算法则是关键． 18. 对于个位数字不为零的任意三位数，将其个位数字与百位数字对调得到，则称为的“倒序数”，将一个数与它的“倒序数”的差的绝对值与99的商记为．例如523为325的“倒序数”，． （1）_______； （2）对于任意三位数满足：的值是_______． 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】（1）根据题意，仿照例题即可求出的值； （2）根据题意，先列出的式子，再进行化简即可． 本题主要考查整式的加减，定义新运算．解题的关键是读懂题意，能够正确的用字母表示三位数． 【详解】（1）根据题意可得， 故答题空1的答案为：5 （2）根据题意可得 故答题空2的答案为： 三、计算题：本大题共3小题，共18分． 19. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）0 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减法法则计算即可； （2）利用乘法分配律计算即可； （3）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 20. 合并同类项：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，注意同类项所含字母相同，相同字母的指数也相同，其与字母的顺序无关．根据合并同类项原则解题即可． 【详解】解： ． 21. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【小问1详解】 解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； 【小问2详解】 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 四、解答题：本题共7小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22. 化简求值：，其中． 【答案】，5 【解析】 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，以及非负数的性质．根据去括号法则，合并同类项法则，进行化简，根据非负数的性质求出，，再整体代入进行计算即可． 【详解】解： ； ∵， ∴，， ∴，， ∴原式． 23. 如图，已知点A，B，C，D，请按要求画出图形. （1）画直线AB和射线CB； （2）连结AC，并在直线AB上用尺规作线段AE，使.（要求保留作图痕迹） （3）在直线AB上确定一点P，使的和最短，并写出画图的依据. 【答案】解：（1）如图所示，直线AB, 射线CB即为所求； （2）如图所示，线段AC、AE即为所求； （3）如图所示，点P即为所求，画图的依据：两点之间，线段最短. 【解析】 【分析】（1）根据直线是向两方无限延伸的画直线AB即可，根据射线是向一方无限延伸的画射线CB； （2）首先画出线段AC，在AB的延长线上依次截取两次AC，使得； （3）连接AB,CD，AB与CD的交点就是P点． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了线段，射线，直线的概念和画法，掌握线段，射线，直线的概念以及两点之间，线段最短是解题的关键. 24. 如图，点O在直线上，．若，，求的补角的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算，解题的关键是注意数形结合，借助平角为进行角度计算． 设，则，根据列方程求出，得出，再根据平角求出，即可求解． 【详解】解：∵， 设，则． ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴， ∴的补角的度数为． 25. 如图，点，在直线上． 按要求补全图形，并回答问题： （1）画直角（点在直线下方），画的平分线； （2）在射线上截取，画直线，在直线上作点，使得（尺规作图，保留作图痕迹）； （3）设，则线段的长为______． 【答案】（1） 解：如图，和即为所求作； （2） 解：如图，点、即为所求作； （3）或 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图（作垂线，作角平分线，画直线，作线段），熟练掌握尺规作图的基本方法和技巧是解题的关键． （1）首先过点作直线的垂线，然后作的平分线即可； （2）首先作直线，然后分点在点上方和点下方两种情况，分别取点，使得即可； （3）由图形即可直接得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图可知，线段的长为或， 故答案为：或． 26. 某商场经销，两种商品，种商品每件进价元，售价元；种商品每件售价元，利润率为． （1）每件种商品利润率为______，种商品每件进价为______； （2）若该商场同时购进，两种商品共件，恰好总进价为元，则该商场购进种商品多少件？ （3）在“元旦”期间，该商场对，两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过元 不优惠 超过元，但不超过元 按总售价打九折 超过元 其中元部分打八折优惠，超过元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买，商品实际付款元，求小华此次购物打折前的总金额． 【答案】（1），元 （2）购进种商品件． （3）小华在购物打折前的总金额为元或者元． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解． （1）根据利润率（售价进价）进价即可求解； （2）设购进种商品件，则购进种商品件，再由总进价是元，列出方程求解即可； （3）分两种情况讨论，打折前购物金额超过元，但不超过元，打折前购物金额超过元，分别列方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：每件种商品利润率为； 种商品每件进价为元， 故答案为：，元； 【小问2详解】 解：设购进种商品件，则购进种商品件， 由题意得，， 解得：． 答：购进种商品件． 【小问3详解】 解：设小华打折前应付款为元， 打折前购物金额超过元，但不超过元， 由题意得， 解得：， 打折前购物金额超过元， ， 解得：， 故小华在购物打折前的总金额为元或者元． 27. 已知为直线上的一点，，射线平分． （1）如图①中，若，则_______，_______； （2）将图①中的绕顶点逆时针旋转至图②的位置，其他条件不变，若，求的度数（用含的式子表示）； （3）将图①中的绕顶点顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变，直接写出和之间的数量关系． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据求出的度数，再根据角平分线的定义可知的度数，再根据求出的度数，最后根据平角的定义即可求出的度数． （2）先根据表示出的度数，再根据角平分线的定义可知的度数，再根据平角的定义即可求出的度数 （3）设，将和用含有的式子表示出来，即可得到和的关系． 本题主要考查角的计算，角平分线的计算，角的和差，解题的关键是根据题目当中所给的信息建立各个角之间的关系． 【小问1详解】 ∵，， ∴． 平分， ， ． ， ． 故答案为：， 【小问2详解】 ∵，， ． 平分， ， ． 【小问3详解】 设， ∵， ． 平分， ， ， ， ， ． 28. 已知数轴上两点，对应的数分别为，，点为数轴上一动点，其对应的数为． （1）若点为线段的中点，则点对应的数______； （2）点在移动的过程中，其到点、点的距离之和为，求此时点对应的数的值； （3）对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足倍关系时，则称该点是其他两个点的“倍点”如图，原点是点，的倍点． 现在，点、点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度同时向右运动，同时点以每秒个单位长度的速度从表示数的点向左运动．设出发秒后，点恰好是点，的“倍点”，请直接写出此时的值． 【答案】（1） （2）点对应的数的值是或 （3）或或 【解析】 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数，数轴上两点间的距离，线段的中点，分类讨论、数形结合是解题的关键． （1）根据及求解即可； （2）分两种情况讨论：点P在点左侧或点右侧，根据两点间的距离公式列方程求解即可； （3）由点恰好是点，的“倍点”，列出方程可求解． 【小问1详解】 解：点为线段的中点， ， ，即， 两点，对应的数分别为，， ， 故答案为：1； 【小问2详解】 解：由，若存在点到点、点的距离之和为，不可能在线段上，只能在点左侧，或点右侧． 在点左侧，，， 依题意，得， 解得：． 在点右侧，，， 依题意，得， 解得：． 综上所述，点对应的数的值是或； 【小问3详解】 解：秒后，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， 因为点恰好是点，的“倍点”， 所以， 或， 解得：不合题意，舍去，或，或，或， 所以的值为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $