精品解析：广东省广州市第四中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

广州市第四中学2025学年第一学期12月月考 高一数学 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集,且,则集合的真子集的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合后,写出集合的真子集,数出个数即可. 【详解】解:由题知, , 所以, 所以集合的真子集有: , 共3个. 故选:B 2. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定的知识来确定正确答案. 【详解】原命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，注意到要否定结论而不是否定条件， 所以命题的否定为. 故选：C 3. 若，且角的终边经过点，则P点的横坐标x是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义列方程求解即可. 【详解】由三角函数的定义可得： ， 解得， 故选：A 4. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用韦达定理和正切的两角和公式求解即可. 【详解】因为是方程的两个根， 由韦达定理得，， 所以， 故选：C 5. 下列4个选项中，p是q的充分不必要条件的是（ ） A. B. C. D. 中至少有一个不为零 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐项判断即可. 【详解】对于选项A，取，，则，但，所以不是的充分条件，A错误； 对于选项B，取，则，但是，所以不是的充分条件，B错误； 对于选项C，因为不等式的解集为， 所以由可推出，但由不能推出，所以是的充分不必要条件，C正确； 对于选项D，由可推出中至少有一个不为0，由中至少有一个不为0能推出，所以是中至少有一个不为0的充分必要条件，D错误； 故选：C. 6. 已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性和特殊值计算，可求得和，再由函数的单调性和零点存在定理推理得到即可. 【详解】因是上的增函数，且，则可得， 又是上的增函数，且，则可得． 因为函数在上是增函数，，， 由零点存在定理可知，有唯一的零点，故得． 故选：D． 7. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用公式，由已知及角的范围，求出的值，再使用诱导公式将化简得到，从而得解. 【详解】，， ，，，，. 故选：B 8. 若定义在上的偶函数，对任意的，且，都有且，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得在上单调递增，根据偶函数的性质可得在上单调递减，再根据，即可得到的大致图像，结合图像分类讨论，即可求出不等式的解集； 【详解】因为函数满足对任意的，且，有， 即在上单调递增，又是定义在R上的偶函数，所以在上单调递减， 又，所以，函数的大致图像可如下所示： 所以当时，当或时， 又不等式等价于或， 解得或，即原不等式的解集为； 故选：D. 二､多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分） 9. 已知，且，则下列不等式恒成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】 根据不等式的性质判断．错误的可举反例． 【详解】，且，则， ，，A错误； ，则，B正确； ，则，C正确； 与不能比较大小．如，此时，，D错误． 故选：BC． 10. 下列各式结果为1的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】应用二倍角正余弦公式化简求值判断A、C，由差角正切公式化简求值判断B，由切弦关系及和差角、二倍角公式化简求值判断D. 【详解】A：，不符， B：，符合， C：，不符， D：，符合. 故选：BD 11. 已知函数，其中，下列命题中正确的是（ ） A. 若，函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到 B. 若，曲线与曲线在区间上的交点个数为6 C. 若在上有且仅有5个零点，则的取值范围是 D. 若在上有且仅有5个零点，则在单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由三角函数图象变换规律分析判断，对于B，作出两函数在上的图象，观察图象判断，对于C，由求出，再结合函数有5个零点，列不等式组可求出的取值范围进行判断，对于D，由求出的范围，再结合选项C中的取值范围分析判断即可. 【详解】对于A，当时，， 将的图象向左平移个单位长度，得， 即得到的图象，所以A正确， 对于B，当时，，周期，在上是3个周期， 先作出在上的图象，然后向右平移两次，每次平移一个周期可得在上的图象， 再在同一坐标系中作出在的图象， 由图可知曲线与曲线在区间上的交点个数为6，所以B正确， 对于C，当时，， 若在上有且仅有5个零点，则， 解得，所以C错误， 对于D，当时，， 由选项C可知，则， 所以， 所以， 所以在单调递增，所以D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：此题考查正弦函数的图象与性质，考查三角函数图象变换规律，考查函数的零点，解题的关键是正确运用正弦函数的图象与性质，考查数形结合的思想，属于较难题. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. __________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据根式的性质，指数幂的运算性质和对数的运算性质运算即可. 【详解】因为，，，， 所以， 故答案为：4. 13. 已知，且，若恒成立，则实数的最大值是__________. 【答案】9 【解析】 【分析】将与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的最大值. 【详解】因为，，且， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 因为恒成立，所以， 所以实数的最大值是9. 故答案为：9 14. 若函数存在最大值和最小值，记，侧____________． 【答案】16 【解析】 【分析】设，证明为奇函数，利用奇函数的性质得出答案. 【详解】，令 则，即为奇函数，由此 故 故答案为：16. 四､解答题：（本大题共5小题，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.） 15. 已知集合. （1）若时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）或； （2）或. 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式求集合，再由集合的并运算求； （2）由必要不充分关系判断包含关系，再列不等式求参数范围. 【小问1详解】 由或，， 所以或； 【小问2详解】 由“”是“”的必要不充分条件，即是的真子集， 所以或，即或. 16. 已知. （1）求与的值； （2）求的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用及求出和的值，进而求解； （2）根据（1）中的结果，利用商数关系及计算求解. 【小问1详解】 若，则，， 因为，代入可得， 所以或（不符合题意舍去） 代入计算可得， 所以， 【小问2详解】 由（1）可得， 因为， 所以. 17. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和茶水的温度有关.经验表明，某种绿茶，用一定温度的水泡制，再等到茶水温度降至某一温度时，可以产生最佳口感.某研究员在泡制茶水的过程中，每隔测量一次茶水温度，收集到以下数据： 时间 0 1 2 3 4 5 水温 85.00 79.00 73.60 68.74 64.36 60.42 设茶水温度从开始，经过后温度为，为了刻画茶水温度随时间变化的规律，现有以下两种函数模型供选择：①；② （1）选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并参考表格中前3组数据，求出函数模型的解析式； （2）若茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感，根据（1）中的函数模型，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（参考数据：） 【答案】（1）选用模型①，理由如下： 由表中数据知，随着时间的变化（变大），茶的温度越来越低，但温度最多低至室内温度后，不再下降，也不再升高，因此选用模型①， （2）分钟 【解析】 【分析】（1）根据表中数据变化情况可知选用模型①符合，代入前三组数据，用待定系数法求得的值，即可求得解析式； （2）根据（1）的解析式，将代入解析式求得的值即可. 【小问1详解】 由表中数据知，随着时间的变化（变大），茶的温度越来越低，但温度最多低至室内温度后，不再下降，也不再升高，因此选用模型①， 代入前三组数据，解得， 所以函数模型解析式为； 【小问2详解】 由（1）知，即，所以， ， 所以刚泡好的茶水大约需要放置分钟才能达到最佳饮用口感. 18. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）求函数在区间上的最大值和最小值； （3）若为锐角，，求的值． 【答案】（1）； （2）最大值为2，最小值为； （3）. 【解析】 【分析】(1)化简函数解析式，结合正弦函数单调性求其单调递增区间； (2)利用不等式的性质和正弦函数的性质求函数的最大值和最小值； (3)由条件可求，利用同角关系求，然后利用算出答案即可. 【小问1详解】 由已知． 令，解得 故函数的单调递增区间为 【小问2详解】 由，可得 所以，故， 所以函数在区间上的最大值为2，此时，即， 函数在区间上的最小值为-1，此时，即， 【小问3详解】 由，可得， 因为，可得， ． . 19. 已知函数在区间上有最大值4，最小值1．函数． （1）求函数的解析式； （2）若存在使得不等式成立，求实数的取值范围； （3）若函数有三个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由二次函数的对称轴可知在上单调递增，将最值代入求解即可； （2）利用分离参数法将不等式转化为，求的最小值即可； （3）函数有三个零点，即方程有三个实根，解一元二次方程得或，作出图像数形结合即可求解. 【小问1详解】 二次函数对称轴为， 所以函数在上单调递增， 所以，解得． 所以． 【小问2详解】 所以存在使不等式成立，且， 转化为存在使不等式成立， 令，所以不等式化为， 即，因为， 因为，所以，所以实数的取值范围． 【小问3详解】 依题意有三个零点， 即方程有三个实根， 方程有三个实根， 令，则，即， 即，则， 作出函数的图像如图所示： 直线与曲线有且仅有1个交点， 所以要使有三个零点，则直线与曲线有2个交点 则，所以，以实数k的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市第四中学2025学年第一学期12月月考 高一数学 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集,且,则集合的真子集的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 3. 若，且角的终边经过点，则P点的横坐标x是（ ） A. B. C. D. 4. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 下列4个选项中，p是q的充分不必要条件的是（ ） A. B. C. D. 中至少有一个不为零 6. 已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 若定义在上的偶函数，对任意的，且，都有且，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分） 9. 已知，且，则下列不等式恒成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列各式结果为1的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，其中，下列命题中正确的是（ ） A. 若，函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到 B. 若，曲线与曲线在区间上的交点个数为6 C. 若在上有且仅有5个零点，则的取值范围是 D. 若在上有且仅有5个零点，则在单调递增 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. __________． 13. 已知，且，若恒成立，则实数的最大值是__________. 14. 若函数存在最大值和最小值，记，侧____________． 四､解答题：（本大题共5小题，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.） 15. 已知集合. （1）若时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 已知. （1）求与的值； （2）求的值. 17. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和茶水的温度有关.经验表明，某种绿茶，用一定温度的水泡制，再等到茶水温度降至某一温度时，可以产生最佳口感.某研究员在泡制茶水的过程中，每隔测量一次茶水温度，收集到以下数据： 时间 0 1 2 3 4 5 水温 85.00 79.00 73.60 68.74 64.36 60.42 设茶水温度从开始，经过后温度为，为了刻画茶水温度随时间变化的规律，现有以下两种函数模型供选择：①；② （1）选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并参考表格中前3组数据，求出函数模型的解析式； （2）若茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感，根据（1）中的函数模型，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（参考数据：） 18. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）求函数在区间上的最大值和最小值； （3）若为锐角，，求的值． 19. 已知函数在区间上有最大值4，最小值1．函数． （1）求函数的解析式； （2）若存在使得不等式成立，求实数的取值范围； （3）若函数有三个零点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $