山东省部分校2025-2026学年高二上学期“质量监测”联合调考数学试题

高二“质量监测”联合调考 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第四册第十章，选择性必修第一册，选择 性必修第二册第三章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.已知点M是点N(9,9,6)在平面Oxy内的射影，则|OM= A.w/117 B.9 C.92 D.18 2.在复平面内，复数(2-i)(11一i)对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.若{a,b,c}构成空间的一个基底，则下列选项中的向量也可以作为基底的是 A.a-b,b+c,c+a B.a-c,2b-c,a-2b C.b-2c,a+b-c,a+c D.a,b+a,c+b 4.某人计划到山东旅游，打算用连续5天时间游玩泰山、崂山、蓬莱阁3个景点，其中泰山、崂山 2个景点分别安排连续的两天游玩，则不同的日程安排种数为 A.3 B.4 C.5 D.6 5.已知直线l:x十ay一1一2a=0与圆C:(x-3)2+(y一4)2=9交于A,B两点，则cos∠ACB 的最大值为 A吉 B司 D. 6.数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心 和重心都在同一条直线上.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点为 A(9,1),B(8,2),C(5,一1)，则△ABC的欧拉线方程为 A.x-2y-6=0 B.2x-y-14=0 C.x+2y-26=0 D.6x+3y-46=0 7.已知椭圆C:号+芳=1(a>6>0)的左，右焦点分别为P,F.M是椭圆C上一点，直线 MF2与y轴负半轴交于点N,若MF·NF=0,且NF2=3F2M,则椭圆C的离心率为 A7-3 2 B22 2 C.4-2 D5-3 4 4 【高二数学第1页（共4页）】 ·B1· 8.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G分别为棱A1A,BC,C1D1的中点， A1C1∩B1D1=P,Q∈平面EFG,若PQ=1,则Q的轨迹长度为 A.22x 3 B.23x e D.2V 3 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知=9i+8+5 ,则 3-i A:的实部为一号 B.的虚部为 c-- D.|z|=22 10.李清照，齐州章丘（今山东省济南市章丘区）人，宋代女词人，婉约词派代表，有“千古第一才 女”之称.现将李清照不同的9本诗集全部奖励给3名同学（每人至少会分到1本），则下列 选项正确的有 A.若刚好每人分到3本书，则有1680种不同的分法 B.若每人至少分到2本书，则有11508种不同的分法 C.若刚好有1人只分到1本书，则有6326种不同的分法 D.若每人至多分到4本书，则有13020种不同的分法 11.阿基米德在数学方面贡献巨大.抛物线上任意两点E,F处的切线交于点M,称△MEF为“阿基 米德三角形”.已知抛物线C:x2=16y的焦点为F,过F的直线L交抛物线C于A,B两点，抛物 线C在A,B处的切线交于点P,则关于“阿基米德三角形”PAB,下列选项正确的是 A.△PAB有可能是等边三角形 B.顶点P在抛物线C的准线上 C.若边AB的中点为M,则PM∥y轴 D.△PAB面积的最小值为64 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2.双曲线C:二-=1(@>0,6>0)的焦距是虚轴长的2倍，则C的离心率为 ▲ 13.已知抛物线C:y2=20x的焦点为F,准线为l,P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交 点，若PF=5FQ,则1QF1= 14.如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第n行是（α十b)”的展开式的二项式系 数，直观解释了二项式系数规律.记第n行从左至右的第i个数为am,,若2625被675除所 得的余数为m,则m= _,am,25= 杨辉三角 第0行 1 第1行 11 第2行 121 第3行 1331 第4行 14641 第5行 15101051 第6行 1615201561 第7行 172135352171 第8行 18285670562881 【高二数学第2页（共4页）】 ·B1· 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 已知圆C:x2+y2-4x一5=0，直线1过点P(-1,4) (1)若直线1在两坐标轴上的截距之和为0，求直线！的方程： (2)若直线L与圆C相切，求直线L的方程. 16.(15分) 已知(3x一2)"=ao十a1x十a2x2十…十amx",且展开式中有且仅有第6项的二项式系数 最大 (1)求(3x一2)”的展开式的所有二项式系数之和； (2)求号十+…+学的值： (3)判断(3x一2)”的展开式中第几项系数的绝对值最大 17.(15分) 曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯 曲程度越小已知椭圆C,名+y +若=1(>b>0)上点P()处的曲率半径公式为R= 46(爱+)广.已知椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值为9V反，最小值为 ② (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线1与椭圆C相交于A,B两点，且线段AB的中点坐标为（一2，一1），求直线l的 方程； (3)记椭圆C的左焦点为F,P为椭圆C上一动点，定点M(1,1),求|PF|+|PM|的最 大值 【高二数学第3页（共4页）】 ·B1· 18.(17分) 如图，直三棱柱ABC-DEF的底面是边长为4的正三角形，侧棱AD=3,P是线段CF的延 长线上一点，平面PAB分别与DF,EF相交于M,N. (1)证明：MV平面CDE. (2)当PF为何值时，平面PAB⊥平面CDE? (3)当PC为何值时，平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为7 B 'M 19.(17分) 尼知双曲线C号-@>0.>0)的左顶点为A,过点B1,0)的直线1与圆0：] y2=a2交于D,E两点，且|DE的最小值为23，当直线1平行于双曲线C的渐近线时，点 3W5 A到直线L的距离为5· (1)求双曲线C的方程 (2)若直线AD,AE与双曲线C分别交于P,Q两点（均不与A重合），试判断直线PQ是否 过定点.若过定点，请求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【高二数学第4页（共4页）】 ·B1高二“质量监测”联合调考 数学参考答案 1.C由题意知M(9,9,0),所以OM1=√92+92+0=9√2. 2.D因为(2-i)(11一i)=21一13i,所以其对应的点位于第四象限. 3.D因为a-b=-(b+c)+(c+a),a-c=(2b-c)+(a-2b),b-2c=(a+b-c)-(a+ c),所以A,B,C中的向量不能作为基底；因为不存在x,y,使得a=x(b十a)十y(c十b),所 以a,b十a,c十b不共面，可以作为基底 4.D首先考虑蓬莱阁的游玩，可能安排在第1天或第3天或第5天，所以共有CA=6种不 同的日程安排. x-1=0,x=1, 5.D将x十ay-1-2a=0整理得x-1十a(y-2)=0.由 得 y-2=0,得y=2, 所以直线L过定点P(1,2).因为P(1,2)在圆C内，所以要使cos∠ACB最大，则∠ACB最 小，即川AB最小 当AB⊥CP时，|AB|最小，因为|PC|=2√2，所以|AB|mm=2,所以(cos∠ACB)mx= 9+9-47 2×3×39 6.B因为kB=一1，kC=1,所以kAB·kc=一1，所以AB⊥BC,所以△ABC的外心为AC 的中点.0).垂心为水8,2)所以△ABC的欧拉线方程为2-8-名二号即2z-y-14=0 7.C如图所示，设|MF2|=m,则|NF2|=3m=|NF1|, ↑y 在Rt△MNF1中，由MF,I2=|MN|2-|NF:I2, 可得M,=Tm,os∠F,NM=子，由椭圆的定义，知MF,+ F 1MF,=2a,可得m=7-1)a 3 在△NFF2中，NF2|=|NF1|=(W7-1)a,|F1F2|=2c, 2(W7-1)a2=,得到e=C=4-2 由cos∠F,NM=2w7-1Pa2-4C2=3, 4 【高二数学·参考答案第1页（共6页）】 ·B1- 8.D如图，建立空间直角坐标系，则P(1,1,2),E(2,0,1),F(1,2, 0),G(0,1,2).设平面EFG的法向量为n=(x,y,之)， 因为EF=(-1,2,-1),EG=(-2,1,1), n·EF=-x十2y-x=0 所以n·花=-2x十y十=0 令x=1,得n=(1,1,1). 因为PQ=1,所以点Q在以P为球心，1为半径的球上 因为PG=(一1,0,0)，所以P到平面EFG的距离d= PG·nl_3 n 3 所以以P为球心1为半径的球被平面E℉G截得的截面圆的半径为√1一=5 所以点Q的轨迹长度为2 9.AD因为文= 8+5i_4i一8=14上2 3-i -普+号所以其实部为-兰虚部为子，：= 14i-8-45=22,=-14-2 3-ilw√10 551 10.AB若刚好每人分到3本书，则 CSC8C.A=1680种不同的分法，故A正确： A 若每人至少分到2本书，则3人分书的本数可能是(2,3,4)，(2,2,5)，(3,3,3)，所以有 ccec+CSCC.A+1680=115O8种不同的分法，故B正确： A 若刚好有1人只分到1本书，则3人分书的本数可能是(1,2,6)，(1,3,5)，(1,4,4)，所以有 ccec+-aaec+CSCC.A=6426种不同的分法，故C不正确： A 若每人至多分到4本书，则3人分书的本数可能是(2,3,4)，(3,3,3)，(1,4,4)，所以有 CC.CC.A+9240=11130种不同的分法，故D不正确。 A 11.BCD抛物线C的焦点为F(0,4),准线方程为y=一4.显然直线1的斜率存在，设直线1 的方程为y-十4，A,高).B高).Pg）.由得-16-6= y=kx+4, 0,则x十，=16,1，=-64.设直线PA的方程为y-后=(x-,由 x (x2=16y, xi 得x2-16k1x+16k1x1-xi=0, P-16=b,(x-x1), 因为直线PA与抛物线C相切，所以△=(16k1)2-4(16k1x1一x)=4(8k1一x1)2=0,所以 1=令，即直线PA的方程为y=令一后同理，直线PB的方程为y-行一高所以x 【高二数学·参考答案第2页（共6页）】 ·B1· =十=8k,-传=-4，即顶点P在抛物线C的准线上，故B正确。 2 16 因为P在抛物线C的准线上，若△PAB是等边三角形，则P点坐标为(0，一4)，此时|AB| =|PF|=8,△PAB不是等边三角形，所以A不正确 若AB的中点为M.则M的华标为士，站号)所以C正确 32 不妨设0<0则Sm-P--名·（站+）3，- x+(-x2)2 +2]+(-1+2]2v--6 当且仅当x1=一x2=8时，等号成立，所以△PAB面积的最小值为64，故D正确. 1225 因为c=2b,所以c2=462=4(c2-a2),得e=2y3 ,即双曲线C的离心率为3 13.12记1与x轴的交点为M,过Q向l作垂线，垂足为N(图略)，则1QF1=QN1.因为P -戒.所以得--号因为MF1-1o.所以QF-1QN1=12 14.26;325因为265=26×2624=26×6762=26(1+675)12=26(C2+C12675+C26752+ +C67512)=26+26(C2675+C26752+…+C67512),所以2625被675除所得的余数为 26,所以am.25=C2=C36=325. 15.解：(1)当直线1经过原点时，直线1的方程为y=一4x; …2分 当直线1不经过原点时，设直线1的方程为二十头=1，…3分 a b a+b=0, 则二1+A=1.解得 =-5, =5, 所以直线1的方程为号5十岩=1.…5分 综上所述，直线l的方程为4x十y=0或x一y十5=0.…6分 (2)圆C的标准方程为(x一2)2十y2=9,其圆心为C(2,0),半径r为3.…7分 当直线1的斜率不存在时，直线l的方程为x=一1，符合题意；…8分 当直线1的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x+1)十4，即kx一y十k十4=0， 由3跳+4=3，得k=一 7 ，…11分 ”R2+门 所以直线1的方程为y=一24(x十1)十4，即7x十24y一89=0.…12分 综上所述，直线l的方程为x=一1或7x十24y一89=0.…13分 16.解：(1)因为展开式中第6项的二项式系数最大，所以n=10,…3分 所以展开式的所有二项式系数之和为210=1024.…5分 (2)令x=0,得a0=(0-2)10=1024.…7分 【高二数学·参考答案第3页（共6页）】 ·B1· 令x=得,+号+++器-(3x号2)”-1. …9分 所以号+++9=-1023. …10分 (3)由(2)可知(3x+2)0展开式的通项T,+1=Co310-×2'x10-. ……12分 1Cio310-rX2r≥C6139-rX2+1, 22 由 Cio310-X2>Co3-x21, <器 …14分 因为r为整数，所以r=4,所以(3x一2)0的展开式中第5项系数的绝对值最大.·15分 17.解：(1)因为曲率半径越大，曲线在该点处的弯曲程度越小， 所以椭圆C在（士a,0)处的曲率半径最小，则R一名=2 2分 b)处的曲率半径最大则R二名92，一 所以a=32,b二2，故椭圆C的标准方程为8+之三 =1.…5分 （x+=1, 182 (2)设A(x1y1),B(x2,y2),则 6分 (18+1, 两式相减得5-0，整理可得二。一2.十 18 2 x1-x218y1+y2 …7分 因为线段AB的中点坐标为（一2，一1），所以x1十x2=一4，y1十y2=一2，…8分 所以直线的斜率=一号·=日×专号， …9分 x1一x2 程为y十1=二名z十2)，即2z+9y+13=0.… (3)设椭圆C的右焦点为F,则|PF|十|PF'|=2a=6√2，…11分 所以|PF|+|PM=|PM|-|PF|+6√2.… 12分 因为|PM|一|PF'I≤|MF'|=√I0(当P,F',M三点共线且P在x轴下方时，等号成立)， …14分 所以PF|十|PM的最大值为√/10十62.…15分 18.(1)证明：因为AB∥DE,AB￠平面DEF,DEC平面DEF,所以AB/平面DEF.·2分 因为平面PAB∩平面DEF=MN,所以ABMN,所以DEMN,…3分 又MN中平面CDE,DEC平面CDE,所以MN/平面CDE.…4分 (2)解：分别取线段AB,DE的中点G,H,连接CG,GH,CH,PG,则GHCP,所以P,C, G,H四点共面.…5分 易得Rt△PCA≌Rt△PCB,所以PA=PB,所以PG⊥AB.·6分 【高二数学·参考答案第4页（共6页）】 ·B1· 因为AB/DE,所以PG⊥DE.…7分 若PG⊥CH,则PG⊥平面CDE,平面PAB⊥平面CDE, PC CG 此时∠CPG=∠GCH,则CC=GH 8分 因为△ABC是边长为4的正三角形， M 所以CG=4sin60°=2√3. CG2 又GH=3,所以PC=GH =4,…9分 所以PF=PC-FC=1, 所以当PF=1时，平面PAB⊥平面CDE.…10分 (3)解：由(2)知GC,GA,GH两两垂直，以G为原点，GC,GA,Gi的方向分别为x,y,之轴 的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则C(23,0,0),A(0,2,0),B(0,一2,0).… …11分 设P(2W3,0,t),平面PAB的法向量为m=(x1y1,1). 因为PA=(-23,2,-t),AB=(0,-4,0), 所以为 Pi·m=-25x1+21-11=0…令1=1，得m=(0.23.…13分 AB·m=-4y1=0, 设平面PBC的法向量为n=(x2y2,x2).因为PC=(0,0,-t),BC=(23,2,0), PC·n=-tz2=0, 所以 令x2=1,得n=(1,-√3,0).…15分 BC·n=23x2+2y2=0, 若平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为7， n·n t 则osmm》=mnV+i2X2'7,解得1=4， 故当PC=4时，平面PAB与平面PBC夹角的余然值为汽. …17分 19.解：(1)当直线l垂直于x轴时，|DE引最小，所以a=√OB十BE它=2.…2分 当直线1平行于双曲线C的渐近线时，直线L的方程为bx士2y一b=0.…4分 因为点A(一2,0)到直线1的距离为 +4=写，所以6=1， 36=35 …6分 所以双曲线C的方程为-y2=1.… …7分 (2)设直线AD:y=k,(x+2). x2+y2=4, 由 得x2十k(x+2)2=4, y=k1(x+2), 【高二数学·参考答案第5页（共6页）】 ·B1· -2k+2 所以(k十1)x2十4kx十4一4=0，解得x=一2或x= k+1 …8分 由x= -2k1+2 好+1，得y=k( -2好+2+2）= ，所以D(3 4k1 k2+1 k+1’k2+1: 同理，设直线AE:y=k,x+2),可得E十1,6， …10分 4k1 4k2 k好十1 4k1 k号十1 所以kD= =2k+2-1 -3十7-2+2一 4k2 -3k号+1 k好+1 k号+1 因为B,D,E三点共线，所以km=kE,可得k1k,=一3： 1 12分 x2-4y2=4, 由 得(1-4k)x2-16kx-16k-4=0, y=k1(x+2), 8k+2 解得x=一2或x 1-4k 14分 由x 得y=(-所以P兰) 8k1+2 8k+2 4k1 8k2+24k2 同理可得Q(1一4k'1一4k号 …15分 因为kk2=一 ,所以Q(%-9= 18k+8-12k1 ,所以krQ= 12k-4' 4k1 所以直线PQ的方程为y一1一4k 8k+2 k1 12k号-4x一1-4k ,即y=一12- (x+14), 故直线PQ过定点（一14,0）. …17分 【高二数学·参考答案第6页（共6页）】 ·B1-