专题01 等差等比数列、递推关系、数列求和（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦等差等比数列、递推关系及数列求和核心考点，按“必备知识（公式性质）—题型攻坚（基础运算到综合应用）—考情分析（近五年北京卷命题轨迹）”逻辑架构知识，通过考点梳理构建网络，方法指导提炼通法，真题训练强化能力，助力学生系统突破数列难点。 资料以高考命题规律为导向，分层设计“真题再现+模拟预测”练习，如递推关系中用构造法培养数学思维，数列求和中通过裂项相消提升运算能力，精准对接核心素养，确保高效复习，为教师把控节奏、学生提升应考能力提供有力支撑。

专题01等差等比数列、递推关系、数列求和 目录 01 析·考情精解 1 02 构·知能框架 2 03 破·题型攻坚 2 考点一 等差等比数列的基本量运算 2 真题动向 必备知识 知识1等差数列的基本公式 知识2等差数列常用性质 知识3等差数列的判断方法 知识4等比数列基本公式 知识5等比数列常用性质 命题预测 题型1等差等比数列的基本量运算 题型2等差等比数列的前n项和 题型3 等差等比数列综合应用 考点二 递推关系及数列求和 20 真题动向 必备知识 知识1利用递推关系求通项 知识2数列求和 命题预测 题型1与 的关系 题型2累加法求通项 题型3构造法求通项 题型4递推关系综合应用 题型5裂项相消法求和 题型6错位相减法求和 题型7分组并项求和 题型8其它方法求和 命题轨迹透视 从近五年北京卷高考试题来看，等差等比数列主要考基本量运算，多以4分选择题或5分填空题形式呈现，难度一般不大，但也有时出现较难题。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 等差等比数列 北京T5选择题4分 北京T15填空题5分 北京T14填空题5分 递推关系 北京T10选择题4分 数列求和 2026命题预测 预计在2026年北京卷高考中，等差等比数列仍会考查基本量运算或递推关系的应用，大概率以4分单选题或5分填空题形式出现，难度简单与较难题均有可能出现。 考点一 等差等比数列 1．(2024年北京高考数学真题T5选择题4分)已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则( ) A． B． C．16 D．18 2．(2024年北京高考数学真题T15填空题5分)设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是 . 3.(2023年北京高考数学真题T14填空题5分)我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ． 4.(2022年北京高考数学真题T6选择题4分)设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的(    ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5.(2021年北京高考数学真题T6选择题4分)《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则 A．64 B．96 C．128 D．160 6.(2021年北京高考数学真题T10选择题4分)已知等差数列是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为(   ) A．9 B．10 C．11 D．12 知识1等差数列基本公式 1.等差中项:若三个数，a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有． 2.通项公式：an＝a1＋(n－1)d. 通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． 3.前n项和公式：Sn＝na1＋. 知识2等差数列常用性质 1.若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. 特别地，若，则． 2.衍生等差数列 (1)等间距抽取为等差数列，公差为． (2)等长度截取Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…为等差数列，公差为． (3)算术平均值，即为等差数列，公差为． (4)若，是等差数列，则也是等差数列． 3.两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是；则。 4.若项数为偶数，则；；． 5.若项数为奇数，则S2n－1＝(2n－1)an；；． 7.在等差数列{an}中，若，则满足的项数使得取得最大值； 若，则满足的项数使得取得最小值． 8.若则有最大值(所有正项或非负项之和)；可由不等式组来确定n； 若，则有最小值(所有负项或非正项之和)；可由不等式组来确定n. 若公差为常数列． 知识3等差数列的判断方法 1.定义法(或者)(是常数)是等差数列． 2.等差中项法： ()是等差数列． 3.通项公式：(为常数)是等差数列． 4.前项和公式：(为常数)是等差数列． 知识4等比数列基本公式 1.等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 2.通项公式：设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式． 3.等比数列{an}的公比为，其前项和为 (1)等比数列的前n项和公式有两种形式，在求等比数列的前n项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解． (2)已知(项数)，则利用求解；已知，则利用求解． (3)，为指数型函数，且系数与常数互为相反数． 知识5等比数列常用性质 1.对任意的正整数m，n，p，t，若m＋n＝p＋t，则am·an＝ap·at. 特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝a． 2.衍生等比数列 (1)设{an}为等比数列，则(为非零常数)，，仍为等比数列． (2)设与为等比数列，则也为等比数列． (3)为等比数列，等间距抽取为等比数列，公比为． (4)为等比数列，等长度截取:Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…为等比数列，公比为(若时，则m是奇数)． (5)为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列 3.等比数列的单调性(等比数列的单调性由首项与公比决定)． 当或时，为递增数列； 当或时，为递减数列． 题型1等差等比数列的基本量运算 1．(25-26高三上·北京·月考)在等差数列中，，则的公差为(    ) A．-3 B．-2 C．2 D．3 2．(25-26高三上·北京·月考)已知数列满足，则(    ) A．6 B．12 C．15 D．18 3．(25-26高三上·北京·期中)已知等差数列，，，则等于(   ) A． B．0 C．2 D．5 4．(25-26高三上·北京朝阳·期中)在等差数列的每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列，则(    ) A． B． C．1 D． 5．(24-25高二下·北京房山·期末)数列满足，且，则的值是(   ) A．2 B．3 C．4 D．5 6．(24-25高二下·北京海淀·期末)设是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的(   ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．(2026高三·北京·专题练习)在等比数列中，，若不等式成立，则的最小值为(    ) A．25 B．26 C．27 D．28 8．(24-25高三上·北京·月考)已知等差数列，正项等比数列，则“”是“存在正整数，当时，”的(   ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．(25-26高三上·北京·月考)设正项等比数列的前项和为，且，则的最大值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．6 题型2等差等比数列的前n项和 1．(25-26高三上·北京·月考)设数列是等差数列，，，则这个数列的前9项和等于(   ) A．12 B．24 C．36 D．48 2．(25-26高三上·北京·月考)已知等差数列的前项和为，则(     ) A． B． C．8 D．9 3．(25-26高三上·北京顺义·期中)已知等差数列的前项和为，，则(    ) A．6 B．18 C．36 D．42 4．(25-26高三上·浙江·开学考试)已知等差数列的前项和满足：，则数列的最小项是第(    )项. A．2026 B．2027 C．4048 D．4049 5．(24-25高二下·北京延庆·期末)等差数列的前项和为，，，则的值为(    ) A． B． C． D． 6．(24-25高二下·北京顺义·期末)已知等差数列的公差，前项和为，且，则(   ) A．，或， B．， C．， D．， 3．(25-26高三上·北京·月考)已知为等差数列，，．若数列满足，记的前n项和为，则(    )． A． B． C． D． 4．(25-26高三上·江苏连云港·期中)某校报告厅第一排有22个座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则这个报告厅共有 个座位. 5．(25-26高三上·北京通州·期中)已知数列为等差数列，，则 ；若，则 ． 6．(25-26高三上·北京·月考)已知正项数列的前项和为，且； (1)求和的值； (2)求证数列是等差数列，并求出数列的通项公式； (3)若，求数列的前项和. 题型3等差等比数列综合应用 1．(25-26高二上·北京西城·期中)设等差数列的前项和为，若，，则(    ) A．1 B．2 C．3 D．5 2．(25-26高三上·北京·月考)“人有悲欢离合，月有阴晴圆缺”，这里的圆缺就是指“月相变化”，即地球上所看到的月球被日光照亮部分的不同形象、随着月球与太阳的相对位置的不同，便会呈现出各种形状．古代中国的天象监测人员发现并记录了月相变化的一个数列，记为．其中且，将满月等分成240份．(且)表示第i天月球被太阳照亮部分所占满月的份数．已知，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即．若在月相数列中，前5项构成公比为等比数列，第5项到第15项构成公差为的等差数列，且均为正整数，则第4天可见部分占满月的(    ) A． B． C． D． 3．(25-26高三上·北京海淀·月考)已知等比数列，则“”是“数列为递增数列”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．(25-26高三上·北京·期中)无穷等比数列的公比为，前项和为，则“”是“，使得对任意的正整数都成立”的(   ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．(25-26高三上·北京顺义·月考)已知数列为单调递增的等差数列、前项和为，若，，成等比数列，则当取最小值时，(        ) A．3 B．4 C．5 D．6 6．(25-26高三上·北京顺义·月考)对于等比数列，则“”是“数列为单调递增数列”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．(25-26高三上·北京顺义·开学考试)已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“存在最小值”的(   )条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 6．(25-26高三上·北京·开学考试)为等差数列的前项和，则“数列为递增数列”是“数列为递增数列”的(   ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．(25-26高三上·北京·月考)已知各项都不相等的数列，圆，圆，若圆平分圆的周长，则的所有项的和为(    ) A．2024 B．2025 C．4048 D．4050 8．(2025·北京朝阳·二模)设无穷数列的前n项和为，定义，则(    ) A．当时， B．当时， C．当时，则 D．当时， 9．(25-26高三上·北京顺义·月考)数列满足. (1)求； (2)当时，判断数列是否为等差数列，并说明理由： (3)求证：“”是“数列单调递增”的充分不必要条件. 考点二 递推关系及数列求和 1．(2023年高考北京卷数学真题T10选择题4分)数列满足，则(    ) A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 2.(2022年北京高考数学真题T15填空题5分)已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论： ①的第2项小于3；②为等比数列；③为递减数列；④中存在小于的项． 其中所有正确结论的序号是 ． 知识1利用递推关系求通项 (一).已知求(项与和的互化)：an＝ 注意：绝大部分题目是把用an替换，得到形如：的式子；有时需逆向思维，把题目中的an用替换,得到形如：的式子。 (二).累加法：已知a1且an－an－1＝f(n)(n≥2)， 则an－an－1＝f(n)，an－1－an－2＝f(n－1)，…，a3－a2＝f(3)，a2－a1＝f(2)．所有等式左右两边分别相加， 即 (n≥2)．代入a1得an． (1)若是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； (2)若是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； (3)若是关于n的二次函数，累加后可分组求和； (4)若是关于n的分式函数，累加后可裂项求和． (三).累乘法：已知a1且(n≥2)， 则，，…，，，所有等式左右两边分别相乘， 即(n≥2)．代入a1得an． (四).构造法 1.形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1，B≠0)的递推式： (1)若A=1时，数列{}为等差数列； (2)若B=0时，数列{}为等比数列； (3)若A≠1且B≠0时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：化为an＋1＋＝A的形式，利用是以A为公比的等比数列求解 法二：由an＋1＝Aan＋B得两式相减并整理得即构成以为首项，以A为公比的等比数列．求出的通项再转化为累加法便可求出 2.形如型的递推式： (1)当为一次函数类型(即等差数列)时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得： ，令得：进而可求出 (2)当为指数函数类型(即等比数列)时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项， 以为公比的等比数列，再求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：——①，， 后一式子两边同时乘以得——②，由①②两式相减得， 即，进而可求出 (3)当为任意数列时，可用通法：在两边同时除以 可得到，令，则，在求出之后得． 3.形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式。 4.形如(其中p，q均为常数)或(其中p，q， r均为常数)时，两边同时除以，得：，引入辅助数列，得：进而可求． 5.形如：两边取对数得，令得：，即化归为型，求出之后得(注意：底数不一定要取10，可根据题意选择)． 6.形如：用待定系数法，化为特殊数列的形式求解． 方法为：设，比较系数得，可解得， 于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 7.形如，两边同除以，变形为的形式，从而构造等差数列， 先求出的通项，便可求得的通项公式 (五).倒数法：用“倒数变换法”构造等差数列 1.形如(为常数，)的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 2.形如(p,q为常数，，两边取“倒”，变形为：，可换元：，化简为：(此类型即前面类型，可用“待定系数法”构造出新的等比数列) 知识2数列求和 1.公式法求和 (1)等差数列的前n项和公式：Sn＝. (2)等比数列的前n项和公式：Sn＝ (3)特殊求和公式：1＋2＋3＋4＋…＋n＝； ；； 12＋22＋…＋n2＝；。 2.分组转化法 通项为cn＝an＋bn的数列求和，其中{an}与{bn}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列. 3.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. 题型1 与 的关系 1．(2025·北京丰台·二模)已知数列的前项和为，且满足，则(   ) A． B．0 C．1 D．2 2．(24-25高二下·北京海淀·期末)已知无穷数列的前项和满足，其中为常数，且．给出下列四个结论： ①实数；②数列为等差数列；③当时，对任意，存在，当时，； ④当恒成立时，一定为递减数列． 其中所有正确结论的序号是 ． 3．(25-26高三上·北京·月考)对于数列，令，给出下列四个结论： ①若，则；②若，则； ③若对任意的，都有，则有； ④存在各项均为整数的数列，使得对任意的都成立． 其中所有正确结论的序号是 ． 4．(25-26高三上·北京朝阳·期中)已知数列的前项和为，且.给出下列四个结论： ①；②是递增数列；③，使得当时，； ④，使得当时，总有. 其中所有正确结论的序号是 . 5．(25-26高三上·江苏·月考)已知数列的前项和为，且满足，，则数列的通项公式为 ． 6．(25-26高三上·北京·开学考试)设无穷数列的前项和为，且，．给出下列四个结论： ①若，；②若，则；③当时，是等比数列； ④对任意，总存在直线，使得点到的距离随着的变大而变小． 其中正确结论的序号是 ． 题型2 累加法求通项 1．(25-26高三上·北京密云·月考)已知数列满足，且．给出下列四个结论：①；②；③，当时，； ④，，当时，． 其中所有正确结论的个数为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 2．(23-24高二下·北京大兴·期中)已知数列满足，且，则的最小值是(    ) A． B． C． D． 3．(2023·北京西城·三模)已知是数列的前项和，且对任意的正整数，都满足：，若，则 ， ． 题型3 构造法求通项 1．(2025·北京房山·一模)已知数列的各项均为正数，且满足(是常数，)，则下列四个结论中正确的是(    ) A．若，则数列是等比数列 B．若，则数列是递增数列 C．若数列是常数列，则 D．若数列是周期数列，则最小正周期可能为2 2．(2025·北京丰台·二模)已知数列满足，给出下列四个结论： ①存在唯一的正实数，使得是常数列；②当时，是等比数列； ③若是递增数列，则；④若对任意的正整数，都有，则． 其中所有正确结论的序号为 ． 3．(25-26高三上·北京·开学考试)已知数列满足，，则 ①当时，存在，使得； ②当时，为递增数列，且恒成立； ③存在，使得中既有最大值，又有最小值； ④对任意的，存在，当时，恒成立． 其中，所有正确结论的序号为 ． 4．(2025·北京东城·一模)已知数列满足，且.给出下列四个结论： ①若，当时，； ②若，当时，； ③若，对任意正数，存在正整数，当时，； ④若，对任意负数，存在正整数，当时，. 其中正确结论的序号是 . 题型4 递推关系综合应用 1．(25-26高三上·北京海淀·期中)已知数列满足，，为的前项和，则下列结论错误的是(    ) A．存在，使得成立 B．存在，使得且对任意成立 C．对任意，存在，使得成立 D．对任意奇数，存在和，使得成立 2．(25-26高三上·北京·月考)已知等差数列与等比数列都是无穷递增数列，给出下列四个结论: ①不存在数列与，使得是递减数列； ②存在数列与，使得是递增数列； ③不存在数列与，使得同时有无穷个正项和无穷个负项； ④存在数列与，使得恰好出现三个为1的项. 其中正确结论的序号是 . 3．(2021·北京门头沟·一模)已知各项均为正数的数列，其前n项和为，数列为等差数列，满足，.再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求解下列问题： (I)求数列的通项公式和它的前n项和； (II)若对任意不等式恒成立，求k的取值范围. 条件① 条件②，当，， 注：如果选择条件①、条件②分别解答，按第一个解答计分. 4．(2025高三·北京·专题练习)已知数列中，，，且． (1)求数列的通项公式；(2)记为数列的前n项积，求证：． 5．(22-23高三下·北京海淀·开学考试)若无穷数列的各项均为整数．且对于，，都存在，使得，则称数列满足性质P． (1)判断下列数列是否满足性质P，并说明理由． ①，，2，3，…； ②，，2，3，…． (2)若数列满足性质P，且，求证：集合为无限集； (3)若周期数列满足性质P，求数列的通项公式． 6．(23-24高三上·北京怀柔·月考)已知数列满足，且 (1)求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为 ①若，，成等比数列，求正整数的值；②数列的前项和为，证明． 7．(2023·北京通州·三模)已知：正整数列各项均不相同，，数列的通项公式 (1)若，写出一个满足题意的正整数列的前5项： (2)若，求数列的通项公式； (3)证明若，都有，是否存在不同的正整数，j，使得，为大于1的整数，其中. 8．(2023·北京·模拟预测)已知数列的前n项和为，在数列中，，，． (1)求数列，的通项公式；(2)设，为数列的前n项和，求的最值． 9．(22-23高三上·北京·月考)已知数列满足，. (1)若，，①求，，；②求数列的通项公式； (2)若，，求数列的通项公式. 题型5裂项相消法求和 1．(2025·北京朝阳·二模)设无穷数列的前n项和为，定义，则(    ) A．当时， B．当时， C．当时，则 D．当时， 2．(2025高三·北京·专题练习)高斯被誉为“数学王子”，是世界上伟大数学家.用他名字定义的函数(表示不超过的最大整数)称为高斯函数.已知正项数列的前项和为，且，令，则下列结论错误的有( ) A． B． C． D． 3．(2025高三·北京·专题练习)对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，都有，则称数列是有界的，若这样的正数不存在，则称数列是无界的.记数列的前项和为，则下列说法不正确的是( ) A．若，则数列是无界的 B．若，则数列是有界的 C．若，则数列是有界的 D．若，则数列是有界的 4．(25-26高三上·北京通州·期中)已知数列为等差数列，，则 ；若，则 ． 5．(24-25高三上·北京·月考)数列的前项和记为，若，，则数列的通项公式为 ，若，则数列的前项和为 . 题型6错位相减法求和 1．(22-23高三上·北京·开学考试)已知数列满足，数列的前项和为，则下列结论错误的是(    ) A．的值为2 B．数列的通项公式为 C．数列为递减数列 D． 2．(24-25高二下·北京·期中)已知函数的极值点构成数列(). (1)求；(2)求证：数列是等差数列；(3)求数列的前项和. 3．(2025·全国一卷·高考真题)已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列；(2)给定正整数m，设函数，求． 4．(2023·北京·模拟预测)已知数列的前n项和为，在数列中，，，． (1)求数列，的通项公式；(2)设，为数列的前n项和，求的最值． 题型7分组并项求和 1．(24-25高三上·北京·月考)在一个数列中，如果，都有(为常数)，那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为8，则(    ) A．4719 B．4721 C．4723 D．4724 2．(2024·北京顺义·二模)已知各项均为正数的数列的前n项和为，，，，则(    ) A．511 B．61 C．41 D．9 3．(23-24高三上·北京·期中)若是首项为1，公比为3的等比数列，把的每一项都减去2后，得到一个新数列，设的前项和为，对于任意的，下列结论正确的是(    ) A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 4．(2024·北京怀柔·模拟预测)设首项是1的数列的前项和为，且，则 ；若，则正整数的最大值是 ． 5．(25-26高三上·北京·月考)记为等差数列的前n项和，已知，． (1)求的通项公式；(2)当n为何值时，取最小值并求出最小值． (3)记为数列的前n项和，求． 6．(25-26高三上·北京·月考)已知等比数列满足，. (1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和. 7．(25-26高三上·北京·月考)已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式；(2)若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和. 题型8其它方法求和 1．(25-26高三上·北京·月考)各项都不相等的数列，圆，圆，若圆平分圆的周长，则的所有项的和为(    ) A．2024 B．2025 C．4048 D．4050 2．(22-23高三上·北京朝阳·期中)数列的通项公式为，前项和为，给出下列三个结论： ①存在正整数，使得；②存在正整数，使得； ③记，则数列有最小项； 其中所有正确结论的个数是(   ) A．0 B．1 C．2 D．3 学科网(北京)股份有限公司第 1 页 共 65 页 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 上好每一堂课 专题01等差等比数列、递推关系、数列求和 目录 01析考情精解… 02构知能框架 2 03破•题型攻坚 考点一等差等比数列的基本量运算 2 真题动向 知识1等差数列的基本公式 知识2等差数列常用性质 必备知识 知识3等差数列的判断方法 知识4等比数列基本公式 知识5等比数列常用性质 题型1等差等比数列的基本量运算 题型2等差等比数列的前n项和 命题预测 题型3等差等比数列综合应用 考点二 递推关系及数列求和… …20 真题动向 必备知识 知识1利用递推关系求通项 知识2数列求和 题型1Sn与an的关系 题型2累加法求通项 题型3构造法求通项 题型4递推关系综合应用 命题好预测 题型5裂项相消法求和 题型6错位相减法求和 题型7分组并项求和 题型8其它方法求和 NO.1 析·考情精解 命题 从近五年北京卷高考试题来看，等差等比数列主要考基本量运算，多以4分选择题或 5分填空题形式呈现，难度一般不大，但也有时出现较难题。 轨迹 透视 考点 考点 2025年 2024年 2023年 频次 等差等比数列 北京T5选择题4分 北京T14填空题5分 北京T15填空题5分 总结 递推关系 北京T10选择题4分 数列求和 2026 预计在2026年北京卷高考中，等差等比数列仍会考查基本量运算或递推关系的应用， 大概率以4分单选题或5分填空题形式出现，难度简单与较难题均有可能出现。 命题 预测 第1页共56页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 N0.2 构·知能框架 知识点1等差数列基本公式 题型1等差等比数列 考点一等差 知识点2等差数列常用性质 的基本量运算 等比数列 知识点3等差数列的判断方法 题型2等差等比数列 的前n项和 知识点4等比数列基本公式 题型3等差等比数列 综合应用 专题1等差等比数列、 知识点5等比数列常用性质 递推关系、数列求和 考点二递推关 影鑫项 系及数列求和 知识点1递推关系 题型3构造法求通项 题型4递推关系的综合应用 知识点2数列求和 题型5裂项相消法求和 题型6错位相减法求和 题型7其它方法求和 NO.3 破·题型攻坚 考点一 等差等比数列 动 向 1.(2024年北京高考数学真题T5选择题4分)已知{an是公差不为零的等差数列，a1=-2,若a3,a4,a6成 等比数列，则a10=() A.-20 B.-18 C.16 D.18 【答案】C【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用、利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解， 【详解】设等差数列{an}的公差为d,(d≠0)，因为a3,a4,a6成等比数列，且a1=-2, 所以a4=a3a6,即(-2+3d02=(-2+2d0(-2+5d),解得d=2或d=0(舍去)， 所以a10=a1+9d=-2+9×2=16. 故选：C 2.(2024年北京高考数学真题T15填空题5分)设{a}与{b,}是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集 合M={kak=bk,k∈N),给出下列4个结论： ①若{an}与{bn}均为等差数列，则M中最多有1个元素： ②若{an}与bn}均为等比数列，则M中最多有2个元素： ③若{a}为等差数列，{bn为等比数列，则M中最多有3个元素： ④若{a}为递增数列，bn}为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是 第2页共56页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 【答案】①③④【难度】0.4 【知识点】等差数列基本量计算、单调性、等比数列基本量计算、等比数列的单调性 【分析】利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结合通项公式的特 征及反证法可判断③的正误 【详解】对于①，因为{a,b}均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上， 而两条直线至多有一个公共点，故M中至多一个元素，故①正确 对于②，取a=2"-1,bn=-(-2)”-1,则{a},bn}均为等比数列， 但当n为偶数时，有a,=2-1=b.=-(-2)”-1,此时M中有无穷多个元素，故②错误 对于③，设bm=Aq(Aq≠0，q≠士1)，a,=km+b(k≠0)， 若M中至少四个元素，则关于n的方程Aq=km+b至少有4个不同的正数解， 若q>0,q≠1，则可得关于n的方程Aq"=kn+b至多有两个不同的解，矛盾： 若q<0,q≠士1，考虑关于n的方程Aq=kn+b奇数解的个数和偶数解的个数， 当Ag”=kn+b有偶数解，此方程即为Aq"=kn+b, 方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时Aknq>0, 否则AkInlg<0,因y=Aq",y=kn+b单调性相反，方程Aq”=kn+b至多一个偶数解， 当Ag”=kn+b有奇数解，此方程即为-Ag”=kn+b, 方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时-AkInlg>0即Akln q<0 否则AkInlql>0,因y=-A|q",y=kn+b单调性相反，方程-Aq”=kn+b至多一个奇数解， 因为AkIn]ql>0,AkInlql<0不可能同时成立， 故Aq=kn+b不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素， 取q=-2,a1=-2,d=6,b1=-2,则a1=b1=-2,a2=b2=4,a4=b4=16,故③正确 对于④，因为{a}为递增数列，{bn}为递减数列，前者散点图呈上升趋势， 后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确。 故答案为：①③④ 【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨 论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化， 3.(2023年北京高考数学真题T14填空题5分)我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就己经出现了类 似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”，己知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列 {a},该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a1=1,a5=12,ag=192,则a7= 数列{an}所有项的和为 【答案】 48 384【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算、求等比 数列前n项和 【分析】方法一：根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解d,q,进而可求得结果；方法二：根据 第3页共56页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 等比中项求a7,a3,在结合等差、等比数列的求和公式运算求解 【详解】方法一：设前3项的公差为d,后7项公比为g>0, 则g-二=竖=16，且q>0,可得q=2则a=1+2d=导即1+2d=3,可得d=1 空1：可得a3=3,a7=a3q4=48, 空2：a1+a2+…+ag=1+2+3+3×2++3×25=3+3-2=384 1-2 方法二：空1：因为{an,3≤n≤7为等比数列，则a号=a5ag=12×192=482, 且a,>0,所以a7=48:又因为a{=a3a7,则a3==3: 7 空2：设后7项公比为q>0,则q2==4,解得q=2, Q3 可得a1+a2+a3=3a12-6,a+a4+a5+a6+a+ag+ag=-99=3-192x2=381, 2 1-9 1-2 所以a1+a2+…+ag=6+381-a3=384. 故答案为：48；384 4.(2022年北京高考数学真题T6选择题4分)设{a}是公差不为0的无穷等差数列，则“{am}为递增数列”是 “存在正整数No,当n>No时，a>0”的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】C【难度】0.65 【知识点】探求命题为真的充要条件、等差数列的单调性 【分析】设等差数列{a}的公差为d,则d≠0，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判 断可得出结论 【详解】设等差数列{a的公差为d,则d≠0，记[x]为不超过x的最大整数. 若{an}为单调递增数列，则d>0, 若a1≥0，则当n≥2时，a,>a1≥0；若a1<0,则am=a1+(n-1)d, 由a.=a1+0n-1)d>0可得n>1-÷取。=1-习+1，则当n>No时，a>0. 所以，“{a}是递增数列”→“存在正整数N。,当n>N时，an>0”; 若存在正整数No,当n>No时，an>0,取kEN且k>No,ak>0, 假设d<0,令a:=ak+(n-d<0可得n>k-学，且k-学>k, 当n>k-+1时，a<0,与题设矛盾，假设不成立，则d>0,即数列(a提递增数列. 所以，“{a}是递增数列”∈“存在正整数No,当n>No时，a>0” 所以，“{a}是递增数列”是“存在正整数No,当n>No时，an>0”的充分必要条件 故选：C 5.(2021年北京高考数学真题T6选择题4分)《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共 产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种这五种规格党旗的长a1,a2,ag,a4,as(单位：cm) 成等差数列，对应的宽为b1,b2,b3,b4,b5(单位：cm),且长与宽之比都相等，己知a1=288,a5=96,b1=192, 第4页共56页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 则b3= A.64 B.96 C.128 D.160 【答案】C【难度】0.85 【知识点】求等差中项 【分析】设等差数列{a}公差为d,求得d=-48,得到a3=192,结合党旗长与宽之比都相等和b1=192, 列出方程，即可求解 【详解】由题意，五种规格党旗的长a1,a2,ag,a4,as(单位：cm)成等差数列，设公差为d, 因为a1=288,a5=96,可得d=5=4=96-28=-48, 5-1 4 可得a3=288+(3-1)×(-48)=192, 又由长与宽之比都相等，且6，=192，可得号-号所以b,=之=92=128 288 故选：C 6.(2021年北京高考数学真题T10选择题4分)已知等差数列a}是各项均为整数的递增数列，且a1≥3，若 a1+a2++a.=100,则n的最大值为() A.9 B.10 C.11 D.12 【答案】C【难度】0.85 【知识点】求等差数列前项和、利用定义求等差数列通项公式 【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得可能的最大值，然后构造数 列满足条件，即得到n的最大值 【详解】若要使n尽可能的大，则a1,递增幅度要尽可能小， 不妨设数列{a}是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为Sn, 则a=n+2,S12=126+1型=102>100，所以n≤11 2 对于a.=n+2,S1=16+12=88<100, 2 取数列{an}各项为a=n+2(n=1,2,10),a11=25, 则a1+a2+…+a11=100,所以n的最大值为11. 故选：C 知识1等差数列基本公式 1.等差中项：若三个数，a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A=艺 2.通项公式：a.=a4十(n-l)d.通项公式的推广：a,=anm十(n-m)dn,∈N). 3.前n项和公式：Sa=+,d=na1+a 2 2 第5页共56页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 知识2等差数列常用性质 1.若{an}为等差数列，且k+l=十n(k,1,,n∈N,则ak十a=am十a. 特别地，若m+n=2t,则am+a=2a,(mh,t∈N). 2.衍生等差数列 (（1)等间距抽取am,am+,am+2,…am+a-1c…为等差数列，公差为d. (2)等长度截取Sm,S2m一Sm,Sm一Sm,…为等差数列，公差为m2d. 3)算术平均值，受，号…马…，即骨}为等差数列，公差为 (④)若{a}，{b}是等差数列，则{pa+qb}也是等差数列. 3.两个等差数列{a},{b)的前n项和分别是An,Bn:则=2三。 bn B2n-1 4若项数为偶数2，则3=a+a.)=a+a):S一S=d:- ,S海=an 5若顶数为奇数2n-1,则51=0-1a:一，：兰- n-1 7在等差数列a冲，若a>0,d<0,则满足&：S0的项数m使得S取得最大值S: 若a<d>0,则满足合o的疾题使得8取狗及小怕· &者&0则S有最大值所有正项或非负项之和：可由不等式组%三0 {a+1≤0来确定n: ☆0，则S有最小值（所有负项或非正项之和：可由不等式组C0来 若公差d=0台a}为常数列. 知识3等差数列的判断方法 1.定义法a+1-a.=d(或者a。-an-1=d(n≥2))(d是常数)→{an}是等差数列. 2.等差中项法：2a.=an-1+am(n≥2)(neN)台{an}是等差数列. 3.通项公式：an=pn+q(P,q为常数)台{an}是等差数列. 4.前n项和公式：Sn=An2+Bn(A,B为常数)台{a}是等差数列. 知识4等比数列基本公式 1.等比中项：如果a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G=b. 2.通项公式：设等比数列{a,}的首项为a1，公比为q(g≠0)，则它的通项公式an=a1qn-1=amq-m. (na, (9=1) 3.等比数列{a}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn= @1-92=18,(q+1） 、1-q 1-q (1)等比数列的前n项和公式有两种形式，在求等比数列的前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由 第6页共56页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 q的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比q是否为1时，要分q=1与q≠1两种情况讨论求解， ②)已知a,gg≠，n(项数)，则利用Sn=12求解；已知a,a,gg≠1)，则利用Sn=1求解。 1-q 1-g 3)m=q”+品，=k:q-kk≠0,9≠1)，8.为指数型函数，且系数与常数互为相反数。 知识5等比数列常用性质 1.对任意的正整数，n,p,t,若m十n=p十t,则ama,=aa. 特别地，若m十n=2p,则4m4=a吃. 2.衍生等比数列 (1)设{a}为等比数列，则an(2为非零常数)，{la},{a}仍为等比数列. (2)设{an}与{bn}为等比数列，则{anbn}也为等比数列. (3){a}为等比数列，等间距抽取am,am+,am+2,…-am+m-1)r…为等比数列，公比为q. (4){a}为等比数列，等长度截取：Sm,Sm一Sm,Sm一S2m,…为等比数列，公比为qm(若q=-1时，则m是奇 数) ⑤a}为等比数列.若a=,则工，成等比数列 3.等比数列{a}的单调性（等比数列的单调性由首项a与公比q决定）. 当日侣0L时.a为适媚数列： 当a1>0, 或81,0时， 0<q<1,1q>1, {an}为递减数列. 题型1等差等比数列的基本量运算 1.(25-26高三上北京·月考)在等差数列{an}中，a1+a3=2a3+6,则{a}的公差为() A.-3 B.-2 C.2 D.3 【答案】A【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】利用等差数列的通项公式求解即可 【详解】因为{a}为等差数列，a1+a3=2a3+6,即a1=a3+6, 所以a3-a1=-6，即2d=-6,解得d=-3. 故选：A 2.(25-26高三上·北京·月考)已知数列{an}满足am+n=am+an(m,n∈N),a3=6,则a6=() A.6 B.12 C.15 D.18 【答案】B【难度】0.85 第7页共56页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】取m=1后可得{a}是以a1为首项，以a1为公差的等差数列，从而可求an=na1, 结合a3=6得a1=2后可求a6 【详解】当m=1时，得到a+1=a1+an,所以{an}是以a1为首项，以a1为公差的等差数列， 所以a,=na1,因为a3=6,所以a1=2,所以a6=6a1=6×2=12 故选：B 3.(25-26高三上·北京期中)已知等差数列{a},a5=10,ag=18,则a1等于() A.-1 B.0 C.2 D.5 【答案】C【难度】0.85 【知识点】等差中项的应用 【分析】由等差中项计算得到答案 【详解】因为数列{an}是等差数列，所以a1+ag=2a5,即a1=2a5-ag=20-18=2. 故选：C 4.(25-26高三上北京朝阳期中)在等差数列-10，-7，-4-1，…的每相邻两项之间插入一个数，使之组成 一个新的等差数列{a},则ag=() A:-月 B.月 C.1 D. 【答案】B【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】依题意可得a1=-10,a3=-7,求出公差，再由通项公式计算可得 【详解】依题意可得新的等差数列{a}中a1=-10,a3=-7, 设公差为d,则d=3-710-号所以a。=a1+(8-1)d=-10+7×至= 3-1 3-1 故选：B 5.(24-25高二下·北京房山·期末)数列{an}满足a+1=an-2,且a1=8,则a✉的值是() A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C【难度】0.94 【知识点】利用定义求等差数列通项公式 【分析】由等差数列定义得am=-2m+10,代入n=3计算即可 【详解】因为a+1=an-2,所以a+1-an=-2, 而a1=8,从而数列{an}是首项为8、公差为-2的等差数列， 所以a,=a1+(m-1)d=8-2(n-1)=-2n+10,所以a3=-2×3+10=4 故选：C 6.(24-25高二下北京海淀·期末)设{a}是所有项都不为0的无穷等差数列，则为递减数列是“a}为递 增数列的() 第8页共56页 品学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.65 【知识点】既不充分也不必要条件、等差数列的单调性、判断数列的增减性 【分析】作差法得到女一士一密一一若递减，可得为递增数列，充分性成立，可以举出 实例说明必要性不成立，从而可得答案 【详解】若(}递减，则1-二=起=-d<0 an+1 an anan+1 anan+1 因此需要满足：d>0且anan+1>0恒成立： 若a1>0,d>0,则a>0对所有n成立， 若a1<0,,d>0则存在n使得an<0,a+1>0,与ana+1>0矛盾 )递减的充要条件是a>0且d>0, 即若()递减，则{a}为递增数列，充分性成立： 若{an}为递增数列，则a+1一an>0, 二二=出，由于不知道a14,的正负，故无法判断己一二的正负， ant1 an antlan antl an 故不能得到侣日为递减数列，必要性不成立， 例如{a}为以下数列：-1,1,3,5，…， 则侣为-11号，不是递减数列， 所以“侣}为递减数列“是“a}为递增数列”的充分也不必要条件。 故选：A 7.(2026高三·北京.专题练习)在等比数列{a}中，a1+a2=2+4W2,a2+a3=16+4V2,若不等式l0g2a1- log2a2+log2a3-log2a4+…+(-1)n+1log2am>19成立，则n的最小值为() A.25 B.26 C.27 D.28 【答案】C【难度】0.65 【知识点】分组（并项）法求和、等比数列通项公式的基本量计算、对数的运算 【分析】根据条件先求出{a的通项公式，设b,=(-1)m+1log2a·将n分奇偶数，利用并项求和法求和化 简不等式即得 【详解】设{a的公比为q, idSn=log2a1-log2a2 log2a3-log2a4++(-1)"+1log2an 因a1+a2=2+4W2,a2+a3=16+4W2, 则g=地=16=22.代入a1+a2=a11+q)=2+4W2,解得a1=2 a1+a22+4v2 所以a.=2×(2N2y-1=2是. 令bn=(-1)+1log2a,则bn=2×(-1)mt1(3n-1). 当n为偶数时，bn1十bn=-2=-多 2 2 第9页共56页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 则S。=-×经>19，即n<-华无正整数解： 当n为大于2的奇数时，b1十b。=-+号-号 2 由Sn=b1+(b2+b3)+(b4+bs)+…+(bn-1+bn)=1+×>19,解得n>25. 2 又n为奇数，所以n的最小值为27. 故选：C 8.(24-25高三上：北京·月考)已知等差数列a},正项等比数列{bn},则“b1<b2”是“存在正整数No,当n>No 时，bn>an”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.65 【知识点】等比数列基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算、判断命题的充分不必要条件 【分析】由等比和等差数列的性质结合充分必要条件推导可得 【详解】正项等比数列{bn},b1<b2,则公比q>1, 充分性：若公差d<0,等差数列递减，显然存在正整数No,当n>No时，bn>am: 若公差d>0,等差数列递增，等比呈指数增长，等差呈线性增长， 则n→o时，→+oo,所以存在正整数No,当n>No时，bn>an, an 若d=0,则{a}为常数列，显然成立.所以充分性成立： 必要性：取a=-n,bn=2×(月”，显然存在正整数N,当n>No时，bn>a 但b1>b2,必要性不成立. 故选：A 9.(25-26高三上：北京·月考)设正项等比数列{am}的前n项和为Sn,且S3=6,则a2的最大值为() A.1 B.2 C.3 D.6 【答案】B【难度】0.65 【知识点】等比数列前项和的基本量计算、基本不等式求和的最小值 【分析】设正项等比数列a,的公比为9q>0),将5，=6转化成a:=再结合基本不等式即可求解 6 【详解】由题可设正项等比数列{a}的公比为q(q>0), 则z(日+1+q）-a1++ag=5g=6→a2≤司 6一 6 当且仅学号9即q=1时等号成立 所以a2的最大值为2. 故选：B 题型2等差等比数列的前n项和 1.(25-26高三上·北京·月考)设数列{an}是等差数列，a1+a3+a5=6,a7=6,则这个数列的前9项和等 第10页共56页 专题01等差等比数列、递推关系、数列求和 目录 01 析·考情精解 1 02 构·知能框架 2 03 破·题型攻坚 2 考点一 等差等比数列的基本量运算 2 真题动向 必备知识 知识1等差数列的基本公式 知识2等差数列常用性质 知识3等差数列的判断方法 知识4等比数列基本公式 知识5等比数列常用性质 命题预测 题型1等差等比数列的基本量运算 题型2等差等比数列的前n项和 题型3 等差等比数列综合应用 考点二 递推关系及数列求和 20 真题动向 必备知识 知识1利用递推关系求通项 知识2数列求和 命题预测 题型1与 的关系 题型2累加法求通项 题型3构造法求通项 题型4递推关系综合应用 题型5裂项相消法求和 题型6错位相减法求和 题型7分组并项求和 题型8其它方法求和 命题轨迹透视 从近五年北京卷高考试题来看，等差等比数列主要考基本量运算，多以4分选择题或5分填空题形式呈现，难度一般不大，但也有时出现较难题。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 等差等比数列 北京T5选择题4分 北京T15填空题5分 北京T14填空题5分 递推关系 北京T10选择题4分 数列求和 2026命题预测 预计在2026年北京卷高考中，等差等比数列仍会考查基本量运算或递推关系的应用，大概率以4分单选题或5分填空题形式出现，难度简单与较难题均有可能出现。 考点一 等差等比数列 1．(2024年北京高考数学真题T5选择题4分)已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则( ) A． B． C．16 D．18 【答案】C【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用、利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，因为成等比数列，且， 所以，即，解得或(舍去)， 所以. 故选：C. 2．(2024年北京高考数学真题T15填空题5分)设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是 . 【答案】①③④【难度】0.4 【知识点】等差数列基本量计算、单调性、等比数列基本量计算、等比数列的单调性 【分析】利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结合通项公式的特征及反证法可判断③的正误. 【详解】对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上， 而两条直线至多有一个公共点，故中至多一个元素，故①正确. 对于②，取则均为等比数列， 但当为偶数时，有，此时中有无穷多个元素，故②错误. 对于③，设，， 若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解， 若，则可得关于的方程至多有两个不同的解，矛盾； 若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数， 当有偶数解，此方程即为， 方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时， 否则，因单调性相反，方程至多一个偶数解， 当有奇数解，此方程即为， 方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即 否则，因单调性相反，方程至多一个奇数解， 因为，不可能同时成立， 故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素， 取 ，则,故③正确. 对于④，因为为递增数列，为递减数列，前者散点图呈上升趋势， 后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化. 3.(2023年北京高考数学真题T14填空题5分)我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ． 【答案】 48 384【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】方法一：根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解，进而可求得结果；方法二：根据等比中项求，在结合等差、等比数列的求和公式运算求解. 【详解】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为， 则，且，可得，则，即，可得， 空1：可得， 空2： 方法二：空1：因为为等比数列，则， 且，所以；又因为，则； 空2：设后7项公比为，则，解得， 可得， 所以. 故答案为：48；384. 4.(2022年北京高考数学真题T6选择题4分)设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的(    ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C【难度】0.65 【知识点】探求命题为真的充要条件、等差数列的单调性 【分析】设等差数列的公差为，则，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数. 若为单调递增数列，则， 若，则当时，；若，则， 由可得，取，则当时，， 所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”； 若存在正整数，当时，，取且，， 假设，令可得，且， 当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列. 所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”. 所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件. 故选：C. 5.(2021年北京高考数学真题T6选择题4分)《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则 A．64 B．96 C．128 D．160 【答案】C【难度】0.85 【知识点】求等差中项 【分析】设等差数列公差为，求得，得到，结合党旗长与宽之比都相等和，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，设公差为， 因为，，可得， 可得， 又由长与宽之比都相等，且，可得，所以. 故选：C. 6.(2021年北京高考数学真题T10选择题4分)已知等差数列是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为(   ) A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C【难度】0.85 【知识点】求等差数列前n项和、利用定义求等差数列通项公式 【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得可能的最大值，然后构造数列满足条件，即得到的最大值． 【详解】若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小， 不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为， 则，，所以. 对于，， 取数列各项为(，, 则，所以n的最大值为11． 故选：C． 知识1等差数列基本公式 1.等差中项:若三个数，a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有． 2.通项公式：an＝a1＋(n－1)d. 通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． 3.前n项和公式：Sn＝na1＋. 知识2等差数列常用性质 1.若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. 特别地，若，则． 2.衍生等差数列 (1)等间距抽取为等差数列，公差为． (2)等长度截取Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…为等差数列，公差为． (3)算术平均值，即为等差数列，公差为． (4)若，是等差数列，则也是等差数列． 3.两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是；则。 4.若项数为偶数，则；；． 5.若项数为奇数，则S2n－1＝(2n－1)an；；． 7.在等差数列{an}中，若，则满足的项数使得取得最大值； 若，则满足的项数使得取得最小值． 8.若则有最大值(所有正项或非负项之和)；可由不等式组来确定n； 若，则有最小值(所有负项或非正项之和)；可由不等式组来确定n. 若公差为常数列． 知识3等差数列的判断方法 1.定义法(或者)(是常数)是等差数列． 2.等差中项法： ()是等差数列． 3.通项公式：(为常数)是等差数列． 4.前项和公式：(为常数)是等差数列． 知识4等比数列基本公式 1.等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 2.通项公式：设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式． 3.等比数列{an}的公比为，其前项和为 (1)等比数列的前n项和公式有两种形式，在求等比数列的前n项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解． (2)已知(项数)，则利用求解；已知，则利用求解． (3)，为指数型函数，且系数与常数互为相反数． 知识5等比数列常用性质 1.对任意的正整数m，n，p，t，若m＋n＝p＋t，则am·an＝ap·at. 特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝a． 2.衍生等比数列 (1)设{an}为等比数列，则(为非零常数)，，仍为等比数列． (2)设与为等比数列，则也为等比数列． (3)为等比数列，等间距抽取为等比数列，公比为． (4)为等比数列，等长度截取:Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…为等比数列，公比为(若时，则m是奇数)． (5)为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列 3.等比数列的单调性(等比数列的单调性由首项与公比决定)． 当或时，为递增数列； 当或时，为递减数列． 题型1等差等比数列的基本量运算 1．(25-26高三上·北京·月考)在等差数列中，，则的公差为(    ) A．-3 B．-2 C．2 D．3 【答案】A【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】利用等差数列的通项公式求解即可. 【详解】因为为等差数列，，即 ， 所以 ，即，解得. 故选：A. 2．(25-26高三上·北京·月考)已知数列满足，则(    ) A．6 B．12 C．15 D．18 【答案】B【难度】0.85 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】取后可得是以为首项，以为公差的等差数列，从而可求， 结合得后可求. 【详解】当时，得到，所以是以为首项，以为公差的等差数列， 所以，因为，所以，所以. 故选：B 3．(25-26高三上·北京·期中)已知等差数列，，，则等于(   ) A． B．0 C．2 D．5 【答案】C【难度】0.85 【知识点】等差中项的应用 【分析】由等差中项计算得到答案. 【详解】因为数列是等差数列，所以，即. 故选：C. 4．(25-26高三上·北京朝阳·期中)在等差数列的每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列，则(    ) A． B． C．1 D． 【答案】B【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】依题意可得，，求出公差，再由通项公式计算可得. 【详解】依题意可得新的等差数列中，， 设公差为，则，所以. 故选：B 5．(24-25高二下·北京房山·期末)数列满足，且，则的值是(   ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C【难度】0.94 【知识点】利用定义求等差数列通项公式 【分析】由等差数列定义得，代入计算即可. 【详解】因为，所以， 而，从而数列是首项为8、公差为的等差数列， 所以，所以. 故选：C. 6．(24-25高二下·北京海淀·期末)设是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的(   ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.65 【知识点】既不充分也不必要条件、等差数列的单调性、判断数列的增减性 【分析】作差法得到，若递减，可得为递增数列，充分性成立，可以举出实例说明必要性不成立，从而可得答案. 【详解】若递减，则 因此需要满足：且恒成立； 若，，则对所有成立， 若，，则存在使得，与矛盾 递减的充要条件是且， 即若递减，则为递增数列，充分性成立； 若为递增数列，则， ，由于不知道的正负，故无法判断的正负， 故不能得到为递减数列，必要性不成立， 例如为以下数列：，则为，不是递减数列， 所以“为递减数列”是“为递增数列”的充分也不必要条件. 故选：A. 7．(2026高三·北京·专题练习)在等比数列中，，若不等式成立，则的最小值为(    ) A．25 B．26 C．27 D．28 【答案】C【难度】0.65 【知识点】分组(并项)法求和、等比数列通项公式的基本量计算、对数的运算 【分析】根据条件先求出的通项公式，设，将分奇偶数，利用并项求和法求和化简不等式即得. 【详解】设的公比为， 记， 因， 则，代入，解得 所以． 令，则． 当为偶数时，， 则，即，无正整数解； 当为大于2的奇数时，， 由，解得， 又为奇数，所以的最小值为27． 故选：C． 8．(24-25高三上·北京·月考)已知等差数列，正项等比数列，则“”是“存在正整数，当时，”的(   ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.65 【知识点】等比数列基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算、判断命题的充分不必要条件 【分析】由等比和等差数列的性质结合充分必要条件推导可得. 【详解】正项等比数列，，则公比, 充分性：若公差，等差数列递减，显然存在正整数，当时，； 若公差，等差数列递增，等比呈指数增长，等差呈线性增长， 则时，，所以存在正整数，当时，， 若，则为常数列，显然成立.所以充分性成立； 必要性：取，，显然存在正整数，当时，， 但，必要性不成立. 故选：A 9．(25-26高三上·北京·月考)设正项等比数列的前项和为，且，则的最大值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】B【难度】0.65 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、基本不等式求和的最小值 【分析】设正项等比数列的公比为，将转化成，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由题可设正项等比数列的公比为， 则， 当且仅当即时等号成立. 所以的最大值为2. 故选：B 题型2等差等比数列的前n项和 1．(25-26高三上·北京·月考)设数列是等差数列，，，则这个数列的前9项和等于(   ) A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】C【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】设公差为，根据题意列出方程组求出，再结合等差数列的前项和公式求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，，所以，，解得， 则数列的前9项和为. 故选：C 2．(25-26高三上·北京·月考)已知等差数列的前项和为，则(     ) A． B． C．8 D．9 【答案】A【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和 【分析】根据给定条件，利用等差数列通项公式求出公差，进而求出其前5项和. 【详解】设等差数列 的公差为，由，得， 解得，因此，所以. 故选：A 3．(25-26高三上·北京顺义·期中)已知等差数列的前项和为，，则(    ) A．6 B．18 C．36 D．42 【答案】C【难度】0.85 【知识点】求等差数列前n项和、利用等差数列的性质计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据给定条件，利用等差数列通项公式求出，再利用前项和公式求出. 【详解】设等差数列的公差为，由， 得，解得， 所以. 故选：C 4．(25-26高三上·浙江·开学考试)已知等差数列的前项和满足：，则数列的最小项是第(    )项. A．2026 B．2027 C．4048 D．4049 【答案】A【难度】0.4 【知识点】确定数列中的最大(小)项、求等差数列前n项和、求等差数列前n项和的最值 【分析】由题设可得，，，等差数列为递增数列，进而得到，，进而结合单调性分析求解即可. 【详解】由， 则，，， 因此等差数列为递增数列， 而， ， 则时，，，即； 当时，，要使最小，则， 此时，数列为递增数列， 则随着的增大，增大，减小，增大，但，，则增大， 因此，当时，最小. 故选：A. 5．(24-25高二下·北京延庆·期末)等差数列的前项和为，，，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94 【知识点】求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等差数列通项公式列方程，再结合等差数列求和公式进行求和计算. 【详解】由已知数列为等差数列， 则，解得，即， 故选：D. 6．(24-25高二下·北京顺义·期末)已知等差数列的公差，前项和为，且，则(   ) A．，或， B．， C．， D．， 【答案】A【难度】0.65 【知识点】根据等差数列前n项和的最值求参数 【分析】分，，三种情况结合等差数列性质求解即可. 【详解】因为等差数列的公差，且，所以等差数列单调递减， 当时，成立； 当时，，， 若此时等号成立，即，此时； 当时，， 若此时等号成立，即，此时； 综上，，或，. 故选：A 3．(25-26高三上·北京·月考)已知为等差数列，，．若数列满足，记的前n项和为，则(    )． A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】根据等差数列的性质求出的通项公式，再根据递推关系求出的通项公式，进而求出，最后计算求出． 【详解】 为等差数列，，设公差为，， ，解得， ， ， ，即是首项，公差是的等差数列， ，， ，故C正确． 故选：C． 4．(25-26高三上·江苏连云港·期中)某校报告厅第一排有22个座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则这个报告厅共有 个座位. 【答案】820【难度】0.85 【知识点】求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等差数列通项公式计算以及求和公式即可求解. 【详解】根据题意可知：报告厅的座位个数成等差数列，且， 故，故， 所以座位的个数为， 故答案为：820 5．(25-26高三上·北京通州·期中)已知数列为等差数列，，则 ；若，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】先通过等差数列的项求出公差和首项，得到通项公式；再对数列进行裂项相消求和. 【详解】设等差数列的公差为. 由，，得，即. 又，故. 由，则. 所以. 故答案为：； 6．(25-26高三上·北京·月考)已知正项数列的前项和为，且； (1)求和的值； (2)求证数列是等差数列，并求出数列的通项公式； (3)若，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2)；(3).【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】(1)依次将代入递推式即可求解； (2)由结合整箱数列递推式计算分析即可求解； (3)由(2)结合裂项公式计算即可求解. 【详解】(1)由题可得，即， 所以即， 又数列为正项数列，所以， 所以， 所以由得； (2)因为，所以由(1)当时，， 当时，， 整理化简得，又， 所以即， 所以数列是以为公差，1为首项的等差数列， 所以. (3)由(2)得， 所以. 题型3等差等比数列综合应用 1．(25-26高二上·北京西城·期中)设等差数列的前项和为，若，，则(    ) A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，因为且， 可得，解得. 故选：A. 2．(25-26高三上·北京·月考)“人有悲欢离合，月有阴晴圆缺”，这里的圆缺就是指“月相变化”，即地球上所看到的月球被日光照亮部分的不同形象、随着月球与太阳的相对位置的不同，便会呈现出各种形状．古代中国的天象监测人员发现并记录了月相变化的一个数列，记为．其中且，将满月等分成240份．(且)表示第i天月球被太阳照亮部分所占满月的份数．已知，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即．若在月相数列中，前5项构成公比为等比数列，第5项到第15项构成公差为的等差数列，且均为正整数，则第4天可见部分占满月的(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据题意得，进而根据均为正整数得，，再计算，. 【详解】由题知：，，，即，所以， 因为均为正整数， 当时，；当时，，满足；当时，， 所以，，，此时月球被太阳照亮部分占满月的. 故选：C 3．(25-26高三上·北京海淀·月考)已知等比数列，则“”是“数列为递增数列”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B【难度】0.85 【知识点】等比数列的单调性、判断数列的增减性、判断命题的必要不充分条件 【分析】根据递增数列的定义结合特例即可求解. 【详解】若有数列为递增数列，则， 当时，如：，满足， 但数列不是递增数列， 所以是数列为递增数列的必要不充分条件， 故选：B. 4．(25-26高三上·北京·期中)无穷等比数列的公比为，前项和为，则“”是“，使得对任意的正整数都成立”的(   ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、求等比数列前n项和 【分析】利用等比数列的求和公式、充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】由题意，当时，， 则， 取，则对任意的正整数都成立， 所以“”“，使得对任意的正整数都成立”， 另一方面，当时，， 此时存在，当时，恒成立， 所以“”“，使得对任意的正整数都成立”， 故“”是“，使得对任意的正整数都成立”的充分而不必要条件. 故选：A 5．(25-26高三上·北京顺义·月考)已知数列为单调递增的等差数列、前项和为，若，，成等比数列，则当取最小值时，(        ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和的最值、等比中项的应用 【分析】由已知条件利用等差数列的通项公式求出首项与公差，由此能求出前项和，再利用配方法能求出当取最小值时，的值． 【详解】设数列的公差为，则，，， 因为，，成等比数列， 所以，即，化简得， 解得或， 因为数列为递增的等差数列，所以， 故舍去，， 所以 开口向上，对称轴为直线，由于为正整数，且离更近， 所以当时，取得最小值。 故选：B 6．(25-26高三上·北京顺义·月考)对于等比数列，则“”是“数列为单调递增数列”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、等比数列的单调性 【分析】根据等比数列的通项公式，结合充分性和必要性的定义进行运算判断即可. 【详解】设该等比数列的公比为， ，或， 当时，显然满足，显然数列不是单调递增数列； 当数列为单调递增数列时，则有 ，或， 因此”是“数列为单调递增数列”的必要不充分条件， 故选：B 5．(25-26高三上·北京顺义·开学考试)已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“存在最小值”的(   )条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A【难度】0.65 【知识点】求等差数列前n项和的最值、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据题意，结合等差数列的性质，利用充分条件、必要条件的概念判断两命题间的逻辑推理关系，即可判断. 【详解】当且时，存在最小值，当且时，存在最小值， 故“”能推出“存在最小值”， 当且时，存在最小值为 ， 所以“存在最小值”不能推出“”， 所以“”是“存在最小值”的充分不必要条件. 故选：A 6．(25-26高三上·北京·开学考试)为等差数列的前项和，则“数列为递增数列”是“数列为递增数列”的(   ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D【难度】0.65 【知识点】既不充分也不必要条件、求等差数列前n项和、判断数列的增减性 【分析】构造具体的等差数列反例，分别验证充分性和必要性是否成立，从而判断两个条件之间的关系. 【详解】充分性判断：设数列首项，公差， 则通项公式为，其前项和，显然数列为递减数列， 又，显然数列为递增数列， 所以“数列为递增数列”无法推出“数列为递增数列”，故充分性不成立. 必要性判断：设数列首项，公差， 则通项公式为，是一个常数列，其前项和，显然数列为递增数列， 又，也是一个常数列，显然不是递增数列， 所以“数列为递增数列”无法推出“数列为递增数列”，故必要性不成立. 所以“数列为递增数列”是“数列为递增数列”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 7．(25-26高三上·北京·月考)已知各项都不相等的数列，圆，圆，若圆平分圆的周长，则的所有项的和为(    ) A．2024 B．2025 C．4048 D．4050 【答案】D【难度】0.65 【知识点】倒序相加法求和、由标准方程确定圆心和半径、相交圆的公共弦方程 【分析】先求出两圆的公共弦方程，由题意，公共弦过圆C的圆心，代入圆心，可得，写出所求的表达式，利用倒序相加求和法，即可得答案. 【详解】由题意，联立，两式相减可得公共弦所在直线方程为： ，即， 因为圆平分圆的周长， 所以公共弦过圆C的圆心， 圆C的标准方程为，则圆心为， 所以，即， 又的所有项的和为， 则， 两式相加得， 因为， 所以，则. 故选：D 8．(2025·北京朝阳·二模)设无穷数列的前n项和为，定义，则(    ) A．当时， B．当时， C．当时，则 D．当时， 【答案】D【难度】0.4 【知识点】求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、裂项相消法求和 【分析】根据选项不同的通项公式，求出与，逐一验证即可. 【详解】对于A选项：当时， ，不正确； 对于B选项：当时，在为奇数时为1，偶数时为0，故 ，不正确； 对于C选项：当时， ，又，所以 ，不正确； 对于D选项：当时，， ，正确， 故选：D. 9．(25-26高三上·北京顺义·月考)数列满足. (1)求； (2)当时，判断数列是否为等差数列，并说明理由： (3)求证：“”是“数列单调递增”的充分不必要条件. 【答案】(1)；(2)不能，理由见解析；(3)证明过程见解析【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断或写出数列中的项、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】(1)利用代入法进行求解即可； (2)根据等差数列的通项公式进行求解即可； (3)根据配方法，结合充分不必要性的定义进行运算证明即可. 【详解】(1)因为数列满足， 所以； (2)假设数列能为等差数列，设它的公差为， ， 因此当时，恒成立， 所以等式在时恒成立， 所以有. 因为，所以数列不能是等差数列. (3)当时，因为， 所以，因此数列单调递增， 当时，，显然数列单调递增， 但是不成立， 故“”是“数列单调递增”的充分不必要条件. 考点二 递推关系及数列求和 1．(2023年高考北京卷数学真题T10选择题4分)数列满足，则(    ) A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 【答案】B【难度】0.4 【知识点】导数与不等式、由递推数列研究数列的有关性质、数学归纳法证明数列问题 【分析】法1：利用数列归纳法可判断ACD正误，利用递推可判断数列的性质，故可判断B的正误. 法2：构造，利用导数求得的正负情况，再利用数学归纳法判断得各选项所在区间，从而判断的单调性； 对于A，构造，判断得，进而取推得不恒成立； 对于B，证明所在区间同时证得后续结论； 对于C，记，取推得不恒成立； 对于D，构造，判断得，进而取推得不恒成立. 【详解】法1：因为，故， 对于A ，若，可用数学归纳法证明：即， 证明：当时，，此时不等关系成立； 设当时，成立， 则，故成立， 由数学归纳法可得成立. 而， ，，故，故， 故为减数列，注意 故，结合， 所以，故，故， 若存在常数，使得恒成立，则， 故，故，故恒成立仅对部分成立，故A不成立. 对于B，若可用数学归纳法证明：即， 证明：当时，，此时不等关系成立； 设当时，成立， 则，故成立即 由数学归纳法可得成立. 而， ，，故，故，故为增数列， 若，则恒成立，故B正确. 对于C，当时， 可用数学归纳法证明：即， 证明：当时，，此时不等关系成立； 设当时，成立， 则，故成立即 由数学归纳法可得成立. 而，故，故为减数列， 又，结合可得：， 所以， 若，若存在常数，使得恒成立， 则恒成立，故，的个数有限，矛盾，故C错误. 对于D，当时， 可用数学归纳法证明：即， 证明：当时，，此时不等关系成立； 设当时，成立， 则，故成立 由数学归纳法可得成立. 而，故，故为增数列， 又， 结合可得：，所以， 若存在常数，使得恒成立，则， 故，故，这与n的个数有限矛盾，故D错误.故选：B. 法2：因为， 令，则， 令，得或；令，得； 所以在和上单调递增，在上单调递减， 令，则，即，解得或或， 注意到，， 所以结合的单调性可知在和上，在和上， 对于A，因为，则， 当时，，，则， 假设当时，， 当时，，则， 综上：，即， 因为在上，所以，则为递减数列， 因为， 令，则， 因为开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，故， 所以在上单调递增，故， 故，即， 假设存在常数，使得恒成立， 取，其中，且， 因为，所以， 上式相加得，， 则，与恒成立矛盾，故A错误； 对于B，当时，，， 假设当时，， 当时，因为，所以，则，所以， 又当时，，即， 假设当时，， 当时，因为，所以，则， 所以， 综上：， 因为在上，所以，所以为递增数列， 此时，取，满足题意，故B正确； 对于C，因为，则， 注意到当时， ，， 猜想当时，， 当与时，与满足， 假设当时，， 当时，所以， 综上：， 易知，则，故， 所以， 因为在上，所以，则为递减数列， 假设存在常数，使得恒成立， 记，取，其中， 则， 故，所以，即， 所以，故不恒成立，故C错误； 对于D，因为，当时，，则， 假设当时，， 当时，，则，综上：， 因为在上，所以，所以为递增数列， 因为， 令，则， 因为开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增，故， 所以， 故，即， 假设存在常数，使得恒成立， 取，其中，且， 因为，所以， 上式相加得，， 则，与恒成立矛盾，故D错误. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是根据首项给出与通项性质相关的相应的命题，再根据所得命题结合放缩法得到通项所满足的不等式关系，从而可判断数列的上界或下界是否成立. 2.(2022年北京高考数学真题T15填空题5分)已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论： ①的第2项小于3；②为等比数列；③为递减数列；④中存在小于的项． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④【难度】0.4 【知识点】数列的增减性、数列递推公式、等比数列的定义、利用an与sn关系求通项或项 【分析】推导出，求出、的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③. 【详解】由题意可知，，， 当时，，可得； 当时，由可得，两式作差可得， 所以，，则，整理可得， 因为，解得，①对； 假设数列为等比数列，设其公比为，则，即， 所以，，可得，解得，不合乎题意， 故数列不是等比数列，②错； 当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对； 假设对任意的，，则， 所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对. 故答案为：①③④. 知识1利用递推关系求通项 (一).已知求(项与和的互化)：an＝ 注意：绝大部分题目是把用an替换，得到形如：的式子；有时需逆向思维，把题目中的an用替换,得到形如：的式子。 (二).累加法：已知a1且an－an－1＝f(n)(n≥2)， 则an－an－1＝f(n)，an－1－an－2＝f(n－1)，…，a3－a2＝f(3)，a2－a1＝f(2)．所有等式左右两边分别相加， 即 (n≥2)．代入a1得an． (1)若是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； (2)若是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； (3)若是关于n的二次函数，累加后可分组求和； (4)若是关于n的分式函数，累加后可裂项求和． (三).累乘法：已知a1且(n≥2)， 则，，…，，，所有等式左右两边分别相乘， 即(n≥2)．代入a1得an． (四).构造法 1.形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1，B≠0)的递推式： (1)若A=1时，数列{}为等差数列； (2)若B=0时，数列{}为等比数列； (3)若A≠1且B≠0时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：化为an＋1＋＝A的形式，利用是以A为公比的等比数列求解 法二：由an＋1＝Aan＋B得两式相减并整理得即构成以为首项，以A为公比的等比数列．求出的通项再转化为累加法便可求出 2.形如型的递推式： (1)当为一次函数类型(即等差数列)时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得： ，令得：进而可求出 (2)当为指数函数类型(即等比数列)时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项， 以为公比的等比数列，再求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：——①，， 后一式子两边同时乘以得——②，由①②两式相减得， 即，进而可求出 (3)当为任意数列时，可用通法：在两边同时除以 可得到，令，则，在求出之后得． 3.形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式。 4.形如(其中p，q均为常数)或(其中p，q， r均为常数)时，两边同时除以，得：，引入辅助数列，得：进而可求． 5.形如：两边取对数得，令得：，即化归为型，求出之后得(注意：底数不一定要取10，可根据题意选择)． 6.形如：用待定系数法，化为特殊数列的形式求解． 方法为：设，比较系数得，可解得， 于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 7.形如，两边同除以，变形为的形式，从而构造等差数列， 先求出的通项，便可求得的通项公式 (五).倒数法：用“倒数变换法”构造等差数列 1.形如(为常数，)的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 2.形如(p,q为常数，，两边取“倒”，变形为：，可换元：，化简为：(此类型即前面类型，可用“待定系数法”构造出新的等比数列) 知识2数列求和 1.公式法求和 (1)等差数列的前n项和公式：Sn＝. (2)等比数列的前n项和公式：Sn＝ (3)特殊求和公式：1＋2＋3＋4＋…＋n＝； ；； 12＋22＋…＋n2＝；。 2.分组转化法 通项为cn＝an＋bn的数列求和，其中{an}与{bn}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列. 3.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. 题型1 与 的关系 1．(2025·北京丰台·二模)已知数列的前项和为，且满足，则(   ) A． B．0 C．1 D．2 【答案】B【难度】0.65 【知识点】利用与关系求通项或项、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据题设与的递推关系式推导出，再根据求出，逐项求出即可. 【详解】由题意，，则当时，有， 两式相减可得，即. 当时，，因为，所以， 所以. 故选：B. 2．(24-25高二下·北京海淀·期末)已知无穷数列的前项和满足，其中为常数，且．给出下列四个结论： ①实数；②数列为等差数列；③当时，对任意，存在，当时，； ④当恒成立时，一定为递减数列． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④【难度】0.65 【知识点】利用与关系求通项或项、利用定义求等差数列通项公式、判断数列的增减性 【分析】①利用首项条件，推导出与首项的关系，判断的符号； ②通过递推关系或数学归纳法，验证其是否为等差数列； ③结合等差数列的通项，分析当趋近于无穷时的增长趋势； ④根据等差数列的通项，判断的关系，判断数列是否递减. 【详解】对于①，当时，，移项可得，即， ，，即，，故①正确. 对于②，当时，，已知，则， 等式两边同乘得，化简得， 又，数列是以为首项，为公差的等差数列.故②正确. 对于③，当时，则，由②可知数列是以为首项，为公差的等差数列， 根据等差数列通项公式可得，或， 取，则当n为大于等于3的奇数时，， 当n为奇数且时，，对任意，不存在，当时，，故③错误. 对于④，由②可知数列是以为首项，为公差的等差数列，，即， ，.当时， ， 则， ， ，故一定为递减数列．故④正确. 故答案为：①②④ 3．(25-26高三上·北京·月考)对于数列，令，给出下列四个结论： ①若，则；②若，则； ③若对任意的，都有，则有； ④存在各项均为整数的数列，使得对任意的都成立． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③【难度】0.4 【知识点】利用与关系求通项或项 【分析】利用并项求和法求和判断①；利用前n项和与第n项的关系求解判断②；利用给定的递推关系得出，并表示出即可推理判断③；假定存在导出矛盾判断④. 【详解】对于①，， ，①正确； 对于②，，令，则，当时，， 则，，因此，②错误； 对于③，由，得， 当时，， 则当时，， 因此 ，. 当时，，所以对任意的，都有成立，正确， 对于④，假设存在各项均为整数的数列，使得对任意的都成立， 则必有，且都是非负整数，令正整数， 于是， 则，，与矛盾，错误； 故答案为：①③ 4．(25-26高三上·北京朝阳·期中)已知数列的前项和为，且.给出下列四个结论： ①；②是递增数列；③，使得当时，； ④，使得当时，总有. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③④【难度】0.15 【知识点】判断数列的增减性、由递推关系式求通项公式、由递推数列研究数列的有关性质、利用与关系求通项或项或项 【分析】令，可判断①的真假；由递推关系，可列出数列的前几项，可判断②的真假；利用裴波那契数列的有关公式，可判断③④的真假. 【详解】因为，令，则，又，所以，故①正确； 因为，，两式相减可得. 所以数列的前几项为：，，，，，，… 因为，所以数列不是递增数列，故②错误； 因为数列从第3项起，为裴波那契数列的倍数，且裴波那契数列为递增数列，增长速度越来越快，所以，使得当时，，故③正确. 对裴波那契数列：，满足. 设，则. 所以，所以为方程的两个根. 当时，， ， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以①. 当时，，， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以② ①②得：， 所以， 所以 ，所以，使得当时，总有.故④正确. 故答案为：①③④ 5．(25-26高三上·江苏·月考)已知数列的前项和为，且满足，，则数列的通项公式为 ． 【答案】【难度】0.65 【知识点】利用与关系求通项或项 【分析】先求得，当时，根据，可得，最后由等比数列的定义求解即可. 【详解】当时，则有，解得， 当时，则有， 所以，即，所以， 所以数列是等比数列，其首项为，公比，所以. 当时也符合，所以. 故答案为： 6．(25-26高三上·北京·开学考试)设无穷数列的前项和为，且，．给出下列四个结论： ①若，；②若，则；③当时，是等比数列； ④对任意，总存在直线，使得点到的距离随着的变大而变小． 其中正确结论的序号是 ． 【答案】②③④【难度】0.4 【知识点】利用与关系求通项或项、由递推关系证明等比数列、判断数列的增减性 【分析】对于①，代入通过赋值可求；对于②，由，可求，再代入可得，继而得到；对于③，，根据与的关系可得，由此可确定是等比数列；对于④，根据与的关系可得，整理得，继而得到，设直线，利用点到直线距离公式得，由此可知时，即可判断. 【详解】对于①，，则， 时，， 时，，故①错误； 对于②，，则数列是首项为，公差为2的等差数列， 所以， 则，所以，故②正确； 对于③，时，， 时，， 时，，则， 所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，故③正确； 对于④，时，， 时，， 则， 整理得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即， 设直线，则点到的距离， 当时，， 又，所以，而随着的变大而变小， 所以点到的距离随着的变大而变小，故④正确. 故答案为：②③④. 题型2 累加法求通项 1．(25-26高三上·北京密云·月考)已知数列满足，且．给出下列四个结论：①；②；③，当时，； ④，，当时，． 其中所有正确结论的个数为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B【难度】0.15 【知识点】数列不等式能成立(有解)问题、数列不等式恒成立问题、由递推数列研究数列的有关性质、判断数列的增减性 【分析】对于①，，①错误；对于②，作差法判断数列单调性可得，又，故，②正确；对于③，由②知， ，③错误；对于④，先得到，又，则，，…，，相加可得，故，所以当，时，．④正确. 【详解】对于①，由于， 因为，所以，①错误 对于②，，由①知，所以， 又，故，②正确； 对于③，由②知，，故，当时，，③错误； 对于④，因为，所以， 因为，，所以， 依次可得，……，，则，所以， 又，故，即，则，…，， 相加可得， 因为，所以，故， 因为，当时，， 所以，，当，时，．④正确. 正确结论的个数为2. 故选：B 2．(23-24高二下·北京大兴·期中)已知数列满足，且，则的最小值是(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、累加法求数列通项 【分析】根据已知条件得出最小项为，再利用累加法，即可得出答案. 【详解】因为，所以当时，，当时，， 所以，显然的最小值是， 又，， 则， 所以的最小值是； 故选：A 3．(2023·北京西城·三模)已知是数列的前项和，且对任意的正整数，都满足：，若，则 ， ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推关系式求通项公式、裂项相消法求和 【分析】直接利用条件可递推出第三项，利用累加法可得数列通项再用裂项相消法求和即可. 【详解】由和可得： 即 ； 由可得：， 累加得， 所以. 故答案为：， 题型3 构造法求通项 1．(2025·北京房山·一模)已知数列的各项均为正数，且满足(是常数，)，则下列四个结论中正确的是(    ) A．若，则数列是等比数列 B．若，则数列是递增数列 C．若数列是常数列，则 D．若数列是周期数列，则最小正周期可能为2 【答案】C【难度】0.65 【知识点】数列周期性、由定义判定等比数列、由递推数列研究数列的有关性质、判断数列的增减性 【分析】当时，得到，当时，得到，数列不能构成等比数列，可判定A错误；当时，求得，可判定B错误；若数列为常数列，得到，结合二次函数的性质，求得，可判定C正确；假设列是周期数列，且最小正周期为，得到且，结合，得到，化简求得，这与矛盾，可判定D错误. 【详解】对于A中，若，可得，即， 当且时，两边取对数，可得，即， 此时数列表示首项为，公比为的等比数列； 当时，可得，此时，数列不能构成等比数列，故A错误； 对于B中，当时，可得，即， 例如：当时，由，可得， 又由，可得，此时， 所以，当，数列是不一定是递增数列，所以B错误； 对于C中，若数列为常数列，则，因为，即， 又因为，所以，所以的取值范围为，所以C正确； 对于D中，假设数列是周期数列，且最小正周期为，即且， 因为，可得，所以， 则，即， 又因为数列的各项均为正数，即， 所以，即，这与矛盾， 所以数列的最小正周期不可能是，所以D错误. 故选：C. 2．(2025·北京丰台·二模)已知数列满足，给出下列四个结论： ①存在唯一的正实数，使得是常数列；②当时，是等比数列； ③若是递增数列，则；④若对任意的正整数，都有，则． 其中所有正确结论的序号为 ． 【答案】①②④【难度】0.65 【知识点】等比数列的单调性、由定义判定等比数列、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】由是常数列，得，，可解出，判断①正确；当时，由可得，可得是等比数列，判断②正确；由是递增数列，可得，可解得，判断③错误；由已知可得的通项，由，可得，通过讨论，可得，判断④正确． 【详解】若是常数列，则， 又，则，代入， 得，解得，故①正确； 当时，，则， 则， 又，所以， 所以是以1为首项，为公比的等比数列，故②正确； 若是递增数列，则，即， 又，则，由，得，解得，故③错误； 由，得，则， 则， 当，即时,则， 又，所以，则，所以， 即对任意的正整数，都有， 当，即时,则， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 若对任意的正整数，都有，则，所以， 整理得， 当，即且时，，该式恒成立， 当，即时，该式不恒成立， 综上，对任意的正整数，都有，则，故④正确． 故答案为：①②④. 3．(25-26高三上·北京·开学考试)已知数列满足，，则 ①当时，存在，使得； ②当时，为递增数列，且恒成立； ③存在，使得中既有最大值，又有最小值； ④对任意的，存在，当时，恒成立． 其中，所有正确结论的序号为 ． 【答案】②③④【难度】0.65 【知识点】判断数列的增减性、确定数列中的最大(小)项、由递推关系式求通项公式、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】根据数列递推式，求得判断①②；举出特例说明判断③；按和分类讨论判断④. 【详解】由，得，则，， 对于①，当时，数列是以为首项，公比为的等比数列， 则，即，数列单调递增，， 因此不存在，使得，①错误； 对于②，当时，由①知，，则数列单调递增，， 又，因此，②正确； 对于③，取，则，而，因此， 数列有最大值2，最小值为，③正确； 对于④，若，则当时，，不等式恒成立； 若，则，随着正整数无限增大，无限趋近于0， 无限趋近于，而，，则无限趋近于， 因此必存在，当时，恒成立， 则对任意的，存在，当时，恒成立，④正确. 故答案为：②③④ 4．(2025·北京东城·一模)已知数列满足，且.给出下列四个结论： ①若，当时，； ②若，当时，； ③若，对任意正数，存在正整数，当时，； ④若，对任意负数，存在正整数，当时，. 其中正确结论的序号是 . 【答案】①③④【难度】0.15 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、由递推关系式求通项公式、判断数列的增减性 【分析】先根据构造新数列是首相为，公比为的等比数列，得出，再构造新数列是首相为，公比为的等比数列，从而求出数列的通项公式；对于①，利用作差法即可判断；对于②，取即可判断错误；对于③，求解不等式，利用放缩法找到正整数即可；对于④，求解不等式，利用放缩法找到正整数即可. 【详解】因为且，所以， 所以是首相为，公比为的等比数列，所以， 即，所以，又， 所以是首相为，公比为的等比数列，所以， 即， 对于①，若，当时， ， 当且为奇数时，； 当且为偶数数时，； 综上，即，故①正确； 对于②，若，取，则，故②错误； 对于③，若，则， 对任意正数，由得， 所以，又， 当时上式一定成立，即， 故存在正整数，当时，，故③正确； 对于④，若，则， 对任意负数，由得， 所以，又， 当时成立，即， 故存在正整数，当时，，故④正确； 故答案为：①③④ 题型4 递推关系综合应用 1．(25-26高三上·北京海淀·期中)已知数列满足，，为的前项和，则下列结论错误的是(    ) A．存在，使得成立 B．存在，使得且对任意成立 C．对任意，存在，使得成立 D．对任意奇数，存在和，使得成立 【答案】D【难度】0.4 【知识点】递推关系、判断等差数列、写出等比数列的通项公式、数列不等式能成立(有解)问题 【分析】根据题设有且，对于从第二项开始符号不定，再结合各项的描述，应用特例法，对不同项赋予不同符号的组合判断各项的正误即可. 【详解】由题设是首项为1，公比为2的等比数列，则，且， 对于A：若，，，此时，对； 对于B：存在数列，使得对任意，都有且成立， 此条件等价于且对任意成立， 构造数列，该数列满足，， 此时，，满足条件，故B正确； 对于C：当时，成立； 当时，通过选择前项符号为正且第项符号为负，则，故C正确； 对于D：当时，， 当时，(其中)。 由于，令括号内为， 因为为奇数，后续项为偶数，所以必为奇数， 则为一个2倍的奇数，即该数能被2整除但不能被4整除。 所以，其形式为型奇数， 因此，()不可能等于型的奇数，例如，又， 故不存在使得，所以D错误。 故选：D 2．(25-26高三上·北京·月考)已知等差数列与等比数列都是无穷递增数列，给出下列四个结论: ①不存在数列与，使得是递减数列； ②存在数列与，使得是递增数列； ③不存在数列与，使得同时有无穷个正项和无穷个负项； ④存在数列与，使得恰好出现三个为1的项. 其中正确结论的序号是 . 【答案】①②③【难度】0.4 【知识点】判断数列的增减性、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】由即可判断①；由可以成立即可判断②；由增数列性质结合一次函数和指数函数图像性质即可依次分析判断③④. 【详解】因为等差数列与等比数列都是无穷递增数列， 则， 则， 所以数列是递增数列，不存在数列与，使得是递减数列，①正确； 设等差数列公差为d，等比数列公比为q， 则， 显然可以成立， 如当时，即， 所以存在数列与，使得是递增数列，②正确； 由①数列是递增数列，所以最小项为， 由等差数列性质， 若恒成立，则由等比数列是无穷递增数列得， 则一定存在，使得，则当时，， 则有无穷个正项和有限个负项， 所以不存在数列与，使得同时有无穷个正项和无穷个负项，③正确； 因为为一次型函数增长模型，为指数型增长模型， 由一次函数与指数函数图像特征可知，一次函数与指数函数至多只有两个交点， 所以不存在数列与，使得恰好出现三个为1的项，④错误. 故答案为：①②③ 3．(2021·北京门头沟·一模)已知各项均为正数的数列，其前n项和为，数列为等差数列，满足，.再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求解下列问题： (I)求数列的通项公式和它的前n项和； (II)若对任意不等式恒成立，求k的取值范围. 条件① 条件②，当，， 注：如果选择条件①、条件②分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)选①，；；选②，， ； (II)选①，；选②，【难度】0.85 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题 【分析】(I)选①，根据与的关系求出通项公式，再利用等差数列的前项和公式即可求解； 选②，利用等差数列的通项公式以及前项和公式即可求解. (II)选①，分离参数可得，求出最大值即可；选②，分离参数可得，利用基本不等式求出的最小值即可. 【详解】(I)选①，由，则，，两式相减可得 ；， 又，所以，即，所以数列为等差数列， 当时，，所以，所以； 选②，，当，，，， 所以当时，数列为等差数列，所以时，， 所以， (II)数列为等差数列，，，则公差，所以. 若对任意不等式恒成立， 若，则恒成立，，所以， 若，则恒成立，， 因为，所以， 当且仅当时取等号，所以. 4．(2025高三·北京·专题练习)已知数列中，，，且． (1)求数列的通项公式；(2)记为数列的前n项积，求证：． 【答案】(1)；(2)证明见解析【难度】0.4 【知识点】求等比数列前n项和、由递推关系式求通项公式、利用导数证明不等式 【分析】(1)法一：根据题意得，即是以为首项，以为公比的等比数列，利用累加法求通项公式； 法二：根据题意得，利用构造法得 ，即可求通项公式； (2)令，利用导数可得当，则，进而可以得证. 【详解】(1)法一：因为，即， ， 所以是以为首项，以为公比的等比数列， ， ； 法二： ，则，， 又，是以为首项，以为公比的等比数列，则 (2)由题意，令，则， 当时，，所以在上单调递增， 则对恒成立，所以当， ， 又故. 5．(22-23高三下·北京海淀·开学考试)若无穷数列的各项均为整数．且对于，，都存在，使得，则称数列满足性质P． (1)判断下列数列是否满足性质P，并说明理由． ①，，2，3，…； ②，，2，3，…． (2)若数列满足性质P，且，求证：集合为无限集； (3)若周期数列满足性质P，求数列的通项公式． 【答案】(1)数列不满足性质P；数列满足性质P，理由见解析；(2)证明见解析；(3)或． 【难度】0.15 【知识点】由递推关系式求通项公式、数列周期性的应用、数列新定义 【分析】(1)根据题意分析判断； (2)根据题意先证为数列中的项，再利用反证法证明集合为无限集； (3)先根据题意证明，再分为常数列和非常数列两种情况，分析判断. 【详解】(1)对①，取，对，则， 可得， 显然不存在，使得， 所以数列不满足性质P； 对②，对于，则，， 故 ，因为， 则，且， 所以存在，， 使得， 故数列满足性质P； (2)若数列满足性质，且，则有： 取，均存在，使得， 取，均存在，使得， 取，均存在，使得， 故数列中存在，使得，即， 反证：假设为有限集，其元素由小到大依次为， 取，均存在，使得， 取，均存在，使得， 取，均存在，使得， 即这与假设相矛盾，故集合为无限集. (3)设周期数列的周期为，则对，均有， 设周期数列的最大项为，最小项为， 即对，均有， 若数列满足性质： 反证：假设时，取，则，使得， 则，即， 这对，均有矛盾，假设不成立；则对，均有； 反证：假设时，取，则，使得， 这与对，均有矛盾，假设不成立，即对，均有； 综上所述：对，均有， 反证：假设1为数列中的项，由(2)可得：为数列中的项， ∵，即为数列中的项， 这与对，均有相矛盾，即对，均有，同理可证：， ∵，则， 当时，即数列为常数列时，设，故对，都存在， 使得，解得或，即或符合题意； 当时，即数列至少有两个不同项，则有： ①当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立； ②当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立； ③当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立； 综上所述：或. 【点睛】关键点点睛：(1)对于证明中出现直接证明不方便时，我们可以利用反证法证明； (2)对于周期数列满足性质，证明思路：先逐步缩小精确的取值可能，再检验判断. 6．(23-24高三上·北京怀柔·月考)已知数列满足，且 (1)求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为 ①若，，成等比数列，求正整数的值；②数列的前项和为，证明． 【答案】(1)；(2)，证明见解析.【难度】0.85 【知识点】由递推关系式求通项公式、求等差数列前n项和、等比中项的应用、裂项相消法求和 【分析】(1)根据递推公式结合累乘法计算即可； (2)①利用等比数列的性质计算即可；②裂项相消法求和再证不等式即可. 【详解】(1)因为， 所以时有，作差得， 累乘可得， 又，所以， 显然也符合，故； (2)①由(1)可知为等差数列，首项与公差都是1，所以， 当，，成等比数列时，有或(舍去)； ②易知， 所以， 因为，所以，所以. 7．(2023·北京通州·三模)已知：正整数列各项均不相同，，数列的通项公式 (1)若，写出一个满足题意的正整数列的前5项： (2)若，求数列的通项公式； (3)证明若，都有，是否存在不同的正整数，j，使得，为大于1的整数，其中. 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析【难度】0.4 【知识点】根据规律填写数列中的某项、由递推关系式求通项公式、由Sn求通项公式、数列不等式能成立(有解)问题 【分析】(1)可取，根据定义可证明. (2)由题设条件可得，利用前项和与通项的关系可证为常数列，从而可求通项. (3)假设存在不同的正整数，j满足题设要求，利用不等式放缩后可得，从而，故可得，结合的性质可得矛盾. 【详解】(1)取，则，符合题设要求. (2)设，由已知得即， 当时，； 当时有，整理得，所以数列为常数列， 又，，所以有，所以，所以. (3)，设存在不同的正整数，j，使得，为大于1的整数. 设，因为为正整数数列且各不相同， 所以，故， 而，所以. 因为，所以. 又因为为大于1的整数，所以的可能取值为2，同理的可能取值为2. 所以，， 又因为， 故， 因为，故，而，故不成立， 故不存在不同的正整数i，j，使得，为大于1的整数. 【点睛】关键点睛：本题第三问的关键是通过等比数列的前项和公式得到，再计算得，结合，故，而，则证明出不存在不同的正整数i，j，使得，为大于1的整数. 8．(2023·北京·模拟预测)已知数列的前n项和为，在数列中，，，． (1)求数列，的通项公式；(2)设，为数列的前n项和，求的最值． 【答案】(1)，；(2)最小值为，最大值为1【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】(1)利用累加法和等差数列的通项公式可求，由及可求； (2)利用错位相减法求出，分情况讨论可得答案. 【详解】(1)由已知得，当时 . ∴ 当时，，也满足上式．所以 当时，，∴ 当时，，符合上式 当时，，所以，也符合上式，综上， ∴，. (2)由(1)可得： ∴； 两式相减： ∴ 当n为奇数时，不妨设，则 ∴单调递减， 当n为偶数时，不妨设，则 ∴单调递增， ∴的最小值为，最大值为1. 9．(22-23高三上·北京·月考)已知数列满足，. (1)若，，①求，，；②求数列的通项公式； (2)若，，求数列的通项公式. 【答案】(1)①；②；(2)【难度】0.65 【知识点】累加法求数列通项、根据数列递推公式写出数列的项、由递推关系式求通项公式、由递推关系证明等比数列 【分析】(1)由已知条件取n的值代入计算可得，然后利用递推关系，验证，即为数列的通项公式； (2)由(1)可证数列是为首项，为公比的等比数列，进而求得，利用累加法可求数列的通项公式. 【详解】(1)①已知， 若，，则，， 而， ，，，即； ②由，得， 即，所以， 因为，所以，即； (2)由(1)知， 若，，则，∴， 因此数列是为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 当时， ， 又当时，也满足上式， 所以. 题型5裂项相消法求和 1．(2025·北京朝阳·二模)设无穷数列的前n项和为，定义，则(    ) A．当时， B．当时， C．当时，则 D．当时， 【答案】D【难度】0.4 【知识点】求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、裂项相消法求和 【分析】根据选项不同的通项公式，求出与，逐一验证即可. 【详解】A选项：当时，，不正确； B选项：时，在为奇数时为1，偶数时为0，故，不正确； C选项：当时，，又， 所以 ，不正确； 对于D选项：当时，， ，正确， 故选：D. 2．(2025高三·北京·专题练习)高斯被誉为“数学王子”，是世界上伟大数学家.用他名字定义的函数(表示不超过的最大整数)称为高斯函数.已知正项数列的前项和为，且，令，则下列结论错误的有( ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、由Sn求通项公式 【分析】由的关系求解，可判断A，B，对于C，求得，再求和即可判断，对于D，由放缩求和即可判断； 【详解】对于A，B，， 所以当时，， 又，则， 所以，故A错，B对； 对于C，， ， ，故C对； 对于D，， ， 当时，， ， ，故D对； 故选：A. 3．(2025高三·北京·专题练习)对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，都有，则称数列是有界的，若这样的正数不存在，则称数列是无界的.记数列的前项和为，则下列说法不正确的是( ) A．若，则数列是无界的 B．若，则数列是有界的 C．若，则数列是有界的 D．若，则数列是有界的 【答案】A【难度】0.65 【知识点】数列新定义、求等比数列前n项和、裂项相消法求和 【分析】利用数列有界的定义，结合公式法求和及裂项相消法求和逐项分析计算判断. 【详解】对于A，由，得，即存在正数， 使得恒成立，因此数列是有界的，A错误； 对于B，由，得， 则， ， 即存在正数，使得恒成立，因此数列是有界的，B正确； 对于C：由，则当时，；当时，；则， 即存在正数，使得恒成立，因此数列是有界的，C正确； 对于D，， 则， 又，则，即存在正数，使得恒成立，因此数列是有界的，D正确. 故选：A 4．(25-26高三上·北京通州·期中)已知数列为等差数列，，则 ；若，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】先通过等差数列的项求出公差和首项，得到通项公式；再对数列进行裂项相消求和. 【详解】设等差数列的公差为. 由，，得，即. 又，故. 由，则. 所以. 故答案为：； 5．(24-25高三上·北京·月考)数列的前项和记为，若，，则数列的通项公式为 ，若，则数列的前项和为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】(1)根据，分步计算，即可得到答案； (2)利用裂项相消法可求数列的前n项和. 【详解】(1)由得， 当时，，所以，则， 当时，①，②， 由①-②得，得， 当时，适合上式，故. (2)， 所以， 所以数列的前项和为. 故答案为：；. 题型6错位相减法求和 1．(22-23高三上·北京·开学考试)已知数列满足，数列的前项和为，则下列结论错误的是(    ) A．的值为2 B．数列的通项公式为 C．数列为递减数列 D． 【答案】B【难度】0.4 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、判断数列的增减性、求等比数列前n项和 【分析】利用与的关系可求数列的通项公式，利用可判断单调性，利用错位相减法求. 【详解】当时，，∴，故A正确； 当时，， ∴， ∴，∵上式对也成立，∴()，故B错误； ∵， ∴数列为递减数列，故C正确； ∵，∴， 两式相减得，， ∴，故D正确． 故选：B． 2．(24-25高二下·北京·期中)已知函数的极值点构成数列(). (1)求；(2)求证：数列是等差数列；(3)求数列的前项和. 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3).【难度】0.65 【知识点】错位相减法求和、求已知函数的极值点、判断等差数列、求等比数列前n项和 【分析】(1)求出导数并求出极值点即得数列通项，进而求出. (2)利用等差数列定义判断即可. (3)由(2)的结论，利用错位相减法求出前项和. 【详解】(1)函数的定义域为R，求导得， 当时，；当时，， 因此是函数的极小值点，且是唯一极值点，则，所以. (2)由(1)知，数列的通项公式为，则， 而，所以数列是等差数列. (3)由(2)知，，则，， 则， 两式相减， 得， 所以. 3．(2025·全国一卷·高考真题)已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列；(2)给定正整数m，设函数，求． 【答案】(1)证明见解析；(2)【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、错位相减法求和、导数的运算法则、求等比数列前n项和 【分析】(1)根据题目所给条件化简，即可证明结论； (2)先求出的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以，作差并利用等比数列前项和得出导函数表达式，即可得出结论. 【详解】(1)由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ∴是以为首项，1为公差的等差数列. (2)由题意及(1)得，，在数列中，首项为3，公差为1，∴，即， 在中，， ∴， 当且时，∴， ∴; ∴ . 4．(2023·北京·模拟预测)已知数列的前n项和为，在数列中，，，． (1)求数列，的通项公式；(2)设，为数列的前n项和，求的最值． 【答案】(1)，;(2)最小值为，最大值为1【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】(1)利用累加法和等差数列的通项公式可求，由及可求； (2)利用错位相减法求出，分情况讨论可得答案. 【详解】(1)由已知得，当时 . ∴ 当时，，也满足上式．所以 当时，，∴ 当时，，符合上式 当时，，所以，也符合上式，综上， ∴，. (2)由(1)可得： ∴； 两式相减： ∴ 当n为奇数时，不妨设，则 ∴单调递减， 当n为偶数时，不妨设，则 ∴单调递增， ∴的最小值为，最大值为1. 题型7分组并项求和 1．(24-25高三上·北京·月考)在一个数列中，如果，都有(为常数)，那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为8，则(    ) A．4719 B．4721 C．4723 D．4724 【答案】B【难度】0.65 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、数列新定义、根据数列递推公式写出数列的项、分组(并项)法求和 【分析】先根据题干已知条件及递推公式逐项代入进行计算即可发现数列是以3为最小正周期的周期数列，然后根据周期数列的性质即可计算出数列的前2024项的和． 【详解】依题意，由，及， 可得当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 数列是以3为最小正周期的周期数列，，， ， ． 故选：B 2．(2024·北京顺义·二模)已知各项均为正数的数列的前n项和为，，，，则(    ) A．511 B．61 C．41 D．9 【答案】B【难度】0.65 【知识点】分组(并项)法求和、对数的运算、求等比数列前n项和 【分析】利用对数运算法则可求得，即可知数列的奇数项与偶数项分别成等比数列，再由分组求和可得结果. 【详解】由可得， 即，所以，两式相除可得； 即， 由可得，因此数列的奇数项是以为首项，公比为2的等比数列， 偶数项是以为首项，公比为2的等比数列， 所以. 故选：B 3．(23-24高三上·北京·期中)若是首项为1，公比为3的等比数列，把的每一项都减去2后，得到一个新数列，设的前项和为，对于任意的，下列结论正确的是(    ) A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】C【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、分组(并项)法求和 【分析】根据题意得出，据此可得，再由分组求和求即可. 【详解】由题意，，， 所以， ， 故选：C 4．(2024·北京怀柔·模拟预测)设首项是1的数列的前项和为，且，则 ；若，则正整数的最大值是 ． 【答案】 8 11【难度】0.65 【知识点】数列不等式恒成立问题、由递推关系式求通项公式、求等比数列前n项和、分组(并项)法求和 【分析】由递推公式依次计算可求出；分为偶数与奇数，利用递推公式及构造法推导出通项公式，进而利用分组求和法及等比数列求和公式求得为偶数、奇数时的前项和，再结合单调性确定的值即可． 【详解】由，得，，； 当为偶数时，，则，又， 因此，； 当为奇数时，，则，又， 因此，， 数列各项均为正，则数列单调递增， 当为偶数时， ，又， 当时，，当时，； 当为奇数时，， 当时，，所以正整数的最大值是11. 故答案为：8，11 5．(25-26高三上·北京·月考)记为等差数列的前n项和，已知，． (1)求的通项公式；(2)当n为何值时，取最小值并求出最小值． (3)记为数列的前n项和，求． 【答案】(1)；(2)时，取最小值为；(3)【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、分组(并项)法求和、求等差数列前n项和的最值 【分析】(1)根据等差数列性质可得，进而可得公差和通项公式； (2)根据等差数列求和公式求，再根据的符号分析最值； (3)对数列的前n项和使用分组求和. 【详解】(1)因为为等差数列的前n项和，且，， 则，即，可得公差， 所以数列的通项公式为． (2)因为，则， 令，解得， 可知当时，；当时，； 所以的最小值为． (3) . 6．(25-26高三上·北京·月考)已知等比数列满足，. (1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2)【难度】0.85 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、分组(并项)法求和 【分析】(1)根据等比数列的通项公式进行求解即可. (2)根据等比数列和等差数列的前项和公式进行求解即可. 【详解】(1)因为等比数列满足， 则，两式相除可得，解得. 所以的通项公式为. (2). 所以 7．(25-26高三上·北京·月考)已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式；(2)若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2)【难度】0.85 【知识点】分组(并项)法求和、等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】(1)设等差数列的公差为， 由 ，令，可得，解得，从而可得结果； (2)由数列是首项为1，公比为2的等比数列，可得，结合(1)可得，利用等差数列与等比数列的求和公式，根据分组求和法可得数列的前项和. 【详解】(1)设等差数列的公差为， 因为， 则，即，解得 ， 所以. 则 数列的通项公式为： (2)因为数列是首项为1，公比为2的等比数列，则， 又因为，所以. 设数列的前项和为， 则 所以数列的前项和为 题型8其它方法求和 1．(25-26高三上·北京·月考)各项都不相等的数列，圆，圆，若圆平分圆的周长，则的所有项的和为(    ) A．2024 B．2025 C．4048 D．4050 【答案】D【难度】0.65 【知识点】倒序相加法求和、由标准方程确定圆心和半径、相交圆的公共弦方程 【分析】先求出两圆的公共弦方程，由题意，公共弦过圆C的圆心，代入圆心，可得，写出所求的表达式，利用倒序相加求和法，即可得答案. 【详解】由题意，联立，两式相减可得公共弦所在直线方程为： ，即， 因为圆平分圆的周长，所以公共弦过圆C的圆心， 圆C的标准方程为，则圆心为， 所以，即， 又的所有项的和为，则， 两式相加得， 因为，所以，则. 故选：D 2．(22-23高三上·北京朝阳·期中)数列的通项公式为，前项和为，给出下列三个结论： ①存在正整数，使得；②存在正整数，使得； ③记，则数列有最小项； 其中所有正确结论的个数是(   ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C【难度】0.65 【知识点】确定数列的最大(小)项、数列求和的其他方法、数列的概念及辨析、由基本不等式证明不等关系 【分析】利用数列通项公式、前项和的定义、数列的单调性、基本不等式分析运算即可得解. 【详解】解：由题意，数列的通项公式为， 对于①，令，解得：或(舍去)，即， ∴，即存在正整数，使得，故①正确； 对于②，由知，当时，且单调递增， 当且时，，，则； 当且时，，当且仅当时等号成立， 而且时，，故等号不成立，即. 综上知，不存在正整数，使得，故②错误； 对于③，由知，，，， 当时，且单调递增， ∴由知，，，， ∴当时数列有最小项，故③正确； ∴正确结论的个数是2. 故选：C. 学科网(北京)股份有限公司第 1 页 共 65 页 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 上好每一堂课 专题01等差等比数列、递推关系、数列求和 目录 01析考情精解… 02构知能框架 2 03破•题型攻坚 考点一等差等比数列的基本量运算 2 真题动向 知识1等差数列的基本公式 知识2等差数列常用性质 必备知识 知识3等差数列的判断方法 知识4等比数列基本公式 知识5等比数列常用性质 题型1等差等比数列的基本量运算 题型2等差等比数列的前n项和 命题预测 题型3等差等比数列综合应用 考点二 递推关系及数列求和… …9 真题动向 必备知识 知识1利用递推关系求通项 知识2数列求和 题型1Sn与an的关系 题型2累加法求通项 题型3构造法求通项 题型4递推关系综合应用 命题好预测 题型5裂项相消法求和 题型6错位相减法求和 题型7分组并项求和 题型8其它方法求和 NO.1 析·考情精解 命题 从近五年北京卷高考试题来看，等差等比数列主要考基本量运算，多以4分选择题或 5分填空题形式呈现，难度一般不大，但也有时出现较难题。 轨迹 透视 考点 考点 2025年 2024年 2023年 频次 等差等比数列 北京T5选择题4分 北京T14填空题5分 北京T15填空题5分 总结 递推关系 北京T10选择题4分 数列求和 2026 预计在2026年北京卷高考中，等差等比数列仍会考查基本量运算或递推关系的应用， 大概率以4分单选题或5分填空题形式出现，难度简单与较难题均有可能出现。 命题 预测 第1页共23页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 N0.2 构·知能框架 知识点1等差数列基本公式 题型1等差等比数列 考点一等差 知识点2等差数列常用性质 的基本量运算 等比数列 知识点3等差数列的判断方法 题型2等差等比数列 的前n项和 知识点4等比数列基本公式 题型3等差等比数列 综合应用 专题1等差等比数列、 知识点5等比数列常用性质 递推关系、数列求和 考点二递推关 影鑫项 系及数列求和 知识点1递推关系 题型3构造法求通项 题型4递推关系的综合应用 知识点2数列求和 题型5裂项相消法求和 题型6错位相减法求和 题型7其它方法求和 NO.3 破·题型攻坚 考点一 等差等比数列 动 向 1.(2024年北京高考数学真题T5选择题4分)已知{an是公差不为零的等差数列，a1=-2,若a3,a4,a6成 等比数列，则a10=() A.-20 B.-18 C.16 D.18 2.(2024年北京高考数学真题T15填空题5分)设{a}与b,n}是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集 合M={kak=bk,k∈N),给出下列4个结论： ①若{a}与bn}均为等差数列，则M中最多有1个元素： ②若{a}与{bn}均为等比数列，则M中最多有2个元素： ③若{aJ为等差数列，bn}为等比数列，则M中最多有3个元素： ④若{an}为递增数列，{b}为递减数列，则M中最多有1个元素 其中正确结论的序号是一。 3.(2023年北京高考数学真题T14填空题5分)我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类 似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”，已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列 {a},该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a1=1,a5=12,ag=192,则a2= 数列{an}所有项的和为 第2页共23页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 4.(2022年北京高考数学真题T6选择题4分)设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是 “存在正整数No,当n>No时，an>0”的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.(2021年北京高考数学真题T6选择题4分)《中国共产党党旗党微制作和使用的若干规定》指出，中国共 产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长a1,a2,ag,a4,as(单位：cm) 成等差数列，对应的宽为b1,b2,b3,b4,bs(单位：cm),且长与宽之比都相等，己知a1=288,a5=96,b1=192, 则b3= A.64 B.96 C.128 D.160 6.(2021年北京高考数学真题T10选择题4分)已知等差数列{an}是各项均为整数的递增数列，且a1≥3，若 a1+a2+…+a=100,则n的最大值为() A.9 B.10 C.11 D.12 备 知 识 知识1等差数列基本公式 1.等差中项：若三个数，a,A,6成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A=艺 2.通项公式：a=m十(n-l)d.通项公式的推广：a=am十（一mdn,m∈N). 3.前n项和公式：S,=m十，-d=na1ta2 2 2 知识2等差数列常用性质 1.若{a}为等差数列，且k+l=m十(k,1,,n∈N),则a十=an十a. 特别地，若m+n=2t,则am+a,=2a(,n,t∈N). 2.衍生等差数列 (1)等间距抽取am,am+,am+2,…am+6m-1)r…为等差数列，公差为td. (2)等长度截取Sm,S2m一Sm,S3m一2m,…为等差数列，公差为2d. 3)算术平均值兰号…产，”，即}为等差数列，公差为2 (4若{a},{b}是等差数列，则{pa,+qb}也是等差数列 3两个等差数列{a,,}的前n项和分别是A,B:则哈= B2n-1 4若项数为偶数21，则=a+a,)=a+a):S。一S=d:整=a二 S偶ant1 第3页共23页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 5.若项数为奇数2n-1,则&-1=(2n-1)a；S告一Sm0,:S属- 7在等差数列a中，者a>0,d<0,则满足&二。0的项数m使得S取得最大值8 苦a<0,d>0,则清足g心0的项数m使得S取得最小值S 8若侣8则8有最大他（所有正要或非负项之利：可白不等式扭收0来确定： 10米确定n 石侣0。则及有最小值（所有负项或正项之利：可由不式公0。 若公差d=0一a)为常数列. 知识3等差数列的判断方法 1.定义法an1-an=d(或者a。-an-1=(n≥2)(d是常数)台{an}是等差数列. 2.等差中项法：2an=an-1+an(n≥2)(neN)→{an}是等差数列. 3.通项公式：a.=pn+q(P,q为常数)台{an}是等差数列. 4.前n项和公式：Sn=An+Bn(A,B为常数)台{an}是等差数列. 知识4等比数列基本公式 1.等比中项：如果a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G=b 2.通项公式：设等比数列{an}的首项为a,,公比为g(g≠0)，则它的通项公式an=a1q”-1=amq”-m。 (na, (q=1) 3.等比数列{a}的公比为qg(q≠0)，其前n项和为Sn= -,a+ 、1-q (1)等比数列的前n项和公式有两种形式，在求等比数列的前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由 q的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比q是否为1时，要分q=1与q≠1两种情况讨论求解. ②)已知a,gg≠1)，n(项数)，则利用Sn=12求解；已知a,a,gg≠1)，则利用Sn=9求解. 1-9 1-q 3)Sn=号q”+,=kq”-kk≠0，q+1),8为指数型函数，且系数与常数互为相反数. 知识5等比数列常用性质 1.对任意的正整数m,n,p,t,若m+n=p十t,则ana,=4. 特别地，若十n=2p,则anan=a. 2.衍生等比数列 (1)设{a}为等比数列，则an(2为非零常数)，{Ial},{a}仍为等比数列. (2)设{an}与{bn}为等比数列，则{anbn}也为等比数列. (3){a}为等比数列，等间距抽取am,am+,am+2,am+o-1)r…为等比数列，公比为q。 (4){a}为等比数列，等长度截取：Snm,S2m一Sm,Sm一S2m,…为等比数列，公比为qm(若q=-l时，则m是奇 第4页共23页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 数) 付a为等地就列，若am…a=。则五，会会成等比数列 3.等比数列{an}的单调性（等比数列的单调性由首项a1与公比q决定）. 当日>8g0L时，a为递相数列： 当6,01.始0、为证诚藏列， 题型1等差等比数列的基本量运算 1.(25-26高三上北京·月考)在等差数列{am}中，a1+a3=2a3+6,则{a}的公差为() A.-3 B.-2 C.2 D.3 2.(25-26高三上·北京·月考)已知数列{an}满足am+n=am+an(m,n∈N),a3=6,则a6=() A.6 B.12 C.15 D.18 3.(25-26高三上北京·期中)已知等差数列{an},a5=10,ag=18,则a1等于() A.-1 B.0 C.2 D.5 4.(25-26高三上·北京朝阳·期中)在等差数列-10，-7，-4，-1，…的每相邻两项之间插入一个数，使之组成 一个新的等差数列{an},则ag=() A月 B. C.1 D. 5.(2425高二下·北京房山·期末)数列{an}满足a+1=an-2,且a1=8,则a✉的值是() A.2 B.3 C.4 D.5 6.(24-25高二下北京海淀期末)设a,提所有项都不为0的无穷等差数列，则侣为递减数列是“a,}为递 增数列的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.(2026高三·北京·专题练习)在等比数列{a}中，a1+a2=2+4W2,a2+a3=16+4W2,若不等式log2a1- 1og2a2+log2a3-log2a4+…+(-1)m+log2an>19成立，则n的最小值为() A.25 B.26 C.27 D.28 第5页共23页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 8.(24-25高三上·北京·月考)己知等差数列{a},正项等比数列bn},则“b1<b2”是“存在正整数No,当n>No 时，bn>an的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 9.(25-26高三上：北京·月考)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,则a2的最大值为() A.1 B.2 C.3 D.6 题型2等差等比数列的前项和 1.(25-26高三上北京·月考)设数列{am是等差数列，a1+a3+a5=6,a7=6,则这个数列的前9项和等 于() A.12 B.24 C.36 D.48 2.(25-26高三上北京月考)已知等差数列[a,}的前n项和为Sna1=寻，a2+a5=4,则S;=() A.空 B.9 C.8 D.9 3.(25-26高三上·北京顺义·期中)已知等差数列{a}的前n项和为Sn,a2+3a4=24,则S6=() A.6 B.18 C.36 D.42 新考法 (25-26高三上·浙江·开学考试)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足：S2025<S2024<S2026,则 数列}的最小项是第()项 A.2026 B.2027 C.4048 D.4049 5.(24-25高二下.北京延庆·期末)等差数列{an}的前n项和为Sn,a1+a2=0,a3+a4=8,则S7的值为() A.21 B.22 C.24 D.35 6.(24-25高二下·北京顺义·期末)已知等差数列{a}的公差d<0,前n项和为Sn,且Sn≤S1o,则() A.a10≥0，a11<0或a10>0,a11≤0 B.a10>0,a11<0 C.a10=0,a11<0 D.a10>0,a11=0 3.(25-26高三上·北京·月考)已知{an}为等差数列，a1=3,a4+a6=-10.若数列{bn}满足bm=an+ an+1(n=1,2,),记{bn}的前n项和为Sn,则S10=() A.-32 B.-80 C.-140 D.-224 第6页共23页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 4.(25-26高三上·江苏连云港期中)某校报告厅第一排有22个座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排 有60个座位，则这个报告厅共有个座位， 5.(25-26高三上·北京通州期中)已知数列{a}为等差数列，a2=3,a4=7,则am= —:若b=二 则b1b2+b2b3+…+b2024·b2025= 6.(25-26高三上北京·月考)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且4Sn=a听+2an+1: (1)求a1,a2和a3的值： (2)求证数列{a}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式： 6若b.=求数列D,3的前n项和r 题型3等差等比数列综合应用 1.(25-26高二上北京西城期中)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4=7,S5=25,则a1=() A.1 B.2 C.3 D.5 新情境5-26高三上北京月考)人有悲欢离合，月有阴晴圆缺”，这里的圆缺就是指月相变化”， 即地球上所看到的月球被日光照亮部分的不同形象、随着月球与太阳的相对位置的不同，便会呈现出各种 形状.古代中国的天象监测人员发现并记录了月相变化的一个数列，记为{an.其中1≤n≤15且n∈N*, 将满月等分成240份.a(1≤i≤15且i∈N)表示第i天月球被太阳照亮部分所占满月的份数.己知，第1 天月球被太阳照亮部分占满月的2即a1=5;第15天为满月，即a1s=240.若在月相数列a,冲，前5 项构成公比为q等比数列，第5项到第15项构成公差为d的等差数列，且q,d均为正整数，则第4天可见部 分占满月的() 第7页共23页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 A B. c. D. 3.(25-26高三上·北京海淀·月考)已知等比数列{an},则“a2<a4<as”是“数列{an}为递增数列”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(25-26高三上·北京·期中)无穷等比数列{an}的公比为q,前n项和为S,则-1≤q<0”是3M>0,使得 ISn|<M对任意的正整数n都成立”的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 5.(25-26高三上·北京顺义·月考)已知数列{a}为单调递增的等差数列、前n项和为Sn,若a5,a6,a1o成等 比数列，则当S取最小值时，n=() A.3 B.4 C.5 D.6 6.(25-26高三上北京顺义·月考)对于等比数列{a},则“a1+ag<a2+a4”是“数列{an}为单调递增数列的 () A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5.(25-26高三上·北京顺义·开学考试)己知等差数列{a}的公差为d,前n项和为Sm,则d>0”是“Sn存在最 小值”的()条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 6.(25-26高三上·北京·开学考试)Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Ian}为递增数列'是“数列Sn为递增 数列的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 新考法25-26高三上北京月考)已知各项都不相等的数列a,m=12,3,2025),圆c:x2+y2 4x-4y=0,圆Cn:x2+y2-2ax-2a2026-ny=0,若圆Cn(n=1,2,3,,2025)平分圆C的周长，则{an} 的所有项的和为() A.2024 B.2025 C.4048 D.4050 8.(2025北京朝阳二模)设无穷数列[a}的前n项和为Sn,定义ok=s1+2++(k=1,2,3,,则(） A.当a=1时，g225<1 S20252 B.当a=(-1)m-1时，g5< S2025 2 C.当a时，则00s-52s>0 D.当a=(月时，0025-S20s>-2 第8页共23页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 9.25-26高三上北京顺义月考)数列a}满足a=2,at1=哈+1，n=1,2.3, (1)求a2,a3; (2)当入<0时，判断数列{an}是否为等差数列，并说明理由： (3)求证：“1>1”是“数列{a}单调递增”的充分不必要条件。 考点二递推关系及数列求和 真 题 动 向 1.(2023年高考北京卷数学真题T10选择题4分)数列{a}满足am+1=(an-6)3+6(n=1,23,,则() A.当a1=3时，{a}为递减数列，且存在常数M≤0，使得am>M恒成立 B.当a1=5时，{an}为递增数列，且存在常数M≤6，使得a,<M恒成立 C.当a1=7时，{a}为递减数列，且存在常数M>6,使得a,>M恒成立 D.当a1=9时，{a}为递增数列，且存在常数M>0,使得a<M恒成立 2.(2022年北京高考数学真题T15填空题5分)已知数列{a}各项均为正数，其前n项和Sn满足a,·S=9(n= 1,2,…).给出下列四个结论： ①a的第2项小于3：②a}为等比数列：③a,}为递减数列：④a中存在小于d的项。 其中所有正确结论的序号是 第9页共23页 丽学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 知 识 e●0 知识1利用递推关系求通项 (一）.已知Sn求an(项与和的互化)：。 n=1, Sm-Sn-1,n≥2， 注意：绝大部分题目是把Sm-Sn-1(n≥2)用a替换，得到形如：an=f(a-1)的式子；有时需逆向思维， 把题目中的a用Sn-Sn-1(n≥2)替换，得到形如：Sn=f(Sn-1)的式子。 (二).累加法：己知a1且4.一a-1=m(022), 则4，一a-1=m,4m-1一-2=fn一1)，，一2=3)，一4=2).所有等式左右两边分别相加， 即a=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a-a-1)=f1)+f(2)+…+f)0n≥2).代入a得aa. (I)若f)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和： (2)若f)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和： (3)若f)是关于n的二次函数，累加后可分组求和： (4)若f)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和. 白)，累乘法：已知a且二，=fm022, 则二=f0,二f-1),,二=f3),二=f2),所有等式左右两边分别相乘， 即a.=fn)·f(n-1)…f(3)·f(2)·a1n≥2).代入得 (四).构造法 1.形如4+1=Aa十B(A≠0且A≠1，B≠0)的递推式： (1)若A=1时，数列{a,}为等差数列： (2)若B=0时，数列{a}为等比数列； (3)若A≠1且B0时，数列{4}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下 两种： 法一：化为a,十是A〔Q+是)的形式，利用{a+}是以A为公比的等比数列求解 法二：由a+1=Aa,十B得a,=Aa-1+B两式相减并整理得ga=A即{a1-a,}构成以4-a为首项， an-an-1 以A为公比的等比数列.求出{a+-a}的通项再转化为累加法便可求出a 2.形如a1=pa,+f()(D≠1)型的递推式。 (1)当f(m为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设a,+A1+B=p[a1+A(n-I)+B],通过待定系数法确定A、B的值，转化成以4+A+B为首项， 以am 、为公比的等比数列{a+An+B},再求出{a,+An+B}的通项整理可得a, 法二：当f(m的公差为d时，由递推式得：a1=pa,+f(),a=pa-1+f(-1)两式相减得： 第10页共23页