专题五 电磁感应中的动量问题（专项训练）物理沪科版选择性必修第二册

专题五　电磁感应中的动量问题 考点1　动量定理在电磁感应中的应用 导体棒或金属框在感应电流所受安培力作用下做非匀变速直线运动时，安培力的冲量为I安＝lBt＝Blq，通过导体棒或金属框的电荷量为q＝Δt＝Δt＝n·Δt＝n，磁通量变化量ΔΦ＝BΔS＝Blx。如果安培力是导体棒或金属框受到的合外力，则I安＝mv2－mv1。 典例1 (多选)如图所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ，两导轨间距为L，导轨电阻均可忽略不计。在M和P之间接有一阻值为R的定值电阻，导体杆ab质量为m、电阻也为R，并始终与导轨垂直且接触良好。整个装置处于方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。现给ab杆一个初速度v0，使杆向右运动，最终ab杆停止在导轨上。下列说法正确的是(　　) A.ab杆将做匀减速运动直到静止 B.ab杆速度减为时，ab杆加速度大小为 C.ab杆速度减为时，通过定值电阻的电荷量为 D.ab杆速度减为时，ab杆通过的位移为 答案　BD 解析　ab杆在水平方向上受到与运动方向相反的安培力，安培力大小为FA=，加速度大小为a==，由于速度减小，所以ab杆做加速度减小的减速运动直到静止，故A错误；当ab杆的速度为时，安培力大小为FA'=，所以加速度大小为a==，故B正确；对ab杆，由动量定理得-BL·Δt=m-mv0，即BLq=mv0，解得q=，所以通过定值电阻的电荷量为，故C错误；由q==，解得ab杆通过的位移x==，故D正确。 考点2　动量守恒定律在电磁感应中的应用 在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力为系统内力，如果两安培力等大反向，则系统受到的外力的合力为0，则满足动量守恒条件，运用动量守恒定律求解比较方便。这类问题可以从以下三个观点来分析： (1)力学观点：如果光滑轨道间距恒定，通常情况下一个金属棒做加速度逐渐减小的加速运动，而另一个金属棒做加速度逐渐减小的减速运动，最终两金属棒以共同的速度匀速运动。 (2)动量观点：如果光滑导轨间距恒定，则两个金属棒的安培力大小相等、方向相反， 通常情况下系统的动量守恒。 (3)能量观点：其中一个金属棒动能的减少量等于另一个金属棒动能的增加量与回路中产生的焦耳热之和。 典例2 如图所示，两根间距为l的光滑金属导轨(不计电阻)，由一段圆弧部分与一段无限长的水平部分组成，其水平部分加有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B，导轨水平部分静止放置一金属棒cd，质量为2m，电阻为2r。另一质量为m、电阻为r的金属棒ab，从圆弧部分M处由静止释放滑至N处进入水平部分，棒与导轨始终垂直且接触良好，圆弧部分MN半径为R，所对圆心角为60°，重力加速度为g。求： (1)ab棒在N处进入磁场区时的速度和此时棒中的电流； (2)cd棒能达到的最大速度； (3)cd棒由静止到最大速度过程中，系统所能释放的热量。 答案　(1)　　(2)　(3)mgR 解析　(1)ab棒由M下滑到N的过程中机械能守恒，则mgR(1－cos 60°)＝mv2 解得v＝ 进入磁场区瞬间，回路中产生的感应电流为I＝＝。 (2)ab棒在安培力作用下做减速运动，cd棒在安培力作用下做加速运动，当两棒达到相同速度v′时，电路中电流为零，安培力为零，cd棒达到最大速度。ab、cd两棒组成的系统动量守恒，由动量守恒定律得 mv＝(2m＋m)v′ 解得v′＝。 (3)由能量守恒定律知，系统释放的热量应等于系统机械能的减少量，则Q＝mv2－×(2m＋m)v′2 解得Q＝mgR。 专题巩固练 1.(多选)如图所示，平行光滑金属导轨水平放置，间距L=2 m，导轨左端接一阻值R=1 Ω的电阻，图中虚线与导轨垂直，其右侧存在磁感应强度大小为B=0.5 T、方向垂直纸面向里的匀强磁场。质量为m=1 kg的金属棒垂直导轨放置在虚线左侧，距虚线的距离为d=0.5 m。某时刻对金属棒施加一大小为F=4 N的向右的恒力，金属棒在磁场中运动s=2 m的距离后速度不再变化，金属棒与导轨的电阻忽略不计，金属棒始终与导轨垂直且接触良好，则金属棒从静止到开始匀速运动的过程中，下列说法正确的是(　　) A.金属棒刚进入磁场时的速度为2 m/s B.金属棒开始匀速运动的速度为2 m/s C.金属棒从开始进入磁场到匀速运动的过程中通过电阻R的电荷量为2 C D.金属棒从开始进入磁场到匀速运动的过程中所用时间为1 s 答案　ACD 解析　设金属棒刚进入磁场时速度为v0，根据运动学公式知=2··d，解得v0=2 m/s，故A正确； 设金属棒匀速运动时速度为v，此时有F与安培力平衡，即F=BIL=B··L，解得v=4 m/s，故B错误； 金属棒从开始进入磁场到匀速运动的过程中，对金属棒在每小段时间Δt根据动量定理有(F-BIL)·Δt=m·Δv，即FΔt-BLIΔt=m·Δv，其中IΔt为该段时间内通过电路的电荷量q，则两边对金属棒从开始进入磁场到匀速运动的过程中总时间t进行累积得Ft-BLq总=mv-mv0，同时有q总=t=t===2 C，解得t=1 s，故C、D正确。 2.(多选)如图所示，空间存在方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B=0.5 T。在匀强磁场区域内，有一对光滑平行金属导轨处于同一水平面内，导轨足够长，导轨间距为L=1 m，电阻可忽略不计。质量均为m=1 kg、电阻均为R=2.5 Ω的导体棒MN和PQ垂直放置于导轨上，且与导轨接触良好。现给MN一水平向右的初速度v0=4 m/s，下列说法正确的是(　　) A.两棒最终速度都为2 m/s B.棒MN上产生的热量为4 J C.通过MN的电荷量为4 C D.从开始到稳定，回路MNPQ的面积增加了4 m2 答案　AC 解析　在安培力作用下，MN减速，PQ加速，两棒最终速度相等，回路中电流为零，由动量守恒定律可得mv0=2mv1，解得两棒最终速度为v1=2 m/s，A正确；由能量守恒定律可得，回路产生的焦耳热为Q=m×2m，两棒电阻相等，产生的焦耳热相等，故棒MN上产生的热量为Q1=Q，解得Q1=2 J，B错误；对棒MN，由动量定理可得-BL·Δt=mv1-mv0，通过MN的电荷量为q=·Δt，联立解得q=4 C，C正确；整个过程回路产生的平均感应电动势为==，平均感应电流为=，通过MN的电荷量为q=Δt 联立可得q=，解得ΔS=40 m2，故从开始到稳定，回路MNPQ的面积增加了40 m2，D错误。 3.如图所示，长为d、质量为m的细金属杆ab，用长为L的细线悬挂后，恰好与水平光滑的平行金属导轨接触，平行金属导轨间距也为d，导轨平面处于竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中。闭合开关S后，细金属杆ab向右摆起，悬线的最大偏角为θ。重力加速度为g，则闭合开关的短时间内通过细金属杆ab的电荷量为(　　) A. 　 B. C. 　 D. 答案　C 解析　金属棒摆起过程由动能定理得mgL(1－cos θ)＝mv2，合上开关的瞬间，由动量定理得F安Δt＝mv，又有F安＝IdB，q＝IΔt，联立解得q＝，A、B、D错误，C正确。 4.(多选)如图所示，在竖直平面内有两根相互平行、电阻忽略不计的光滑金属导轨(足够长)，两平行金属导轨间的距离L＝0.4 m，在导轨间接有阻值R＝2.0 Ω的电阻，一根质量为m＝0.4 kg的金属棒ab垂直导轨放置其上，金属棒的电阻r＝1.0 Ω。整个装置处于垂直导轨所在平面的匀强磁场中，磁感应强度B＝5 T、方向垂直于导轨所在平面向里。现让金属棒沿导轨由静止开始运动(金属棒始终与导轨良好接触)，金属棒下滑高度为h＝1.2 m时恰好能达到最大速度，重力加速度为g＝10 m/s2。则(　　) A.金属棒由静止先匀加速运动、后匀速运动 B.金属棒能达到的最大速度为3 m/s C.金属棒由静止下滑1.2 m所用时间为0.8 s D.由静止开始到达到最大速度的过程中，通过电阻R的电荷量为0.8 C 答案　BD 解析　金属棒向下运动过程在竖直方向上受到竖直向下的重力和竖直向上的安培力，安培力从零开始不断增大，所以金属棒由静止开始做加速度减小的加速运动，当安培力与重力达到相等时，加速度为零，金属棒的速度达到最大值，之后金属棒做匀速运动，故A错误；由平衡条件有mg＝I1LB，其中I1＝，解得v1＝3 m/s，故B正确；平均感应电动势为E＝＝，平均电流为＝，Q＝·Δt，解得Q＝0.8 C，故D正确；金属棒由静止下滑1.2 m过程中，根据动量定理可得mgt－LB·Δt＝mv，其中Q＝·Δt，联立解得t＝0.7 s，故C错误。 5.如图，水平面上有两条足够长的光滑平行导轨EF、GH，导轨间距为l，垂直于导轨平行地放有两根完全相同的金属杆a和b。已知两杆质量为m，导轨电阻不计，空间存在垂直轨道平面向上的匀强磁场B。开始时a、b两杆处于静止状态，现给b杆水平向右的初速度v0，在此后的整个过程中，下列说法正确的是(　　) A.两棒最终的速度大小相等，方向相反 B.两棒受到安培力的冲量相同 C.a棒产生的焦耳热为 D.通过b棒某横截面的电荷量为 答案　D 解析　两棒组成的系统动量守恒，则有mv0＝2mv，解得v＝，由此可知两棒最终的速度大小相等，方向相同，故A错误；两棒受到安培力大小相等，方向相反，则冲量方向不同，故B错误；根据能量守恒定律有Q＝mv－×2mv2，则a棒产生的焦耳热为Q′＝Q＝，故C错误；对b棒，根据动量定理有－lB·t＝0－mv，其中q＝t，解得q＝，故D正确。 6.(多选)如图，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨，两相同的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上，t＝0时，棒ab以初速度v0向右滑动。运动过程中，ab、cd始终与导轨垂直且接触良好，两者速度分别用v1、v2表示，回路中的电流用I表示。下列图像中可能正确的是(　　) 答案　AC 解析　以两导体棒为研究对象，在导体棒运动过程中，两导体棒所受的安培力大小相等，方向相反，且不受其他水平外力作用，在水平方向两导体棒组成的系统动量守恒，对系统有mv0＝2mv，解得两导体棒运动的末速度为v＝v0，棒ab做变减速运动，棒cd做变加速运动，稳定时两导体棒的加速度为零，一起向右做匀速运动，选项A正确，B错误；ab棒和cd棒最后做匀速运动，棒与导轨组成的回路磁通量不变化，不会产生感应电流，选项C正确，D错误。 7.(多选)如图所示，平行且光滑的金属导轨MN、PQ放置在垂直纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，导轨间距为L、电阻不计。质量为m的导体棒1和质量为2m的导体棒2置于导轨上，两导体棒相距x，导体棒1和导体棒2的电阻分别为R和2R。现在分别给导体棒1和导体棒2向左和向右的初速度v0和2v0，导体棒1和2始终与导轨垂直且接触良好，关于导体棒1和导体棒2以后的运动，下列说法正确的是(　　) A.导体棒1和导体棒2构成的回路，初始时刻电动势为3BLv0 B.初始时刻导体棒2所受安培力大小为 C.当导体棒1的速度为0时，导体棒2的速度为v0 D.很长一段时间后，导体棒1和导体棒2的距离为+x 答案　AD 解析　根据右手定则可知，初始时刻导体棒1和导体棒2中产生的感应电流方向分别为向下和向上，所以总感应电动势大小为E=E1+E2=3BLv0，故A正确；初始时刻，回路中电流为I==，导体棒2所受安培力大小为F=BIL=，故B错误；导体棒1和导体棒2所受安培力大小相等、方向相反，导体棒1和导体棒2组成的系统所受合外力为零，则系统动量守恒，取向右为正方向，当导体棒1速度为0时，根据动量守恒定律有2m·2v0-mv0=2mv2，解得v2=v0，故C错误；很长一段时间后，回路中感应电流为零，导体棒1和导体棒2会以相同的速度运动，根据动量守恒定律有2m·2v0-mv0=3mv共，解得v共=v0，对导体棒2根据动量定理有-BLt=2mv共-2m·2v0，设最终导体棒1和导体棒2的距离为x'，根据法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律有==，解得x'=+x，故D正确。 8.(多选)如图所示，两电阻可以忽略不计的平行金属长直导轨固定在水平面上，相距为L，另外两根长度为L、质量为m、电阻为R的相同导体棒垂直静置于导轨上，导体棒在长导轨上可以无摩擦地滑动，导轨间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B，某时刻使导体棒a获得大小为v0、水平向右的初速度，同时使导体棒b获得大小为2v0、水平向右的初速度，下列结论正确的是(　　) A.该时刻回路中产生的感应电动势为3BLv0 B.该时刻导体棒a的加速度为 C.当导体棒a的速度大小为时，导体棒b的速度大小也是 D.运动过程中通过导体棒a的电荷量的最大值qm＝ 答案　BCD 解析　根据右手定则可知两根导体棒切割磁感线产生的感应电动势方向相反，故该时刻回路中产生的感应电动势E＝BL·2v0－BLv0＝BLv0，A错误；在该时刻，回路中的感应电流I＝＝，导体棒a所受安培力大小F＝ILB，根据牛顿第二定律F＝ma，可得a＝，B正确；由于两导体棒整体在水平方向动量守恒，当导体棒a的速度大小为时，根据动量守恒定律得m·2v0＋mv0＝m·＋mv1，解得v1＝，C正确；由上解析知v共＝，对a由动量定理有安Δt＝mv共－mv0，而安＝LB，通过导体棒a的电荷量的最大值qm＝Δt＝，D正确。 9.如图所示，PQ和MN是固定于水平面内的平行光滑金属轨道，轨道足够长，其电阻忽略不计。质量均为m的金属棒ab、cd放在轨道上，始终与轨道垂直且接触良好。两金属棒的长度恰好等于轨道的间距，它们与轨道形成闭合回路。整个装置处在竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中。使金属棒cd得到初速度v0的同时，金属棒ab由静止开始运动，考虑两金属棒之后的运动过程(经过足够长时间，不考虑空气阻力)，以下说法正确的是(　　) A.ab棒受到的冲量大小为，方向向左 B.cd棒受到的冲量大小为，方向向左 C.金属棒ab、cd组成的系统动量变化量为mv0 D.整个回路产生的热量为mv 答案　B 解析　金属棒ab、cd组成的系统所受的合外力为零，系统动量守恒，即以后的运动过程中系统动量变化量为零，选项C错误；两棒最终共速，设向右为正向，由动量守恒定律，则mv0＝2mv，对ab棒由动量定理Iab＝mv－0，解得Iab＝mv0，方向向右；对cd棒由动量定理Icd＝mv－mv0，解得Icd＝－mv0，方向向左，选项B正确，A错误；由能量守恒定律知，整个回路产生的热量为Q＝mv－×2mv2＝mv，选项D错误。 10.如图所示，两根足够长的光滑平行直导轨MN、PQ与水平面成θ＝30°角放置，两导轨间距为L＝0.5 m，M、P两点间接有阻值为R＝2 Ω的电阻。一根质量为m＝0.4 kg、电阻为r＝2 Ω的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直。整套装置处于磁感应强度为B＝2 T的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向上，导轨和金属杆接触良好，其余电阻不计。现让ab杆由静止开始沿导轨下滑，已知ab杆从静止释放到达到最大速度过程中通过R的电荷量为q＝2 C，对ab杆的运动过程，下列说法正确的是(g取10 m/s2)(　　) A.ab杆下滑的最大速度vm＝6 m/s B.该过程中ab杆沿导轨下滑的距离x＝6 m C.该过程中电阻R产生的焦耳热Q＝3.2 J D.该过程中ab杆运动的平均速度v＝3 m/s 答案　D 解析　当ab杆以最大速度下滑时，通过ab杆的电流为I＝，根据平衡条件可得ILB＝mgsin θ，联立解得vm＝8 m/s，故A错误；ab杆从静止释放到达到最大速度过程中通过R的电荷量为q＝t＝t＝t＝，解得x＝8 m，故B错误；根据能量守恒定律可知该过程中系统产生的总焦耳热为Q总＝mgxsin θ－mv＝3.2 J，根据焦耳定律可得QR＝Q总＝1.6 J，故C错误；对ab杆根据动量定理有mgtsin θ－BLt＝mvm，其中q＝t解得t＝2.6 s，该过程中ab杆运动的平均速度为＝＝3 m/s，故D正确。 11.如图所示，在光滑的水平面上，有一竖直向下的匀强磁场分布在宽度为L的区域内，现有一个边长为a(a<L)的正方形闭合线圈以初速度v0垂直磁场边界滑过磁场后，速度为v(v<v0)，那么线圈(　　) A.完全进入磁场中时的速度大于 B.完全进入磁场中时的速度等于 C.完全进入磁场中时的速度小于 D.以上情况均有可能 答案　B 解析　线圈进入磁场过程，由动量定理有－1LB·Δt1＝mv′－mv0，线圈离开磁场过程，同理有－2LB·Δt2＝mv－mv′，进出磁场时磁通量变化数值相同，根据q＝可知q1＝q2，q1＝1·Δt1，q2＝2·Δt2，联立各式得v′－v0＝v－v′，所以v′＝，故B正确。 12.如图所示，光滑水平导轨置于磁场中，磁场的磁感应强度为B，左侧导轨间距为l，右侧导轨间距为2l，导轨均足够长。质量为m的导体棒ab和质量为2m的导体棒cd均垂直于导轨放置，处于静止状态。ab的电阻为R，cd的电阻为2R，两棒始终在对应的导轨部分运动，两导体棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计。现瞬间给cd一水平向右的初速度v0，则此后的运动过程中下列说法正确的是(　　) A.ab棒最终的速度v0 B.全过程中，通过导体棒cd的电荷量为 C.从cd获得初速度到二者稳定运动，此过程系统产生的焦耳热为m D.导体棒ab和cd组成的系统动量守恒 答案　C 解析　当导体棒ab和cd产生的电动势相等时，两棒都做匀速直线运动，则有Blvab=B·2lvcd，对导体棒ab，由动量定理可得B·lΔt=mvab，对导体棒cd，由动量定理可得-B·2lΔt=2mvcd-2mv0，联立解得vab=，vcd=，故A错误；对导体棒cd，有q=·Δt，又-B·2lΔt=2mvcd-2mv0，联立解得q=，故B错误；由能量守恒定律得，整个回路产生的焦耳热Q=×2m×2mm，解得Q=，故C正确；导体棒ab和cd的长度不一样，所以受到的安培力大小不相等，系统合力不为零，所以导体棒ab和cd组成的系统动量不守恒，故D错误。 13.如图所示，空间存在一竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B，水平面内有两根固定的足够长的光滑平行金属导轨，导轨间距为l。在导轨上面平放着两根平行的导体棒ab和cd，质量分别是2m和m，电阻分别是R和2R，其余部分电阻可忽略不计。初始时刻cd棒静止，给ab棒一个向右的初速度v0，则： (1)从开始运动到最终稳定，电路中产生多少电能？ (2)从开始运动到最终稳定，两棒之间的距离减少了多少？ 答案　(1)mv　(2) 解析　(1)设两棒稳定时共同的末速度为v，由动量守恒定律，得2mv0＝(2m＋m)v 由能量守恒定律，得 ×2mv＝(2m＋m)v2＋E 联立解得E＝mv。 (2)从开始运动到最终稳定，设两棒之间减少的距离为Δx，由法拉第电磁感应定律得，电路中产生的平均感应电动势为＝＝ 这段时间内回路电流的平均值为 ＝ 对cd棒应用动量定理， 得lBΔt＝mv 联立解得Δx＝。 14.如图所示，左侧倾斜的足够长的光滑平行金属导轨与右侧足够长的水平光滑平行金属导轨之间用两段光滑绝缘圆弧轨道(长度可忽略)连接，两倾斜导轨平面与水平面的夹角为θ=37°，两导轨的水平部分在同一水平面内，间距为d，倾斜导轨顶端连接阻值为R的定值电阻。两部分导轨分别处于与导轨平面垂直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中(图中未画出)。质量为3m的金属棒Q静止在圆弧底部，质量为5m的金属棒P从倾斜导轨上某处由静止滑下，当金属棒P到达倾斜导轨底端时速度恰好达到最大。金属棒P、Q的电阻均为R，两棒发生弹性碰撞且碰撞时间极短，两棒始终与导轨垂直且接触良好，不计金属导轨的电阻。重力加速度为g，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。求： (1)金属棒P到达倾斜导轨底端时的速度大小； (2)金属棒P、Q碰撞后金属棒P的速度大小； (3)从金属棒P、Q碰撞后到两棒的运动状态达到稳定的过程中，金属棒P、Q的位移差。 答案　(1)　(2)　(3) 解析　(1)金属棒P速度最大时加速度为零，此时有5mgsin 37°=B··d 解得金属棒P到达底端的速度大小为v= (2)金属棒P和Q碰撞前后，由动量守恒定律可得5mv=5mv1+3mv2 由机械能守恒定律可得×5mv2=×5m+×3m 联立解得金属棒P、Q碰撞后金属棒P的速度大小为v1=，v2= (3)碰后金属棒P和Q组成的系统，水平方向上所受的合外力为0，则水平方向上动量守恒，两棒的运动状态达到稳定时两金属棒的速度相同，再水平方向上，由动量守恒定律5mv1+3mv2=(5m+3m)v0 解得两金属棒一起做匀速直线运动时的速度大小为v0= 设两金属棒碰后至一起做匀速直线运动过程中，两者的位移差为Δx，所经历的时间为Δt，回路的平均电流为，则== 此过程中，对金属棒P，由动量定理可得Bd·Δt=5mv0-5mv1 联立解得Δx=。 15.如图所示，间距为L＝1 m的平行倾斜光滑导轨与足够长的平行水平光滑导轨平滑连接，导轨电阻不计，水平导轨处在足够大、方向竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B＝0.5 T。金属棒cd静止放在水平导轨上，且与导轨垂直并被锁定，金属棒ab垂直于倾斜导轨由静止释放，释放位置与水平导轨的高度差为h＝5 m。金属棒ab进入磁场后始终未与金属棒cd发生碰撞，已知金属棒ab、cd的长度均为L＝1 m，质量均为m＝0.1 kg，电阻均为R＝1 Ω。重力加速度g取10 m/s2，求： (1)金属棒cd被锁定时，金属棒cd产生的焦耳热； (2)金属棒cd被锁定时，金属棒ab在水平导轨上运动的距离； (3)金属棒cd解除锁定，金属棒ab仍从同一位置静止释放，整个过程金属棒cd产生的热量。 答案　(1)2.5 J　(2)8 m　(3)1.25 J 解析　(1)金属棒cd锁定时，金属棒ab运动到水平导轨的速度设为v0 根据动能定理有mgh＝mv 解得v0＝10 m/s 根据能量守恒定律可知，整个电路产生的焦耳热为 Q＝mv＝5 J 金属棒cd产生的焦耳热为Qcd＝Q＝2.5 J。 (2)对金属棒ab，根据动量定理有 －LB·Δt＝0－mv0 又q＝Δt＝Δt＝Δt＝ 联立解得金属棒ab在水平导轨上运动的距离为x＝8 m。 (3)金属棒cd解除锁定，根据动量守恒定律可得 mv0＝2mv 根据能量守恒定律有Q′＝mv－×2mv2 金属棒cd产生的焦耳热Qcd′＝Q′ 联立解得Qcd′＝1.25 J。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题五　电磁感应中的动量问题 考点1　动量定理在电磁感应中的应用 导体棒或金属框在感应电流所受安培力作用下做非匀变速直线运动时，安培力的冲量为I安＝lBt＝Blq，通过导体棒或金属框的电荷量为q＝Δt＝Δt＝n·Δt＝n，磁通量变化量ΔΦ＝BΔS＝Blx。如果安培力是导体棒或金属框受到的合外力，则I安＝mv2－mv1。 典例1 (多选)如图所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ，两导轨间距为L，导轨电阻均可忽略不计。在M和P之间接有一阻值为R的定值电阻，导体杆ab质量为m、电阻也为R，并始终与导轨垂直且接触良好。整个装置处于方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。现给ab杆一个初速度v0，使杆向右运动，最终ab杆停止在导轨上。下列说法正确的是(　　) A.ab杆将做匀减速运动直到静止 B.ab杆速度减为时，ab杆加速度大小为 C.ab杆速度减为时，通过定值电阻的电荷量为 D.ab杆速度减为时，ab杆通过的位移为 考点2　动量守恒定律在电磁感应中的应用 在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力为系统内力，如果两安培力等大反向，则系统受到的外力的合力为0，则满足动量守恒条件，运用动量守恒定律求解比较方便。这类问题可以从以下三个观点来分析： (1)力学观点：如果光滑轨道间距恒定，通常情况下一个金属棒做加速度逐渐减小的加速运动，而另一个金属棒做加速度逐渐减小的减速运动，最终两金属棒以共同的速度匀速运动。 (2)动量观点：如果光滑导轨间距恒定，则两个金属棒的安培力大小相等、方向相反， 通常情况下系统的动量守恒。 (3)能量观点：其中一个金属棒动能的减少量等于另一个金属棒动能的增加量与回路中产生的焦耳热之和。 典例2 如图所示，两根间距为l的光滑金属导轨(不计电阻)，由一段圆弧部分与一段无限长的水平部分组成，其水平部分加有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B，导轨水平部分静止放置一金属棒cd，质量为2m，电阻为2r。另一质量为m、电阻为r的金属棒ab，从圆弧部分M处由静止释放滑至N处进入水平部分，棒与导轨始终垂直且接触良好，圆弧部分MN半径为R，所对圆心角为60°，重力加速度为g。求： (1)ab棒在N处进入磁场区时的速度和此时棒中的电流； (2)cd棒能达到的最大速度； (3)cd棒由静止到最大速度过程中，系统所能释放的热量。 专题巩固练 1.(多选)如图所示，平行光滑金属导轨水平放置，间距L=2 m，导轨左端接一阻值R=1 Ω的电阻，图中虚线与导轨垂直，其右侧存在磁感应强度大小为B=0.5 T、方向垂直纸面向里的匀强磁场。质量为m=1 kg的金属棒垂直导轨放置在虚线左侧，距虚线的距离为d=0.5 m。某时刻对金属棒施加一大小为F=4 N的向右的恒力，金属棒在磁场中运动s=2 m的距离后速度不再变化，金属棒与导轨的电阻忽略不计，金属棒始终与导轨垂直且接触良好，则金属棒从静止到开始匀速运动的过程中，下列说法正确的是(　　) A.金属棒刚进入磁场时的速度为2 m/s B.金属棒开始匀速运动的速度为2 m/s C.金属棒从开始进入磁场到匀速运动的过程中通过电阻R的电荷量为2 C D.金属棒从开始进入磁场到匀速运动的过程中所用时间为1 s 2.(多选)如图所示，空间存在方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B=0.5 T。在匀强磁场区域内，有一对光滑平行金属导轨处于同一水平面内，导轨足够长，导轨间距为L=1 m，电阻可忽略不计。质量均为m=1 kg、电阻均为R=2.5 Ω的导体棒MN和PQ垂直放置于导轨上，且与导轨接触良好。现给MN一水平向右的初速度v0=4 m/s，下列说法正确的是(　　) A.两棒最终速度都为2 m/s B.棒MN上产生的热量为4 J C.通过MN的电荷量为4 C D.从开始到稳定，回路MNPQ的面积增加了4 m2 3.如图所示，长为d、质量为m的细金属杆ab，用长为L的细线悬挂后，恰好与水平光滑的平行金属导轨接触，平行金属导轨间距也为d，导轨平面处于竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中。闭合开关S后，细金属杆ab向右摆起，悬线的最大偏角为θ。重力加速度为g，则闭合开关的短时间内通过细金属杆ab的电荷量为(　　) A. 　 B. C. 　 D. 4.(多选)如图所示，在竖直平面内有两根相互平行、电阻忽略不计的光滑金属导轨(足够长)，两平行金属导轨间的距离L＝0.4 m，在导轨间接有阻值R＝2.0 Ω的电阻，一根质量为m＝0.4 kg的金属棒ab垂直导轨放置其上，金属棒的电阻r＝1.0 Ω。整个装置处于垂直导轨所在平面的匀强磁场中，磁感应强度B＝5 T、方向垂直于导轨所在平面向里。现让金属棒沿导轨由静止开始运动(金属棒始终与导轨良好接触)，金属棒下滑高度为h＝1.2 m时恰好能达到最大速度，重力加速度为g＝10 m/s2。则(　　) A.金属棒由静止先匀加速运动、后匀速运动 B.金属棒能达到的最大速度为3 m/s C.金属棒由静止下滑1.2 m所用时间为0.8 s D.由静止开始到达到最大速度的过程中，通过电阻R的电荷量为0.8 C 5.如图，水平面上有两条足够长的光滑平行导轨EF、GH，导轨间距为l，垂直于导轨平行地放有两根完全相同的金属杆a和b。已知两杆质量为m，导轨电阻不计，空间存在垂直轨道平面向上的匀强磁场B。开始时a、b两杆处于静止状态，现给b杆水平向右的初速度v0，在此后的整个过程中，下列说法正确的是(　　) A.两棒最终的速度大小相等，方向相反 B.两棒受到安培力的冲量相同 C.a棒产生的焦耳热为 D.通过b棒某横截面的电荷量为 6.(多选)如图，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨，两相同的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上，t＝0时，棒ab以初速度v0向右滑动。运动过程中，ab、cd始终与导轨垂直且接触良好，两者速度分别用v1、v2表示，回路中的电流用I表示。下列图像中可能正确的是(　　) 7.(多选)如图所示，平行且光滑的金属导轨MN、PQ放置在垂直纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，导轨间距为L、电阻不计。质量为m的导体棒1和质量为2m的导体棒2置于导轨上，两导体棒相距x，导体棒1和导体棒2的电阻分别为R和2R。现在分别给导体棒1和导体棒2向左和向右的初速度v0和2v0，导体棒1和2始终与导轨垂直且接触良好，关于导体棒1和导体棒2以后的运动，下列说法正确的是(　　) A.导体棒1和导体棒2构成的回路，初始时刻电动势为3BLv0 B.初始时刻导体棒2所受安培力大小为 C.当导体棒1的速度为0时，导体棒2的速度为v0 D.很长一段时间后，导体棒1和导体棒2的距离为+x 8.(多选)如图所示，两电阻可以忽略不计的平行金属长直导轨固定在水平面上，相距为L，另外两根长度为L、质量为m、电阻为R的相同导体棒垂直静置于导轨上，导体棒在长导轨上可以无摩擦地滑动，导轨间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B，某时刻使导体棒a获得大小为v0、水平向右的初速度，同时使导体棒b获得大小为2v0、水平向右的初速度，下列结论正确的是(　　) A.该时刻回路中产生的感应电动势为3BLv0 B.该时刻导体棒a的加速度为 C.当导体棒a的速度大小为时，导体棒b的速度大小也是 D.运动过程中通过导体棒a的电荷量的最大值qm＝ 9.如图所示，PQ和MN是固定于水平面内的平行光滑金属轨道，轨道足够长，其电阻忽略不计。质量均为m的金属棒ab、cd放在轨道上，始终与轨道垂直且接触良好。两金属棒的长度恰好等于轨道的间距，它们与轨道形成闭合回路。整个装置处在竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中。使金属棒cd得到初速度v0的同时，金属棒ab由静止开始运动，考虑两金属棒之后的运动过程(经过足够长时间，不考虑空气阻力)，以下说法正确的是(　　) A.ab棒受到的冲量大小为，方向向左 B.cd棒受到的冲量大小为，方向向左 C.金属棒ab、cd组成的系统动量变化量为mv0 D.整个回路产生的热量为mv 10.如图所示，两根足够长的光滑平行直导轨MN、PQ与水平面成θ＝30°角放置，两导轨间距为L＝0.5 m，M、P两点间接有阻值为R＝2 Ω的电阻。一根质量为m＝0.4 kg、电阻为r＝2 Ω的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直。整套装置处于磁感应强度为B＝2 T的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向上，导轨和金属杆接触良好，其余电阻不计。现让ab杆由静止开始沿导轨下滑，已知ab杆从静止释放到达到最大速度过程中通过R的电荷量为q＝2 C，对ab杆的运动过程，下列说法正确的是(g取10 m/s2)(　　) A.ab杆下滑的最大速度vm＝6 m/s B.该过程中ab杆沿导轨下滑的距离x＝6 m C.该过程中电阻R产生的焦耳热Q＝3.2 J D.该过程中ab杆运动的平均速度v＝3 m/s 11.如图所示，在光滑的水平面上，有一竖直向下的匀强磁场分布在宽度为L的区域内，现有一个边长为a(a<L)的正方形闭合线圈以初速度v0垂直磁场边界滑过磁场后，速度为v(v<v0)，那么线圈(　　) A.完全进入磁场中时的速度大于 B.完全进入磁场中时的速度等于 C.完全进入磁场中时的速度小于 D.以上情况均有可能 12.如图所示，光滑水平导轨置于磁场中，磁场的磁感应强度为B，左侧导轨间距为l，右侧导轨间距为2l，导轨均足够长。质量为m的导体棒ab和质量为2m的导体棒cd均垂直于导轨放置，处于静止状态。ab的电阻为R，cd的电阻为2R，两棒始终在对应的导轨部分运动，两导体棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计。现瞬间给cd一水平向右的初速度v0，则此后的运动过程中下列说法正确的是(　　) A.ab棒最终的速度v0 B.全过程中，通过导体棒cd的电荷量为 C.从cd获得初速度到二者稳定运动，此过程系统产生的焦耳热为m D.导体棒ab和cd组成的系统动量守恒 13.如图所示，空间存在一竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B，水平面内有两根固定的足够长的光滑平行金属导轨，导轨间距为l。在导轨上面平放着两根平行的导体棒ab和cd，质量分别是2m和m，电阻分别是R和2R，其余部分电阻可忽略不计。初始时刻cd棒静止，给ab棒一个向右的初速度v0，则： (1)从开始运动到最终稳定，电路中产生多少电能？ (2)从开始运动到最终稳定，两棒之间的距离减少了多少？ 14.如图所示，左侧倾斜的足够长的光滑平行金属导轨与右侧足够长的水平光滑平行金属导轨之间用两段光滑绝缘圆弧轨道(长度可忽略)连接，两倾斜导轨平面与水平面的夹角为θ=37°，两导轨的水平部分在同一水平面内，间距为d，倾斜导轨顶端连接阻值为R的定值电阻。两部分导轨分别处于与导轨平面垂直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中(图中未画出)。质量为3m的金属棒Q静止在圆弧底部，质量为5m的金属棒P从倾斜导轨上某处由静止滑下，当金属棒P到达倾斜导轨底端时速度恰好达到最大。金属棒P、Q的电阻均为R，两棒发生弹性碰撞且碰撞时间极短，两棒始终与导轨垂直且接触良好，不计金属导轨的电阻。重力加速度为g，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。求： (1)金属棒P到达倾斜导轨底端时的速度大小； (2)金属棒P、Q碰撞后金属棒P的速度大小； (3)从金属棒P、Q碰撞后到两棒的运动状态达到稳定的过程中，金属棒P、Q的位移差。 15.如图所示，间距为L＝1 m的平行倾斜光滑导轨与足够长的平行水平光滑导轨平滑连接，导轨电阻不计，水平导轨处在足够大、方向竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B＝0.5 T。金属棒cd静止放在水平导轨上，且与导轨垂直并被锁定，金属棒ab垂直于倾斜导轨由静止释放，释放位置与水平导轨的高度差为h＝5 m。金属棒ab进入磁场后始终未与金属棒cd发生碰撞，已知金属棒ab、cd的长度均为L＝1 m，质量均为m＝0.1 kg，电阻均为R＝1 Ω。重力加速度g取10 m/s2，求： (1)金属棒cd被锁定时，金属棒cd产生的焦耳热； (2)金属棒cd被锁定时，金属棒ab在水平导轨上运动的距离； (3)金属棒cd解除锁定，金属棒ab仍从同一位置静止释放，整个过程金属棒cd产生的热量。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $