5.2.2 同角三角函数的基本关系课件（第二课时）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦同角三角函数基本关系的应用，通过“应用基本关系式时要注意哪几点？”的问题导入，回顾平方关系与商数关系，搭建从公式到求值、化简等应用的学习支架。 其亮点在于题型分类系统，设探究环节引导数学思维，如通过齐次式化归体现数学运算素养，借助方程思想培养逻辑推理能力。实例丰富且解析详细，助力学生掌握方法，也为教师提供高效教学资源。

5.2.2 同角三角函数的基本关系 （第二课时） 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 让你的思维燃烧起来吧！ 应用基本关系式时要注意哪几点？ 题型一 ——利用同角三角函数的关系求值 探究1 解决此类问题时，要注意： (1)认真确定α的终边所在的象限，以便确定三角函数值的符号. (2)尽可能地避免使用平方关系，以免造成不必要的讨论. (3)必要时进行讨论. 巩固训练 【分析】　先根据题设确定α的终边所在的象限，然后求值. 题型二 ——根据条件求值 探究2 巩固训练 √ 4 题型三 ——关于“sin θ±cos θ”与“sin θcos θ”的关系的问题 【分析】　利用完全平方公式可求出2sin θcos θ，从而求得sin θ－cos θ，利用方程联立即可求出sin θ，cos θ，进而求tan θ. (2)tan θ. 探究3 巩固训练 √ (2)已知sin α＋cos α＝m，则： ①sin αcos α＝__________； ②sin3α＋cos3α＝__________； ③sin4α＋cos4α＝__________. 小试牛刀 √ 小试牛刀 √ 小试牛刀 √ 小试牛刀 √ 小试牛刀 感谢观看与聆听 THANKS tan α＝eq \f(sin α,cos α) 知识点1　同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：________________. (2)商数关系：________________ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)). 知识点2　变形公式 (1)sin2α＝1－cos2α. (2)cos2α＝1－sin2α. (3)cos α＝eq \f(sin α,tan α)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)) (4)sin α＝tan α·cos αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)) sin2α＋cos2α＝1 答：(1)必须是同角，如：sin22α＋cos22α＝1，eq \f(sin \f(α,2),cos \f(α,2))＝tan eq \f(α,2)等都成立，而sin2α＋cos2β＝1不成立. (2)sin2α是(sin α)2的简写，不能写成sin α2. 例1　(1)已知sin α＝eq \f(1,3)且α为第二象限角，求cos α，tan α的值. 【解析】　∵sin α＝eq \f(1,3)，α为第二象限角， ∴cos α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(2))＝－eq \f(2\r(2),3).∴tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝－eq \f(\r(2),4). (2)已知cos α＝－eq \f(8,17)，求sin α，tan α的值. 【解析】　因为cos α＝－eq \f(8,17)<0，所以α是第二或第三象限角. 如果α是第二象限角，那么sin α＝eq \r(1－cos2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,17)))\s\up12(2))＝eq \f(15,17)，tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝eq \f(15,17)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,8)))＝－eq \f(15,8). 如果α是第三象限角，那么sin α＝－eq \f(15,17)，tan α＝eq \f(15,8). (3)已知tan α＝－eq \r(3)，求sin α＋cos α的值. 【解析】　∵tan α＝－eq \r(3)，∴eq \f(sin α,cos α)＝－eq \r(3). ∴sin α＝－eq \r(3)cos α. 联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin α＝－\r(3)cos α，,sin2α＋cos2α＝1，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin α＝\f(\r(3),2)，,cos α＝－\f(1,2)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin α＝－\f(\r(3),2)，,cos α＝\f(1,2).)) ∴sin α＋cos α＝eq \f(\r(3)－1,2)或eq \f(－\r(3)＋1,2). 【解析】　∵sin α＝－eq \f(4,5)<0，∴α是第三或第四象限角. 若α是第三象限角，则cos α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(3,5)，tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝eq \f(4,3). 若α是第四象限角，则cos α ＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(3,5)，tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝－eq \f(4,3). 已知sin α＝－eq \f(4,5)，求cos α，tan α的值. 例2　已知tan α＝3，求下列各式的值. (1)eq \f(4sin α－cos α,3sin α＋5cos α)； 【解析】　(1)原式＝eq \f(4tan α－1,3tan α＋5)＝eq \f(4×3－1,3×3＋5)＝eq \f(11,14). (3)eq \f(3,4)sin2α＋eq \f(1,2)cos2α. 【解析】　(3)原式＝eq \f(\f(3,4)sin2α＋\f(1,2)cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq \f(\f(3,4)tan2α＋\f(1,2),tan2α＋1)＝eq \f(\f(3,4)×32＋\f(1,2),32＋1)＝eq \f(29,40). (2)eq \f(sin2α－2sin αcos α－cos2α,4cos2α－3sin2α)； 【解析】　(2)原式＝eq \f(tan2α－2tan α－1,4－3tan2α)＝eq \f(32－2×3－1,4－3×32)＝－eq \f(2,23). (1)已知tan α＝m，可以求eq \f(asin α＋bcos α,csin α＋dcos α)或eq \f(asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α,dsin2α＋esin αcos α＋fcos2α)的值，将分子分母同除以cos α或cos2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的. (2)对于asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值. (3)齐次式的化切求值问题，体现了数学运算的核心素养. 【解析】　∵eq \f(4sin α＋cos α,3sin α＋2cos α)＝－2， ∴eq \f(4×\f(sin α,cos α)＋\f(cos α,cos α),3×\f(sin α,cos α)＋2×\f(cos α,cos α))＝eq \f(4tan α＋1,3tan α＋2)＝－2， 解得tan α＝－eq \f(1,2). (1)已知eq \f(4sin α＋cos α,3sin α＋2cos α)＝－2，那么tan α＝______. －eq \f(1,2) (2)如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ的值是(　　) A.eq \f(7,3)　　　　　　　 B.eq \f(7,5) C.eq \f(5,4) D.eq \f(5,3) 【解析】　1＋sin θcos θ＝1＋eq \f(sin θcos θ,sin2θ＋cos2θ)＝1＋eq \f(tan θ,tan2θ＋1)＝1＋eq \f(2,22＋1)＝eq \f(7,5). (3)已知f(tan x)＝eq \f(1,cos2x)，则f(－eq \r(3))＝________. 【解析】　f(tan x)＝eq \f(1,cos2x)＝eq \f(sin2x＋cos2x,cos2x)＝tan2x＋1， ∴f(x)＝x2＋1.∴f(－eq \r(3))＝4. 例3　已知θ是三角形的内角，sin θ＋cos θ＝eq \f(1,5)，求下列各式的值. (1)sin θ－cos θ；　 【解析】　(1)∵sin θ＋cos θ＝eq \f(1,5)，两边平方，得1＋2sin θcos θ＝eq \f(1,25)，∴2sin θcos θ＝－eq \f(24,25)， ∵sin θ与cos θ异号，θ为三角形的内角， ∴sin θ>0，cos θ<0，∴sin θ－cos θ>0， 而(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1＋eq \f(24,25)＝eq \f(49,25)， ∴sin θ－cos θ＝eq \f(7,5). 【解析】　(2)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin θ＋cos θ＝\f(1,5)，,sin θ－cos θ＝\f(7,5)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin θ＝\f(4,5)，,cos θ＝－\f(3,5).)) ∴tan θ＝－eq \f(4,3). 对于三角函数式sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α，它们之间可通过(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α进行转换.若已知sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α中三者之一，可求其余两个函数式：如设sin α＋cos α＝t，则sin αcos α＝eq \f(1,2)(t2－1)，这样利用方程的思想解题在三角函数中应用比较广泛. 当然，在得到上述三个式子的值后，可进一步求得sin α，cos α的值，进而求出其余三角函数值. 注意：在求值过程中，要注意各表达式的符号. 【解析】　∵(sin α＋cos α)2＝eq \f(4,9)，∴sin αcos α＝－eq \f(5,18). ∴sin α>0，cos α<0.∴90°<α<180°. (1)若α是三角形的一个内角且sin α＋cos α＝eq \f(2,3)，则这个三角形是(　　) A.正三角形　　　　　 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 eq \f(3m－m3,2) eq \f(1＋2m2－m4,2) 【解析】　①∵sin α＋cos α＝m， ∴(sin α＋cos α)2＝m2. 即sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝m2， ∴1＋2sin αcos α＝m2， ∴sin αcos α＝eq \f(m2－1,2). eq \f(m2－1,2) ②sin3α＋cos3α ＝(sin α＋cos α)(sin2α－sin αcos α＋cos2α) ＝(sin α＋cos α)(1－sin αcos α) ＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(m2－1,2)))＝eq \f(3m－m3,2). ③sin4α＋cos4α ＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α ＝1－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m2－1,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1＋2m2－m4,2). 1.下列四个结论中可能成立的一个是(　　) A.sin α＝eq \f(1,2)且cos α＝eq \f(1,2) B.sin α＝0且cos α＝－1 C.tan α＝1且cos α＝－1 D.tan α＝－eq \f(sin α,cos α)(α是第二象限角) 2.已知sin φ＝－eq \f(3,5)，且|φ|<eq \f(π,2)，则tan φ等于(　　) A.－eq \f(4,3)　　　　　　　　 B.eq \f(4,3) C.－eq \f(3,4) D.eq \f(3,4) 解析　∵sin φ＝－eq \f(3,5)， ∴cos2φ＝1－sin2φ＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5))) eq \s\up12(2)＝eq \f(16,25)， 又|φ|<eq \f(π,2)，即－eq \f(π,2)< φ<eq \f(π,2)，∴cos φ>0， ∴cos φ＝eq \f(4,5)，从而tan φ＝eq \f(sin φ,cos φ)＝eq \f(－\f(3,5),\f(4,5))＝－eq \f(3,4). 3.若tan α＝2，则eq \f(2sin α－cos α,sin α＋2cos α)的值为(　　) A.0 B.eq \f(3,4) C.1 D.eq \f(5,4) 解析　eq \f(2sin α－cos α,sin α＋2cos α)＝eq \f(2tan α－1,tan α＋2)＝eq \f(4－1,2＋2)＝eq \f(3,4). 4.已知sin α－cos α＝－eq \f(5,4)，则sin αcos α等于(　　) A.eq \f(\r(7),4) B.－eq \f(9,16) C.－eq \f(9,32) D.eq \f(9,32) 解析　由题意得(sin α－cos α)2＝eq \f(25,16)， 即sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝eq \f(25,16)， 又sin2α＋cos2α＝1， ∴1－2sin αcos α＝eq \f(25,16)，∴sin αcos α＝－eq \f(9,32). eq \f(\r(15),5) 解析　方法一：因为tan A＝eq \f(\r(6),3)，A为三角形的内角，可知角A终边上一点的坐标为(3，eq \r(6))，则该点到原点的距离为eq \r(32＋(\r(6))2)＝eq \r(15)， 故sin A＝eq \f(\r(6),\r(15))＝eq \f(\r(10),5)，cos A＝eq \f(3,\r(15))＝eq \f(\r(15),5). 5.在△ABC中，若tan A＝eq \f(\r(6),3)，则sin A＝________，cos A＝________. eq \f(\r(10),5) 方法二：因为tan A＝eq \f(\r(6),3)，所以eq \f(sin A,cos A)＝eq \f(\r(6),3)，则sin A＝eq \f(\r(6),3)cos A，又sin2A＋cos2A＝1，所以eq \f(2,3)cos2A＋cos2A＝1，则cos2A＝eq \f(3,5).因为A是△ABC的内角，且tan A>0，所以A为锐角，所以cos A＝eq \f(\r(15),5)，sin A＝eq \r(1－cos2A)＝eq \r(\f(2,5))＝eq \f(\r(10),5). 方法三：同方法二可得cos A＝eq \f(\r(15),5)，因为eq \f(sin A,cos A)＝tan A，所以sin A＝tan Acos A＝eq \f(\r(6),3)×eq \f(\r(15),5)＝eq \f(\r(10),5). $