专题04 相交线和平行线（5大知识点+9大考点+复习提升）（寒假复习讲义）七年级数学新教材华东师大版

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04相交线和平行线 内容导航 田串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 目重点速记：知识点和关键点梳理， 查漏补缺 ☆举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 思维导图串知识 定义：顶点相同，两边互为反向延长线的两个角 对顶角0 性质：对顶角相等 一辨析：邻补角有一条公共边，和为180°；对顶角无公共边 定义：两条直线相交成90°，则这两条直线互相垂直 核心模块一：相交线( 垂线0≤ 基本事实。 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度 邻补角0一 一定义：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角 性质：和为180 平行线定义 同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 表示方法：直线ā∥直线b 平行公理及推论0 平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 核心模块二：平行线及其判定 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行(a∥b,b∥c→a∥c) 判定1：同位角相等，两直线平行 判定2：内错角相等，两直线平行 平行线的判定方法 判定3：同旁内角互补，两直线平行 判定4：平行于同一直线的两直线平行 判定5：垂直于同一直线的两直线平行（同一平面内） 性质1：两直线平行，同位角相等 性质2：两直线平行，内错角相等 核心模块三：平行线的性质⊙ 性质3：两直线平行，同旁内角互补 性质与判定的区别。 判定：由角的关系推线的平行 性质：由线的平行推角的关系 同位角：位置相同，在截线同旁，被截两直线同侧（形如“） 核心模块四：三线八角O 内错角：在截线两旁，被截两直线之间（形如“Z”） 同磨内角·在戟线同磨，被截两直线之间（形如“U”) 注意：只有被藏线平行时，同位角、内错角才相等，同旁内角才互补 定义：判断一件事情的语句 命题0、 组成：题设（已知事项）+结论（由已知推出的事项） 核心模块五：命题、定理、证明 分类：真命题（题设成立，结论一定成立）、假命题（题设成立，结论不成立） 定理：经过推理证实的真命题 证明：推理过程，需依据定义、公理、定理进行 对顶角和邻补角的区别：对顶角相等但不一定互补，邻补角互补但不一定相等 易错点警示O 平行线判定与性质的混淆：牢记“判定证平行，性质用平行 “三线八角”的识别：先找截线和被载线，再判断角的位置关系 垂线段与垂线的区别：垂线是直线，垂线段是线段，距离是垂线段的长度 重点速记 ☑知识点1：邻补角 邻补角形成的前提是两条直线相交 互为邻补角同时满足这三条：1)有公共顶点；2)其中一边是公共边；3)另一边互为反向延长线 邻补角的定义既包含了两个角的位置关系，又包含了两个角的数量关系。邻：指的是位置相邻，补： 指的是两个角的和为180°。 ☑知识点2：对顶角 1/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对顶角的定义两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这 种位置关系的两个角，互为对顶角。 ☑知识点3：垂线 垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫 做垂足 垂直是两条直线的位置关系，如果a是b的垂线，那么同时b也是a的垂线 垂线的画法：一落，二移，三画 垂线性质：1)过一点有且只有一条直线与己知直线垂直；2)垂线性质连接直线外一点与直线上各点的所 有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。 ☑知识点4：同位角、内错角、同旁内角 如下图，直线AB、CD与直线EF相交（或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截），构成八个角，简 称为“三线八角” 被截线 同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线 EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角. 内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内 错角 同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角， ☑知识点5：平行线的判定方法 判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简单记为“同位角相等， 两直线平行”。 判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。简称为“内错角相等，两直 线平行”。 判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。简记为“同旁内角互补， 两直线平行”。 判定方法4：在同一平面内，两条直线都与第三条直线垂直，这两条直线平行。简记为“垂直于同一直线的 两直线平行”。 ●核心考点举一反三 【考点1判断对顶角】 例1.下面四个图形中，∠1与L2是对顶角的图形有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 变式1.下列各图中，∠1和∠2互为对顶角的是() 2/16 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式2.下列图形中，∠1和∠2是对顶角的是() 2 A B. D 变式3.如图，直线AB,CD,EF都经过点O,图中有哪几对对顶角？ E B O F 【考点2三线八角】 例2如图，∠1和∠2是同位角的是() C 变式1.如图，与5为同旁内角的是() D E A.∠1 B.∠2 C.∠3 D.∠4 变式2.如图，如果∠1=40°，∠2=100°，那么∠3=，∠3的同位角等于，∠3的内错角等于一， ∠3的同旁内角等于一· 3/16 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式3.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，过点B作三角形ABC的AC边上的高BD,过D点作三角形ABD的AB 边上的高DE. 的 E D (1)∠A的同位角是 (2)∠ABD的内错角是 (3)点B到直线AC的距离是线段 的长度. (4)点D到直线AB的距离是线段 的长度. 【考点3垂线及垂线段最短】 例3.如图，AC⊥BC,CD⊥AB,垂足分别是点C、D,点C到直线AB的距离是线段 的长度。 A D 变式1.如图，在河旁边有一个村庄，现要建一个码头，为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在 处，其中的道理是 小河 CH 沙村庄 变式2.在下列各图中，分别过点P画AB的垂线， B B 变式3.如图，要把河中的水引到水池C,那么，在河岸AB的什么地方开始挖渠才能使水渠最短？ 4/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·水池C 【考点4添加一个条件使两直线平行】 例4.如图，添加一个条件： 使得AD II BC. D 4 13 变式1.如图所示，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、AC上的点，连接DE、DF,请添加一个条件」 使得DE?AC.(只写一个) E 变式2.如图，请添加一个符合要求的条件，使得AB?CD,这个条件可以是一·（写出一种情况即可） F D 变式3如图，直线AB、CD被直线DE所截，交点分别为点F、D,添加一个条件，使得AB I DC,你添加的 是 ·(添加一个即可) E B 【考点5利用两直线平行求角的度数】 例5.如图，lI‖m,∠1=115°，∠2=95°，则∠3=() 5/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 2 m A.20° B.30 C.40 D.45° 变式1.如图，水面MN与底面EF平行，光线AB从空气射入水里时发生了折射，折射光线BC射到水底C处， 点D在AB的延长线上，若∠1=70°，∠2=32°，则∠DBC的度数为() A 空气 M 水 A.21° B.259 C.38 D.46° 变式2.图①是某运动员在参加男子竞技体操双杠（两杠平行）项目时的一个静止动作，图②是其俯视示意 图.若AB与BC的夹角为105°，∠1=55°，则∠2的度数为 B 图① 图② 变式3.如图，已知AB⊥BE,ADI‖IBC,若∠BAD=28°，则∠CBE等于() D -E A.66° B.64 C.629 D.60° 【考点6根据平行线的性质探究角的关系】 例6.综合应用 在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题“两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相 垂直”是真命题 6/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G F D 图① 图② (1)小明同学画出了相对应的图形（图①），请补全“已知”和“求证”，并写出证明过程， 已知：如图①， ,直线EF分别交AB,CD于点E,F,∠BEF的平分线与LDFE的平分线交于点 G 求证： (2)如图②，在图①的基础上，分别作∠BEG与∠DFG的平分线，交点为M,求∠M的度数， 变式1.如图，点B,C,D在同一条直线上，∠A=∠B.如果CE?AB,那么∠1=∠2.请将下面的说理过程补 充完整， E B D..CE M AB(已知)， 1=( ) ∠2=∠( ×∠A=∠B(已知)， ·∠1=∠2( 变式2.发现与探究 已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，分别结合图1、图2探究这两个角的关系. A 3 B 2 D D E 图1 图2 (1)如图1，AB IEF,BC ED,∠1与∠2的关系是 (请将如下证明补充完整) 证明：~AB‖EF(已知)， “∠1=∠3（两直线平行，内错角相等）. BC IED(已知)， 7/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠3=∠2( .∠1=∠2( (2)如图2，AB IEF,BC I ED,∠1与L2的关系是 (请将如下证明补充完整) 证明： 思考与结论 (3)综合上述，我们可以得到一个真命题：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角 变式3.如图，点D在三角形ABC的边AC上（点D不与点A,C重合），DE?AB交BC于点E,DF?BC交AB于点 F F B 备用图 (I)若点M是线段BF上任意一点（点M不与点B,F重合），连接DM,EM,补全图形解答下列问题： ①∠B=45°，则∠EDF= ②用等式表示∠FDM、∠DME、∠BEM之间的数量关系，并证明. (②)若点M在线段AF上（点M不与点A,F重合），直接写出LFDM、∠DME、∠BEM之间的数量关系. 【考点7平行线中与三角尺有关的问题】 例7.如图，直线mln,一把含30°角的直角三角尺按所示位置摆放，若∠1=30°，则∠2的度数 是 n 变式1.如图，一副三角板，其中∠EDF=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=30°. 8/16 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G B 图 D 图3 图4 (I)若这副三角板如图摆放，EF?CD,求LABF的度数 (2)将一副三角板如图1所示摆放，直线GH?MN,保持三角板ABC不动，现将三角板DEF绕点D以每秒2的 速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且0≤t≤180，若边BC与三角板的一条直角边（边DE?DF) 平行时，求所有满足条件的t的值， 3)将一副三角板如图3所示摆放，直线GH?MN,现将三角板ABC绕点A以每秒1的速度顺时针旋转，同时 三角板DEF绕点D以每秒2的速度顺时针旋转，设旋转时何为t秒，如图4，∠BAH=t°，∠FDM=2t°，且 0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边（边DE?DF)平行时，请直接写出满足条件的t的值. 变式2.综合与实践 问题情景：综合与实践课上，数学老师让同学们以手中的三角板为主题进行研究，并设计出一些问题. B E 图1 图2 图3 备用图 (1)梦想小组的同学们将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板ADE的直角顶点E落在BC上，己知， ∠DAE=60°，∠B=∠C=45°，且AD II BC,则∠CAE的度数为 °；（直接写出答案》 (2)善思小组的同学们将一个三角板ABC(∠B=∠ACB=45)放在一组直线MW与PQ之间，如图2，并使直 角顶点A在直线MN上，顶点C在直线PQ上，现测得LMAB=36°，∠PCB=9°，猜想MN与PQ的位置关系，并 说明理由； (3)勤学小组的同学们两块三角板的直角顶点C重叠，固定△ACB,如图3，将△DCE绕着点C在平面内转 动.其中LA=60°，∠B=30°，LD=∠E=45°，假设直角边DC=AC.图中所有点均在一个平面内，设∠ACE 9/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 度数为a(0°<a<180),当a等于多少时，DE‖AB,请画出图形并完成相应解答 变式3.已知三条直线m‖ln‖l和一副直角三角板 ABC,DEF(LBAC=∠EDF=90°，∠FED=60°，∠DFE=30°，∠ABC=∠ACB=45). m D m B(F) A 公 D 2 B(F) C 图1 图2 (I)如图1把三角尺ABC的边BC放在I上，三角尺DEF的顶点F与顶点B重合，边EF经过AB,顶点E恰好落在m 上，顶点D恰好落在n上，边ED与n相交所成的一个角记为∠1，求∠1的度数： (2)如图2，两个三角尺的两个直角顶点A,D分别落在l和m上，顶点C恰好落在n上，边AC与相交所成的一 个角记为42，边与m相交所成的一个角记为∠3，请你说明42=∠3+15°； (3)如图2，若点N是直线n上一点，CN恰好平分LACB时，求L2与L3的度数. 【考点8猪蹄模型、铅笔模型、骨折模型、臭脚模型】 例8.已知AB?CD,点E在BD连线的右侧，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F D 图1 图2 (1)如图1，若∠1=60°，∠2=70°，求∠F的度数. (2)求证：2∠F=360°-∠E (3)如图2，若LE=m°，∠PBF=nLABP,∠PDF=nLCDP,求∠P的度数（用m,n的代数式表示）. 变式1.综合探究 G D B E 6 D 图① 图② 图③ (I)【基本感知】如图①，AB ICD,∠AEP=40°，∠PFD=130°，求LEPF的度数.小乐的解题方法如下， 请补全下列过程. 10/16 专题04 相交线和平行线 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：邻补角 邻补角形成的前提是两条直线相交 互为邻补角同时满足这三条：1）有公共顶点；2)其中一边是公共边；3）另一边互为反向延长线 邻补角的定义既包含了两个角的位置关系，又包含了两个角的数量关系。邻：指的是位置相邻，补： 指的是两个角的和为180°。 知识点2：对顶角 对顶角的定义两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。 知识点3：垂线 垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足 垂直是两条直线的位置关系，如果a是b的垂线，那么同时b也是a的垂线 垂线的画法：一落，二移，三画 垂线性质：1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；2）垂线性质连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。 知识点4：同位角、内错角、同旁内角 如下图，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角” 同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角. 内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角. 同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角. 知识点5：平行线的判定方法 判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简单记为“同位角相等，两直线平行”。 判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。简称为“内错角相等，两直线平行”。 判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。简记为“同旁内角互补，两直线平行”。 判定方法4：在同一平面内，两条直线都与第三条直线垂直，这两条直线平行。简记为“垂直于同一直线的两直线平行”。 【考点1 判断对顶角】 例1．下面四个图形中，与是对顶角的图形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查对顶角的定义，解决本题的关键是熟记对顶角的定义． 根据对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，即可解答． 【详解】解：根据对顶角的定义可知：只有第3个图中的是对顶角，其余的图中的角都不是． 故选：A． 变式1．下列各图中，和互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查对顶角的概念及识别，掌握对顶角的概念，图形结合分析是解题的关键．根据对顶角的概念“一个角的两边分别是另一个角的反向延长线”即可求解． 【详解】解：A：没有公共顶点，不是对顶角，故A错误，不符合题意； B：的两边不是两边的延长线，不是对顶角，故B错误，不符合题意； C：根据概念可知和互为对顶角，故C正确，符合题意； D：的两边不是两边的延长线，不是对顶角，故D错误，不符合题意； 故选：C． 变式2．下列图形中，和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的判断，根据对顶角的定义 “有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角”逐项进行判断即可． 【详解】解：A、两角的两条边其中一条不互为反向延长线，不符合题意； B、符合对顶角的定义，是对顶角，符合题意； C、两角的两条边其中一条不互为反向延长线，不符合题意； D、两角没有共同顶点，不是对顶角，不符合题意； 故选：B． 变式3．如图，直线都经过点O，图中有哪几对对顶角？ 【答案】6对，分别是与；与；与；与；与；与 【分析】此题考查对顶角的定义，根据对顶角的定义找出对顶角即可． 【详解】解：图中对顶角有：与；与；与；与；与；与； 共6对． 【考点2 三线八角】 例2 如图，和是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角． 根据同位角的定义：在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角，解答即可． 【详解】解：由同位角的定义可知选项A符合题意， 故选：A． 变式1.如图，与为同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同旁内角的概念，熟练掌握概念是解题的关键． 根据在截线的同旁，在被截线之间的角是同旁内角进行判断即可． 【详解】解：根据同旁内角的概念可得：和是同旁内角． 故选：D． 变式2.如图，如果，，那么 ，∠3的同位角等于 ，∠3的内错角等于 ，∠3的同旁内角等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的定义、三线八角的定义，由定义得，∠3的同位角等于，∠3的内错角等于，∠3的同旁内角等于，即可求解． 【详解】解：， ∠3的同位角等于， ∠3的内错角等于， ∠3的同旁内角等于， 故答案为：，，，． 变式3.如图，在中，，过点B作三角形的边上的高，过D点作三角形的边上的高． （1）的同位角是 ． （2）的内错角是 ． （3）点B到直线的距离是线段 的长度． （4）点D到直线的距离是线段 的长度． 【答案】 【分析】本题考查了同位角、内错角、点到直线的距离，熟练掌握基础概念是解题的关键． 根据同位角、内错角的概念，点到直线的垂线段的长度是点到直线的距离可得答案． 【详解】解：的同位角是， 的内错角是， 点B到直线的距离是线段 的长度， 点D到直线的距离是线段 的长度， 故答案为：； ； ；． 【考点3 垂线及垂线段最短】 例3. 如图，，，垂足分别是点、．点到直线的距离是线段 的长度． 【答案】 【分析】本题考查了点到直线的距离．由点到直线的距离定义，即可求解． 【详解】解：因为， 所以点C到直线的距离是线段的长度． 故答案为： 变式1.如图，在河旁边有一个村庄，现要建一个码头，为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在 处，其中的道理是 ． 【答案】 C 点到直线，垂线段最短 【分析】本题主要考查垂线段最短，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；此题可根据垂线段最短进行求解即可． 【详解】解：为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在C处，其中的道理是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； 故答案为垂线段最短． 变式2.在下列各图中，分别过点P画的垂线． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查过一点画已知直线的垂线，熟练掌握作图方法是解题的关键．利用直角三角板即可完成作图． 【详解】解：如图所示： 变式3.如图，要把河中的水引到水池C，那么，在河岸的什么地方开始挖渠才能使水渠最短？ 【答案】见解析 【分析】本题考查垂线段最短的知识点．运用垂线段最短的性质来确定使水渠长度最短的挖渠位置． 【详解】解：如图，过水池C作河岸的垂线段，垂足为点，这条垂线段就是连接水池C与河岸的最短路径，故水渠最短． 【考点4 添加一个条件使两直线平行】 例4. 如图，添加一个条件： ，使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键． 根据平行线的判定定理，即可直接写出条件． 【详解】解：添加的条件是：．理由如下： ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案是：（答案不唯一）． 变式1.如图所示，在中，点分别是上的点，连接，请添加一个条件 ，使得．（只写一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的三个判定定理添加即可． 【详解】解：添加， 由同位角相等两直线平行，即可得； 故答案为：（答案不唯一）． 变式2.如图，请添加一个符合要求的条件，使得，这个条件可以是 ．（写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，熟练掌握“内错角相等（或同位角相等、同旁内角互补），两直线平行”是解题的关键． 根据平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等），添加能判定的角的关系． 【详解】解：添加条件：， ∵ ， ∴ （内错角相等，两直线平行）， 故答案为：（答案不唯一）． 变式3.如图，直线、被直线所截，交点分别为点F、D，添加一个条件，使得，你添加的是 ．（添加一个即可） 【答案】（答案不唯一，正确即可） 【分析】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法即可求解． 【详解】解：添加的条件，根据“同旁内角互补，两直线平行”可得． 故答案为：（答案不唯一） 【考点5 利用两直线平行求角的度数】 例5. 如图，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，作出平行线是解答本题的关键． 作，根据平行线的性质求出，再根据角的和差得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，作， ， ， ， 又， ， ， 故选B． 变式1.如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底C处，点D在的延长线上，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的性质，由平行线的性质求出的度数，由对顶角定义得，再根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 变式2.图①是某运动员在参加男子竞技体操双杠（两杠平行）项目时的一个静止动作，图②是其俯视示意图．若与的夹角为，，则的度数为 ． 【答案】/130度 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，结合图形构造平行线是解题的关键．过点B作，利用平行线的性质与判定即可求解． 【详解】解：如图，过点B作， ∵，， ， ∴，， ∴， ∵与的夹角为， ∴， ∴． 故答案为：． 变式3.如图，已知，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质及垂线，熟知平行线的性质是解题的关键． 先根据平行线的性质求出的度数，再结合即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴． 故选：C． 【考点6 根据平行线的性质探究角的关系】 例6. 综合应用 在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题“两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直”是真命题． (1)小明同学画出了相对应的图形（图①），请补全“已知”和“求证”，并写出证明过程． 已知：如图①，____________，直线分别交，于点E，F，的平分线与的平分线交于点 求证：________________． (2)如图②，在图①的基础上，分别作与的平分线，交点为，求的度数． 【答案】(1)，，证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的性质，命题与定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）利用平行线的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可； （2）先求出的度数，再根据角平分线的性质求和的度数，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：已知：如图①，，直线分别交，于点E，F，的平分线与的平分线交于点． 求证：． 证明： ， ， 平分，平分， ，， ， 在中，， ， ； 故答案为：，； （2）解：由（1）可知，， ，， ， ， 平分，平分， ，， ， ， 在中，， ． 变式1.如图，点在同一条直线上，．如果，那么．请将下面的说理过程补充完整． （已知）， ( )， ( )． （已知）， ( )． 【答案】 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 等量代换 【分析】本题考查平行线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．由，根据平行线的性质，得，，再根据，等量代换即可使题目得证． 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，同位角相等）， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （等量代换）．      故答案为：，两直线平行同位角相等，，两直线平行内错角相等，等量代换． 变式2.发现与探究 已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，分别结合图1、图2探究这两个角的关系． （1）如图1，与的关系是___________； （请将如下证明补充完整） 证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （___________，___________）． （___________）． （2）如图2，与的关系是___________； （请将如下证明补充完整） 证明： 思考与结论 （3）综合上述，我们可以得到一个真命题：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角___________． 【答案】（1）（或相等）；两直线平行，内错角相等；等量代换； （2）（或互补）；证明见解析； （3）相等或互补 【分析】本题考查平行线的性质（内错角相等、同旁内角互补），结合等量代换，探究了两边分别平行的两个角的关系，先从特殊图形（图1、图2）入手，再归纳出一般结论． （1）利用平行线的性质，通过中间角来推导与的关系； （2）同样利用平行线性质，结合邻补角知识推导； （3）最后综合（1）（2）即可得出一般结论． 【详解】解：（1）证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （两直线平行，内错角相等）． （等量代换）． 故答案为：（或相等）；两直线平行，内错角相等；等量代换； （2）（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）． 故答案为：（或互补）； （3）综合（1）中（两角相等）和（2）中（两角互补），可得：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 变式3.如图，点在三角形的边上（点不与点重合），交于点，交于点． (1)若点是线段上任意一点（点不与点重合），连接，补全图形解答下列问题： ①，则___________； ②用等式表示、、之间的数量关系，并证明． (2)若点在线段上（点不与点重合），直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1)①；②，见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质； （1）①直接根据平行线的性质求解即可； ②过M作，则，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，结合即可得出结论； （2）过M作，则，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，结合即可得出结论． 【详解】（1）解∶①如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶45； ②； 理由：过M作，则， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴； （2）解：； 理由：过M作，则， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴． 【考点7 平行线中与三角尺有关的问题】 例7. 如图，直线，一把含角的直角三角尺按所示位置摆放，若，则的度数是 ． 【答案】30 【分析】本题考查平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，进行求解即可． 【详解】解：∵，含角的直角三角尺， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：30 变式1.如图，一副三角板，其中． (1)若这副三角板如图摆放，，求的度数． (2)将一副三角板如图1所示摆放，直线，保持三角板不动，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为秒，且，若边与三角板的一条直角边（边）平行时，求所有满足条件的的值． (3)将一副三角板如图3所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转．设旋转时何为秒，如图4，，且，若边与三角板的一条直角边（边）平行时，请直接写出满足条件的的值． 【答案】(1) (2)15或60或105或150 (3)30或120 【分析】（1）由题意得，，，，利用平行线的性质可得，即可求得答案； （2）当时，延长交于点，分两种情况：当在上方时或当在下方时，分别运用平行线的性质即可求解；当时，延长交于点，分两种情况：当在上方时或当在下方时，分别运用平行线的性质即可求解； （3）当时，延长交于点，分两种情况讨论：当在上方时或当在下方时，分别运用平行线的性质求解即可；当时，延长交于点，分两种情况讨论：当在上方或在下方时，分别运用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，由题意得，，，， ，， ， ， ； （2）解：如图，当时，延长交于点， ， 当在上方时， ， ， ， ， ， ，即， ； 当在下方时，， ， ， ， ， ， ，即， ； 当时， 当在上方时，，如图，延长交于点， ， 根据题意得：， ， ， ， ， ， 即， ； 当在下方时，如图，延长交于点， ， 根据题意可知：， ， ， ， ， ， ， 即， 综上所述：所有满足条件的的值为15或60或105或150； （3）解：由题意得，，， 如图，当时，延长交于点 ， 当在上方时， ， ， ， ， ， ，即， ， 当在下方时，， ， ， ， ， ， ，即， （不符合题意，舍去）； 当时，延长交于点， 当在上方时，，如图， ， 根据题意得：， ， ， ， 即， ， ，此时应该在下方，不符合题意，舍去； 当在下方时，如图， ， 根据题意可知：， ， ， ， 即， ， 综上所述：所有满足条件的的值为30或120． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质、添加恰当的辅助线、采用分类讨论的思想解决问题． 变式2.综合与实践 问题情景：综合与实践课上，数学老师让同学们以手中的三角板为主题进行研究，并设计出一些问题． (1)梦想小组的同学们将一副三角板按如图所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，已知，，且，则的度数为_________；（直接写出答案） (2)善思小组的同学们将一个三角板（）放在一组直线与之间，如图，并使直角顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，猜想与的位置关系，并说明理由； (3)勤学小组的同学们两块三角板的直角顶点重叠，固定，如图，将绕着点在平面内转动．其中，假设直角边．图中所有点均在一个平面内．设度数为，当等于多少时，．请画出图形并完成相应解答． 【答案】(1) (2)；理由见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，所以可得，进一步可求得答案； （2）由已知可求得，，即可根据“同旁内角互补，两直线平行”得出结论； （3）分两种情形：当和在点异侧时，延长，交于，过点作，根据，得出，从而得出；当和在点的同侧时，设交于点，过点作，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ； 故答案为：． （2）； 理由如下： ，， ， ，， ， ， ； （3）解：如图， 当和在点异侧时，延长，交于，过点作， ∵ ∴， ∴ ， 如图， 当和在点的同侧时，设交于点，过点作， ∵ ∴， ∴ ， 综上所述：或． 变式3.已知三条直线和一副直角三角板． (1)如图1把三角尺的边放在上，三角尺的顶点与顶点重合，边经过，顶点恰好落在上，顶点恰好落在上，边与相交所成的一个角记为，求的度数； (2)如图2，两个三角尺的两个直角顶点，分别落在和上，顶点恰好落在上，边与相交所成的一个角记为，边与相交所成的一个角记为，请你说明； (3)如图2，若点是直线上一点，恰好平分时，求与的度数． 【答案】(1) (2)见详解 (3)， 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，平行线的性质，平移变换，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． （1）先由三角板度数组合，求出度数，进而由平行的性质可知，然后用，则求出度数． （2）如图2所示，过点作，利用平行线的性质可得，，可得，又因为，代入即可证明题目所求． （3）因为平分，则，根据平行线的性质可得，利用（2）中结论，即可求． 【详解】（1）解：（1）如图1中， ， ， 又， ， ； （2）如图2所示，过点作， ，， ， ， ， 又， ， ， 又， ， ， ． （3）在（2）的条件下，， 又平分， ， 又 ， ， ． 【考点8 猪蹄模型、铅笔模型、骨折模型、臭脚模型】 例8. 已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点． (1)如图，若，，求的度数． (2)求证： (3)如图，若，，，求的度数（用，的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是根据平行线的性质找角之间的关系． 过点作，根据平行线的性质可知，，根据角之间的关系可以求出； 过点作，过点作，设，，根据平行线的性质可证，，从而可得：，即可得到：，从而可证结论成立； 设，，可得：，，根据平行线的性质可证：，又因为，从而可得：． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如下图所示，过点作，过点作， ， ，， ， ， ， ， ， 平分，平分， ，， 设，， 则，， 又 ，， ，， ， ， ， ， ， ； （3）解：设，， ，， ，， 平分，平分， ，， 如下图所示，过点作， ， ， ， ， ， ， ， 由可知，， ， ， ， 即， ． 变式1.综合探究 (1)【基本感知】如图①，，，，求的度数．小乐的解题方法如下，请补全下列过程． 解：如图①，过点作， 则 ∵ (已知)， ∴______  (平行于同一直线的两条直线平行)． 两直线平行，同旁内角互补． 已知， 等式的性质． ，即等量代换 ． (2)【深入探究】如图②，，，，的平分线和的平分线相交于点，求的度数． (3)【拓展应用】如图③，已知直线，点，在直线上点在点的右侧，点，在直线上点在点的左侧，连接，，分别作和的平分线，两条角平分线所在的直线相交于点．设，β（β），请直接用含，的式子表示的度数． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等，， (2)的度数为 (3)的度数为或或或 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义．熟练掌握“作平行线，利用平行线的内错角相等、同旁内角互补”的辅助线方法，以及分类讨论点的位置情况，是解题的关键． （1）通过作平行线，利用平行线的性质（内错角相等、同旁内角互补），结合已知角度计算． （2）先利用角平分线得到半角，再作平行线，结合平行线的性质（内错角相等），通过角度差计算． （3）分点的位置情况，作平行线，利用平行线的性质和角平分线的定义，推导与、β的关系． 【详解】（1）解：如图①，过点作， 则（两直线平行，内错角相等） ∵ 已知， ∴ 平行于同一直线的两条直线平行． 两直线平行，同旁内角互补． 已知， 等式的性质． ，即等量代换 ． 故答案为：两直线平行，内错角相等，，； （2）解：是的平分线，是的平分线， ， 如图，过点作 ， ， 的度数为 （3）解：的度数为或或或 分以下情况： ①如图，当点在上方时，直线交于点，过点作，则 ， ，，平分，平分， ， 当点在下方时，同理可得 ②如图，当点在和之间且点在右侧时，过点作，则 ， ，，平分，平分， ， 当点在和之间且点在左侧时，同理可得 综上，的度数为或或或 变式2.已知直线，点M、N分别在直线、上． (1)如图1，点E在直线、之间，求证：； (2)如图2，若E在直线下方，与的角平分线交于点F，判断与的数量关系并证明； (3)如图3，若点E是直线上方一点，点G是直线、之间一点，连接、、、，的延长线将分为两部分，，，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键． （1）过E作，根据平行线的性质即可得证； （2）过E作，过F作，根据平行线的性质及角平分线的定义即可解答； （3）记交于点H，根据题意设，，则，，，根据平行线的性质表示出、，由列式求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，过E作，过F作， ∵， ∴， ∴，，，， ∴，， ∵与的角平分线交于点F， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图，记交于点H， ∵，， 设，， 则，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式3.【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的． (1)如图一，已知，，请说明． 解：分别过点C，D作，． 因为 ① ，所以． 由两直线平行，内错角相等，可知，，． 由题知，所以 ② ． 则，即 ③ ． 由 ④ ，可得． 请根据自己的理解，将上述推理过程补充完整． (2)【迁移应用】如图二，已知，，的交点为E．判断，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…，第n次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三．若，直接写出的大小． 【答案】(1)①；②；③；④内错角相等，两直线平行 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定及角平分线的规律应用，解题的关键是通过作辅助线转化角的关系，利用平行线性质推导，再根据角平分线的递推规律求解． （1）利用平行公理补全推理，通过角的等量代换得到内错角相等，从而判定平行； （2）作辅助线分析角的数量关系； （3）先根据（2）的结论得到初始角的关系，再结合角平分线的定义，依次推导每次操作后角的表达式，归纳出第次操作后角与原角的数量关系，进而递推得到与的关系． 【详解】（1）解：分别过点，作， 因为，所以 由两直线平行，内错角相等，可知，， 由题知，所以 则，即 由内错角相等，两直线平行，可得 （2）解： 理由：过点作（如图）， ， ， （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，内错角相等）， ， ． （3）解：由（2）的结论可知：． 第一次操作：平分，平分， 则，， 根据（2）的结论，． 第二次操作：平分，平分， 则，， 同理，． 以此类推，第次操作后，． 已知，代入得， 解得． 答：的大小为． 【考点9 平行线间的距离】 例9. ，点，在直线上，点在直线上，，，，，则图中与之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两条平行线间的距离，三角形的面积的计算，解决本题的关键是熟记点到直线的距离的定义，正确的识别图形，明确三角形面积的不同计算方法．根据三角形的面积计算公式即可得到结论． 【详解】解：设与之间的距离为， 则， ，，， ， 与之间的距离为， 故答案为：． 变式1.已知如图直线，A、B为直线n上两点，C、D为直线m上两点，与交于点O，则图中面积相等的三角形有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】本题考查平行线间的距离，根据平行线间的距离处处相等，以及同底等高的三角形的面积相等，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴间的距离处处相等， ∴为同底等高的三角形，为同底等高的三角形， ∴，， ∴， ∴； 故共有3对面积相等的三角形； 故选C． 变式2.如图，在四边形中，，对角线、相交于点，与面积一定相等的三角形是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，得到平行线间的距离处处相等，得到，根据等式的性质解答即可． 本题考查了平行线的性质，三角形面积，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴平行线间的距离处处相等，得到， ， ． 故选：C． 变式3.如图，，，为直线上的任意两点，若，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形的面积，平行线间的距离，根据平行线间的距离相等可以得出和的面积相等，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴与之间的距离相等， ∴， 故答案为：5． 一、单选题 1．如图，直线，直线，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，两直线平行同位角相等，垂直的性质，对顶角相等，解题的关键在于准确识别图中熟练掌握平行线的性质，准确识别同位角，利用平行线的性质算出，用补角、余角、对顶角推算出的度数． 【详解】如下图 ∵ ∴ ∴ ∵直线 ∴ ∴ 故选：B． 2．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间线段最短，解题的关键是掌握相关知识．根据线段的性质，直线的性质和垂线段最短分别判断即可． 【详解】解：A、跳远测量成绩用到的是“垂线段最短”； B、两钉子固定木条用到的是两点确定一条直线； C、木板上弹墨线用到的是两点确定一条直线； D、弯曲河道改直用到的是两点之间，线段最短； 故选：A． 3．同一平面内有三条直线，若其中有两条且只有两条直线互相平行，则这三条直线交点的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查直线的位置关系，掌握相关知识是解决问题的关键．两条平行直线无交点，第三条直线与这两条平行直线均相交，故有两个交点 【详解】解：设三条直线为a、b、c，其中，c不平行于a或b ∵ ， ∴ a与b无交点 ∵ c与a相交， ∴有一个交点 ∵ c与b相交， ∴有一个交点 ∴ 三条直线共有两个交点． 故选：C． 4．如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为（    ） A．45° B．58° C．65° D．75° 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据平行线的性质和直角三角形的性质，可以得到的度数，本题得以解决． 【详解】解：过直角顶点作直线如图所示， ， ∴， 则，， ， ， ， ， ， 故选：B． 5．将一张长方形纸片按如图所示方式对折两次，第二次对折产生的折痕与第一次对折产生的折痕之间的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面上直线的位置关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据两直线的位置关系解答即可． 【详解】解：观察图形可知，将一张长方形纸片对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是平行． 故选：A． 6．如图，已知点C在上，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，得，同理求出的度数，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 故选：C 7． 如图，下列条件中：①，②，③，④，能判断的有（   ） A．1 个 B．2 个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；逐项判断即可得出答案． 【详解】解：①∵， ∴，故①符合题意； ②∵， ∴，故②不符合题意； ③∵， ∴，故③符合题意； ④∵，， ∴， ∴，故④符合题意； 综上所述，正确的有①③④，共3个， 故选：C． 8．下面各语句中，正确的个数是（   ） ①当时，成立； ②垂直于同一条直线的两条直线平行； ③若，，则当、不重合时，； ④相等的角是对顶角； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ⑥两个角的两边分别平行，那么这两个角相等． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查绝对值、平行线的判定与性质、对顶角等概念，需根据各个概念逐项判断正误即可． 【详解】①∵当时，，∴①错误； ②∵垂直于同一条直线的两条直线不一定平行（需在同一平面内），∴②错误； ③∵若，，则（平行线的传递性），当b、c不重合时成立，∴③正确； ④∵相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形的底角），∴④错误； ⑤∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，但“过一点”未指定点是否在直线上，∴⑤错误； ⑥∵两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，∴⑥错误； 综上，只有③正确，共1个； 故选A． 9．如图是直线上的一点，平分，平分，则的度数是（    ） A． B． C． D．随位置的变化而变化 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义． 根据角平分线的定义得到，，根据计算即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴． 故选：C． 10．如图，在同一平面内，线段的长为6，点到直线的距离分别为2和3，则符合条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离，即直线外一点到这条直线的垂线段的长度，注意距离都是非负数．根据点到直线的距离，即可求解． 【详解】解：如图： 符合条件的直线共有4条； 故选：D． 二、填空题 11．如图，过直线上一点O作射线，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查邻补角的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据邻补角的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 12．已知，直线分别交于点、，，将一个含有角的直角三角尺如图放置（角的顶点与重合），则等于 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．依据，可得，再根据，即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 13．张老师在黑板上留了一道作业题：“如图，直线被直线所截，其中，请你再添加一个条件，使，并注明判定依据．”三人所做答案如下： 甲：添加，依据：同旁内角相等，两直线平行； 乙：添加，依据：同位角相等，两直线平行； 丙：添加，依据：内错角相等，两直线平行； 对三位同学的答案判断正确的是 ． 【答案】乙、丙 【分析】本题考查平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 根据平行线的判定定理进行判断即可． 【详解】解：， 若添加，则，即同旁内角不互补，所以不能判断，则甲的答案错误； 若添加，则，根据同位角相等，两直线平行，可得，则乙的答案正确； 若添加，则，根据内错角相等，两直线平行，可得，则丙的答案正确． 故答案为：乙、丙 14．如图：已知直线、直线相交于点，，则下列结论：①；②的补角是；③若，则；④若平分，则；⑤若，则．其中正确结论有 ． 【答案】①③④⑤ 【分析】本题考查了对顶角性质、角平分线定义、垂线定义、余角和补角的知识，解题关键是熟练掌握相关概念和性质，准确分析角之间的关系．利用对顶角相等、角平分线的定义、垂线定义以及余角、补角的概念，对每个结论逐一进行分析判断即可． 【详解】解：①∵， ∴，故①正确，符合题意； ②∵， ∴的补角不是，故②错误，不符合题意； ③∵， ∴，故③正确，符合题意； ④∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确，符合题意； ⑤∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 综上，正确的有①③④⑤． 故答案为：①③④⑤． 三、解答题 15．如图，点分别在的边上，点在线段上，且，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求． 【答案】(1)；见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线定义． （1）由平行线的性质得，从而得，从而； （2）由邻补角的性质得到，由角平分线定义求出，于是得到． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ∴； （2）解：， ， 平分， ， 由（1）知． 16．点是直线上一点，线段绕点旋转，平分，过点作（在的右侧），平分． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂线定义的理解，余角的性质，掌握相关定义和性质是解题的关键． （1）根据及平分，可求出的度数，进而求出的度数，再根据平分，求出的度数，最后根据解答即可； （2）根据，表示出，再结合平分可表示出、，从而表示，根据平分，表示出，最后根据解答即可． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ， ， 平分， ， ； （2）解：， ， ， ， 平分， ，， ， 平分， ， ． 17．探究题：已知：． (1)如图1，点E在与之间，问与有什么关系？请说明理由． (2)如图2，点E在与之间，问与有什么关系？请说明理由． (3)如图3，点E在与之间，问与又有什么关系？直接写出结论． (4)如图4，与之间有何关系？直接写出结论． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 (4)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质以及角的计算，根据平行线的性质得出相等或互补的量是解题的关键． （1）根据平行线的性质即可解决问题； （2）根据平行线的性质即可解决问题； （3）根据平行线的性质即可解决问题； （4）根据平行线的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点E作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点E作， ∵， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图所示， ∵， ∴．， ∵， ∴； （4），理由如下： 过点F作， 由（1）知，， ∴， ∴． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $