【解题模型】专题39电磁感应中的“杆和导轨、导线框”模型-2026高考物理

专题39电磁感应中的“杆和导轨、导线框”模型 模型总结 模型1 导线框模型 1 模型2 单杆模型 16 模型3 双杆模型 31 模型1 导线框模型 1．导线框模型 模 型 一 示意图 在安培力作用下穿越磁场 位移 速度 电荷 量的 计算 动量不守恒，可用动量定理分析导线框的位移、速度、通过导线横截面的电荷量： (1)求电荷量或速度：－B·LΔt＝mv2－mv1，q＝Δt； (2)求位移：－＝0－mv0，即－＝0－mv0 模 型 二 示意图 在恒力F(包括重力mg)和安培力作用下穿越磁场 时间的 计算 求时间：①－BLΔt＋F其他·Δt＝mv2－mv1，即－BLq＋F其他·Δt＝mv2－mv1 已知电荷量q，F其他为恒力，可求出变加速运动的时间； ②－＋F其他·Δt＝mv2－mv1，即－＋F其他·Δt＝mv2－mv1 若已知位移x，F其他为恒力，也可求出变加速运动的时间 1．（2025·广东·模拟预测）如图所示，正方形金属线框abcd下方存在宽度为L的匀强磁场区域，该区域的上、下边界水平，磁感应强度的大小为B。线框从距磁场上边界高度为h处由静止开始自由下落。线框ab边进入磁场时开始减速，cd边穿出磁场时的速度是ab边进入磁场时速度的。已知线框的边长为L，质量为m，电阻为R，重力加速度大小为g，线框下落过程中ab边始终与磁场边界平行，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．线框ab边刚进入磁场时，产生的感应电流方向为abcda B．线框ab边刚进入磁场时，产生的感应电动势大小为 C．线框在穿过磁场区域的过程中最大加速度为 D．线框在穿过磁场区域的过程中产生的焦耳热为 【答案】AD 【详解】A．根据右手定则可得线框ab边刚进入磁场时，产生的感应电流方向为abcda，选项A正确； B．设ab边进入磁场时的速度大小为v，有 ab边进入磁场时，感应电动势 解得，选项B错误； C．ab边进入磁场时，线框的加速度最大，根据闭合电路欧姆定律可知，线框中感应电流的大小 ab边受到的安培力大小 根据牛顿第二定律有 得，选项C错误； D．线框穿过磁场的过程中，根据能量守恒定律有，选项D正确。 故选AD。 2．（2025·云南·模拟预测）如图所示，光滑绝缘的水平面上有垂直水平面的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，磁场区域Ⅰ和Ⅱ的宽度、两磁场区域之间的距离均为，磁场方向如图所示。边长为的正方形导线框位于水平面上，且边与磁场边界平行。某时刻线框以的初速度水平向右运动，穿过匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ。已知线框的质量为，电阻为，匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ的磁感应强度大小均为。求： (1)线框边进入磁场区域Ⅰ瞬间，边所受安培力的大小 (2)线框边进入磁场区域Ⅱ瞬间，线框的速度大小 (3)线框穿过区域Ⅰ和Ⅱ过程中产生的热量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）线框边进入磁场区域Ⅰ瞬间，产生的感应电动势大小为 由闭合电路欧姆定律得回路中感应电流的大小为 此时，边所受安培力的大小为 联立解得 （2）设线框边进入磁场区域Ⅱ瞬间，线框的速度大小为。线框边刚进入区域Ⅰ到边刚离开区域Ⅰ的过程中，对线框由动量定理得 由法拉第电磁感应定律得其中 由闭合电路欧姆定律得 同理，线框边刚进入区域Ⅰ到边刚离开区域Ⅰ的过程中有，， 联立解得 （3）用和（2）中相同的方法计算可得线框离开磁场区域Ⅱ的速度大小为 由能量守恒定律得线框穿过区域Ⅰ和Ⅱ过程中产生的热量为 解得 3．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场，其竖直边界MN与PQ平行，用相同导线制成的正三角形金属线框，边长为l，电阻为3R，导线框在外力作用下以速度v匀速穿过该磁场从图中ⅠⅡⅢ，在此过程中AC边始终与磁场边界垂直，O为AC中点，下列说法正确的是（　　） A．BO两点电势差的最大值为 B．ⅠⅡ过程中与ⅡⅢ过程中，通过线框横截面的电荷量相等 C．ⅠⅡ过程与ⅡⅢ过程外力做功相等 D．全过程中线框产生的热量为 【答案】BC 【详解】A．BO两点电势差最大时刻为线框位于Ⅱ位置，相当于双棒切割-两电池并联电势差大小为 故A错误； B．两次通过金属框横截面的电荷量 相同，则通过金属框横截面的电荷量相同，故B正确。 C．线圈通过磁场区域图像如图，线框进入和离开的两个过程电流变化对称，所以两段过程产生的焦耳热相同，根据能量守恒定律，外力做功等于焦耳热，因此两个过程外力做功相同，故C正确； D．金属线框匀速穿过磁场，位移 总时间 产生的电动势为 电流为 在时，电流最大为若电流为正弦交流电，则全过程中线圈产生的热量为 但线框穿过磁场产生的电流不为正弦交流电，故D错误。 故选BC。 4．（2025·贵州遵义·一模）如图，一足够长的固定绝缘光滑斜面与水平面成θ角，仅虚线MN以上区域内充满垂直斜面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为。质量为m的正方形金属线框abcd从磁场中某一位置静止释放，当线框ab边刚滑过MN时，线框所受安培力大小为，当线框cd边刚要到达MN时，线框加速度恰好为零。若在MN以下区域再充满一垂直斜面向上的匀强磁场（未画出），磁感应强度大小为。让此线框再次从相同位置静止释放，关于线框先后两次运动的过程，下列说法正确的是（　　） A．ab边刚过MN时流经线框的电流方向相同 B．ab边刚过MN时线框所受的合力的功率之比为1：17 C．cd边刚要到达MN时线框的动能之比为1：1 D．从静止释放到cd边刚要到达MN的过程中损失机械能的比值小于1 【答案】ABD 【详解】A．根据楞次定律可知，两次ab边滑过MN时的电流方向均由b到a，故A正确； B．第一次ab边刚过MN时，其安培力的大小为 解得 则ab边经过MN时的速度 线框受到的合力 第二次ab边刚过MN时，其安培力的大小为 由于两次从同一位置释放，因此ab边经过MN时的速度相同，根据法拉第电磁感应定律可得 则感应电流 联立解得 线框受到的合力 结合功率 可得两次ab边刚过MN时线框所受的合力的功率之比为1：17，故B正确； C．设第一次cd边刚要到达MN时线框的速度为，第二次线框的速度为，由题可得， 解得 线框的动能 同理可得， 解得 线框的动能 则两次的动能之比为，故C错误； D．根据能量守恒可知，损失的机械能等于克服安培力所做的功，由于第二次从静止释放到cd边刚要到达MN的过程中线框受到的安培力更大，克服安培力所做的功更多，损失的机械能更多，因此从静止释放到cd边刚要到达MN的过程中损失机械能的比值小于1，故D正确。 故选ABD。 5．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，两条平行光滑金属导轨水平放置，间距为L，中间有宽度为L、磁感应强度为B的匀强磁场；导轨右侧接有一个阻值为R的定值电阻。一个边长为L的正方形导线框abcd置于导轨左侧，其ab、cd边始终与导轨接触良好。导线框的ac、bd两边电阻均为R，ab、cd边电阻可忽略，现给导线框一个初速度v，当它完全进入磁场区域时，速度变为，求： (1)线框进入磁场区域左边界瞬间bd两点间的电压U； (2)线框的质量m； (3)上述过程中导轨右侧定值电阻R上产生的焦耳热Q。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）bd边切割磁感线，电动势 由欧姆定律 即 解得 b、d两点间电压 解得 （2）线框进入磁场的过程，根据动量定理有 其中， 解得 （3）由系统能量守恒得系统产生的总焦耳热 解得 根据 其中，， 解得 6．（2025·辽宁葫芦岛·二模）磁悬浮电梯是基于电磁学原理使电梯的轿厢悬停及上下运动的，如图甲所示，它主要由磁场和含有导线框的轿厢组成。其原理简化为：竖直面上相距为的两根绝缘平行直导轨，置于等距离分布的方向相反的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面，磁感应强度大小均为，每个磁场分布区间的长度都是，相间排列，如图乙所示。当这些磁场在竖直方向匀速平动时，跨在两导轨间的宽为、长为、总电阻为的导线框（固定在轿厢上）将受到安培力。当磁场平动速度为时，轿厢悬停；当磁场平动速度为时，轿厢最终竖直向上做匀速运动。重力加速度为，下列说法中正确的是（　　） A．磁场平动的速度方向竖直向上 B．磁场平动的速度方向竖直向下 C．导线框和电梯轿厢的总质量为 D．当磁场以速度平动时，轿厢最终速度为 【答案】ACD 【详解】AB．依题意，轿厢悬停或者竖直向上做匀速运动时，均需要竖直向上的安培力，由楞次定律的“阻碍作用”可知，磁场相对轿厢的运动方向均为竖直向上，即速度v1和v2的方向都是竖直向上，故A正确，B错误； C．设导线框和电梯轿厢的总质量为m。轿厢悬停时，导线框中的电流大小为 又由平衡条件有mg=2BI1d 联立解得 ，故C正确； D．当磁场平动速度为v2时，线框向上运动，当其加速度为零时，达到最大速度，设轿厢向上能达到的最终速度为v，则有 又由平衡条件有mg=2BI2d 联立解得v=v2-v1，则D正确。 故选ACD。 7．（2025·安徽安庆·模拟预测）如图所示在光滑水平面上建立水平向右的轴，两个相邻磁场区域Ⅰ、Ⅱ宽度均为，Ⅰ区域内磁场的磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向里；Ⅱ区域内磁场的磁感应强度大小为2B，方向垂直于纸面向外。单匝正方形线框abcd由粗细均匀的导线制成，其边长为。线框以沿轴正方向的初速度垂直边界进入磁场，刚好完全进入磁场区域Ⅰ时线框的速度大小为，该过程中通过线框截面的电量为，线框中产生的焦耳热为；从进入磁场区域Ⅱ开始，当通过线框截面的电量再次为时，线框刚好减速到零，该过程中线框中产生的焦耳热为。下列说法正确的是（　　） A．整个过程中线框中的感应电流方向不变 B．进入磁场区域Ⅱ的过程中线框向右运动了 C． D． 【答案】BC 【详解】A．根据楞次定律可知，进入磁场区域Ⅰ的过程中，磁通量增加，根据楞次定律线框中感应电流为逆时针方向，在进入磁场区域Ⅱ的过程中，磁通量先减小到0后增加，因磁场方向反向了，故线框中感应电流为顺时针方向，出磁场区域Ⅱ的过程中，磁通量减小，感应电流为逆时针，故A错误； B．进入磁场区域Ⅰ的过程中，通过线框截面的电量为 在进入磁场区域Ⅱ的过程中，通过线框截面的电量也为，说明磁通量变化量大小相等，所以线框刚好减速到零时，线框中磁通量为零，进入磁场区域Ⅱ的过程中线框向右运动了，故B正确； C．在进入磁场区域Ⅰ的过程中，根据动量定理有 同理，在进入磁场区域Ⅱ的过程中，根据动量定理有 联立解得，故C正确； D．在进入磁场区域Ⅰ的过程中，根据能量守恒有 在进入磁场区域Ⅱ的过程中，根据能量守恒有 联立解得，故D错误。 故选 BC。 8．（2025·河北·模拟预测）如图甲所示，在光滑水平面上有一个直角坐标系xOy，长方形导线框abcd长为2L，宽为L，质量为m，电阻为R，导线框的d点与坐标原点O重合，cd边和x轴重合，ad边和y轴重合，线框保持静止。在第一象限内存在垂直于水平面向下的磁场，磁感应强度随y坐标变化的规律为：，未知，给导线框沿y轴正向的恒力F，线框最终以速度做匀速运动，求： (1)比例系数k的值； (2)若初始时刻不加外力F，给线框一个与x轴正方向成角的初速度，如图乙所示，线框达到稳定状态时线框的速度以及cd边的y坐标。 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）线框匀速时，ab、cd边磁场差 切割磁感线产生的感应电动势 感应电流 线框最终以速度做匀速运动，安培力合力 代入数据可得 解得 （2）初速度分解为水平 竖直 水平方向：无外力，且水平运动时，ab、cd边磁场无差异（y不变），不产生感应电流，水平速度保持 竖直方向：切割磁感线产生感应电流，安培力阻碍运动，最终竖直分速度减为0（稳定后无竖直切割）。 故稳定速度 设竖直运动中某时刻速度为 线框匀速时，ab、cd边磁场差 切割磁感线产生的感应电动势 感应电流 线框最终以速度做匀速运动，安培力合力 代入数据可得 根据动量定理，合外力冲量等于动量变化，安培力的冲量 因（速度是位移对时间的导数） 代入得 利用（微元位移） 积分转化为对y的积分 积分结果 第一问中，线框匀速运动时， 则 代入上式得 9．（2025·河南·模拟预测）如图所示，1、2为两宽度均为的水平匀强磁场，两磁场区域间距为（），磁感应强度大小相等。一边长为的正方形金属线框从磁场上方由静止自由下落，恰能匀速通过区域1，后又通过下方区域2。下落过程中线框平面始终与磁场垂直，不计空气阻力。线框分别通过1、2两磁场区域时（　　） A．产生的电热相等 B．安培力的冲量相同 C．重力平均功率相等 D．合外力做功不相等 【答案】BD 【详解】A．因为，线框匀速通过区域1磁场，加速一段距离后，将减速通过区域2磁场，则线框通过两磁场区域重力势能减少相同，但动能变化不同，所以产生的电热不相等，故A错误； B．设磁感应强度大小为B，根据电流公式得 所以线框通过两磁场区域流过的电荷量相等，而安培力的冲量 则安培力的冲量相同，故B正确； C．由于在区域2运动的平均速度大于区域1中的平均速度，则线框通过两磁场区域所用时间不同，所以重力的平均功率不相等，故C错误； D．线框通过两磁场区域时的动能变化不同，则合外力做功不相等，故D正确。 故选BD。 10．（2025·湖南·模拟预测）如图所示，倾角为的光滑斜面上存在着两个磁感应强度大小均为的匀强磁场区域，区域Ⅰ和区域Ⅱ的磁场方向分别垂直于斜面向上和向下，磁场宽度及均为。一个质量为、电阻为、边长也为的正方形导线框由静止开始沿斜面下滑，边恰好匀速穿过区域Ⅰ。重力加速度取。 (1)求线框开始下滑时边与区域Ⅰ边界之间的距离； (2)求边刚穿过时线框的加速度大小； (3)若已知边到达时的速度为，求边穿过区域Ⅰ和区域Ⅱ的过程中所用的总时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设导线框以速度匀速穿过区域Ⅰ，感应电动势 电流为 线框做匀速运动，根据平衡条件，有 线框在磁场上方，根据牛顿第二定律，有 解得加速度为 根据速度-位移公式可得下滑的位移为 联立以上并代入数据解得， （2）边刚穿过时线框的感应电动势 电流 根据牛顿第二定律，有 联立解得 （3）边穿过区域Ⅰ的时间为 设边穿过区域Ⅱ的时间为，由动量定理得 其中 所用的总时间 联立以上解得 模型2 单杆模型 单杆模型 v0≠0 v0＝0 示意图 质量为m、电阻不计的导体杆ab以一定初速度v0在光滑水平轨道上滑动，两平行导轨间距为L 轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L 轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L，拉力F恒定 轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L，拉力F恒定 力学观点 导体杆以速度v切割磁感线产生感应电动势E＝BLv，电流I＝＝，安培力F＝BIL＝，做减速运动：v⇒F⇒a，当v＝0时，F＝0，a＝0，杆保持静止 S闭合，杆ab受安培力F＝，此时a＝，杆ab速度v⇒感应电动势BLv⇒I⇒安培力F＝BIL⇒加速度a，当E感＝E时，v最大，且vm＝ 开始时a＝，杆ab速度v⇒感应电动势E＝BLv⇒I⇒安培力F安＝BIL，由F－F安＝ma知a，当a＝0时，v最大，vm＝ 开始时a＝，杆ab速度v⇒感应电动势E＝BLv，经过Δt速度为v＋Δv，此时感应电动势E′＝BL(v＋Δv)，Δt时间内流入电容器的电荷量Δq＝CΔU＝C(E′－E)＝CBLΔv 电流I＝＝CBL＝CBLa 安培力F安＝BLI＝CB2L2a F－F安＝ma，a＝， 所以杆以恒定的加速度匀加速运动 运动图像 能量观点 动能全部转化为内能：Q＝mv 电源输出的电能转化为动能：W电＝mv F做的功一部分转化为杆的动能，一部分产生电热：WF＝Q＋mv F做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能：WF＝mv2＋EC 11．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图所示，在一磁感应强度B=0.5T的匀强磁场中，垂直于磁场方向水平放置着两根相距L=0.1m的平行光滑金属导轨MN和PQ，导轨电阻忽略不计，在两根导轨的端点N、Q之间连接一阻值R=0.3Ω的电阻。导轨上垂直放置着金属棒ab，其接入电路的电阻r=0.2Ω。当金属棒在水平拉力作用下以速度v=4.0m/s向左做匀速运动时（　　） A．ab棒所受安培力大小为0.02N B．N、Q间电压为0.12V C．a端电势比b端电势低 D．回路中感应电流大小为1A 【答案】AB 【详解】AD．ab棒产生的电动势为 回路中感应电流大小为 ab棒所受安培力大小为，故A正确，D错误； B．N、Q之间的电压为，故B正确； C．金属棒向左做匀速运动，由右手定则可知a端电势比b端电势高，故C错误。 故选AB。 12．（2025·云南昆明·模拟预测）如图甲所示，水平粗糙导轨左侧接有的定值电阻，导轨处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度，导轨间距。一质量的金属棒在水平向右拉力作用下从处由静止开始运动，金属棒与导轨间动摩擦因数，接入电路的有效电阻，金属棒的图像如图乙所示，取，下列说法正确的是（　　） A．由图像可知金属棒做匀加速直线运动 B．时，安培力的大小为 C．导体棒克服安培力做的功等于系统产生的焦耳热 D．从起点到位移的过程中，回路产生的焦耳热为 【答案】BCD 【详解】A．若物体做匀变速直线运动，则有v2=2ax 可得 则v-x图像不是一条直线。由图乙知金属棒的v-x图像是一条直线，故金属棒不是做匀加速直线运动，故A错误； B．由图乙可知当x=1m时，金属棒的速度为2m/s。则金属棒产生的感应电动势E= BLv1=2V 此时的电流 安培力F安=BIL=0.5N，B正确； C．根据功能关系可知，导体棒克服安培力做的功等于回路中的电能，最后转化为系统产生的焦耳热，C正确； D．由功能关系可知金属棒从起点运动到x=0.5m处的过程中，回路产生的焦耳热等于金属棒克服安培力所做的功即 从题图乙中图线与坐标轴围成的面积的物理意义可知 解得该过程回路产生的焦耳热，D正确。 故选BCD 。 13．（2025·浙江台州·一模）某兴趣小组设计了一电磁弹射装置，其工作原理可简化如图，恒流源、固定的金属导轨、导电底座，三者构成电磁驱动回路。将绝缘飞机模型安放在导电底座上，合上开关S，恒流源工作，输出的电流在导轨间产生磁场（磁场的磁感应强度与电流大小成正比），处在磁场中的导电底座受到安培力作用向右加速，从而实现弹射。两处用极短绝缘物质将金属导轨分为左右两部分，左侧光滑右侧粗糙，与导轨右侧距离为，右侧导轨间存在的匀强磁场，底座返回系统由右边的定值电阻与金属导轨相连构成。某次测试中闭合开关S，恒流源输出的电流在导轨间产生磁场，在3秒钟内，将模型飞机由静止加速到的起飞速度后脱离底座起飞，此时刚好到达处。已知导轨间距为，底座的质量为，等效电阻为。 (1)若输出电流增加一倍，则飞机的加速度为多大； (2)底座通过点后开始减速，底座减速过程中与导轨间的动摩擦因数为，经过后速度减为零，求电阻R产生的焦耳热为多少； (3)底座静止后让磁场极短时间内均匀消失，导轨与间返回动摩擦因数变为，求底座返回的距离为多少。 【答案】(1)20m/s2 (2)20J (3)2.5m 【详解】（1）3秒钟内，模型飞机由静止加速到的起飞速度，可知加速度为 当电流增加一倍，产生的磁场也增加一倍，根据可知安培力增加为原来4倍，所以飞机的加速度为 （2）底座受到的安培力为 根据动量定理可得 得 由能量守恒定律 得 又， 可知 （3）底座静止时离右端距离为，此时磁场消失过程中产生感应电流，安培力使底座获得向左速度，有 得 由 可得，刚好回到处。 14．（2025·河南·模拟预测）伽利略先生曾设想：最简单的变速运动可能是速度随时间或位移均匀变化的。 (1)如图1所示，水平固定放置的足够长的形光滑金属导轨处于竖直向上的匀强磁场中，在导轨上放着金属棒，现给金属棒以水平向右的初速度。金属棒仅在安培力作用下向右运动。已知磁场的磁感应强度为，轨道间距为，定值电阻为，金属棒质量为、有效电阻为，轨道及其他部分电阻不计。规定向右为正方向。 a.求出金属棒的速度随位移的变化率的表达式； b.利用变化率求出金属棒向右运动的最大位移； (2)将图1的装置整体旋转到竖直面内（磁场仍与导轨平面垂直），如图2所示，将金属棒由静止释放。 a.当金属棒速度为时，求出其速度随位移的变化率的表达式； b.利用及题干中的条件求出某个描述金属棒运动的物理量。 【答案】(1)a.；b. (2)a.；b.金属棒的最大速度 【详解】（1）a．对金属棒由牛顿第二定律可知 其中， 得 因、 可得 可得金属棒的速度随位移的变化率 b．根据不变，则 可得金属棒向右运动的最大位移 （2）a．对金属棒由牛顿第二定律可知 可得 则速度随位移的变化率 b．棒做速度随位移的变化率减小的减速运动，当变化率时， 可以求出金属棒的最大速度 15．（25-26高三上·河北保定·期中）如图所示，间距为L的两条足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为θ，上端通过导线连接阻值为R 的定值电阻，导轨光滑且电阻忽略不计。磁感应强度为B 的条形匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁场区域的宽度为，间距为。一根导体棒与导轨垂直放在导轨上，处于锁定状态，导体棒质量为m、导轨间部分电阻为R，到磁场区域1上边界距离为x(未知)。棒运动过程始终与导轨垂直，重力加速度为g。 (1)当时，导体棒释放后恰好匀速穿过磁场区域1。 ①求穿过磁场区域1 过程定值电阻产生的焦耳热； ②求。 (2)当x取合适值时，导体棒进入磁场后的运动过程中，在任一磁场区域和非磁场区域运动的时间均相等，求从导体棒释放到穿过第n个磁场区域所用的总时间。 【答案】(1)①；② (2) 【详解】（1）①导体棒匀速穿过磁场区域1过程，设回路产生总焦耳热为，由能量守恒有 定值电阻产生的焦耳热 ②设导体棒到达磁场区域1上边界时的速度大小为，由机械能守恒有 导体棒进入磁场区域1时，产生电动势 回路产生感应电流 导体棒受安培力大小 导体棒匀速穿过磁场区域1，有 联立解得 （2）设导体棒每次进入磁场区域时的速度为，每次离开磁场区域时的速度为，每次在磁场区域和非磁场区域运动时间均为T，运动的速度时间图像如图所示 导体棒在磁场中运动，设某时刻速度为，则安培力大小 经过一小段时间，速度变化，由动量定理有 左右两边求和，有 导体棒在无磁场区域运动过程，由动量定理有 由动能定理有 联立解得， 从释放到进入磁场区域1过程，设用时，由动量定理有 可得 从释放导体棒到穿过第个磁场区域，所用的总时间 16．（2024·黑龙江·模拟预测）如图甲所示为一倾角的粗糙平行导轨，其上方水平放置一导体棒MN、下方接有规格为“5V，1A”的小灯泡。导轨上某区域存在一矩形匀强磁场，磁场水平宽度恰等于导轨间距，磁场方向垂直导轨平面向上、磁感应强度大小按图乙所示规律变化。现将导体棒从时刻由静止释放，时恰好进入磁场区域做匀速直线运动，直到时刻离开磁场，小灯泡在时间内始终正常发光。已知导轨间距、导体棒MN的长度均为，导体棒MN与导轨间的动摩擦因数，重力加速度取，，则下列说法中正确的是（　　） A．磁场沿导轨方向的长度 B． C．导体棒MN的电阻 D．内，整个装置产生的焦耳热与摩擦产生的热量之比为 【答案】ABD 【详解】A．由题意，在内小灯泡电压为5V、电流为1A，导体棒进入磁场前加速度大小为 回路中电流由磁场变化产生，感应电动势 在0.5s时，导体棒以的速度进入磁场做匀速直线运动，切割磁感线产生感应电动势 小灯泡均正常发光，则有 解得，A正确； B．导体棒在磁场中运动的时间 故，B正确； C．导体棒分得电压为1V，电阻，C错误； D．内，整个装置产生的焦耳热 导体棒在磁场中匀速运动时有 解得 故摩擦产生的热量 比值，D正确。 故选ABD。 17．（2025·河北邯郸·模拟预测）某科研小组利用如图所示装置研究动能回收、储能实验。实验装置由等长水平平行光滑金属导轨MN、PQ（导轨间距为L），质量为m、粗细均匀的导体棒，以及磁感应强度大小为B、方向垂直于轨道平面向上的匀强磁场组成。导轨右端通过导线与储能装置连接，该装置工作时可等效为阻值为R的定值电阻。实验中，导体棒以初速度沿导轨水平进入磁场区域，忽略导体棒、导线和导轨的电阻及空气阻力。 (1)求导体棒刚进入磁场时，导体棒中感应电流的大小； (2)若导体棒离开导轨时速度减为，求导轨MN的长度； (3)在（2）的条件下，若用始末速度的算术平均值代替平均速度，求该过程中储能装置储能的平均功率。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）导体棒刚进入磁场时，速度为，切割磁感线的有效长度为L，根据法拉第电磁感应定律，感应电动势 由闭合电路欧姆定律得 解得 （2）导体棒所受安培力大小为 则有，方向与运动方向相反 对导体棒由动量定理得 代入F并整理有 解得 （3）导体棒动能的减少量全部转化为电能储存在装置中，即 始末速度的算术平均值为 运动时间 平均功率 18．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图所示，在水平面上固定一光滑导线框，在水平外力作用下金属棒ab沿导线框以速度v向右做匀速运动．线框放在磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面．金属棒ab的质量为m，长度为L（与导线框等宽），阻值为R，导线框左端电阻阻值为2R，其余电阻不计． (1)求金属棒两端电压大小Uab； (2)某时刻撤去外力，经过一段时间，金属棒速度变为0.5v，求这段时间内金属棒中产生的焦耳热Q； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）此时金属棒切割产生的电动势 回路中的电流 则棒两端电压大小 （2）这段时间内，系统能量守恒，整个电路的发热量为     棒中发热量 19．（25-26高三上·湖北·开学考试）如图所示，间距d=1m的平行光滑的金属导轨固定在绝缘水平面上，水平导轨足够长，整个空间存在垂直导轨竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B=2T，长度均为d=1m的人工智能金属棒a、b。其电学属性可以自由切换，质量分别为、，初始时a、b均静止，电容为C=0.25F的电容器未充电。现对a棒施加垂直于棒的水平外力F=6N。不计导轨电阻。 (1)开关K处于断开状态时，若金属棒a、b电阻分别为、，求最终电流稳定时两棒的速度差为多大？ (2)开关K一直处于闭合状态时，若将b棒的电阻切换为很大（可认为它与导轨间始终处于绝缘状态而静止不动），a棒电阻仍为，a棒在F=6N作用下做匀加速运动，求其加速度大小？ (3)开关K一直处于断开状态时，若将a棒的电阻切换为零；b棒切换为直流电阻为零的纯电感状态，其自感系数L=2H，将b棒锁定不动。a棒在F=6N作用下开始运动，已知b棒产生的自感电动势大小为。求a棒的最大动能。 【答案】(1)3m/s (2) (3)9J 【详解】（1）回路电流稳定时，此时a、b加速度相同，根据牛顿第二定律，对a有 对b有 因为 速度差 代入题中数据，联立解得 （2）设电路中电流为，根据电路特点有 根据电流定义有 联立解得 回路电流稳定时 对a，根据牛顿第二定律有 联立解得 （3）设导体棒a的位移为x时，速度为v，产生的动生电动势为e，加速度为a，电流为i，有 整理得 两边求和得 据牛顿第二定律有 联立解得 由图像，通过求图线与坐标轴围成的面积可求出最大速度为 所以最大动能 20．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）一些航天器为了降低自重，提升运载能力，部分轻小元件利用电磁加速和缓冲。某同学设计了一电磁加速和缓冲装置，俯视图如图所示，空间存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场（未画出），长、宽的矩形金属框架始终水平，棒质量为、长为、电阻为，框架左、右两侧边的电阻也均为，其余电阻不计。框架两端均有凸起，可使导体棒只能在框架上运动，棒加速时闭合开关。缓冲情况：缓冲前系统的速度为，方向向右，缓冲开始框架速度突变为零并锁定，棒开始在磁场作用下减速。加速情况：系统由静止开始以加速度向右加速。加速和缓冲开始时棒均在框架左端，棒与凸起碰撞前后速度大小不变、方向反向，下列说法正确的是（　　） A．缓冲过程，棒第一次运动到右端时的速度大小为 B．缓冲过程，棒会与框架左端凸起发生碰撞 C．开始加速时流过棒的电流与输入装置的电流之比为 D．开始加速时，若输入装置的电流为，棒与凸起间的作用力为零 【答案】AD 【详解】A．缓冲过程中导体棒的初速度，设导体棒第一次运动到最右端时的速度大小为，根据动量定理则有 又因为， 整理可得 根据电路结构可知 联立解得，故A正确； B．棒运动到最右端原速率反弹，不能运动到框架左端，故B错误； C．开始加速时开关闭合，框架的左、右端及导体棒可以看成三个相同的电阻并联在电路中，根据并联电路特点可知，流过棒的电流与输入装置的电流之比为，故C错误； D．开始加速时，若棒与凸起间的作用力为零，则安培力恰好提供棒做匀加速运动的合外力，根据牛顿第二定律则有 解得 结合上述分析可知干路电流 即若输入装置的电流为，棒与凸起间的作用力为零，故D正确。 故选AD。 模型3 双杆模型 双杆模型 （1）初速度不为零，不受其他水平外力的作用 光滑的平行导轨 光滑不等距导轨 示意图 质量mb＝ma 电阻rb＝ra 长度Lb＝La 质量mb＝ma 电阻rb＝ra 长度Lb＝2La 力学观点 杆b受安培力做变减速运动，杆a受安培力做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，以相等的速度匀速运动 杆b受安培力做变减速运动，杆a受安培力做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，两杆的速度之比为1∶2 运动图像 能量 观点 一部分动能转化为内能：Q＝－ΔEk 动量观点 两杆组成的系统动量守恒 两杆组成的系统动量不守恒 对单杆可以用动量定理 （2）初速度为零，一杆受到恒定水平外力的作用 光滑的平行导轨 不光滑的平行导轨 示意图 质量mb＝ma 电阻rb＝ra 长度Lb＝La 质量mb＝ma 电阻rb＝ra 长度Lb＝La 摩擦力Ffb＝Ffa 力学观点 开始时，两杆受安培力做变加速运动；稳定时，两杆以相同的加速度做匀加速运动 开始时，若Ff<F≤2Ff，则a杆先变加速后匀速运动；b杆静止。若F>2Ff，a杆先变加速后匀加速运动，b杆先静止后变加速最后和a杆同时做匀加速运动，且加速度相同 运动图像 能量观点 F做的功转化为两杆的动能和内能：WF＝ΔEk＋Q F做的功转化为两杆的动能和内能(包括电热和摩擦热)：WF＝ΔEk＋Q电＋Qf 动量观点 两杆组成的系统动量不守恒 对单杆可以用动量定理 两杆组成的系统动量不守恒 对单杆可以用动量定理 注：对于不在同一平面上运动的双杆问题，动量守恒定律不适用，可以用牛顿运动定律、能量观点、动量定理进行解决。 21．（2025·广东·模拟预测）如图所示，在水平地面上固定有相互平行且足够长的金属导轨EG、FH与PG、QH，间距为d，在GH处用一小段绝缘材料相连，EF之间接电容为C的电容器，FH之间接有阻值为R的电阻，开关S接法如图所示，PQ之间接有阻值也为R的定值电阻，EFHG和MNQP区域内均存在磁感应强度大小为B、方向垂直于轨道平面向上的匀强磁场。质量均为m、电阻均为r、长度均为d的金属棒a、b静止在导轨上，和导轨接触良好，金属棒a离GH足够远，金属棒b在GH与MN之间，不计导轨的电阻和一切摩擦，闭合开关S，用平行于EG向左的恒力F作用在金属棒a上。 (1)判断金属棒a两端、的电势高低并求出金属棒a从GH处离开时的速度大小v； (2)若在金属棒a速度为0.5v时，断开开关S，改变水平外力并使金属棒a匀速运动。当外力功率为定值电阻功率的两倍时，求电容器两端的电压以及从开关断开到此刻外力所做的功W（用v表示）； (3)在金属棒a以速度v离开GH瞬间，撤掉外力，金属棒a和金属棒b发生碰撞并黏连在一起进入MNQP区域，求金属棒ab在MNQP区域向左运动的最大距离。 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）当金属棒a向左切割磁感线时，由右手定则可得 金属棒a向左运动的过程中有，，， 可知金属棒a做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度时，速度达到最大v，此后匀速运动，联立求得金属棒a从GH处离开时的速度大小 （2）断开开关S，电容器充电，则电容器与定值电阻串联，则有， 当金属棒a匀速运动时，电容器不断充电，电荷量Q不断增大，电路中电流不断减小，则金属棒a所受安培力不断减小，而拉力的功率 定值电阻功率 当时，可得 根据 可得此时电容器两端电压为 从开关断开到此刻外力所做的功为 其中    联立可得 （3）金属棒a、b碰撞后两金属棒粘在一起运动，根据动量守恒有 金属棒ab进入磁场直到静止，根据动量定理可得 金属棒ab在磁场中运动过程有，    联立解得 22．（25-26高三上·重庆·期中）如图所示，两根足够长的平行金属导轨MN、PQ，电阻忽略不计，固定在倾角（）的斜面上，间距为L=1m，整个空间分布着磁感应强度大小为B=1T、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场。将两根金属棒a、b放置在导轨上，并将b用绝缘轻绳绕过定滑轮和物块c连接，滑轮左侧绳索与导轨平行，右侧绳索竖直。已知a、b棒的长度均为L，电阻均为 ，a、b的质量为 c的质量为m。（未知且大小可调），金属棒a、b始终与导轨垂直且接触良好，金属棒a、b与导轨间动摩擦因数均为μ（大小可调），其他摩擦不计。初始时b、c间绳索恰好伸直，维持a、b、c静止，释放物块c后，a、b始终在导轨上运动且不会撞到滑轮，c始终在竖直方向运动不会撞到地面和滑轮。重力加速度g取 (1)若，释放物块c后，a、b棒均保持静止，则c的最大质量 为多大？若仅a棒能始终保持静止，则c的最大质量mc2为多大？ (2)若，将c的质量调整为（1）问中的m，初始时从绳子伸直将c竖直向上提升 h=0.2m，再由静止释放c，当绳子绷紧后b、c共速，求在之后的运动中b与导轨因摩擦所产生的热量Q； (3)若μ=0且mc3= 0.15kg，同时释放a、b与c后： ①若最终a、b匀速运动，求二者匀速运动的速度大小；若最终a、b做变速运动，求最终二者的加速度大小； ②求初始到a棒的位移为d=2m过程中流过a棒的电荷量。 【答案】(1)； (2) (3)①，；② 【详解】（1）a、b棒均保持静止，无感应电流，且，故可以静止在轨道上 对b、c系统要保持静止，根据平衡条件有 解得 当棒运动后，要保证金属棒始终静止，允许通过的最大电流为，根据平衡条件有 解得 对棒分析，做加速度减小的加速运动，最终匀速时电流最大，根据平衡条件有 解得 （2）下落过程，根据机械能守恒有 解得 绳绷紧后，对b、c系统，沿绳方向，根据动量守恒有 当b、c共速度后静止，b、c做减速运动，对b、c系统，在沿绳方向，根据动量定理有 又 可得 设b向上运动x后停止，根据，，， 可得 又产生的热量 联立并代入数据可得 （3）①设某一时刻的电流为，当向下运动时，根据牛顿第二定律有 解得 对b、c整体，根据牛顿第二定律有 解得 对棒和导轨组成的回路，根据闭合电路欧姆定律有 因为两棒的初速度为零，则有 代入数据可得 即棒a、b匀做加速度减小的加速运动，最终做匀速运动，即 解得a最终匀速的速度大小为 又 解得b最终匀速的速度大小为 ②由上可知，、的位移关系为 其中 可得 根据 其中 联立可得电路中电荷量的大小为 23．（2025·湖南·模拟预测）如图所示，水平面内ab和cd是两条平行放置的足够长的固定粗糙金属直导轨，MN和M′N′是两根用细线连接的金属杆，其质量分别为2kg和1kg，两杆与导轨间的动摩擦因数相同。开始时恒定水平外力F作用在杆MN上，使两杆以大小为4m/s的速度水平向右匀速运动。整个装置处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与导轨所在平面垂直，导轨电阻可忽略。在t=0时刻将细线烧断，保持外力F不变，金属杆和导轨始终接触良好，已知在t=t0时刻后杆MN速度大小为5m/s并保持不变，且在0~t0时间内两杆速度方向始终向右，下列说法正确的是（　　） A．细线烧断后，流经MN的电流方向为由M到N B．M′N′稳定后的速度大小为3m/s C．0~t0时间内MN和M′N′的位移大小之比大于3∶2 D．整个过程中系统动能变化量的大小等于整个系统产生的焦耳热 【答案】C 【详解】A．细线烧断前两杆做匀速运动，回路中无感应电流，烧断细线后，MN的速度大于M′N′的速度，根据右手定则可知MN切割磁感线产生的感应电动势大于M′N′产生的感应电动势，则回路中电流方向由N到M，故A错误； B．两杆组成的系统所受的合外力为零，系统动量守恒，设MN的质量为，M′N′的质量为，初始速度为，MN稳定后的速度大小为，M′N′稳定后的速度大小为。规定向右为正方向，由系统动量守恒定律 代入数据解得M′N′稳定后的速度大小为，故B错误； C．由题意可知做加速运动，做减速运动，两者速度差变大，电动势变大，电流变大，安培力变大，安培力向左，安培力向右。根据牛顿第二定律可知、的加速度大小都逐渐减小，则、的图像如图所示 由图可知，， 则，故C正确； D．根据能量守恒定律 故整个过程中系统动能变化量的大小不等于整个系统产生的焦耳热，故D错误。 故选C。 24．（2025·浙江·一模）如图所示，为物理兴趣小组小朱和小洪设计的发射与回收装置，该装置由足够长且相互平行的水平导轨和倾角的倾斜导轨组成，导轨间距均为1m，两者通过一小段绝缘材料平滑连接。水平导轨和倾斜导轨所在区域分别存在垂直于导轨平面的匀强磁场和，且。导轨左端连接一恒流源，可提供的恒定电流，方向如图中箭头所示。倾斜导轨右侧连接一个自感系数的线圈，用于能量回收。两导体棒、质量均为，棒电阻，初始时放置在距离绝缘段为处，棒电阻不计，放置在右侧。、两棒与水平导轨和倾斜导轨之间的动摩擦因数均为，除给定电阻外，其余电阻和阻力均可忽略，不考虑电磁辐射。已知，，重力加速度。求： (1)开关闭合瞬间，棒的加速度大小； (2)开关闭合后，从开始运动到棒到达的过程中，恒流源输出的电能； (3)若棒与棒发生完全非弹性碰撞，碰后沿斜面向上滑行至最大距离时被锁定，求该最大距离以及线圈中回收的能量。 【答案】(1) (2) (3)1m， 【详解】（1）开关闭合瞬间，导体棒M受的合外力 加速度为 （2）M 棒到达a1 a2时的速度 时间为 恒流源输出的电能 （3）两棒碰后共速，则 可得 由于 求和， 可得 则 由 可得最大距离 线圈中回收的能量 25．（25-26高三上·云南·月考）如图所示，在足够长的光滑平行导轨上有两根由同种材料做成的导体棒，，两棒长度均为，相距为，垂直导轨放置，棒的电阻为，刚开始棒静止，棒以初速度水平向右运动，空间存在垂直纸面向里、大小为的匀强磁场，求： (1)棒加速度的最大值； (2)棒产生的焦耳热； (3)两棒间的最小距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）棒以初速度水平向右运动，切割磁感线，由右手定则可知感应电流为顺时针方向，由左手定则可知棒受到水平向左的安培力，则做加速度减小的减速运动，即棒刚开始运动时加速度最大，有 两根由同种材料做成的导体棒，，两棒长度均为，棒的电阻为，则由可知 由，可知棒的电阻为 则感应电流为 由牛顿第二定律有 联立解得 （2）棒受到水平向左的安培力做加速度减小的减速运动，棒受到等大的水平向右的安培力做加速度减小的加速运动，而两棒构成的系统合外力为零，动量守恒，设共速为，有 由能量守恒定律有 两棒串联，产生的焦耳热之比等于电阻之比，有棒产生的焦耳热 联立解得， （3）对棒由动量定理有 设棒相对棒的位移为，则电荷量为 联立可得 则两棒间的最小距离为 26．（2025·湖南·一模）如图所示，AB、CD和EI、GH为固定的平行且足够长的光滑金属导轨，AB、CD相距2L且与水平面的夹角为，EI、GH相距L水平放置，导轨之间都有大小为B、垂直向下的匀强磁场。质量均为m，长度分别为2L、L的金属棒MN和PQ垂直放置在导轨上。已知两杆在运动过程中始终垂直于导轨并与导轨保持接触良好，MN和PQ的电阻分别为2R、R，导轨的电阻不计，重力加速度大小为g。现MN从静止释放，在稳定之前还没到底部，则（　　） A．若PQ固定，MN的最大速度为 B．若PQ固定，则最终PQ两端的电压为 C．若PQ不固定，则最终PQ的速度是MN的两倍 D．若PQ不固定，则最终PQ的加速度是MN的两倍 【答案】BD 【详解】A.对于MN，速度最大时，合力为零，则 解得，A错误； B.MN相当于电源，PQ两端的电压为，B正确； CD.若PQ不固定，则最终电路中的感应电流恒定，要想满足这一条件，最终PQ的加速度是MN的两倍，应该有，，，显然最终速度不是2倍关系，C错误，D正确。 故选BD。 27．（2025·四川巴中·模拟预测）如图所示，电阻不计的金属导轨固定于水平面上，导轨间距，导轨左侧轨道光滑，右侧轨道粗糙且足够长，与是竖直光滑圆弧，半径，圆心角为，在区域存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为，与长度相同，均为，右侧存在水平向左的匀强磁场，磁感应强度大小为。质量为的导体棒，电阻，以初动能沿切线进入圆弧导轨，质量、电阻的导体棒，静止在区域的中点，当导体棒穿过磁场与导体棒发生弹性碰撞后，导体棒以的速度向右运动，进入磁场后先做变减速运动再做匀减速运动到停止。重力加速度，导轨与导体棒的动摩擦因数（已知）。 (1)导体棒到达时，对轨道的压力大小； (2)磁感应强度的大小； (3)导体棒进入磁场后运动的时间和产生的内能。 【答案】(1)108N (2)2T (3)，15.375J 【详解】（1）由动能定理 导体棒a到达时 由牛顿第三定律，对轨道的压力大小 （2）导体棒a穿过磁场时，由动量定理 其中 当导体棒a穿过磁场与导体棒b发生弹性碰撞后，由动量守恒 能量守恒 联立解得，， （3）导体棒b进入磁场后先做变减速运动再做匀减速运动到停止。 此时对于导体棒a碰撞后 其中 解得，方向向左。 此时，导体棒a会冲出轨道。 对于导体棒b由动量定理 导体棒b进入磁场后运动的时间 由能量守恒导体棒b进入磁场由摩擦产生的内能 导体棒b穿过磁场产生的内能 解得导体棒b产生的内能 28．（2025·云南昆明·模拟预测）如图，光滑平行轨道abcd的曲面部分是半径为R的四分之一圆弧，水平部分位于竖直向上、大小为B的匀强磁场中，导轨Ⅰ部分两导轨间距为2L，导轨Ⅱ部分两导轨间距为L，将质量均为m的金属棒P和Q分别置于轨道上的ab段和cd段，且与轨道垂直。P、Q棒电阻均为r，导轨电阻不计。Q棒静止，让P棒从圆弧最高点静止释放，当P棒在导轨Ⅰ部分运动时，Q棒已达到稳定运动状态。两棒在运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g，求； (1)P棒刚进入磁场时，Q棒的加速度大小； (2)Q棒从开始运动到第一次速度达到稳定，该过程通过P棒的电荷量； (3)从P棒进入导轨Ⅱ运动到再次稳定过程中，P棒中产生的热量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）P棒到达轨道最低点时速度大小设为，根据机械能守恒定律有 解得 P棒到达轨道最低点进入磁场时切割磁场产生感应电动势 感应电流 Q棒受到的安培力 解得Q棒的加速度 （2）设Q棒第一次稳定运动时的速度为，P棒的速度为。当稳定时感应电流为零，则两杆产生的感应电动势相等 解得 从Q棒开始运动到第一次速度达到稳定过程中，根据动量定理，对P棒有 对Q棒有 又通过P棒的电荷量 联立解得，， （3）从P棒进入导轨Ⅱ运动后，两棒切割磁场的长度相等，当速度稳定时，两棒的速度相同，设稳定速度为v。系统所受外力为零，则系统动量守恒，根据动量守恒定律有 根据能量守恒定律有 P棒进入导轨Ⅱ运动后，接入电路的阻值变为，故P棒产生的热量 联立解得 29．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图所示，空间中有两与水平面夹角为、间距为的平行金属导轨，导轨顶端接有内阻不计、电动势为的电池和阻值为的灯泡，导轨的下端接有阻值为的灯泡；导轨所在平面上有五条标记线。与间为绝缘轨道且相距，与间距；下方有垂直导轨所在平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为；上方面积为的圆形区域内有垂直导轨平面向上且随时间均匀变化的磁场，磁感应强度的变化规律为，当导体棒经过时，磁场停止变化；将一质量为、阻值为的粗糙导体棒垂直放在导轨上，棒在平行导轨平面向上的拉力的作用下处于静止状态，再将另一质量也为、阻值为的光滑导体棒从处静止释放，棒经过后，灯泡的亮度保持不变，经过后，灯泡的亮度保持不变且此时棒恰好开始运动，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取，，忽略小灯泡电阻随温度的变化，其余电阻不计。求： (1)棒经过和时的速度大小； (2)棒与导轨间的动摩擦因数； (3)棒从运动到的时间和该过程棒产生的焦耳热。 【答案】(1)2m/s， (2) (3)， 【详解】（1）棒经过后，灯泡的亮度保持不变，说明棒到达前已经做匀速直线运动，设由磁场变化产生的感生电动势为，导体棒切割磁感线产生的动生电动势为，由法拉第电磁感应定律有， 由欧姆定律有 对棒受力分析，棒经过时受到的安培力 由平衡条件有 可得 棒从到的过程中，由机械能守恒定律有 可得 （2）设棒经过时的速度大小为，此时棒产生的动生电动势为，有 此时回路的总电阻 由欧姆定律有 棒经过后开始做匀速直线运动，由平衡条件有 可得 对棒受力分析，设棒所受安培力为，最大静摩擦力为，方向平行于斜面向上，有 由平衡条件有 且 联立得 （3）设棒从运动到的时间为t，对棒根据动量定理有 又、 联立可得 设棒从运动到的过程中，下方回路中产生的焦耳热为 由能量守恒定律有 有，同理 联立得 30．（2025·江西新余·模拟预测）如图所示，两光滑导轨平行且固定放置，其中为弯曲部分，为水平部分，两导轨弯曲部分是绝缘的，水平部分是金属的、两导轨的间距为。导轨的水平部分存在磁感应强度大小为，方向垂直向下的匀强磁场。导体棒垂直放置在导轨水平部分，导体棒从导轨上距水平部分高度处静止释放。两导体棒质量均为，电阻均为，导轨电阻不计。在以后的运动过程中，导体棒第一次滑上部分上升的最大高度为，并且导体棒只能滑上部分两次，最终两导体棒静止在两导轨的水平部分，整个过程中两棒不会相撞。重力加速度为，求： (1)导体棒Q第二次滑上部分上升的最大高度： (2)两导体棒都处于两导轨水平部分时，两导体棒间距离的变化量。 【答案】(1) (2)第一次都处于导轨水平部分， 第二次在导轨水平部分， 第三次在导轨水平部分， 【详解】（1）设导体棒P第一次运动到bf速度为vP0，导体棒Q第一次运动到cj速度为vQ1，根据机械能守恒，有 在磁场中，导体棒P、Q组成的系统动量守恒，导体棒Q第一次滑上cd、jk部分之前，有 根据机械能守恒定律知导体棒Q每次进入和离开cd、jk部分的速度大小相同，方向相反，则导体棒Q第二次滑上cd、jk部分之前，有 题干已知导体棒Q只能滑上cd、jk部分两次，则导体棒Q第二次离开cd、jk部分到停下，有 导体棒Q第二次滑上cd、jk部分上升到最高点，根据机械能守恒，有 联立解得 （2）导体棒P、Q第一次都处于导轨水平部分，导体棒P产生的电动势 导体棒Q产生的电动势 电路中产生的感应电流 导体棒Q受到的安培力 对导体棒Q，根据动量定理，有 其中 解得两导体棒间距离的变化量 同理可得，导体棒P、Q第二次在导轨水平部分，有 解得两导体棒间距离的变化量 同理可得，导体棒P、Q第三次在导轨水平部分，有 解得两导体棒间距离的变化量 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题39电磁感应中的“杆和导轨、导线框”模型 模型总结 模型1 导线框模型 1 模型2 单杆模型 16 模型3 双杆模型 31 模型1 导线框模型 1．导线框模型 模 型 一 示意图 在安培力作用下穿越磁场 位移 速度 电荷 量的 计算 动量不守恒，可用动量定理分析导线框的位移、速度、通过导线横截面的电荷量： (1)求电荷量或速度：－B·LΔt＝mv2－mv1，q＝Δt； (2)求位移：－＝0－mv0，即－＝0－mv0 模 型 二 示意图 在恒力F(包括重力mg)和安培力作用下穿越磁场 时间的 计算 求时间：①－BLΔt＋F其他·Δt＝mv2－mv1，即－BLq＋F其他·Δt＝mv2－mv1 已知电荷量q，F其他为恒力，可求出变加速运动的时间； ②－＋F其他·Δt＝mv2－mv1，即－＋F其他·Δt＝mv2－mv1 若已知位移x，F其他为恒力，也可求出变加速运动的时间 1．（2025·广东·模拟预测）如图所示，正方形金属线框abcd下方存在宽度为L的匀强磁场区域，该区域的上、下边界水平，磁感应强度的大小为B。线框从距磁场上边界高度为h处由静止开始自由下落。线框ab边进入磁场时开始减速，cd边穿出磁场时的速度是ab边进入磁场时速度的。已知线框的边长为L，质量为m，电阻为R，重力加速度大小为g，线框下落过程中ab边始终与磁场边界平行，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．线框ab边刚进入磁场时，产生的感应电流方向为abcda B．线框ab边刚进入磁场时，产生的感应电动势大小为 C．线框在穿过磁场区域的过程中最大加速度为 D．线框在穿过磁场区域的过程中产生的焦耳热为 2．（2025·云南·模拟预测）如图所示，光滑绝缘的水平面上有垂直水平面的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，磁场区域Ⅰ和Ⅱ的宽度、两磁场区域之间的距离均为，磁场方向如图所示。边长为的正方形导线框位于水平面上，且边与磁场边界平行。某时刻线框以的初速度水平向右运动，穿过匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ。已知线框的质量为，电阻为，匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ的磁感应强度大小均为。求： (1)线框边进入磁场区域Ⅰ瞬间，边所受安培力的大小 (2)线框边进入磁场区域Ⅱ瞬间，线框的速度大小 (3)线框穿过区域Ⅰ和Ⅱ过程中产生的热量。 3．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场，其竖直边界MN与PQ平行，用相同导线制成的正三角形金属线框，边长为l，电阻为3R，导线框在外力作用下以速度v匀速穿过该磁场从图中ⅠⅡⅢ，在此过程中AC边始终与磁场边界垂直，O为AC中点，下列说法正确的是（　　） A．BO两点电势差的最大值为 B．ⅠⅡ过程中与ⅡⅢ过程中，通过线框横截面的电荷量相等 C．ⅠⅡ过程与ⅡⅢ过程外力做功相等 D．全过程中线框产生的热量为 4．（2025·贵州遵义·一模）如图，一足够长的固定绝缘光滑斜面与水平面成θ角，仅虚线MN以上区域内充满垂直斜面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为。质量为m的正方形金属线框abcd从磁场中某一位置静止释放，当线框ab边刚滑过MN时，线框所受安培力大小为，当线框cd边刚要到达MN时，线框加速度恰好为零。若在MN以下区域再充满一垂直斜面向上的匀强磁场（未画出），磁感应强度大小为。让此线框再次从相同位置静止释放，关于线框先后两次运动的过程，下列说法正确的是（　　） A．ab边刚过MN时流经线框的电流方向相同 B．ab边刚过MN时线框所受的合力的功率之比为1：17 C．cd边刚要到达MN时线框的动能之比为1：1 D．从静止释放到cd边刚要到达MN的过程中损失机械能的比值小于1 5．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，两条平行光滑金属导轨水平放置，间距为L，中间有宽度为L、磁感应强度为B的匀强磁场；导轨右侧接有一个阻值为R的定值电阻。一个边长为L的正方形导线框abcd置于导轨左侧，其ab、cd边始终与导轨接触良好。导线框的ac、bd两边电阻均为R，ab、cd边电阻可忽略，现给导线框一个初速度v，当它完全进入磁场区域时，速度变为，求： (1)线框进入磁场区域左边界瞬间bd两点间的电压U； (2)线框的质量m； (3)上述过程中导轨右侧定值电阻R上产生的焦耳热Q。 6．（2025·辽宁葫芦岛·二模）磁悬浮电梯是基于电磁学原理使电梯的轿厢悬停及上下运动的，如图甲所示，它主要由磁场和含有导线框的轿厢组成。其原理简化为：竖直面上相距为的两根绝缘平行直导轨，置于等距离分布的方向相反的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面，磁感应强度大小均为，每个磁场分布区间的长度都是，相间排列，如图乙所示。当这些磁场在竖直方向匀速平动时，跨在两导轨间的宽为、长为、总电阻为的导线框（固定在轿厢上）将受到安培力。当磁场平动速度为时，轿厢悬停；当磁场平动速度为时，轿厢最终竖直向上做匀速运动。重力加速度为，下列说法中正确的是（　　） A．磁场平动的速度方向竖直向上 B．磁场平动的速度方向竖直向下 C．导线框和电梯轿厢的总质量为 D．当磁场以速度平动时，轿厢最终速度为 7．（2025·安徽安庆·模拟预测）如图所示在光滑水平面上建立水平向右的轴，两个相邻磁场区域Ⅰ、Ⅱ宽度均为，Ⅰ区域内磁场的磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向里；Ⅱ区域内磁场的磁感应强度大小为2B，方向垂直于纸面向外。单匝正方形线框abcd由粗细均匀的导线制成，其边长为。线框以沿轴正方向的初速度垂直边界进入磁场，刚好完全进入磁场区域Ⅰ时线框的速度大小为，该过程中通过线框截面的电量为，线框中产生的焦耳热为；从进入磁场区域Ⅱ开始，当通过线框截面的电量再次为时，线框刚好减速到零，该过程中线框中产生的焦耳热为。下列说法正确的是（　　） A．整个过程中线框中的感应电流方向不变 B．进入磁场区域Ⅱ的过程中线框向右运动了 C． D． 8．（2025·河北·模拟预测）如图甲所示，在光滑水平面上有一个直角坐标系xOy，长方形导线框abcd长为2L，宽为L，质量为m，电阻为R，导线框的d点与坐标原点O重合，cd边和x轴重合，ad边和y轴重合，线框保持静止。在第一象限内存在垂直于水平面向下的磁场，磁感应强度随y坐标变化的规律为：，未知，给导线框沿y轴正向的恒力F，线框最终以速度做匀速运动，求： (1)比例系数k的值； (2)若初始时刻不加外力F，给线框一个与x轴正方向成角的初速度，如图乙所示，线框达到稳定状态时线框的速度以及cd边的y坐标。 9．（2025·河南·模拟预测）如图所示，1、2为两宽度均为的水平匀强磁场，两磁场区域间距为（），磁感应强度大小相等。一边长为的正方形金属线框从磁场上方由静止自由下落，恰能匀速通过区域1，后又通过下方区域2。下落过程中线框平面始终与磁场垂直，不计空气阻力。线框分别通过1、2两磁场区域时（　　） A．产生的电热相等 B．安培力的冲量相同 C．重力平均功率相等 D．合外力做功不相等 10．（2025·湖南·模拟预测）如图所示，倾角为的光滑斜面上存在着两个磁感应强度大小均为的匀强磁场区域，区域Ⅰ和区域Ⅱ的磁场方向分别垂直于斜面向上和向下，磁场宽度及均为。一个质量为、电阻为、边长也为的正方形导线框由静止开始沿斜面下滑，边恰好匀速穿过区域Ⅰ。重力加速度取。 (1)求线框开始下滑时边与区域Ⅰ边界之间的距离； (2)求边刚穿过时线框的加速度大小； (3)若已知边到达时的速度为，求边穿过区域Ⅰ和区域Ⅱ的过程中所用的总时间。 模型2 单杆模型 单杆模型 v0≠0 v0＝0 示意图 质量为m、电阻不计的导体杆ab以一定初速度v0在光滑水平轨道上滑动，两平行导轨间距为L 轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L 轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L，拉力F恒定 轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L，拉力F恒定 力学观点 导体杆以速度v切割磁感线产生感应电动势E＝BLv，电流I＝＝，安培力F＝BIL＝，做减速运动：v⇒F⇒a，当v＝0时，F＝0，a＝0，杆保持静止 S闭合，杆ab受安培力F＝，此时a＝，杆ab速度v⇒感应电动势BLv⇒I⇒安培力F＝BIL⇒加速度a，当E感＝E时，v最大，且vm＝ 开始时a＝，杆ab速度v⇒感应电动势E＝BLv⇒I⇒安培力F安＝BIL，由F－F安＝ma知a，当a＝0时，v最大，vm＝ 开始时a＝，杆ab速度v⇒感应电动势E＝BLv，经过Δt速度为v＋Δv，此时感应电动势E′＝BL(v＋Δv)，Δt时间内流入电容器的电荷量Δq＝CΔU＝C(E′－E)＝CBLΔv 电流I＝＝CBL＝CBLa 安培力F安＝BLI＝CB2L2a F－F安＝ma，a＝， 所以杆以恒定的加速度匀加速运动 运动图像 能量观点 动能全部转化为内能：Q＝mv 电源输出的电能转化为动能：W电＝mv F做的功一部分转化为杆的动能，一部分产生电热：WF＝Q＋mv F做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能：WF＝mv2＋EC 11．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图所示，在一磁感应强度B=0.5T的匀强磁场中，垂直于磁场方向水平放置着两根相距L=0.1m的平行光滑金属导轨MN和PQ，导轨电阻忽略不计，在两根导轨的端点N、Q之间连接一阻值R=0.3Ω的电阻。导轨上垂直放置着金属棒ab，其接入电路的电阻r=0.2Ω。当金属棒在水平拉力作用下以速度v=4.0m/s向左做匀速运动时（　　） A．ab棒所受安培力大小为0.02N B．N、Q间电压为0.12V C．a端电势比b端电势低 D．回路中感应电流大小为1A 12．（2025·云南昆明·模拟预测）如图甲所示，水平粗糙导轨左侧接有的定值电阻，导轨处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度，导轨间距。一质量的金属棒在水平向右拉力作用下从处由静止开始运动，金属棒与导轨间动摩擦因数，接入电路的有效电阻，金属棒的图像如图乙所示，取，下列说法正确的是（　　） A．由图像可知金属棒做匀加速直线运动 B．时，安培力的大小为 C．导体棒克服安培力做的功等于系统产生的焦耳热 D．从起点到位移的过程中，回路产生的焦耳热为 13．（2025·浙江台州·一模）某兴趣小组设计了一电磁弹射装置，其工作原理可简化如图，恒流源、固定的金属导轨、导电底座，三者构成电磁驱动回路。将绝缘飞机模型安放在导电底座上，合上开关S，恒流源工作，输出的电流在导轨间产生磁场（磁场的磁感应强度与电流大小成正比），处在磁场中的导电底座受到安培力作用向右加速，从而实现弹射。两处用极短绝缘物质将金属导轨分为左右两部分，左侧光滑右侧粗糙，与导轨右侧距离为，右侧导轨间存在的匀强磁场，底座返回系统由右边的定值电阻与金属导轨相连构成。某次测试中闭合开关S，恒流源输出的电流在导轨间产生磁场，在3秒钟内，将模型飞机由静止加速到的起飞速度后脱离底座起飞，此时刚好到达处。已知导轨间距为，底座的质量为，等效电阻为。 (1)若输出电流增加一倍，则飞机的加速度为多大； (2)底座通过点后开始减速，底座减速过程中与导轨间的动摩擦因数为，经过后速度减为零，求电阻R产生的焦耳热为多少； (3)底座静止后让磁场极短时间内均匀消失，导轨与间返回动摩擦因数变为，求底座返回的距离为多少。 14．（2025·河南·模拟预测）伽利略先生曾设想：最简单的变速运动可能是速度随时间或位移均匀变化的。 (1)如图1所示，水平固定放置的足够长的形光滑金属导轨处于竖直向上的匀强磁场中，在导轨上放着金属棒，现给金属棒以水平向右的初速度。金属棒仅在安培力作用下向右运动。已知磁场的磁感应强度为，轨道间距为，定值电阻为，金属棒质量为、有效电阻为，轨道及其他部分电阻不计。规定向右为正方向。 a.求出金属棒的速度随位移的变化率的表达式； b.利用变化率求出金属棒向右运动的最大位移； (2)将图1的装置整体旋转到竖直面内（磁场仍与导轨平面垂直），如图2所示，将金属棒由静止释放。 a.当金属棒速度为时，求出其速度随位移的变化率的表达式； b.利用及题干中的条件求出某个描述金属棒运动的物理量。 15．（25-26高三上·河北保定·期中）如图所示，间距为L的两条足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为θ，上端通过导线连接阻值为R 的定值电阻，导轨光滑且电阻忽略不计。磁感应强度为B 的条形匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁场区域的宽度为，间距为。一根导体棒与导轨垂直放在导轨上，处于锁定状态，导体棒质量为m、导轨间部分电阻为R，到磁场区域1上边界距离为x(未知)。棒运动过程始终与导轨垂直，重力加速度为g。 (1)当时，导体棒释放后恰好匀速穿过磁场区域1。 ①求穿过磁场区域1 过程定值电阻产生的焦耳热； ②求。 (2)当x取合适值时，导体棒进入磁场后的运动过程中，在任一磁场区域和非磁场区域运动的时间均相等，求从导体棒释放到穿过第n个磁场区域所用的总时间。 16．（2024·黑龙江·模拟预测）如图甲所示为一倾角的粗糙平行导轨，其上方水平放置一导体棒MN、下方接有规格为“5V，1A”的小灯泡。导轨上某区域存在一矩形匀强磁场，磁场水平宽度恰等于导轨间距，磁场方向垂直导轨平面向上、磁感应强度大小按图乙所示规律变化。现将导体棒从时刻由静止释放，时恰好进入磁场区域做匀速直线运动，直到时刻离开磁场，小灯泡在时间内始终正常发光。已知导轨间距、导体棒MN的长度均为，导体棒MN与导轨间的动摩擦因数，重力加速度取，，则下列说法中正确的是（　　） A．磁场沿导轨方向的长度 B． C．导体棒MN的电阻 D．内，整个装置产生的焦耳热与摩擦产生的热量之比为 17．（2025·河北邯郸·模拟预测）某科研小组利用如图所示装置研究动能回收、储能实验。实验装置由等长水平平行光滑金属导轨MN、PQ（导轨间距为L），质量为m、粗细均匀的导体棒，以及磁感应强度大小为B、方向垂直于轨道平面向上的匀强磁场组成。导轨右端通过导线与储能装置连接，该装置工作时可等效为阻值为R的定值电阻。实验中，导体棒以初速度沿导轨水平进入磁场区域，忽略导体棒、导线和导轨的电阻及空气阻力。 (1)求导体棒刚进入磁场时，导体棒中感应电流的大小； (2)若导体棒离开导轨时速度减为，求导轨MN的长度； (3)在（2）的条件下，若用始末速度的算术平均值代替平均速度，求该过程中储能装置储能的平均功率。 18．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图所示，在水平面上固定一光滑导线框，在水平外力作用下金属棒ab沿导线框以速度v向右做匀速运动．线框放在磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面．金属棒ab的质量为m，长度为L（与导线框等宽），阻值为R，导线框左端电阻阻值为2R，其余电阻不计． (1)求金属棒两端电压大小Uab； (2)某时刻撤去外力，经过一段时间，金属棒速度变为0.5v，求这段时间内金属棒中产生的焦耳热Q； 19．（25-26高三上·湖北·开学考试）如图所示，间距d=1m的平行光滑的金属导轨固定在绝缘水平面上，水平导轨足够长，整个空间存在垂直导轨竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B=2T，长度均为d=1m的人工智能金属棒a、b。其电学属性可以自由切换，质量分别为、，初始时a、b均静止，电容为C=0.25F的电容器未充电。现对a棒施加垂直于棒的水平外力F=6N。不计导轨电阻。 (1)开关K处于断开状态时，若金属棒a、b电阻分别为、，求最终电流稳定时两棒的速度差为多大？ (2)开关K一直处于闭合状态时，若将b棒的电阻切换为很大（可认为它与导轨间始终处于绝缘状态而静止不动），a棒电阻仍为，a棒在F=6N作用下做匀加速运动，求其加速度大小？ (3)开关K一直处于断开状态时，若将a棒的电阻切换为零；b棒切换为直流电阻为零的纯电感状态，其自感系数L=2H，将b棒锁定不动。a棒在F=6N作用下开始运动，已知b棒产生的自感电动势大小为。求a棒的最大动能。 20．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）一些航天器为了降低自重，提升运载能力，部分轻小元件利用电磁加速和缓冲。某同学设计了一电磁加速和缓冲装置，俯视图如图所示，空间存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场（未画出），长、宽的矩形金属框架始终水平，棒质量为、长为、电阻为，框架左、右两侧边的电阻也均为，其余电阻不计。框架两端均有凸起，可使导体棒只能在框架上运动，棒加速时闭合开关。缓冲情况：缓冲前系统的速度为，方向向右，缓冲开始框架速度突变为零并锁定，棒开始在磁场作用下减速。加速情况：系统由静止开始以加速度向右加速。加速和缓冲开始时棒均在框架左端，棒与凸起碰撞前后速度大小不变、方向反向，下列说法正确的是（　　） A．缓冲过程，棒第一次运动到右端时的速度大小为 B．缓冲过程，棒会与框架左端凸起发生碰撞 C．开始加速时流过棒的电流与输入装置的电流之比为 D．开始加速时，若输入装置的电流为，棒与凸起间的作用力为零 模型3 双杆模型 双杆模型 （1）初速度不为零，不受其他水平外力的作用 光滑的平行导轨 光滑不等距导轨 示意图 质量mb＝ma 电阻rb＝ra 长度Lb＝La 质量mb＝ma 电阻rb＝ra 长度Lb＝2La 力学观点 杆b受安培力做变减速运动，杆a受安培力做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，以相等的速度匀速运动 杆b受安培力做变减速运动，杆a受安培力做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，两杆的速度之比为1∶2 运动图像 能量 观点 一部分动能转化为内能：Q＝－ΔEk 动量观点 两杆组成的系统动量守恒 两杆组成的系统动量不守恒 对单杆可以用动量定理 （2）初速度为零，一杆受到恒定水平外力的作用 光滑的平行导轨 不光滑的平行导轨 示意图 质量mb＝ma 电阻rb＝ra 长度Lb＝La 质量mb＝ma 电阻rb＝ra 长度Lb＝La 摩擦力Ffb＝Ffa 力学观点 开始时，两杆受安培力做变加速运动；稳定时，两杆以相同的加速度做匀加速运动 开始时，若Ff<F≤2Ff，则a杆先变加速后匀速运动；b杆静止。若F>2Ff，a杆先变加速后匀加速运动，b杆先静止后变加速最后和a杆同时做匀加速运动，且加速度相同 运动图像 能量观点 F做的功转化为两杆的动能和内能：WF＝ΔEk＋Q F做的功转化为两杆的动能和内能(包括电热和摩擦热)：WF＝ΔEk＋Q电＋Qf 动量观点 两杆组成的系统动量不守恒 对单杆可以用动量定理 两杆组成的系统动量不守恒 对单杆可以用动量定理 注：对于不在同一平面上运动的双杆问题，动量守恒定律不适用，可以用牛顿运动定律、能量观点、动量定理进行解决。 21．（2025·广东·模拟预测）如图所示，在水平地面上固定有相互平行且足够长的金属导轨EG、FH与PG、QH，间距为d，在GH处用一小段绝缘材料相连，EF之间接电容为C的电容器，FH之间接有阻值为R的电阻，开关S接法如图所示，PQ之间接有阻值也为R的定值电阻，EFHG和MNQP区域内均存在磁感应强度大小为B、方向垂直于轨道平面向上的匀强磁场。质量均为m、电阻均为r、长度均为d的金属棒a、b静止在导轨上，和导轨接触良好，金属棒a离GH足够远，金属棒b在GH与MN之间，不计导轨的电阻和一切摩擦，闭合开关S，用平行于EG向左的恒力F作用在金属棒a上。 (1)判断金属棒a两端、的电势高低并求出金属棒a从GH处离开时的速度大小v； (2)若在金属棒a速度为0.5v时，断开开关S，改变水平外力并使金属棒a匀速运动。当外力功率为定值电阻功率的两倍时，求电容器两端的电压以及从开关断开到此刻外力所做的功W（用v表示）； (3)在金属棒a以速度v离开GH瞬间，撤掉外力，金属棒a和金属棒b发生碰撞并黏连在一起进入MNQP区域，求金属棒ab在MNQP区域向左运动的最大距离。 22．（25-26高三上·重庆·期中）如图所示，两根足够长的平行金属导轨MN、PQ，电阻忽略不计，固定在倾角（）的斜面上，间距为L=1m，整个空间分布着磁感应强度大小为B=1T、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场。将两根金属棒a、b放置在导轨上，并将b用绝缘轻绳绕过定滑轮和物块c连接，滑轮左侧绳索与导轨平行，右侧绳索竖直。已知a、b棒的长度均为L，电阻均为 ，a、b的质量为 c的质量为m。（未知且大小可调），金属棒a、b始终与导轨垂直且接触良好，金属棒a、b与导轨间动摩擦因数均为μ（大小可调），其他摩擦不计。初始时b、c间绳索恰好伸直，维持a、b、c静止，释放物块c后，a、b始终在导轨上运动且不会撞到滑轮，c始终在竖直方向运动不会撞到地面和滑轮。重力加速度g取 (1)若，释放物块c后，a、b棒均保持静止，则c的最大质量 为多大？若仅a棒能始终保持静止，则c的最大质量mc2为多大？ (2)若，将c的质量调整为（1）问中的m，初始时从绳子伸直将c竖直向上提升 h=0.2m，再由静止释放c，当绳子绷紧后b、c共速，求在之后的运动中b与导轨因摩擦所产生的热量Q； (3)若μ=0且mc3= 0.15kg，同时释放a、b与c后： ①若最终a、b匀速运动，求二者匀速运动的速度大小；若最终a、b做变速运动，求最终二者的加速度大小； ②求初始到a棒的位移为d=2m过程中流过a棒的电荷量。 23．（2025·湖南·模拟预测）如图所示，水平面内ab和cd是两条平行放置的足够长的固定粗糙金属直导轨，MN和M′N′是两根用细线连接的金属杆，其质量分别为2kg和1kg，两杆与导轨间的动摩擦因数相同。开始时恒定水平外力F作用在杆MN上，使两杆以大小为4m/s的速度水平向右匀速运动。整个装置处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与导轨所在平面垂直，导轨电阻可忽略。在t=0时刻将细线烧断，保持外力F不变，金属杆和导轨始终接触良好，已知在t=t0时刻后杆MN速度大小为5m/s并保持不变，且在0~t0时间内两杆速度方向始终向右，下列说法正确的是（　　） A．细线烧断后，流经MN的电流方向为由M到N B．M′N′稳定后的速度大小为3m/s C．0~t0时间内MN和M′N′的位移大小之比大于3∶2 D．整个过程中系统动能变化量的大小等于整个系统产生的焦耳热 24．（2025·浙江·一模）如图所示，为物理兴趣小组小朱和小洪设计的发射与回收装置，该装置由足够长且相互平行的水平导轨和倾角的倾斜导轨组成，导轨间距均为1m，两者通过一小段绝缘材料平滑连接。水平导轨和倾斜导轨所在区域分别存在垂直于导轨平面的匀强磁场和，且。导轨左端连接一恒流源，可提供的恒定电流，方向如图中箭头所示。倾斜导轨右侧连接一个自感系数的线圈，用于能量回收。两导体棒、质量均为，棒电阻，初始时放置在距离绝缘段为处，棒电阻不计，放置在右侧。、两棒与水平导轨和倾斜导轨之间的动摩擦因数均为，除给定电阻外，其余电阻和阻力均可忽略，不考虑电磁辐射。已知，，重力加速度。求： (1)开关闭合瞬间，棒的加速度大小； (2)开关闭合后，从开始运动到棒到达的过程中，恒流源输出的电能； (3)若棒与棒发生完全非弹性碰撞，碰后沿斜面向上滑行至最大距离时被锁定，求该最大距离以及线圈中回收的能量。 25．（25-26高三上·云南·月考）如图所示，在足够长的光滑平行导轨上有两根由同种材料做成的导体棒，，两棒长度均为，相距为，垂直导轨放置，棒的电阻为，刚开始棒静止，棒以初速度水平向右运动，空间存在垂直纸面向里、大小为的匀强磁场，求： (1)棒加速度的最大值； (2)棒产生的焦耳热； (3)两棒间的最小距离。 26．（2025·湖南·一模）如图所示，AB、CD和EI、GH为固定的平行且足够长的光滑金属导轨，AB、CD相距2L且与水平面的夹角为，EI、GH相距L水平放置，导轨之间都有大小为B、垂直向下的匀强磁场。质量均为m，长度分别为2L、L的金属棒MN和PQ垂直放置在导轨上。已知两杆在运动过程中始终垂直于导轨并与导轨保持接触良好，MN和PQ的电阻分别为2R、R，导轨的电阻不计，重力加速度大小为g。现MN从静止释放，在稳定之前还没到底部，则（　　） A．若PQ固定，MN的最大速度为 B．若PQ固定，则最终PQ两端的电压为 C．若PQ不固定，则最终PQ的速度是MN的两倍 D．若PQ不固定，则最终PQ的加速度是MN的两倍 27．（2025·四川巴中·模拟预测）如图所示，电阻不计的金属导轨固定于水平面上，导轨间距，导轨左侧轨道光滑，右侧轨道粗糙且足够长，与是竖直光滑圆弧，半径，圆心角为，在区域存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为，与长度相同，均为，右侧存在水平向左的匀强磁场，磁感应强度大小为。质量为的导体棒，电阻，以初动能沿切线进入圆弧导轨，质量、电阻的导体棒，静止在区域的中点，当导体棒穿过磁场与导体棒发生弹性碰撞后，导体棒以的速度向右运动，进入磁场后先做变减速运动再做匀减速运动到停止。重力加速度，导轨与导体棒的动摩擦因数（已知）。 (1)导体棒到达时，对轨道的压力大小； (2)磁感应强度的大小； (3)导体棒进入磁场后运动的时间和产生的内能。 28．（2025·云南昆明·模拟预测）如图，光滑平行轨道abcd的曲面部分是半径为R的四分之一圆弧，水平部分位于竖直向上、大小为B的匀强磁场中，导轨Ⅰ部分两导轨间距为2L，导轨Ⅱ部分两导轨间距为L，将质量均为m的金属棒P和Q分别置于轨道上的ab段和cd段，且与轨道垂直。P、Q棒电阻均为r，导轨电阻不计。Q棒静止，让P棒从圆弧最高点静止释放，当P棒在导轨Ⅰ部分运动时，Q棒已达到稳定运动状态。两棒在运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g，求； (1)P棒刚进入磁场时，Q棒的加速度大小； (2)Q棒从开始运动到第一次速度达到稳定，该过程通过P棒的电荷量； (3)从P棒进入导轨Ⅱ运动到再次稳定过程中，P棒中产生的热量。 29．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图所示，空间中有两与水平面夹角为、间距为的平行金属导轨，导轨顶端接有内阻不计、电动势为的电池和阻值为的灯泡，导轨的下端接有阻值为的灯泡；导轨所在平面上有五条标记线。与间为绝缘轨道且相距，与间距；下方有垂直导轨所在平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为；上方面积为的圆形区域内有垂直导轨平面向上且随时间均匀变化的磁场，磁感应强度的变化规律为，当导体棒经过时，磁场停止变化；将一质量为、阻值为的粗糙导体棒垂直放在导轨上，棒在平行导轨平面向上的拉力的作用下处于静止状态，再将另一质量也为、阻值为的光滑导体棒从处静止释放，棒经过后，灯泡的亮度保持不变，经过后，灯泡的亮度保持不变且此时棒恰好开始运动，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取，，忽略小灯泡电阻随温度的变化，其余电阻不计。求： (1)棒经过和时的速度大小； (2)棒与导轨间的动摩擦因数； (3)棒从运动到的时间和该过程棒产生的焦耳热。 30．（2025·江西新余·模拟预测）如图所示，两光滑导轨平行且固定放置，其中为弯曲部分，为水平部分，两导轨弯曲部分是绝缘的，水平部分是金属的、两导轨的间距为。导轨的水平部分存在磁感应强度大小为，方向垂直向下的匀强磁场。导体棒垂直放置在导轨水平部分，导体棒从导轨上距水平部分高度处静止释放。两导体棒质量均为，电阻均为，导轨电阻不计。在以后的运动过程中，导体棒第一次滑上部分上升的最大高度为，并且导体棒只能滑上部分两次，最终两导体棒静止在两导轨的水平部分，整个过程中两棒不会相撞。重力加速度为，求： (1)导体棒Q第二次滑上部分上升的最大高度： (2)两导体棒都处于两导轨水平部分时，两导体棒间距离的变化量。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $