【解题模型】专题32动态圆处理临界极值问题 磁聚焦磁发散模型-2026高考物理

专题32动态圆处理临界极值问题磁聚焦磁发散模型 模型总结 模型1动态圆模型 模型2磁聚焦磁发散模型 20 模型1 动态圆模型 1.平移圆模型 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直 线上的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运 动的半径相同，若入射速度大小为o,则半径R=mv0qB, 适用条件 如图所示 + 轨迹圆圆心共 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线 线 上，该直线与入射点的连线平行 将半径为R=mv0qB的圆进行平移，从而探索粒子的临界 界定方法 条件，这种方法叫“平移圆”法 2.“旋转圆”模型 粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子 进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半 适用条件 径相同，若入射初速度大小为o,则圆周运动轨迹半 径为R=mv0qB,如图所示 第1页共16页 如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以 入射点P为圆心、半径R=mv0qB的圆上 XX 轨迹圆圆心共 圆 将一半径为R=mv0qB的圆以入射点为圆心进行旋转， 界定方法 从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转圆”法 3.“放缩圆”模型 粒子源发射速度方向一定，大小不同的同种带电粒子进 适用条件 入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动 的轨迹半径随速度的变化而变化 如图所示（图中只画出粒子带正电的情景），速度)越大， 运动半径也越大.可以发现这些带电粒子射入磁场后， 轨迹圆圆心共 它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP'上 线 ×,××× 以入射点P为定点，圆心位于PP'直线上，将半径放 界定方法 缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放 缩圆”法 1.(25-26高二上·浙江·期中)如图所示，空间中存在范围足够大，磁感应强度大小为B,方向 垂直纸面向里的匀强磁场，N为足够长的离子接收板，到MN垂直距离为h的O点有一离子 源，连续不断地向平面内各方向均匀放出质量为m、带电量为+？的粒子，粒子速率均为 第2页共16页 hgB V=. ,则() m ×××× M -N X×XX×XB× ××× XX ××× XX ××× A,接收板接收到离子的区域长度为2hB。能被接收的离子占总离子的2 C.被接收的粒子运动最短时间为兀m 2gB D.被接收的粒子运动最长时间为 gB 2.(2025·河南·模拟预测)如图，在长方形ABCD区域（含边界）存在垂直纸面向里的匀强磁 场，磁感应强度大小为B。已知AB=a,AD=4a,O是AD中点，O点为离子源，某时刻自 O点向磁场各个方向同时发射速率相同、带负电的同种粒子，速度均垂直于磁场方向。其中速 度方向沿OA的粒子t。时刻自E点离开磁场区域，BE=a。忽略粒子重力和粒子间相互作用。 则以下选项中正确的是() B D A.粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为α B.粒子的比荷为 Bto C.在t。时刻，仍在磁场中的粒子初速度方向与OA的夹角范围为90°≤0≤135° D.在磁场中运动时间最长的粒子运动时间为2t。 3.(2025·广西·模拟预测)如图所示，直角三角形abc内有一磁感应强度为B、方向垂直于纸 面向外的有界匀强磁场，且∠c=30°，bc=L,bC中点有一离子源S,能均匀的向三角形平面内 第3页共16页 的各个方向发射大量速率相等的同种离子，离子质量为m、电荷量为9。若有离子刚好从b点 沿ab方向射出，则能够从bc边射出的离子在磁场中经过的区域面积为() πL2 5πL2 A. B. 32 96 C.3m2 D. 7πL2 32 96 4.(2024广东.一模)一种离子分析器的结构原理如图，两虚线间的环形区域内存在顺时针的 匀强磁场和垂直纸面向外的匀强电场，电场强度、磁感应强度大小分别为E和B,外虚线环的 半径为R。环形区域外侧，第一象限其他区域存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B大 小可调。原点处有一个离子源，发射电荷量为9、质量为m的正离子，速度方向与x轴正方向 成60°夹角。x轴正半轴装有足够大的薄荧光屏，用于接收打到x轴上的离子。当调节B′=B, (B,未知)时，离子沿直线通过环形区域后沿着Oxy平面运动，并垂直打在荧光屏上。（离子 重力不计) 60° x B 荧光屏 (1)求正离子的速度大小： (2)求B,的大小及离子打在荧光屏上的位置。 5.(23-24高二下·湖南邵阳·阶段练习)如图所示是科学仪器中广泛应用的磁致离子偏转技术 原理图。位于纸面的xOy平面内y=20cm和y=4cm两条直线间存在着垂直纸面向内的匀强 第4页共16页 磁场。原点0处的离子源能沿纸面发射质量为m=3.2×1027kg,电荷量为g=1.6×10-19C的 正离子。其中向第一象限且与x轴正向成37°发射的速度大小为v。1.2510/s的离子，刚 好从A点(0,20cm)射出磁场，不计重力，sin37?=0.6。 (1)求该离子从A点射出磁场时的速度方向及匀强磁场的磁感应强度大小； (2)若离子源向与x轴正向最大夹角为37°范围内发射离子，且所有离子都不离开磁场，求其 发射的离子最大速度ym及最大速度离子可以到达的磁场区域面积S; (3)若磁场布满整个空间且磁场区域充满空气，使进入磁场的离子受到与速度大小成正比、 方向相反的阻力。离子源沿x轴正向持续发射速度为"。1.2510°ms的离子，单位时间发 射离子数为N=2×1016，这些离子均经过A点。若在A点沿y轴放一小块离子收集板以收集 所有射到A点的离子，不考虑离子间的相互作用，求离子束对收集板的作用力沿x轴方向分力 的大小。 十 XYo 370 37 6.(2025河南·模拟预测)利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示， 在xOy平面内存在有区域足够大的方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B,x=L 的虚线界面右侧是接收离子的区域。位于坐标原点O处的离子源能在xOy平面内持续发射质 量为m、电荷量为9的负离子，已知离子入射速度与y轴夹角最大值为60°，且速度大小与0 角之间存在一定的关系，现已测得离子两种运动情况：①当离子沿y轴正方向以大小为%（未 知)的速度入射时，离子恰好通过坐标为(L,L)的P点；②当离子的入射速度大小为，（未 知)，方向与y轴夹角60°入射时，离子垂直通过x=L界面。不计离子的重力及离子间的相互 作用，并忽略磁场的边界效应。 第5页共16页 ◆yX + X × B P(L,L X6 0261 L + (1)求①情况下vo的大小： (2)求②情况下离子到达x=L界面时与x轴之间的距离； (③)若离子入射速度大小随变化的关系v=。,在界面x=L右侧加一宽度也为L且平行于+ cos0 x轴的匀强电场，如图所示。为使所有离子都不能穿越电场区域且重回界面x=L,求所加电场 的电场强度至少为多大？ 7.(2025·湖北黄冈·模拟预测)利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所 示，在x©y平面内存在有区域足够大的方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。 位于坐标原点O处的离子源能在xoy平面内同时沿虚线夹角范围内各个方向发射质量为m、电 荷量为q的负离子，其速度方向与y轴正方向夹角0的最大值为60°，且各个方向速度大小随 日变化的关系为v=%。,式中，为未知定值。且0=0°的离子恰好通过坐标为(L,L)的 cos0 P点。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。 yA ×× ××× P(L,L) + ××××× ×××680× ×× 9 ×× XXXX + ×× × 第6页共16页 ①求关系式v=中y,的值： cos0 (2)为回收离子，在界面x=L处放一竖直挡板，求离子打在挡板上时V坐标的范围； (3)在第二问条件下，求最先打在挡板上与最后打在挡板上的时间差。 8.(24-25高二下·浙江舟山·期末)某离子控制装置如图所示，圆心P0,10cm、半径 R=10Cm的圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场（未画出），原点O处的离子源在如图所 示角度范围内持续均匀发射离子，发射离子的质量m=3.2×1027kg、电量g=+1.6×1019C、 速度v。=2.5×10m/s。在x=10cm的AB处有一长20cm的挡板垂直于x轴，所有离子均垂 直击中挡板并以原速率反弹。在AB延长线BD的右侧有水平向右的匀强电场，电场强度为 E=5×10N/C,在y=35Cm处有一足够长与y轴垂直的荧光屏，荧光屏被离子击中会发光。 不考虑电场边缘效应和离子之间相互作用，求： y本 荧光屏 B 0 挡板 37 53 A (1)磁感应强度大小： (2)离子击中挡板的范围； (3)若离子源单位时间内发射的总离子数为n,求挡板上纵坐标5cm~10cm范围所受冲击力大 小； (4)荧光屏上亮线的长度。 9.(24-25高二下·贵州遵义·阶段练习)如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向射出一束 负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强 磁场。己知O、A两点间的距离为8，负离子的比荷为？，速率为，OP与OQ之间的夹角为 m 30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小可能是() 第7页共16页 - 01300 A.BI B.B> mv gs 3qs C.B m D.B>3m 2gs gs 10.(24-25高二下·云南保山·开学考试)如图所示，x轴上方存在垂直纸面向外的匀强磁场， 坐标原点O处有一正离子源，原点右侧P点处开有一小孔，O、P两点间的距离为L。甲、乙 两粒子先后从O处射出，经磁场偏转后恰好从P点射向x轴下方。已知甲粒子的质量为m, 电荷量为9，甲粒子从O处射出时速度大小为v。,速度方向与x轴负方向的夹角o=30°，乙 粒子从O处射出时速度方向与x轴负方向的夹角阝=60°，甲粒子在磁场中的运动时间为乙粒 子的√3倍，不计甲、乙粒子所受的重力和粒子间的相互作用。求： ●● ● ● ●乙● ● O p→x (1)匀强磁场的磁感应强度大小B。; (2)乙粒子在磁场中运动时的速率大小v; (3)乙粒子的比荷k。 模型2 磁聚焦磁发散模型 1.“磁聚焦”模型 ()现象：如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁 场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点 射出。（会聚） (2)条件：轨迹圆半径R等于磁场圆半径r。2.“旋转圆”模型2.“旋转圆”模型 第8页共16页 (3)证明：四边形OAO'B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO'(即 竖直方向)，可知从A点发出的带电粒子必然经过B点。 2.“磁发散”模型 (1)现象：如图乙所示，从P点有大量质量为m、电荷量为9的带正电粒子，以大小相 等的速度沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，则所有粒子射出磁场的方向平行。 (发散) (2)条件：轨迹圆半径等于磁场圆半径 ----10 + 、0 + B 甲 (3)证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形， 也是平行四边形，OA(OB、O3C均平行于PO,即出射速度方向相同（即水平方向）。 11.(25-26高二上·重庆沙坪坝·期中)如图，平面内有一个半径为R的圆形区域，右侧存在一 个截面为矩形的区域abcd,两个区域的切点O为ad边的中点，ab=R,bc=2R,bc和 cd边上分别有两个接收屏（接收屏的长度分别等于矩形区域的边长）。两个区域内均存在磁感 应强度大小为B=”%、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，一群质量为m,电荷量为-9的粒 gR 子均匀分布在宽为2R区域内，紧邻且平行于da边以速度'进入圆形区域。不考虑粒子的重 力，射出矩形边界后的粒子不再考虑。下列说法正确的是() 第9页共16页 πR A.进入矩形区域的粒子在矩形磁场中运动的最长时间为 2vo B.沿着半径射入的粒子在圆形区域内的运动半径为2R C.矩形区域内粒子所经过的面积为 +1R2 4 D.打到M屏上的粒子数与打到bc屏上的粒子数的比例为V 2 12.(25-26高二上·浙江·期中)如图所示，在x轴上方存在垂直纸面向内的足够大磁场，x轴 下方存在一垂直纸面向外的圆形磁场，磁感应强度均为B,且圆形磁场与x轴相切于原点O, 半径为R。在第三象限有一线状粒子发射源，其上下端纵坐标分别为尽和-3 ，可发射沿 2 x正方向的带电粒子。已知所有粒子电量为9，质量为m,均从原点射入第一第二象限磁场区 域。在x轴正半轴区域存在足够长的特殊接收板（未画出），粒子打到板上发生“反弹”，即粒 子与板作用前后速度方向与x轴的夹角大小相等，但速率减半，板上会留下荧光印记。下列说 法正确的是( ×××↑× ××× A.带电粒子的速率v=V3gBR m B.从O点射入x轴上方区域的粒子与y轴的最大夹角为30° C.接收板上最近和最远的印记之间的距离为2√3-1)R D.接收板上最近和最远的印记之间的距离为4-V3R 13.(25-26高三上河北沧州期中)如图所示，x0y坐标系中有一半径R=三d的圆形匀强磁 4 5 场I,匀强磁场的圆心O的坐标为 d,0, 在y轴的右侧有平行于x轴的平行金属板M、 4 第10页共16页 专题32动态圆处理临界极值问题 磁聚焦磁发散模型 模型总结 模型1 动态圆模型 1 模型2 磁聚焦磁发散模型 20 模型1 动态圆模型 1．“平移圆”模型 适用条件 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图所示 轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行 界定方法 将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法 2．“旋转圆”模型 适用条件 粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R＝，如图所示 轨迹圆圆心共圆 如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上 界定方法 将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转圆”法 3．“放缩圆”模型 适用条件 粒子源发射速度方向一定，大小不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化 轨迹圆圆心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大．可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上 界定方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法 1．（25-26高二上·浙江·期中）如图所示，空间中存在范围足够大，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，MN为足够长的离子接收板，到MN垂直距离为h的O点有一离子源，连续不断地向平面内各方向均匀放出质量为m、带电量为+q的粒子，粒子速率均为，则（　　） A．接收板接收到离子的区域长度为2h B．能被接收的离子占总离子的 C．被接收的粒子运动最短时间为 D．被接收的粒子运动最长时间为 【答案】B 【详解】A．根据洛伦兹力提供向心力有 解得 如图所示 接收板接收到离子的区域长度为，故A错误； B．当粒子的运动轨迹与接收板两侧相切时，粒子恰好能被接收板接收，此时粒子在O点的速度方向间的夹角等于180°，所以能被接收的离子占总离子的，故B正确； C．当粒子打到A点时运动时间最短，则被接收的粒子运动最短时间为，故C错误； D．粒子在右侧轨迹与MN相切时运动时间最长，则被接收的粒子运动最长时间为，故D错误。 故选B。 2．（2025·河南·模拟预测）如图，在长方形ABCD区域（含边界）存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。已知，，O是AD中点，O点为离子源，某时刻自O点向磁场各个方向同时发射速率相同、带负电的同种粒子，速度均垂直于磁场方向。其中速度方向沿OA的粒子时刻自E点离开磁场区域，。忽略粒子重力和粒子间相互作用。则以下选项中正确的是（　　） A．粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为a B．粒子的比荷为 C．在时刻，仍在磁场中的粒子初速度方向与OA的夹角范围为 D．在磁场中运动时间最长的粒子运动时间为 【答案】ACD 【详解】A．沿OA方向入射的粒子，自E点离开，根据几何关系可得，轨迹半径 故A正确； B．从E点离开的粒子运动离开磁场，由洛伦兹力提供向心力得， 可得 则有 可得比荷为 故B错误； C．当粒子初速度方向与OA垂直时，时刻粒子恰在磁场边界，转过的圆心角为，当粒子初速度方向与OA夹角为时，时刻粒子恰好在AD边界上，转过的圆心角为；可知在时刻，仍在磁场中的粒子初速度方向与OA的夹角范围为，故C正确； D．垂直AD边入射的粒子转过的圆心角为，在磁场中运动的时间最长，用时为 故D正确。 故选ACD。 3．（2025·广西·模拟预测）如图所示，直角三角形abc内有一磁感应强度为B、方向垂直于纸面向外的有界匀强磁场，且∠c=30°，bc =L，bc中点有一离子源S，能均匀的向三角形平面内的各个方向发射大量速率相等的同种离子，离子质量为m、电荷量为q。若有离子刚好从b点沿ab方向射出，则能够从bc边射出的离子在磁场中经过的区域面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】刚好从b点沿ab方向射出的离子的运动轨迹如图（a）所示，其圆周半径，恰好能从bc边射出的离子的轨迹如图（b）所示，与ac边相切于A点，将该轨迹绕着S点逆时针缓慢旋转，可得到其他从bc边射出的离子的轨迹，该轨迹与bc边的交点即为从bc边射出的出射点，这些轨迹在磁场中经过的区域如图（c）阴影部分所示 可知，阴影部分一个半径为R的半圆和一个半径为2R的圆弧构成，过圆心O1作bc边的垂线分别交ac边、bc边于D点，连接O1、A点，由几何知识可得，， 联立解得， 则阴影部分的面积为 故选B。 4．（2024·广东·一模）一种离子分析器的结构原理如图，两虚线间的环形区域内存在顺时针的匀强磁场和垂直纸面向外的匀强电场，电场强度、磁感应强度大小分别为E和B，外虚线环的半径为R。环形区域外侧，第一象限其他区域存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小可调。原点处有一个离子源，发射电荷量为q、质量为m的正离子，速度方向与x轴正方向成60°夹角。x轴正半轴装有足够大的薄荧光屏，用于接收打到x轴上的离子。当调节（未知）时，离子沿直线通过环形区域后沿着Oxy平面运动，并垂直打在荧光屏上。（离子重力不计） (1)求正离子的速度大小； (2)求的大小及离子打在荧光屏上的位置。 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）离子在环形区域内，沿直线运动，所以受力平衡，有 解得 （2）离子离开环形区域后，能沿着Oxy平面运动，且垂直打在荧光屏上，其轨迹如图 设正离子在环形区域外圆周运动半径为，有 由几何关系得 解得 离子打到荧光屏上的位置坐标 5．（23-24高二下·湖南邵阳·阶段练习）如图所示是科学仪器中广泛应用的磁致离子偏转技术原理图。位于纸面的xOy平面内和两条直线间存在着垂直纸面向内的匀强磁场。原点O处的离子源能沿纸面发射质量为，电荷量为的正离子。其中向第一象限且与x轴正向成37°发射的速度大小为的离子，刚好从A点（0，20cm）射出磁场，不计重力，。 （1）求该离子从A点射出磁场时的速度方向及匀强磁场的磁感应强度大小； （2）若离子源向与x轴正向最大夹角为37°范围内发射离子，且所有离子都不离开磁场，求其发射的离子最大速度及最大速度离子可以到达的磁场区域面积S； （3）若磁场布满整个空间且磁场区域充满空气，使进入磁场的离子受到与速度大小成正比、方向相反的阻力。离子源沿x轴正向持续发射速度为的离子，单位时间发射离子数为，这些离子均经过A点。若在A点沿y轴放一小块离子收集板以收集所有射到A点的离子，不考虑离子间的相互作用，求离子束对收集板的作用力沿x轴方向分力的大小。 【答案】（1），出射速度方向沿与轴正向夹角为；（2），；（3） 【详解】（1）设轨迹半径为r，则 解得 由 解得 出射速度方向沿与轴正向夹角为 （2）沿轴正方向发射的离子轨迹恰好与上边界相切时 以方向入射的半径为的圆轨迹能到达的最低点 故最大半径为0.1m，则 解得 如图所示 离子所到达的区域面积为半径0.1m的一个圆加上顶角半径0.2m的扇形一中间叶片区域的面积，然后减去两个顶角半径0.1m的扇形相交区域的面积。即 （3）设某时刻速度为v，方向与水平方向夹角为，水平方向由动量定理得 即 解得 方向对粒子由动量定理得 取，解得 由牛顿第三定律得，粒子对收集板的作用力大小为 6．（2025·河南·模拟预测）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，在xOy平面内存在有区域足够大的方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，x=L的虚线界面右侧是接收离子的区域。位于坐标原点O处的离子源能在xOy平面内持续发射质量为m、电荷量为q的负离子，已知离子入射速度与y轴夹角θ最大值为60°，且速度大小与θ角之间存在一定的关系，现已测得离子两种运动情况：①当离子沿y轴正方向以大小为v0（未知）的速度入射时，离子恰好通过坐标为（L，L）的P点；②当离子的入射速度大小为v1（未知），方向与y轴夹角60°入射时，离子垂直通过x=L界面。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。 (1)求①情况下v0的大小； (2)求②情况下离子到达x=L界面时与x轴之间的距离； (3)若离子入射速度大小随θ变化的关系，在界面x=L右侧加一宽度也为L且平行于+x轴的匀强电场，如图所示。为使所有离子都不能穿越电场区域且重回界面x=L，求所加电场的电场强度至少为多大？ 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）当离子沿y轴正方向以大小为的速度入射时，离子恰好通过坐标为的P点，由几何关系可得 由牛顿第二定律有      联立解得 （2）若离子与y轴夹角向左上入射时，运动轨迹如图所示 由几何关系可得 离子到达界面时与x轴之间的距离 若离子与y轴夹角向右上入射时，运动轨迹如图所示 由几何关系可得 离子到达界面时与x轴之间的距离 （3）离子入射速度大小随变化的关系为 由牛顿第二定律有    离子运动半径为 可知，圆心一定在界面上，即离子一定垂直通过界面，当时，通过界面的速度最大，则保证此离子不能穿越电场区域且重回界面即可，此时速度 恰好能重回界面的离子到达右边界的速度方向与界面平行，设其为，对该离子竖直方向运用动量定理有 两边求和可得 又由动能定理得      联立解得 7．（2025·湖北黄冈·模拟预测）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，在xoy平面内存在有区域足够大的方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。位于坐标原点O处的离子源能在xoy平面内同时沿虚线夹角范围内各个方向发射质量为m、电荷量为q的负离子，其速度方向与轴正方向夹角的最大值为，且各个方向速度大小随变化的关系为，式中为未知定值。且的离子恰好通过坐标为（，）的点。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。 (1)求关系式中的值； (2)为回收离子，在界面处放一竖直挡板，求离子打在挡板上时坐标的范围； (3)在第二问条件下，求最先打在挡板上与最后打在挡板上的时间差。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由于的离子恰好通过坐标为（，）的点，此时离子的速度为，运动半径为 由牛顿第二定律得 解得 （2）对于任意的速度方向与轴成角的离子，设其在磁场中的运动半径为，如图所示 由牛顿第二定律得 且有 解得 故所有离子做圆周运动的轨道圆心均在界面上，且速度方向垂直于界面，如图 当时 故离子通过界面时坐标的最小值为 坐标的最大值为 则离子通过界面时坐标的范围为 （3）当在y轴右边时：打在挡板上匀速圆周运动轨迹圆心角为30°，这是打在挡板上粒子的最短时间tmin ，根据 解得 则周期 故有 当在y轴左边时：打在挡板上匀速圆周运动轨迹圆心角为150°，这是打在挡板上粒子的最短时间tmax ，故有 则粒子同时从O点出发最后打在挡板上和最先打在挡板的时间差为 8．（24-25高二下·浙江舟山·期末）某离子控制装置如图所示，圆心、半径的圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场（未画出），原点处的离子源在如图所示角度范围内持续均匀发射离子，发射离子的质量、电量、速度。在的处有一长的挡板垂直于轴，所有离子均垂直击中挡板并以原速率反弹。在延长线的右侧有水平向右的匀强电场，电场强度为，在处有一足够长与轴垂直的荧光屏，荧光屏被离子击中会发光。不考虑电场边缘效应和离子之间相互作用，求： (1)磁感应强度大小； (2)离子击中挡板的范围； (3)若离子源单位时间内发射的总离子数为，求挡板上纵坐标范围所受冲击力大小； (4)荧光屏上亮线的长度。 【答案】(1)0.5T (2) (3) (4) 【详解】（1）离子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由 由几何关系，离子垂直击中挡板，轨迹圆心在x轴上，磁场圆心，半径 代入数据得 （2）由题意得与y轴左侧成37°时 与右侧成53°时 所以击中挡板范围为 （3）设离子发射速度与x轴正方向夹角为，即离子击中挡板坐标为 当y=5cm时， 当y=10cm时， 单位时间内打在纵坐标范围内的离子数为，由动量定理可知 代入整理，得 （4）在电场中沿着y轴方向运动的长度 离子在电场中运动的最长时间 离子在电场中沿着x轴方向运动 左侧沿x轴运动最长距离为 荧光屏上亮线的长度 9．（24-25高二下·贵州遵义·阶段练习）如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ之间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时，由左手定则知：负离子向右偏转。约束在OP之下的区域的临界条件是离子运动轨迹与OP相切。如图（大圆弧）： 由几何知识知： 而OB=s+R2 所以R2=s 所以当离子轨迹的半径小于s时满足约束条件。由牛顿第二定律及洛伦兹力公式列出 所以得； 当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左手定则知：负离子向左偏转。约束在OP之下的区域的临界条件是离子运动轨迹与OP相切。如图（小圆弧）： 由几何知识知道相切圆的半径为 所以当离子轨迹的半径小于时满足约束条件。 由牛顿第二定律及洛伦兹力公式列出， 所以得 故选AD。 10．（24-25高二下·云南保山·开学考试）如图所示，x轴上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，坐标原点O处有一正离子源，原点右侧P点处开有一小孔，O、P两点间的距离为L。甲、乙两粒子先后从O处射出，经磁场偏转后恰好从P点射向x轴下方。已知甲粒子的质量为m，电荷量为q，甲粒子从O处射出时速度大小为，速度方向与x轴负方向的夹角，乙粒子从O处射出时速度方向与x轴负方向的夹角，甲粒子在磁场中的运动时间为乙粒子的倍，不计甲、乙粒子所受的重力和粒子间的相互作用。求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小； (2)乙粒子在磁场中运动时的速率大小v； (3)乙粒子的比荷k。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）甲粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，如图所示 根据几何关系可知，甲粒子做匀速圆周运动的半径 根据牛顿第二定律有 解得磁感应强度大小 （2）甲粒子在磁场中通过的弧长 甲粒子在磁场中的运动时间 设乙粒子做匀速圆周运动的半径为，根据几何关系有 乙粒子在磁场中的运动时间 根据题意有 解得 （3）设乙粒子的质量为，电荷量为，根据牛顿第二定律有 乙粒子的比荷 解得 模型2 磁聚焦磁发散模型 1．“磁聚焦”模型 (1)现象：如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出。(会聚) (2)条件：轨迹圆半径R等于磁场圆半径r。2．“旋转圆”模型2．“旋转圆”模型 (3)证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点发出的带电粒子必然经过B点。 2．“磁发散”模型 (1)现象：如图乙所示，从P点有大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，则所有粒子射出磁场的方向平行。(发散) (2)条件：轨迹圆半径等于磁场圆半径 (3)证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O1A(O2B、O3C)均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)。 11．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）如图，平面内有一个半径为的圆形区域，右侧存在一个截面为矩形的区域，两个区域的切点为边的中点，，，和边上分别有两个接收屏（接收屏的长度分别等于矩形区域的边长）。两个区域内均存在磁感应强度大小为、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，一群质量为，电荷量为的粒子均匀分布在宽为区域内，紧邻且平行于边以速度进入圆形区域。不考虑粒子的重力，射出矩形边界后的粒子不再考虑。下列说法正确的是（　　） A．进入矩形区域的粒子在矩形磁场中运动的最长时间为 B．沿着半径射入的粒子在圆形区域内的运动半径为 C．矩形区域内粒子所经过的面积为 D．打到屏上的粒子数与打到屏上的粒子数的比例为 【答案】ACD 【详解】B．粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有， 解得，，B错误； A．由于粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径等于圆形磁场区域的半径，则粒子入射点、出射点、磁场圆形区域的圆心与轨迹圆的圆心四点构成的四边形为菱形，则所有粒子经过圆形磁场均可由切点O进入矩形磁场内部，根据几何关系可知，粒子在矩形磁场中的轨迹最长为四分之一圆弧（如图2所示），则运动时间为解得，A正确， C．由于粒子平行射入圆形磁场，根据圆形磁场区域的磁汇聚规律，再结合几何关系可知，沿平行于方向射入的粒子打在点，此时为最远路径，如图1所示，则粒子在磁场中所经过的面积为一个圆心角为90°的扇形和一个正方形的面积之和，解得，C正确； D．如图2所示，打到点的粒子速度方向与边垂直，是由点射入的粒子。故打在边的粒子占进入矩形区域内粒子个数比。假设从点射入的粒子正好打在点，由于粒子半径与的长度相等，该方向的粒子的圆心角为。由图可知为打到边的粒子分布，此时入射点和圆形磁场的圆心连线与水平方向的夹角为30°。则打在边上的粒子占进入矩形区域内粒子个数比为 则打到屏上的粒子数与打到屏上的粒子数的比例为，D正确。 故选ACD。 12．（25-26高二上·浙江·期中）如图所示，在x轴上方存在垂直纸面向内的足够大磁场，x轴下方存在一垂直纸面向外的圆形磁场，磁感应强度均为B，且圆形磁场与x轴相切于原点O，半径为R。在第三象限有一线状粒子发射源，其上下端纵坐标分别为和，可发射沿x正方向的带电粒子。已知所有粒子电量为q，质量为m，均从原点射入第一第二象限磁场区域。在x轴正半轴区域存在足够长的特殊接收板（未画出），粒子打到板上发生“反弹”，即粒子与板作用前后速度方向与x轴的夹角大小相等，但速率减半，板上会留下荧光印记。下列说法正确的是（　　） A．带电粒子的速率 B．从O点射入x轴上方区域的粒子与y轴的最大夹角为30° C．接收板上最近和最远的印记之间的距离为 D．接收板上最近和最远的印记之间的距离为 【答案】BD 【详解】A．由于进入圆形磁场的粒子均从原点射出，则为磁汇聚模型，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径与圆形磁场半径相等，即 解得，故A错误； B．从O点射入x轴上方区域的粒子与y轴的夹角最大时轨迹如图 由几何关系得， 解得 粒子从最下方射入圆形磁场时，通过O点射入x轴上方区域时与y轴的夹角也为30°，从其他点射入时，通过O点射入x轴上方区域时与y轴的夹角均小于30°，故B正确； CD．B选项中的运动轨迹，即为接收板上出现最近印记时的轨迹，由几何关系可得，粒子在第一象限运动轨迹的偏转角为120°，轨迹弦长为； 接收板上出现最远印记时的轨迹如下图所示 运动起点位于线状粒子发射源的中点，在第一象限的运动轨迹为半圆，打在x轴上坐标为2R，因为反弹之后粒子速率会减半，继续向右偏转，后续轨迹均为半圆，半径变为原来的一半，所以后续距离为等比数列，首项为2，公比为 根据等比数列求和公式 可知最大距离为4R 所以接收板上最近和最远的印记之间的距离为，故C错误，D正确。 故选BD。 13．（25-26高三上·河北沧州·期中）如图所示，坐标系中有一半径的圆形匀强磁场，匀强磁场的圆心的坐标为，在轴的右侧有平行于轴的平行金属板M、N，两金属板左端位于轴上，板长为，两板到轴的距离均为，两板之间接有恒定电压，的整个区域内存在垂直纸面向外的另一匀强磁场区域Ⅱ（未在图中显示）。坐标为的点有一粒子源，在平面内沿各个方向发射大量质量为、电荷量为的正粒子（不计重力），所有粒子速度大小均为，已知圆形磁场区域内磁场的磁感应强度大小为，不计粒子间的相互作用，能进入两板间的粒子有恰好能从M边界射出。求： (1)能进入两板间的粒子占粒子源发射粒子的百分比； (2)求匀强电场电场强度的大小； (3)若从电场射出的粒子经磁场区域Ⅱ偏转后能全部回到电场，求磁场区域Ⅱ的磁感应强度的取值范围； (4)若磁场区域Ⅱ的磁感应强度大小取（3）中的最小值，求在磁场Ⅱ中有粒子经过的区域面积。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）粒子进入圆形磁场做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得 解得 故所有粒子离开圆形磁场时均沿轴方向；设恰好沿N板边缘进入两板间的粒子射出时速度方向与轴正方向成角,由几何关系可知 解得 所以进入两板间的粒子占粒子源发射粒子的百分比为 （2）有的粒子能够从M边界射出电场，则粒子在电场中竖直偏转距离为，粒子做类平抛运动，竖直方向有， 水平方向有 联立解得 （3）粒子射出电场时竖直方向速度 粒子射出电场时速度为 根据洛伦兹力提供向心力 从电场射出的粒子经磁场Ⅱ偏转后能全部回到电场，根据几何关系有 解得 （4）有粒子经过的区域如图所示，由几何关系知扇形面积为 三角形面积为 弓形面积为 梯形面积为 在磁场Ⅱ中有粒子经过的区域面积为 14．（25-26高二上·河南洛阳·月考）如图所示，平行金属板C、D间存在匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，半径为的圆形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，矩形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，三处磁场的磁感应强度大小均为。金属板D的延长线过圆形区域的圆心，金属板C的延长线、两金属板右边缘连线均与圆形区域相切，边与圆形区域在边的中点处相切。一束宽度与平行金属板间距相等、比荷均为的带负电粒子流从金属板左侧以水平向右的速度射入金属板间，恰能在金属板间做直线运动，进入圆形区域经磁场偏转后均过点。已知，。求： (1)平行金属板C、D间的电压； (2)沿金属板C、D中轴线运动的粒子从射出金属板到运动至点所用的时间； (3)边上有粒子穿出的长度与边上有粒子穿出的长度的比值。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为粒子进入圆形区域经磁场偏转后均过点A，则粒子在圆形磁场中运动的半径与磁场的半径相等，根据牛顿第二定律可得 可得 粒子在金属板间做直线运动，所以电场力等于洛伦兹力，则 解得 （2）沿金属板C、D中轴线运动的粒子从射出金属板到运动至A点的轨迹如图 粒子先做匀速直线运动，运动的距离为 匀速的时间为 由几何关系可得，在磁场中做圆周运动的圆心角为 则做圆周运动的时间为 所以，沿金属板C、D中轴线运动的粒子从射出金属板到运动至A点所用的时间 （3）由题意可知，打在边最左侧时，粒子沿C板射入；打在最上方的粒子沿D板射入，则轨迹为 由几何关系可知，QM边上有粒子穿出的长度为 MN边上有粒子穿出的长度为 所以QM边上有粒子穿出的长度与MN边上有粒子穿出的长度的比值为 15．（25-26高三上·贵州·月考）如图所示，竖直的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，圆形磁场区域半径，匀强磁场的磁感应强度大小。磁场右侧有一平行板电容器，极板长度，极板间距，极板间的匀强电场方向竖直向上，平行板电容器的中轴线与左侧圆心在同一水平线上。另有一位置和角度可调节的荧光屏（图中未画出）放在电容器右侧用于接收带电粒子。在磁场最低处有一粒子源，均匀地向磁场中各个方向发射初速度大小为的带负电粒子，已知带电粒子的质量、电荷量。粒子经磁场偏转后，都能垂直电场方向进入平行板电容器，且恰有一半的粒子能从平行板右端射出，不考虑粒子间的相互作用，不计粒子的重力，忽略电场的边缘效应。 (1)求带电粒子的初速度大小； (2)求电容器极板间匀强电场的电场强度大小； (3)要使粒子源发出的粒子中有能到达荧光屏上，求荧光屏的最小宽度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由于经磁场偏转后，都能垂直电场方向进入平行板电容器，根据磁发散的原理可知，粒子圆周运动的轨道半径 洛伦兹力提供圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律可得 解得电粒子的初速度 （2）带电粒子在电场中做类平抛运动，根据平抛运动规律可得 沿电场方向则有 结合牛顿第二定律可得 联立解得 （3）作出粒子的运动轨迹，如图所示 粒子源均匀地向磁场各个方向发射粒子，恰有能到达荧光屏，则粒子从粒子源发出的角度范围为，又要求粒子束到达荧光屏时的宽度最小,则荧光屏应该接收到粒子源向左至左上范围内发射的粒子。由几何关系可知，该部分粒子射出磁场时的宽度 解得 设粒子射出电场时的速度方向的偏转角度为，则有 结合上述分析可知 解得 该部分粒子射出电场时的宽度 即荧光屏的最小宽度 16．（2024·黑龙江·模拟预测）如图所示，真空室中y轴右侧存在n个连续排列的圆形边界匀强磁场，圆心均位于x轴上，相邻两个圆相切，半径均为R，磁感应强度大小均为B。其中第1、3、5…个磁场的磁感应强度方向垂直于纸面向里，第2、4、6…个磁场的磁感应强度方向垂直于纸面向外。第1个磁场左侧与y轴相切，第n个磁场右侧与一接收屏相切，接收屏与x轴垂直，第n个磁场方向图中未画出。在磁场上方存在一无限大的矩形匀强电场，电场强度大小为E、沿y轴负方向，磁场下方亦存在一无限大的矩形匀强电场，电场强度大小为2E、沿y轴正方向，两电场边界均与磁场圆形边界相切。某种带正电的粒子比荷为，以下列所述情况在电、磁场中运动，不计粒子重力，不考虑粒子间相互作用。 (1)若将粒子从上方电场某处由静止释放，恰好在处进入磁场并从处射出，求粒子在电场中释放位置的坐标； (2)若在坐标原点O处放置一粒子源，能向第一、四象限各个方向发射（不考虑平行于y轴方向发射的粒子）上述粒子，射出的速度大小均为，求粒子通过第一个磁场空间的最大偏转角； (3)若（2）问中粒子源发射粒子的速度大小均变为，其余条件不变，求在所有粒子中，粒子从被发射至到达接收屏所用的最短时间。 【答案】(1) (2)60° (3)当为偶数时，，当为奇数时， 【详解】（1）由题意知，粒子沿方向进入第一个磁场，轨迹如图甲所示，恰为圆周，则粒子做圆周运动的轨道半径，由洛伦兹力提供向心力，有 又比荷    解得 带电粒子由静止释放后，由动能定理有    解得 故该粒子释放的位置坐标为 （2）由洛伦兹力提供向心力得 其中 解得轨道半径 粒子运动轨迹均为劣弧，弦越长，弧越长，弧所对应的圆心角越大，则运动时间越长，故当粒子的轨迹圆弦长等于圆形磁场直径时，粒子在磁场空间的偏转角最大，对应的轨迹如图乙所示，则有 解得 （3）根据磁发散和磁聚焦原理与左手定则，所有粒子都将以垂直于轴的方向离开磁场向上运动，经过真空后进入电场，在电场中做类竖直上抛运动，然后以相同速率，向下再次进入磁场，进入磁场后将会汇聚到轴与圆的另一个交点，然后进入下一个圆形边界磁场，在垂直于纸面向外的磁场中运动时，偏转方向与垂直于纸面向里的磁场相反，但依然会做类似的运动，如图丙所示为某一粒子的轨迹。 粒子在电场中做类竖直上抛运动，每经过一个磁场就会进入一次电场，每次进入上方电场时加速度 运动时间 每次进入下方电场时加速度 运动时间 粒子在每个磁场中运动时转过的圆心角之和均为180°，则每个磁场中的运动时间 由以上分析可知，当粒子沿方向进入第一个磁场时，不经过电场与磁场间的真空区域，用时最短，轨迹如图丁所示 故①当为偶数时 解得 ②当为奇数时 解得 17．（2025·湖南永州·一模）如图所示，在平面直角坐标系的第二象限内有半径的圆形区域，圆与轴相切于点，点坐标，，圆形区域内存在磁感应强度大小、方向垂直纸面向外的匀强磁场。点处有一粒子源，有大量质量，电荷量的粒子以相同的速率在平面内沿不同方向从点射入磁场，不考虑粒子间的相互作用，不计粒子的重力。在匀强磁场的右侧存在一有界匀强电场，电场强度大小、方向沿轴负方向，电场左边界为轴，右边界与轴的距离。求： (1)若某个粒子从点沿轴正方向射入磁场，则该粒子离开磁场的位置坐标； (2)射入磁场时速度方向与轴正方向成的粒子在磁场中运动的时间（结果可用表示）； (3)若某个粒子经磁场与电场的偏转能通过电场右边界与轴的交点，求该粒子从点运动到点的总时间（结果可用表示）。 【答案】(1)（，） (2) (3) 【详解】（1）由洛伦兹力提供向心力得 可得 设粒子从点沿轴正方向射入磁场时，离开磁场的位置坐标为（，），则有 ， 可知粒子离开磁场的位置坐标为（，）。 （2）设射入磁场时速度方向与轴正方向成的微粒从点射出，其轨迹如图所示 由几何关系可得轨迹对应的圆心角 则粒子在磁场中的运动时间为 解得 （3）要使粒子经过点，轴方向有 轴方向有， 联立解得， 该粒子在磁场中的运动轨迹如图所示 由几何关系可知， 可得 轨迹对应的圆心角为 则粒子在磁场中的运动时间为 粒子在磁场与电场之间的运动时间为 则粒子从点运动到点的总时间 18．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内有一半径的圆形区域，圆与轴相切于点，点坐标，，圆形区域内存在磁感应强度大小、方向垂直纸面向里的匀强磁场。点处有一粒子源，有大量质量，电荷量的粒子以相同的速率在平面内沿不同方向从点射入磁场，已知垂直轴方向射入磁场的粒子恰好从点水平射出磁场，点为圆左侧与圆心等高的位置，不考虑粒子间的相互作用，不计粒子的重力。在匀强磁场的左侧存在一有界匀强电场，电场强度，方向沿轴负方向，电场左边界为轴，右边界与轴的距离。求： (1)粒子射入磁场时的速率； (2)射入磁场时速度方向与轴正方向成的粒子在磁场中运动的时间（结果可用表示）； (3)某粒子经磁场与电场的偏转恰好能到达坐标原点，求该粒子从点射入磁场到点离开电场运动的总时间（结果可用表示）。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）垂直轴方向射入磁场的微粒恰好从点水平射出磁场，由几何关系可知，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径 对微粒，根据洛伦兹力提供向心力有 可得 （2）如图所示，射入磁场时速度方向与轴正方向成的微粒从点射出，其轨道圆心记为，则四边形为菱形。 与平行，则有 则粒子在磁场中的运动时间为 可得 （3）由于粒子做匀速圆周运动的半径，所有射入磁场的粒子在磁场右侧出射时都有水平向左的速度，要粒子能够经电场偏转过点，对粒子在电场中的运动分析： 轴方向 轴方向 根据牛顿第二定律有 解得， 该粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，粒子在磁场中的出射点为，过做的垂线，垂足为 由几何关系可知，可得， 由此可知 则粒子在磁场中的运动时间为 粒子在出磁场未进入电场前做匀速直线运动，运动时间 则运动的总时间 19．（24-25高二下·湖北·阶段练习）钍具有放射性，能够发生衰变变为镤Pa，如图，位于坐标原点的静止钍核发生β衰变，在纸面内向x轴上方各方向发射电子。在x轴上方存在垂直纸面向外、半径为a的圆形匀强磁场，磁感应强度为B，磁场圆心位于y轴，且与x轴相切于原点。x轴上方处平行y轴方向放置一足够长的荧光屏。已知电子质量为，电子电荷量绝对值为e，不考虑粒子之间的相互作用。 (1)写出该反应方程式； (2)如图，若沿y轴正方向发射的电子垂直打在荧光屏上，求电子到达荧光屏所用的时间。 (3)求速度方向与x轴正方向夹角为的电子到达荧光屏所用的时间。结果用、e、B、表示 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据质量数和电荷数守恒可得该反应方程式 （2）如图，若沿y轴正方向发射的电子垂直打在荧光屏上，由几何关系知电子 做圆周运动的半径 则有， 电子在磁场中运动的圆心角 则电子在磁场中运动的时间为 电子离开磁场的速度与x轴平行，则电子离开磁场后做匀速直线运动的位移， 运动的总时间 （3）如图所示 若速度方向与轴正方向夹角为的电子在磁场中做圆周运动轨迹如图则仍有，， 电子在磁场中运动的圆心角 则电子在磁场中运动的时间为 电子在磁场中运动的水平位移 电子离开磁场的速度与x轴平行，也垂直打在荧光屏上，则电子离开磁场后做匀速直线运动的位移 离开磁场后运动的时间为 运动的总时间 20．（24-25高二下·江苏镇江·期末）某种离子收集装置的简化模型如图所示，x轴下方半径为R的圆形区域内存在着匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小B1=B，圆心所在位置坐标为（0，-R）。在x轴下方有一线性离子源，沿x轴正方向发射出N个（大量）速率均为v0的同种离子，这些离子均匀分布在离x轴距离为0.2R~1.8R的范围内。在x轴的上方，存在方向垂直纸面向里的有界匀强磁场，该磁场上边界与x轴平行，磁感应强度大小B2=2B。在x轴整个正半轴上放有一厚度不计的收集板，离子打在收集板上即刻被吸收。已知离子源中指向圆心O1方向射入磁场B1的离子，恰好从O点沿y轴射出。整个装置处于真空中，不计离子重力，不考虑离子间的碰撞和相互作用。 (1)求该种离子的电性和比荷； (2)若x轴上方的磁场宽度d足够大，发射的离子全部能被收集板收集，求这些离子在x轴上方磁场中运动的最短时间，以及离子能打到收集板上的区域长度L； (3)若x轴上方的有界磁场宽度d可改变（只改变磁场上边界位置，下边界仍沿x轴），请写出收集板表面收集到的离子数n与宽度d的关系。 【答案】(1)带负电，； (2)，0.4R； (3)见解析 【详解】（1）已知沿圆心O1射入的离子，恰好从O点沿y轴射出，则可知离子在B1中向上偏转，根据左手定则，离子带负电； 根据该离子运动轨迹，画出半径，如图所示。 粒子运动的轨迹半径为 根据牛顿第二定律得 解得 （2） 离子经过圆形磁场区域均能到达O点，到达O点时，速度方向与y轴夹角为θ，如图所示； 根据几何关系 解得 且左右对称； 在B2中，有， 解得 在磁场中运动时间最短的粒子轨迹为如图所示的劣弧，其轨迹对应的圆心角为 根据周期 这些离子在x轴上方磁场中运动的最短时间 离子打到收集板上的区域长度L，取决于离子打到收集板上的最近距离和最远距离，其中，最远距离为沿y轴正方向射出的离子 最近距离为速度方向与y轴正方向夹角为53°射入的离子 离子打到收集板上的区域长度 （3）①当所有离子均到达不了收集板时，此时磁场宽度为 解得 即当时，； ②当离子方向在y轴右侧与y轴夹角度为θ时，有 对应离子在第三象限的带宽为 对应收集的离子数 当离子方向在y轴左侧与y轴夹角度为θ时，有 对应离子在第三象限的带宽为 对应收集的离子数 所以当时， ③粒子能全部打到收集板时，， 综上所述 ， ， ， 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $