【解题模型】专题31有界匀强磁场模型-2026高考物理

专题31有界匀强磁场模型 模型总结 模型1 直线边界模型 1 模型2 平行边界 19 模型3 圆形边界 34 模型1 直线边界模型 1．圆心的确定方法 (1)若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲． (2)若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图乙． (3)若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据r＝计算出轨迹半径r，则在该点沿洛伦兹力方向距离为r的位置为圆心，如图丙． 2．半径的计算方法 方法一　由R＝求得 方法二　连半径构出三角形，由数学方法解三角形或勾股定理求得 例如：如图甲，R＝或由R2＝L2＋(R－d)2求得 　　 常用到的几何关系 ①粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角，如图乙，φ＝α. ②弦切角等于弦所对应圆心角一半，如图乙，θ＝α. 3．时间的计算方法 方法一　利用圆心角、周期求得t＝T 方法二　利用弧长、线速度求得t＝ 4．直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示) 1．（2025·云南·模拟预测）如图所示，虚线ON上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，完全相同的带电粒子a、b在纸面内以不同的速率从O点沿垂直于ON的方向射入磁场，最后分别从M点、N点离开磁场。已知M点为ON的中点，不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（    ） A．两粒子均带正电 B．洛伦兹力对b粒子做的功多 C．b粒子的速率是a粒子的两倍 D．b粒子在磁场中运动的时间是a粒子的两倍 【答案】C 【详解】A．由左手定则可知，两粒子均带负电，选项A错误； B．洛伦兹力对两粒子均不做功，选项B错误； C．两粒子均在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得 整理得 由题意，因此b粒子的速率是a粒子的两倍，选项C正确； D．粒子在磁场中运动的时间为 结合题图可知两粒子在磁场中运动的时间相同，选项D错误。 故选C。 2．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图所示，xOy平面内，第一、第四象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，一个质量为m的带负电荷的粒子，不计重力，从x轴上的P点以速度v射入第一象限，并恰好垂直于y轴射出第一象限．已知v与x轴成45°角，磁感应强度的大小为B，OP＝a． (1)求粒子的电荷量大小q； (2)求带电粒子穿过第一象限所用的时间t； (3)若P处有一粒子源，能在xOy平面内向各个方向发射题干中所述粒子，求粒子与y轴交点的纵坐标范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子运动轨迹如图，由几何关系可知，粒子轨道半径     由 可得粒子带电量 （2）粒子在第一象限转过的圆心角135°，则用时间     而     可得 （3）如图所示 ①如甲图粒子轨迹与y轴交点为M，PM为直径，则 解得     ②如乙图粒子轨迹与y轴相切于N，则由 解得     粒子与y轴交点的纵坐标范围。 3．（2025·四川巴中·模拟预测）如图所示，在直角坐标系的轴的上方空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场，在O点有一粒子源沿纸面向磁场中各个方向发射大量相同带负电粒子，若所有带电粒子都能从点离开磁场，不计带电粒子重力及粒子间的相互作用力，则带电粒子在点发射时的图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】AD．若，带电粒子会沿x轴做匀速直线运动，故AD错误； BC．若，则有 则 若粒子速度为v，与y轴方向夹角为，则有 解得 则，即若所有带电粒子都能从点离开磁场，则所有粒子的速度沿y轴方向的分速度都相同，故B正确，C错误。 故选B。 4．（25-26高三上·江西南昌·月考）在x轴上方的部分区域存在垂直于纸面的匀强磁场（未画出），磁场区域关于y轴对称，MN是放在x轴上的绝缘挡板，MN的中点O在y轴上从P点沿y轴正方向发射速度大小不同的带电粒子，不计带电粒子间的相互作用，其中速度为v的带电粒子从P点进入磁场后做圆周运动，其轨道半径为r，从Q点离开磁场进入无磁场区域做匀速直线运动，随后在O点与挡板碰撞，粒子与挡板碰撞前后，平行挡板的分速度方向不变，垂直挡板的分速度反向，速度大小均不变，最终回到P点。其轨迹如图所示，其中∠POQ=45°。若所有初速度小于v的带电粒子均能与挡板的O点碰撞一次后返回到P点，且整个过程带电粒子仅出入磁场各一次。带电粒子的质量为m，电荷量为q（q>0），不计重力，粒子的电荷量始终保持不变。 (1)求匀强磁场的大小及方向； (2)求OP的距离L及x轴上方无磁场区域的最小面积S； (3)对于初速度为v的粒子，当挡板绕O点顺时针转动角时，如图中虚线所示。讨论以下两种情况： a.求带电粒子从P点出发后第一次回到P点的时间； b.若且粒子与挡板碰撞时有能量损失，平行挡板的分速度方向不变，垂直挡板的分速度反向，速度大小均变为原来的k倍（（0<k<1），带粒子与挡板碰撞一次后恰能沿y轴负方向从P点离开磁场，求k的大小。 【答案】(1)，方向垂直于纸面向外 (2)， (3)a.；b. 【详解】（1）由，可得 由左手定则可知磁场的方向垂直于纸面向外 （2）如图所示 由几何知识可得 改变粒子的入射速度，离开磁场后粒子沿直线的切线打到O点，可知无磁场的最小区域为OQPQ′所围的扇形面积。则 将代入可得 （3）a．如图 由几何知识可得，粒子经过2次碰撞后从O点沿y轴正方向经过P点，粒子在磁场中做圆周运动的路程 运动时间 粒子做直线运动时 运动时间 故粒子在后续的运动中再次经过P点的时间 b．如图 设粒子经过碰撞后再次进入磁场中做圆周运动的半径为R，则有 其中，可得 由，可得 5．（2025·云南·模拟预测）如图所示，水平虚线两侧的匀强磁场I和匀强磁场Ⅱ的方向均垂直纸面向里，磁场I的磁感应强度大小为B，磁场Ⅱ的磁感应强度大小为2B。质量为2m、电荷量为+q（q>0）的带电粒子M，从虚线上的P点沿与虚线成30°角的方向、以一定的初速度垂直磁场方向射入磁场I。在虚线上的Q点有一静止的带正电的粒子N，粒子N的质量为m。粒子M恰好在Q点与粒子N发生碰撞且碰撞前粒子M只在磁场I中运动。已知P、Q两点的距离为L，不计两粒子的重力和两粒子间的库仑力。 (1)求粒子M的初速度v0的大小； (2)若粒子M、N的碰撞是弹性碰撞，碰撞过程中各自的电荷量保持不变，且碰后粒子M、N第一次分别穿过虚线时位置的间距为，求粒子N所带的电荷量q′； (3)若粒子M、N碰撞后结合成新粒子A（A的质量和电荷量分别为碰撞前M、N的质量和电荷量之和），且碰前粒子N的电荷量为（2）中求得的q′，求粒子A第n次（n不含M、N碰撞中的那次，且n>1）穿过虚线时粒子A到Q点距离的表达式和粒子A运动所经历时间的表达式。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设粒子M在磁场I中运动的半径为R，由几何关系可得 由洛伦兹力提供向心力得 解得 （2）设粒子M与粒子N碰撞后的速度分别为v1、v2，由动量守恒定律得 由能量守恒定律得 联立解得， 碰后，M、N粒子的速度方向相同，则M、N两粒子在磁场Ⅱ中的偏转角也相等，均为θ=300°，碰后粒子M第一次穿过虚线前，运动轨迹的弦长 同理，粒子N第一次穿过虚线前，运动轨迹的弦长 则应有 解得 （3）粒子M与粒子N碰撞后结合成的新粒子A的质量为3m，电荷量为+2q，设碰后粒子A的速度为v3，则由动量守恒定律得 由，可知粒子A在磁场I中运动一次时，对应的弦长 运动的周期 运动的时间 同理可知，在磁场Ⅱ中运动一次时，对应的弦长 运动的周期 运动的时间 由于n>1，当n为偶数时，第n次粒子A从磁场I进入磁场Ⅱ，则粒子距离Q点的距离 运动的时间 当n为奇数时，第n次粒子A从磁场Ⅱ进入磁场I，则粒子距离Q点的距离 运动的时间 6．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）如图所示，在直角坐标系xOy平面内，第一象限中存在垂直纸面向里的匀强磁场Ⅰ，第二象限中存在垂直纸面向外的匀强磁场Ⅱ，两磁场的磁感应强度大小相等。一带电粒子从x轴上P点垂直x轴进入磁场Ⅰ，速度大小为v，经过一段时间后刚好从O点离开磁场Ⅰ。若要求该粒子仍从P点垂直x轴进入磁场Ⅰ但不从x轴离开磁场Ⅱ，不计粒子重力。则粒子速度的大小可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】设P点到O点的距离为d，粒子刚好从O点离开磁场Ⅰ，粒子运动轨迹如图中轨迹1所示 由几何关系可知 由洛伦兹力提供向心力有 联立解得 若要求该粒子仍从P点垂直x轴出发但不从x轴离开磁场Ⅱ，粒子运动轨迹如图中轨迹2，由几何关系可知 有 解得 此时粒子的速度最小，由洛伦兹力提供向心力有 可得速度的最小值为。 故选CD。 7．（2025·江苏常州·模拟预测）如图所示，在xOy平面的x轴上方区域范围内存在着范围足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为。在空间坐标（x＝0，）处有一粒子源，在某一时刻向平面内各个方向均匀发射N个（N足够大）质量为m、电荷量为，速度为的带电粒子（不计粒子重力及粒子间的相互作用，题中N、a、m、q、均为已知量）。求： (1)粒子在磁场中运动的半径R和周期T； (2)x轴上能接收到粒子的区域长度L； (3)能到达x轴的粒子所占粒子总数的比例。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）由洛伦兹力提供向心力可得   解得轨迹半径 根据周期 联立解得 （2）粒子打x轴上的范围如图所示，x轴右侧长度为 x轴左侧，F与x轴相切，由几何关系知 联立可得 （3）粒子恰好跟x轴负半轴相切，半径与y轴夹角，满足       解得 粒子恰好跟x轴正半轴相切，半径与y轴夹角，满足       则 则能到达x轴粒子所占粒子总数的比例 8．（2025·山西·二模）如图所示，空间中有一块足够长的荧光屏，上方有垂直于纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。荧光屏上P点有一个小孔，通过小孔向荧光屏上方不断发射质量为m，电荷量为q的带电粒子，速率为v，均匀分布在PA和PC之间，PQ垂直于荧光屏，PA与PQ的夹角为α，PC与PQ的夹角为β，α>β，且α+β=90°，不计粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．若带电粒子带正电，则荧光屏P点左侧出现一条亮线，亮线长度为 B．若带电粒子带负电，则荧光屏P点右侧出现一条亮线，亮线长度为 C．若带电粒子正负电性均存在，则荧光屏上出现一条亮线，亮线长度为 D．若带电粒子带正电，则打在荧光屏上距P点距离大于的粒子占总粒子数的 【答案】AD 【详解】根据 粒子在磁场中的轨道半径 ABC．入射速度与的夹角为时，打在荧光屏上的位置距点的距离为 由于 所以无论是正电还是负电，沿方向入射打在屏上的点离点最近为，沿方向入射打在屏上的点离点最远为2R，因此若带正电荷，亮线在P点左侧，长度为，若带负电荷，亮线在P点右侧长度为。 故A正确，BC错误； D．关于做的对称线，可知入射方向在和之间的粒子，打在荧光屏上的位置距点距离大于，可知所占比例为，故D正确。 故选AD。 9．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）如图所示，平面直角坐标系的第二象限内存在着垂直纸面向外、磁感应强度大小为2B的匀强磁场，第三象限内存在着垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带负电的粒子从原点O以某一速度沿与y轴成30°角方向斜向上射入磁场，且在第二象限运动时的轨迹圆的半径为R，已知带电粒子的质量为m，所带电荷量为q，且所受重力能够忽视。 (1)粒子在第二象限和第三象限内运动的轨道半径之比 (2)粒子达成一次周期性运动的时间 (3)粒子从O点入射，第二次经过x轴的位置到坐标原点的距离 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设粒子的速度为，由 得粒子在第二象限的轨道半径为 粒子在第三象限的轨道半径为 则 （2）粒子从O点射入第二象限到再次射入第二象限，完成一次周期性运动,如图所示，粒子在磁场中运动时的圆心角为 由 得粒子在第二象限中运动的时间为 粒子在第三象限中运动的时间为 则粒子达成一次周期性运动的时间为 （3）粒子从O点入射，第一次经过x轴的位置到坐标原点的距离为 第二次经过x轴的位置到第一次经过x轴的位置的距离为 则粒子第二次经过x轴的位置到坐标原点的距离为 10．（2025·山东·模拟预测）如图所示，平面直角坐标系xOy平面内，一个质量为m、电荷量为-q（q>0）的带电粒子从O点沿+y方向以初速度射出，忽略粒子重力。设空间内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，同时空间中还均匀分布着某种粘性介质，使得任何粒子受到的阻力大小其速度大小成正比，比例系数为k。下列说法错误的是（　　）（提示：在研究一般的曲线运动时，可以把这条曲线分割为许多很短的小段，质点在每一小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，称该圆周运动的半径叫作曲率半径，用ρ来表示。） A．在经过足够长时间后，粒子走过的路程近似为 B．当粒子的速度大小减半时，其运动的曲率半径也减半 C．当粒子的速度大小减半时，其加速度大小也减半 D．经过时间 后，粒子的速度方向将沿着+x方向 【答案】D 【详解】A．题意可知最终粒子速度为0，动能定理有 解得 故A正确，不符合题意； B．根据 解得 可知当粒子的速度大小减半时，其运动的曲率半径也减半，故B正确，不符合题意； C．阻力产生的加速度 洛伦兹力产生的加速度 故粒子合加速度 当粒子的速度大小减半时，其加速度大小也减半,故C正确，不符合题意； D．若没有阻力，粒子在磁场中做匀速圆周运动，周期，经过时间，粒子的速度方向将沿着−y方向。由于存在阻力，粒子速度不断减小，运动轨迹不是标准的圆周，经过时间后，粒子的速度方向不会沿着+x方向，故D错误，符合题意。 故选D。 模型2 平行边界 平行边界(往往存在临界条件，如图所示) 11．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图所示，光滑水平桌面上有边长为的正方形区域，区域内存在竖直向下的匀强磁场，在边的中点有一粒子发射源，可以沿与成角方向发射速度大小不同的相同带正电粒子，已知粒子的比荷为，磁感应强度大小为，下列说法正确的是（　　） A．若粒子从边射出，粒子射出的速度大小 B．若粒子从边射出，粒子射出的速度大小满足 C．粒子在磁场中运动的最长时间为 D．从边射出磁场的粒子在磁场中的运动时间满足 【答案】BC 【详解】 洛伦兹力提供向心力有 可得 由题意作出带电粒子以不同速度在磁场中的运动轨迹示意图，如图所示。 A．当粒子从边射出，粒子的运动轨迹恰好与ad边相切时，如图曲线Ⅱ，根据几何关系有 解得 则 所以若粒子从边射出，粒子射出的速度大小 ，故A错； B．粒子从边射出，粒子的运动轨迹恰好与dc边相切时，如图曲线Ⅰ，根据几何关系有 解得 则 结合选项A的结果可得当，即时，粒子可以从边射出，故B正确； C．根据和 可得 则粒子在磁场中的运动时间为 如图曲线Ⅱ或Ⅲ，当，粒子在磁场中运动的最长时间为，故C正确； D．粒子的运动轨迹恰好与dc边相切，如图曲线Ⅰ，此时粒子轨迹所对圆心角为，则粒子在磁场中运动的时间为 粒子的运动轨迹恰好与bc边相切，如图曲线Ⅵ，此时粒子轨迹所对圆心角为，则粒子在磁场中运动的时间为 从边射出磁场的粒子在磁场中的运动时间满足即，故D错误。 故选BC。 12．（2025·河南·一模）如图所示，金属板PQ间存在加速电压U0，Q板上有一小孔，Q板右侧有一速度选择器，速度选择器间存在正交的电磁场，磁感应强度大小为B1=B0，右侧的平行虚线1、2、3与竖直方向的夹角为30°，虚线1、2之间的距离为d、磁感应强度大小为B2，虚线2、3之间的距离为、磁感应强度大小为B3=2B2.一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从极板P的S点由静止释放，经电场加速后从Q板的小孔进入速度选择器，粒子沿中轴线通过速度选择器后由虚线1射入磁场，粒子刚好不经过虚线2.已知极板MN之间的距离为d，忽略粒子的重力。求： (1)极板MN间的电压大小； (2)虚线1、2间的磁感应强度B2； (3)改变PQ以及MN间的电压使粒子仍沿中轴线通过速度选择器，若粒子刚好不从虚线3离开磁场，求PQ以及MN间的电压大小。 【答案】(1) (2) (3)U1=4U0， 【详解】（1）粒子在PQ间加速，由动能定理得 解得 粒子在速度选择器中运动时，由平衡条件得 联立解得 （2）结合题意作出粒子在虚线12间的运动轨迹，如图所示 设粒子的轨道半径为R1，由几何关系得d=R1-R1sin30° 又洛伦兹力提供向心力 联立解得 （3）设粒子刚好不从虚线3离开磁场时，设PQ间的电压为U1，MN间的电压为U2，粒子在虚线1、2间的半径为R'1，粒子在虚线2、3间的半径为R'2 由题意作出粒子的轨迹，如图所示 粒子在虚线1、2间运动时，有 粒子在虚线2、3间运动时，有 解得R'1=2R'2 又由几何关系得 解得R'1=4d，R'2=2d， 粒子在PQ间加速时，由动能定理得 解得U1=4U0 粒子在MN间运动时，由平衡条件得 解得 13．（25-26高三上·广东·月考）如图所示，在矩形平面内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，在点A处有一个粒子源，在某时刻均匀向磁场内各个方向发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相等，方向均在纸面内，与的夹角分布在范围内。已知，不计粒子重力及相互间的作用。若粒子在磁场中运动的最长时间为其做圆周运动周期的四分之一。下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动最长时间时，可以从边飞出 B．粒子在磁场中做圆周运动的半径为 C．粒子运动的速率为 D．粒子经过边的最大长度为a 【答案】BD 【详解】AB．根据题意作出粒子在磁场中运动时间最长的运动轨迹，如图所示 设粒子在磁场中运动的半径为r，则水平方向有 竖直方向有 联立解得，，故A错误、B正确； C．根据，可知，故C错误； D．经过边的最上面的位置距C点长度为 在该位置以下均能通过边，故粒子经过边的最大长度为，故D正确。 故选BD。 14．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，矩形区域MNPQ内有垂直于纸面向外的匀强磁场，区域的长宽分别为2L和L。速度大小为的带电粒子从P点处沿PQ方向射入矩形区域，经过时间t从MN的中点离开磁场。下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．仅将粒子的速度变为，粒子将从M点离开矩形区域 C．仅将粒子的速度变为，粒子在矩形区域磁场中的运动时间为 D．仅将粒子的速度变为，粒子在矩形区域磁场中的运动时间为 【答案】AD 【详解】A．根据题意可知，粒子进入磁场后受竖直向下的洛伦兹力，由左手定则可知，粒子带正电，故A正确； BCD．根据题意，设粒子以进入磁场时轨迹半径为，由几何关系有 解得 即经过时间t粒子从MN的中点垂直离开磁场，此时轨迹的圆心角为，则有 仅将粒子的速度变为，由洛伦兹力提供向心力有 可得，此时轨迹半径为 设粒子从点离开磁场，到点的距离为，由几何关系有 解得 即粒子不是从M点离开矩形区域，设此时轨迹的圆心角为，则有 解得 则粒子在矩形区域磁场中的运动时间为，故BC错误，D正确。 故选AD。 15．（2025·浙江温州·一模）是正电子发射断层扫描（PET）中最重要的放射性示踪剂基础，发生衰变释放出正电子，正电子湮灭产生的伽马射线用于医学成像。如图所示，在平面直角坐标系的有三个区域，的区域I内存在垂直纸面向里的匀强磁场，在区域II有平行于纸面的匀强电场，大小、方向均未知，在的区域III内有垂直纸面向外的匀强磁场。且（为大于0的常数）。内部装有放射性元素的放射源放置在处，某时刻发生衰变产生的质量为、带电量为的正电子沿轴负方向以速度大小为开始运动，一段时间后从（-L，0）点离开磁场进入区域II，粒子在电场中运动时间后，从坐标原点进入区域III，不计重力和阻力，忽略粒子之间的相互作用。 (1)写出放射性元素发生衰变的方程式； (2)求区域I内匀强磁场的磁感应强度的大小； (3)求区域内匀强电场的电场强度大小及方向； (4)正电子离开原点后离开轴的最大距离。 【答案】(1) (2) (3)，方向沿轴正方向 (4) 【详解】（1）根据题意可知，衰变方程为 （2）正电子在磁场中运动轨迹如图所示 由几何关系可知 又根据洛伦兹力提供向心力 解得 （3）设区域II内的匀强电场的电场强度为，根据（2）可知粒子进入区域II时速度与轴成夹角。又轴方向粒子做匀变速直线运动回到轴，则有 其中，根据牛顿第二定律可得 联立求得 轴方向粒子做匀变速直线运动，则有 解得 综上：电场强度，方向沿轴正方向。 （4）粒子在区域中沿轴做匀速直线运动，沿轴做匀变速直线运动，到达点轴方向瞬时速度大小不变，所以离开点瞬间速度大小为，方向与轴成夹角斜向上。粒子在区域III运动过程中，当粒子与轴距离最大时，粒子沿轴的瞬时速度为0，沿轴速度为，在轴方向列动量定理 则有 解得 16．（25-26高三上·广东清远·开学考试）如图所示，一束电子以不同的速率沿图示方向飞入一正方形匀强磁场区域abcd，下列判断正确的是（　　） A．电子可从cd边射出 B．电子速率越大在匀强磁场中运动的轨道半径越小 C．从a点射出的电子比从b点射出的电子速率小 D．从bc边射出的电子在匀强磁场中运动的时间相等 【答案】D 【详解】A．由左手定则可知，电子进入磁场顺时针偏转，故电子不可能从cd边射出，A错误； B．由可得，电子在磁场中的偏转半径为 故电子速率越大在匀强磁场中运动的轨道半径越大，B错误； C．由几何关系可知从a点射出的电子比从b点射出的电子半径大，故从a点射出的电子比从b点射出的电子速率大，C错误； D．由可知，粒子在磁场中运动的周期相同，由几何关系可知从bc边射出的电子在匀强磁场中恰好转动半圈，故运动的时间为，时间相等，D正确。 故选D。 17．（24-25高二下·宁夏固原·期中）如图所示，一束带电荷量为-q，质量为m的粒子以垂直于磁感应强度B并垂直于磁场边界的速度v射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为θ=60°，不计重力。求： (1)该粒子的比荷； (2)粒子从M到N所用的时间。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）过M、N点作入射方向和出射方向的垂线，两垂线交于O点，O点即带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心，过N点作OM的垂线，垂足为P，如图所示 由几何关系可知，带电粒子运动的轨迹半径 由牛顿第二定律可，有 解得粒子的比荷 （2）粒子在磁场中运动的周期 粒子从M到N所用的时间 18．（24-25高二下·江西上饶·期末）如图所示，平行线、间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为，、间的距离为。在上的点有一粒子源，可以沿垂直于磁场的各个方向射入质量为、电荷量大小为的带正电的粒子，且这些粒子的速度大小相等。这些粒子经磁场偏转后，从边界线射出的最低点为点。已知是上的一点，垂直于，、间的距离为，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用。则下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的速度大小为 B．粒子从边射出的区域长为 C．从边射出的所有粒子中通过磁场最短的时间为 D．斜向上与夹角为方向射入的粒子恰好从点射出 【答案】B 【详解】AD．如图所示 根据几何关系可得 解得 由洛伦兹力提供向心力得 解得粒子在磁场中运动的速度大小为 根据几何关系可得 可得，即斜向上与夹角为方向射入的粒子恰好从点射出，故AD错误； B．如图所示 由几何关系可知，粒子从边射出的区域长为，故B正确； C．从边射出的所有粒子中，从点离开磁场所用时间最短，如图所示 根据几何关系可得 可得 则最短的时间为，故C错误。 故选B。 19．（24-25高二下·广西南宁·期末）真空区域有宽度为、磁感应强度为的匀强磁场，磁场方向如图所示，MN、PQ是磁场的边界。质量为、电荷量为的粒子（不计重力）沿着与夹角的方向射入磁场中，刚好没能从边界射出磁场。下列说法正确的是（　　） A．粒子射入磁场的速度大小为 B．粒子在磁场中运动的半径大小为 C．粒子在磁场中运动的时间为 D．粒子在磁场中运动的时间为 【答案】AD 【详解】B．粒子刚好没能从边界射出磁场，表明粒子运动轨迹与边相切，根据几何关系有 解得，故B错误； A．粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 结合上述解得，故A正确； CD．根据几何关系可知，粒子圆周运动的圆心角 粒子圆周运动的周期 粒子在磁场中运动的时间为 结合上述解得，故C错误，D正确。 故选AD。 20．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图所示，矩形ABCD区域内有匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，AB边长为3d，AD边长为d，E是CD边上的一点，F是AB边上的一点，且。在E点有一粒子源，大量同种粒子以相同速率从E点向磁场内沿各个方向射出，粒子均带正电，电荷量均为q，质量均为m。如图，速度与DE边的夹角为的粒子恰好从F点射出磁场，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，则（　　） A．磁场方向垂直于纸面向里 B．粒子做匀速圆周运动的轨道半径为d C．粒子在磁场中运动的最长时间为 D．磁场区域中有粒子通过的面积为 【答案】BD 【详解】A．粒子运动轨迹如图所示 速度与DE的夹角为的粒子恰好从F点射出磁场，粒子带正电，由粒子运动的轨迹根据左手定则可判断，磁场方向垂直于纸面向外，故A错误； B．由此粒子的运动轨迹结合几何关系可知，粒子做圆周运动的半径 故B正确； C．由于粒子做圆周运动的速度大小相同，因此在磁场中运动的轨迹越长，时间越长，分析可知，粒子在磁场中运动的最长弧长为二分之一圆周，因此最长时间为二分之一周期，即最长时间为 故C错误； D．由图可知，磁场区域有粒子通过的面积为图中区域的面积，即为 故D正确。 故选BD。 模型3 圆形边界 1．圆形边界 ①速度指向圆心：沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。粒子轨迹所对应的圆心角一定等于速度的偏向角。 ②速度方向不指向圆心：如图乙所示。粒子射入磁场时速度方向与半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与半径夹角也为θ。 ③环形磁场：如图丙所示，带电粒子沿径向射入磁场，若要求粒子只在环形磁场区域内运动，则一定沿半径方向射出，当粒子的运动轨迹与内圆相切时，粒子有最大速度或磁场有最小磁感应强度。 21．（25-26高二上·浙江·期中）太阳耀斑爆发期间，大量宇宙射线持续射向地球。地球磁层作为天然防护屏障，可使带电粒子的运动轨迹发生偏转。一群质量为m、电荷量为q、速度大小介于某一范围的粒子沿垂直于直径AC的方向射向赤道平面，已知从A点射入磁场的粒子恰好全部到达赤道线下半圆弧上的各点。设赤道平面内匀强磁场半径，磁感应强度大小为B，地球半径为R，不计粒子重力、粒子间的相互作用力以及一切阻力。下列说法正确的是（　　） A．能到达赤道的粒子在磁场中运动的最短时间为 B．赤道上存在一段区域粒子无法到达，该盲区所对圆心角为60° C．粒子的速度大小范围为 D．从A点射入的粒子，速度越大，在磁场中运动的时间越长 【答案】A 【详解】A．粒子在磁场中，有 可得 所以粒子在磁场中运动的周期相同，粒子从磁场边缘到地球赤道面在磁场中偏转的角度越小，运动的时间越小，根据几何关系可得，磁场边界和赤道上点连线（弦长）越短，轨道半径越大，粒子偏转角度越小，粒子轨迹对应的弦最短（最短弦长为2R），轨迹半径最大为2R，如下图，此时带电粒子从磁场边缘到行星赤道面的时间最短。 对应的轨迹偏转的圆心角为 所以带电粒子从磁场边缘到行星赤道面的最短时间为 故A正确； CD．当带电粒子速度最小时，画出粒子的运动轨迹，如下图所示 根据几何关系可知r1=R 根据洛伦兹力提供向心力，有 解得 当带电粒子速度最大时，画出粒子的运动轨迹，如下图所示 根据几何关系可知r2=2R 根据洛伦兹力提供向心力，有 解得 粒子的速度大小范围为 则从A点射入的粒子射到赤道直径两个端点时经过的都是半圆周，根据可知，时间相等，则从A点射入的粒子，并非速度越大在磁场中运动的时间越长，故CD错误； B．带电粒子以最大速度运动的轨迹与赤道上半圆弧相切点，为辐射盲区的上边界点，通过A射入的粒子恰好能达到赤道线下半圆弧，则从A点射入的带电粒子以最大速度运动的轨迹与赤道线内切的交点为辐射盲区的下边界点，如图所示，△COO′为等腰三角形，且 CO=OO′=3R，CO′=2R 则 可知，B错误； 故选A。 22．（2025·贵州·模拟预测）如图，在平面内y轴右侧有以O点为圆心、半径为R的半圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于平面向里。大量质量为m、带电荷量为q（）的粒子以速度从y轴上间各点平行于x轴射入磁场。不计粒子间相互作用及粒子受到的重力，则粒子在磁场中运动的最长时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有 解得粒子运动的半径为 运动的周期为 粒子进入磁场如图 粒子从A射出磁场对应的圆心为C，此时有 时间最长对应圆心角最大，对应AB最大，由几何知识得，当粒子从c点射出时轨迹圆的圆心角最大，如图所示， 此时，即，则粒子在磁场中运动的最长时间为，故选A。 23．（2025·福建·模拟预测）如图所示，半径为R的圆形区域存在垂直纸面的匀强磁场，圆心为O，质子（）和α粒子（）先后从边界上P点沿半径方向飞入磁场。只考虑洛伦兹力作用，它们在磁场中运动的时间相同，α粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为。质子和α粒子的动能之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设磁感应强度垂直纸面向外，大小为B，质子的质量和带电荷量分别为m、q，则α粒子的质量和带电荷量分别为4m、2q，带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期公式为 所以质子和α粒子在磁场中做圆周运动的周期之比为 设质子和α粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角分别为θp和θα，轨迹半径分别为rp和rα，它们在磁场中运动的时间相等，有 所以 作出两粒子的运动轨迹如图所示 由几何关系可知， 由题意知 可求得 设它们的速度分别为vp和vα，由洛伦兹力提供向心力有 可得动能 质子和粒子的动能之比 故选A。 24．（25-26高三上·山东济南·开学考试）2025年5月1日，全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置（BEST）在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为，圆心为O。一个质量为m，带电量为的粒子从内圆上A点开始在纸面内运动，并能再次返回A点。粒子初速度的大小为，方向指向O点。不考虑带电粒子所受的重力，下列说法正确的是（　　） A．外圆半径至少为 B．外圆半径至少为 C．粒子返回A点的最短时间为 D．粒子返回A点的最短时间为 【答案】AC 【详解】AB．粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 将代入，解得 根据题意，作出粒子的运动轨迹，如图所示 当粒子的运动轨迹恰好与外圆相切时，则外圆半径最小，根据几何关系可得，故A正确，B错误； CD．根据运动轨迹图可知，粒子在内圆做匀速直线运动的时间为 粒子在圆环做匀速圆周运动，三次偏转的圆心角相等，设为；在直角三角形中，根据几何关系有 解得 根据几何关系可得圆心角 粒子在磁场中运动的周期为 故粒子在磁场中运动的时间为 故粒子返回A点的最短时间为，故C正确，D错误。 故选AC。 25．（2025·四川广安·模拟预测）如图，以f为圆心、半径为m的四分之三圆弧区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度T。一群不计重力、质量kg、电荷量C的带电粒子垂直于Oa边以m/s的速度射入磁场区域。下列判断正确的是（　　） A．若粒子带正电，所有粒子射出磁场时的速度方向都平行 B．若粒子带正电，所有粒子出射点都在b点 C．若粒子带负电，所有粒子出射点都在e点 D．所有粒子在磁场中运动的最长时间为s 【答案】BD 【详解】AB．若粒子带正电，粒子进入磁场后做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力得粒子的运动半径为 所以带正点的粒子从O点射入，形成以为半径的圆弧，从b点出去，从aO边射入的粒子先做一段时间的直线运动，设某一个粒子在M点进入磁场，其圆心为，如图所示 根据几何关系，可得虚线的四边形是菱形，则粒子的出射点一定是从B点射出，同理可知，从aO边射入的粒子，出射点都在b点，但射出的速度方向并不相同，A错误，B正确； C．同理，带负电的粒子，从a点入射，形成以为半径的圆弧，从e点离开，从aO间射出的粒子，顺时针偏转，轨迹如图 有的能到达e点，有的从Of边离开，故C错误； D．根据运动轨迹可知，所有粒子中最长的轨迹为半圆，故在磁场中运动的最长时间为，故D正确。 故选BD。 26．（2025·浙江杭州·一模）一圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统，结构简化如图（a）所示，圆筒足够长，半径R。在O点有一电子源，向空间中各个方向发射速度大小为、质量是m、电量为e的电子，某时刻起筒内加大小可调节且方向沿中心轴向下的匀强磁场，筒的横截面及轴截面示意图如图（b）所示，当磁感应强度大小调至时，恰好没有电子落到筒壁上。忽略场的边界效应、电子受到的重力及电子间相互作用力。若电子碰到筒壁，则被吸收且电中和，R、、m、e均为已知量。 (1)求的大小； (2)接第（1）问，当磁感应强度大小调至 ①求垂直中心轴发射的电子，从发射到落到筒壁上的时间； ②求筒壁上落有电子的区域面积S； ③如图c若电子发射速度与中心轴夹角为α，可经过离O点正上方距离为的点，求α角的可能值。 【答案】(1) (2)①；②；③或 【详解】（1）当磁场的磁感应强度为时，电子刚好不会落到筒壁上。则电子以速度垂直轴线方向射出，电子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹恰好与圆筒壁相切，轨迹半径为，根据洛伦兹力提供向心力可得 联立解得 （2）①当，电子轨道半径，如下图所示P点为电子在筒壁落点为等边三角形 所以 ②磁感应强度调整为后，将速度方向与中心轴夹角为θ的电子运动分解为垂直轴线方向上做匀速圆周运动，平行轴线方向上做匀速直线运动，速度沿垂直轴线和平行轴线方向进行分解， 电子击中筒壁距离粒子源的最远点时，其垂直轴线方向的圆周运动轨迹与筒壁相切，则轨迹圆半径为 根据洛伦兹力提供向心力可得 联立解得， 解得 电子发出到与筒壁相切时间 电子发射方向上下对称，则打在筒壁沿轴方向长度 可知最大面积 ③根据题意可知时电子不受洛伦兹力，可匀速直线运动过点。 当电子水平方向圆周运动周期为 竖直方向匀速直线运动 解得 当n=1时； 当n>1时，电子打在筒壁上，不符合要求。 综上所述：经过O点正上方距离为的点α角的可能值是或。 27．（2025·甘肃白银·一模）如图所示，平面内有一个半径为R的圆形区域，右侧存在一个截面为矩形的区域abcd，两个区域的切点O为ad边的中点，ab=R，bc=2R，bc和cd边上分别有两个接收屏（接收屏的长度等于矩形区域的边长）。两个区域内存在垂直纸面向外且相同的匀强磁场（两区域磁场方向平行），磁感应强度，现有一簇粒子（质量为m，电荷量为+q）以速度v0，方向竖直向上垂直磁场进入圆形区域（粒子的射入范围等于圆形区域的直径且分布均匀），不考虑粒子的重力，射出矩形边界后的粒子不再考虑。下列说法正确的是（　　） A．沿着半径射入的粒子在圆形区域内的运动时间为 B．沿着半径射入的粒子在圆形区域内的运动半径为2R C．矩形区域内粒子所经过的面积为 D．打到cd屏上的粒子数占进入矩形区域粒子数的比例为 【答案】ACD 【详解】AB．粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有，，解得， 沿着半径射入的粒子一定沿半径射出，根据几何关系可知，粒子在圆形磁场中的轨迹为四分之一圆弧，则运动时间为 解得，A正确，B错误； C．结合上述可知，粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径等于圆形磁场区域的半径，则粒子入射点、出射点、磁场圆形区域的圆心与轨迹圆的圆心四点构成的四边形为菱形，则所有粒子经过圆形磁场均可由切点O进入矩形磁场内部，速度方向为任意方向，根据圆形磁场区域的磁汇聚规律，根据几何关系可知，沿平行于Oa方向射入的粒子打在b点，此时为最远路径，如图1所示，则粒子在磁场中所经过的面积为一个圆心角为90°的扇形和一个正方形的面积之和，解得，C正确； D．打在cd边的轨迹如图2所示，打到c点的粒子速度方向与ad边垂直，是由f点射入的粒子。假设从e点射入的粒子正好打在d点，由于粒子半径与Od的长度相等，该方向的粒子的圆心角为。由图可知ef为打到cd边的粒子分布，此时入射点和圆形磁场的圆心连线与水平方向的夹角为30°。则打在cd边上的粒子占进入矩形区域内粒子个数比为，D正确。 故选ACD。 【点睛】 28．（2025·安徽安庆·模拟预测）如图，真空中圆形区域内有垂直圆面、磁感应强度为B的匀强磁场，在圆形区域正上方水平放置粒子收集板，板长等于圆形区域的半径，关于圆心O对称放置，圆周上与圆心等高的P点有一粒子源，可均匀地向圆形区域180°范围内各个方向发射速度大小相等、质量均为m、电荷量均为q的带正电粒子，部分粒子可垂直打在收集板上，不计粒子的重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（　　） A．圆形区域内的磁场方向垂直圆面向外 B．若粒子速度增大，打在收集板上的粒子速度方向仍与收集板垂直 C．能够打在收集板上的粒子数占总数的 D．能够打在收集板上的粒子在磁场中运动的最长时间为 【答案】CD 【详解】A．由左手定则可判断圆内的磁场方向垂直纸面向里，故A错误； B．由磁发散原理可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r与圆形磁场的半径R相等，则有 解得 若粒子速度增大，不符合磁发散条件，打在收集板上的粒子速度方向与收集板不垂直，故B错误； C．从磁场射出的刚好打在收集板左端的粒子，其运动轨迹如图所示，由几何关系可得，，同理可知刚好打在收集板右端的粒子，其入射速度方向与PO的夹角也为，则能够打在收集板上的粒子数占总数的比例为，故C正确； D．粒子在磁场中运动时 解得 打在右端的粒子在磁场中运动的时间最长，则有，故D正确。 故选CD。 29．（2025·江西新余·模拟预测）如图所示，圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，O为圆心，AB为直径。两带电粒子P、Q分别带等量的异种电荷，P、Q的质量比为1:2。两粒子中一个从A点，另一个从B点，分别以速度v1、v2同时沿直径射入磁场，偏转后又同时从C点射出磁场。不计粒子重力，不考虑粒子间的相互作用和其他影响，下列说法正确的是（　　） A．从A点射入磁场的粒子为P粒子 B．粒子Q在磁场中转过的圆心角为120° C．P、Q两粒子的速度比 D．P、Q两粒子做圆周运动的半径比为1:2 【答案】AC 【详解】B．两粒子运动时间相同，有 可知，P、Q两粒子做圆周运动转过的圆心角与质量成反比，所以P粒子转过的圆心角为120°，Q粒子转过的圆心角为60°，故B错误； A．作出两粒子的运动轨迹如图所示 由左手定则可知，P粒子从A点射入且带正电，Q粒子从B点射入且带负电，故A正确； CD．结合上述，由几何关系可知，设磁场半径为R，则P粒子轨迹半径 Q粒子轨迹半径为 则P、Q两粒子做圆周运动的半径比为1:3，粒子做圆周运动的半径 解得，故C正确，D错误。 故选AC。 30．（2025·宁夏吴忠·三模）如图所示的容器由半径为R的半圆与一直角边为半圆直径的直角三角形组成，其中。位于A点的粒子源可以将比荷均为的粒子以相同的速度v沿径向射入容器中，粒子打到容器边界上不发生反弹，不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用力。 (1)若整个容器处于垂直纸面向外的匀强磁场中，正、负粒子在磁场中的运动时间之比为，求负粒子的位移大小； (2)若整个容器处于平行纸面向下的匀强电场中，正、负粒子在电场中的运动时间之比为，求负粒子的末速度大小。 【答案】(1)R (2)2v 【详解】（1）粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有， 解得， 可知，正负粒子轨迹半径相同，周期相同。粒子在磁场中的运动时间可表示为 其中θ为弦切角，由于正负粒子运动时间之比为，解得 又因为正粒子向下偏转，若打到三角形斜边上，则有 对应 根据弦切角画出负粒子末位置，作出粒子轨迹如图所示 由几何关系可知，为等边三角形，则有 若正粒子打到三角形直角边上，作出轨迹图如图所示 则负粒子弦切角一定小于正粒子弦切角，即负粒子运动时间小于正粒子，与题目条件不符，所以正粒子只能打到三角形斜边上。 （2）两粒子初速度相同，且与电场方向垂直，则两粒子的运动可看成类平抛运动，运动轨迹如图所示 设方向为x轴，电场方向为y轴，正负粒子沿x轴方向速度相同，均为v，沿y轴方向加速度大小相等，均为 则有， 解得 由平抛运动中速度角与位移角关系可知 解得 则负粒子末速度大小为 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $专题31有界匀强磁场模型 模型总结 模型1 直线边界模型.1 模型2平行边界… 模型3圆形边界.… 19 34 模型1直线边界模型 1.圆心的确定方法 (1)若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为 圆心，如图甲， (2)若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点 即为圆心，如图乙 (3)若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据r=计算出轨迹半径”，则在该点沿洛伦兹力 方向距离为r的位置为圆心，如图丙 .B. 09 + + + P 甲 丙 2.半径的计算方法 方法一 由R=求得 方法二连半径构出三角形，由数学方法解三角形或勾股定理求得 例如：如图甲，R=或由R=L2+(R一d)求得 第1页共20页 O以p(偏转角) d B R-d R 0 7) 甲 常用到的几何关系 ①粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角，如图乙，p=α. ②弦切角等于弦所对应圆心角一半，如图乙，=. 3.时间的计算方法 方法一 利用圆心角、周期求得t=T 方法二利用弧长、线速度求得= 4.直线边界（进出磁场具有对称性，如图所示） (a) (b) (c) 1.(2025·云南·模拟预测)如图所示，虚线ON上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，完全相 同的带电粒子α、b在纸面内以不同的速率从O点沿垂直于OW的方向射入磁场，最后分别从 M点、N点离开磁场。已知M点为ON的中点，不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列说 法正确的是() ×××××× ××-×、×，× 、b ×-a×x× ××.×××。×. A.两粒子均带正电 B.洛伦兹力对b粒子做的功多 C.b粒子的速率是a粒子的两倍 D.b粒子在磁场中运动的时间是a粒子的两倍 2.(2025·江苏苏州·模拟预测)如图所示，xOy平面内，第一、第四象限内存在垂直纸面向 外的匀强磁场，一个质量为m的带负电荷的粒子，不计重力，从x轴上的P点以速度v射入 第一象限，并恰好垂直于y轴射出第一象限.己知v与x轴成45°角，磁感应强度的大小为 B,OP=a. 第2页共20页 45p P (1)求粒子的电荷量大小9： (2)求带电粒子穿过第一象限所用的时间t: (3)若P处有一粒子源，能在xOy平面内向各个方向发射题干中所述粒子，求粒子与y轴交点 的纵坐标范围， 3.(2025·四川巴中·模拟预测)如图所示，在O少直角坐标系的x轴的上方空间中存在垂直 纸面向里的匀强磁场，在O点有一粒子源沿纸面向磁场中各个方向发射大量相同带负电粒子， 若所有带电粒子都能从P点离开磁场，不计带电粒子重力及粒子间的相互作用力，则带电粒 子在O点发射时的，-V图像可能正确的是() 入 B 1 D V N 4.(25-26高三上江西南昌·月考)在x轴上方的部分区域存在垂直于纸面的匀强磁场（未画 出)，磁场区域关于y轴对称，MN是放在x轴上的绝缘挡板，MN的中点O在y轴上从P点 沿y轴正方向发射速度大小不同的带电粒子，不计带电粒子间的相互作用，其中速度为v的 第3页共20页 带电粒子从P点进入磁场后做圆周运动，其轨道半径为”，从Q点离开磁场进入无磁场区域 做匀速直线运动，随后在O点与挡板碰撞，粒子与挡板碰撞前后，平行挡板的分速度方向不 变，垂直挡板的分速度反向，速度大小均不变，最终回到P点。其轨迹如图所示，其中 ∠POQ-45°。若所有初速度小于v的带电粒子均能与挡板的O点碰撞一次后返回到P点，且 整个过程带电粒子仅出入磁场各一次。带电粒子的质量为，电荷量为g(9>0),不计重力， 粒子的电荷量始终保持不变。 M (1)求匀强磁场的大小及方向： (2)求OP的距离L及x轴上方无磁场区域的最小面积S; (3)对于初速度为v的粒子，当挡板绕0点顺时针转动角0≤0≤7.5)时，如图中虚线所示。 讨论以下两种情况： a.求带电粒子从P点出发后第一次回到P点的时间； b.若0=7.5°，且粒子与挡板碰撞时有能量损失，平行挡板的分速度方向不变，垂直挡板的分 速度反向，速度大小均变为原来的k倍((0<k<1),带粒子与挡板碰撞一次后恰能沿y轴负 方向从P点离开磁场，求k的大小。 5.(2025·云南·模拟预测)如图所示，水平虚线两侧的匀强磁场I和匀强磁场Ⅱ的方向均垂 直纸面向里，磁场I的磁感应强度大小为B,磁场Ⅱ的磁感应强度大小为2B。质量为2m、电 荷量为+g(q>0)的带电粒子M,从虚线上的P点沿与虚线成30°角的方向、以一定的初速度 垂直磁场方向射入磁场I。在虚线上的Q点有一静止的带正电的粒子N,粒子N的质量为 m。粒子M恰好在Q点与粒子N发生碰撞且碰撞前粒子M只在磁场I中运动。己知P、Q两 点的距离为L,不计两粒子的重力和两粒子间的库仑力。 第4页共20页 X×X×××××× ××××××××× ×××X×××× ××××××××× &××效 30××x0x I B (I)求粒子M的初速度vo的大小； (2)若粒子M、N的碰撞是弹性碰撞，碰撞过程中各自的电荷量保持不变，且碰后粒子M、N 第一次分别穿过虚线时位置的间距为石，求粒子N所带的电荷量q: (3)若粒子M、N碰撞后结合成新粒子A(A的质量和电荷量分别为碰撞前M、N的质量和电 荷量之和)，且碰前粒子N的电荷量为(2)中求得的g',求粒子A第n次(n不含M、N碰 撞中的那次，且>1)穿过虚线时粒子A到Q点距离的表达式和粒子A运动所经历时间的表 达式。 6.(2025·黑龙江大庆·模拟预测)如图所示，在直角坐标系xOy平面内，第一象限中存在垂 直纸面向里的匀强磁场I,第二象限中存在垂直纸面向外的匀强磁场Ⅱ，两磁场的磁感应强 度大小相等。一带电粒子从x轴上P点垂直x轴进入磁场I,速度大小为y,经过一段时间后 刚好从O点离开磁场I。若要求该粒子仍从P点垂直x轴进入磁场I但不从x轴离开磁场Ⅱ， 不计粒子重力。则粒子速度的大小可能为() ●●● ● × ● ● ● ● ●●● A.2 B.(4-23yC.(8-4W5yD.2v 7.(2025·江苏常州·模拟预测)如图所示，在xOy平面的x轴上方区域范围内存在着范围足 第5页共20页 第大的的宝酸易：酸您商强度大个为8觉、在空制车标=心？受处有教了源 在某一时刻向平面内各个方向均匀发射N个(N足够大)质量为、电荷量为一9，速度为'o 的带电粒子（不计粒子重力及粒子间的相互作用，题中N、a、m、g、'o均为已知量）。求： + + X + + + X××××× 0 (1)粒子在磁场中运动的半径R和周期T: (2)x轴上能接收到粒子的区域长度L; (3)能到达x轴的粒子所占粒子总数的比例7。 8.(2025山西二模)如图所示，空间中有一块足够长的荧光屏，上方有垂直于纸面向里， 磁感应强度大小为B的匀强磁场。荧光屏上P点有一个小孔，通过小孔向荧光屏上方不断发 射质量为m,电荷量为q的带电粒子，速率为v,均匀分布在PA和PC之间，PQ垂直于荧光 屏，PA与PQ的夹角为a,PC与PQ的夹角为B,a,且a+B=90°，不计粒子间的相互作用。 下列说法正确的是() ×× iO X A ×XD P 2mv(1-cosa) A.若带电粒子带正电，则荧光屏P点左侧出现一条亮线，亮线长度为gB 2mv(1-cosB) B.若带电粒子带负电，则荧光屏P点右侧出现一条亮线，亮线长度为gB 4mv C.若带电粒子正负电性均存在，则荧光屏上出现一条亮线，亮线长度为gB D.若带电粒子带正电，则打在荧光屏上距P点距离大于 2mv CosB的粒子占总粒子数的 gB 4β π 第6页共20页 9.(2025·辽宁朝阳·模拟预测)如图所示，平面直角坐标系的第二象限内存在着垂直纸面向 外、磁感应强度大小为2B的匀强磁场，第三象限内存在着垂直纸面向里、磁感应强度大小为 B的匀强磁场。一带负电的粒子从原点O以某一速度沿与y轴成30°角方向斜向上射入磁场， 且在第二象限运动时的轨迹圆的半径为R,己知带电粒子的质量为m,所带电荷量为q,且所 受重力能够忽视。 2B (1)粒子在第二象限和第三象限内运动的轨道半径之比 (2)粒子达成一次周期性运动的时间 (3)粒子从O点入射，第二次经过x轴的位置到坐标原点的距离 10.(2025·山东·模拟预测)如图所示，平面直角坐标系xOy平面内，一个质量为、电荷量 为-q(q>0)的带电粒子从O点沿+y方向以初速度o射出，忽略粒子重力。设空间内存在垂 直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B,同时空间中还均匀分布着某种粘性介质，使 得任何粒子受到的阻力大小其速度大小成正比，比例系数为k。下列说法错误的是() (提示：在研究一般的曲线运动时，可以把这条曲线分割为许多很短的小段，质点在每一小 段的运动都可以看作圆周运动的一部分，称该圆周运动的半径叫作曲率半径，用ρ来表 示。) ×,-××B %* mvo A.在经过足够长时间后，粒子走过的路程近似为 k B.当粒子的速度大小减半时，其运动的曲率半径也减半 C.当粒子的速度大小减半时，其加速度大小也减半 D。经过时间1一后，拉子的速度方向将沿若：方向 第7页共20页 模型2平行边界 平行边界（往往存在临界条件，如图所示） (a) (b) (c) 11.(2025河北秦皇岛·模拟预测)如图所示，光滑水平桌面上有边长为L的正方形区域 abcd,区域内存在竖直向下的匀强磁场，在ab边的中点O有一粒子发射源，可以沿与ab 成30°角方向发射速度大小不同的相同带正电粒子，已知粒子的比荷为k,磁感应强度大小 为B,下列说法正确的是() XX X X 十 2kBL A.若粒子从，边射出，粒子射出的速度大小D≤ ab 3 B.若粒子从边射出，粒子射出的速度大小满足 ad kBL<U≤22-5kBL 3 5 C.粒子在磁场中运动的最长时间为t= 3kB D.从，边射出磁场的粒子在磁场中的运动时间满足 π≤t≤ 2π cd 3k 3kB 12.(2025河南·一模)如图所示，金属板PQ间存在加速电压U,Q板上有一小孔，Q板右 侧有一速度选择器，速度选择器间存在正交的电磁场，磁感应强度大小为B=B,右侧的平行 虚线1、2、3与竖直方向的夹角为30°，虚线1、2之间的距离为d、磁感应强度大小为B2, d 虚线2、3之间的距离为2、磁感应强度大小为B,=2B:一质量为m、电荷量为g的带正电粒 第8页共20页 子从极板P的S点由静止释放，经电场加速后从Q板的小孔进入速度选择器，粒子沿中轴线 通过速度选择器后由虚线1射入磁场，粒子刚好不经过虚线2.已知极板MN之间的距离为d, 忽略粒子的重力。求： Mt ××××B1× N (I)极板MN间的电压大小： (2)虚线1、2间的磁感应强度B2: (3)改变PQ以及MN间的电压使粒子仍沿中轴线通过速度选择器，若粒子刚好不从虚线3离 开磁场，求PQ以及MW间的电压大小。 13.(25-26高三上广东·月考)如图所示，在矩形ABCD平面内有垂直纸面向外的匀强磁场， 磁感应强度为B,在点A处有一个粒子源，在某时刻均匀向磁场内各个方向发射大量质量为 m、电荷量为9的带正电粒子，它们的速度大小相等，方向均在纸面内，与AB的夹角分布在 0~90°范围内。已知AB=2a,AD=7a,不计粒子重力及相互间的作用。若粒子在磁场中 运动的最长时间为其做圆周运动周期的四分之一。下列说法正确的是() B ● D A.粒子在磁场中运动最长时间时，可以从AD边飞出 B.粒子在磁场中做圆周运动的半径为5a 4gBa C.粒子运动的速率为 m D.粒子经过CD边的最大长度为a 14.(2025·辽宁鞍山一模)如图，矩形区域MWPQ内有垂直于纸面向外的匀强磁场，区域 的长宽分别为2L和L。速度大小为Vo的带电粒子从P点处沿PQ方向射入矩形区域，经过时 间t从MN的中点离开磁场。下列说法正确的是（) 第9页共20页 2L -----------------------10 M A.粒子带正电 B.仅将粒子的速度变为2Y,粒子将从M点离开矩形区域 C.仅将粒子的速度变为2，'粒子在矩形区域磁场中的运动时间为2 D.仅将粒子的速度变为2，粒子在矩形区域磁场中的运动时间为3 15.(2025浙江温州·一模)，F是正电子发射断层扫描(PET)中最重要的放射性示踪剂基 础，，℉发生B衰变释放出正电子©)，正电子湮灭产生的伽马射线用于医学成像。如图所 示，在平面直角坐标系Oy的有三个区域，一2L≤x<-L的区域I内存在垂直纸面向里的匀 强磁场B,在-L<x<0区域Ⅱ有平行于纸面的匀强电场，大小、方向均未知，在x≥0的 区域Ⅲ内有垂直纸面向外的匀强磁场B2。且B2=(k为大于0的常数)。内部装有放射 性元素，℉的放射源放置在-2LW3L处，某时刻，℉发生B衰变产生的质量为m、带电量 为的正电子沿y轴负方向以速度大小为Vo开始运动，一段时间后从(-L,0)点离开磁场进 2V 入区域Ⅱ，粒子在电场中运动时间t= 3 一后，从坐标原点进入区域Ⅲ，不计重力和阻力， 忽略粒子之间的相互作用。 第10页共20页