专题06 数轴上的动点压轴问题（4大知识点+4大考点+复习提升）（寒假复习讲义）七年级数学新教材北师大版

专题06 数轴上的动点压轴问题 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 行程问题 1. 基本表示：动点坐标 = 起点坐标 ± 速度 × 时间 (±由方向决定)。 2. 三大模型： 相遇：两动点路程之和 = 初始距离。 追及：两动点路程之差 = 初始距离（快追慢）。 往返运动：注意速度或方向发生变化的时间节点。 3. 核心方法：根据等量关系（相遇、追及、已知距离）列一元一次方程求解时间。 知识点02 定值问题 1. 代数式表示：用含时间t的式子表示所涉及的线段长度（距离公式）或点坐标。 2. 代数运算：将需要证明的“和、差、倍数”等表达式进行合并、化简。 3. 核心结论：含t的项在运算后相互抵消，结果为常数，与时间t无关。 知识点03 最值问题 1. 距离和最小（“将军饮马”原理）：当动点位于两定点之间时，其到两定点的距离之和最小。 2. 绝对值的几何意义：形如|x-a|+|x-b|的最小值在a ≤ x ≤ b时取得，最小值为|a-b|。 3. 核心思路：将问题转化为求两点之间线段最短或寻找使绝对值取最小值的区间。 知识点04 新定义问题 1. 阅读理解：准确理解新定义的规则、公式或运算（如“倍点”、“伴点”、新的距离计算等）。 2. 模型转化：将新定义转化为用坐标、距离、中点等标准数学语言表达。 3. 分类讨论：根据新定义的要求，对动点的位置、运动方向、时间范围进行周密讨论。 4. 核心能力：现学现用，将陌生问题翻译为熟悉的数轴模型。 通用核心：所有题型都依赖于 ①用字母（t）表示动点坐标和②掌握两点间距离公式（绝对值）这两大基石，结合方程思想、分类讨论思想和数形结合进行分析。 【考点1 数轴上的动点之行程问题】 【例1】（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图，已知数轴上点A表示的数为，点B表示的数为5，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q同时从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动的时间为t（）秒． (1)求当t等于多少秒时？点P和点Q重合； (2)求当t等于多少秒时？满足； (3)若满足，求运动的时间t． 【答案】(1)秒 (2)秒或秒 (3)秒或秒 【分析】本题考查数轴，一元一次方程的应用，分类讨论． （1）根据题意，可得出点P和点Q表示的数，根据点P和点Q重合，就可得点P和点Q表示的数相等，就可得出关于t的方程，得出答案； （2）先表示出和的长，就可得出关于t的方程，得出答案； （3）表示出，和的长，可得出，再进行分类讨论去绝对值，就可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，点P表示的数为：，点Q表示的数为：， 根据题意，得：， 解得， ∴当秒时点P和点Q重合； （2）解：根据题意，得：， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∴当秒或秒时，； （3）解：根据题意，得：， ∵， ∴， ①当时，， 解得， ②当时，， 解得， ③当时，， 解得，不合， ∴此时无解． 综合上述可知，当或者时，． 【变式1】（25-26七年级上·全国·期末）如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为6．点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；同时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为t秒（）． (1)运动开始前，线段的长度为 ． (2)当t为何值时，点P与点Q相遇？相遇点对应的数是多少？ (3)在运动过程中，若点M为的中点，点N为的中点．请用含t的代数式表示点M和点N所表示的数． 【答案】(1)16 (2)时，点P与点Q相遇，相遇点对应的数是 (3)点M表示的数是，点N表示的数是 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、一元一次方程的应用等知识，理解题意，正确表示出点表示的数是解题关键． （1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可； （2）根据两点相遇时，点P和点Q所走的路程为线段的长度，列出方程即可解答； （3）根据运动t秒后，点P表示的点为，点Q表示的点为，即可解答． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为，点B表示的数为6， ∴线段的长度为， 故答案为：16． （2）解：设运动时间为t秒（）， 依题意可得，， 解得 ， ∴当时，点P与点Q相遇，相遇点对应的数是． （3）解：根据题意得，运动t秒后，点P表示的点为，点Q表示的点为， ∵点A表示的数为，点B表示的数为6，点M为的中点，点N为的中点 ∴点M表示的数是； 点N表示的数是． 【变式2】（24-25七年级上·云南红河·期末）如图，已知点在数轴上表示的数分别为和10．若数轴上有一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为． (1)线段的长度为______． (2)若为线段的中点，为线段的中点，当点在线段上运动时，线段的长度是否发生变化？请说明理由． (3)若当点从点出发的同时，有一动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动． ①在运动过程中，点表示的数为______，点表示的数为______．（用含的代数式表示） ②求运动多少秒时，点与点相距3个单位长度？ 【答案】(1) (2)当点在线段上运动时，线段的长度不发生变化，理由见解析 (3)①；；②6秒或秒 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）运动时，点P表示的数为，再根据两点中点计算公式分别表示出点M和点N表示的数，进而可求出线段的长，据此可得结论； （3）①用点A表示的数加上点P运动的路程即为点P表示的数，用点B表示的数减去点Q运动的路程即为点Q表示的数，再根据点与点相距3个单位长度建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在数轴上表示的数分别为和10， ∴； （2）解：当点在线段上运动时，线段的长度不发生变化，理由如下： 由题意得，运动时，点P表示的数为， ∵为线段的中点，为线段的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴， ∴当点在线段上运动时，线段的长度不发生变化； （3）解：①由题意得，在运动过程中，点表示的数为，点表示的数为； ②由题意得，， ∴， ∴或， 解得或， ∴运动6秒或秒时，点与点相距3个单位长度． 【变式3】（25-26七年级上·江苏·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，在数轴上，点在原点的左侧，点在原点的右侧，点所对应的数满足，且，点从出发以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，点从出发以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，当两点相遇时停止运动． 【综合运用】 (1)直接写出点表示的数为 ，点表示的数为 ； (2)点为线段的中点，两点同时开始运动，设运动时间为秒，线段的长为个单位长度，求用含的整式表示； (3)在（2）条件下，点在线段上，且，当为何值时，满足． 【答案】(1)，； (2) (3)或 【分析】本题主要考查了数轴，动点问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据可得，在由线段，可得． （2）用含的整式表示点，点，故根据题意可列式，求解即可． （3）根据点在线段上，，，可得点表示的数为：，再由，分成点在点右边和点不在点右边时，分别讨论即可． 【详解】（1）解：点在原点的左侧，点在原点的右侧，点所对应的数满足，且， ∵， ∴， ∵点在点的右侧，且， ∴， 故答案为：，； （2）由题意可得：点表示的数为：， ∵点从出发以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动， ∴点表示的数为：， ∴点表示的数为：， ∵当两点相遇时停止运动，即当，时停止运动， ∴线段的长度； （3）解：∵点在线段上，且，， ∴，，点表示的数为：， 由（2）可知，点表示的数为：，且在点左边， ∴， 当点在点右边时，即， ， ∵， ∴， 解得， 当点不在点右边时，即， ， ∵， ∴， 解得， 综上所述，当或时，． 【考点2 数轴上的动点之定值问题】 【例2】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）、为数轴上的两个点，点对应的数记为，点对应的数记为，且，满足．解答下列问题： (1)___________，___________； (2)若数轴上点满足，求点对应的数； (3)点，点，点是数轴上的动点，点从点出发，沿数轴以5个单位/秒的速度向右运动，点从点出发，以3个单位/秒的速度沿数轴向右移动，同时点从点出发，沿数轴以1个单位/秒的速度向左移动，设运动时间为，在三个点移动的过程中，或是否会是定值．若会，请求的取值范围；若不会，请说明理由． 【答案】(1)，12 (2)7或22 (3)当时，为定值；当时，为定值．理由见解析． 【分析】本题主要考查了非负数的性质，一元一次方程的应用，数轴等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质即可得解； （2）分两种情况，点在上或在的延长线上，表示出和，再建立方程求解即可； （3）先用表示出点Q，M，N，进而表示出和，再代入得出关系式，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：，， 解得：， 故答案为：，12； （2）解：法一：设点表示的数为，分两种情况： ①当点在线段上时， ， 解得； ②当点在线段的延长线上时， ， 解得． 综上所述，点表示的数为7或22． 法二：设点表示的数为，由题意得： 或 综上所述，点表示的数为7或22． （3）解：由题意得： 点表示的数为点表示的数为点表示的数为， ， ①当时，， 此时为定值， 不为定值， ②当时，， 此时，为定值， 不为定值， 答：当时，为定值；当时，为定值． 【变式1】（25-26七年级上·全国·期末）已知线段，，线段在直线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），且，满足． (1)　　，　　． (2)点与点重合时，线段以个单位长度/秒的速度向左运动． ①如图，点在线段上，若是线段的中点，是线段的中点，求线段的长； ②是直线上点左侧一点，线段运动的同时，点从点出发，以个单位长度/秒的速度向右运动，点是线段的中点，若点与点相遇秒后与点相遇．试探索整个运动过程中，是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②是，为定值 【分析】本题考查数轴上的动点问题，涉及非负数和为零的条件、中点定义求线段长、数轴上两点之间距离表示等知识，数形结合，求出各个点在数轴上表示的数是解决问题的关键． （1）根据题意，由绝对值的非负性、平方的非负性及非负数和为零的条件列方程求解即可得到答案； （2）①由（1）可知，结合线段中点定义，数形结合表示出线段之间的和差倍分关系后，代值计算即可得到答案；②将线段放在数轴上，使点与原点重合，设运动时间为，如图所示，令点表示的数为，分别表示出相关点运动后在数轴上表示的数，由点与点相遇秒后与点相遇，列方程求出，进而确定点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，利用数轴上两点之间的距离表示出计算即可得到答案． 【详解】（1）解：，且， ，且， 解得， 故答案为：； （2）解：①如图所示： 是线段的中点，是线段的中点， ，， ， ； ②是定值；理由如下： 点与点重合时，如图所示： 由①知，， 点是线段的中点， ， ，， 将线段放在数轴上，使点与原点重合，设运动时间为，如图所示： 令点表示的数为， 点从点出发，以个单位长度/秒的速度向右运动，线段以个单位长度/秒的速度向左运动， 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 点与点相遇秒后与点相遇， 当点与点相遇时，两个点表示的数相同，则， 解得； 当点与点相遇时，两个点表示的数相同，则， 解得； ， 解得， 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 点表示的数为， 在整个运动过程中，，， 则， 即在整个运动过程中，为定值． 【变式2】（24-25七年级上·四川成都·期末）数形结合是数学中常用的思想方法，而数轴是数形结合法解决问题的有效工具．数轴上两点A、B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离．如图，数轴上有A、B两点，其中点表示，点表示数． (1)若数轴上有一点满足，则点表示的数为 ； (2)点A、B分别以每秒2个单位长度、1个单位长度向右运动，点D从原点出发以每秒3个单位长度向右运动，当点D追上点B后立即以原速返回原点．已知三个点同时出发，当D点回到原点时都停止运动．设运动时间为． ①当D追上B时，求A、D两点之间的距离； ②在点D返回原点的过程中，是否存在常数k，使得为定值？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)①35；②存在， 【分析】本题主要考查了数轴、一元一次方程的应用、整式加减中的无关型问题等知识点，运用数形结合思想与分类讨论思想是解题的关键． （1）设点表示的数为，则，，根据建立方程，解方程即可得； （2）①先求出在点追上点前，运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，根据当追上时，点与点表示的数相等建立方程，解方程即可得； ②先求出在点返回原点的过程中，，则点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，再求出，，分两种情况：，，计算整式的加减，根据含项的系数等于0求解即可得． 【详解】（1）解：设点表示的数为， ∵点表示，点表示数， ∴，， ∵， ∴，即或， 解得或， ∴点表示的数为或， 故答案为：或． （2）解：①由题意得：在点追上点前，运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 当追上时，则， 解得， ∴此时点表示的数为，点表示的数为， ∴此时两点之间的距离为． ②由①可知，点追上点后立即以原速返回原点所需时间为15秒， ∴在点返回原点的过程中，， ∴此时点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， 令，解得， （Ⅰ）当时，， ∴ ， 要使得为定值，则， 解得； （Ⅱ）当时，， ∴ ， 要使得为定值，则， 解得； 综上，存在常数，使得为定值，此时的值为． 【变式3】（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，数轴上有A，B，C三点，点表示的数为60，点在点的左侧且，点A，B表示的数互为相反数．数轴上有一动点从点出发，以5个单位/秒的速度向左沿数轴运动，设运动时间为秒． (1)点表示的数是__________：点表示的数是__________． (2)当为何值时，？ (3)若点，点，点与点同时在数轴上运动，点和点分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度向右运动，点以4个单位/秒的速度向左运动．请问：是否存在某一时段，使的值为一个定值？若存在，请求出这个定值及对应的的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；10 (2)或时， (3)存在，当时，其值为定值，此定值为360 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离可求出点B表示的数，然后根据相反数的定义即可求出点A表示的数； （2）根据数轴上两点间的距离求出，，然后根据得出关于t的方程，然后解方程即可； （3）根据数轴上两点间的距离求出，，，代入化简得，然后分，，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：点表示的数为60，点在点的左侧且， 点B表示的数是， 又点A，B表示的数互为相反数， 点A表示的数是， 故答案为：，10； （2）解：点表示的数为，点表示数为，点表示数为10， ，， ， ， 或． 答：或时，． （3）解：，，，， ，，， ． 当时，其值为， 当时，其值为360， 当时，其值为， 当时，其值为定值，此定值为360． 【考点3 数轴上的动点之最值问题】 【例3】（24-25七年级上·四川成都·期末）【阅读理解】 数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些问题，数轴上，若、两点分别表示数、，那么、两点之间的距离与，两数的差有如下关系：． 【问题解决】 如图，数轴上的点、分别表示有理数，． （1）、两点之间的距离为________； （2）点为数轴上一点，在点的左侧，且，则点表示的数是________； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒，当为何值时，、两点间的距离为个单位长度？ （4）利用以上知识探索：直接写出当代数式有最小值时的值． 【答案】（1）；（2）；（3）或；（4） 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求出结果即可； （2）根据点为数轴上一点，在点A的左侧，且，点A表示的数为，求出点C表示的数即可； （3）分两种情况，当点向右运动时，当点向左运动时，分别列出方程，解方程即可； （4）根据绝对值的几何意义，即可求解．． 【详解】（1）解：由题意可得， A，两点之间的距离为：； 故答案为：． （2）解：∵点为数轴上一点，在点A的左侧，且，点A表示的数为， ∴点表示的数为：； 故答案为：． （3）解：当点向右运动时， 根据题意，得：， 解得； 当点向左运动时， 根据题意，得：， 解得， 故当或时，，两点之间的距离为12个单位长度； （4）解：∵表示数轴上表示x的点与表示的点之间的距离， 表示数轴上表示x的点与表示的点之间的距离， 表示数轴上表示x的点与表示的点之间的距离， ∴当时，， ∴当满足时，代数式有最小值为7． 【变式1】（24-25七年级上·广东珠海·期末）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点到原点O的距离，这个结论可以推广为：的几何意义是：在数轴上数，对应点之间的距离．例如：点A，B在数轴上分别表示数a，b，则A，B两点间的距离可表示为． 【问题解决】A，B，P三点在数轴上，点A对应的数为，点B对应的数为3，点P对应的数为x． (1)_______；_______ (用含x的代数式表示) (2)代数式的最小值为_______． (3)若点P从原点出发，与点B同时向左运动，点B的速度为3个单位长度/秒，点P的速度为1个单位长度/秒．设运动时间为t秒，是否存在某个时间t，使得A，B，P三点中，其中一点是另外两点所连成线段的中点．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5， (2)5 (3)1 秒或秒或秒 【分析】本题主要考查数轴上两点之间距离的计算，中点的计算，一元一次方程与几何问题，掌握动点的数量关系，两点之间距离的计算，中点的计算方法正确列式求解是解题的关键． （1）根据材料提示的两点之间距离的计算即可求解； （2）根据材料提示的两点之间距离的计算即可求解； （3）根据两点之间距离，中点的计算方法，分类讨论即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：5，； （2）解：代数式的最小值为5． （3）解：设第秒时，点B的位置为，点P的位置为， 当时，P、B 重合；当 时，A、B 重合；当时，P、A 重合， ①当 时，存在 P 为的中点，，则， 解得； ②当时，存在 B 为 的中点，，则， 解得； ③当时，存在 A 为 的中点，，则， 解得； ④当 时，存在 P 为 的中点，，则， 解得（不在取值范围内，舍去）． 故第 1 秒或秒或秒时，A、B、P 三点中，其中一点是另外两点连成的线段的中点． 【变式2】（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）如图，数轴上两点M、N对应的数分别是，4，点P是数轴上的一动点，其对应的数为x． (1)【概念理解】 一般地、数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．由此可得点M，N之间的距离________． (2)【数学思考】 若数轴上的点C，D，E表示的数分别是，2，8． ①点P到C，D两点的距离之和的最小值为_______； ②当_____时，取最小值． (3)【拓展应用】 如果点P以每秒1个单位长度的速度从点M出发沿数轴向右运动，同时点Q从点N出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点Q到达点M时，点P与Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒．当点P，Q，M三个点中，其中一个点到另外两个点的距离相等时，直接写出t的值． 【答案】(1)10 (2)①6；②2 (3)t的值为或5或或4 【分析】本题考查一元一次方程的应用、数轴． （1）由，得； （2）①当点P在C，D两点之间时，点P到C，D两点的距离之和最小为线段的长； ②根据的几何意义得：当时，的值最小； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别列出方程解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：10； （2）解：①当点P在C，D两点之间时，点P到C，D两点的距离之和最小为线段的长， ， 故答案为：6； ②当时，的值最小为， 故答案为：2； （3）解：P表示的数为，Q表示的数为， 当点Q到达点M时，，得； ∵当点Q到达点M时，点P与Q同时停止运动， ∴； 分以下三种情况： 当时， ∴， 解得或； 当时， ∴， 解得（舍去）或， 当时， ∴， 解得（舍去）或， ∴综上所述，t的值为或5或4或． 【变式3】（24-25七年级上·云南保山·期末）阅读材料解决问题． 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了这样的规律：若数轴上点、表示的数分别为、，则、两点间的距离（或）． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为-4，点表示的数为6，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：①、两点间的距离______； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为______，点表示的数为______； (2)求当为何值时，； (3)若点表示的数记为，是否存在一个值使代数式的值最小，若存在请直接写出的值和的最小值；若不存在请说明理由． 【答案】(1)①10；②； (2)或 (3)当时的值最小，最小值为10 【分析】本题考查一元一次方程的应用、数轴、两点间的距离、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用方程和数形结合的思想解答． （1）①根据点表示的数为，点表示的数为6，即可得到、两点间的距离；②依据点，的运动速度以及方向，即可得到结论； （2）根据，可以求得相应的的值； （3）根据题意可知表示p的点到，，三个点距离的和，当点与重合时最小． 【详解】（1）①A、B两点间的距离； ②用含t的代数式表示：秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， 故答案为：①10；②，； （2）秒后，点表示的数，点表示的数为， ， 又， ， 解得：或， 当或时，； （3）存在一个，使代数式的值最小， ∵ ∴表示p的点到，，三个点距离的和， ∴当点与重合时， 当时的值最小，最小值为10． 【考点4 数轴上的动点之新定义型问题】 【例4】（24-25七年级上·北京石景山·期末）定义：数轴上点表示的数分别为．若点到点的距离等于点到点的距离的倍，我们就称是点的关联点对．例如，如图，点表示的数分别为．此时，，．，则称是点的2关联点对；，则称是点的关联点对． (1)若表示的数分别为，是点的关联点对，则表示的数为______． (2)若点表示的数分别为． ①是线段上的一个动点，是点的关联点对，则的最大值为______，的最小值为______； ②若点从点以每秒3个单位长度向右运动，同时点从点以每秒1个单位长度向左运动，设点运动的时间为，若是点的关联点对，请直接写出的值． 【答案】(1)或 (2)①，；②的值为或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题及解一元一次方程等知识点，解题的关键是理解关联点对的定义． （1）先求出的长，根据“关联点对”的定义求出的长，即可得出点表示的数； （2）①根据“关联点对”的定义可得，得出当最大时，有最小值，当最小时，有最大值，即可得答案； ②分别用表示出、，根据“关联点对”的定义得出，分点在点左侧，点在点右侧、点在点右侧，点在点左侧、点在点和点之间三种情况求解即可得答案． 【详解】（1）解：∵表示的数分别为， ∴， ∵是点的关联点对， ∴， ∴表示的数为或． 故答案为：或 （2）解：①∵点表示的数分别为， ∴， ∵是点的关联点对， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，有最小值，当最小时，有最大值， ∵是线段上的一个动点， ∴当点与点重合，即时，最大，有最小值， 当点与点重合，即时，最小，有最大值． 故答案为：， ②∵点从点以每秒3个单位长度向右运动，同时点从点以每秒1个单位长度向左运动， ∴点表示的数为，点表示的数为，点运动到点的时间为， ∵是点的关联点对， ∴， ∴当点在点左侧，点在点右侧时， 解得：（舍去）， 当点在点右侧，点在点左侧时，， 解得：， 当点在点和点之间时，， 解得：． 综上所述：的值为或． 【变式1】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与另外两个点的距离恰好满足倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“联盟点”． 例如：数轴上点，，所表示的数分别为，，，此时点是点，的“联盟点”． (1)若点表示数，点表示数，下列各数，，，所对应的点分别是，其中是点，的“联盟点”的是 ； (2)点表示数，点表示数，为数轴上的一个动点： ①若点在点的左侧，且点是点，的“联盟点”，求此时点表示的数； ②若点在点的右侧，点，，中，有一个点恰好是另外两个点的“联盟点”，求此时点表示的数． 【答案】(1)， (2)①；②或或 【分析】本题考查了新定义，数轴上两点间的距离，绝对值的意义，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． （1）设点表示的数为，且点是点的“联盟点”，根据“联盟点”的定义列出绝对值方程即可求解； （2）①设点表示的数是，点P在点A的左侧，根据列式求解即可； ②根据数轴上两点的距离公式以及新定义，分类讨论，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设点表示的数为，且点是点的“联盟点”， ∴根据，0，1三个数在数A、B之间，可得或， ∴或， 当时，解得或（舍）， 当时，解得或（舍）， ∴是点的“联盟点”， 故答案为：，； （2）①设点表示的数是，点P在点A的左侧， ∴，，， ∵点是点的“联盟点”， ∴， ∴， 解得， 即点表示的数是； ②设点表示的数是，点在点的右侧， 当是点的“联盟点”时，， ∴， 解得； 当A是点，的“联盟点”时，， ∴， 解得； 当是点，的“联盟点”时，或， ∴或， 解得或； 综上所述：点表示的数为或或． 【变式2】（24-25七年级上·四川成都·期末）在数轴上，点O表示原点，对于不重合的两点A，T，将线段与线段的长度之比定义为点与点的相关值，记作，即．例如：当点是线段的上一点，且时，． (1)点A在数轴上表示的数是2， ①如图1，若点表示的数是， ； ②数轴上的点满足，求； (2)点T，点A分别从表示0和的点同时向右运动，点T的速度为每秒1个单位，点A的速度为每秒2个单位；当点A与点T相遇时，点T与点A的速度立刻交换并继续向右运动．设点A的运动时间为t秒，是否存在某一时刻t，使得？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②或 (2)或 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴上的动点，数轴上两点之间的距离，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示相关点运动后所表示的数． （1）①求出，，可得；②由，设，则，分两种情况可得为或； （2）当点与点相遇前，运动后表示的数为，表示的数为，可得，，故，解得；求出时，点与点相遇；当点与点相遇后，即时，可得，解得． 【详解】（1）解：①∵点在数轴上表示的数是，点表示的数是， ∴，， ∴； 故答案为：； ②∵，故设，则， 当，在原点两侧时，， ∴； 当，在原点同侧时，， ∴； 综上所述，为或； （2）解：存在某一时刻，使得，理由如下： 当点与点相遇前，运动后表示的数为，表示的数为， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 解得：； 当，即时，点与点相遇； 当点与点相遇后，即时，运动后表示的数为，运动后表示的数为， ∴，， ∴， 解得：； ∴的值为或． 【变式3】（25-26七年级上·全国·期末）对于点M，线段，给出如下定义： M为线段上任意一点，若时，我们称n为点M在线段上的“截值”，记作，例如：如图甲，点M在上，，则；反之当，则． (1)如图乙，数轴上A，B两点对应的数为a，b，且满足． ①求的长度和的值（O为原点）； ②点M，N分别从点A，B同时出发，相向运动，点N到达点A后立即以原速返回点B，点M到达点B时，点M，N都停止运动．若点M和点N的运动速度分别为和，运动t秒后，是否存在若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (2)如图丙，在三角形中，，，点M，N同时从点A出发，点M沿线段匀速运动至点B，点N沿匀速运动至点B，且点M，N同时到达点B，设，当点N运动到线段上时，请用含n的式子表示 【答案】(1) ，；存在，t的值为或 (2) 【分析】本题考查了数轴上两点距离，一元一次方程的应用，列代数式； （1）①根据绝对值的意义得出，，，进而根据新定义，即可求解； ②根据N由点A向点B运动时，当点N由点B向点A时，分别列出方程，解方程，即可求解； （2）根据时间相等，则路程比等于速度比，进而表示出，根据新定义，即可求解． 【详解】（1）解：①， ，， ， 由“截值”定义，得； ②， ， ， 当点N还没到点A时，则， ， 当点N到达点A后返回时，则， ， 综上，t的值为或 （2）解：设点M的速度，点N的速度， ∵点M，N同时到达点B， ， ， , 设运动时间为t秒． ， ， ， ， ． 一、单选题 1．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度向点B运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（   ） ①运动后，； ②在点P运动过程中，值随着点P位置的变化而变化； ③当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查两点间的距离，动点问题，线段的和差问题，根据题意，分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 【详解】解：运动后，， ∵为的中点，为的中点， ∴， ∴，故①正确； 设运动秒，则， ∵为的中点，为的中点， ， ∴， ， ∴的值不变，故②错误； ， ， 解得：，故③正确； 故选：D． 2．（24-25七年级上·福建福州·期末）对于数轴上的三点，给出如下定义：若点P在线段上，且点P与A，B两点的距离恰好满足2倍关系时，即或，则称点P是A，B两点的“2倍点”．如图，若点A以每秒1个单位长度的速度从表示数的点向右运动，点B以每秒4个单位长度的速度从表示数4的点向右运动，若点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动，三个点同时出发，设出发t秒后，若点P恰好是点A，B的“2倍点”，则t的值是（   ） A．2 B．1 C．2或 D．或1 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，根据点恰好是点，的“2倍点”，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得：或， 解得：或， 的值为或1． 故选：D． 二、填空题 3．（25-26七年级上·全国·期末）如图，在长方形ABCD中，，，动点P从点A出发，沿以每秒2个单位长度的速度运动，同时点Q从点A出发，沿以每秒3个单位长度的速度运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒．当 时，点P与点Q在运动路径上的距离相差5个单位长度． 【答案】或或或． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．分四种情况，根据题意列出方程并解方程即可． 【详解】解：分四种情况： ①当点P在上，点Q在上时，点P与点Q的距离相差5个单位长度， 由题意，可得， 解得； ②相遇前点P与点Q的距离相差5个单位长度． 由题意，可得， 解得； ③相遇后点P与点Q的距离相差5个单位长度． 由题意，可得， 解得； ④当点Q到达终点后，点P与点Q的距离相差5个单位长度， 由题意，可得， 解得； 综上所述，满足题意的t的值为或或或． 故答案为；或或或． 4．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）定义：如图1，点在线段上，图中共有三条线段和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点是线段的“绝美点”．如图2，已知，动点分别从点同时出发沿相向运动，速度分别为，，当点到达点时，运动停止．设点的运动时间为，当点恰好是线段的“绝美点”时，最大值与最小值的差为 ． 【答案】3 【分析】此题重点考查一元一次方程的应用、新定义问题的求解、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示线段的长度是解题的关键． 分三种情况求t的值，一是，则；二是，则；三是，则，解方程可知t的最大值和最小值，求出它们的差即得到问题的答案． 【详解】解：∵点P是线段的“美点”， ∴或或， 当时，则， 解得； 当时，则， 解得； 当时，则， 解得， ∵， ∴t的最大值为7，最小值为4， ∴， 故答案为：3． 三、解答题 5．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）数轴上点A、B对应的数分别为a、b，多项式的二次项系数为a，常数项为b． (1)求线段的长． (2)如图，点P，Q分别从点A，B同时出发沿数轴向右运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒4个单位长度，当时，求此时点P对应的数． (3)在（2）的条件下，点M从原点与点P，Q同时出发沿数轴向右运动，速度是每秒x个单位长度，在运动过程中，是否存在x，使得为定值？若存在，求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)40 (2)8或104 (3)存在， 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，多项式，数轴，找到题目的等量关系是解本题的关键． （1）根据多项式的定义可求a，b，再根据两点间的距离公式即可得出结论； （2）利用两点间的距离公式求得的长度，然后结合题意列出方程并解答； （3）根据题意得到，根据结果与t无关，得到关于x的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵多项式的二次项系数为a，常数项为b ∴， ∴， （2）解：当点P位于点B左边时，． 由，得， 解得， 此时点P对应的数为8， 当点P位于点B右边时，， 由，得， 解得 此时点P对应的数为104． 综上所述，点P对应的数为8或104； （3）由题意得：点P表示的数为，点M表示的数为，点Q表示的数为， ∴， ， ， ， 当时，， 此时解得，且满足． 故当时，为定值8． 6．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．若数轴上点，分别对应数，．则点，两点之间的距离为． 如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数c；，且 (1) ， ， ； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数 表示的点重合； (3)现有两个动点，同时从点，出发匀速运动，设运动时间为秒． ①若点、点分别以每秒个单位长度的速度和每秒个单位的长度的速度沿数轴均向左匀速运动．为何值时，点追上点． ②若点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，求为何值时，点，相距个单位长度．并写出此时点，在数轴上表示的数． 【答案】(1)，， (2) (3)①为秒时，点追上点；②此时点、在数轴上表示的数分别为和或和 【分析】本题考查了数轴上两点距离，数轴的折叠问题，一元一次方程的应用； （1）根据非负数的性质求得的值，进而根据数轴在点的右侧，，求得点表示的数，即可求得的值，即可求解； （2）先求得折叠中点表示的数为，进而根据折叠的性质得折叠后与点重合的点表示的数，即可求解； （3）①根据题意得出秒后，点，表示的数分别为，根据点追上点，列出一元一次方程，解方程，即可求解； ②根据题意得出秒后，点，表示的数分别为，根据点，相距个单位长度，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵，且在点的右侧， ∴点表示的数为，则， 故答案为：，，． （2）解：∵点表示的数为，点表示的数为， ∴中点为 ∵点表示的数为， ∴折叠后与点重合的点表示的数为 故答案为：． （3）解：①依题意，秒后，点，表示的数分别为， ∴当点追上点时， 解得： ②依题意，秒后，点，表示的数分别为 当点，相距个单位长度时，或 解得：或 当时，点，表示的数分别为和 当时，点，表示的数分别为和 综上所述，点、在数轴上表示的数分别为和或和 7．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，数轴上，，三点分别表示的数为、4、7，点表示的数为． 【阅读材料】：在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． 【初步运用】 （1）填空：若，则______；若，则______． 【延伸探究】 （2）若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点到点、点的距离之和为10； 【拓展探究】 （3）若点表示的数为，当取最小值时，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，、同时开始运动，当经过多少秒时，点、点之间的距离正好等于点N到点、点的距离和？（直接写出答案） 【答案】（1）3或1；； （2）或 （3）或 【分析】本题主要考查整式的加减运算，绝对值与数轴的综合应用，解决此题时，能够熟练掌握绝对值的性质是解决此题的关键． （1）根据绝对值的意义即可； （2）设点表示的数为，依题意，得再根据绝对值的意义分三种情况讨论即可； （3）若点表示的数为，当取最小值时，，设经过的时间为，再分情况讨论即可． 【详解】解：（1）∵， ∴或 解得或1； ∵即 ∴表示的数为1和的中点 ∴ （2）∵动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴设点表示的数为， ∵动点到点、点的距离之和为10， ∴ 当时，，， 解得； 当时，，， 此情况不成立，舍去 当时，，， 解得； ∴当经过或秒时，动点到点、点的距离之和为10， （3）若点表示的数为，当取最小值时，，设经过的时间为，则点表示的数为4， 点、表示的数分别为， 点、之间的距离为 点到点、点的距离和 当时，，， 即 解得在取值范围内，成立； 时，，， 即 解得 不在取值范围内，舍去； 当时，，， 即 解得在取值范围内，成立； 所以经过或秒时，点、点之间的距离正好等于点N到点、点的距离和． 8．（24-25七年级上·山西运城·期末）问题引入 对于数轴上的线段和点（点不在线段上），给出如下定义：M为线段上任意一点，我们把C，M两点间距离的最小值称为点C关于线段的“最近距离”，记作；把C，M两点间距离的最大值称为点C关于线段的“最远距离”，记作． 已知点A表示的数为，点B表示的数为4． 若点C表示的数为5，如图，则，． 问题解决 （1）若点C表示的数为，则______，______． （2）若点C表示的数为n，且点C在点B的右侧，，求n的值． 拓展延伸 （3）若点P和点Q为数轴上的两点（点P和点Q均不在线段上），点P表示的数为x，点Q表示的数为，表示点P关于线段的“最近距离”，表示点Q关于线段的“最远距离”，若是的2倍，求x的值． 【答案】（1）3；14；（2）；（3）的值为或 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离以及一元一次方程的应用，掌握分类讨论的数学思想是解题关键． （1）根据定义即可得，； （2）根据点C在点B的右侧，列出关于n的方程，解方程即可； （3）分两种情况：点P在点的左侧时，点Q在点的右侧时，分别列出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）点表示的数为， ， ． （2）∵点C在点B的右侧， ∴，， ∵， ∴， 解得：． （3）当点P在点的左侧时， ， ， 是的2倍， ， 解得：； 当点Q在点的右侧时， ， ， 是的2倍， ， ； 综上所述：的值为或． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 数轴上的动点压轴问题 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 行程问题 1. 基本表示：动点坐标 = 起点坐标 ± 速度 × 时间 (±由方向决定)。 2. 三大模型： 相遇：两动点路程之和 = 初始距离。 追及：两动点路程之差 = 初始距离（快追慢）。 往返运动：注意速度或方向发生变化的时间节点。 3. 核心方法：根据等量关系（相遇、追及、已知距离）列一元一次方程求解时间。 知识点02 定值问题 1. 代数式表示：用含时间t的式子表示所涉及的线段长度（距离公式）或点坐标。 2. 代数运算：将需要证明的“和、差、倍数”等表达式进行合并、化简。 3. 核心结论：含t的项在运算后相互抵消，结果为常数，与时间t无关。 知识点03 最值问题 1. 距离和最小（“将军饮马”原理）：当动点位于两定点之间时，其到两定点的距离之和最小。 2. 绝对值的几何意义：形如|x-a|+|x-b|的最小值在a ≤ x ≤ b时取得，最小值为|a-b|。 3. 核心思路：将问题转化为求两点之间线段最短或寻找使绝对值取最小值的区间。 知识点04 新定义问题 1. 阅读理解：准确理解新定义的规则、公式或运算（如“倍点”、“伴点”、新的距离计算等）。 2. 模型转化：将新定义转化为用坐标、距离、中点等标准数学语言表达。 3. 分类讨论：根据新定义的要求，对动点的位置、运动方向、时间范围进行周密讨论。 4. 核心能力：现学现用，将陌生问题翻译为熟悉的数轴模型。 通用核心：所有题型都依赖于 ①用字母（t）表示动点坐标和②掌握两点间距离公式（绝对值）这两大基石，结合方程思想、分类讨论思想和数形结合进行分析。 【考点1 数轴上的动点之行程问题】 【例1】（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图，已知数轴上点A表示的数为，点B表示的数为5，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q同时从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动的时间为t（）秒． (1)求当t等于多少秒时？点P和点Q重合； (2)求当t等于多少秒时？满足； (3)若满足，求运动的时间t． 【变式1】（25-26七年级上·全国·期末）如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为6．点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；同时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为t秒（）． (1)运动开始前，线段的长度为 ． (2)当t为何值时，点P与点Q相遇？相遇点对应的数是多少？ (3)在运动过程中，若点M为的中点，点N为的中点．请用含t的代数式表示点M和点N所表示的数． 【变式2】（24-25七年级上·云南红河·期末）如图，已知点在数轴上表示的数分别为和10．若数轴上有一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为． (1)线段的长度为______． (2)若为线段的中点，为线段的中点，当点在线段上运动时，线段的长度是否发生变化？请说明理由． (3)若当点从点出发的同时，有一动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动． ①在运动过程中，点表示的数为______，点表示的数为______．（用含的代数式表示） ②求运动多少秒时，点与点相距3个单位长度？ 【变式3】（25-26七年级上·江苏·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，在数轴上，点在原点的左侧，点在原点的右侧，点所对应的数满足，且，点从出发以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，点从出发以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，当两点相遇时停止运动． 【综合运用】 (1)直接写出点表示的数为 ，点表示的数为 ； (2)点为线段的中点，两点同时开始运动，设运动时间为秒，线段的长为个单位长度，求用含的整式表示； (3)在（2）条件下，点在线段上，且，当为何值时，满足． 【考点2 数轴上的动点之定值问题】 【例2】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）、为数轴上的两个点，点对应的数记为，点对应的数记为，且，满足．解答下列问题： (1)___________，___________； (2)若数轴上点满足，求点对应的数； (3)点，点，点是数轴上的动点，点从点出发，沿数轴以5个单位/秒的速度向右运动，点从点出发，以3个单位/秒的速度沿数轴向右移动，同时点从点出发，沿数轴以1个单位/秒的速度向左移动，设运动时间为，在三个点移动的过程中，或是否会是定值．若会，请求的取值范围；若不会，请说明理由． 【变式1】（25-26七年级上·全国·期末）已知线段，，线段在直线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），且，满足． (1)　　，　　． (2)点与点重合时，线段以个单位长度/秒的速度向左运动． ①如图，点在线段上，若是线段的中点，是线段的中点，求线段的长； ②是直线上点左侧一点，线段运动的同时，点从点出发，以个单位长度/秒的速度向右运动，点是线段的中点，若点与点相遇秒后与点相遇．试探索整个运动过程中，是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【变式2】（24-25七年级上·四川成都·期末）数形结合是数学中常用的思想方法，而数轴是数形结合法解决问题的有效工具．数轴上两点A、B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离．如图，数轴上有A、B两点，其中点表示，点表示数． (1)若数轴上有一点满足，则点表示的数为 ； (2)点A、B分别以每秒2个单位长度、1个单位长度向右运动，点D从原点出发以每秒3个单位长度向右运动，当点D追上点B后立即以原速返回原点．已知三个点同时出发，当D点回到原点时都停止运动．设运动时间为． ①当D追上B时，求A、D两点之间的距离； ②在点D返回原点的过程中，是否存在常数k，使得为定值？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【变式3】（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，数轴上有A，B，C三点，点表示的数为60，点在点的左侧且，点A，B表示的数互为相反数．数轴上有一动点从点出发，以5个单位/秒的速度向左沿数轴运动，设运动时间为秒． (1)点表示的数是__________：点表示的数是__________． (2)当为何值时，？ (3)若点，点，点与点同时在数轴上运动，点和点分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度向右运动，点以4个单位/秒的速度向左运动．请问：是否存在某一时段，使的值为一个定值？若存在，请求出这个定值及对应的的取值范围；若不存在，请说明理由． 【考点3 数轴上的动点之最值问题】 【例3】（24-25七年级上·四川成都·期末）【阅读理解】 数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些问题，数轴上，若、两点分别表示数、，那么、两点之间的距离与，两数的差有如下关系：． 【问题解决】 如图，数轴上的点、分别表示有理数，． （1）、两点之间的距离为________； （2）点为数轴上一点，在点的左侧，且，则点表示的数是________； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒，当为何值时，、两点间的距离为个单位长度？ （4）利用以上知识探索：直接写出当代数式有最小值时的值． 【变式1】（24-25七年级上·广东珠海·期末）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点到原点O的距离，这个结论可以推广为：的几何意义是：在数轴上数，对应点之间的距离．例如：点A，B在数轴上分别表示数a，b，则A，B两点间的距离可表示为． 【问题解决】A，B，P三点在数轴上，点A对应的数为，点B对应的数为3，点P对应的数为x． (1)_______；_______ (用含x的代数式表示) (2)代数式的最小值为_______． (3)若点P从原点出发，与点B同时向左运动，点B的速度为3个单位长度/秒，点P的速度为1个单位长度/秒．设运动时间为t秒，是否存在某个时间t，使得A，B，P三点中，其中一点是另外两点所连成线段的中点．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【变式2】（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）如图，数轴上两点M、N对应的数分别是，4，点P是数轴上的一动点，其对应的数为x． (1)【概念理解】 一般地、数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．由此可得点M，N之间的距离________． (2)【数学思考】 若数轴上的点C，D，E表示的数分别是，2，8． ①点P到C，D两点的距离之和的最小值为_______； ②当_____时，取最小值． (3)【拓展应用】 如果点P以每秒1个单位长度的速度从点M出发沿数轴向右运动，同时点Q从点N出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点Q到达点M时，点P与Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒．当点P，Q，M三个点中，其中一个点到另外两个点的距离相等时，直接写出t的值． 【变式3】（24-25七年级上·云南保山·期末）阅读材料解决问题． 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了这样的规律：若数轴上点、表示的数分别为、，则、两点间的距离（或）． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为-4，点表示的数为6，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：①、两点间的距离______； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为______，点表示的数为______； (2)求当为何值时，； (3)若点表示的数记为，是否存在一个值使代数式的值最小，若存在请直接写出的值和的最小值；若不存在请说明理由． 【考点4 数轴上的动点之新定义型问题】 【例4】（24-25七年级上·北京石景山·期末）定义：数轴上点表示的数分别为．若点到点的距离等于点到点的距离的倍，我们就称是点的关联点对．例如，如图，点表示的数分别为．此时，，．，则称是点的2关联点对；，则称是点的关联点对． (1)若表示的数分别为，是点的关联点对，则表示的数为______． (2)若点表示的数分别为． ①是线段上的一个动点，是点的关联点对，则的最大值为______，的最小值为______； ②若点从点以每秒3个单位长度向右运动，同时点从点以每秒1个单位长度向左运动，设点运动的时间为，若是点的关联点对，请直接写出的值． 【变式1】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与另外两个点的距离恰好满足倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“联盟点”． 例如：数轴上点，，所表示的数分别为，，，此时点是点，的“联盟点”． (1)若点表示数，点表示数，下列各数，，，所对应的点分别是，其中是点，的“联盟点”的是 ； (2)点表示数，点表示数，为数轴上的一个动点： ①若点在点的左侧，且点是点，的“联盟点”，求此时点表示的数； ②若点在点的右侧，点，，中，有一个点恰好是另外两个点的“联盟点”，求此时点表示的数． 【变式2】（24-25七年级上·四川成都·期末）在数轴上，点O表示原点，对于不重合的两点A，T，将线段与线段的长度之比定义为点与点的相关值，记作，即．例如：当点是线段的上一点，且时，． (1)点A在数轴上表示的数是2， ①如图1，若点表示的数是， ； ②数轴上的点满足，求； (2)点T，点A分别从表示0和的点同时向右运动，点T的速度为每秒1个单位，点A的速度为每秒2个单位；当点A与点T相遇时，点T与点A的速度立刻交换并继续向右运动．设点A的运动时间为t秒，是否存在某一时刻t，使得？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 【变式3】（25-26七年级上·全国·期末）对于点M，线段，给出如下定义： M为线段上任意一点，若时，我们称n为点M在线段上的“截值”，记作，例如：如图甲，点M在上，，则；反之当，则． (1)如图乙，数轴上A，B两点对应的数为a，b，且满足． ①求的长度和的值（O为原点）； ②点M，N分别从点A，B同时出发，相向运动，点N到达点A后立即以原速返回点B，点M到达点B时，点M，N都停止运动．若点M和点N的运动速度分别为和，运动t秒后，是否存在若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (2)如图丙，在三角形中，，，点M，N同时从点A出发，点M沿线段匀速运动至点B，点N沿匀速运动至点B，且点M，N同时到达点B，设，当点N运动到线段上时，请用含n的式子表示 一、单选题 1．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度向点B运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（   ） ①运动后，； ②在点P运动过程中，值随着点P位置的变化而变化； ③当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 2．（24-25七年级上·福建福州·期末）对于数轴上的三点，给出如下定义：若点P在线段上，且点P与A，B两点的距离恰好满足2倍关系时，即或，则称点P是A，B两点的“2倍点”．如图，若点A以每秒1个单位长度的速度从表示数的点向右运动，点B以每秒4个单位长度的速度从表示数4的点向右运动，若点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动，三个点同时出发，设出发t秒后，若点P恰好是点A，B的“2倍点”，则t的值是（   ） A．2 B．1 C．2或 D．或1 二、填空题 3．（25-26七年级上·全国·期末）如图，在长方形ABCD中，，，动点P从点A出发，沿以每秒2个单位长度的速度运动，同时点Q从点A出发，沿以每秒3个单位长度的速度运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒．当 时，点P与点Q在运动路径上的距离相差5个单位长度． 4．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）定义：如图1，点在线段上，图中共有三条线段和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点是线段的“绝美点”．如图2，已知，动点分别从点同时出发沿相向运动，速度分别为，，当点到达点时，运动停止．设点的运动时间为，当点恰好是线段的“绝美点”时，最大值与最小值的差为 ． 三、解答题 5．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）数轴上点A、B对应的数分别为a、b，多项式的二次项系数为a，常数项为b． (1)求线段的长． (2)如图，点P，Q分别从点A，B同时出发沿数轴向右运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒4个单位长度，当时，求此时点P对应的数． (3)在（2）的条件下，点M从原点与点P，Q同时出发沿数轴向右运动，速度是每秒x个单位长度，在运动过程中，是否存在x，使得为定值？若存在，求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 6．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．若数轴上点，分别对应数，．则点，两点之间的距离为． 如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数c；，且 (1) ， ， ； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数 表示的点重合； (3)现有两个动点，同时从点，出发匀速运动，设运动时间为秒． ①若点、点分别以每秒个单位长度的速度和每秒个单位的长度的速度沿数轴均向左匀速运动．为何值时，点追上点． ②若点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，求为何值时，点，相距个单位长度．并写出此时点，在数轴上表示的数． 7．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，数轴上，，三点分别表示的数为、4、7，点表示的数为． 【阅读材料】：在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． 【初步运用】 （1）填空：若，则______；若，则______． 【延伸探究】 （2）若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点到点、点的距离之和为10； 【拓展探究】 （3）若点表示的数为，当取最小值时，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，、同时开始运动，当经过多少秒时，点、点之间的距离正好等于点N到点、点的距离和？（直接写出答案） 8．（24-25七年级上·山西运城·期末）问题引入 对于数轴上的线段和点（点不在线段上），给出如下定义：M为线段上任意一点，我们把C，M两点间距离的最小值称为点C关于线段的“最近距离”，记作；把C，M两点间距离的最大值称为点C关于线段的“最远距离”，记作． 已知点A表示的数为，点B表示的数为4． 若点C表示的数为5，如图，则，． 问题解决 （1）若点C表示的数为，则______，______． （2）若点C表示的数为n，且点C在点B的右侧，，求n的值． 拓展延伸 （3）若点P和点Q为数轴上的两点（点P和点Q均不在线段上），点P表示的数为x，点Q表示的数为，表示点P关于线段的“最近距离”，表示点Q关于线段的“最远距离”，若是的2倍，求x的值． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $