第08讲 解题技巧专题：整式运算中含参数及新定义型问题（3知识点+7大题型+过关测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材北师大版

第08讲 解题技巧专题：整式运算中含参数及新定义型问题 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 含参数及新定义问题的整式混合运算，其核心知识可归纳为以下三点： 1.基础法则为本：熟练掌握幂的运算法则、整式乘除及乘法公式是根本。所有复杂变换均建立在此之上，必须确保运算准确无误。 2.定义与条件先行：解题的首要步骤是精确解读“新定义”的运算规则，并明确参数的所有隐含条件（如底数不为零以保证零指数、负指数幂有意义）。 3.化简与逆向分析：严格遵循运算顺序，将表达式化简为最简形式。然后利用化简结果与题目给定的最终等式进行匹配，通过对比系数、建立方程或分类讨论来确定参数的值或关系。 【题型1 幂的逆用含参数问题求字母或代数式的值】 例1．（2025八年级上·全国·专题练习）（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）1；（2）9 【分析】本题考查的是幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用及同底数幂乘法运算， （1）逆用同底数幂除法及逆用幂的乘方，再代入计算即可； （2）先求出，再逆用幂的乘方后整体代入计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴．     （2）∵， ∴， ． 例2．（25-26八年级上·全国·课后作业）在学完幂的运算后，老师给大家设置了如下的闯关任务： 趣味闯关 关卡一：已知，，，求的值； 关卡二：已知，，求的值． 闯关规则：闯过一关得2分，闯过两关得4分，请你进行闯关，并和同学交流你的闯关心得． 【答案】关卡一：；关卡二：， 闯关心得：关卡一属于幂的逆运算，需要通过所求指数的关系进行求解；关卡二需要先利用积的乘方对所求式子进行化简，再观察化简结果与已知条件的关系，最后利用幂的运算法则即可求解．（答案合理即可） 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，幂的除法逆运算，积的乘方以及逆运算，熟练掌握其运算规则是解题的关键．关卡一，利用，得出答案；关卡二，将转化成，然后计算出答案即可． 【详解】解：关卡一： ，，， ， ． 关卡二： ，， ， ． 闯关心得：关卡一属于幂的逆运算，需要通过所求指数的关系进行求解；关卡二需要先利用积的乘方对所求式子进行化简，再观察化简结果与已知条件的关系，最后利用幂的运算法则即可求解．（答案合理即可） 变式1．（24-25七年级下·河南郑州·月考）将幂的运算逆向思维可得，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方法则正用与逆用、同底数幂的除法法则的逆用、同底数幂的乘法，掌握这些法则是解题的关键． （1）逆用幂的乘方法则、逆用同底数幂的除法法则，可化为 ，再代入即可； （2）把化为2为底数的幂，再利用同底数幂的乘法，最后根据幂相等且底数相等，则指数相等，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：∵， ∴， 即， 解得：． 变式2．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)计算：的结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方，逆用这些法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的除法法则解答即可； （2）根据同底数幂的乘法法则求得，结合（1）所求即可解答； （3）逆用积的乘方法则解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴ ． 【题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 例3．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知单项式与 的积为，则的值为（   ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】根据单项式乘单项式法则可得，即可求出m、n的值． 本题主要考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式． 【详解】， ， ，， ． 故选：C． 例4．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）设，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】本题考查单项式的乘法，根据求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知单项式与的积为，那么（　　） A．11 B．5 C．1 D． 【答案】C 【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】根据单项式乘单项式法则可得，求出m、n的值，然后代入中计算求解即可． 本题主要考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．熟练掌握单项式与单项式相乘的法则是解题的关键． 【详解】， ， ，， ． 故选：C． 变式2．（24-25七年级下·全国·假期作业）若，则的值为 ． 【答案】/ 【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值、代入消元法 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的计算法则得到，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型3 利用单项式乘多项式求字母的值】 例5．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题考查了单项式乘多项式，解决本题的关键是掌握单项式乘多项式法则；根据单项式乘多项式，可得相等的多项式，根据相等多项式的项相等，可得a，b的值，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解：， ， ， 故选：． 例6．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）若，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·山东淄博·阶段练习）已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（   ） A．17 B． C． D．-17 【答案】B 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算．先把原式变形为，根据当x为任意数时该等式都成立，可得，然后代入，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∵，当x为任意数时该等式都成立， ∴， ∴ 故选：B 变式2．若对任意都成立，则 ． 【答案】1 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用单项式乘多项式的法则对等式左边进行整理，再结合等式的性质进行求解即可． 【详解】解：， ， ， 原式子对任意都成立， ，， 解得：，， ． 故答案为：1． 【题型4 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 例7．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）若的乘积中不含项和项，则 ． 【答案】16 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查多项式乘多项式，将原式展开并合并同类项，根据题意求得m，n的值后代入中计算即可． 【详解】解： ， ∵乘积中不含项和项， ∴，， ∴，， 则， 故答案为：16． 例8．（2025七年级下·全国·专题练习）已知的计算结果中不含项，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查多项式中不含某一项的系数特点，解题的关键是能够掌握做题方法，不含某一项，则多项式合并后，该项的系数为0．先计算的结果，不含的项，则合并后含的项的系数为0． 【详解】解： ∵已知的计算结果中不含的项， ∴ ∴ 故答案为：． 变式1．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）若的积中不含项和项．求： (1)p、q的值； (2)代数式的值． 【答案】(1)，； (2)． 【知识点】幂的混合运算、已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的法则，注意不要漏项、漏字母、有同类项的合并同类项，解题的关键是正确求出p、q的值． （1）利用条件中积不含项和项，将积算出来后，令相应的项系数为0即可求解； （2）先化简，再利用第（1）问中的结果，代入求值． 【详解】（1）解：原式， ， ∵的积中不含项和项， ∴，， ∴，； （2）， ， ， ， ∵，， ∴原式 变式2．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若的积中不含与项． (1)求，的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2)12 【知识点】积的乘方的逆用、已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，积的乘方的逆运算． （1）将展开，根据结果不含与项，即含与项的系数为0进行求解即可； （2）将（1）所求值代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 的积中不含与项， ， ； （2）解：∵，， ∴ ． 【题型5 多项式乘多项式与图形面积中无关型问题】 例9．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图1，有足够多的边长为的小正方形（A类），长为、宽为的长方形（类）以及边长为的大正方形（类）卡片，发现利用图1中的三种卡片各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式． 例如图2可以解释的等式为． (1)图3可以解释的等式为 ； (2)要拼成一个长为，宽为的长方形，那么需用A类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张； (3)用5张类卡片按图4的方式不重叠地放在长方形内，未被遮盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设右下角与左上角的阴影部分的面积之差为S，，若S的值与无关，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)5，46，9 (3)，理由见解析 【知识点】整式加减中的无关型问题、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、整式的混合运算的应用等知识点，掌握数形结合能力以及整式的混合运算法则成为解题的关键． （1）根据图②结合图形的面积以及整式乘法列代数式即可； （2）根据多项式乘多项式的法则计算，然后根据相关系数即可解答； （3）设，由图可知，然后再化简，最后让x的系数为0即可解答． 【详解】（1）解：由． 故答案为：． （2）解：∵， ∴需用A类卡片5张，类卡片46张，类卡片9张． 故答案为：5，46，9． （3）解：，理由如下： 设， 由题意可得 由于S的值与无关，则，即． 例10．（23-24七年级上·广东广州·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割成部分，除阴影图形外，其余部分为形状和大小完全相同的小长方形，其中小长方形的宽为．    (1)计算：小长方形的长________，小长方形的周长________；（用含的代数式表示）； (2)小明发现阴影图形与阴影图形的周长之和与值无关，请你通过计算对他的发现作出合理解释． 【答案】(1)， (2)与值无关，理由见详解 【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题、多项式乘多项式与图形面积 【分析】（1）根据图示的分割情况即可求解； （2）根据图示分别表示出阴影图形与阴影图形的长、宽，并计算其周长，由此即可求解； 本题主要考查整式的混合运算与图形周长的关系，掌握整式的混合运算是解题的关键． 【详解】（1）解：根据图示可得，小长方形的长为， ∴小长方形的周长为， 故答案为：，． （2）解：由（1）可知，小长方形的长为，小长方形的宽为， ∴阴影图形的长为，宽为，则阴影图形的周长为：， 阴影图形的长为，宽为，则阴影图形的周长为：， ∴阴影图形与阴影图形的周长之和为：， ∴与值无关． 变式1．如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为．    (1)从图可知，每个小长方形的较长边的长是 （用含的代数式表示）； (2)分别计算阴影的周长（用含的代数式表示），并说明阴影与阴影的周长差与的取值无关； (3)当时，比较阴影面积的大小 【答案】(1) (2)影A的周长为，阴影B的周长为，说明见解析 (3)阴影A的面积阴影B的面积 【知识点】列代数式、整式加减中的无关型问题、整式四则混合运算、多项式乘多项式与图形面积 【分析】（1）由图可知，每个小长方形的较长边的长等于整个图象的长减去3个小长方形的宽，列出代数式即可； （2）先分别表示出阴影A和阴影B的长和宽，根据长方形周长公式得出阴影A和阴影B的周长，最后将两阴影部分周长相减，若所得结果不含x，则与的取值无关； （3）分别求出两块阴影的面积，再用作差法比较大小即可． 【详解】（1）解：从图可知，每个小长方形的较长边的长是， 故答案为：； （2）解：由图可知： 阴影A的长为：，宽为：， ∴阴影A的周长为：， 阴影B的长为：，宽为：， ∴阴影B的周长为：， ∴阴影与阴影的周长差， ∴阴影与阴影的周长差与的取值无关； （3）解：阴影A的面积为：， 阴影B的面积为：， ∴ 把代入得：， ∴阴影A的面积阴影B的面积． 变式2．【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，则． (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m值； 【能力提升】 (2)7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式加减中的无关型问题、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出关于y的方程是解题的关键． （1）由题可知代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，故将多项式整理为，令x系数为0，即可求出m； （2）设，由图可知，，即可得到关于x的代数式，根据取值与x无关可得． 【详解】（1）解： ， 其值与x的取值无关， ， 解得：， 答：当时，多项式的值与x的取值无关； （2）解：设，由图可知，， ， 当的长变化时，的值始终保持不变． 取值与x无关， ， ． 【题型6 完全平方式中的字母参数问题】 例11．（24-25八年级上·吉林·期末）若式子是一个完全平方式，则k= ． 【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题主要考查了完全平方式，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值． 【详解】解：∵， ∴， 解得． 故答案为：． 例12．（24-25八年级上·吉林松原·期末）若是一个完全平方式，则常数k的值为 ． 【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】此题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征确定出的值即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴ 故答案为：． 变式1．（24-25八年级上·四川凉山·阶段练习）如果是一个完全平方式，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】此题考查完全平方式，解题关键在于掌握计算公式．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴ ， 故答案是：． 变式2．（24-25八年级上·全国·阶段练习）如果关于的多项式 是完全平方式，那么的值为 ． 【答案】或/或 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点：首平方，尾平方，首尾的2倍放中央，进行求解即可． 【详解】解：， ∴， 解得：或， 故答案为：或． 【题型7 整式的运算中的新定义型问题】 例13．（24-25七年级上·上海虹口·期中）定义：整式乘以整式，得到整式，如果整式的项数正好比整式的项数多1，那么我们称整式是整式的“相邻增项式”． (1)如果，，判断是否是的“相邻增项式”，并说明理由； (2)已知，都是关于的整式且、均为不等于0的有理数． ①填空：当时，如果是的“相邻增项式”，那么的值为_____； ②设，，如果关于的整式中不含的二次项，且整式是整式的“相邻增项式”，求的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)①或；②的值为 【知识点】计算多项式乘多项式、已知多项式乘积不含某项求字母的值、多项式的项、项数或次数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是理解题意，掌握多项式乘多项式法则． （1）根据多项式乘法算出，再根据“相邻增项式”的定义判断即可． （2）①当时，算出，根据是的“相邻增项式”，得出或，解答即可． ②根据，算出，根据关于的整式中不含的二次项，得出，求出，从而得出，再表示出，算出，即可求解． 【详解】（1）解：是，理由如下： 根据题意可得：， 的项数正好比的项数多1， 是的“相邻增项式”． （2）解：①当时，， ∵是的“相邻增项式”， ∴或， 解得：或． ②根据题意可得， ∴， 由于关于的整式中不含的二次项，， ∴，解得：， ， ∵， ∴， ， 当时，为关于的二项式，而为四项式， 此时不合题意，舍去； 当时，则为关于的三项式， 又是的“相邻增项式”且， ， 综上所述，的值为． 例14．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）阅读材料： 在学习多项式乘以多项式时，我们知道的展开结果是一个多项式，并且最高次项为，常数项为． 那么一次项是多少呢？ 要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数． 通过观察，我们发现一次项系数就是：，即一次项为． 参考材料中用到的方法，解决下列问题： (1)求展开所得多项式中的一次项系数； (2)已知展开所得多项式中不含x的二次项，求a的值． 【答案】(1) (2)2 【知识点】计算多项式乘多项式、已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是理解题意，列出相应的算式． （1）根据题干中提供的方法求出展开所得多项式中的一次项系数即可； （2）根据提供提供的方法列出关于a的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：一次项系数为． （2）解：由题意，得二次项系数为： ， 解得， 即a的值为2． 变式1．用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．如：．解答下列问题： (1)若，求的值； (2)化简：； (3)若，，判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【知识点】整式的加减运算、整式的混合运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】题目主要考查新定义运算及整式的乘法运算，理解新定义运算及整式的乘法运算法则是解题关键． （1）根据新定义的运算，得出方程求解即可； （2）根据新定义运算求解计算即可； （3）根据新定义分别确定m，n，然后作差即可判断． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：． （2） ， ． （3）． 理由：， ， ， ． 变式2．定义：对于一组多项式：，，(a，b，c都是非零常数)，当其中一个多项式的平方与另外两个多项式的乘积的差除以x是一个常数m时，称这样的三个多项式是一组和谐多项式，m的值是这组和谐多项式的和谐值．例如：对于多项式，，，因为 ，所以，，是一组和谐多项式，和谐值为. (1)小明发现多项式，，是一组和谐多项式，求其和谐值； (2)若多项式，， (p为非零常数)是一组和谐多项式，求p的值． 【答案】(1) (2)或 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式．理解题意，熟练掌握完全平方公式，多项式乘多项式是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）由题意知，分当，时；当，时；当，时；分别求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴和谐值为； （2）解：∵多项式，， (p为非零常数)是一组和谐多项式， ∴当，时，即，此时多项式，， (p为非零常数)是一组和谐多项式； 当，时，即，此时多项式，， (p为非零常数)是一组和谐多项式； 当，时，此时不成立； 综上所述，的值为或． 一、单选题 1．（25-26八年级上·湖北荆门·月考）若多项式，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查多项式的乘法运算：展开左边多项式，比较系数得出a和b的值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴比较系数，得． 故选：B． 2．（24-25七年级下·陕西西安·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，负整数指数幂，根据单项式乘单项式运算法则求解，得到关于m，n的方程，求出的值，代入即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴，， ∴． 故选：A． 3．（25-26八年级上·江西南昌·月考）已知是某个整式的平方的展开式，则的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．或2 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式．根据完全平方公式，表达式应为的形式，比较系数进行列式求解，即可作答． 【详解】解：∵是某个整式的平方的展开式， ∴， ∴， ∴， ∴或 解得m的值为4或， 故选：C． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘多项式，合并同类项，准确熟练地进行计算是解题的关键． 计算并合并同类项，由于表达式与无关，令的系数为零求解的值即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ∴ ∵的值与无关 ∴ ∴ 故选：B． 5．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）有10张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内．大长方形中未被覆盖的两个空白部分，设左上角的面积为，右下角的面积为．的长变化时，的值与的长无关，与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算，设大长方形的长为x，左上角空白部分的面积，右下角空白部分的面积，计算，根据的值与的长无关可知即含x的项系数必须为0，据此求出m、n的关系． 【详解】解：设大长方形的长为x，面积为的长方形的长为，宽为， 因此， 面积为的长方形的长为，宽为m， 因此， 因为的值与的长无关， 即含x的项系数必须为0， 因此， 可得， 综上，m与n的数量关系为， 故选：B． 二、填空题 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了整式的乘法，利用单项式乘以多项式的法则进行计算，可得到的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ∴ ∴， 故答案为：6． 7．（25-26七年级上·上海·期中）已知，其中是正整数，那么 ． 【答案】或 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握指数的运算法则是解题的关键，将等式左边利用指数运算法则进行化简，得到，与右边比较指数，根据指数相等关系，确定和的值，再计算． 【详解】解：， ①∴， 解得： ∴． ②∴， 解得：， ∴． 故答案为：或． 8．（24-25九年级上·福建厦门·期末）定义运算：．若，其中为含的多项式，为含的多项式，写出一组符合条件的和： ． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握已知条件中的新定义．先根据新定义和已知条件求出，从而求出答案即可． 【详解】解：， ， ， ，， ，， 故答案为：，． 9．（24-25七年级下·全国·周测）已知，，．若的值与x的取值无关，则a的值为 ． 【答案】－3 【分析】本题考查了整式的乘法与代数式化简，掌握若代数式的值与某个字母无关，则该字母对应项的系数为0是解题的关键． 计算，化简后得到关于的多项式，根据值与无关的条件，令所有含的项的系数为零，从而求解． 【详解】解： 由于的值与的取值无关， 因此项的系数， 解得： 故答案为：． 10．（25-26八年级上·四川眉山·月考）已知是一个完全平方式，那么k的值为 ． 已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．对于第一问，利用完全平方公式的结构特征即可求解，对于第二问，考虑两种情形：M作为中间项或平方项两种情况，然后分类讨论求解． 【详解】解：对于第一问：∵是完全平方式，且，， ∴．故． 故答案为：． 对于第二问：解：要使是某个多项式的平方，有两种情况： ①当它是完全平方式时，可表示为，所以． ②当它是另一个多项式的平方时，如设为． 与比较，得，， 为M中的系数． 由，代入，得， 所以，． 故答案为：或． 三、解答题 11．（25-26八年级上·吉林松原·期中）下面两道小题小明不会做，请你帮他写出解答过程． (1)如果，求m的值； (2)已知的结果中不含项，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查同底数幂的乘除法，多项式乘以多项式法则， （1）根据同底数幂乘除法法则变形，即可得到关于m的方程，由此求出m的值； （2）先计算多项式乘以多项式，再根据不含项的系数为零求出m的值． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴， ∴． （2）解：原式， ∵结果中不含项， ∴， 解得：． 12．（24-25七年级下·四川巴中·月考）若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用、同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键． （1）将代入，计算幂的乘方即可得； （2）利用同底数幂乘法的逆用可得，代入计算即可得； （3）利用幂的乘方的逆用可得，由此即可得． 【详解】（1）解：， ， 解得； （2）解：， ， ， 解得； （3）解：， ， ， ， ． 13．（25-26八年级上·福建泉州·期中）对于任意四个实数、、、，可以组成两个实数对与，我们规定：，例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）先根据新运算的定义可得，再根据完全平方公式可得，由此即可得； （2）先根据新运算的定义可得，则，再利用完全平方公式变形可得，代入计算即可得． 【详解】（1）解：由题意得： ， ∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴． （2）解：由题意得： ， ∵， ∴， ∵， ∴ ． 14．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）【阅读理解】：勤奋好学的小丽发明了降次小魔方，如图，可以将二次多项式降次为一次多项式.规则为：将二次多项式的二次项指数与二次项系数相乘，其积作为一次多项式的一次项系数，二次多项式的一次项系数作为一次多项式的常数项，二次多项式的常数项变为0．如，二次多项式经过小魔方后，可以降次为一次多项式． 【理解应用】： (1)若，经过小魔方后的多项式__________． (2)若，经过小魔方后的多项式记为，若的结果中不含一次项，求常数的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式： （1）根据题目的定义即可； （2）根据题目的定义求出，计算得到，根据一次项的系数为求出． 【详解】（1）解：的二次项系数为，二次项的指数为，一次项的系数为，常数项为， 根据小魔方的规则：一次多项式的一次项系数是的二次项指数与二次项系数相乘，的常数项是的一次项系数， 一次多项式的一次项系数是，常数项是， ． 故答案为：． （2）解：， 的二次项系数为，二次项的指数为，一次项的系数为，常数项为， 一次多项式的一次项系数是，常数项是， 即：， ， 的结果中不含一次项， ， 解得：． 15．（25-26八年级上·河南周口·月考）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，有这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是：把、看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为．故原式，∵代数式的值与的取值无关，∴，解得． 【理解应用】 （1）若关于的代数式的值与的取值无关，则的值为________； （2）已知，，且的值与的取值无关，求的值； 【能力提升】 （3）将七张如图1的小长方形（长为，宽为）按图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个阴影部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，单项式乘以多项式在几何图形中的应用，多项式乘法中的无关型问题，正确理解题意是解题的关键． （1）把原式合并同类项，再令含x的项的系数为0，据此列式求解即可； （2）根据整式的相关计算法则求出的展开结果，，再令含x的项的系数为0，据此列式求解即可； （3）根据题意分别用a、b、的长表示出，进而表示出，再根据的值与的长无关列式求解即可． 【详解】解：（1）∵关于的代数式的值与的取值无关， ∴， ∴； （2）∵，， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴， ∴； （2）由题意得，，， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， ∴， ∴， ∴． 16．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“雅美数”． (1)[问题解决]4，6两个数中的“雅美数”是________． (2)若二次三项式（x是整数）是“雅美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为多少？ (3)[问题探究]已知（x，y是整数，k是常数且），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的k值． 【答案】(1)4 (2)12 (3)25 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）根据、和“雅美数”的定义求解即可得； （2）将配方成，则，代入计算即可得； （3）将配方成，根据，和“雅美数”的定义可得，据此即可得． 【详解】（1）解：∵，0和2都是整数， ∴4是“雅美数”； ∵，不能表示成两个数的平方和形式， ∴6不是“雅美数”； 故答案为：4． （2）解： ， ∵二次三项式（是整数）是“雅美数”，可配方成（为常数）， ∴， ∴． （3）解： ， ∵，为整数， ∴，， ∴要使为“雅美数”，即能表示为两个整数的平方和，则， ∴． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第08讲解题技巧专题：整式运算中含参数及新定义型问题 风内容导航一一预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 01析教材学知识 含参数及新定义问题的整式混合运算，其核心知识可归纳为以下三点： 1.基础法则为本：熟练掌握幂的运算法则、整式乘除及乘法公式是根本。所有复杂变换均建立 在此之上，必须确保运算准确无误。 2.定义与条件先行：解题的首要步骤是精确解读“新定义”的运算规则，并明确参数的所有隐 含条件（如底数不为零以保证零指数、负指数幂有意义）。 3.化简与逆向分析：严格遵循运算顺序，将表达式化简为最简形式。然后利用化简结果与题目 给定的最终等式进行匹配，通过对比系数、建立方程或分类讨论来确定参数的值或关系。 02练题型强知识 【题型1幂的逆用含参数问题求字母或代数式的值】 例1.(2025八年级上全国专题练习)(1)已知a=8,a'=4,求a2-3y的值. (2)已知2a+3b-2=0,求9°×27的值， 例2.(25-26八年级上全国·课后作业)在学完幂的运算后，老师给大家设置了如下的闯关任务： 趣味闯关 关卡一：已知3“=2,39=18,3=4，求a+b-c的值： 关卡二：己知a"=6,b2=8,求(ab)2-(a2b）“的值. 闯关规则：闯过一关得2分，闯过两关得4分，请你进行闯关，并和同学交流你的闯关心得 变式1.(24-25七年级下河南郑州月考)将幂的运算逆向思维可得a-"=a"÷a,a=(a）, a"b”=(ab)”，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使 1/8 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 问题巧妙获解。 (1)若a=2,d=3,求a3m-2m的值； (2)若2×4×8=221，求x的值 变式2.(24-25七年级下江苏泰州月考)已知4m÷2”=8,(2)22”=32. (1)求2m-n的值； (2)求(n+2m-1)(2m-n+1)的值； (3)计算：（-82m+2025×0.1252mn+202的结果。 【题型2利用单项式乘法求字母或代数式的值】 例3. (2425八年级上·河南南阳阶段练习)已知单项式6y与- x"y2的积为mxy3,则的值为() 2 A.12 B.9 C.6 D.3 例4.(24-25八年级上·黑龙江绥化阶段练习)设(xm-y"+2）xmy2)=xy3,则n"的值为() A.1 B.-1 C.3 D.-3 变式1.(24-25七年级下.全国.单元测试)已知单项式3x2y与2xy2的积为mx3y”,那么m-n=() A.11 B.5 C.1 D.□ 变式2.(24-25七年级下.全国假期作业)若(am+b*2)a2m-b2=ab3,则m+n的值为 【题型3利用单项式乘多项式求字母的值】 例5.(24-25八年级上河南周口阶段练习)若x(x+2)=ax2+bx,则a+b=() A.3 B.2 C.1 D.0 例6.(24-25七年级下.河南周口阶段练习)若x2+ax=xx+4),则a的值为（) A.2 B.3 C.4 D.8 变式1.(24-25七年级下山东淄博·阶段练习)已知x(x-a+bx+a)=x2+5x-6,当x为任意数时该等式 都成立，则a(b-1)+ba+1)的值为() A.17 B.-7 C.-1 D.-17 变式2.若xx2-a+3x-2b=x3+5x-6对任意x都成立，则a+b=一 【题型4已知多项式乘积不含某项求字母的值】 例7.(24-25八年级上河南驻马店·期中)若(x2-mx-n)(x+2)的乘积中不含2项和x项，则 n= 2/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 例8.(2025七年级下.全国.专题练习)已知(5-3x+mx2-6x)(1-2x)的计算结果中不含项，则m的值 为 变式1.(24-25八年级上四川内江阶段练习)若(x2+px+8)x2-3x+g的积中不含2项和x项.求： (1p、q的值； 2)代数式(2pg)(-2p°÷(-3pg)2的值. 变式2.(24-25八年级上·重庆阶段练习)若x2+x (-x+3q)的积中不含x与x2项. (1)求p,9的值； 2)求代数式(-pg2'+p224g223的值. 【题型5多项式乘多项式与图形面积中无关型问题】 例9.(24-25八年级上·福建厦门期中)如图1，有足够多的边长为a的小正方形(A类)，长为b、宽为a的 长方形(B类)以及边长为b的大正方形(C类)卡片，发现利用图1中的三种卡片各若干可以拼出一些长 方形来解释某些等式。 例如图2可以解释的等式为a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2 A B B A A B B A B 图1 图2 图3 图4 (1)图3可以解释的等式为， (2)要拼成一个长为a+9b),宽为5a+b)的长方形，那么需用A类卡片_张，B类卡片_张，C类卡片_张： (3)用5张B类卡片按图4的方式不重叠地放在长方形内，未被遮盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设 右下角与左上角的阴影部分的面积之差为S,AB=x,若S的值与x无关，试探究a与b的数量关系，并说 明理由. 例10.(23-24七年级上广东广州期中)如图，长为y,宽为x的大长方形被分割成7部分，除阴影图形 A,B外，其余5部分为形状和大小完全相同的小长方形C,其中小长方形C的宽为4. 4 B C (1)计算：小长方形C的长= 一，小长方形C的周长=；（用含y的代数式表示）： 3/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)小明发现阴影图形A与阴影图形B的周长之和与y值无关，请你通过计算对他的发现作出合理解释 变式1.如图，长为y(cm),宽为x(cm)的大长方形被分割为7小块，除阴影A,B外，其余5块是形状、大 小完全相同的小长方形，其较短的边长为4cm. 4 不 A (1)从图可知，每个小长方形的较长边的长是_cm(用含y的代数式表示)； (2)分别计算阴影A,B的周长（用含x,y的代数式表示），并说明阴影A与阴影B的周长差与x的取值无关； (3)当y=24时，比较阴影A,B面积的大小 变式2.【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax-y+6+3x-5y-1的值与x的取值无关，求a的值”， 通常的解题方法是：把x、y看作字母，α看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x 项的系数为0，即原式=(a+3x-6y+5,所以，则a=-3. (1)若关于x的多项式(2x-3)m+2m2-3x的值与x的取值无关，求m值； 【能力提升】 (2)7张如图1的小长方形，长为a,宽为b,按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未 被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S,左下角的面积为S,,当AB的长变化时， S,-S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系， S D 图1 图2 【题型6完全平方式中的字母参数问题】 例11.(24-25八年级上吉林·期末)若式子x2++16是一个完全平方式，则= 例12.（24-25八年级上·吉林松原期末)若x2-12x+k是一个完全平方式，则常数k的值为」 变式1.(24-25八年级上四川凉山阶段练习)如果25x2+10x+k2是一个完全平方式，那么k的值是 变式2.(24-25八年级上·全国阶段练习)如果关于x的多项式x2+(m+1x+4是完全平方式，那么m的 值为 4/8 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【题型7整式的运算中的新定义型问题】 例13.(24-25七年级上上海虹口期中)定义：整式A乘以整式B,得到整式C,如果整式C的项数正好比 整式A的项数多1，那么我们称整式B是整式A的“相邻增项式” (1)如果A=x-2,B=2x+5,判断B是否是A的“相邻增项式”，并说明理由： (2)已知A=x-3,B=x2+2mx+n都是关于x的整式且m、均为不等于0的有理数. ①填空：当n=1时，如果B是A的“相邻增项式”，那么m的值为一； ②设D=B(A+2),E=B-A-n,如果关于x的整式D中不含x的二次项，且整式E是整式D的“相邻增项 式”，求n的值 例14.（24-25七年级下·安微宿州阶段练习)阅读材料： 在学习多项式乘以多项式时，我们知道(2x+5)(3x-6)的展开结果是一个多项式，并且最高次项为 2x·3x=6x2,常数项为5×(-6)=-30.那么一次项是多少呢？ 要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数.通过观察，我们发现一次项系数就是：2×(-6)+3×5=3， 即一次项为3x. 参考材料中用到的方法，解决下列问题： (1)求(3x-1)(5x-3)展开所得多项式中的一次项系数； 2)已知(x2+x+1(x2-3x+a展开所得多项式中不含x的二次项，求a的值. 变式1.用“⑧"定义一种新运算：对于任意有理数a和b,规定a⑧b=(a-b)2-2a+b.如： 1⑧3=(1-32-2×1+3=5.解答下列问题： (1)若(x+2)⑧x=6,求x的值： 包化简：(（合+®(2+x®3： (3)若m=4⑧(3x,n=（x+1)⑧2-17x,判断m与的大小关系，并说明理由. 变式2.定义：对于一组多项式：x+a,x+b,x+c(a,b,c都是非零常数)，当其中一个多项式的平方与 另外两个多项式的乘积的差除以x是一个常数m时，称这样的三个多项式是一组和谐多项式，m的值是这 组和谐多项式的和谐值.例如：对于多项式x+1,x+2,x+4,因为(x+2)(x+1)(x+4)÷x=-1,所 以x+1,x+2,x+4是一组和谐多项式，和谐值为-1. (1)小明发现多项式x+3,x+6,x+12是一组和谐多项式，求其和谐值； (2)若多项式x-2,x+3,x+p(p为非零常数)是一组和谐多项式，求p的值. 5/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 03串知识识框架 1基础法则为本：熟练掌握幂的运算法则、整式乘除及乘法公式是 根本。所有复杂变换均建立在此之上，必须确保运算准确无误。 整式运算中含参数及新 2定义与条件先行：解题的首要步骤是精确解读“新定义“的运算规 则，并明确参数的所有隐含条件（如底数不为零以保证零指数、 定义型问题 负指数幂有意义)。 3.化简与逆向分析：严格遵循运算顺序，将表达式化简为最简形 式。然后利用化简结果与题目给定的最终等式进行匹配，通过对 比系数、建立方程或分类讨论来确定参数的值或关系。 04过关测稳提升 一、单选题 1.(25-26八年级上湖北荆门月考)若多项式(-x+1)(x-3)=-x2+ax+b,则a,b的值分别是() A.a=4,b=3 B.a=4,b=-3 C.a=-2,b=-3 D.a=2,b=-3 2.(24-25七年级下，陕西西安·期末)若am+2b2m+1.a2mb-2=ab8,则nm的值为（） 1 A.3 B.3 C.-3 D.3 3.(25-26八年级上江西南昌·月考)已知x2-2(m-1)x+9是某个整式的平方的展开式，则m的值为() A.4 B.±4 C.4或-2 D.-4或2 4.(24-25七年级下·全国课后作业)己知A=2m2+m-a,B=-5m,C=10m3+5m2-3m+4.若AB+C 的值与m无关，则a的值为() A司 B号 C.3 D.5 5.(25-26七年级上·江苏徐州期中)有10张如图1的小长方形，长为m,宽为n,按照如图2的方式不重 叠地放在大长方形ABCD内.大长方形中未被覆盖的两个空白部分，设左上角的面积为S,右下角的面积 为S2.AB的长变化时，S2-S,的值与AB的长无关，m与的数量关系为() D m S m m S2 An B 图1 图2 A.m=n B.m=2n C.2m=3n D.m=3n 6/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 6.(24-25七年级下·全国·课后作业)若2x(x+2)=mx2+x,则m+n= 7.(25-26七年级上上海期中)己知(x*0+xb）÷x1=x2+x,其中n是正整数，那么d=一· 8.(24-25九年级上福建厦门期末)定义运算：m※n=(m-1)(n+2).若A※B=mn,其中A为含m的多 项式，B为含的多项式，写出一组符合条件的A和B: 9.(24-25七年级下·全国周测)已知M=x2-a,N=-x,P=x3+3x2+5.若M·V+P的值与x的取值 无关，则a的值为 10.(25-26八年级上四川眉山月考)已知4x2+x+9是一个完全平方式，那么k的值为 己知M是含字母x的单项式，要使多项式16x2+M+1是某个多项式的平方，则M为」 三、解答题 11.(25-26八年级上·吉林松原期中)下面两道小题小明不会做，请你帮他写出解答过程. (1)如果9m+3×27m1÷32m-1=81,求m的值； (2)已知(x2-2)(x+mx)的结果中不含x项，求m的值. 12.(24-25七年级下·四川巴中.月考)若am=a”(a>0且a≠1，m、n是正整数)，则m=n.利用上面结 论解决下面的问题： (1)如果8=26，求x的值； (2)如果2*2+21=24，求x的值； (3)若x=5m-1，y=4-25"，用含x的代数式表示y. 13.(25-26八年级上福建泉州期中)对于任意四个实数s、t、4、,可以组成两个实数对(s,t与u,v), 我们规定：(s,⑧(4，v)=s2+v2-,例如：(1,2)⑧(3,4)=12+42-2×3=11. (1)若2x,kx⑧(，-y是一个完全平方式，求常数k的值： (2)若x+2y=8,且x+2y,4x2+y2)⑧(1,2x-y)=100,求y的值. 14.（25-26七年级上·江苏扬州期中)【阅读理解】：勤奋好学的小丽发明了降次小魔方，如图，可以将二次 多项式降次为一次多项式规则为：将二次多项式M的二次项指数与二次项系数相乘，其积作为一次多项式 N的一次项系数，二次多项式M的一次项系数作为一次多项式N的常数项，二次多项式M的常数项变为O. 如，二次多项式M=3x2+4x+1经过小魔方后，可以降次为一次多项式N=6x+4. 三次多项式 降次小魔方 →一次多项式 【理解应用： (1)若A=6x2-2x+5,经过小魔方后的多项式B= 7/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若A=4x2+3(x-6),经过小魔方后的多项式记为B,若A-mB的结果中不含一次项，求常数m的值； 15.(25-26八年级上河南周口·月考)【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，有这样一类题：代数式ax-y+6+3x-5y-1的值与x的取值无关，求a的值.通 常的解题思路是：把x、y看作字母，Q看作系数，合并同类项.因为代数式的值与x的取值无关，所以含 x项的系数为0.故原式=(a+3)x-6y+5,代数式的值与x的取值无关，.，解得a=-3. 【理解应用】 (1)若关于x的代数式-mx+2x+1的值与x的取值无关，则m的值为 (2)已知A=(3x+1)(x-2),B=x(m-x),且A+3B的值与x的取值无关，求m的值； 【能力提升】 (3)将七张如图1的小长方形（长为Q,宽为b)按图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形 中未被覆盖的两个阴影部分都是长方形.设右上角的面积为S,,左下角的面积为S,,当AB的长变化时， 6 S,-S2的值始终保持不变，直接写出二的值 B S2 图1 图2 16.(25-26九年级上·宁夏吴忠·期中)[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子 的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中， 并结合非负数的意义来解决一些问题， 例如，把二次三项式x2-2x+3进行配方. 解：x2-2x+3=x2-2x+1+2=(x2-2x+1+2=(x-12+2. 我们定义：一个整数能表示成a2+b2(α，b是整数)的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美 数”例如，5是“雅美数”.理由：因为5=2+1P.再如，M=x2+2xy+2y2=(x+y)+y2(x,y是整数)， 所以M也是“雅美数”. (1)[问题解决]4,6两个数中的雅美数”是 (2)若二次三项式x2-6x+13(x是整数)是“雅美数”，可配方成(x-m)+n(m,n为常数)，则m的值为 多少？ (3问题探究]已知S=x2+4y2+8x-12y+k(x,y是整数，k是常数且)，要使S为“雅美数”，试求出符 合条件的k值. 8/8