第07讲 强化训练专题：整式的混合运算（3知识点+6大题型+过关测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材北师大版

第07讲 强化训练专题：整式的混合运算 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 整式混合运算的知识清单可归纳为以下三点： 1. 运算基础：牢固掌握幂的运算法则（同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方）、零指数幂（a⁰=1, a≠0）与负整数指数幂（a-n=1/aⁿ, a≠0），这是所有运算的基石。 2.核心运算：熟练进行整式的乘除运算，重点包括单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式的乘法，以及乘法公式（平方差、完全平方公式）的灵活运用。 3.综合顺序与化简：严格遵循先乘方、再乘除、后加减的运算顺序，有括号优先。最终必须合并同类项，将结果化为最简整式，并通过逆向思路检验。 【题型1 幂的混合运算】 例1．（24-25七年级下·河北唐山·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，分别计算积的混合运算，幂的混合运算，然后早计算同底数幂的除法，最后再计算合并同类项． 【详解】解： ． 例2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．根据幂的乘方，同底数幂乘方，同底数幂除法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 变式1．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据幂的运算性质进行化简，再合并同类项即可； （2）先把各项化为同底数幂，再计算同底数幂的乘法和除法即可． 【详解】（1） ； （2） ． 变式2．（23-24八年级上·吉林长春·月考）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、合并同类项运算法则求解即可； （2）将看成整体，利用同底数幂的乘除法运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型2 幂的逆运算】 例3．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）按要求计算下面各题： (1)已知，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值． 【答案】(1)64 (2)56 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用幂的乘方，同底数幂的乘法法则，整理，再将整体代入运算即可； （2）利用积的乘方，幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】（1）解： 当， 则原式． （2）解： 当， 则原式． 例4．（25-26八年级上·湖南永州·月考）按要求解答下列各小题． (1)已知，求的值； (2)已知，求m的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查同底数幂的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）逆用同底数幂的除法法则进行计算即可； （2）逆用同底数幂的乘方，根据同底数幂的乘法和除法法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）， ， ， ， ∴， ∴． 变式1．（25-26八年级上·重庆万州·月考）计算下面各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除运算，幂的乘方逆运算法则，熟练掌握同底数幂的乘除运算是解题的关键． （1）根据同底数幂的除法逆用结合幂的乘方逆运算法则，进行求解； （2）根据幂的乘方逆运算法则可得，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 变式2．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）计算 (1)如果，，求的值． (2)已知x、y满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求代数式的值，同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘法的逆用；根据公式逆用化简计算即可． （1）由同底数幂的乘法公式得，代值计算即可； （2）由同底数幂的除法公式及幂的乘法公式得，代值计算即可． 【详解】（1）解：当，时， ； （2）解：， ， ∴． 【题型3 负指数幂、零指数幂的运算】 例5．（24-25七年级下·陕西西安·月考）计算 【答案】0 【分析】本题考查零指数幂、负整数指数幂、含乘方的有理数的混合运算，根据相关运算法则正确求解即可． 【详解】解： ． 例6．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查负整数指数幂，零指数幂，绝对值，有理数的混合运算；根据以上知识计算求解即可． 【详解】解：原式． 变式1．（2025八年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂和负整数指数幂的意义，先根据乘方的意义，零指数幂和负整数指数幂的意义计算，再算加减． 【详解】解：原式 ． 变式2．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了整数指数幂的运算，包括乘方、负整数指数幂及零指数幂等运算，掌握运算法则是关键；计算乘方、负整数指数幂及零指数幂，再相加减即可． 【详解】解：原式 ． 【题型4 通过对完全平方公式变形求值】 例7．（25-26八年级上·吉林长春·期中）已知，． (1)求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查通过对完全平方公式变形求值： （1）把原式变形为，再代入计算即可； （2）根据完全平方公式解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：， 把，代入，得： ， ∵， ∴． 例8．（25-26八年级上·四川乐山·期中）若，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查利用完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键： （1）利用完全平方公式，得到，代值计算即可； （2）根据，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴ ． 变式1．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)52； (2)； (3)． 【分析】此题考查了多项式乘多项式，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用完全平方公式变形得到，把已知等式代入计算即可求出值； （2）原式利用完全平方公式变形得到，把已知等式代入计算即可求出值； （3）原式利用完全平方公式变形得到，再整体代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴． 变式2．（25-26七年级上·上海崇明·期中）已知，求下列式子的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了用完全平方公式变形求代数式的值． 把变形，可得：原式，再把当代入变形后的代数式求值； 把变形，可得：原式，再把当代入变形后的代数式求值； 把变形，可得：原式，再把当代入变形后的代数式求值． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式 ； （2）解： ， 当时， 原式 ； （3）解： ， 当时， 原式 ． 【题型5 整式的混合运算】 例9．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算． （1）先运用完全平方公式和平方差公式展开式子，然后合并同类项即可． （2）先计算积的乘方，再计算多项式除以单项式． 【详解】（1）解： （2）解： 例10．（25-26八年级上·山东德州·月考）计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式的混合运算，多项式除以单项式，平方差公式，完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． （1）根据多项式除单项式计算即可得出答案； （2）根据平方差公式，完全平方公式，单项式乘以多项式的运算法则进行化简，再合并同类项即可； （3）先计算乘方与除法，再约分即可． 【详解】（1）解： ； （2） （3） ． 变式1．（25-26八年级上·天津河西·月考）利用乘法公式计算： (1) (2). 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，掌握完全平方公式与平方差公式是解题的关键． （1）先利用完全平方公式与平方差公式计算，再合并同类项； （2）利用完全平方公式与平方差公式计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式2．（25-26八年级上·山东滨州·月考）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据单项式乘多项式，多项式乘多项式进行展开，再合并同类项，得，即可作答． （2）根据单项式乘多项式，多项式乘多项式进行展开，再合并同类项，则原式，再运算多项式除以单项式，即可作答． （3）根据平方差公式进行运算，即可作答． （4）根据平方差公式，完全平方公式进行运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． （4）解： ． 【题型6 整式混合运算之化简求值】 例11．（25-26八年级上·福建漳州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，先根据完全平方公式，平方差公式进行展开，再合并同类项，然后运用多项式除以单项式，得，最后把，分别代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 当，时，原式． 例12．（25-26八年级上·河南南阳·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，先根据单项式乘以单项式的运算法则、平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项，然后把的值代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握整式的运算法则和乘法公式是解题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 变式1．（25-26八年级上·福建泉州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的混合运算--化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．根据完全平方公式、单项式乘多项式、合并同类项、多项式除以单项式把原式化简，把x、y的值代入计算即可． 【详解】解：                当，时 原式 变式2．（25-26八年级上·四川内江·期中）（1）先化简，再求值：，其中，． （2）先化简，后求值：，其中，，． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序． （1）先根据平方差公式和完全平方公式计算，再进行加减计算，然后代入求解即可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式计算，再进行加减计算，最后进行多项式除以单项式计算，然后再代入求解． 【详解】（1）解： ， 当，时，原式． （2）解： ， 当，时， 原式 ． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查负整数指数幂、零指数幂、同底数幂的乘除法和幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）先化简负指数幂和零指数幂，然后计算乘除，最后算加法即可； （2）先算括号内幂的乘方，再算括号内同底数幂的乘法和除法，最后算同底数幂的除法即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了负整数指数幂、整式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是关键． （1）按照相应负整数指数幂、幂的运算法则逐步计算； （2）按照相应负整数指数幂、幂的运算法则逐步计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 3．（25-26八年级上·湖南永州·期中）计算∶ (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查积的乘方、同底数幂和实数混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用乘方、绝对值、负整数指数幂、零指数幂的运算法则，计算即可； （2）利用积的乘方、同底数幂相除进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（25-26八年级上·山东日照·月考）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）先计算平方差公式，再根据完全平方公式计算即可； （2）直接计算多项式除以单项式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 5．（25-26八年级上·天津·月考）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算积的乘方，再合并同类项即可得解； （2）先计算幂的乘方，再计算同底数幂相乘与同底数幂相除，最后合并同类项即可得解； （3）根据多项式除以单项式的运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 6．（25-26七年级上·黑龙江大庆·月考）计算下列各式： (1) (2) (3) 【答案】(1)2xz (2)12x-40 (3) 【分析】此题考查了整式的混合运算和乘法公式，熟练掌握乘法公式是解题的关键． （1）先算单项式乘以单项式和积的乘方，再计算单项式除以单项式即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式展开，再计算整式的加减法即可； （3）逆用积的乘方公式计算，再利用平方差公式和完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ； （3）解： ． 7．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）求下列各式的值 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)若，求的值； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查的知识点是同底数幂相乘法则、积的乘方、幂的乘方、积的乘方的逆用、同底数幂相乘逆用、幂的乘方的逆用，解题关键是熟练掌握相关运算法则． （1）根据同底数幂相乘法则进行运算即可得解； （2）根据同底数幂相乘法则、积的乘方、幂的乘方进行运算即可得解； （3）根据同底数幂相乘法则、积的乘方、幂的乘方进行运算即可得解； （4）根据积的乘方的逆用、同底数幂相乘逆用进行运算即可得解； （5）根据幂的乘方、同底数幂相乘法则得出即可得解． 【详解】（1）解：原式， ， ； （2）解：原式, , ； （3）解：原式， ， ； （4）解：原式， ， ， ， ； （5）解：， ， ， ， ， ， ， 解得． 8．（25-26八年级上·广东惠州·期中）（1）计算：． （2）若，，求的值． 【答案】（1）；（2）294 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法，掌握运算法则是解题关键． （1）根据积的乘方法则化简，然后进行运算即可； （2）逆用同底数幂乘法和幂的乘方法则计算即可． 【详解】（1） ； （2）∵，， ∴． 9．（25-26八年级上·四川眉山·月考）计算 (1)； (2)已知，，求 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算； （1）根据指数运算法则进行化简计算； （2）化为同底数幂形式，通过指数相等建立方程组求解． 【详解】（1）解： ； （2）∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又 ∵ ，， ∴ ， ∴ ， 将 代入 ， 得 ， ， 解得：， ∴ ， ∴ ． 10．（25-26八年级上·湖北·期中）求值： (1)已知，求的值； (2)已知是正整数，且，求的值． 【答案】(1)x的值为1 (2)184 【分析】本题考查了代数式求值、积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，将原式化为，进而即可求出的值； （2）根据幂的乘方的逆运算化简，然后把代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， 即， ， 解得； （2）解：， ， 原式． 11．（25-26八年级上·重庆万州·期中）（1），，求的值； （2）若，，求． 【答案】（1）24；（2）1 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘、求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）将所求式子变形为，整体代入计算即可得解； （2）由幂的乘方与同底数幂相乘法则计算得出，，从而可得，，代入所求式子计算即可得解． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 12．（25-26八年级上·福建厦门·期中）若（且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)已知，，用含，的式子表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握这些运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方，同底数幂的乘法运算法则，进行计算即可求解； （2）根据幂的乘方，积的乘方运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ， 即 故， 解得； （2）解： ∵，， 故原式． 13．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）若（且，m，n是正有理数数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用，同底数幂相乘， （1）逆用幂的乘方将原式整理为，再根据指数相等求出答案； （2）逆用同底数幂相乘法则得，再提出公因式，并根据指数相等得出答案； （3）逆用幂的乘方整理，再代入计算． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵，， ∴， ∴． 14．（25-26八年级上·吉林长春·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的混合运算与代数式求值，熟练掌握整式的相关运算法则是解题的关键． 先展开并化简中括号内的整式，再进行除法运算，最后代入的值计算． 【详解】解： ， 当时，原式． 15．（吉林省长春市四校2025~2026学年上学期综合练习（期中）八年级数学）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题考查整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题关键． 先去小括号，再去中括号，然后合并同类项，最后把a，b的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解：原式         ．   当，时，原式． 16．（2025八年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】；10 【分析】本题考查整式的化简求值，涉及知识点：多项式除以单项式、平方差公式．解题方法是先分别化简除法和乘法部分，再合并同类项；解题关键是准确应用公式与运算法则，易错点是平方差公式的符号处理．解题思路：先算除法和乘法，再合并同类项，最后代入数值计算． 【详解】解： 代入，： 原式． 17．（25-26八年级上·重庆·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】，16 【分析】本题考查了整式的化简求值． 先计算整式的乘除，再合并同类项，根据非负数的性质求出a、b的值，代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， 即， ∴原式． 18．（25-26八年级上·江西南昌·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值．先利用平方差公式和完全平方公式展开并化简括号内的表达式，然后合并同类项，再除以 ，最后代入 和 求值，即可求解． 【详解】解： 当 ， 时， 原式 19．（25-26八年级上·河南南阳·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】本题考查了整式的运算——化简求值，根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式等计算中括号内的、再利用多项式除以单项式化成最简，然后将的值代入化简后的式子即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： 当，时， 原式 ． 20．（25-26八年级上·重庆万州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．根据整式的化简法则进行计算即可． 【详解】解：原式    ， ∵， ∴， ∴，， ∴原式． 21．（25-26八年级上·重庆·期中）化简求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的化简求值，非负数的性质．先根据非负数的性质求出和的值，再化简代数式，最后代入求值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，． 原式 ． 当，时， 原式． 22．（25-26八年级上·北京·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算，化简求值，先根据乘法公式和多项式除以单项式的法则进行计算，化简后，代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 23．（25-26八年级上·重庆涪陵·期中）先化简，再求值：，其中a满足． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算，其运算顺序为先乘方，再乘除，后加减，有括号时、先算括号里的，去括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号，熟练掌握整式运算的法则是解题的关键． 根据整式的混合运算法则，运用完全平方公式、平方差公式去括号，合并同类项，然后括号内的数分别相除去括号，完成化简；把变形得到的值，代入化简后的代数式即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， 当时， 原式． 答：化简后的代数式为，其值为． 24．（25-26八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）计算 (1) (2)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2)， 【分析】（）先进行乘方和乘法运算，再进行加减运算即可； （）根据整式的乘法公式和运算法则先进行化简，再把的值代入到化简后的结果中计算即可求解； 本题考查了整式的混合运算，整式的化简求值，掌握整式的乘法公式和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， ∵，， ∴原式． 25．（25-26八年级上·山东日照·月考）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2），2 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可得解； （2）括号内先去括号，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式即可化简，代入，计算即可得解． 【详解】解：（1） ； （2） ； 当，时，原式． 26．（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·月考）计算： (1)； (2)先化简，再求值：．其中，． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了整式的混合运算及化简求值，解答这类题目的关键是把最后结果化到不能再合并，然后代入求值． （1）先计算积的乘方，同底数幂的乘法，再算括号内的减法，最后算除法； （2）根据整数的混合运算法则化简，再代入值计算即可．． 【详解】（1）解： ； （2） ， 当，时，原式． 27．（25-26八年级上·河南信阳·月考）计算： (1)． (2)先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查整式的混合运算与化简求值，涉及知识点：幂的运算、整式的乘除、平方差公式、绝对值与偶次幂的非负性．解题方法是先按运算法则化简整式，再利用非负性求字母值代入计算；解题关键是准确应用幂的法则与公式，易错点是符号处理或公式展开错误． （1）先算幂的乘方，再依次进行乘除、乘法分配律运算，最后合并； （2）先利用公式化简括号内的式子，再结合非负性求，代入求值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴原式． 28．（25-26八年级上·海南海口·月考）计算： (1) (2) (3)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）先利用多项式乘多项式法则展开，再用完全平方公式展开，最后通过去括号、合并同类项化简式子． （2）先对进行整式除法运算，再用平方差公式展开，之后去括号、合并同类项化简． （3）先依次进行单项式乘多项式、完全平方公式的展开运算，再合并同类项整理括号内的式子，接着进行整式除法化简，最后代入、的值计算． 【详解】（1）解： ， ． （2）解： ； （3）解：原式 ． 当，时，原式． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算（包含多项式乘多项式、完全平方公式、平方差公式、整式的乘除与加减运算），熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 29．（25-26八年级上·四川资阳·期中）（1）已知，求的值； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘、整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）由题意可得，再将所求式子利用幂的乘方法则以及同底数相乘法则变形，整体代入计算即可得解； （2）括号内先根据完全平方公式、平方差公式以及单项式乘以多项式的法则进行计算，最后计算多项式除以单项式即可化简，再由非负数的性质计算得出、的值，代入计算即可得解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； （2） ； ∵，，， ∴，， ∴，， ∴原式． 30．（25-26八年级上·河北廊坊·月考）（1）化简：； （2）已知，求代数式的值； （3）化简求值：，其中． 【答案】（1）；（2）7；（3）； 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、整式的化简求值、代数式求值等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先运用平方差公式、多项式除以单项式，然后去括号，最后合并同类项即可； （2）由可得，再运用整式的混合运算法则化简变形，最后将整体代入求值即可； （3）先运用整式的混合运算法则化简，然后将代入求值即可． 【详解】解：（1） ． （2）∵， ∴， ∴ ． （3） ； 当时，原式． 31．（25-26八年级上·云南昭通·月考）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值． （1）根据，代入已知条件，进行计算即可求解； （2）根据，代入已知条件，进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 32．（25-26八年级上·江西南昌·月考）已知，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式的变形应用，解题关键是将所求式子转化为含和的形式． （1）将结合完全平方公式转化为，代入，计算． （2）将变形为，代入已知值求出，再对其平方得到结果． 【详解】（1）∵，， ∴． （2）∵，， ∴， ∴． 33．（25-26八年级上·江苏南通·期中）完全平方公式经过适当的变形，可以巧妙地解决不少数学问题．请按照这样的思路解决下面两个问题： (1)已知，，则=______； (2)若，求的值． 【答案】(1)19 (2)7 【分析】本题考查完全平方公式的变形应用． （1）直接利用公式求解； （2）通过设元转化为两个量的差与积，再利用公式求解． 【详解】（1）解：∵， ． （2）解：设， 则， ，， ， ， ， 即． 34．（25-26八年级上·四川眉山·期中）【阅读材料】若x满足，求的值． 解：设，．则，． ∴． 【类比探究】解决下列问题： （1）若x满足，则的值为 ． （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】本题主要考查乘法公式与图形的综合，掌握乘法公式中完全平方公式的变形，整式的混合运算方法是解题的关键． （1）仿照例题，设，，利用完全平方公式求解即可； （2）仿照例题，设，，利用完全平方公式求解即可； （3）设正方形边长为，则，，令，，得到，根据长方形的面积，得到，结合完全平方公式，得到，再根据阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积求解即可． 【详解】解：（1）设，，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）设，， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）设正方形边长为， ∵，， ∴，， 令，， ∴， ∵长方形的面积是24， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积 ． 35．（25-26八年级上·福建厦门·期中）知识生成：在数学课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A纸片是边长为a的正方形，B纸片是边长为b的正方形，C纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A纸片一张，B纸片一张，C纸片两张拼成如图2所示的大正方形．由图2所示我们可以得到一个熟悉的数学公式：，经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 直接应用：（1）若，，直接写出ab的值为 ． 类比应用：（2）若a满足，求的值． 知识迁移：（3）如图3，在长方形中，，E，F是边，上的点，，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了通过对完全平方公式变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）利用完全平方公式求解； （2）令，，分别求得与，再利用完全平方公式求出即可； （3）设正方形和的边长分别为a、b，先求得、，再利用完全平方公式求出即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，解得：， 故答案为：； （2）a满足， 令，， 则，， ∴ 即； （3）设正方形和的边长分别为a、b， 则，， ∴， ∵长方形的面积为45， ∴， ∴阴影部分的面积为： ． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第07讲强化训练专题：整式的混合运算 风内容导航 一一预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 01析教材学知识 整式混合运算的知识清单可归纳为以下三点： 1.运算基础：牢固掌握幂的运算法则（同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方）、零指数幂(=1 ，a≠0)与负整数指数幂（a=l/an，a≠0)，这是所有运算的基石。 2.核心运算：熟练进行整式的乘除运算，重点包括单项式与单项式、单项式与多项式、多项式 与多项式的乘法，以及乘法公式（平方差、完全平方公式）的灵活运用。 3.综合顺序与化简：严格遵循先乘方、再乘除、后加减的运算顺序，有括号优先。最终必须合 并同类项，将结果化为最简整式，并通过逆向思路检验。 02 练题型强知识 【题型1幂的混合运算】 例1.(2425七年级下河北唐山期中)计算：(2x)+xx3÷(x2) 例2.(24-25七年级下陕西咸阳期中)计算：(x2)(-x)+(-x)÷x2. 变式1.(24-25七年级下江苏宿迁月考)计算： (aa2a2+(-2a}2-(-a; 2(p-q°÷g-p)3p-g月 变式2.(23-24八年级上·吉林长春·月考)计算 ()x4x2x-(x+-2x)°x (2)(x-y)4.(y-x)3÷(y-x)2 1/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【题型2幂的逆运算】 例3.(24-25七年级下·安徽毫州期中)按要求计算下面各题： (1)已知3a+2b=6,求8.4的值； (2)已知n为正整数，且x2"=2,求(3x3")-4x2)）2"的值 例4.(25-26八年级上·湖南永州月考)按要求解答下列各小题. (1)已知10m=6,10”=2,求10m-"的值； (2)已知8×2m÷16m=25,求m的值. 变式1.(25-26八年级上·重庆万州月考)计算下面各题： (1)已知10=3,10=5，求1030-2b的值； (2)已知3”×27“×81°=916，求3a7-a的值 变式2.(24-25七年级下·江苏无锡月考)计算 (1)如果x"=3,”=4,求m+"的值. (2)已知x、y满足x-5y-3=0,求2÷32的值. 【题型3负指数幂、零指数幂的运算】 例5.2425七年级下碳西西安月考)计算(--{（+-3-2 例6.（2425七年级下陕西威阳期末)计算：-+3+( 变式1.(2025八年级上全国专题练习)计算： 8-2-2-r+(- 变式2.(2425七年级下陕西输林期末)计算：(-)-（+3×-1山 【题型4通过对完全平方公式变形求值】 例7.(25-26八年级上吉林长春期中)已知a+b=4,ab=3. (1)求a2+b2的值. (2)若a<b,求a-b的值. 例8.(25-26八年级上四川乐山期中)若x+y=4,xy=3,求下列各式的值： (1)x2+y2: (2)(x-y)-2xy. 变式1.(25-26八年级上湖南长沙期中)己知m+n=10,mn=24. (1)求m2+n2的值； 2/9 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)求m-n的值； (3)若m>n,求m2-3mn-n2的值. 变式2.(25.26七年级上上海崇明期肿)已知a+6=5,b,求下列式子的@ (1)a2+b: (2(a-b)2; (3)a4+b4. 【题型5整式的混合运算】 例9.(25-26八年级上黑龙江哈尔滨月考)计算： (1)(x+3)-(x+2)(x-2） (212ab-8ab3+4a2b2）÷2ab2 例10.(25-26八年级上山东德州月考)计算： ((4ab-6a2b2+12ab'）÷(-2ab); (2)3x+2(3x-2)-5xx-1-(2x-1): 变式1.(25-26八年级上·天津河西·月考)利用乘法公式计算： (1)(2x-3y)2-(y+3x)(3x-y) (2)(a-2b+3)(a+2b-3) 变式2.(25-26八年级上山东滨州月考)计算： (1)xx-3-(2x-1)(x+2) (2)[(a+2b)(a+b)-2b(a+b)-8a]÷a (3)2x+y+10(2x-y-1) (4)2x+3-(2x+3)(2x-3 【题型6整式混合运算之化简求值】 例11.(25-26八年级上福建漳州期中)先化简，再求值：(2a-b)-(2a+3b)(2a-3b)-3ab÷(-2b),其 中a=2,b=-1. 例12.(25-26八年级上河南南阳·期中)先化简，再求值：2x(x+3y)-(3x+2y)3x-2y)+(3x-2y),其 1 中x=3,y= 2 3/9 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式1.(25-26八年级上福建泉州期中)先化简，再求值：[(2x-y2-(y-4x)-4w÷4x,其中 x=2025,y=1. 变式2.(25-26八年级上四川内江·期中)(1)先化简，再求值：(a-2b)(a+2b)-(a-2b)2+8b2,其中 日=-4,62 (2)先化简，后求值：[(2x-y2+2x+y川2x-y-4y]÷2x,其中，x=-4,y= 03 串知识识框架 1.运算基础：牢固掌握幂的运算法则（同底数幂乘除、幂的乘方、积 的乘方)、零指数幂与负整数指数幂)，这是所有运算的基石。 整式的混合运算 2核心运算：熟练进行整式的乘除运算，重点包括单项式与单项式、 单项式与多项式、多项式与多项式的乘法，以及乘法公式（平方差、 完全平方公式)的灵活运用。 3.综合顺序与化简：严格遵循先乘方、再乘除、后加减的运算顺 序，有括号优先。最终必须合并同类项，将结果化为最简整式，并 通过逆向思路检验： 04过关测稳提升 1.(24-25七年级下·全国·课后作业)计算： (2)[(x*1)4.x2]÷[(xm+2)3÷(x2)"]. 2.(25-26八年级上·全国·课后作业)计算： Oin小： 22m2n3）-mn2°÷mn2 4/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26八年级上湖南永州期中)计算： 0-4红-314r-( (2(a2bc2÷2abc 4.(25-26八年级上山东日照·月考)计算： (1)3a-b+2)3a+b-2). 5.(25-26八年级上·天津·月考)计算： ()-3m)+(2m): 2(x2）-x+(-x2）÷x2; (3)28ab2c+7a2b3-14a2b2）÷-7a2b). 6.(25-26七年级上·黑龙江大庆·月考)计算下列各式： 0(-4ryX-8a)*(50y (2)9(x+2)(x-2)-(3x-2)2 (3)(2a-3b)2(2a+3b)月 7.(25-26八年级上湖北襄阳·期中)求下列各式的值 (1)x3x1-x4.x-2+x+2; (2)x5x’+x6-x2）+2x): 32a3}2+a2.a+-a2）': (442023×0.252022-82023x0.125202: (⑤)若2.42a.83016=26，求a的值： 8.(25-26八年级上广东惠州期中)(1)计算：(3x）+(-2x2)-4x. (2)若2*=3,2"=7，求2+2+1的值 9.(25-26八年级上·四川眉山月考)计算 ()xr2x3-(-2x'+x0÷x4; (2)已知16"=4×22m-2,27”=9×3m+3,求(n-m2010 10.(25-26八年级上湖北期中)求值： (1)已知2+3×33=361，求x的值； (2)已知n是正整数，且x3=2,求(3x3")3+(-2x2)3的值. 5/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 11.(25-26八年级上·重庆万州期中)(1)am=2,d”=3,求a3m*的值： (2)若16m=22m,27"=9×3m+3,求(m-nm. 12.(25-26八年级上·福建厦门期中)若am=a”(a>0且a≠1，m、n是正整数)，则m=n.利用上面的 结论解决下面的问题： (1)如果3×9×27=326，求x的值； (2)已知m=63,n=54,用含m,1的式子表示306. 13.(25-26八年级上河南驻马店期中)若am=a”(a>0且a≠1，m,n是正有理数数)，则m=n.利用 该结论解决下面的问题： (1)如果8=2，求x的值： (2)如果2+2+21=24，求x的值； (3)若x=5,y=4-25",用含x的代数式表示y 14.(2526八年级上吉林长春期中)先化简，再求值：[x-12+2x+1)-3]÷(),其中x=-1. 15.(吉林省长春市四校2025-2026学年上学期综合练习（期中）八年级数学)先化简，再求值： [3+6-a+a--2少]-2，芙中a=子b号 16.(2025八年级上全国专题练习)先化简，再求值：(a2b-3ab2)÷b-(a-2b)(a+2b),其中a=-2, b=1. 17.(25-26八年级上重庆月考)先化简，再求值：(2+a)(2-a+a(a-5b)+3ab÷a,其中 a-3+(b+22=0. 18.(25-26八年级上江西南昌期中)先化简，再求值：[【(x+2y(x-2y川+(x+°-(2x2-4y)]÷2y,其 中x=7,y=-2 19.(25-26八年级上河南南阳期中)先化简，再求值：(x-2y)'+(x-2y(x+2y)-2x(2x-y]÷2x,其 中x=6,y=-2. 20.(25-26八年级上·重庆万州期中)先化简，再求值： [(3m+n)(m+n)-(2m-n)2+(m+2n)(m-2n]÷(-4n),其中m2-6m+9+n+2=0. 21.(25-26八年级上重庆期中)化简求值： 0-+4-+ix+列-〔4r+小(-2，共中 x+1+(y-2)2=0. 22.(25-26八年级上北京·期中)先化简，再求值：（a+b)(a-b)+(a+b)2-8ab2-4ab)÷4ab,其中 a=-2,b=1. 6/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 23.(25.26八年级上重庆涪陵期中)先化简，再求值：a+2+(a-2b2b+a-2a(2a-b]÷a,其 中a满足a-3b-4=0. 24.(25-26八年级上内蒙古呼伦贝尔期中)计算 (1)(2x+1)-3x+2)(x-2) (2)先化简，再求值：2b2+(a+b)(a-b)-(a-b)2,其中a=-3,b=1. 25.(25-26八年级上山东日照月考)(1)计算：(x+2y-1)2: (2)先化简，再求信：[2g-4-(+2g+8列+16可]（9共中=3.=1. 26.(25-26八年级上湖北省直辖县级单位·月考)计算： [5aa2-(3a]+-2a; (2)先化简，再求值：a2b-2ab2-b)÷b-(a+b)2.其中a=-1,b=2. 27.(25-26八年级上河南信阳月考)计算： (0-2x2y°3xw÷-6xy+2xyx2y-y) (②)先化简，再求值：[(x+(x-)-(x-2y2-3y2÷4y,其中x,y满足x+2+(y-120. 28.(25-26八年级上海南海口·月考)计算： (1)(x+2y)(x-y)-(x-2y)2 (2)-4ab+8a2b2）÷(4ab)-(2a+b)(a-b) 3)先化简，再求值：[2x(x-4列+2x-(2x-川-y]÷(-3x刘，其中x=-2,y=} 29.(25-26八年级上四川资阳期中)(1)已知2x+5y-3=0,求4.32的值： (2)先化简，再求值：(x-2y)2+(x-2y(2y+x)-2x(2x-3y)÷(2x),其中(x-1)2+(y+1)2=0. 30.(25-26八年级上河北廊坊月考)(1)化简：（x+3)(x-3)-x3-6x2)÷x; (2)己知a2-a-3=0,求代数式(a-2)2+(a-1(a+3)的值； (3)化简求值：(3a+ab）÷-ab)°-(2+aj(2-a-a(a-5b),其中ab=-2 31.(25-26八年级上云南昭通月考)已知x+y=6,y=4,求下列各式的值： (1)x2+y2; (2(x-y2 32.(25-26八年级上江西南昌月考)已知x+y=7,xy=9,求下列各式的值. (1)x2-2xy+y2; 7/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②x2+y22. 33.(25-26八年级上·江苏南通期中)完全平方公式经过适当的变形，可以巧妙地解决不少数学问题.请按 照这样的思路解决下面两个问题： (1)已知a+b=5,ab=3,则a2+b2=; (2)若(9-x)(x-6)=1,求(9-x)2+(6-x)的值. 34.(25-26八年级上四川眉山期中)【阅读材料】若x满足(8-x)(x-3)=4,求(8-x+(x-3)的值， 解：设8-x=a,x-3=b.则(8-x)(x-3=ab=4,a+b=8-x+(x-3)=5. .(8-x)2+(x-3)2=a2+b2=(a+b)-2ab=52-2×4=17. 【类比探究】解决下列问题： (1)若x满足5-x)(x-3)=1,则(5-x)+(3-x)的值为-· (2)若(n-20222+(2025-n2=4,求(n-2022)(2025-n的值. 【拓展应用】 (3)已知正方形ABCD的边长为x,E、F分别是AD、DC上的点，且AE=1,CF=3,长方形EMFD的 面积是24，分别以MF,DF为边长作正方形MFRN和正方形GFDH,求阴影部分的面积 M N G H F D R 35.(25-26八年级上福建厦门期中)知识生成：在数学课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片， A纸片是边长为a的正方形，B纸片是边长为b的正方形，C纸片是长为b,宽为a的长方形，并用A纸片 一张，B纸片一张，C纸片两张拼成如图2所示的大正方形.由图2所示我们可以得到一个熟悉的数学公式： (a+b)2=a2+2ab+b2,经过适当的变形，可以解决很多数学问题. B C A 图1 图2 直接应用：(1)若a+b=8,a2+b2=34,直接写出ab的值为_ 类比应用：(2)若a满足(a-2023)(a-2025)=2,求(a-2023)2+(a-2025)2的值. 知识迁移：(3)如图3，在长方形ABCD中，AB=10,E,F是边BC,CD上的点，EC=6,且 BE=DF=x,分别以FC,CB为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CBMN,若长方形CBOF的面积 8/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 为45，求图中阴影部分的面积. G H C D P E B M 图3 9/9