第04讲 定义、命题、定理与平移（2知识点+10大题型+过关测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材人教版

第04讲 定义、命题、定理与平移 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：定义与命题 1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 要点诠释： （1）定义实际上就是一种规定. （2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题. 2.命题：判断一件事情的句子叫做命题. 真命题：正确的命题叫做真命题. 假命题：不正确的命题叫做假命题. 要点诠释： （1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论. （2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立. 知识点2：平移 1.定义与要素：在平面内，将一个图形整体沿某个方向移动一定的距离。平移由移动的方向和距离决定。 2.基本性质：平移前后图形的形状、大小完全相同（全等变换）。 对应点连线平行（或在同一直线上）且长度相等。 对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等。 【题型1 判断是否是定义】 例1．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）在下列句子中，是定义的是（   ） A．过一点画已知直线的垂线 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查定义的概念；定义是描述一个术语或概念的本质特征的陈述．选项D明确给出了直角三角形的定义，符合要求． 【详解】解：∵定义是明确概念含义的陈述，选项D中“有一个角是直角的三角形叫作直角三角形”符合定义的特征；   ∴选项D是定义． 其他选项A、C为操作指令，选项B为疑问句，均不是定义． 故选：D． 例2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列语句中，属于定义的是（    ） A．直角都相等 B．作已知角的平分线 C．点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度 D．两点之间线段最短 【答案】C 【分析】本题考查了定义与性质、公理的异同．解决本题需熟记课本中的定义．根据定义的属性进行判断即可． 【详解】解：A．直角都相等是直角的性质，不是定义，故A不符合题意； B．作已知角的平分线是作图语言，不是定义，故B不符合题意； C．点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度是定义，故C符合题意； D．两点之间线段最短是公理，不是定义，故D不符合题意． 故选C． 变式1．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列属于定义的是（   ） A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等 C．等角的补角相等 D．线段是直线上的两点和它们之间的部分 【答案】D 【分析】本题考查了定义的理解.根据定义的属性进行判断即可．定义是指对某个词语、概念或事物的本质特征进行准确、清晰的描述和解释，确保人们在交流或学术讨论中达成一致理解．掌握定义的属性是解题的关键． 【详解】解：A. 两点确定一条直线是确定直线的条件，不是定义，故错误； B. 两直线平行，同位角相等是平行线的性质，不是定义，故错误； C. 等角的补角相等是补角的性质，不是定义，故错误； D. 线段是直线上的两点和两点间的部分是线段的定义，正确． 故选：D． 变式2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列语句中，属于定义的是（   ） A．两点确定一条直线 B．同角的余角相等 C．组成三角形的三条线段叫三角形的边 D．对顶角相等 【答案】C 【分析】本题考查定义的概念，熟练掌握定义的概念是解题的关键． 定义是描述概念或术语含义的语句，据此逐项判断即可． 【详解】解：定义是给出术语含义的语句， 选项A是公理，选项B和D是定理，均需证明， 选项C直接定义“三角形的边”为组成三角形的三条线段，符合定义特征， 故选：C． 【题型2 判断是否是命题】 例3．（24-25七年级下·福建龙岩·期中）下列句子中，是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 【答案】A 【分析】本题考查了判断是否是命题，根据①命题是一个判断的语句，必须是一个完整的句子；②命题的核心是“判断”，是对事物的某些情况作出肯定或者否定的回答，据此分析各选项． 【详解】解：∵ A“对顶角相等”是一个判断的语句，作出了肯定回答，∴ A是命题； ∵ B“a，b两条直线平行吗”是问句，不是判断的语句，∴ B不是命题； ∵ C“画一个角等于已知角”和D“过一点画已知直线的垂线”是描述操作的句子，不是判断的语句，∴ C、D不是命题． 故选：A． 例4．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列四个选项中的说法不是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．过直线外一点作已知直线的平行线 C．如果，那么 D．三角形的外角大于任何一个内角 【答案】B 【分析】本题考查了命题：判断一件事情的语句，叫做命题，熟记命题的定义是解题的关键．根据命题的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、对顶角相等，是判断一件事情的语句，是命题，则此项不符合题意； B、过直线外一点作已知直线的平行线，不是判断一件事情的语句，不是命题，则此项符合题意； C、如果，那么，是判断一件事情的语句，是命题，则此项不符合题意； D、三角形的外角大于任何一个内角，是判断一件事情的语句，是命题，则此项不符合题意； 故选：B． 变式1．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）下列语句不是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．连结，并延长至点 C．两直线平行，内错角相等 D．等角的补角相等 【答案】B 【分析】此题考查了命题，命题是能判断真假的陈述句．B选项是描述作图过程的语句，不是陈述句，因此不是命题． 【详解】解：∵ 命题是能判断真假的陈述句； A、C、D均为几何真命题，是陈述句； B为作图指令，不是陈述句，无法判断真假； ∴ B不是命题． 故选：B 变式2．（25-26八年级上·全国·课前预习）下列语句中，属于定义的是 ，是命题的是 ．（请填写序号） ①三角形的内角和等于；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． 【答案】 ②⑥/⑥② ①②⑤⑥ 【分析】此题考查了定义及命题，根据三角形内角和定理、无理数的定义和对顶角性质、两点间的距离进行判断即可解决． 【详解】解：①三角形的内角和等于，是命题，不是定义； ②无限不循环小数称为无理数，是定义，也是命题； ③你的作业做完了吗？既不是定义也不是命题； ④天空真蓝啊！既不是定义也不是命题； ⑤对顶角不相等；不是定义，是命题； ⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离，是定义，也是命题； 属于定义的是②⑥；是命题的是①②⑤⑥； 故答案为：②⑥；①②⑤⑥． 【题型3真假命题判断】 例5．（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）命题“如果，那么”，该命题是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】本题考查了真假命题，根据平方的性质即可判断，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴该命题是真命题， 故答案为：真． 例6．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）命题“如果，则”是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识．举出反例判断该命题是假命题即可． 【详解】解：根据不等式的性质得：“如果，当时，则”， 故原命题为假命题， 故答案为：假． 变式1．（24-25八年级上·全国·课后作业）有下列命题：①有一边相等的两个等边三角形全等；②腰长相等且都有一个角是50°的两个等腰三角形全等；③各有两边长分别是5，4的两个等腰三角形全等；④判定三角形全等的条件中，至少要有一对边对应相等．其中，正确的命题是 （填序号）． 【答案】①④ 【分析】根据等边三角形、等腰三角形的性质以及三角形全等的判定定理，对每个命题逐一进行分析判断即可． 【详解】命题①：等边三角形的三条边都相等，若两个等边三角形有一边相等，那么它们的三条边都相等。根据可判定这两个三角形全等，所以①正确； 命题②：的角可能是顶角，也可能是底角。当一个等腰三角形的顶角是，另一个等腰三角形的底角是时，两个三角形的形状不同，不全等，所以②错误； 命题③：可能是腰长，也可能是底长。当一个等腰三角形的腰长为，底长为；另一个等腰三角形的腰长为，底长为5时，两个三角形的三边长度不同，不全等，所以③错误； 命题④：三角形全等的判定定理中，都至少有一对边对应相等，所以④正确． 故答案为：①④． 【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质以及三角形全等的判定定理，掌握以上知识是解题的关键． 变式2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列四个命题： ①一条直线有无数条平行线； ②经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行； ③坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的； ④实数a是实数的算术平方根． 其中假命题的序号为 ． 【答案】②④ 【分析】本题考查命题的真假，解题的关键是准确掌握平行线的相关性质，坐标平面的基本特征，算术平方根的定义．分别依据平行线的相关知识、坐标平面的性质、算术平方根的定义，对四个命题逐一判断真假． 【详解】解：①一条直线有无数条平行线，所以①是真命题． ②经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，所以②是假命题． ③坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的，这是坐标平面的基本性质，所以③是真命题． ④只有当时，实数a才是实数的算术平方根，若，比如，，此时4的算术平方根是，不是，所以④是假命题． 所以，假命题的序号为②④． 故答案为：②④． 【题型4 写出命题的题设与结论】 例7．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）将命题“对顶角相等”改为“如果…，那么…”的形式为： ． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【分析】本题考查命题的概念；将命题改为“如果…，那么…”的形式，需要先找出命题的条件和结论，“如果”后面接条件，“那么”后面接结论. 【详解】解：∵原命题“对顶角相等”中，条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”， ∴改写为“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”. 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等. 例8．（25-26八年级上·四川遂宁·期中）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ． 【答案】 两条直线都垂直于同一条直线 这两条直线平行 【分析】本题考查的是命题的含义，命题由题设和结论两部分组成，“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．本题中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”． 【详解】解：原命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”．因此，改写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 故答案为：“两条直线都垂直于同一条直线”， “这两条直线平行”． 变式1．（2025八年级上·河南郑州·专题练习）命题“如果，那么”的条件为 ． 【答案】 【分析】本题考查了命题的概念，解决本题的关键是熟练掌握命题的组成． 命题由条件和结论组成，“如果”后面是条件，“那么”后面是结论，由此可求解． 【详解】解：命题“如果，那么”中，“如果”后面的部分“”是条件． 故答案为：． 变式2．（2025八年级上·全国·专题练习）命题“两直线平行，同位角相等”的条件是 ，结论是同位角相等． 【答案】两直线平行 【分析】本题考查命题的定义．将命题改为““如果……那么……”的形式即可判断． 【详解】解：命题“两直线平行，同位角相等”可改为“如果两条直线平行，那么同位角相等”，因此该命题的条件是两直线平行． 故答案为：两直线平行． 【题型5 生活中的平移现象】 例9．下列运动属于平移的是（    ） A．飞机在地面上沿直线滑行 B．在游乐场里荡秋千 C．推开教室的门 D．风筝在空中随风飘动 【答案】A 【知识点】生活中的平移现象 【分析】本题考查了生活中的平移现象，在平面内，把一个图形整体沿某一直线的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移． 根据平移的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、飞机在地面上沿直线滑行，属于平移变换，符合题意； B、在游乐场里荡秋千，属于旋转变换，不符合题意； C、推开教室的门，属于旋转变换，不符合题意； D、风筝在空中随风飘动，不属于平移，不符合题意； 故选：A． 例10．下列运动属于平移的是（   ） A．抽屉的拉开 B．荡秋千的人的运动 C．篮球被运动员投出并进入篮筐的运动 D．乒乓球被运动员高抛发出后球的运动 【答案】A 【知识点】生活中的平移现象 【分析】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的大小，根据平移的定义，逐一判断，排除错误答案 【详解】解：A、抽屉的拉开，是平移，故选项A符合题意； B、荡秋千的人的运动路线是曲线，不是平移； C和D中篮球和乒乓球运动路线是曲线，不是平移， 故选：A． 变式1．下列运动属于平移的是（    ） A．空中放飞的风筝 B．乒乓球比赛中的高抛发球后，乒乓球的运动方式 C．篮球被运动员投出并进入篮筐的过程 D．茅台机场的飞机降落时在笔直的跑道上滑行 【答案】D 【知识点】生活中的平移现象 【分析】本题考查生活中的平移，根据平移的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、空中放飞的风筝不是平移，不符合题意； B、乒乓球比赛中的高抛发球后，乒乓球的运动方式不是平移，不符合题意； C、篮球被运动员投出并进入篮筐的过程不是平移，不符合题意； D、茅台机场的飞机降落时在笔直的跑道上滑行属于平移，符合题意； 故选D． 变式2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列现象中属于平移的是（   ） A．升降电梯从一楼升到五楼 B．卫星绕地球运动 C．树叶从树上随风飘落 D．纸张沿着它的中线对折 【答案】A 【分析】本题考查了平移的定义，理解平移的定义：物体在运动过程中，所有点移动相同距离和方向，形状和大小不变是解题的关键． 根据平移的定义，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：∵平移的定义是物体在运动过程中，所有点移动相同距离和方向，形状和大小不变. 选项A：升降电梯从一楼升到五楼，是沿直线移动，电梯本身形状不变，符合平移； 选项B：卫星绕地球运动，是圆周运动，方向不断变化，不符合平移； 选项C：树叶从树上随风飘落，运动轨迹不规则，且常有旋转，不符合平移； 选项D：纸张沿着中线对折，是对称折叠，形状改变，不符合平移. ∴属于平移的是A， 故选：A． 【题型6 图形的平移】 例11．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）2025年第九届亚洲冬季运动会会徽“超越”，巧妙融合短道速滑运动员、哈尔滨市花丁香花、舞动的飘带造型进行同构设计，将中国文化与奥林匹克元素结合，传递新时代中国加快体育强国建设，不懈努力向更高、更快、更强的目标发起挑战，为亚洲冰雪运动作出新贡献的美好追求，下列选项中能通过下图平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图形的平移 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质判断即可，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由平移性质可知，选项符合题意，选项不符合题意， 故选：C． 例12．（24-25八年级下·全国·期末）如图是运动员冰面上表演的图案，下列四个选项中，能由原图通过平移得到的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】生活中的平移现象、利用平移的性质求解 【分析】本题考查学生对平移和旋转的认识，知道平移和旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小．平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动．旋转是物体运动时，每一个点离同一个点（可以在物体外）的距离不变的运动，称为绕这个点的转动，这个点称为物体的转动中心．所以，它并不一定是绕某个轴的．然后根据平移与旋转定义判断即可． 【详解】解：列四个图案中，可以通过右图平移得到的是：    故选：C． 变式1．（24-25八年级上·山东滨州·期中）2024年夏季奥运会在法国巴黎举行，此次奥运会的会标如图所示，平移会标可以得到的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图形的平移 【分析】本题考查的是生活中的平移现象，熟知在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换是解题的关键．根据图形平移的性质解答即可． 【详解】解：由图形可知，选项C与原图形完全相同． 故选：C． 变式2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）我校近几年在体育项目上不断取得佳绩，足球队标志如左图所示，以下选项中能通过左图平移得到的标志是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】图形的平移 【分析】此题考查了平移，关键是熟练掌握平移的性质；根据平移只是改变图形的位置，大小和形状不会发生变化，利用平移的性质对图形进行分析判断，从而可得结论． 【详解】解：A，B，C都不能由“基本图案”经过平移得到，D能由“基本图案”经过平移得到； 故选：D． 【题型7 利用平移的性质求解】 例13．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，把向右平移得到，下列说法错误的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质“平移后不改变图形的形状和大小，也不改变图形的方向（角度）”即可进行判断． 【详解】解：把向右平移得到， ∴，，， ∴A，B，C选项正确，D选项错误 故选：D． 例14．如图，是由平移得到的，则点、、的对应点分别是 ，如果，，，那么 ， ， ． 【答案】 、、 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查平移，根据平移的性质“平移前后对应边相等、对应角相等”解答． 【详解】解：是由平移得到的， 点、、的对应点分别是、、， ，，，， ，， 故答案为：、、，，，． 变式1．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】22 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查平移的性质，根据平移的性质可得，，，推出阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：由平移的性质得，，，， 为和的公共部分， 阴影部分的面积， ，， ， ， 阴影部分的面积为22． 故答案为：22． 变式2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在直角三角形中，，将沿直线向右平移得到，连接，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有 （填序号）． 【答案】①③⑤ 【知识点】利用平移的性质求解、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线性质，以及平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．根据图形平移的性质以及平行线的性质对各小题进行解答即可． 【详解】解：由平移的性质可知，，，， 故①、⑤正确； 根据题意得不到， 故②错误； ， ∴， ∵， ∴， ， 故③正确； ∵不一定等于， 故证明不出， 则不一定等于， 故④错误； 综上所述，正确的有①③⑤； 故答案为：①③⑤． 【题型8 平移作图】 例15．如图，在网格上，平移，并将的一个顶点A平移到点D处，其中点E和点B对应，点F与点C对应． (1)请你作出平移后的图形； (2)线段与的关系是：______ 【答案】(1)见解析； (2)平行且相等 【知识点】平移(作图)、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离． （1）利用点A与点D的位置确定平移的方向与距离，利用此平移规律画出B、C点的对应点E、F即可； （2）根据平移的性质进行判断． 【详解】（1）解：如图，△DEF为所作； ； （2）解：线段与的关系是平行且相等． 故答案为：平行且相等． 例16．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在网格中的位置如图所示，网格中每个小方格的边长为1个单位长度，请根据下列提示作图 (1)将向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度得到， 画出． (2)点A到的距离为 个单位长度． 【答案】(1)图见详解 (2)2 【知识点】点到直线的距离、平移(作图) 【分析】本题主要考查了平移作图以及点到直线的距离． （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据平移的性质结合网格即可得出答案． 【详解】（1）解：即为所求： （2）解：点A到的距离为2个单位长度， 故答案为：2． 变式1．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，将平移得到，连接，． (1)根据题意，补全图形； (2)图中和的数量关系是 ； (3)在上画出一点P，使得． 【答案】(1)见解析 (2)互补 (3)见解析 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、平移(作图)、利用平移的性质求解 【分析】本题考查图形的平移，平行线的性质，平移作图．熟练掌握平移的性质，是解题的关键． （1）根据的位置，确定平移规则，画出，再连接，即可； （2）根据平移的性质，作答即可； （3）根据格点特点，过点作，交于点P，则点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，，，即为所求； （2）解：根据平移可知：， ∴， 即和互补． （3）解：如图，根据网格特点，过点作，交于点P，则点P即为所求． ∵， ∴， 根据平移可知：， ∴． 变式2．如图，在边长为1的小正方形的网格纸中，三角形ABC的三个顶点如图所示，现将三角形平移，使点A平移至点． (1)在网格图中画出平移后的三角形；（点分别是的对应点）， (2)连接，则这两条线段的位置关系是 ，数量关系是 ．（保留画图的痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析，， 【知识点】平移(作图)、利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查了平移作图，平移的性质： （1）根据点A和点的位置可知平移方式为向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，据此平移方式确定的位置，描出，再顺次连接即可； （2）先根据题意连线，再由平移的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：作图如下所示： 由平移的性质可得， 故答案为：，． 【题型9 利用平移解决实际问题】 例17．如图，将边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，此时阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质可得到阴影部分的面积是一个长为，宽为的长方形面积，据此根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵将边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形， ∴阴影部分的面积是一个长为，宽为的长方形面积， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 例18．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，有一块长为a米宽为3米的长方形地，中间阴影部分是一条小路，空白部分为草地，小路的左边线向右平移1米能得到它的右边线，若草场的面积为m2，则 ． 【答案】 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、利用平移解决实际问题 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据小路的左边线向右平移1米能得到它的右边线，可得路的宽度是1米，根据平移，可把路移到左边，再根据长方形的面积公式，可得答案． 【详解】解：依题意有， 解得． 故答案为：． 变式1．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）如图是某公园里一处风景欣赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏风景，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为 米． 【答案】 【知识点】利用平移解决实际问题 【分析】本题考查生活中的平移现象，掌握平移的性质是正确解答的关键．根据平移的性质得出所走路程为即可解题． 【详解】 解：由平移的性质可知，从出口A到出口B所走的路线图中虚线长为：（米）， 故答案为：． 变式2．探究证明图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为 在图①中，将线段向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分） 在图②中，将折线向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分）．请你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： ， ． 结论应用在图③中，请你类似的画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影，则阴影部分的面积 ． 联系拓展如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并证明你的猜想是正确的． 【答案】探究证明， 结论应用 联系拓展，理由见解析 【知识点】利用平移的性质求解、利用平移解决实际问题 【分析】本题主要考查了平移的性质． 探究证明阴影部分的平行四边形的底是1，高是，即可得阴影面积，进而可答案； 结论应用可看成两个平行四边形，它们的底都是1，而两个平行四边形高的和为，故可得阴影面积，即得答案； 联系拓展考虑图形的拆分和拼凑，可利用平移把空白部分凑成长为，宽是的长方形，进而得到草地的面积． 【详解】解：探究证明平行四边形的面积底高， ，， 故答案为：，； 结论应用画图如下： ； 故答案为：； 联系拓展空白部分表示的草地面积是：，理由如下： 1、将“小路”沿着左右两个边界“剪去”； 2、将左侧的草地向右平移一个单位； 3、得到一个新的长方形． 在新得到的长方形中，其纵向宽仍然是．其水平方向的长变成了，所以草地的面积就是：． 【题型10 平移与平行线综合问题】 例19．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，沿方向平移到的位置． (1)若，求的度数； (2)若，求平移的距离． 【答案】(1) (2)3 【知识点】三角形内角和定理的应用、利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查图形的平移、三角形内角和定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． （1）根据平移的性质，得到，再根据三角形内角和定理即可求解； （2）由平移的性质得出，进而可证，即可求解． 【详解】（1）解：由平移可知， ∴， ∴． （2）由平移可知， ∴， ∴， ∴， ∴平移的距离为3． 例20．如图，在一次课本剧的展演中，两个三角形道具重合在一起，小王把其中一个沿三角形的边所在的直线向右移动，使之平移到三角形的位置． (1)若，，求的长． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，解题关键是掌握平移的性质及平行线的性质． （1）由平移的性质可知，，再根据即可得出答案； （2）由平移的性质得，，，再根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”，“两直线平行，内错角”，即可得． 【详解】（1）解：由平移的性质可知，， ， ． （2）解：沿射线方向平移，得到， ，， ，， ， ． 变式1．在直角中，，，，将沿直线向右平移得到，若，．    (1)求向右平移的距离． (2)求四边形的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】图形的平移、利用平移的性质求解 【分析】本题考查四边形综合，涉及平移性质及求四边形周长等知识，熟记平移性质，数形结合是解决问题的关键． （1）由平移性质得到，数形结合，进而列式求解即可得到向右平移的距离是； （2）由平移性质得到，，利用四边形的周长为，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：将沿直线向右平移得到， ，则， ，， ，即，解得， 向右平移的距离是； （2）解：将沿直线向右平移得到， ，， ，， 四边形的周长为． 变式2．如图，已知，点E在直线之间，连接． 【感知】如图1，若，则 ； 【探究】如图2，猜想和之间的数量关系，并说明理由： 【应用】如图3，若平分，将线段沿方向平移至，若，平分，求的度数． 【答案】感知：；探究：，理由见解析；应用： 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度、利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质与判定，角平分线的定义： 感知：过点E作，由平行线的性质得出，证出，由平行线的性质得出，据此可得，再代值计算即可； 探究：仿照感知方法求解即可； 应用：由平移的性质得到，再由角平分线的定义得到，，根据探究的结论证明 证明，再根据，可得结论． 【详解】解：感知：如图所示，过点E作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； 探究：，理由如下： 如图所示，过点E作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 应用：由平移的性质可得， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）“等角的余角相等”是（   ） A．定义 B．不确定 C．定理 D．假命题 【答案】C 【分析】本题考查几何命题的分类、余角的定义，根据余角的定义进行判断即可． 【详解】解：设，则的余角为：，的余角为， ∵， ∴， 即等角的余角相等， ∴“等角的余角相等”是一个真命题，且是经过证明的，故为定理， 故选：C． 2．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）下列车标，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的定义：将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．根据平移的定义判断即可． 【详解】解：A．不能沿某一直线方向移动得到，不符合题意； B．不能沿某一直线方向移动得到，不符合题意； C．可由圆环沿水平直线方向移动得到，符合题意； D．不能沿某一直线方向移动得到，不符合题意； 故选：C． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）下列现象：温度计中，液柱的变化；电梯上下运动；钟摆的摆动；小方块在水平地面滑动，属于平移的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了平移的定义与性质，熟记平移不改变图形形状与大小是解决问题的关键．根据平移的定义与性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：温度计中，液柱的变化：液柱热胀冷缩，长度改变，点之间的相对位置变化，不是平移； 电梯上下运动：电梯整体移动，所有点移动相同距离，是平移； 钟摆的摆动：钟摆沿弧线运动，有旋转，不是平移； 小方块在水平地面滑动：小方块整体滑动，所有点移动相同距离（假设无旋转），是平移． 属于平移的是和， 故选：D． 4．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）下列四个命题，其中真命题的个数是（   ） ①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③平行于同一条直线的两条直线平行；④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查命题的真假判断，涉及平行线的性质、垂线的性质以及点到直线的距离的概念． 逐一判断每个命题的真假． 【详解】解：①两条直线被第三条直线所截，内错角相等的前提是两直线平行，否则不一定成立，故①是假命题； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②是假命题； ③平行于同一条直线的两条直线平行，这是平行公理的推论，故③是真命题； ④点到直线的距离是垂线段的长度，而不是垂线段本身，故④是假命题； ∴真命题只有③，共1个． 故选：A． 5．（25-26七年级上·上海普陀·期中）如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移，得到三角形，且与相交于点G，连接．下列结论：①；②阴影部分的周长为；③如果，那么三角形的周长比四边形的周长少；④如果三角形的面积比三角形的面积小，那么；其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，平移的性质，由平移性质可得，，可判断①；推出阴影部分的周长为三角形的周长可判断②；计算四边形的周长为，的周长为，作差可判断③；过A点作于H，利用面积法求出，根据列方程可解得，从而可判断④． 【详解】解：由平移性质可得，，故①不正确； 阴影部分的周长为，故②正确； 时，四边形的周长为， 的周长为：， 四边形的周长比三角形的周长多，故③不正确； 过A点作于H，如图， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 解得，故④正确， 故选：B． 二、填空题 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果……，那么……”的形式为 ． 【答案】如果三个角是三角形的内角，那么它们的和等于 【分析】将原命题分解为题设和结论，题设是“三个角是三角形的内角”，结论是“它们的和等于”，然后套用“如果……那么……”的形式. 【详解】解：命题“三角形的内角和等于”中，“三角形的内角”是题设，“和等于”是结论，因此改写成“如果三个角是三角形的内角，那么它们的和等于”. 故答案为：如果三个角是三角形的内角，那么它们的和等于． 7．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，沿方向平移到 的位置，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，直接利用平移的性质即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：∵沿方向平移到的位置， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·吉林四平·期末）如图，在中，，将沿射线平移后得到，若，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质． 根据平移的性质得到，，进而计算即可． 【详解】解：∵在中，，将沿射线平移后得到， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，将直角三角形沿射线的方向平移到三角形的位置，若，，则点与点的距离为 ． 【答案】5 【分析】本题考查的是平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等是解题的关键． 先根据平移的性质得出，再由，，即可由求解． 【详解】解：连接， 直角三角形沿边的方向平移到的位置， ， ∴， ，， ∴， 即点与点的距离为5． 故答案为：5． 10．（25-26七年级上·广西崇左·月考）某小区准备开发一块长方形空地．如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路．小路的左边线向右平移就是它的右边线． ①若长方形的长为，宽为，则这条小路的面积为 ； ②若原长方形的长为，宽为，草坪面积为 ，当，时，草坪面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移性质的应用，列代数式，代数式求值，理解题意，草坪拼合后的长方形长减小，宽不变，是解题的关键． ①草坪拼合后的长方形长减小，宽不变，计算面积即可； ②同①计算面积，再将，代入代数式计算即可． 【详解】①解：∵小路的左边线向右平移就是它的右边线， ∴草坪拼合后的长方形长减小，宽不变， ∴草坪的面积， ②解：∵小路的左边线向右平移就是它的右边线， ∴草坪拼合后的长方形长减小，宽不变， ∴草坪的面积； 当，时，． 故答案为：，，． 三、解答题 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）指出下列命题中的条件和结论： (1)如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角． (2)绝对值等于5的数一定是5． (3)两个钝角相等． (4)如果，,那么． 【答案】(1)条件：两个角的和等于；结论：这两个角互为补角． (2)条件：绝对值等于5；结论：这个数是5． (3)条件：两个角都是钝角；结论：这两个角相等． (4)条件：且；结论：． 【分析】本题考查命题的条件和结论，掌握知识点是解题的关键根据命题的定义即可解答， （1）将“如果”后的语句定为条件，“那么”后的语句定为结论． （2）把命题表述转化为“如果（数的绝对值等于5），那么（这个数是5）”的形式，前半为条件，后半为结论． （3）将命题转化为“如果（两个角是钝角），那么（这两个角相等）”的形式，拆分出条件与结论． （4）“如果”后并列的语句为条件，“那么”后语句为结论． 【详解】（1）解：条件：两个角的和等于；结论：这两个角互为补角． （2）解：条件：绝对值等于5；结论：这个数是5． （3）解：条件：两个角都是钝角；结论：这两个角相等． （4）解：条件：且；结论：． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，将三角形沿直线l向右平移得到三角形． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移后对应线段平行、平移距离对应线段的长度是解题的关键． （1）利用平移的性质得到对应线段平行，结合已知角的度数，通过邻补角的关系计算的度数； （2）根据平移距离确定对应线段的长度，结合的长度，通过线段和计算的长． 【详解】（1）解：由平移的性质知，， ∴， ∴． （2）解：由平移的性质知，． ∵， ∴． 13．（24-25七年级下·吉林白城·月考）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长都为，将按照某方向经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点． (1)画出平移以后的； (2)连接，，则这两条线段的关系是______； (3)求线段在平移过程中扫过区域的面积？ 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 (3)20 【分析】本题考查作图-平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据平移的性质可得答案． （3）求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：由平移得，这两条线段的关系是平行且相等． 故答案为：平行且相等． （3）解：线段在平移过程中扫过区域的面积为． 14．（24-25七年级下·河北·期末）如图，将三角形沿射线方向平移到三角形的位置，连接． (1)与的位置关系为 ． (2)试探索：和之间的数量关系，并说明理由． (3)设，，试探索与x，y之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查的是平移变换，熟知图形平移不变的性质是解答此题的关键． （1）根据平移的性质和平行线的性质解答即可； （2）根据平行线的性质和平移的性质解答即可． （3）根据平行线的性质和平移的性质解答即可． 【详解】（1）解:由平移的性质可得， 故答案为； （2），理由如下： 根据平移的性质可知，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3），理由如下： 如图，过点A作，交于点D， 根据平移性质可知， ∴， ∴，， ∴ 即． 15．（24-25七年级下·广东中山·月考）如图，在三角形中，，，．将三角形沿向右平移，得到三角形，与交于点，连接． (1)分别求和的度数； (2)若，，求图中阴影部分的面积； (3)已知点P在三角形的内部，三角形平移到三角形后，点P的对应点为，连接．若三角形的周长为m，四边形的周长为，请直接写出的长度． 【答案】(1) (2)10 (3)1 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）由平移的性质可得，，，，由两直线平行同位角相等可得的度数，由两直线平行内错角相等可得，然后根据即可得出的度数； （2）由平移的性质可得，结合可得，再利用三角形的面积公式即可求出图中阴影部分的面积； （3）由平移的性质可得：，，依题意得，，即，进而可得，即，据此即可求出的长度． 【详解】（1）解：由平移的性质可得：，，，， ， ， ， ； （2）解：由平移的性质可得：， ∵， ， 又， ； （3）解：由平移的性质可得：，， 的周长为， ， 又四边形的周长为， ， 即：， ， ， ， ， 即：的长度为1． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 定义、命题、定理与平移 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：定义与命题 1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 要点诠释： （1）定义实际上就是一种规定. （2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题. 2.命题：判断一件事情的句子叫做命题. 真命题：正确的命题叫做真命题. 假命题：不正确的命题叫做假命题. 要点诠释： （1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论. （2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立. 知识点2：平移 1.定义与要素：在平面内，将一个图形整体沿某个方向移动一定的距离。平移由移动的方向和距离决定。 2.基本性质：平移前后图形的形状、大小完全相同（全等变换）。 对应点连线平行（或在同一直线上）且长度相等。 对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等。 【题型1 判断是否是定义】 例1．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）在下列句子中，是定义的是（   ） A．过一点画已知直线的垂线 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 例2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列语句中，属于定义的是（    ） A．直角都相等 B．作已知角的平分线 C．点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度 D．两点之间线段最短 变式1．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列属于定义的是（   ） A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等 C．等角的补角相等 D．线段是直线上的两点和它们之间的部分 变式2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列语句中，属于定义的是（   ） A．两点确定一条直线 B．同角的余角相等 C．组成三角形的三条线段叫三角形的边 D．对顶角相等 【题型2 判断是否是命题】 例3．（24-25七年级下·福建龙岩·期中）下列句子中，是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 例4．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列四个选项中的说法不是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．过直线外一点作已知直线的平行线 C．如果，那么 D．三角形的外角大于任何一个内角 变式1．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）下列语句不是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．连结，并延长至点 C．两直线平行，内错角相等 D．等角的补角相等 变式2．（25-26八年级上·全国·课前预习）下列语句中，属于定义的是 ，是命题的是 ．（请填写序号） ①三角形的内角和等于；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． 【题型3 真假命题判断】 例5．（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）命题“如果，那么”，该命题是 命题．（填“真”或“假”） 例6．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）命题“如果，则”是 命题．（填“真”或“假”） 变式1．（24-25八年级上·全国·课后作业）有下列命题：①有一边相等的两个等边三角形全等；②腰长相等且都有一个角是50°的两个等腰三角形全等；③各有两边长分别是5，4的两个等腰三角形全等；④判定三角形全等的条件中，至少要有一对边对应相等．其中，正确的命题是 （填序号）． 变式2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列四个命题： ①一条直线有无数条平行线； ②经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行； ③坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的； ④实数a是实数的算术平方根． 其中假命题的序号为 ． 【题型4 写出命题的题设与结论】 例7．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）将命题“对顶角相等”改为“如果…，那么…”的形式为： ． 例8．（25-26八年级上·四川遂宁·期中）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ． 变式1．（2025八年级上·河南郑州·专题练习）命题“如果，那么”的条件为 ． 变式2．（2025八年级上·全国·专题练习）命题“两直线平行，同位角相等”的条件是 ，结论是同位角相等． 【题型5 生活中的平移现象】 例9．下列运动属于平移的是（    ） A．飞机在地面上沿直线滑行 B．在游乐场里荡秋千 C．推开教室的门 D．风筝在空中随风飘动 例10．下列运动属于平移的是（   ） A．抽屉的拉开 B．荡秋千的人的运动 C．篮球被运动员投出并进入篮筐的运动 D．乒乓球被运动员高抛发出后球的运动 变式1．下列运动属于平移的是（    ） A．空中放飞的风筝 B．乒乓球比赛中的高抛发球后，乒乓球的运动方式 C．篮球被运动员投出并进入篮筐的过程 D．茅台机场的飞机降落时在笔直的跑道上滑行 变式2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列现象中属于平移的是（   ） A．升降电梯从一楼升到五楼 B．卫星绕地球运动 C．树叶从树上随风飘落 D．纸张沿着它的中线对折 【题型6 图形的平移】 例11．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）2025年第九届亚洲冬季运动会会徽“超越”，巧妙融合短道速滑运动员、哈尔滨市花丁香花、舞动的飘带造型进行同构设计，将中国文化与奥林匹克元素结合，传递新时代中国加快体育强国建设，不懈努力向更高、更快、更强的目标发起挑战，为亚洲冰雪运动作出新贡献的美好追求，下列选项中能通过下图平移得到的是（   ） A． B． C． D． 例12．（24-25八年级下·全国·期末）如图是运动员冰面上表演的图案，下列四个选项中，能由原图通过平移得到的是（  ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级上·山东滨州·期中）2024年夏季奥运会在法国巴黎举行，此次奥运会的会标如图所示，平移会标可以得到的图形是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）我校近几年在体育项目上不断取得佳绩，足球队标志如左图所示，以下选项中能通过左图平移得到的标志是（   ） A． B． C． D． 【题型7 利用平移的性质求解】 例13．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，把向右平移得到，下列说法错误的是（   ）    A． B． C． D． 例14．如图，是由平移得到的，则点、、的对应点分别是 ，如果，，，那么 ， ， ． 变式1．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，，则图中阴影部分的面积为 ． 变式2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在直角三角形中，，将沿直线向右平移得到，连接，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有 （填序号）． 【题型8 平移作图】 例15．如图，在网格上，平移，并将的一个顶点A平移到点D处，其中点E和点B对应，点F与点C对应． (1)请你作出平移后的图形； (2)线段与的关系是：______ 例16．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在网格中的位置如图所示，网格中每个小方格的边长为1个单位长度，请根据下列提示作图 (1)将向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度得到， 画出． (2)点A到的距离为 个单位长度． 变式1．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，将平移得到，连接，． (1)根据题意，补全图形； (2)图中和的数量关系是 ； (3)在上画出一点P，使得． 变式2．如图，在边长为1的小正方形的网格纸中，三角形ABC的三个顶点如图所示，现将三角形平移，使点A平移至点． (1)在网格图中画出平移后的三角形；（点分别是的对应点）， (2)连接，则这两条线段的位置关系是 ，数量关系是 ．（保留画图的痕迹） 【题型9 利用平移解决实际问题】 例17．如图，将边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，此时阴影部分的面积为 ． 例18．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，有一块长为a米宽为3米的长方形地，中间阴影部分是一条小路，空白部分为草地，小路的左边线向右平移1米能得到它的右边线，若草场的面积为m2，则 ． 变式1．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）如图是某公园里一处风景欣赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏风景，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为 米． 变式2．探究证明图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为 在图①中，将线段向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分） 在图②中，将折线向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分）．请你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： ， ． 结论应用在图③中，请你类似的画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影，则阴影部分的面积 ． 联系拓展如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并证明你的猜想是正确的． 【题型10 平移与平行线综合问题】 例19．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，沿方向平移到的位置． (1)若，求的度数； (2)若，求平移的距离． 例20．如图，在一次课本剧的展演中，两个三角形道具重合在一起，小王把其中一个沿三角形的边所在的直线向右移动，使之平移到三角形的位置． (1)若，，求的长． (2)若，求的度数． 变式1．在直角中，，，，将沿直线向右平移得到，若，．    (1)求向右平移的距离． (2)求四边形的周长． 变式2．如图，已知，点E在直线之间，连接． 【感知】如图1，若，则 ； 【探究】如图2，猜想和之间的数量关系，并说明理由： 【应用】如图3，若平分，将线段沿方向平移至，若，平分，求的度数． 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）“等角的余角相等”是（   ） A．定义 B．不确定 C．定理 D．假命题 2．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）下列车标，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）下列现象：温度计中，液柱的变化；电梯上下运动；钟摆的摆动；小方块在水平地面滑动，属于平移的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）下列四个命题，其中真命题的个数是（   ） ①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③平行于同一条直线的两条直线平行；④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（25-26七年级上·上海普陀·期中）如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移，得到三角形，且与相交于点G，连接．下列结论：①；②阴影部分的周长为；③如果，那么三角形的周长比四边形的周长少；④如果三角形的面积比三角形的面积小，那么；其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果……，那么……”的形式为 ． 7．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，沿方向平移到 的位置，若，则 ． 8．（24-25七年级下·吉林四平·期末）如图，在中，，将沿射线平移后得到，若，则的长度为 ． 9．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，将直角三角形沿射线的方向平移到三角形的位置，若，，则点与点的距离为 ． 10．（25-26七年级上·广西崇左·月考）某小区准备开发一块长方形空地．如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路．小路的左边线向右平移就是它的右边线． ①若长方形的长为，宽为，则这条小路的面积为 ； ②若原长方形的长为，宽为，草坪面积为 ，当，时，草坪面积为 ． 三、解答题 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）指出下列命题中的条件和结论： (1)如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角． (2)绝对值等于5的数一定是5． (3)两个钝角相等． (4)如果，,那么． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，将三角形沿直线l向右平移得到三角形． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 13．（24-25七年级下·吉林白城·月考）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长都为，将按照某方向经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点． (1)画出平移以后的； (2)连接，，则这两条线段的关系是______； (3)求线段在平移过程中扫过区域的面积？ 14．（24-25七年级下·河北·期末）如图，将三角形沿射线方向平移到三角形的位置，连接． (1)与的位置关系为 ． (2)试探索：和之间的数量关系，并说明理由． (3)设，，试探索与x，y之间的数量关系，并说明理由． 15．（24-25七年级下·广东中山·月考）如图，在三角形中，，，．将三角形沿向右平移，得到三角形，与交于点，连接． (1)分别求和的度数； (2)若，，求图中阴影部分的面积； (3)已知点P在三角形的内部，三角形平移到三角形后，点P的对应点为，连接．若三角形的周长为m，四边形的周长为，请直接写出的长度． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $