第01讲 相交线（3知识点+9大题型+过关测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材人教版

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第01讲相交线 风内容导航 一一预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 01 析教材学知识 ☑知识点1：邻补角与对顶角 1.邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线（两个角互补）。 2.对顶角：有一个公共顶点，两边互为反向延长线（两个角相等）。 ☑知识点2：垂线与点到直线的距离 1.垂线性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 2.垂线段最短：连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短。 3.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 ☑知识点3：同位角、内错角、同旁内角的概念 填空：(I)如图，∠1和∠5，分别在直线AB,CD的上方（同一方），在直线EF的右侧（同侧），具有这种位 置关系的一对角是同位角. (2)如图，∠3和∠5，在直线AB,CD之回，在直线EF的两侧具有这种位置关系的一对角叫做内错角， (3)如图，∠3和∠6，在直线AB,CD之间，在直线EF的同侧.具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角 【总结】(1)同位角：在被截直线的同一方向，截线的同侧的一对角. (2)内错角：在被截直线的内侧，截线的两侧的一对角： (3)同旁内角：在被截直线的内侧，截线的同侧的一对角. 02练题型强知识 1/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【题型1对顶角、领补角的定义】 例1.(2025七年级上吉林长春.专题练习)下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是() A.∠2 B 例2.(25-26八年级上·广西南宁.开学考试)下面各图中∠1和∠2是对顶角的是() Ay至B c. 变式1.(24-25七年级下河北秦皇岛·期中)如图，下列判断正确的是() ① ② ③ ④ A.图①中∠1和∠2是一组对顶角 B.图②中∠1和∠2是一组对顶角 C.图③中∠1和∠2是一对邻补角 D.图④中∠1和∠2互为邻补角 变式2.(24-25七年级下·全国·课后作业)下列图形中，∠1与∠2是邻补角的是() 2 D 【题型2对顶角相等】 例3.(25-26七年级上·全国.单元测试)如图，直线α、b相交于点O,∠1=50°，∠2=度. 例4.(25-26七年级上江苏南京·月考)如图，直线a,b相交于点0，将量角器的中心与点0重合，发现 2/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 表示60°的点在直线a上，表示135°的点在直线b上，则∠1= 60 90 120 309 150 10 180 变式1.(25-26八年级上新疆吐鲁番·期中)如图，若加油站E到公路AB的距离是80m,到公路CD的距 离也是80m,且∠A0E=24°，则∠B0C的度数为 C A ·E(加油站) B D 变式2.(24-25七年级上·全国期末)如图，直线AB,CD相交于点0，OA平分∠E0C,若 LEOC:∠EOB=2:5,求∠BOD的度数是 D -B 【题型3对顶角、领补角性质的综合】 例5.(2025七年级上全国专题练习)如图，直线AB经过点O,OA平分∠C0D,OB平分∠M0N,若 ∠A0N=150°，LC0D=120°. D (1)求∠MOW的度数： (2)求∠C0M的度数， 例6.(25-26七年级上江苏南京·月考)如图，直线AB、CD相交于点0.OE平分∠BOD,∠A0C=70°. D (1)LE0B的度数为 3/14 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若∠E0F=90°，则0F是否平分∠C0B？并说明理由. 变式1.(25-26七年级上·河南南阳月考)如图，直线AB,CD相交于点0，OB平分LE0D. C E B D (1)若LE0D=64°，求∠BOD的度数 (2)若∠EOC:∠EOD=3:2,求∠E0B的度数 变式2.(25-26七年级上全国·期末)如图，O是直线AB上一点，0D平分∠A0C，∠D0E=90°. A 0 (1)若∠A0C=60°，求∠B0C和LB0E的度数。 (2)试猜想OE是否平分∠BOC,并说明理由. 【题型4垂线的定义的理解】 例7.如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且PB⊥a,垂足为点B,PA⊥PC,则下列 正确的语句是() p A B A.线段PC的长是点P到直线a的距离B.PA、PB、PC三条线段中，PB最短 C.线段AC的长是点A到直线PC的距离D.线段AC的长是点C到直线PA的距离 例8.P为直线1上的一点，Q为1外一点，下列说法不正确的是() A,过P可画直线垂直于I B.过Q可画直线I的垂线 C.连结PQ使PQ⊥1 D.过Q只能画1条直线与I垂直 变式1.如图，己知ON⊥a,OM⊥a,所以OM与ON在同一条直线上的理由是() IM N .0 A.两点确定一条直线 4/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B.经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 C.过一点只能作一条垂线 D.垂线段最短 变式2.如图，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D,则下面说法中不正确的是() D A.点B到AC的垂线段是线段CA B.CD与AB互相垂直 C.AC与BC互相垂直 D.线段AC的长度是点A到BC的距离 【题型5垂线段最短】 例9.(24-25七年级下·全国周测)如图，轩轩同学家在点P处，他想尽快赶到公路边接来家里做客的小伙 伴，他选择沿线段PC去公路边.他的这一选择运用到的数学知识是 B 路 例10.(2025七年级上江苏南京专题练习)如图，从书店到公路最近的是号路线，理由是」 书店 ② ③ 公路 变式1.(25-26七年级上·全国·课后作业)如图，要在河岸1上建一个水泵房引水到A处.可过点A作 AB⊥1于点B,则将水泵房建在B处最节省水管长度，其数学道理是 B ·A 变式2.(25-26七年级上·全国·单元测试)如图运动会上，甲、乙两名同学测得黎明的跳远成绩分别为 DA=4.56米，DB=4.15米，AC=4.70米，则黎明的跳远成绩应该为米. 5/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A 【题型6画垂线】 例11.(24-25七年级上·河南洛阳期末)在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时， 有部分同学画出了下列四种图形，其中画法正确的是() B E B A ① ② ⊙ ④ A.图① B.图② c.图③ D.图④ 例12.(24-25七年级下·贵州黔东南月考)下列作图能表示点A到BC的垂线段的是() A. B B D C D. B< 变式1.(24-25七年级下·重庆渝中期末)如图，过点P作PA11,PB⊥1，则AP与BP重合，其理由是() B A.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B.在同一平面内，垂直于同一条直线 的两条直线互相平行 C.两点确定一条直线 D.垂线段最短 变式2.(24-25七年级下·广东韶关期末)利用三角尺，过直线1外的点P作直线1的垂线，下列各图中， 三角尺操作正确的是() 6/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【题型7点到直线的距离】 例13.如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.若AC=4cm,BC=3cm, AB=5cm,则点A到直线BC的距离为cm,点B到直线AC的距离为cm,点C到直线AB的 距离为 cm D B 例14.如图，三角形ABC中，∠C=90°，已知AC=3,BC=4,AB=5,则点B到直线AC的距离是 B 变式1.(24-25七年级上·吉林长春期末)如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其 顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上，只用直尺在给定的网格中，按下列要求作图. (1)作线段AB,作射线AD: 7/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)点D到直线BC的距离为线段 的长度； 3)在线段BD上找一点O,使它到A、B、C、D四个点的距离之和最小，作图的理由为 【题型8利用垂线的定义求角的度数】 例15.(24-25七年级上·浙江温州期末)如图，直线AB与CD相交于点O,OE平分∠B0C. B D (1)当∠C0E=27°时，求∠A0D的度数； (2)若0F⊥0E,∠D0F=2∠B0C,求∠A0C的度数. 例16.如图，直线AB,CD相交于点O,OM⊥AB. M B (1)若∠1=∠2，判断ON与CD的位置关系； (2)若∠A0C=2∠1，求∠B0C的度数. 变式1.如图，直线AB、CD相交于点0，∠AOC=58°，∠1=20°. C E (1)求∠2的度数； (2)若OF⊥OE,求∠D0F的度数. 变式2.如图，直线AB、CD相交于点O,OF⊥CD,OE平分∠BOD. 8/14 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)若∠A0C=68°，求∠E0F的度数： (2)如果∠A0C=n°(n<180),则∠E0F= (用含的代数式表示)： (3)若∠B0E比LB0F大24°，求LC0E的度数， 【题型9同位角、内错角、同旁内角的辨别】 例17.(25-26七年级下·全国·课后作业)下列图形中，∠1与∠2是内错角的是（) D 2公 例18.(25-26七年级下·全国·单元测试)几何直观下列图形中，∠1与∠2是同位角的是() 变式1.(24-25七年级下山西阳泉·期末)如图，直线α，b被直线c所截，则下列说法正确的是() A.∠1与∠2是同旁内角 B.∠3与∠4是内错角 C.∠1与∠5是同位角 D.∠2与∠5互补 变式2.(24-25七年级下·四川泸州·月考)如图所示，下列说法：①∠1与∠3是同位角；②1与∠2是同旁 内角；③∠3与∠2是内错角；④∠1与∠2是内错角：⑤∠4与∠2是同位角，其中正确的有() 1 人2 9/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 03 串知识识框架 1.邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线（两个角互补）。 知识点1：邻补角与对顶角 2.对顶角：有一个公共顶点，两边互为反向延长线（两个角相等）。 1垂线性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 2垂线段最短：连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短。 交 知识点2：垂线与点到直线的距离 3.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度 (1)同位角：在被截直线的同一方向，截线的同侧的一对角. 知识点3：同位角、内错角、同旁内角 (2)内错角：在被截直线的内侧，截线的两侧的一对角 的概念 (3)同芳内角：在被截直线的内侧，截线的同侧的一对角。 04过关测稳提升 一、单选题 1.(24-25七年级下·全国·周测)如图，己知射线BA,BC被直线EF所截，则∠1与∠2是（) E A.对顶角 B.同位角 C.内错角 D.邻补角 2.(24-25七年级下·全国·周测)如图，下列线段的长度与点C到AB所在直线的距离相等的是线段() A B A.AE B.BE C.BD D.CF 3.(25-26七年级上江苏泰州期末)下列说法中，正确的有()个. ①两直线相交，对顶角相等； 10/14 第01讲 相交线 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：邻补角与对顶角 1.邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线（两个角互补）。 2.对顶角：有一个公共顶点，两边互为反向延长线（两个角相等）。 知识点2：垂线与点到直线的距离 1.垂线性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 2.垂线段最短：连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短。 3.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 知识点3：同位角、内错角、同旁内角的概念 填空：(1)如图，∠1和∠5，分别在直线AB，CD的上方（同一方），在直线EF的右侧（同侧）.具有这种位置关系的一对角是同位角. (2)如图，∠3和∠5，在直线AB，CD之间，在直线EF的两侧.具有这种位置关系的一对角叫做内错角. (3)如图，∠3和∠6，在直线AB，CD之间，在直线EF的同侧.具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角. 【总结】(1)同位角：在被截直线的同一方向，截线的同侧的一对角. (2)内错角：在被截直线的内侧，截线的两侧的一对角. (3)同旁内角：在被截直线的内侧，截线的同侧的一对角. 【题型1 对顶角、领补角的定义】 例1．（2025七年级上·吉林长春·专题练习）下列图形中，与是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的定义，关键是运用知识准确识别； 如果两个角有公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角，根据对顶角的定义进行判断即可． 【详解】解：选项A：有公共顶点，一边不互为反向延长线，此选项不符合题意； 选项B：无公共顶点，一边不互为反向延长线，此选项不符合题意； 选项C：有公共顶点，两边互为反向延长线，此选项符合题意； 选项D：有公共顶点，两边不互为反向延长线，此选项不符合题意； 故选：C． 例2．（25-26八年级上·广西南宁·开学考试）下面各图中∠1和∠2是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的定义，两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角． 根据对顶角的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．∠1和∠2不是对顶角，故此选项不符合题意； B．∠1和∠2是对顶角，故此选项符合题意； C．∠1和∠2不是对顶角，故此选项不符合题意； D．∠1和∠2不是对顶角，故此选项不符合题意． 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）如图，下列判断正确的是（   ） A．图①中和是一组对顶角 B．图②中和是一组对顶角 C．图③中和是一对邻补角 D．图④中和互为邻补角 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角和邻补角的概念．根据对顶角和邻补角概念逐项判断即可．有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角．两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．熟练掌握两者定义是解题的关键． 【详解】解：图①和没有公共顶点，故和不是一组对顶角，故A不符合题意； 图②中的其中一边不是的反向延长线，故和不是一组对顶角，故B不符合题意； 图③中和相加不等于，所以和不是邻补角；故C不符合题意； 图④中和两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线，是邻补角，故D符合题意； 故选：D． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列图形中，与是邻补角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查邻补角的判定，掌握邻补角需同时具备公共顶点、公共边、另一边互为反向延长线是解题的关键． 先明确邻补角的条件：两个角需有公共顶点、一条公共边，且另一边互为反向延长线，再逐个分析选项，判断是否满足这些条件． 【详解】解：邻补角需同时满足：有公共顶点、一条公共边、另一边互为反向延长线． A：∠1与∠2无公共顶点，不符合题意； B：∠1与∠2无公共顶点，不符合题意； C：∠1与∠2的和不等于180°，不符合题意； D：∠1与∠2有公共顶点、公共边，且另一边互为反向延长线，符合邻补角定义，符合题意． 故选：D． 【题型2 对顶角相等】 例3．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，直线a、b相交于点O，， 度． 【答案】50 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，解题的关键掌握对顶角的性质． 利用对顶角相等进行求解即可． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴， 故答案为：50． 例4．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，直线，相交于点，将量角器的中心与点重合，发现表示的点在直线上，表示的点在直线上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，对顶角相等，熟练掌握对顶角相等这条性质是解题的关键． 先计算的度数，后利用对顶角相等确定即可． 【详解】解：如图， 根据题意，得， ∵， ∴， 故答案为：． 变式1．（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期中）如图，若加油站E 到公路的距离是， 到公路的距离也是， 且， 则 的度数为 ． 【答案】/48度 【分析】本题考查了角平分线的判定，先根据题意得是的角平分线，再根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵加油站E 到公路的距离是， 到公路的距离也是， ∴是的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级上·全国·期末）如图，直线，相交于点，平分，若，求的度数是 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，对顶角，邻补角的含义，先根据角平分线定义得出，再根据，得出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型3 对顶角、领补角性质的综合】 例5．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，直线经过点O，平分，平分，若，．    (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了角平分线的相关计算、邻补角及角的和差运算等知识． （1）根据邻补角得到，根据角平分线得到； （2）根据角平分线得到，，利用平角定义即可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵平分， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 例6．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，直线相交于点．平分，． (1)的度数为___________．； (2)若，则是否平分？并说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由见详解； 【分析】本题考查角平分线、对顶角，角的和差运算，掌握角平分线的定义，理解对顶角相等是正确解答的关键． （1）根据对顶角的性质求出，再根据角平分线的定义即可求出； （2）根据角的和差运算，和邻补角求得，即可解答． 【详解】（1）解：∵与互为对顶角, ∴ ∵平分 ∴， 故答案为：． （2）解：平分， 理由：由（1）得 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 则平分． 变式1．（25-26七年级上·河南南阳·月考）如图，直线相交于点，平分． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义，邻补角的定义，熟练掌握上述知识是解题关键． （1）根据角平分线的定义可求出，再结合对顶角相等求解即可； （2）根据邻补角互补，结合题意可求出，再由（1）同理即可求解． 【详解】（1）解：因为，平分， 所以； （2）解：因为， 所以． 因为平分， 所以． 变式2．（25-26七年级上·全国·期末）如图，O是直线上一点，平分，． (1)若，求和的度数． (2)试猜想是否平分，并说明理由． 【答案】(1)， (2)平分，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算，准确计算是解题的关键． （1）根据，即可计算；根据角平分线的定义得到，结合，可求得，最后由，即可解答； （2）由题意可知，，结合平分，得到，即可证得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，； （2）解：平分，理由如下： ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴平分． 【题型4 垂线的定义的理解】 例7．如图，点P是直线a外的一点，点在直线a上，且，垂足为点，则下列正确的语句是（   ） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．三条线段中，最短 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【答案】B 【知识点】垂线段最短、点到直线的距离 【分析】此题主要考查了点到直线的距离及垂线段的性质．解题的关键是掌握垂线段的性质，从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短． 根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”，“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答． 【详解】A．线段的长是点到的距离，原说法错误，故此选项不符合题意； B．三条线段中，依据垂线段最短可知最短，原说法正确，故此选项符合题意； C．线段的长是点A到直线的距离，原说法错误，故此选项不符合题意； D．线段的长是点C到直线的距离，原说法错误，故此选项不符合题意． 故选：B． 例8．为直线上的一点，为外一点，下列说法不正确的是（   ） A．过可画直线垂直于 B．过可画直线的垂线 C．连结使 D．过只能画1条直线与垂直 【答案】C 【知识点】垂线的定义理解 【分析】此题主要考查了垂线的作法以及垂线的定义，正确把握垂线的作法是解题关键． 直接利用垂线的定义结合垂线作法得出答案． 【详解】解：A、为直线上的一点，Q为外一点，过P可画直线垂直于，正确，不合题意； B、为直线上的一点，Q为外一点，过Q可画直线的垂线，正确，不合题意； C、连接不能保证，故错误，符合题意； D、为外一点，可以过Q可画直线与垂直，正确，不合题意； 故选∶C． 变式1．如图，已知，，所以与在同一条直线上的理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 C．过一点只能作一条垂线 D．垂线段最短 【答案】B 【知识点】垂线的定义理解 【分析】本题考查了垂线的基本事实，根据垂线的基本事实结合图形得出结论是解题关键．利用同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进而得出答案即可． 【详解】解：因为，， 所以直线与重合， 其理由是：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：B． 变式2．如图，，垂足为D，则下面说法中不正确的是（    ） A．点B到的垂线段是线段 B．与互相垂直 C．与互相垂直 D．线段的长度是点A到的距离 【答案】A 【知识点】点到直线的距离、垂线的定义理解 【分析】题考查的是点到直线的距离，熟知直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离是解答此题的关键． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴点B到的垂线段是线段，故本选项错误，符合题意； B、∵， ∴和互相垂直，故本选项正确，不符合题意； C、∵， ∴， ∴与互相垂直，故本选项正确，不符合题意； D、∵， ∴线段的长度是点A到的距离，故本选项正确，不符合题意． 故选A． 【题型5 垂线段最短】 例9．（24-25七年级下·全国·周测）如图，轩轩同学家在点P处，他想尽快赶到公路边接来家里做客的小伙伴，他选择沿线段PC去公路边．他的这一选择运用到的数学知识是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】根据题意可直接进行求解． 本题主要考查了垂线段最短，解题的关键是理解题意． 【详解】解：由题意可知运用到的数学知识是：直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 例10．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如图，从书店到公路最近的是 号路线，理由是 ． 【答案】 ① 垂线段最短 【分析】本题主要考查了距离垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解题的关键；因此此题可根据垂线段最短进行求解即可． 【详解】解：由图可知：从书店到公路最近的是①号路线，理由是垂线段最短； 故答案为：①，垂线段最短． 变式1．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，要在河岸l上建一个水泵房引水到A处．可过点A作于点B，则将水泵房建在B处最节省水管长度，其数学道理是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查了点到直线的距离． 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 【详解】解：要在河岸l上建一个水泵房引水到A处．可过点A作于点B，则将水泵房建在B处最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 变式2．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图运动会上，甲、乙两名同学测得黎明的跳远成绩分别为米，米，米，则黎明的跳远成绩应该为 米． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据垂线段最短求解． 【详解】解：∵甲、乙两名同学测得黎明的跳远成绩分别为米，米，米， ∴黎明的跳远成绩应该为米， 故答案为：． 【题型6 画垂线】 例11．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有部分同学画出了下列四种图形，其中画法正确的是（   ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【答案】A 【分析】本题考查画垂线．满足两个条件：①经过点B，②垂直；由此即可判断． 【详解】解：根据垂线段的定义可知，图①线段，是过点B作线段所在直线的垂线段， 故选：A． 例12．（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）下列作图能表示点A到的垂线段的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了画垂线，点到直线的距离：过直线外一点向直线作垂线，这点与垂足间线段的长度；根据此概念判断即可． 【详解】解：A、表示点B到的距离，不符合题意； B、表示点A到的距离，符合题意； C、不表示点A到的距离，不符合题意； D、表示点C到的距离，不符合题意； 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·重庆渝中·期末）如图，过点P作，，则与重合，其理由是（   ） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】A 【分析】此题主要考查了垂线的定义与性质，根据垂线的定义结合图形得出是解题关键．利用同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进而得出答案即可． 【详解】解：，，则与重合， 其理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 故选：A． 变式2．（24-25七年级下·广东韶关·期末）利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂线的概念，熟练掌握垂线的作图是解题的关键，根据垂线的概念作图即可得到答案． 【详解】解：垂线的作图步骤：将三角尺的一条直角边与重合，另一条直角边过点后沿该直角边画直线，可得直线的垂线， ∴C选项的画法正确， 故选：C． 【题型7 点到直线的距离】 例13．如图，在三角形中，，，垂足为．若，，，则点A到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ． 【答案】 4 3 【知识点】点到直线的距离 【分析】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握点到直线的距离的定义；根据三角形等面积法求出，再根据点到直线的距离的定义即可得解． 【详解】解：， ， ， 点A到直线的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为， 故答案为：4，3，． 例14．如图，三角形 中，，已知，，，则点B到直线的距离是 ． 【答案】4 【知识点】点到直线的距离 【分析】本题考查点到直线的距离，能够灵活运用三角形的面积公式是解答本题的关键． 根据点到直线的距离可判断出表示点 B到直线的距离是线段长解题． 【详解】解：点B到直线的距离是， 故答案为：． 变式1．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点、、、均在格点上，只用直尺在给定的网格中，按下列要求作图． (1)作线段，作射线； (2)点到直线的距离为线段________的长度； (3)在线段上找一点，使它到、、、四个点的距离之和最小，作图的理由为________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)两点之间线段最短 【知识点】点到直线的距离、画出直线、射线、线段、两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了网络作图．熟练掌握画线段，画射线，点到直线的距离，两点之间线段最短，是解题的关键． （1）连接画出线段，连接并延长画出射线即可； （2）根据可得点到直线的距离为线段的长度； （3）根据两点之间线段最短，可得的最小值为的长，得点到、、、四个点的距离之和最小值为． 【详解】（1）连接，连接并延长，即得． （2）点到直线的距离为线段的长度 故答案为： （3）连接，交于点， 则， 当点O运动到上时，，最小， 则，最小． 故答案为：两点之间线段最短． 【题型8 利用垂线的定义求角的度数】 例15．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，直线与相交于点O，平分．    (1)当时，求的度数； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题考查了角的和差计算，对顶角，平角，补角，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据角平分线定义以及对顶角即可求解； （2）由垂线得到，结合角平分线得到，则，化简得，由，得到方程，继而可求解． 【详解】（1）解：∵直线与相交于点O， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵若， ∴ ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， 解得. ∴． 例16．如图，直线，相交于点，． (1)若，判断与的位置关系； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【知识点】垂线的定义理解、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查垂直定义、角度的运算，能从图中找到角之间的关系是解答的关键． （1）根据垂直定义，得到即可求解； （2）根据垂直定义结合已知，得到，再根据平角定义求解即可； 【详解】（1）解：． 理由如下：因为，所以， 所以． 又因为，所以， 即，所以； （2）解：由（1）知， 因为，所以， 所以， 所以， 所以． 变式1．如图，直线、相交于点，，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题考查垂直定义和对顶角相等的知识，属于基础题，掌握相关概念正确推理计算是解题关键． （1）根据对顶角相等可得，然后利用角的和差计算求解； （2）根据垂直定义及角的和差关系列式计算即可求解． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 变式2．如图，直线相交于点平分． (1)若，求的度数； (2)如果，则________（用含的代数式表示）； (3)若比大，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用邻补角互补求角度、几何问题(一元一次方程的应用)、对顶角相等、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的定义，对顶角的性质，垂直的定义，邻补角的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点； （1）根据角平分线的定义，对顶角的性质，垂直的定义解题即可； （2）根据角平分线的定义，对顶角的性质，垂直的定义解题即可； （3）设，则，由角平分线的定义得，根据列方程并解方程，再由邻补角的性质求解即可； 【详解】（1） ， 平分 ， ， ， 的度数为； （2）平分，， ， ， 故答案为：； （3）设，则， 平分 ， ， ， 解得：， ， ， 的度数为． 【题型9 同位角、内错角、同旁内角的辨别】 例17．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列图形中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了内错角，关键是掌握内错角的边构成“”形． 根据内错角定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角进行解答即可． 【详解】解：A、是内错角，正确； B、不是内错角，错误； C、不是内错角，错误； D、不是内错角，错误； 故选：A． 例18．（25-26七年级下·全国·单元测试）几何直观 下列图形中，与是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同位角的定义和运用．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手． 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，据此解答． 【详解】解：A、与不是同位角，故该选项不符合题意； B、与不是同位角，故该选项不符合题意； C、与不是同位角，故该选项不符合题意； D、根据同位角的定义可知D选项中与在直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，故是同位角． 故选：D 变式1．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法正确的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与互补 【答案】C 【分析】此题主要考查了对顶角、同位角、内错角，根据对顶角、同位角、内错角对选项进行判断． 【详解】解：A、与是内错角，说法错误； B、与不是内错角，说法错误； C、与是同位角，说法正确； D、与是对顶角不一定互补，说法错误； 故选：C． 变式2．（24-25七年级下·四川泸州·月考）如图所示，下列说法：与是同位角；与是同旁内角；与是内错角；与是内错角；与是同位角，其中正确的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】此题主要考查了三线八角，在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成““形，内错角的边构成““形，同旁内角的边构成“”形． 根据同位角、内错角、同旁内角的定义进行解答即可． 【详解】解：与是同位角，此选项正确； 与是内错角，并不是同旁内角,此选项错误； 与是内错角，此选项正确； 与是内错角，此选项正确； 与是同位角，此选项正确； 故正确的有个． 故选：． 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·周测）如图，已知射线BA，BC被直线EF所截，则与是（   ） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．邻补角 【答案】C 【分析】本题考查内错角的判定，掌握内错角是位于截线两侧、被截直线之间的角是解题的关键． 根据与的位置：在截线两侧，且处于被截直线之间，对照各类角的定义判断． 【详解】解：射线被直线所截：与位于截线的两侧，且处于被截直线之间，符合内错角的定义． 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·周测）如图，下列线段的长度与点C到AB所在直线的距离相等的是线段（   ） A．AE B．BE C．BD D．CF 【答案】D 【分析】本题考查点到直线的距离的定义，掌握点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度是解题的关键． 先明确点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线所作垂线段的长度，再找到点到的垂线段，对比选项中线段的长度是否与该垂线段相等． 【详解】解：根据点到直线的距离的定义，点到所在直线的距离，是从向所作垂线段的长度， 观察图形，，因此的长度就是点到的距离． 故选：D． 3．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）下列说法中，正确的有（　　）个． ①两直线相交，对顶角相等； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； ④如果，那么点M是的中点． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查对顶角性质、平行公理、垂线段最短性质和中点定义，根据以上知识点逐项判断正误即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①两直线相交，对顶角相等，原说法正确； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误； ③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，原说法正确； ④当点在线段上时，才表示M是的中点，否则不一定，故原说法错误； 综上所述，正确的有2个， 故选：C． 4．（2025·江西·一模）光线从空气斜射向水中时会发生折射现象，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点射向水面上的点，折射后照到水槽底部的点．测得，，若、、三点在同一条直线上，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查对顶角，根据“对顶角相等”得，代入数据求解即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵，， ∴， 故选：D． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线AB，CD相交于点O，给出下列条件：①；②；③；④．其中能说明的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查垂线的定义，角的概念，对顶角、邻补角的定义，准确识图，理解垂线的定义，对顶角、邻补角的定义是解决问题的关键． 根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可． 【详解】解：①∵直线，相交于点，， ∴， 故条件①能说明； ②∵直线，相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故条件②能说明； ③∵直线，相交于点， ∴， 根据已知条件，不能得到， 故条件③不能说明； ④∵直线，相交于点， ∴， ∵， ∴， 故条件④能说明， 综上所述：能说明的条件有①②④，共3个． 故选：C． 6．（25-26七年级上·江苏常州·月考）如图，已知A，O，B三点在同一直线上，且平分，平分，下列结论：①；②与互余；③与互补；④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线，余角，补角，角的和差关系，解题的关键是熟练掌握角平分线有关计算，余角和补角定义，角的和差计算． 根据角平分线定义可得和，利用平角即可判定①，结合余角和平角的定义即可判断②，结合余角和补角得定义即可判断③，利用角和差关系即可判断④． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∵A、O、B三点在同一直线上， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵平分，平分， ∴， ∵A、O、B三点在同一直线上， ∴， ∴， 即与互余， 故②正确； ∵A、O、B三点在同一直线上， ， ∵平分， ∴， ， 即与互补， 故③正确； ∵， ∴， 故④正确； 故选：D． 二、填空题 7．（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）如图，直线、、相交于点O，的对顶角是 ，的邻补角是 ． 【答案】 / 或 【分析】本题主要考查邻补角及对顶角的定义，熟练掌握邻补角及对顶角的定义是解题的关键；因此此题可根据邻补角及对顶角的定义进行求解即可． 【详解】解：由图可知：的对顶角是， ∵， ∴的邻补角是或； 故答案为：，或． 8．（2025七年级上·全国·专题练习）投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 9．（25-26七年级上·四川内江·月考）如图所示，直线，相交于点O，，，，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂线的性质（两直线垂直则夹角为）与对顶角的性质（对顶角相等），熟练运用这两个性质是解决此类角度计算问题的关键．先依据垂线的性质确定直角（），再通过角度差求出，结合对顶角相等得到，最后利用角度和求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，，，垂足分别是点、．点到直线的距离是线段 的长度． 【答案】 【分析】本题考查了点到直线的距离．由点到直线的距离定义，即可求解． 【详解】解：因为， 所以点C到直线的距离是线段的长度． 故答案为： 11．（24-25七年级下·全国·周测）如图，给出下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查对顶角、内错角、同旁内角的相关概念，熟练掌握相关概念是解决本题的关键． 根据对顶角、同旁内角、内错角的性质判断即可． 【详解】解：与是对顶角，①说法正确； 与是同旁内角，②说法正确； 与不是同旁内角，③说法错误； 与是内错角，④说法正确； 故答案为：①②④． 12．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图：已知直线、直线相交于点，，则下列结论：①；②的补角是；③若，则；④若平分，则；⑤若，则．其中正确结论有 ． 【答案】①③④⑤ 【分析】本题考查了对顶角性质、角平分线定义、垂线定义、余角和补角的知识，解题关键是熟练掌握相关概念和性质，准确分析角之间的关系．利用对顶角相等、角平分线的定义、垂线定义以及余角、补角的概念，对每个结论逐一进行分析判断即可． 【详解】解：①∵， ∴，故①正确，符合题意； ②∵， ∴的补角不是，故②错误，不符合题意； ③∵， ∴，故③正确，符合题意； ④∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确，符合题意； ⑤∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 综上，正确的有①③④⑤． 故答案为：①③④⑤． 三、解答题 13．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线被直线所截． (1)请写出图中和中的同位角、内错角和同旁内角． (2)如果，那么和相等吗？为什么？和又是什么关系？ 【答案】(1)是同位角；是同位角；是内错角；是同旁内角 (2)，理由见解析； 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义以及对顶角相等、邻补角互补，熟练掌握有关定义和性质是解决问题的关键． （1）由同位角、内错角、同旁内角的定义容易得出结论； （2）由对顶角相等和邻补角互补等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：是同位角；是同位角；是内错角；是同旁内角； （2）解：，理由如下： ， ； ， ． 14．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，直线，相交于点O，，平分． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先根据对顶角相等可得，然后利用角平分线的定义可得； （2）根据垂直定义可得，从而利用平角定义求出，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 15．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如图，点，分别是的边，上的点． (1)过点画的垂线，交于点； (2)过点画的垂线，垂足为，连接； (3)线段的长度是点到______的距离，______的长度是点到直线的距离； (4)线段、的大小关系是______（用“<”号连接）．理由_____． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 (3)射线，线段 (4)，点到直线的距离，垂线段最短 【分析】本题主要考查垂线的定义及点到直线的距离，熟练掌握垂线的定义及点到直线的距离是解题的关键； （1）根据格点特征及垂线的定义可进行作图； （2）根据格点特征及垂线的定义可进行作图； （3）根据点到直线的距离可进行求解； （4）根据点到直线的距离，垂线段最短可进行求解． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： （2）解：所作图形如图所示； （3）解：线段的长度是点到射线的距离，线段的长度是点到直线的距离； 故答案为射线，线段； （4）解：由图可知：，理由是点到直线的距离，垂线段最短； 故答案为，点到直线的距离，垂线段最短． 16．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，已知直线相交于点O，，点O为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算，一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解角度之间的和差关系． （1）先由角平分线求出，即可求解，再结合垂直的定义求解即可； （2）由题意可设，则，则，然后表示出，再由垂直的定义建立方程求解． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴设，则， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 17．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图①，对于两条直线，被第三条直线所截得到的同旁内角，满足，则称是的“关联角”． (1)已知是的“关联角”，当时，的度数为_____________． (2)如图②，已知是的“关联角”，那么是的“关联角”吗？为什么？ 【答案】(1) (2)是的“关联角”．理由见解析 【分析】（1）由之间的关系直接求解即可； （2）根据同旁内角的概念进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵ ∴ 故答案为：． （2）解：是的“关联角”．理由如下： ∵是的“关联角”， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴是的“关联角”． 【点睛】本题主要考查了同旁内角的相关概念，熟练掌握是解决本题的关键． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线AB，CD相交于点O，OE，OF分别在，内部，且OD平分． (1)的补角是____________． (2)若，，则的度数为____________． (3)若，试说明． (4)若OB平分，，则的度数为____________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据补角的定义解答即可； （2）根据角平分线的定义得出 （3）根据对顶角的性质以及角平分线的定义解答即可； （4）根据，可得，根据角平分线的定义可得，由平角为可求出的度数，最后根据角平分线的定义与角度的和差关系即可求出的度数． 【详解】（1）解：图中的补角是， 故答案为：； （2）解：∵OD平分，， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，即． （4）解：∵， ∴， 即． ∵平分， ∴， ∴， 解得， ∴． 又∵平分， ∴， ∴． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $