专题05 三角函数（期末复习讲义）高一数学上学期湘教版

该高中数学三角函数期末复习讲义以核心考点表格为统领，通过分层知识点梳理构建知识体系。用对比表格呈现正余弦函数图像与性质，每个知识点按“概念+公式+示例+易错点”组织，清晰展现周期、单调性等重难点及内在联系，培养用数学眼光观察周期性现象的能力。 讲义亮点在于14类题型的精准设计，如用“整体代换法”解决y=Asin(ωx+φ)单调性问题，典例结合变式覆盖基础与中档题，分层练习（基础通关、重难突破）满足不同学生需求。通过实际问题（如摩天轮高度模型）培养数学思维与表达能力，助力教师实施分层教学，提升复习效率。

专题05 三角函数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 正弦、余弦、正切函数的基本图像与性质 熟记y=sinx、y=cosx、y=tanx的图像形状，明确其定义域、值域、周期；能独立推导三者的奇偶性、单调性（单调区间）、对称中心/对称轴；会利用基本性质判断简单三角函数的取值范围 题型：选择/填空或解答题 难度：基础为主（80%），含参数中档（20%）； 特点：高频，结合函数与方程考查，多为中档铺垫. 三角函数的单调性与最值 能结合定义域求三角函数的最值，解决含参数的最值问题；会利用单调性比较三角函数值大小 题型：选择/填空或解答题第一问； 难度：基础为主（80%），含参数中档（20%）； 特点：高频，多为中档铺垫. 三角函数的周期性与对称性 掌握三角函数周期的求解方法；能求三角函数的对称轴方程、对称中心坐标；会利用周期性简化计算 题型：选择/填空或辅助考查； 难度：基础（60%）、含参数中档（40%）； 特点：必考，多为基础铺垫. 由三角函数图像求解析式 会从图像提取振幅A、周期T（求ω）；掌握用特殊点（结合单调性）求初相φ的方法；能验证解析式与图像的匹配性 题型：选择/填空 难度：基础题； 特点：高频，多为基础铺垫. 三角函数的图像变换（平移、伸缩） 掌握平移、伸缩变换的具体规则；区分 “先平移后伸缩” 与 “先伸缩后平移” 的平移量差异；会根据变换步骤写目标函数解析式 题型：选择/填空或解答题第一问； 难度：基础为主（80%），含参数中档（20%）； 特点：高频，多为基础铺垫. 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质 掌握该函数的振幅、周期、相位等含义；能结合图像分析其定义域、值域、单调性、对称性、最值；会解决该函数的综合问题（如与不等式、最值结合） 题型：选择/填空或解答题考查； 难度：基础（60%）、含参数中档（40%）； 特点：必考，多为中档铺垫. 知识点01 周期函数的概念（概念+公式+示例+易错点） （1）周期函数的定义：函数，定义域为I，当时，都有，其中T是一个非零的常数，则是周期函数，T是它的一个周期. 注意：定义是对I中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说T是的一个周期. （2）最小正周期：对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期. （3）周期函数的周期公式 （1）一般地，函数的最小正周期 （2）若函数的周期是，则函数的周期为, 求三角函数周期的方法 ①定义法：利用周期函数的定义求解． ②公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝. 注：若函数的周期是，则函数的周期为, ③图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可． 示例：“”是“的最小正周期为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由正切函数的周期计算公式及充分条件和必要条件的概念分析即可. 【解析】的最小正周期为，则，得， 故“”是“的最小正周期为”的充分不必要条件． 故选：A． 易错点：运用周期公式运用未注意是. 知识点02 正（余）弦函数的图象（图像+性质+示例+易错点） （1）正（余）弦函数的图象 函数 y＝sin x y＝cos x 图象 图象画法 五点法 五点法 关键五点 ,,,, ,,,, （2）用“五点法”作正（余）弦函数的简图步骤 （1）确定五个关键点：最高点、最低点、与轴的三个交点（三个平衡点）； （2）列表：将五个关键点列成表格形式； （3）描点：在平面直角坐标系中描出五个关键点； （4）连线：用光滑的曲线连接五个关键点，注意连线时，必须符合三角函数的图象特征； （5）平移：将所作的上的曲线向左、向右平行移动（每次平移个单位长度），得到的图象即为所求正弦曲线、余弦曲线． 示例：作出函数,的简图,并求使成立的x的取值范围. 【答案】图见解析, 【分析】取分别为，求出对应的，然后描点,用平滑的曲线连接即可画出图像；令，求出，观察图像可得使的x的取值范围 【解析】解:列表如下: x 0 0 0 1 0 0 1 3 1 1 描点,并将它们用光滑的曲线连接起来(如图). 令,即,则. ,, 或,或. 由图可知, 使成立的x的取值范围是. 易错点：未将函数解析式与正弦函数的区别识别出来导致利用图像求解出错. 知识点03 正（余）弦函数的性质（图像+性质+示例+易错点） 图象 定义域 值域 [-1,1] [-1,1] 最值 周期性 奇偶性 奇 偶 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 对称性 对称轴方程： 对称中心， 对称轴方程： 对称中心， 示例：（多选）若函数的最大值是4，最小值是，则（   ） A．-4 B．1 C．2 D．3 【答案】AC 【分析】对分类讨论，结合余弦函数的有界性，用表示出的最值，得到关于的方程，求解即可. 【解析】当时，， 解得； 当时，， 解得， 综上，或. 故选:AC 易错点：未对分类讨论，结合余弦函数的有界性导致错误. 知识点04 正切函数的图象与性质（图像+性质+示例+易错点） （1）定义域：， （2）值域：R （3）周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是 （4）奇偶性：正切函数是奇函数，即． （5）单调性：在开区间内，函数单调递增 示例：函数的单调区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式化简，再根据正切函数的性质计算可得. 【解析】因为， 令，，解得，， 所以函数的单调递减区间为. 故选：D. 知识点05 函数y＝Asin（ωx＋φ）图象（图像+性质+示例+易错点） （1）A、φ、ω的含义 ①A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅. ②φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位. ③ω决定了函数的周期 （2）用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示. x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 示例：（多选）已知函数的部分图象如图所示，、是的图象与轴的两个交点，是图象上的一个最高点，且是正三角形，则（   ）    A． B． C． D．的图象与直线有个交点 【答案】ACD 【分析】利用图象求出函数的解析式，可判断ABC选项；数形结合可判断D选项. 【解析】因为、，则， 因为是正三角形，易得，所以，， 易知函数的最小正周期为，则， 所以，， 因为，可得， 所以，，则， 因为，所以，，则，AC都对，B错； 如图，对于函数，当时，； 当时，；当时，； 当时，. 如下图所示，直线与函数的图象有个公共点，D对.    故选：ACD.. 易错点：未考虑，导致解析式出错. 知识点06 三角函数图象变换（变换+示例+易错点） （1）振幅变换：要得到函数y＝Asinx（A＞0，A≠1）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到． （2）平移变换：要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到． （3）周期变换：要得到函数y＝sinωx(x∈R)（其中ω＞0且ω≠1）的图象，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标缩短（当时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变）即可得到． （4）函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 （5）三角函数图象变换中的三个注意点 ①变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数； 例如：或 ②要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数图象，得到的是哪个函数图象，切不可弄错方向； ③要弄准变换量的大小，特别是平移变换中 函数y＝Asin x到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位， 函数y＝Asin ωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是个单位 示例：将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】D 【解析】设平移距离为，将函数图象上的各点的横坐标平移个单位， 可得， 因为，则， 即，当时，可得，所以D正确. 故选：D． 易错点：未利用诱导公式讲不同名函数化为同名函数处理出错. 题型一 同角三角函数关系 解｜题｜技｜巧 1.同角三角函数的基本关系: 基本关系式 语言描述 平方关系 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. 商数关系 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切. 2.公式的常见变形: 【典例1】如果，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用正余弦齐次式法求解. 【解析】由，得. 故选：B. 【变式1】已知，则 . 【答案】 【分析】先由条件得到，结合二倍角公式，化弦为切，代入求出答案. 【解析】因为，所以， . 故答案为： 【变式2】（多选）已知，，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对A，将条件式平方化简得解；对B，利用与的关系，结合求解判断；对C，由选项B，结合条件求出得解；对D，由平方差公式结合选项B求解. 【解析】对于A，由，则，化简得，故A正确； 对于B，由，，则，即， ，，故B正确； 对于C，由，解得，所以，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABD. 【变式3】平面直角坐标系中，已知角的终边经过点. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1);(2) 【分析】（1）根据三角函数的定义求出，再将弦化切，代入计算可得； （2）首先求出，，再代入计算可得. 【解析】（1）因为角的终边经过点， 所以， 所以； （2）因为角的终边经过点，所以，， 所以 . 题型二 诱导公式的应用 解｜题｜技｜巧 1．诱导公式 (1)诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 七 八 角 正弦 余弦 正切 余切 口诀 函数名不变，符号看象限. 函数名改变，符号看象限. (2)诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将任意角转化为0～2π的角求值 公式二 将0～2π的角转化为0~π的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 公式四 将～π的角转化为0～的角求值 公式五 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 公式六 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 2．一组重要公式 (1)(n∈Z). ①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z). ②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有 (k∈Z). (2)(n∈Z). ①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z). ②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有 (k∈Z). 类似地，有： (3)(n∈Z). (4)(n∈Z). 3．诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 4．用诱导公式求值 用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有与，与，与等，常见的互补关系与，与，与等. 【典例1】已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，点在角的终边上，则=（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据三角函数的定义求，再利用诱导公式求的值. 【解析】因为，所以. 又根据诱导公式，. 故选：D 【变式1】若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助诱导公式计算即得. 【解析】. 故选：D. 【变式2】已知角的终边上有一点，则=__________ 【答案】3 【分析】根据三角函数的定义先求，再利用诱导公式化简即可求解. 【解析】由题意有，所以， 故答案为：3. 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，且． (1)若点的横坐标为，求的值； (2)求的值． 【答案】(1)0;(2) 【分析】根据诱导公式化简求值即可. 【解析】（1）由题意：， 所以 . （2） . 题型三 三角函数的周期 解｜题｜技｜巧 周期函数的定义: 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D， 且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. 最小正周期的定义：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期 【典例1】下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于在区间上单调递减，此时在区间上单调递减，且最小正周期为，故A正确； 因为，最小正周期为 ，故B错误； 由于，当时，，此时不是单调函数，故C错误； 对于D，，当时，，此时是单调递增函数，故D错误. 故选：A. 【变式1】下列四个函数中，以为最小正周期的奇函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角函数的奇偶性、周期性即可逐一判断各个选项. 【解析】对于A，是以为最小正周期的奇函数，故A不符合题意； 对于B，是以为最小正周期的偶函数，故B不符合题意； 对于C，若，则，为偶函数，故C不符合题意； 对于D，若，显然其定义域为全体实数，且，所以是奇函数，且它的最小正周期为，故D符合题意. 故选：D. 【变式2】若函数的最小正周期为，则常数 ． 【答案】 【分析】直接利用三角函数的周期公式求解即可. 【解析】因为函数的最小正周期为，所以，解得. 故答案为：. 【变式3】设函数的最小正周期为，则它的一条对称轴方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由最小正周期为求得，再令，，求出对称轴，即可得出答案． 【解析】因为的最小正周期为， 所以， 所以， 令，， 解得， 所以的对称轴为直线， 当时，，其它各项均不符合， 所以是函数的对称轴， 故选：A． 题型四 正弦函数、余弦函数的图像及应用 解｜题｜技｜巧 (1)正弦函数的图象 ①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象，如图所示. （2）余弦函数的图象 ①图象变换法作余弦函数的图象 由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函 数y=sinx,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示. 【典例1】函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分类讨论去绝对值号，得出函数的解析式，然后画出函数与的图象进行判断. 【解析】， 如图所示， 要使的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则只需. 故选：C. 【变式1】函数，的图象与直线（为常数）的交点可能有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】在平面直角坐标系中作出函数，的图象与直线的图象，数形结合即可求解. 【解析】在同一直角坐标系中，作出，与图象， 由图象可知，函数，的图象与直线（为常数）的交点个数可能为0，1，2，结合选项可知选项A正确； 故选：A. 【变式2】已知函数，则在上的零点的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将函数零点转换为两函数的交点，通过图像即可得到答案. 【解析】∵ ∴ 设，画出图像    可得在图像上的零点的个数为3. 故选：C. 【变式3】设函数，则曲线与所有交点的横坐标之和为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】D 【分析】根据已知函数图象数形结合及已知函数的对称性求解横坐标之和即可. 【解析】曲线与的交点， 如图函数有7个交点， 因为与， 所以曲线与都关于对称， 所以所有交点的横坐标之和为. 故选：D. 题型五 三角函数的定义域与值域 解｜题｜技｜巧 （1）三角函数的定义域求解技巧 ①结合函数结构限制：偶次根式：被开方数（含三角函数）≥0；分式：分母（含三角函数）≠0；对数：真数（含三角函数）>0；注意三角函数本身的定义域（如(tanx)要求。 （2）三角函数的值域求解技巧 ①利用有界性②换元法③配方法④单调性法 【典例1】函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，根据正弦函数的性质计算可得. 【解析】对于函数， 令，即，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A. 【典例2】函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，令，转化为二次函数求解. 【解析】， 令，由，得，变为． 该二次函数开口向下，对称轴，在递增，递减． 当时，时，，所以值域为. 故选：C. 【变式1】函数定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的解析式有意义，得到，即可求解函数的定义域. 【解析】由题意，函数有意义，则满足，即 解得， 所以函数的定义域. 故选：A. 【变式2】(多选)下列说法正确的是（   ） A．函数的定义域是 B．函数在时的值域为 C．若，则的值为0 D．函数的单调递增区间是 【答案】ABC 【分析】对于A：根据根式以及余弦函数性质分析求解；对于B：以为整体，结合正弦函数分析求解；对于C：根据周期性和对称性分析求解；对于D：取特值结合单调性的定义分析判断. 【解析】对于选项A：令，则， 可得，解得， 所以函数的定义域是，故A正确； 对于选项B：因为，则， 可知，则，故B正确； 对于选项C：因为的最小正周期， 又因为，可知为的对称中心， 则， 即，且， 所以，故C正确； 对于选项D：当时，；当时，； 可知函数在不单调，故D错误； 故选：ABC. 【变式3】函数的值域为 . 【答案】 【分析】由转化为二次函数求解. 【解析】由正弦函数的性质可知，当， 当时，；当或时，，故值域为. 故答案为： 题型六 求三角函数的单调性与单调区间 解｜题｜技｜巧 (1)形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数的单调性问题，一般是将ωx＋φ看成一个整体，再结合图象利用y＝sin x求正、余弦函数以及正切函数的单调区间的策略: (1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)、y＝Atan(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，方法亦如此． 【典例1】函数的单调减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用整体法求解正弦型函数的单调性，即可求解. 【解析】令,所以， 当，由于，故D正确，ABC均错误， 故选：D. 【典例2】函数的单调增区间为（　　） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】（1）利用平方关系化为关于二次函数研究单调区间求解即可。 【解析】即， 由此可知与同增同减即可得函数的单调增区间， 则增区间满足或，， 即或，， 解得或， 所以函数的单调增区间为：. 故选：C. 【变式1】(多选)已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．的单调递增区间为 C．的单调递减区间为 D．在上的值域为 【答案】ABD 【分析】结合周期公式判断A，求函数的单调区间判断BC，结合不等式性质和正弦函数性质判断D. 【解析】函数的最小正周期为，A正确. 由，得， 所以的单调递增区间为，B正确. 由，得， 所以的单调递减区间为，C错误. 由，得，故， 所以，， 则在上的值域为，D正确. 故选：ABD. 【变式2】已知函数，则单调增区间为 . 【答案】 【分析】由题可得，然后根据正弦函数的性质即得. 【解析】由题得， 由，可得， 所以函数的单调增区间为. 故答案为：. 【变式3】函数的单调递增区间为______________ 【答案】 【分析】利用复合函数单调性的判定，求解内层函数的定义域，进而再求出单调性即可. 【解析】设，即，在上单调递增， 故取，且的单调递增的部分，可求出的递增区间， 可得， 即， 解得 . 故答案为： 题型七 由三角函数的单调性或值域求参 解｜题｜技｜巧 已知三角函数的单调性求参数的解题思路 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷. 【典例1】函数的最小正周期为 ，若函数在区间上单调递增，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据正弦函数的周期公式和单调递增区间可求出结果. 【解析】函数的最小正周期. 由，，得，， 所以的单调递增区间为，， 若函数在区间上单调递增，则，， 则，则，即的最大值为. 故答案为：；. 【变式1】若函数在区间单调递增，在区间上单调递减，则＝（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先根据求出，，再根据函数在区间单调递增，得到，求出，从而得到. 【解析】由题意得，故，， 解得，， 又因为函数在区间单调递增，所以，解得， 因为，所以， 故，解得， 故，解得， 又，故，所以 故选：C 【变式2】已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由计算出的取值范围，根据正切函数的单调性可得出，由此可得出关于的不等式组，由此可得出实数的取值范围. 【解析】当时，由于，则， 因为在区间上单调递增，则， 所以，，解得，因此，的取值范围为. 故选：A. 【变式3】已知函数，，且在区间上单调，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据三角函数的最值及对称中心得出周期进而得出的关系，再结合单调性得出的范围即可得出最大值. 【解析】因为， 所以时，取得最值,是图象的对称中心，则， 所以， 又因为在区间上单调，所以， 所以当时，取得最大值为． 故答案为：. 【变式4】已知函数，. (1)当时，求函数的最小值； (2)若的最大值为1，求实数的值； (3)对于任意，不等式都成立，求实数的范围. 【答案】(1);(2)或5；;(3) 【分析】（1）代入后配方，结合二次函数的性质和余弦函数的值域求解即可； （2）配方后再根据对称轴的情况分类讨论即可； （3）令，利用对勾函数的单调性求出最值即可； 【解析】（1）当时，， 因为， 所以当时，函数有最小值，最小值为， （2）因为， 当，即时， 则当时，函数的最大值为， 解得（舍去），或； 当即时，则当时，函数有最大值，即，解得； 当时，即时，则当时，函数有最大值， 即，解得（舍去）. 综上，或5. （3）因为， 令，由，得， 则， 因为都成立， 所以都成立， 所以在上恒成立， 姐在恒成立， 设， 由对勾函数的性质易知函数在上为减函数， 所以， 所以. 题型八 三角函数的奇偶性与对称性 解｜题｜技｜巧 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质: 函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0) 定义域 R 值域 [－A，A] 周期 T＝ 对称轴方程 由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得 对称中心 由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得 单调性 增区间由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)求得， 减区间由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)求得 注:正弦、余弦型函数奇偶性的判断方法 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数． 【典例1】函数图象的对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦函数的图象和性质即得. 【解析】令，，解得， 图象的对称轴是． 故选：C． 【典例2】（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（   ）    A． B．将的图象上所有点横坐标变为原来2倍，再向左平移个单位，得到的图象，则 C．的对称中心为， D．若，且，则 【答案】AD 【分析】根据函数图象确定相关参数，可求出函数解析式，判断A；利用正弦函数图象平移变换可判断B；根据正弦函数的对称性可判断C；对于D，结合已知利用换元法推出，代入求值，即可判断. 【解析】由图知，故， 又过点，且该点在函数增区间上，故， 则，则，结合，则， 故，A正确； 将的图象上所有点横坐标变为原来2倍，可得的图象， 再向左平移个单位，得到的图象，则，B错误； 令，则， 即的对称中心为，，C错误； 因为，且，令， 则，则， 则， 故，D正确， 故选：AD. 【变式1】函数的图象： ①关于点对称；②关于直线对称；③关于点对称；④关于直线对称． 正确的序号为 ． 【答案】①④ 【分析】由条件根据正弦函数的图象的对称性，得出结论． 【解析】关于函数的图象， 令，求得，可得它的图象关于点对称，故①正确； 令，求得，不是最值，故它的图象不关于直线对称，故②不正确； 令，求得，可得它的图象不关于点对称，故③不正确； 令，求得，可得它的图象关于直线对称，故④正确， 故答案为：①④． 【变式2】已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线 C．是奇函数 D．若，则 【答案】B 【分析】将选项A，B，C中的条件分别代入函数的解析式中，计算判断对应结论；取特值计算判断D作答. 【解析】对于A，因，则函数的图象关于点不对称，A不正确； 对于B，因，而，则数图象的一条对称轴是直线，B正确； 对于C，， 令，，，所以不是奇函数，C不正确； 对于D，取，显然有，而，，此时，D不正确. 故选：B 【变式3】（多选）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递减 C．直线为的一条对称轴 D．若为偶函数，则 【答案】ACD 【解析】由图可知：，，则， 当时，函数取得最大值，所以，又，所以. 所以. 对A，的最小正周期为，正确； 对B，，令，则，可知在不是单调的，故错误； 对C，由，所以，所以取得最小值-3，直线为的一条对称轴，故正确； 对D，为偶函数，所以，故正确. 故选：ACD. 题型九 利用三角函数的奇偶性与对称性求参 【典例1】已知函数，若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若函数为奇函数，则的最小值是___________ 【答案】 【解析】由题意， 因为函数为奇函数，所以，， 又，所以当时，有最小值是. 故答案为： 【变式1】函数为上的奇函数，则的值可以是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦函数的性质，列式求解并赋值得答案. 【解析】由函数为上的奇函数，得， 解得，当时，，所给其他均不存在整数使其成立. 故选：C 【变式2】将函数的图象向右平移个单位长度后得到曲线．若曲线关于原点对称，则的最小值是________ 【答案】 【解析】将函数的图象向右平移个单位长度后函数解析式为： ，即， 又因为曲线关于原点对称，所以，， 解得，，因为，所以当时，取得最小值， 的最小值是. 故选：C 【变式3】（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数为奇函数，则 ． 【答案】 【分析】由奇函数的定义求解即可. 【解析】函数为奇函数，其定义域为，所以， 所以， 即， 所以，所以. 故答案为： 题型十 三角函数的零点问题 【典例1】已知函数在内单调递增，则在内的零点个数最多为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦型函数的单调性求出的取值范围，分析可知，当取最大值时，函数在内的零点个数最多，然后结合正弦型函数的基本性质可求得结果. 【解析】当时，， 由于正弦函数的增区间是， 所以，， 即，解得，即． 又因为，由于，，可得， 显然，越大，周期越小，零点也越多，故当时零点最多， 当时，，， 令，可得， 所以，函数在区间内的零点个数最多为. 故选：B. 【典例2】已知函数在上有且仅有三个零点，则正数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意结合余弦函数的图象可得，解不等式组可求得正数的取值范围. 【解析】为使函数满足有且仅有三个零点，根据余弦函数的图象可得， 解得，故的取值范围是． 故答案为： 【变式1】（多选）已知函数，下列说法正确的有（   ） A．的图象关于点对称 B．若，则是的整数倍 C．在有2个零点 D．不等式的解集为， 【答案】AD 【解析】A：由，即的图象关于点对称，对； B：由，则，可得， 所以，则是的整数倍，错； C：由，则，结合正弦函数的图象及周期性知：共有3个零点，错； D：由题设，则，可得，解集为，对. 故选：AD 【变式2】已知函数，（其中，为常数，且）有且仅有5个零点，则a的值为 ，的取值范围是 ． 【答案】 1 【解析】由条件可得函数必有一个零点为，即可求出，然后令可得，然后可建立不等式求解. 【解析】因为函数，为偶函数，有且仅有5个零点 所以必有一个零点为，所以，即 令，可得，即，即 因为有且仅有5个零点，所以，解得 故答案为：1； 【变式3】已知函数图象上相邻的一个最高点和一个最低点分别为，. (1)求的解析式； (2)求在上的单调增区间； (3)设，证明：函数在上必有零点. 【答案】(1) (2)和 (3)证明过程见解析 【解析】（1）因为图象上相邻的一个最高点和一个最低点分别为，， 所以该函数的最小正周期为，且， 又因为， 所以由， 把代入解析式中，得， 又因为，所以令，即，因此； （2）由， 因为， 所以令，得，即，而， 所以； 令，得，即，而， 所以 所以函数在上的单调增区间为，和； （3）， 当时，， 则，且在上的图象为一条连续不间断的曲线， 所以根据函数零点存在原理，函数在上必有零点. 【变式4】（24-25高一上·广东广州·期末）已知函数的定义域为R，且，． (1)若，求A与； (2)证明：函数既是偶函数又是周期函数； (3)若为的一个周期，且在上单调递减，记的正的零点从小到大依次为，，，…，证明：在区间上有4048个需点，且． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1） 根据函数值计算求出余弦函数的参数值； （2）应用偶函数定义证明，应用周期定义证明； （3）赋值法得出零点结合对称性及周期性即可证明函数的零点个数及恒等式. 【解析】（1）因为， ① 令，可得，， 因为，所以， 由，得． 由，得， 解得． 因为，所以， 所以. （2）由（1）得，， ①中，令可得，， 即，所以函数为偶函数； 令得，， 即有， 从而可知，， 故， 即． 所以函数是一个周期为的周期函数． （3）由（1）得，， 在中， 令，可得， 因为，所以， 所以，又因为在上是减函数， 所以在上有且仅有一个零点． 中，令，得． 所以在区间上有且仅有一个零点． 又因为是偶函数，所以在上有且仅有一个零点，即在一个周期内有且仅有2个零点． ， 所以在内的零点为和． ，，． 因此，对任意，在上有且仅有两个零点： ，． 在上有4048个零点： ，，，，，，， 其中，． 题型十一 三角函数的图像变换问题 解｜题｜技｜巧 A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响: （1）φ对函数图象的影响（平移变换） 函数（其中）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左（当时）或向右（当时）平移个单位长度而得到（可简记为“左加右减”）. φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位. （2）对函数图象的影响（周期变换） 函数的图象，可以看作是把的图象上所有的点的横坐标缩短（当）或伸长（当时）到原来的（纵坐标不变）而得到. ω决定了函数的周期 （3）对函数图象的影响（振幅变换） 函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）到原来的倍而得到. 【典例1】已知曲线，，则（   ） A．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 B．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 C．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 D．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 【答案】A 【分析】根据给定的函数，利用三角函数图象变换，结合诱导公式逐项分析判断. 【解析】对于A，所得曲线为，A正确； 对于B，所得曲线为，B错误； 对于C，所得曲线为，C错误； 对于D，所得曲线为，D错误. 故选：A. 【变式1】为了得到的图象，只要把的图象向左平移（   ）个单位长度 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数图象变换结合诱导公式逐项分析判断. 【解析】对于选项A：若把的图象向左平移个单位长度， 可得， 不合题意，故A错误； 对于选项B：若把的图象向左平移个单位长度， 可得， 符合题意，故B正确； 对于选项C：若把的图象向左平移个单位长度， 可得， 不合题意，故C错误； 对于选项D：若把的图象向左平移个单位长度， 可得， 不合题意，故D错误； 故选：B. 【变式2】（多选）为了得到函数的图象，只需要将的图象上所有的点（   ） A．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【答案】AC 【解析】对于A，将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的解析式为， 再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 所得图象对应的解析式，故A正确. 对于B，将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的解析式为， 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 所得图象对应的解析式，故B错误. 对于C，将图象上的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 所得图象对应的解析式为，再向右平移个单位长度， 所得图象对应的解析式，故C正确. 对于D，将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的解析式为， 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 所得图象对应的解析式，故D错误. 故选：AC. 【变式3】（多选）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） B．先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） C．所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 D．所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 【答案】BC 【分析】利用三角函数的平移伸缩变换即可求解. 【解析】对于A，将先向右平移个单位长度，可得， 再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得，故A错误； 对于B，将先向左平移个单位长度，可得， 再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得，故B正确； 对于C，将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得， 再向左平移个单位长度得，故C正确； 对于D，将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得， 再向左平移个单位长度得，故D错误. 故选：BC. 题型十二 由图像求三角函数的解析式 解｜题｜技｜巧 确定函数（）的解析式的步骤: （1）求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则，． （2）求，确定函数的周期，则． （3）求，常用方法有 ①代入法：把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上）或把图象的最高点或最低点代入． ②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口． 【典例1】已知函数的部分图象如图所示，将图象上的所有点向左平移个单位长度得到的函数表达式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由最高点得到，由相邻零点得到周期进而得到，再代入一个上升零点得到，从而得到解析式，由图象平移结合诱导公式得到平移后的解析式. 【解析】由最高点知， 因为与轴相邻交点的横坐标分别为和，所以即， 所以 将代入得， 所以， 因为，所以，所以， 图象上的所有点向左平移个单位长度得到， 故选：D. 【典例2】已知函数（其中，，.）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用周期公式结合函数图象求出和的值，即，再找一点坐标代入函数解析式即可求值，再根据平移变换求出即可. 【解析】由函数图象可知，即，解得， 函数的最大值为，则， 所以函数解析式为， 将点代入解析式得，则, 解得， 又因为，所以时，， 所以函数解析式为， 将函数图象上所有点向左平移个单位长度， 得到函数. 故选：A 【变式1】已知函数的部分图象如图所示，则将该函数图象向左平移个单位后得到的函数为（   ）    A．B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据图象，得，再根据图象平移求解. 【解析】根据图象，，， 所以，则， 则将该函数图象向左平移个单位后得到的函数为. 故选：C 【变式2】已知函数的部分图像，如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)将函数的图像向右平移个单位，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的单调递增区间. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）结合三角函数的图像求参数的值即可得解； （2）由三角函数图像的平移和伸缩变换求出函数的解析式，再结合三角函数单调区间的求法即可. 【解析】（1）由题图得， 因为，∴. 由，得， 所以，解得. 又因为，∴当时，. 又由，得. 故. （2）将 的图像向右平移个单位， 得到的图像， 再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得到的图像. 由，，得， 当时，；当时，， 因为，所以函数在区间上的单调递增区间为， 【变式3】已知函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． (1)求函数和的解析式； (2)求函数的单调递增区间和对称中心； (3)求函数在区间上的值域． 【答案】(1)，;(2)（），对称中心为（）.;(3) 【分析】（1）首先根据图象的最值确定，然后根据图象求出最小正周期，进而可求出，然后根据图象经过的点的坐标求出，从而得到函数的解析式；根据图象的变化和平移求出的解析式. （2）根据正弦函数的单调性和对称中心公式求出结果. （3）根据的范围和正弦函数的性质求出函数的值域. 【解析】（1）由图象可知，设函数的最小正周期为， 所以，解得， 所以，所以， 又的图象过点，所以， 所以，解得， 又，所以，所以． 将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到， 再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到. （2）令，，解得，， 即函数的单调递增区间为（）， 令，，解得，， 所以函数的对称中心为（）. （3）当时，，所以， 所以，即函数在区间上的值域为． 题型十三 三角函数图像与性质的综合应用 【典例1】（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 C．直线是图象的一条对称轴 D．图象的对称中心为 【答案】D 【分析】先根据图象确定的值，再通过周期求出，然后根据特殊点求出，得到函数表达式后，依次对各选项进行判断. 【解析】由函数图象可知，函数的最大值为，因为，所以. 设函数的周期为，则，则，所以， 此时. 已知函数图象过点，则， 即，所以，， 因为，解得，那么. 对于A，，所以选项A正确； 对于B，将的图象向左平移个单位长度， 得到， 所以选项B错误； 对于C，因， 所以直线不是图象的一条对称轴，选项C错误； 对于D，令，，解得，，此时， 所以图象的对称中心为，，选项D正确. 故选：AD. 【典例2】已知函数的最小正周期为. (1)求函数在区间上的单调递增区间； (2)已知函数的最小值为1； ①求的值； ②若，使得，求实数m的取值范围. 【答案】(1)函数单调递增区间为，. (2)① ② 【分析】（1）由周期求得函数解析式，由正弦函数的性质求得函数的单调区间，即可得答案； （2）①令.若由二次函数的最小值点建立方程解得并验证；若得函数最小值；若，再讨论对称轴的范围，从而得到对于情况的最小值，解得；即可求得符合条件的. ②由①中结论求得和在对应区间的范围，讨论，，时分别求得的范围，由集合的包含关系建立不等式组，解得实数m的取值范围. 【解析】（1）由题意可知，∴，即， 令，则， ∴函数单调递增区间为，. （2）①令，则， 当时，函数开口向下，则或为函数的最小值， 即或， 解得（舍去）或. 当时，，此时最小值为，不合题意舍去. 当时，，不合题意舍去. 当时，函数的对称轴， 当，即，此时函数最小值为，解得（舍去）； 当，即，此时函数最小值为，整理得，即，解得（舍去）或； ∴. ②由①可知当时，函数， 由（1）可知函数在区间上单调递增，在上单调递减， ∴时，， 当时，，不合题意舍去， 当时，，由题意得， 即，解得， 当时，，由题意得， 即，解得， ∴. 【变式1】（多选）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递减 C．直线为的一条对称轴 D．若为偶函数，则 【答案】ACD 【解析】由图可知：，，则， 当时，函数取得最大值，所以，又，所以. 所以. 对A，的最小正周期为，正确； 对B，，令，则，可知在不是单调的，故错误； 对C，由，所以，所以取得最小值-3，直线为的一条对称轴，故正确； 对D，为偶函数，所以，故正确. 故选：ACD. 【变式2】已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则的图象关于直线对称 B． C．若，则将的图象向右平移个单位后，所得的图象与函数的图象重合 D．若关于的方程在区间内有两个实数解，则的取值范围为 【答案】ABD 【分析】A计算即可；B根据周期公式，代入计算函数值；C得出平移后的函数解析式，再利用诱导公式化简；D解方程，再求出符合题意的根，进而约束范围即可. 【解析】若，则，则为函数的最小值， 即直线为函数的一条对称轴，A正确； 因为，所以，B正确； 若，则将的图象向右平移个单位后， 所得的图象对应的函数为， 而，C错误； 由，得，，即，， 当时；当时；当时；当时； 若在区间内有两个实数解，则，解得，D正确． 故选：ABD． 【变式3】已知函数，且，，． (1)求的值； (2)求在区间上的单调递减区间； (3)若关于的方程在区间上有且仅有4个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知条件确定对称中心与对称轴，再结合正弦函数的对称性求得； （2）由正弦函数的单调性求解； （3）先解方程得出，或，然后由函数的图象与直线和的交点个数得出参数范围． 【解析】（1）因为，所以的图象关于直线对称． 又，所以的图象关于点对称， 则有，即， 又因为，所以． （2）因为，即在处取得最大值2，所以， 则，即，又，所以， 所以．令，可得， 由，可得，则， 所以在区间上的单调递减区间为． （3）方程可化为， 则，或． 由（2）可知，在区间上的图象如图所示， 因为方程在区间上有且仅有4个不同的实数解， 所以或 解得或． 所以实数的取值范围是． 题型十四 三角函数的实际应用 解｜题｜技｜巧 三角函数的常见应用类型 ①三角函数在物体简谐运动问题中的应用 物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始，因此可以用三角函数来模拟这种运动状态. ②三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用 物体的旋转显然具有周期性，因此也可以用三角函数来模拟这种运动状态. ③三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用 大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季节更替等都具有周期性，因此常用三角函数模型来解 决这些问题. 【典例1】阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y(m)和时间t(s)的函数关系为，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续四次到达同一位置的时间分别为，且，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的距离大于0.5m的总时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定函数的一个周期，再利用三角函数的性质解不等式即得. 【解析】设的周期为，， 根据， 可知， 所以，，所以， 令，则， 所以，可得， 所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的距离大于0.5m的总时间为. 故选：B 【变式1】如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（   ） A． B．秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则 【答案】B 【分析】根据周期求出，代入得到，从而得到函数解析式，即可判断A，代入求值判断B，根据正弦函数的性质判断C，利用特殊值判断D. 【解析】由题可知小球运动的周期，又，所以，解得， 当时，，即，，所以， 则，故A错误； 因为，， 所以秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为，故B正确； 若，则，又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故C错误； 因为，令，， 则，， 满足且时刻小球偏离于平衡位置的距离相同， 此时，故D错误. 故选：B 【变式2】（多选）在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在适当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．，频率为，初相为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在上的值域为 D．若在上恰有4个零点，则m的取值范围是 【答案】BD 【解析】根据函数的图象，，，故，所以； 当时，， 所以，，整理得，， 由于，所以当时，，故． 对于A，，频率为，初相为，故A错误； 对于B：当时，，故B正确； 对于C：由于，故，故，故C错误； 对于D：，则，若在上恰有4个零点， 则，解得， 故的取值范围是，D正确． 故选：BD． 【变式3】坐落于奉贤渔人码头的摩天轮，堪称上海独一无二的海滨摩天轮.在晴朗的傍晚时分，踏上这场别具一格的海边摩天轮之旅，你将有机会与落日余晖、轻柔晚风、辽阔大海以及璀璨星空进行一场浪漫的邂逅.若已知摩天轮最高点距离地面高度为50米，转盘直径为40米，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动（单位：分钟）后距离地面的高度为（单位：米），转一周大约需要15分钟. (1)已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)若游客在距离地面至少40米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出，根据转一周的时间计算出，再结合初始位置计算出，由此可求； （2）化简，根据求解出的范围，由此可知结果； 【解析】（1）由题意可知：摩天轮最高点距离地面，最低点距离地面， 所以，所以， 又因为转一周大约需要，所以， 所以， 又因为， 所以且，所以， 所以； （2）因为， 令，则， 又因为，则，所以， 所以，且， 故摩天轮在运行一周的过程中，游客能有最佳视觉效果. 期末基础通关练（测试时间：30分钟） 一、单选题 1．“点在第二象限”是“角为第三象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据三角函数值在各象限的符号及充分条件与必要条件的概念判断. 【解析】若点在第二象限，则，则角为第三象限角，故充分性成立， 若角为第三象限角，则，则点在第二象限，故必要性成立， ∴“点在第二象限”是“角为第三象限角”的充要条件. 故选：C. 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据商数关系，由弦化切求值即可. 【解析】由. 故选：C 二、多选题 3．下列结论正确的是（   ） A．的图象可由的图象向左平移个单位得到 B．的最小正周期是的2倍 C．与的单调性一致，且零点相同 D．正切函数是增函数，且是奇函数 【答案】AC 【分析】由平移规则以及诱导公式可得A正确，根据周期公式可得B错误，由余弦函数性质可判断C正确，利用正切函数定义域以及图象可判断D错误. 【解析】对于A，将的图象向左平移个单位可以得到，即A正确； 对于B，的最小正周期是，而的最小正周期是； 因此的最小正周期是的倍，即B错误； 对于C，根据余弦函数图象性质可知与的单调性一致，且零点相同，即C正确； 对于D，正切函数在区间上单调递增，不是增函数， 其图象关于原点对称，是奇函数，因此D错误. 故选：AC 4．（多选）已知函数，则下列关于的性质的描述正确的有（   ） A．关于点对称 B．的最小正周期为 C．在上单调递减 D．关于直线对称 【答案】BD 【分析】根据三角函数的对称性、周期性、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解析】A项：对称中心纵坐标应为1，故A错误； B项：的最小正周期：，故B正确； C项：当时，， 所以在上单调递减， 而，应在上单调递增，故C错误； D项：对称轴：，即， 当时，，故D正确. 故选：BD 5．（多选）已知，函数在上单调递减，则实数的取值可以是（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】AB 【分析】根据的范围得出，根据的单调性可得出即可得出的可能取值． 【解析】，， 由于函数在上单调递减， ，，解得，， 时，，     的值可以是． 故选：AB． 三、填空题 6．已知，则 ． 【答案】 【分析】利用诱导公式及同角公式计算得解. 【解析】由，得 . 故答案为： 7．已知函数，将曲线向左平移个单位长度后，所得图象关于原点对称，则的最小值为 . 【答案】 【解析】将曲线向左平移个单位长度后，所得曲线解析式为：， 因为的图象关于原点对称，所以，即， 因为，所以当时，取得最小值. 故答案为： 8．已知函数是偶函数，将的图象沿轴向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.已知的图象相邻对称中心之间的距离为，则 ，若的图象在其某对称轴处对应的函数值为，则在上的最大值为 . 【答案】 【解析】由题意，根据三角函数图象的对称性求出，根据函数图象的平移变换与拉伸变换，求出的解析式，由已知求出的最小正周期，即可得的值，再结合三角函数的性质，求出，得到的解析式，即可得在上的最大值. 【解析】函数是偶函数， ，， 又， ， ， 将的图象沿轴向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为， ， 的图象相邻对称中心之间的距离为， ，解得， 的图象在其某对称轴处对应的函数值为， ， ， 当时，，， 故， 在上的最大值为. 故答案为：；. 四、解答题 9．已知为第三象限角，且． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式以及诱导公式即可求解； （2）利用齐次式以及弦切互化即可求解． 【解析】（1）因为为第三象限角，且， 所以，解得（正值舍去）， 所以； （2）． 10．已知函数． (1)写出由的图象变换得到的图象的过程； (2)求在上的单调减区间； (3)若，且，求． 【答案】(1)答案见解析;(2);(3) 【分析】（1）先将的图象向左平移个单位，再将每个点的横坐标变为原来的一半（纵坐标不变），最后将每个点的纵坐标变为原来的两倍（横坐标不变）即可； （2）由求出的范围，结合正弦函数性质列不等式求函数的单调递减区间， （3）由条件可得，结合关系化简方程可得，，由此可求结论. 【解析】（1）由的图象变换得到的图象的过程为， 先将的图象向左平移个单位可得的图象， 再将的图象的每个点的横坐标变为原来的一半（纵坐标不变），可得的图象， 最后将的图象的每个点的纵坐标变为原来的两倍（横坐标不变）可得函数的图象； （2）因为，所以， 因为y＝sinx在上单调递减，在和上单调递增， 令，可得， 所以函数在上的单调减区间为．（注意端点开闭均可） （3）因为，所以， 因为，所以， 所以，， 所以， 即，所以． 期末重难突破练（测试时间：45分钟） 一、单选题 1．设，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】将分子上的1用，然后分子分母同除以，化为只含的式子，再代值计算即可. 【解析】因为， 所以 . 故选：A 2．将正弦曲线向左平移个单位得到曲线，再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线，最后将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的，若曲线恰好是函数的图象，则在区间上的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数图象的变换规律可得的解析式，结合x的取值范围利用正弦函数的性质，即可求得答案. 【解析】将正弦曲线向左平移个单位得到曲线：的图象， 再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线：的图象， 将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到是曲线：的图象， 由于曲线恰好是函数的图象，故， 由得， 故， 故选：B 3．若函数对任意的x都有，则等于（   ） A．3或0 B．或0 C．0 D．或3 【答案】D 【分析】是的一条对称轴，故而为的最大值或最小值． 【解析】任意实数都有恒成立， 是的一条对称轴，当时，取得最大值3或最小值． 故选：D． 4．下列命题正确的是（   ） A．在第二象限是减函数 B．在上是减函数 C．奇函数 D．在第一、四象限内是增函数 【答案】C 【解析】对于A，在每一个区间上都是减函数， 在第二象限是减函数，故A错误； 对于B，在上是增函数，故B错误； 对于C，， 所以的定义域为，关于原点对称， ， 所以是奇函数，故C正确； 对于D，在的每一个区间上是增函数， 不能说在第一、四象限内是增函数，故D错误. 故选：C.     5．已知函数（其中，，.）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用周期公式结合函数图象求出和的值，即，再找一点坐标代入函数解析式即可求值，再根据平移变换求出即可. 【解析】由函数图象可知，即，解得， 函数的最大值为，则， 所以函数解析式为， 将点代入解析式得，则, 解得， 又因为，所以时，， 所以函数解析式为， 将函数图象上所有点向左平移个单位长度， 得到函数. 故选：A 6．已知函数，给出下列结论：①是周期函数；②的最小值是；③在区间上单调递减．其中正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】由已知得，易知，故是周期函数，故①正确； 当时，，，故②错误； 结合解析式，知在上单调递减，在上单调递减，而，故③错误． 故选：B 二、多选题 7．已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递减 C．点是图象的一个对称中心 D．将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称 【答案】BC 【分析】由周期公式判断A；根据余弦函数的单调性可判断B；由代值法判断C；根据图象平移写出解析式判断奇偶性可判断D. 【解析】对于A，的最小正周期为，故A不正确； 对于B，当时，，由余弦函数的单调性可得函数在单调递减，故B正确； 对于C，因为，故是图象的一个对称中心，故C正确； 对于D，因为，显然不关于轴对称，故D不正确 故选：BC. 8．已知函数，下列说法正确的有（   ） A．的图象关于点对称 B．若，则是的整数倍 C．在有2个零点 D．不等式的解集为， 【答案】AD 【解析】A：由，即的图象关于点对称，对； B：由，则，可得， 所以，则是的整数倍，错； C：由，则，结合正弦函数的图象及周期性知：共有3个零点，错； D：由题设，则，可得，解集为，对. 故选：AD 三、填空题 9．已知函数的最小正周期为，且的图象关于点对称，则 ，的最小正值为 ． 【答案】 4 【分析】利用正弦函数的最小正周期公式求解第一空，利用整体代入法求解对称中心，进而得到a的最小正值求解第二空即可. 【解析】若的最小正周期为，可得， 则，令， 解得，当时，，则a的最小正值为． 故答案为：4； 10．函数的图像是由函数（大于零）的图像向左平移个单位所得，若函数在范围内单调，则的范围是 . 【答案】 【解析】是由（大于零）向左平移个单位所得，故， 又在即上单调， ∴， ,， 由或， 或， 综上，的范围为. 故答案为：. 四、解答题 11．已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在区间内的值域． 【答案】(1);(2) 【分析】（1）由图象确定周期和最值得到，，再结合点，即可求解； （2）确定平移后解析式，即可求解. 【解析】（1）设的最小正周期为T， 由图可知，，，即， 且，所以， 此时， 将代入得，即， 且，则， 可得，解得， 所以． （2）将函数的图象向右平移个单位长度， 得到； 再将横坐标变为原来的2倍，得； 因为，， 所以函数在区间内的值域为． 12．已知点是函数图象上的任意两点，，且当时，的最小值为. (1)求的解析式； (2)将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位得到的图象，若在区间上有最大值没有最小值，求实数的取值范围. 【答案】(1);(2) 【分析】（1）根据可求得，根据当时，的最小值为，可得，即可求得； （2）根据三角函数的变换规则得到解析式，再由的取值范围，求出的范围，最后结合正弦函数的性质计算可得. 【解析】（1）因为，所以、， 依题意可得得， 又∵当时，的最小值为， ∴，又，即， ∴. （2）将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到， 再向左平移个单位得到， 当，所以， 因为在区间上有最大值没有最小值，所以， 解得， 即实数的取值范围为. 期末综合拓展练（测试时间：60分钟） 一、单选题 1．若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】易得函数与的周期相等，从而可求出，再根据余弦函数和正切函数的对称性分别求出两个函数的对称中心，进而可得出答案. 【解析】因为函数的相邻对称中心的距离都是半个周期， 且函数与函数图象的对称中心完全一致， 所以函数与的周期相等， 则函数的周期，即，所以， 则， 令，故， 令，则， 故，解得， 因为，所以． 故选：D． 2．设函数，其中.若对任意的恒成立，则下列结论正确的是（   ） A．为函数的一个对称中心 B．的图像关于直线对称 C．在上为严格减函数 D．函数的最小正周期为 【答案】D 【分析】由对任意的恒成立得函数在取得最大值，从而可以求解，得到函数的解析式，然后结合正弦函数的性质分析各选项即可判断． 【解析】解：由对任意的恒成立得函数在取得最大值， 所以，则， 所以， 整理得， 对于，，则不是函数的对称中心，故错误； 对于，，则不是函数的对称中轴，故错误； 对于，令，， 解得，，， 显然不包含区间，故错误； 对于，，所以的最小正周期为，故正确． 故选：D． 3．已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，则的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象可确定A；求出周期即可求得，利用图象过特殊点即可确定，由此可得函数解析式，结合图象的平移变换即可求得答案. 【解析】根据图象可得，周期， 又，则，所以， ，则，，因为，则， 所以函数的解析式为， 由函数的图象向右平移个单位长度得到 的图象，即， 故选：D. 4．函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定函数的性质，利用函数的奇偶性及函数取值情况判断即可. 【解析】函数中， ，，即函数定义域为， ， 函数是偶函数，其图象关于轴对称，排除BD； 当时，，即，排除A. 故选：C 5．已知函数在上满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由求出的范围，然后结合正弦函数的图象可得，从而可求出的取值范围. 【解析】因为，所以， 因为， 所以由图象可得， 解得. 故选：D 二、多选题 6．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在适当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．，频率为，初相为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在上的值域为 D．若在上恰有4个零点，则m的取值范围是 【答案】BD 【解析】根据函数的图象，，，故，所以； 当时，， 所以，，整理得，， 由于，所以当时，，故． 对于A，，频率为，初相为，故A错误； 对于B：当时，，故B正确； 对于C：由于，故，故，故C错误； 对于D：，则，若在上恰有4个零点， 则，解得， 故的取值范围是，D正确． 故选：BD． 三、填空题 7．设为实数，若函数在区间上既有最大值，又有最小值，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据的取值范围，求出的取值范围，依题意可得，解得即可. 【解析】由，所以， 依题意可得，解得，所以的最小值为. 故答案为： 8．已知函数，，若的图象与的图象的交点分别为，则 . 【答案】10 【分析】分析函数的性质，再确定交点个数，进而求得答案. 【解析】函数在上单调递减，当时，， ，则的图象关于点对称， 的最小正周期为2，，的图象关于点对称， 因此函数与的图象有相同的对称中心，它们的交点关于点对称， 当时，，即当时，函数与的图象没有交点， 根据对称性，时两者没有交点， 当时，在上递增，在上递减，， ，， 当时，，因此当时，函数与的图象有2个交点， 根据对称性，时，两图像也有交点. 所以函数与的图象共有5个交点，. 故答案为：10 四、解答题 9．已知函数（，，）的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)直接写出函数的增区间及取得最大值时的集合； (3)若关于的方程在上有四个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)单增区间为，取得最大值时的集合 (3) 【分析】（1）根据振幅和周期可得，代入最值点即可求， （2）利用整体法即可求解， （3）根据三角恒等变换可将问题转化为在上有四个不同的实数根，利用换元以及三角函数的图象，进一步将问题转化为在上有两个不相等的实数根，即可分离常数，结合对勾函数的图象求解. 【解析】（1）由图可知周期，故, 此时， 代入可得,故，解得 由于，故取，， （2）,解得， 故单增区间为， 由可得,故，解得， 故取得最大值时的集合 （3）由可得，， 即在上有四个不同的实数根， 令，则， ，则，， 令,则,如图， 要使在上有四个不同的实数根， 则需要在上有两个不相等的实数根 故， 由于时，无解，故，则， 令则且，故， 由于在单调递减，此时至多一个实数根，不符合题意， 故，如图： 当时，， 当且仅当时，取等号， 故 10．设a为常数，函数. (1)当时，求的值域； (2)讨论在区间上的零点的个数； (3)设n为正整数，在区间上恰有2025个零点，求所有可能的正整数n的值. 【答案】(1);(2)答案见解析;(3)1350 【分析】（1）对函数化简得，然后利用换元法得到，，从而求解； （2）根据（1）中换元后得，且，然后分类讨论的情况，从而求解； （3）由（1）（2）知有两个零点，然后分类讨论的情况，根据有零点个，从而求解出的值. 【解析】（1）由题意，令，， 所以，，所以，，， 当时，，对称轴，所以，， ，所以， 故的值域为. （2）由（1）知，记的两零点为，， 当，即时，则，无零点； 当，即时，则，有个零点； 当，即时，则，有个零点； （3）由（1）（2）知，有两个零点，， 当，即时，得，在（为正整数），内零点个数为， 在内零点个数为，因为，所以； 当，即时，，在（为正整数）内零点个数为， 在内零点个数为，因为，所以； 当时，则，.，在和（为正整数）内零点个数均为，此时没有满足题意得n； 当时，则，，在（为正整数）内零点个数均为，此时没有满足题意得n； 当，则，，在和（为正整数）内零点个数均为，此时没有满足题意得n； 综上的所有可能值为1350. 49 / 108 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角函数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 正弦、余弦、正切函数的基本图像与性质 熟记y=sinx、y=cosx、y=tanx的图像形状，明确其定义域、值域、周期；能独立推导三者的奇偶性、单调性（单调区间）、对称中心/对称轴；会利用基本性质判断简单三角函数的取值范围 题型：选择/填空或解答题 难度：基础为主（80%），含参数中档（20%）； 特点：高频，结合函数与方程考查，多为中档铺垫. 三角函数的单调性与最值 能结合定义域求三角函数的最值，解决含参数的最值问题；会利用单调性比较三角函数值大小 题型：选择/填空或解答题第一问； 难度：基础为主（80%），含参数中档（20%）； 特点：高频，多为中档铺垫. 三角函数的周期性与对称性 掌握三角函数周期的求解方法；能求三角函数的对称轴方程、对称中心坐标；会利用周期性简化计算 题型：选择/填空或辅助考查； 难度：基础（60%）、含参数中档（40%）； 特点：必考，多为基础铺垫. 由三角函数图像求解析式 会从图像提取振幅A、周期T（求ω）；掌握用特殊点（结合单调性）求初相φ的方法；能验证解析式与图像的匹配性 题型：选择/填空 难度：基础题； 特点：高频，多为基础铺垫. 三角函数的图像变换（平移、伸缩） 掌握平移、伸缩变换的具体规则；区分 “先平移后伸缩” 与 “先伸缩后平移” 的平移量差异；会根据变换步骤写目标函数解析式 题型：选择/填空或解答题第一问； 难度：基础为主（80%），含参数中档（20%）； 特点：高频，多为基础铺垫. 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质 掌握该函数的振幅、周期、相位等含义；能结合图像分析其定义域、值域、单调性、对称性、最值；会解决该函数的综合问题（如与不等式、最值结合） 题型：选择/填空或解答题考查； 难度：基础（60%）、含参数中档（40%）； 特点：必考，多为中档铺垫. 知识点01 周期函数的概念（概念+公式+示例+易错点） （1）周期函数的定义：函数，定义域为I，当时，都有，其中T是一个非零的常数，则是周期函数，T是它的一个周期. 注意：定义是对I中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说T是的一个周期. （2）最小正周期：对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期. （3）周期函数的周期公式 （1）一般地，函数的最小正周期 （2）若函数的周期是，则函数的周期为, 求三角函数周期的方法 ①定义法：利用周期函数的定义求解． ②公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝. 注：若函数的周期是，则函数的周期为, ③图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可． 示例：“”是“的最小正周期为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 易错点：运用周期公式运用未注意是. 知识点02 正（余）弦函数的图象（图像+性质+示例+易错点） （1）正（余）弦函数的图象 函数 y＝sin x y＝cos x 图象 图象画法 五点法 五点法 关键五点 ,,,, ,,,, （2）用“五点法”作正（余）弦函数的简图步骤 （1）确定五个关键点：最高点、最低点、与轴的三个交点（三个平衡点）； （2）列表：将五个关键点列成表格形式； （3）描点：在平面直角坐标系中描出五个关键点； （4）连线：用光滑的曲线连接五个关键点，注意连线时，必须符合三角函数的图象特征； （5）平移：将所作的上的曲线向左、向右平行移动（每次平移个单位长度），得到的图象即为所求正弦曲线、余弦曲线． 示例：作出函数,的简图,并求使成立的x的取值范围. 易错点：未将函数解析式与正弦函数的区别识别出来导致利用图像求解出错. 知识点03 正（余）弦函数的性质（图像+性质+示例+易错点） 图象 定义域 值域 [-1,1] [-1,1] 最值 周期性 奇偶性 奇 偶 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 对称性 对称轴方程： 对称中心， 对称轴方程： 对称中心， 示例：（多选）若函数的最大值是4，最小值是，则（   ） A．-4 B．1 C．2 D．3 易错点：未对分类讨论，结合余弦函数的有界性导致错误. 知识点04 正切函数的图象与性质（图像+性质+示例+易错点） （1）定义域：， （2）值域：R （3）周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是 （4）奇偶性：正切函数是奇函数，即． （5）单调性：在开区间内，函数单调递增 示例：函数的单调区间是（   ） A． B． C． D． 知识点05 函数y＝Asin（ωx＋φ）图象（图像+性质+示例+易错点） （1）A、φ、ω的含义 ①A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅. ②φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位. ③ω决定了函数的周期 （2）用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示. x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 示例：（多选）已知函数的部分图象如图所示，、是的图象与轴的两个交点，是图象上的一个最高点，且是正三角形，则（   ）    A． B． C． D．的图象与直线有个交点 易错点：未考虑，导致解析式出错. 知识点06 三角函数图象变换（变换+示例+易错点） （1）振幅变换：要得到函数y＝Asinx（A＞0，A≠1）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到． （2）平移变换：要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到． （3）周期变换：要得到函数y＝sinωx(x∈R)（其中ω＞0且ω≠1）的图象，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标缩短（当时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变）即可得到． （4）函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 （5）三角函数图象变换中的三个注意点 ①变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数； 例如：或 ②要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数图象，得到的是哪个函数图象，切不可弄错方向； ③要弄准变换量的大小，特别是平移变换中 函数y＝Asin x到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位， 函数y＝Asin ωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是个单位 示例：将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 易错点：未利用诱导公式讲不同名函数化为同名函数处理出错. 题型一 同角三角函数关系 解｜题｜技｜巧 1.同角三角函数的基本关系: 基本关系式 语言描述 平方关系 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. 商数关系 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切. 2.公式的常见变形: 【典例1】如果，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知，则 . 【变式2】（多选）已知，，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】平面直角坐标系中，已知角的终边经过点. (1)求的值； (2)求的值. 题型二 诱导公式的应用 解｜题｜技｜巧 1．诱导公式 (1)诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 七 八 角 正弦 余弦 正切 余切 口诀 函数名不变，符号看象限. 函数名改变，符号看象限. (2)诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将任意角转化为0～2π的角求值 公式二 将0～2π的角转化为0~π的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 公式四 将～π的角转化为0～的角求值 公式五 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 公式六 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 2．一组重要公式 (1)(n∈Z). ①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z). ②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有 (k∈Z). (2)(n∈Z). ①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z). ②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有 (k∈Z). 类似地，有： (3)(n∈Z). (4)(n∈Z). 3．诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 4．用诱导公式求值 用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有与，与，与等，常见的互补关系与，与，与等. 【典例1】已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，点在角的终边上，则=（ ） A． B． C． D． 【变式1】若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知角的终边上有一点，则=__________ 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，且． (1)若点的横坐标为，求的值； (2)求的值． 题型三 三角函数的周期 解｜题｜技｜巧 周期函数的定义: 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D， 且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. 最小正周期的定义：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期 【典例1】下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列四个函数中，以为最小正周期的奇函数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】若函数的最小正周期为，则常数 ． 【变式3】设函数的最小正周期为，则它的一条对称轴方程为（ ） A． B． C． D． 题型四 正弦函数、余弦函数的图像及应用 解｜题｜技｜巧 (1)正弦函数的图象 ①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象，如图所示. （2）余弦函数的图象 ①图象变换法作余弦函数的图象 由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函 数y=sinx,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示. 【典例1】函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】函数，的图象与直线（为常数）的交点可能有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】已知函数，则在上的零点的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】设函数，则曲线与所有交点的横坐标之和为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 题型五 三角函数的定义域与值域 解｜题｜技｜巧 （1）三角函数的定义域求解技巧 ①结合函数结构限制：偶次根式：被开方数（含三角函数）≥0；分式：分母（含三角函数）≠0；对数：真数（含三角函数）>0；注意三角函数本身的定义域（如(tanx)要求。 （2）三角函数的值域求解技巧 ①利用有界性②换元法③配方法④单调性法 【典例1】函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【典例2】函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式1】函数定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式2】(多选)下列说法正确的是（   ） A．函数的定义域是 B．函数在时的值域为 C．若，则的值为0 D．函数的单调递增区间是 【变式3】函数的值域为 . 题型六 求三角函数的单调性与单调区间 解｜题｜技｜巧 (1)形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数的单调性问题，一般是将ωx＋φ看成一个整体，再结合图象利用y＝sin x求正、余弦函数以及正切函数的单调区间的策略: (1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)、y＝Atan(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，方法亦如此． 【典例1】函数的单调减区间是（   ） A． B． C． D． 【典例2】函数的单调增区间为（　　） A． B． C． D．不存在 【变式1】(多选)已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．的单调递增区间为 C．的单调递减区间为 D．在上的值域为 【变式2】已知函数，则单调增区间为 . 【变式3】函数的单调递增区间为______________ 题型七 由三角函数的单调性或值域求参 解｜题｜技｜巧 已知三角函数的单调性求参数的解题思路 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷. 【典例1】函数的最小正周期为 ，若函数在区间上单调递增，则的最大值为 . 【变式1】若函数在区间单调递增，在区间上单调递减，则＝（   ） A．3 B．2 C． D． 【变式2】已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数，，且在区间上单调，则的最大值为 ． 【变式4】已知函数，. (1)当时，求函数的最小值； (2)若的最大值为1，求实数的值； (3)对于任意，不等式都成立，求实数的范围. 题型八 三角函数的奇偶性与对称性 解｜题｜技｜巧 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质: 函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0) 定义域 R 值域 [－A，A] 周期 T＝ 对称轴方程 由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得 对称中心 由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得 单调性 增区间由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)求得， 减区间由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)求得 注:正弦、余弦型函数奇偶性的判断方法 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数． 【典例1】函数图象的对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（   ）    A． B．将的图象上所有点横坐标变为原来2倍，再向左平移个单位，得到的图象，则 C．的对称中心为， D．若，且，则 【变式1】函数的图象： ①关于点对称；②关于直线对称；③关于点对称；④关于直线对称． 正确的序号为 ． 【变式2】已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线 C．是奇函数 D．若，则 【变式3】（多选）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递减 C．直线为的一条对称轴 D．若为偶函数，则 题型九 利用三角函数的奇偶性与对称性求参 【典例1】已知函数，若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若函数为奇函数，则的最小值是___________ 【变式1】函数为上的奇函数，则的值可以是（   ） A．0 B． C． D． 【变式2】将函数的图象向右平移个单位长度后得到曲线．若曲线关于原点对称，则的最小值是________ 【变式3】（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数为奇函数，则 ． 题型十 三角函数的零点问题 【典例1】已知函数在内单调递增，则在内的零点个数最多为（   ） A． B． C． D． 【典例2】已知函数在上有且仅有三个零点，则正数的取值范围是 ． 【变式1】（多选）已知函数，下列说法正确的有（   ） A．的图象关于点对称 B．若，则是的整数倍 C．在有2个零点 D．不等式的解集为， 【变式2】已知函数，（其中，为常数，且）有且仅有5个零点，则a的值为 ，的取值范围是 ． 【变式3】已知函数图象上相邻的一个最高点和一个最低点分别为，. (1)求的解析式； (2)求在上的单调增区间； (3)设，证明：函数在上必有零点. 【变式4】（24-25高一上·广东广州·期末）已知函数的定义域为R，且，． (1)若，求A与； (2)证明：函数既是偶函数又是周期函数； (3)若为的一个周期，且在上单调递减，记的正的零点从小到大依次为，，，…，证明：在区间上有4048个需点，且． 题型十一 三角函数的图像变换问题 解｜题｜技｜巧 A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响: （1）φ对函数图象的影响（平移变换） 函数（其中）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左（当时）或向右（当时）平移个单位长度而得到（可简记为“左加右减”）. φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位. （2）对函数图象的影响（周期变换） 函数的图象，可以看作是把的图象上所有的点的横坐标缩短（当）或伸长（当时）到原来的（纵坐标不变）而得到. ω决定了函数的周期 （3）对函数图象的影响（振幅变换） 函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）到原来的倍而得到. 【典例1】已知曲线，，则（   ） A．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 B．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 C．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 D．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 【变式1】为了得到的图象，只要把的图象向左平移（   ）个单位长度 A． B． C． D． 【变式2】（多选）为了得到函数的图象，只需要将的图象上所有的点（   ） A．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【变式3】（多选）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） B．先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） C．所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 D．所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 题型十二 由图像求三角函数的解析式 解｜题｜技｜巧 确定函数（）的解析式的步骤: （1）求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则，． （2）求，确定函数的周期，则． （3）求，常用方法有 ①代入法：把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上）或把图象的最高点或最低点代入． ②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口． 【典例1】已知函数的部分图象如图所示，将图象上的所有点向左平移个单位长度得到的函数表达式可以是（   ） A． B． C． D． 【典例2】已知函数（其中，，.）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数的部分图象如图所示，则将该函数图象向左平移个单位后得到的函数为（   ）    A．B． C． D． 【变式2】已知函数的部分图像，如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)将函数的图像向右平移个单位，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的单调递增区间. 【变式3】已知函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． (1)求函数和的解析式； (2)求函数的单调递增区间和对称中心； (3)求函数在区间上的值域． 题型十三 三角函数图像与性质的综合应用 【典例1】（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 C．直线是图象的一条对称轴 D．图象的对称中心为 【典例2】已知函数的最小正周期为. (1)求函数在区间上的单调递增区间； (2)已知函数的最小值为1； ①求的值； ②若，使得，求实数m的取值范围. 【变式1】（多选）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递减 C．直线为的一条对称轴 D．若为偶函数，则 【变式2】已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则的图象关于直线对称 B． C．若，则将的图象向右平移个单位后，所得的图象与函数的图象重合 D．若关于的方程在区间内有两个实数解，则的取值范围为 【变式3】已知函数，且，，． (1)求的值； (2)求在区间上的单调递减区间； (3)若关于的方程在区间上有且仅有4个不同的实数解，求实数的取值范围． 题型十四 三角函数的实际应用 解｜题｜技｜巧 三角函数的常见应用类型 ①三角函数在物体简谐运动问题中的应用 物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始，因此可以用三角函数来模拟这种运动状态. ②三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用 物体的旋转显然具有周期性，因此也可以用三角函数来模拟这种运动状态. ③三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用 大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季节更替等都具有周期性，因此常用三角函数模型来解 决这些问题. 【典例1】阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y(m)和时间t(s)的函数关系为，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续四次到达同一位置的时间分别为，且，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的距离大于0.5m的总时间为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（   ） A． B．秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则 【变式2】（多选）在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在适当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．，频率为，初相为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在上的值域为 D．若在上恰有4个零点，则m的取值范围是 【变式3】坐落于奉贤渔人码头的摩天轮，堪称上海独一无二的海滨摩天轮.在晴朗的傍晚时分，踏上这场别具一格的海边摩天轮之旅，你将有机会与落日余晖、轻柔晚风、辽阔大海以及璀璨星空进行一场浪漫的邂逅.若已知摩天轮最高点距离地面高度为50米，转盘直径为40米，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动（单位：分钟）后距离地面的高度为（单位：米），转一周大约需要15分钟. (1)已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)若游客在距离地面至少40米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？ 期末基础通关练（测试时间：30分钟） 一、单选题 1．“点在第二象限”是“角为第三象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．下列结论正确的是（   ） A．的图象可由的图象向左平移个单位得到 B．的最小正周期是的2倍 C．与的单调性一致，且零点相同 D．正切函数是增函数，且是奇函数 4．（多选）已知函数，则下列关于的性质的描述正确的有（   ） A．关于点对称 B．的最小正周期为 C．在上单调递减 D．关于直线对称 5．（多选）已知，函数在上单调递减，则实数的取值可以是（   ） A．1 B． C． D．2 三、填空题 6．已知，则 ． 7．已知函数，将曲线向左平移个单位长度后，所得图象关于原点对称，则的最小值为 . 8．已知函数是偶函数，将的图象沿轴向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.已知的图象相邻对称中心之间的距离为，则 ，若的图象在其某对称轴处对应的函数值为，则在上的最大值为 . 四、解答题 9．已知为第三象限角，且． (1)求的值； (2)求的值． 10．已知函数． (1)写出由的图象变换得到的图象的过程； (2)求在上的单调减区间； (3)若，且，求． 期末重难突破练（测试时间：45分钟） 一、单选题 1．设，则（   ） A． B． C． D．1 2．将正弦曲线向左平移个单位得到曲线，再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线，最后将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的，若曲线恰好是函数的图象，则在区间上的值域是（   ） A． B． C． D． 3．若函数对任意的x都有，则等于（   ） A．3或0 B．或0 C．0 D．或3 4．下列命题正确的是（   ） A．在第二象限是减函数 B．在上是减函数 C．奇函数 D．在第一、四象限内是增函数 5．已知函数（其中，，.）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，给出下列结论：①是周期函数；②的最小值是；③在区间上单调递减．其中正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 7．已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递减 C．点是图象的一个对称中心 D．将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称 8．已知函数，下列说法正确的有（   ） A．的图象关于点对称 B．若，则是的整数倍 C．在有2个零点 D．不等式的解集为， 三、填空题 9．已知函数的最小正周期为，且的图象关于点对称，则 ，的最小正值为 ． 10．函数的图像是由函数（大于零）的图像向左平移个单位所得，若函数在范围内单调，则的范围是 . 四、解答题 11．已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在区间内的值域． 12．已知点是函数图象上的任意两点，，且当时，的最小值为. (1)求的解析式； (2)将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位得到的图象，若在区间上有最大值没有最小值，求实数的取值范围. 期末综合拓展练（测试时间：60分钟） 一、单选题 1．若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（   ） A． B． C． D． 2．设函数，其中.若对任意的恒成立，则下列结论正确的是（   ） A．为函数的一个对称中心 B．的图像关于直线对称 C．在上为严格减函数 D．函数的最小正周期为 3．已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，则的表达式为（   ） A． B． C． D． 4．函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数在上满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在适当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．，频率为，初相为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在上的值域为 D．若在上恰有4个零点，则m的取值范围是 三、填空题 7．设为实数，若函数在区间上既有最大值，又有最小值，则的最小值为 . 8．已知函数，，若的图象与的图象的交点分别为，则 . 四、解答题 9．已知函数（，，）的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)直接写出函数的增区间及取得最大值时的集合； (3)若关于的方程在上有四个不同的实数根，求实数的取值范围. 10．设a为常数，函数. (1)当时，求的值域； (2)讨论在区间上的零点的个数； (3)设n为正整数，在区间上恰有2025个零点，求所有可能的正整数n的值. 49 / 108 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $