专题04 幂函数、指数函数和对数函数数列（期末复习讲义）高一数学上学期湘教版

该高中数学复习讲义通过知识框架图和对比表格系统构建幂函数、指数函数、对数函数的知识体系，按“概念-图像-性质-应用”逻辑梳理核心考点，用表格呈现复习目标与考情规律，清晰展现知识点内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计与解题方法指导，如“复合函数单调性判定”“指数对数不等式求解”等题型配备典例与变式，培养数学思维与运算能力。基础通关、重难突破、综合拓展三层练习满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，提升复习效率。

专题04 幂函数、指数函数和对数函数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 幂函数的概念 能根据幂函数定义判断函数类型，或结合已知点求幂函数的解析式；掌握幂函数中参数α的取值对函数形式的影响 题型：选择/填空或辅助考查 难度：基础题； 特点：多为基础铺垫. 幂函数的图像与性质 能独立推导常见幂函数的定义域、值域、奇偶性、单调性；会利用幂函数的单调性比较同底数幂值的大小，或求解简单的幂函数不等式 题型：选择/填空或解答题第一问； 难度：基础为主； 特点：高频，多结合函数性质、指对函数命题. 指数函数的概念 掌握指数函数定义（形如y=ax），明确底数a的取值限制及原因；能区分“指数函数”与“指数型函数（如y=kax）”；能根据指数函数定义求参数的取值范围 题型：选择/填空或辅助考查； 难度：：基础题； 特点：多为基础铺垫. 指数函数的图像与性质 熟练推导指数函数的定义域、值域、单调性，能结合单调性求最值；会利用指数函数的性质解指数方程、指数不等式，或比较指数值的大小 题型：选择/填空或解答题小问； 难度：中档题； 特点：必考重点，解答题高频命题点 对数函数的概念 掌握对数函数定义（形如y=logax，且），明确其定义域（x>0）的要求；能根据对数函数定义求参数的取值范围 题型：选择/填空或辅助考查； 难度：：基础题； 特点：多为基础铺垫. 对数函数的图像与性质 熟练推导对数函数的定义域、值域、单调性，能结合单调性求最值；能利用性质解对数方程/不等式（需验证定义域），或比较对数值的大小 题型：选择/填空或解答题； 难度：基础（30%）、中档（50%）、难题（20%）； 特点：必考重点，解答题高频命题点. 知识点01 幂函数的概念（概念+公式+法则+示例+易错点） 1.核心概念 幂函数的概念： 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数． 幂函数的特征 ①中前的系数为“1”；②中的底数是单个的自变量“”；③中是常数 示例：下列函数是幂函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由幂函数的定义即可求解. 【解析】由幂函数的定义,形如，叫幂函数， 对A，，故A正确；B，C，D均不符合. 故选：A． 易错点：不注意系数为1易错 知识点02 常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上递增 上递增， 上递减 在上递增 在上递增 上递增 上递减 定点 注意： ①单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴． ②过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点． ③奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数． 当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数 示例：（多选）已知幂函数的图像经过点，则下列结论正确的有（  ） A．为增函数 B．若，则 C．为偶函数 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据幂函数经过点，求出幂函数的解析式，利用幂函数的性质可直接判断选 项A，C，D正误；对于选项B，根据函数解析式分别表示出，再利用不等式的性质比较大小即可. 【解析】由幂函数的图像经过点，得，所以. ，定义域为， 对于A选项：因为，由幂函数的性质得A选项正确； 对于B选项：若，则 ， 所以， 又， 所以，故B选项正确； 对于C选项：由于定义域不关于数字0对称，故C选项不正确； 对于D选项：因为为增函数，若，则，故D选项正确； 故选：ABD. 易错点：不注意幂函数性质的运用易错 知识点03 指数函数的定义 一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 注意：(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1. 知识点04 指数函数的图象与性质 图象 定义域 值域 性质 过定点（0，1），即时， 当时，；当时， 当时，；当时， 在上是增函数 在上是减函数 注意：（1）当时，指数函数的图象是“上升”的；当时，指数函数的图象是“下降”的． （2）指数函数且)的图象恒过点，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数且)的大致图象 示例：下列各函数中，是指数函数的是（  ） A． B． C． D．（，且） 【答案】D 【分析】由指数函数定义可判断选项正误. 【解析】指数函数是指形如且的函数. 则四个选项中，只有D满足条件. 故选：D. 易错点：不注意指数函数的概念易与幂函数概念混肴。 知识点05 指数函数的图象位置关系 底数的大小决定了图象相对位置的高低． （1）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序． （2）在轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为 示例：设，，，都是不等于1的正数，函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据指数函数的单调性，确定，，，与的关系，再由时，函数值的大小判断. 【解析】因为当底数大于时，指数函数是定义域上的增函数， 当底数大于且小于时，指数函数是定义域上的减函数， 所以，大于，，大于且小于， 由图知： ，即， ，即， 所以. 故选：B 易错点：注意利用指数函数单调性比较低数大小 知识点06 指数函数复合的函数单调性 （1）一般地，形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质有： ①函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域. ②当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相反的单调性. （2）求指数函数复合的函数单调性区间方法： ①先求y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的定义域 ②将y＝af(x)(a>0，且a≠1)分解成两个基本函数 ③分别将两个函数的单调区间求出来 ④在利用“同增异减”求出复合函数的单调区间。 示例：函数的单调递增区间为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据判断复合函数的单调性的方法同增异减可得答案. 【解析】令，则，因为为单调递减函数， 且函数是开口向上对称轴为轴的抛物线， 所以的单调递减区间为， 所以函数的单调递增区间为. 故选：A. 易错点：应注意利用复合函数的单调性法则求解 知识点07 解指数型不等式 (1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解； (2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解； (3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解 示例：若，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D．全不对 【答案】B 【分析】应用指数函数的单调性计算求解. 【解析】函数在上为减函数， 因为，所以， 即恒成立，． 故选：B. 易错点：应注意利用指数函数的单调性求解 知识点08 对数函数的概念 函数，且)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是． 注意：（1）对数函数是由指数函数反解后将互换得到的． （2）无论是指数函数还是对数函数，都有其底数，且 注意：①对数函数的定义域是(0，＋∞)，对数函数的底数a>0，且a≠1. ②logax前边的系数必须是1。 ③自变量x在真数的位置上，且只有x。 示例：下列函数中是对数函数的为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用对数函数概念可判断. 【解析】根据对数函数概念，形如且的函数是对数函数.结合选项知道为对数函数. 故选：D. 易错点：运用对数函数概念判断注意底数和真数要求 知识点09 对数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是上的增函数 是上的增函数 示例：已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能是（  ） A． B． C． D． 【解析】对于A选项，函数的定义域为，不满足条件； 对于B选项，函数的定义域为，不满足条件； 对于C选项，函数的定义域为， ，函数为偶函数， 当时，，则，不满足条件； 对于D选项，函数的定义域为， ，函数为偶函数， 当时，，则，满足条件. 故选：D. 易错点：注意定义域的优先考虑 知识点10 当底数不同时对数函数图象的变化规律 作直线与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得. 示例：如图所示的曲线是对数函数，，，的图象，则a，b，c，d，1的大小关系为（  ） A．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c 【答案】C 【分析】根据对数函数的图象性质即可求解. 【解析】由图可知a>1，b>1，0<c<1，0<d<1． 过点作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左到右依次为c，d，a，b，显然b>a>1>d>c． 故选：C． 易错点：注意利用对数函数单调性比较低数大小 知识点11 对数函数复合的函数的性质 ①定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域. ②值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域. ③单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定.(或运用单调性定义判定) ④奇偶性：根据奇偶函数的定义判定. ⑤最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值. 示例：函数的单调递增区间是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用对数函数的定义域得到，再结合复合函数的性质求解单调区间即可. 【解析】由，解得， 由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 由对数函数性质得在上单调递增， 则的单调递增区间是，故A正确. 故选：A. 易错点：不注意定义域优先考虑易错 知识点12 对数及对数型函数解不等式 (1)形如logaf(x)<logag(x)的不等式. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x). (2)形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<b＝logaab. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>ab； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<ab. 示例：已知函数 ，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知函数值及对数的运算性质求得，不等式化为，利用对数函数的单调性解不等式求解. 【解析】由题意得，，解得， 所以， 所以， 所以 ，即， 从而，解得， 故不等式的解集为. 故选：A. 易错点：不注意定义域优先考虑以及利用对数函数单调性列出不等式组求解易错所以，故， 所以， 令，可得， 两边取以为底数的对数可得，又， 所以， ， 所以该生物体大约死亡于公元年，即该生物体死亡时间属于西晋. 故选：C. 【变式3】（24-25高一上·陕西咸阳·期末）溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度.的计算公式为其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.甲同学在径流咸阳的渭河中取出一定的水溶液，经测定其中氢离子的浓度摩尔/升，则渭河咸阳段水溶液的值约为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数的运算性质可求得渭河咸阳段水溶液的值. 【解析】由题意可知，渭河咸阳段水溶液的值为. 故选：D. 题型一 幂函数的概念与求值 解｜题｜技｜巧 （1）幂函数的求值技巧 ①先通过待定系数法确定幂函数的解析式； ②将待求自变量的值代入解析式计算； ③代入前需先判断自变量是否在该幂函数的定义域内 （2）若幂函数含参数（如已知y=xm2−2m−3的性质求参数）： ①先结合幂函数的定义确定参数的初步范围； ②根据题目条件（如 “过定点”“单调性”）列方程 / 不等式求解参数； ③代入参数确定解析式后，再计算目标值 【典例1】已知幂函数的图象过点，则（  ） A．2 B．8 C． D．16 【答案】A 【分析】由点求得函数解析式即可求解； 【解析】设， 则，解得：， 所以， 故选：A. 【典例2】若函数，则“”是“是幂函数”的（  ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据幂函数的解析式可得，可得的值，再根据充分不必要的定义即可得结果. 【解析】由是幂函数，得， 即，解得或， 则“”是“是幂函数”的充分不必要条件. 故选：C. 【变式1】已知是常数，幂函数的图象经过原点，则（  ） A． B． C．3 D．9 【答案】D 【分析】利用幂函数的定义与性质求得，进而得到的解析式，从而得解. 【解析】因为是幂函数，则，解得， 因为的图象经过原点，则，得，则， 所以. 故选：D． 【变式2】已知幂函数的图象不过原点，则实数的值为（  ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义以及性质可得出关于实数的等式和不等式，解之即可. 【解析】因为幂函数的图象不过原点，则，解得. 故选：B. 【变式3】己知幂函数的图象过点，则 . 【答案】 【分析】先根据幂函数的定义及所过的点求出函数解析式，进而可得出答案. 【解析】因为函数是幂函数， 所以，解得， 又幂函数的图象过点， 所以，解得， 所以， 所以. 故答案为：. 题型二 幂函数的图象与性质 解｜题｜技｜巧 (1)一般幂函数的图象： ①当α=1时，y=x的图象是一条直线. ②当α=0时，y==1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线. ③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表： （p、q互质） p，q都是奇数 p是偶数，q是奇数 p是奇数，q是偶数 (2)一般幂函数的性质： 通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质： ①所有的幂函数在(0,+)上都有定义，并且图象都过点(1,1). ②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+)上是增函数. ③α<0时，幂函数在区间(0,+)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方 无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. ④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限. ⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点. 【典例1】下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（  ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 【答案】A 【分析】根据幂函数的图像特征，对照四个选项一一验证，即可得到答案. 【解析】函数为奇函数且定义域为R，该函数图像应与①对应； 函数，且该函数是偶函数，其图像关于y轴对称，该函数图像应与②对应； 的定义域、值域都是，该函数图像应与③对应； ，其图像应与④对应． 故选：A． 【典例2】已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先根据幂函数定义得，再确定的图像所经过的定点为，代入解得的值. 【解析】由于为幂函数，则，解得：，则； 函数，当 时，， 故的图像所经过的定点为， 所以，即，解得：, 故选：B. 【变式1】若函数与图象关于对称，且，则必过定点（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据得，再确定函数的图象过定点，再由函数与图象关于对称即可求解. 【解析】，，， 所以，函数的图象过定点， 又函数与图象关于对称， 因此，函数必过定点. 故选：D. 【变式2】(多选)下列函数中，满足“，，且，，都有”的是（  ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由题意得函数是偶函数，在上单调递增，在上单调递减，然后逐个分析判断即可. 【解析】由，知函数是偶函数， 由，都有，知在上单调递增， 所以在上单调递减. 对于A：不满足为偶函数，故A错误； 对于B:，符合题意，故B正确； 对于C：不满足为偶函数，故C错误； 对于D:符合题意. 故选：BD. 【变式3】已知幂函数在上单调递减． (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1);(2)． 【分析】（1）根据函数是幂函数，单调性计算求参即可；（2）根据单调性求不等式. 【解析】（1）由幂函数在上单调递减， 可得，解得，所以． （2）由函数图象关于轴对称，且在上单调递增， 则可化为，平方得， 化简得，解得，所以的取值范围是． 题型三 指数（型）函数的图像判断 解｜题｜技｜巧 （1）抓核心定点快速定位 指数函数y=ax(a>0且a≠1\)必过定点(0,1)；指数型函数（y=kax+b)必过定点(0,k+ b)。解题时先看图像是否经过对应定点，可快速排除不符合的选项。 （2） 由底数a的范围判断单调性 若a>1，指数（型）函数在定义域内单调递增，图像呈“上升”趋势； 若0<a<1，函数在定义域内单调递减，图像呈“下降”趋势。通过图像的增减方向，可直接确定底数a的大致范围。 （3） 用特殊点坐标验证底数 取x=1代入函数：对y=ax，x=1时y=a：若a>1，该点纵坐标>1；若0<a<1，纵坐标<1。结合定点和x=1处的坐标，可精准锁定底数a的取值，排除错误图像。 （4） 结合图像变换分析指数型函数 指数型函数是基本指数函数经平移/伸缩得到的。通过变换规律，可由基本指数函数图像推导指数型函数的图像形状 （5）根据函数的奇偶性来排除错误选项 【典例1】函数的图象大致为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先分析题意，根据指数函数性质进行判断即可. 【解析】，故为偶函数，图象关于y轴对称.观察可知函数在为增函数，增长方式上应与指数函数相似. .故选：D. 【变式1】函数的图象大致是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数是奇函数，排除，再排除选项B，即得解. 【解析】因为，所以. 所以函数是奇函数，排除选项. 因为，，所以排除选项B. 故选: D 【变式2】函数图象的一部分如图所示，则函数的解析式有可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性排除C、D，再由函数过点，即可判断B. 【解析】因为函数在定义域上单调递增， 因为，在定义域上单调递减，故排除C、D； 又当时，显然不过点，故B错误； 在定义域上单调递增，且，所以，符合题意. 故选：A. 【变式3】已知函数，，且，则（  ） A．，， B．，， C． D． 【答案】D 【分析】画出的图象，根据以及的大小关系确定正确答案. 【解析】令，解得， 画出的图象如下图所示， 由于，且， 由图可知：，，的值可正可负也可为，所以AB选项错误. 当时，， 满足，，所以C选项错误. ， ，所以，D选项正确. 故选：D    题型四 指数（型）函数的单调性及应用 解｜题｜技｜巧 （1） 基本指数函数单调性的判定核心 指数函数y=ax（a>0且a≠1）的单调性由底数a直接决定：当a>1时，函数在R单调递增；当0<a<1时，函数在R上单调递减。解题时先锁定底数范围，即可快速确定单调性方向。 （2） 单调性应用：指数值大小比较 同底数：直接用指数函数单调性，比较指数的大小； 不同底数：借助“中间值（如1、0）”过渡 底数、指数均不同：转化为同底数/同指数（如利用幂函数性质）后再比较。 （3） 单调性应用：解指数不等式 步骤：①统一底数：将不等式两边化为同底数的指数形式 ②去指数符号：若a>1，则不等号方向不变；若0<a<1，则不等号方向反转； ③解内层不等式：同时结合内层函数的定义域限制。 【典例1】已知函数，则（  ） A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在上是减函数 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性定义，即可判断奇偶性，根据函数单调性的定义，即可判断函数的增减性. 【解析】函数的定义域为， ，所以函数是奇函数， 且是增函数，是减函数，所以函数在上是增函数. 故选：A 【典例2】已知函数，若，则实数a的取值范围是_______________ 【答案】 【分析】构造函数，研究函数的单调性与奇偶性，利用函数性质解不等式. 【解析】令，定义域为，且， 所以函数为定义域内的奇函数，且在上单调递增； 则，则，即，即， 又因为为定义域内的奇函数，所以， 又因为在上单调递增，所以， 解得或， 故实数a的取值范围是. 故选：C 【变式1】若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】是由与复合而成，先分析外层函数单调性，再根据复合函数单调性确定内层函数单调性，进而求出的取值范围. 【解析】是由与复合而成， 在中，，，所以在上单调递减. 因为在上单调递减，且外层函数在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数在上单调递增. 对于二次函数，其图象开口向上，对称轴为. 二次函数在对称轴右侧单调递增，要使在上单调递增， 则对称轴需满足，解得. 故选：A. 【变式2】函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】利用换元法，结合复合函数单调性的关系进行转化求解即可. 【解析】设，则， 对称轴为，当，即， 即，即时，为减函数， 函数为增函数， 则为减函数， 即函数单调减区间为； 当，即， 即，即时，为减函数， 函数为减函数， 则为增函数， 即函数单调增区间为. 故答案为： 【变式3】已知函数． (1)试确定的奇偶性； (2)求证：函数在上是减函数； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)奇函数；(2)证明见解析；(3) 【分析（1）由于函数的定义域为，关于原点对称，且化简求得，可得函数为奇函数； （2）化简函数的解析式为，设，化简，可得函数在上是减函数； （3）由于为奇函数，不等式即恒成立，再由函数在上是减函数可得恒成立，即恒成立．由判别式，解得的取值范围． 【解析】（1）函数的定义域为，关于原点对称， 且有， 故函数为奇函数. （2）证明：， 设，再由， 可得， 故函数在上是减函数. （3）对任意的，不等式恒成立，为奇函数， 恒成立， 由函数在上是减函数， 可得 恒成立， 即恒成立， ，解得：， 故的取值范围为. 题型五 指数函数（复合函数）及应用 解｜题｜技｜巧 （1）指数型复合函数的单调性判断（同增异减） 对于指数型复合函数y=af(x)(a>0且a≠1）：先确定内层函数u=f(x)的单调区间；结合外层指数函数y=au的单调性：若a>1，则y与u=f(x)的单调性一致（同增同减）；若0<a<1，则y与u= f(x)的单调性相反（一增一减）。注意：需先保证内层函数f(x)的定义域有效。 （2）单调性应用：求最值/值域 用“同增异减”法确定y=af(x)的单调区间；结合f(x)的定义域，求出f(x)的取值范围；根据外层指数函数的单调性，推导y=af(x)的最值或值域。 【典例1】若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_____________ 【答案】 【分析】根据复合函数的单调性求解判断. 【解析】令，对称轴为，又是R上增函数， 因为是上的增函数， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 【变式1】若对任意的，都有恒成立，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数化为,分和两种情况讨论在区间上的最大值,进而求【解析】由得， ，所以的最小值为， 所以，． 故选：B． 【变式2】已知函数，若对任意、、，总有、、为某一个三角形的边长，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过对参量的讨论研究函数的单调性求解。 【解析】因为，，为某一个三角形的三条边长， 所以，对任意，，，恒成立， 函数， 当时，，满足，符合题意； 当时，在上递减， 所以函数的值域为， 所以且， 所以，又，所以， 当时，在上递增， 函数的值域为， 所以且， 所以，解得，所以， 综上的取值范围是． 故选：D． 【变式3】已知函数. (1)判断的单调性，并用函数单调性的定义证明； (2)判断的奇偶性，并用函数奇偶性的定义证明； (3)若不等式对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)单调递增，证明见解析；(2)奇函数，证明见解析；(3) 【分析】（1）设，利用函数单调性的定义，可得函数在上是增函数； （2）由于函数的定义域为，关于原点对称，且化简求得，可得函数为奇函数； （3）由于为奇函数，不等式可得，再由函数在上是增函数令，即对恒成立进而解得的取值范围． 【解析】（1）任取，且， 则 ， 由，得，所以， 又由，得，所以， 于是，即， 所以在上单调递增； （2）函数的定义域为，关于原点对称， 因为都有， 且 ， 所以为奇函数； （3）因为是上单调递增奇函数， 则由可得， 所以原不等式可转化为：对恒成立， 令，即对恒成立， ，. 题型六 对数（型）函数的图像判断 解｜题｜技｜巧 (1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”. 当a>1时，对数函数的图象“上升”; 当0<a<1时,对数函数的图象“下降”. (2)函数y=与y= (a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称. (3)底数的大小决定了图象相对位置的高低： 无论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. ①上下比较：在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴;0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴; ②左右比较：比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. （4） 根据函数的奇偶性排除错误选项 （5） 在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项 【典例1】如图，①②③④中不属于函数的一个是（  ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据对数函数的图象性质与底数之间的关系判断即可. 【解析】根据题意函数中两个底数，图象单调递增，故③，④满足题意. 根据增长规律，“在定点右边，顺时针底数越来越大”，知道③对应，④对应. 由于函数，则它与关于x轴对称，且①与④关于x轴对称.故函数图象为①. 则②不属于函数的一个. 故选：B. 【典例2】在同一坐标系中，函数与的大致图象是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数单调性分析即得。 【解析】由指数函数与对数函数的单调性知： 在上单调递增，在上单调递增，只有B满足. 故选：B. 【变式1】（24-25高一上·重庆永川·期末）函数的大致图象是（     ） A．  B． C．  D．   【答案】D 【分析】由函数定义域、单调性和奇偶性即可判断. 【解析】由解析式可得函数定义域需满足，解得或 故排除AC， 当,，可知其单调递增，排除B， 又，偶函数，只有D符合. 故选：D 【变式2】函数的图像大致为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇函数性质以及代入特殊值分析即得。 【解析】的定义域为， ，所以是奇函数，图象关于原点对称，所以AD选项错误. ，所以B选项错误. 故选：C 【变式3】（24-25高一上·山西·期末）函数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】利用函数奇偶性、函数值的正负，并结合排除法即可. 【解析】函数的定义域为， 因为， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除BD. 又当时，，故排除A. 故选：C. 题型七 对数（型）函数的单调性及应用 解｜题｜技｜巧 函数，且)的单调性 当0<a<1时，在(0，+∞)上是减函数。当a>1时，在(0，+∞)上是增函数 【典例1】函数的单调递增区间是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用对数函数的定义域得到，再结合复合函数的性质求解单调区间即可. 【解析】由，解得， 由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 由对数函数性质得在上单调递增， 则的单调递增区间是，故A正确. 故选：A. 【典例2】对数函数在区间上的最大值比最小值大2，则实数为 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的单调性，结合已知列出方程，求解即可得出答案. 【解析】由已知可得，对数函数在区间上单调递增. 又对数函数在区间上的最大值比最小值大2， 所以，解得. 故答案为：. 【变式1】“”是“函数在区间上单调递增”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性求函数在区间上单调递增的等价条件，在结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【解析】二次函数图象的对称轴为， 若函数在区间上单调递增， 根据复合函数的单调性可得，即， 若，则，但是，不一定成立， 故“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件． 故选：A 【变式2】已知函数在上单调递减，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数定义可知对任意的恒成立，解得且；再根据复合函数单调性结合对数函数以及二次函数单调性分析求解. 【解析】因为在上单调递减， 则对任意的恒成立，可得且； 且开口向下，对称轴， 当时，则对称轴，可知在内单调递减， 且在定义域内单调递减，所以在上单调递增，不合题意； 当时，因为在定义域内单调递增，可知在内单调递减， 则，解得； 综上所述：的取值范围是. 故选：C. 【变式3】已知函数是上的单调函数，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数单调性即可求出实数a的取值范围. 【解析】因为且，所以当时，函数只能单调递减， 所以函数在上单调递减， 所以，解得，即实数a的取值范围是. 故答案为： 题型八 对数（型）复合函数及应用 解｜题｜技｜巧 （1）y＝logaf(x)型函数性质 ①定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域. ②值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域. ③单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定.(或运用单调性定义判定) ④奇偶性：根据奇偶函数的定义判定. ⑤最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值. （2）对数及对数型函数解不等式 形如logaf(x)<logag(x)的不等式. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x). 形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<b＝logaab. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>ab； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<ab. 【典例1】若函数是奇函数，则___________，___________. 【答案】1；0 【分析】根据函数奇偶性即可求值. 【解析】 因为函数是奇函数，故，即，即.又，故，即，恒成立，故，所以或，当时无意义.当时满足奇函数.故 综上，， 故答案为：1；0 【典例2】已知函数，且，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数的单调性解不等式求解. 【解析】因为，所以函数的定义域为， 则定义域关于原点对称，且， 所以为偶函数， 又时，是单调递增函数，而是单调递减函数， 所以是单调递减函数， 根据对称性知时，所以是单调递增函数， 函数中，， 由得，解得或. 故选：D. 【变式1】不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】结合函数的定义域和单调性列不等式组，解不等式组求得不等式的解集. 【解析】由于函数在上递减， 所以解得， 所以原不等式的解集为， 故答案为： . 【变式2】（24-25高一上·河北唐山·期末）已知函数，则 ；若关于的方程有4个不等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，由函数的解析式计算可得的值，进而计算可得的值，可得第一空答案；对于，设，则，求得的取值范围，结合函数的图象分析解的情况即可求解． 【解析】依题意，，； 令，，当且仅当时取等号， 则或，当或时，方程有两个相等的根， 当或时，方程有两个同号且不相等的实根， 方程化为，而， 当时，在上递减；当时，在上递减， 因此由方程有4个不等的实数根，得方程在上各有一个实根， 则函数在的图象与直线有两个交点，如图： 观察图象知，当时，直线与在的图象有两个交点， 所以的取值范围是. 故答案为：； 【变式3】已知函数，． (1)直接写出时，的最小值． (2)若，求证：在上存在唯一零点． (3)若，有且仅有两个零点，求a的取值范围． 【答案】(1)2；(2)证明见解析；(3) 【分析】（1）根据基本不等式可求得的最小值； （2）先判断的单调性，再证，根据零点存在性定理即可得证； （3）由题意，求出的值，令，将存在两个个零点转化为在上存在一个零点或两个零点为和2，再结合二次函数分情况讨论即可. 【解析】（1）根据题意，因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以时，的最小值为2 （2）当时，， 令， 所以函数在上单调递增， 又因为在上单调递增， 所以在区间上单调递减 又， 而，， 且 所以 又，， 则，所以． 又在区间上单调递减，所以在上存在唯一零点 （3）由，解得，则， 令，则 ∴有且仅有两个零点等价于在上有且仅有一个零点或两个零点为和2 令，则在上有且仅有一个零点或两个零点为和2. （ⅰ）若零点为和2，则无解； （ⅱ）若，则，令可得，故满足题意； （ⅲ）若，图象的对称轴为， 由在上有且仅有一个零点，则有 ①或 整理得或 解得， ②，解得. 综上，的取值范围为 题型九 指数函数与对数函数的情境应用 【典例1】大部分大西洋蛙鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵.研究蛙鱼的科学家发现蛙鱼的游速单位：可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的（  ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【分析】设原来的游速为，则提速后的游速为，原来的耗氧量的单位数为，后来的耗氧量的单位数为，根据题意列方程组，能求出结果． 【解析】设原来的游速为，则提速后的游速为， 原来的耗氧量的单位数为，后来的耗氧量的单位数为， 则， 所以， ，故， 所以若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的倍． 故选：B. 【变式1】某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的（  ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】设植物原来长度为m，根据8天后，该植物的长度是原来的倍，求出，再结合指数幂的运算即可求得24天后该植物的长度是原来的多少倍． 【解析】方法1 设植物原来长度为m，8天后，该植物的长度是原来的倍， 故，即，即． 24天后该植物的长度是，即为原来的倍， 又， 所以24天后该植物的长度是原来的倍． 方法2  设植物原来长度为1，8天后，该植物的长度是， 24天后，该植物的长度是， 即24天后该植物的长度是原来的倍． 故选：C. 【变式2】生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年，碳14含量衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，与死亡年数之间的函数关系式为（其中为常数）.2024年考古学家挖掘出某生物标本，经研究发现该生物体内碳14残余量约占原始含量的81%，则可推断该生物死亡时间属于（    ）附：①参考数据：，②参考时间轴如图： A．东汉 B．三国 C．西晋 D．东晋 【答案】C 【分析】由条件可得时，，由此可求，再由列方程求判断结论. 【解析】因为大约每经过5730年，碳14含量衰减为原来的一半， 所以可近似认为时，， 又与死亡年数之间的函数关系式为， 所以，故， 所以， 令，可得， 两边取以为底数的对数可得，又， 所以， ， 所以该生物体大约死亡于公元年，即该生物体死亡时间属于西晋. 故选：C. 【变式3】如果不考虑空气阻力，火箭的最大速度（单位：）与燃料质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）之间的函数关系是，这里表示以为底的自然对数．若已知火箭的最大速度为，火箭的质量约为，则火箭需要加注的燃料质量约为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得到方程，得到. 【解析】由题意得，即， . 故选：B. 题型十二 幂指对函数的综合应用 【典例1】已知定义域为的函数和，其中是奇函数，是偶函数，且. (1)求函数和的解析式； (2)若，求范围； (3)若关于的方程有实根，求正实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）构造函数方程，利用奇偶性可解得结果； （2）可化为可解得结果； （3）转化为有实根，令，则转化为即有正根，令设，则，则转化为有大于的实根，讨论，根据对勾函数的单调性可得结果. 【解析】（1）因为是奇函数，是偶函数， 所以，， 则，解得. （2）不等式可化为，即， 所以，则，得， 所以不等式的解集为. （3）关于x的方程有实根，即有实根， 所以有实根， 令，则有正根， 所以有正根， 因为， 设，则，， 当时，， 当且时，， 所以或，且， 所以或， 综上所述：. 【典例2】已知函数为奇函数，为偶函数，且满足为偶函数，为奇函数． (1)求函数，的解析式； (2)求函数的值域； (3)若（）在上有三个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用函数的奇偶性，即可求解； （2）化简可得的表达式，结合对数函数的单调性即可求得值域； （3）化简得到解析式，讨论脱去绝对值符号，继而讨论a的取值范围，判断函数的单调性，结合题意列出相应不等式组，即可求得答案. 【解析】（1）由题意知，。 因为函数为奇函数，为偶函数， 故，， 可得，； （2）对于，当时，， 则，此时 。 由于，则； 当时，，，则， 当时，， 则，此时 ， 由于，则； 综合上述可知； （3）， 当时，， 当时，，， 当时，，故在上单调递增，在上单调递减， 要满足题意，需满足，其中， 即，解得； 当时，，在上不可能有三个零点； 当时，，故在上单调递增，在单调递减， 要满足题意，需满足，其中， 由于，故解集为； 综合以上可得实数a的取值范围为. 【变式1】已知函数为偶函数． （1）求实数的值； （2）解关于的不等式； （3）设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）函数的定义域为， 因为函数为偶函数． 所以， 即， 所以 ， 所以； （2）因为， 当时，，单调递增， 所以在上单调递增，又函数为偶函数， 所以函数在上单调递减； 因为，所以， 解得或， 所以不等式解集为 （3）因为函数与图象有个公共点， 所以方程有两个不同的根， 方程即为， 可化为， 则有，， 设，则， 即， 又在上单调递增， 所以方程有两个不等的正根； 所以， 解得， 所以的取值范围为． 【变式2】设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数 （1）若，求的“准不动点”： （2）若为的一个“准不动点”，且，求实数的取值范围： （3）设函数若使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）0或1； （2） （3） 【解析】（1）当时，由可得，， 令，则，解得或， 即或，解得或， 的“准不动点”为0或1； （2）由得，， 即在上有解， 令，由可得，则在上有解， 故，当时，在上单调递增，，则，解得， 取值范围； （3）由得，， 即，则， 又由指数函数的性质可知在上单调递增，，则， 即， 令，则，从而，则， 又在上均为增函数，则，， ，即，所以实数的取值范围为. 【变式3】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知定义在上的函数． (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用复合函数的单调性判断函数的单调性，由得出，可得出，即可解得实数的取值范围； （2）分析可知在上的最小值不小于在上的最小值，求出函数在上的最小值，对实数的取值进行分类讨论，求出函数在上的最小值，结合题意可得出关于实数的不等式，综合求出实数的取值范围. 【解析】（1）因为，令，， 对任意的，则， 内层函数在上为增函数，外层函数在上为增函数， 所以在上单调递增， 所以不等式得到， 所以，解得，所以实数的取值范围是． （2）因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增，所以当时，， 又的对称轴为直线，， 当时，在上单调递增，，解得，所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，所以； 当时，在上单调递减，，解得， 所以， 综上可知，实数的取值范围是． 期末基础通关练（测试时间：30分钟） 一、单选题 1．幂函数图象过点，则的定义域为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出幂函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到，解得答案. 【解析】设幂函数为，则，故，， 则的定义域为， 故满足，解得. 故选：A. 2．函数的值域为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，求出的范围，根据指数函数的单调性即可求解. 【解析】依题意， 令，则， 因为单调递减，且 所以， 所以. 故选：A. 二、多选题 3．已知函数（且，），则下列说法正确的是（   ） A．若，则的图象过定点 B．若，则的最小值为4 C．若，则 D．若， 【答案】ABD 【分析】A由可得的图象所过定点；B由题可得，然后由基本不等式可得答案；CD由指数函数单调性，结合作差法，正切函数单调性可判断选项正误； 【解析】对于A，令，，则的图象过定点，故A正确； 对于B，，， 当且仅当，即时取等号，故B正确； 对于C，因，则在R上单调递增，又， 则，故C错误； 对于D，因，则在R上单调递减， 又注意到时，函数单调递增， 则，故D正确. 故选：ABD 4．设，若有三个不同的实数根，则实数的取值可以是（  ） A． B．1 C． D．2 【答案】AB 【分析】利用分段函数作出图像分析即可求解。 【解析】作出函数图像如下： 又有三个不同的实数根， 所以函数与直线有三个交点， 由图像可得：. 故选：AB 5．已知函数，若存在四个不同的值，使得，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】作出的图象，设，则直线与的图象4个交点的横坐标分别为，再根据对称性和对数运算逐一判断即可. 【解析】函数的图象如图所示， 设，则， 所以直线与的图象4个交点的横坐标分别为， 选项A：因为关于对称，所以，A说法错误； 选项B：因为，由图象可得， 所以，解得，B说法错误； 选项C：由图象可得，所以，C说法正确； 选项D：由图象可知， 所以，D说法正确. 故选：AB 三、填空题 6．函数的单调增区间是______． 【答案】 【分析】根据对数型复合函数的单调性即可求解. 【解析】由，得， 所以函数的定义域为， 令，则， 因为在上递增，在上递减，而在上为增函数， 所以在上递增，在上递减， 故答案为： 7．已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，则由题意可得在上是减函数，且在区间上恒成立，从而列不等式组可求得答案 【解析】令，因为在区间上是减函数，且在上是增函数， 所以在区间上是减函数，且在区间上恒成立， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 8．已知函数，若方程有且仅有个实数根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分段函数的解析式作出函数图象，将方程有且仅有个实数根转化为函数，有两个交点，由数形结合即可求解. 【解析】 方程有且仅有个实数根，即函数的图象与直线有且仅有个交点，所以由数形结合可得，的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 9．已知函数为奇函数． (1)求实数a的值并指出函数的单调性（不需证明）； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)；函数在上单调递增；(2)答案见解析 【分析】（1）由奇函数的性质可得实数a的值，再由复合函数的单调性可得判断的单调性； （2）由函数的单调性解抽象函数不等式，再利用换元法结合对数的运算对讨论即可； 【解析】（1）因为函数为奇函数，定义域为， 所以， 此时，，满足题意， 函数在上单调递增， 因为在单调递增，在上单调递减，上单调递增， 所以在上单调递增. （2）由（1）可得函数在上单调递增， 所以， 即， 令，即，即， 当时，，即，因为恒成立，所以解得， 当时，，即，解得； 当时，，解集为空集； 当时，，即，解得； 综上，当时, 不等式的解集为; 当时，不等式的解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 10．已知函数是幂函数. (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)若，且关于的不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）根据幂函数定义列式求解； （2）由得，而，运算得解； （3）由（1）结合求得，不等式有解化简等价于有解，利用求得答案. 【解析】（1）因为是幂函数， 所以，解得. （2）由（1）知， 因为，所以， 所以， 即. （3）由（1）知，因为，所以，即，所以. 所以关于的不等式有解，等价于有解， 因为函数在上单调递增，所以有解，即有解， 所以，解得. 所以，实数的取值范围为. 期末重难突破练（测试时间：45分钟） 一、单选题 1.已知函数，若，则函数的图象是（  ） A．   B．   C．     D．   【答案】C 【分析】根据各选项中函数图象特征，再观察幂函数图象判断即得. 【解析】作出函数的图象如下图所示： 因为，则将函数的图象关于轴对称，可得出函数的图象，如下图所示： 故选：C. 2．若函数的定义域是，则函数的定义域是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抽象函数定义域以及函数有意义可确定函数定义域. 【解析】函数的定义域是[1，3]， ∴，解得． 又，且，∴． 故函数的定义域是． 故选：C. 3．函数在上的大致图象为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的函数，利用其奇偶性，结合的值的情况判断作答. 【解析】函数定义域为R，，即函数是奇函数，其图象关于原点对称，排除B； 而，排除D，又，排除A，选项C符合题意. 故选：C 4．若函数（，且）满足，则的单调递减区间是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数单调性“同增异减”的原则可确定选项. 【解析】因为， 所以，即，解得或（舍）， 所以， 令，则， 由于在上单调递减，在上单调递增， 由指数函数知，在定义域上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减. 故选：B. 5．已知函数的值域为R，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【解析】当， ∴当时，， ∵的值域为R，∴当时，值域需包含， ∴，解得， 故选：C. 6．若，则下列不等关系一定不成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，可得，作出函数的图象，作出，变换的值即可得出答案. 【解析】因为， 则， 由，得，， 作函数的图象，同时作出， 如上图，变换的值可以发现，，均能够成立，不可能成立. 故选：B. 二、多选题 7．(多选)下列幂函数中满足条件的函数是（  ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由题意知,当时,的图象是凹形曲线,据此分析各选项中的函数图像是否满足题意即可. 【解析】由题意知,当时,的图象是凹形曲线. 对于A,函数的图象是一条直线,则当时,有,不满足题意； 对于B,函数的图象是凹形曲线,则当时,有,满足题意； 对于C,函数的图象是凸形曲线,则当时,有,不满足题意； 对于D,在第一象限内,函数的图象是一条凹形曲线,则当时,有,满足题意. 故选:BD. 8．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】构造函数函数，可得函数在是增函数，从而可得，再对选项中结论逐一分析即可. 【解析】对于A，因为，由对数函数的定义域可得， ，，A正确； 对于BD，， 即， 构造函数， 因为在都是增函数， 所以函数在是增函数， 由可得， ，，B错误，D正确， 对于C，因为，，C正确， 故选：ACD. 三、填空题 9．已知幂函数是偶函数，则 ，设，若对于任意，，则实数的最大值为 . 【答案】 －2 －1 【分析】根据幂函数的定义和偶函数的性质即可解出，令，将不等式转化为恒成立问题，即可求解. 【解析】由已知幂函数是偶函数，则有，解得或， 又，则指数须为偶数，所以. 所以，则， 不等式可化为，令， 则，时取等号，不等式变为. 当时，不等式不成立； 当时，令二次函数，其对称轴为，， 要使在时恒成立， 则且，解得，所以的最大值为. 故答案为：－2；－1. 10．已知函数若的最小值为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由分段函数确定每段的最小值，再通过大小比较即可求解； 【解析】依题意，的最小值为. 因为当时，，此时最小值为， 所以必有，即. 再保证时，的最小值为， 令，可知等价于当时，的最小值为， 由对勾函数的单调性可知：，在单调递减，在单调递增； 故，即. 综上，. 故答案为： 四、解答题 11．已知． (1)求证：； (2)判断的单调性，并用单调性的定义证明； (3)当时，恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)在R上单调递增，证明见解析； (3). 【分析】（1）根据函数解析式，分别计算的表达式，即可证明结论； （2）结合函数解析式判断其单调性，利用函数单调性定义即可证明； （3）判断函数的奇偶性，化简，并转化为，令，可得，继而化为对于恒成立，利用函数单调性即可求解. 【解析】（1）由题意可知； ， 故. （2）由题意得，其定义域为R， 在R上单调递增， 证明：任取，不妨设， ， 因为，故， 又，故，即得， 故在R上单调递增； （3）由题意知的定义域为R，，即为奇函数； 可化为， 即，即， 令，因为，故，则， 由于在R上单调递增，可得， 结合题意可得对于恒成立， 而，， 结合对勾函数在上单调递增，可得， 即，故. 12．已知函数，（且），为奇函数． （1）求的值； （2）当时，求不等式的解集； （3）若关于的方程有两个不同的解，求实数的取值范围． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】（1）奇函数，， 即恒成立，，解得或, 若时，，定义域不关于原点对称，不符合题意， 当时，，定义域为，关于原点对称，符合题意, 故. （2），，即，即，解得. 故不等式的解集为. （3），的定义域为，为增函数， ∵，∴，∴. 经检验不符合方程， 故可化为， 又，可化为， 令，则. ∵关于x的方程有两个不同的解，即等价于在有两个不同的解，即等价于与的图象在有两个交点. ∵，当且仅当时等号成立，且在单调递减，在和上单调递增，， 如图， 故当与的图象在有两个交点时，，即. 故实数m的取值范围为. 期末综合拓展练（测试时间：60分钟） 一、单选题 1．已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，然后利用复合函数的单调性得出结果． 【解析】设，因为的图象过点， 所以，解得，即， 可得在上单调递减， 则函数， 由，解得或， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故选：A. 2．已知函数的定义域是，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数式有意义转化为对任意恒成立即可求解。 【解析】由题意可知：对任意恒成立， 若，则，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：的取值范围是. 故选：B. 3．已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别画出分段函数对应的两个函数图象，再对实数的取值进行分类讨论即可. 【解析】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数和的图象如下图所示： 由图可知，当或时，两图象相交， 若的值域是，以实数为分界点，可进行如下分类讨论： 当时，显然两图象之间不连续，即值域不为； 同理当,值域也不是； 当时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是； 综上可知，实数的取值范围是. 故选：B 4．任何一个正实数N可以表示成的形式，这便是科学记数法，若N两边取常用对数，则有，当时，N是n＋1位数，则的位数为（参考数据：）（   ） A．611 B．610 C．609 D．608 【答案】B 【分析】计算的值，由此确定的位数. 【解析】， 是610位数. 故选：B. 5．已知点在幂函数的图象上，设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性、幂函数、对数函数、三角函数等知识来确定正确答案. 【解析】由于点在幂函数的图象上， 所以， 在上单调递减， 由于，所以， ， 所以，即. 故选：D 6．已知函数的定义域为，，对于任意的，当时，有.若，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析条件构造函数利用函数的单调性即可求解. 【解析】∵， ∴，即， 令，则任意的，有， ∴函数在上为增函数. ∵不等式可变形为，即， ∴， ∴，解得，即实数的取值范围是. 故选：B. 7．（多选）已知函数，，，则（  ） A．的单调递减区间为 B．的图象为轴对称图形 C．的图象关于原点对称 D．满足的x的取值范围为 【答案】ABC 【解析】对于A中，因为， 则的单调递减区间为，所以A正确； 对于B中，因为，故的图象的对称轴为，所以B正确； 对于C中，因为，可得的定义域为关于原点对称， 且，所以为奇函数， 所以函数图象关于原点对称，所以C正确； 对于D中，由，可得，即， 可得，解得，所以D错误. 故选：ABC. 8．双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数 ，且当时有，则下列选项正确的是（  ） A． B．的值域为 C．，则 D．，则 【答案】ABD 【解析】对于A选项， ，A对； 对于B选项，， 因为，则，故，故， 即函数的值域为，B对； 对于C选项，对任意的，，故函数的定义域为， ，即函数为奇函数， 任取、，且，则， 所以， 即，故函数为上的增函数，且为奇函数， 由可得， 故，解得，C错； 对于D选项，， 当时，由整理可得， 即，故，D对. 故选：ABD. 9．已知幂函数经过点，则的值是 ． 【答案】 【分析】由题意得，求出，再把点的坐标代入函数中可求出，从而可求出的值. 【解析】因为函数为幂函数， 所以，得，所以， 因为幂函数的图象过点， 所以，则，得，解得， 所以. 故答案为： 10．函数的定义域为，值域是，则的最大值为 . 【答案】. 【分析】利用换元法转化函数，结合二次函数的性质及的值域求得的定义域，进而求得的最大值. 【解析】由题意知，， 令，则， 令， 画出的图象如图所示， ，， 由， 要使得的值域为，则t的范围为，且， 则，解得：，， 所以当的定义域为，其中时，值域为. 所以，，， 所以，， 所以当时，取得最大值为. 故答案为：. 11．已知函数. (1)若为偶函数，求的值； (2)若在上单调递增，求的取值范围 (3)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）函数为偶函数， ，即. 又函数是增函数， ，即得对于函数定义域内任意的都成立， . （2）令，则. 函数是上的增函数，在上单调递增， 根据复合函数单调性的判断方法可得：函数在上单调递增, 且在上恒成立， ，解得：. 故的取值范围为. （3）对于任意，存在，使得不等式成立， . 令，， ， ，. 又二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，函数有最小值， 故当时，. 对于任意恒成立，即对于任意恒成立， 故对于任意恒成立. 又由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， ， 故的取值范围为. 12．已知函数. (1)求函数在区间上的值域； (2)若函数有两个零点，，且，求实数的取值范围； (3)请问是否存在实数，，使得函数在区间上的值域为？若存在，求出实数，的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）令，换元可得，利用二次函数求值域； （2）设，，由，可得，是方程的两个不等的根，由韦达定理列式运算得解； （3）由复合函数的单调性可得的减区间为，增区间为，由，可得，即，即是方程在区间上的两个不相等的实数根，转化为方程在区间上有两个不相等的实数根，数形结合得解. 【解析】（1）设，因为，所以， 所以， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 所以函数的值域为. （2）设，，若函数有两个零点，则函数有两个零点， 由，则， 令，可得是方程的两个不等的根， 则，， 所以， ，解得， 所以实数的取值范围为. （3）由函数在上单调递增，函数在上单调递减，在上单调递减， 由复合函数的单调性可得的减区间为，增区间为， 由，必有，可得， 由函数的减区间为，则， 可得是方程在区间上的两个不相等的实数根， 方程，即， 可化为，又，有，， 方程可化为，即， 又由函数和函数单调递增， 结合图象可知，方程在区间上的两个不相等的实数根， 又由和满足方程，故方程的根为，即，， 故存在，满足题意. 49 / 108 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 幂函数、指数函数和对数函数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 幂函数的概念 能根据幂函数定义判断函数类型，或结合已知点求幂函数的解析式；掌握幂函数中参数α的取值对函数形式的影响 题型：选择/填空或辅助考查 难度：基础题； 特点：多为基础铺垫. 幂函数的图像与性质 能独立推导常见幂函数的定义域、值域、奇偶性、单调性；会利用幂函数的单调性比较同底数幂值的大小，或求解简单的幂函数不等式 题型：选择/填空或解答题第一问； 难度：基础为主； 特点：高频，多结合函数性质、指对函数命题. 指数函数的概念 掌握指数函数定义（形如y=ax），明确底数a的取值限制及原因；能区分“指数函数”与“指数型函数（如y=kax）”；能根据指数函数定义求参数的取值范围 题型：选择/填空或辅助考查； 难度：：基础题； 特点：多为基础铺垫. 指数函数的图像与性质 熟练推导指数函数的定义域、值域、单调性，能结合单调性求最值；会利用指数函数的性质解指数方程、指数不等式，或比较指数值的大小 题型：选择/填空或解答题小问； 难度：中档题； 特点：必考重点，解答题高频命题点 对数函数的概念 掌握对数函数定义（形如y=logax，且），明确其定义域（x>0）的要求；能根据对数函数定义求参数的取值范围 题型：选择/填空或辅助考查； 难度：：基础题； 特点：多为基础铺垫. 对数函数的图像与性质 熟练推导对数函数的定义域、值域、单调性，能结合单调性求最值；能利用性质解对数方程/不等式（需验证定义域），或比较对数值的大小 题型：选择/填空或解答题； 难度：基础（30%）、中档（50%）、难题（20%）； 特点：必考重点，解答题高频命题点. 知识点01 幂函数的概念（概念+公式+法则+示例+易错点） 1.核心概念 幂函数的概念： 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数． 幂函数的特征 ①中前的系数为“1”；②中的底数是单个的自变量“”；③中是常数 示例：下列函数是幂函数的是（  ） A． B． C． D． 易错点：不注意系数为1易错 知识点02 常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 注意： ①单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴． ②过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点． ③奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数． 当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数 示例：（多选）已知幂函数的图像经过点，则下列结论正确的有（  ） A．为增函数 B．若，则 C．为偶函数 D．若，则 易错点：不注意幂函数性质的运用易错 知识点03 指数函数的定义 一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 注意：(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1. 知识点04 指数函数的图象与性质 图象 定义域 值域 性质 注意：（1）当时，指数函数的图象是“上升”的；当时，指数函数的图象是“下降”的． （2）指数函数且)的图象恒过点，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数且)的大致图象 示例：下列各函数中，是指数函数的是（  ） A． B． C． D．（，且） 易错点：不注意指数函数的概念易与幂函数概念混肴。 知识点05 指数函数的图象位置关系 底数的大小决定了图象相对位置的高低． （1）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序． （2）在轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为 示例：设，，，都是不等于1的正数，函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（  ）    A． B． C． D． 易错点：注意利用指数函数单调性比较低数大小 知识点06 指数函数复合的函数单调性 （1）一般地，形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质有： ①函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域. ②当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相反的单调性. （2）求指数函数复合的函数单调性区间方法： ①先求y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的定义域 ②将y＝af(x)(a>0，且a≠1)分解成两个基本函数 ③分别将两个函数的单调区间求出来 ④在利用“同增异减”求出复合函数的单调区间。 示例：函数的单调递增区间为（  ） A． B． C． D． 易错点：应注意利用复合函数的单调性法则求解 知识点07 解指数型不等式 (1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解； (2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解； (3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解 示例：若，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D．全不对 易错点：应注意利用指数函数的单调性求解 知识点08 对数函数的概念 函数，且)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是． 注意：（1）对数函数是由指数函数反解后将互换得到的． （2）无论是指数函数还是对数函数，都有其底数，且 注意：①对数函数的定义域是(0，＋∞)，对数函数的底数a>0，且a≠1. ②logax前边的系数必须是1。 ③自变量x在真数的位置上，且只有x。 示例：下列函数中是对数函数的为（  ） A． B． C． D． 易错点：运用对数函数概念判断注意底数和真数要求 知识点09 对数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是上的增函数 是上的增函数 示例：已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能是（  ） A． B． C． D． 易错点：注意定义域的优先考虑 知识点10 当底数不同时对数函数图象的变化规律 作直线与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得. 示例：如图所示的曲线是对数函数，，，的图象，则a，b，c，d，1的大小关系为（  ） A．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c 易错点：注意利用对数函数单调性比较低数大小 知识点11 对数函数复合的函数的性质 ①定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域. ②值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域. ③单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定.(或运用单调性定义判定) ④奇偶性：根据奇偶函数的定义判定. ⑤最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值. 示例：函数的单调递增区间是（  ） A． B． C． D． 易错点：不注意定义域优先考虑易错 知识点12 对数及对数型函数解不等式 (1)形如logaf(x)<logag(x)的不等式. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x). (2)形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<b＝logaab. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>ab； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<ab. 示例：已知函数 ，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 易错点：不注意定义域优先考虑以及利用对数函数单调性列出不等式组求解易错 【变式3】（24-25高一上·陕西咸阳·期末）溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度.的计算公式为其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.甲同学在径流咸阳的渭河中取出一定的水溶液，经测定其中氢离子的浓度摩尔/升，则渭河咸阳段水溶液的值约为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 题型一 幂函数的概念与求值 解｜题｜技｜巧 （1）幂函数的求值技巧 ①先通过待定系数法确定幂函数的解析式； ②将待求自变量的值代入解析式计算； ③代入前需先判断自变量是否在该幂函数的定义域内 （2）若幂函数含参数（如已知y=xm2−2m−3的性质求参数）： ①先结合幂函数的定义确定参数的初步范围； ②根据题目条件（如 “过定点”“单调性”）列方程 / 不等式求解参数； ③代入参数确定解析式后，再计算目标值 【典例1】已知幂函数的图象过点，则（  ） A．2 B．8 C． D．16 【典例2】若函数，则“”是“是幂函数”的（  ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】已知是常数，幂函数的图象经过原点，则（  ） A． B． C．3 D．9 【变式2】已知幂函数的图象不过原点，则实数的值为（  ） A． B． C． D．或 【变式3】己知幂函数的图象过点，则 . 题型二 幂函数的图象与性质 解｜题｜技｜巧 (1)一般幂函数的图象： ①当α=1时，y=x的图象是一条直线. ②当α=0时，y==1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线. ③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表： （p、q互质） p，q都是奇数 p是偶数，q是奇数 p是奇数，q是偶数 (2)一般幂函数的性质： 通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质： ①所有的幂函数在(0,+)上都有定义，并且图象都过点(1,1). ②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+)上是增函数. ③α<0时，幂函数在区间(0,+)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方 无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. ④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限. ⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点. 【典例1】下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（  ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 【典例2】已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于（　　） A． B． C．2 D． 【变式1】若函数与图象关于对称，且，则必过定点（  ） A． B． C． D． 【变式2】(多选)下列函数中，满足“，，且，，都有”的是（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知幂函数在上单调递减． (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围． 题型三 指数（型）函数的图像判断 解｜题｜技｜巧 （1）抓核心定点快速定位 指数函数y=ax(a>0且a≠1\)必过定点(0,1)；指数型函数（y=kax+b)必过定点(0,k+ b)。解题时先看图像是否经过对应定点，可快速排除不符合的选项。 （2） 由底数a的范围判断单调性 若a>1，指数（型）函数在定义域内单调递增，图像呈“上升”趋势； 若0<a<1，函数在定义域内单调递减，图像呈“下降”趋势。通过图像的增减方向，可直接确定底数a的大致范围。 （3） 用特殊点坐标验证底数 取x=1代入函数：对y=ax，x=1时y=a：若a>1，该点纵坐标>1；若0<a<1，纵坐标<1。结合定点和x=1处的坐标，可精准锁定底数a的取值，排除错误图像。 （4） 结合图像变换分析指数型函数 指数型函数是基本指数函数经平移/伸缩得到的。通过变换规律，可由基本指数函数图像推导指数型函数的图像形状 （5）根据函数的奇偶性来排除错误选项 【典例1】函数的图象大致为（  ） A． B． C． D． 【变式1】函数的图象大致是（  ） A． B． C． D． 【变式2】函数图象的一部分如图所示，则函数的解析式有可能是（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数，，且，则（  ） A．，， B．，， C． D．  题型四 指数（型）函数的单调性及应用 解｜题｜技｜巧 （1） 基本指数函数单调性的判定核心 指数函数y=ax（a>0且a≠1）的单调性由底数a直接决定：当a>1时，函数在R单调递增；当0<a<1时，函数在R上单调递减。解题时先锁定底数范围，即可快速确定单调性方向。 （2） 单调性应用：指数值大小比较 同底数：直接用指数函数单调性，比较指数的大小； 不同底数：借助“中间值（如1、0）”过渡 底数、指数均不同：转化为同底数/同指数（如利用幂函数性质）后再比较。 （3） 单调性应用：解指数不等式 步骤：①统一底数：将不等式两边化为同底数的指数形式 ②去指数符号：若a>1，则不等号方向不变；若0<a<1，则不等号方向反转； ③解内层不等式：同时结合内层函数的定义域限制。 【典例1】已知函数，则（  ） A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在上是减函数 【典例2】已知函数，若，则实数a的取值范围是_______________ 【变式1】若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式2】函数的单调递增区间为 . 【变式3】已知函数． (1)试确定的奇偶性； (2)求证：函数在上是减函数； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 题型五 指数函数（复合函数）及应用 解｜题｜技｜巧 （1）指数型复合函数的单调性判断（同增异减） 对于指数型复合函数y=af(x)(a>0且a≠1）：先确定内层函数u=f(x)的单调区间；结合外层指数函数y=au的单调性：若a>1，则y与u=f(x)的单调性一致（同增同减）；若0<a<1，则y与u= f(x)的单调性相反（一增一减）。注意：需先保证内层函数f(x)的定义域有效。 （2）单调性应用：求最值/值域 用“同增异减”法确定y=af(x)的单调区间；结合f(x)的定义域，求出f(x)的取值范围；根据外层指数函数的单调性，推导y=af(x)的最值或值域。 【典例1】若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_____________ 【变式1】若对任意的，都有恒成立，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数，若对任意、、，总有、、为某一个三角形的边长，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数. (1)判断的单调性，并用函数单调性的定义证明； (2)判断的奇偶性，并用函数奇偶性的定义证明； (3)若不等式对任意恒成立，求的取值范围. 题型六 对数（型）函数的图像判断 解｜题｜技｜巧 (1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”. 当a>1时，对数函数的图象“上升”; 当0<a<1时,对数函数的图象“下降”. (2)函数y=与y= (a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称. (3)底数的大小决定了图象相对位置的高低： 无论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. ①上下比较：在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴;0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴; ②左右比较：比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. （4） 根据函数的奇偶性排除错误选项 （5） 在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项 【典例1】如图，①②③④中不属于函数的一个是（  ） A．① B．② C．③ D．④ 【典例2】在同一坐标系中，函数与的大致图象是（  ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·重庆永川·期末）函数的大致图象是（     ） A．  B． C．  D．   【变式2】函数的图像大致为（  ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·山西·期末）函数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   题型七 对数（型）函数的单调性及应用 解｜题｜技｜巧 函数，且)的单调性 当0<a<1时，在(0，+∞)上是减函数。当a>1时，在(0，+∞)上是增函数 【典例1】函数的单调递增区间是（  ） A． B． C． D． 【典例2】对数函数在区间上的最大值比最小值大2，则实数为 ． 【变式1】“”是“函数在区间上单调递增”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式2】已知函数在上单调递减，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数是上的单调函数，则实数a的取值范围是 . 题型八 对数（型）复合函数及应用 解｜题｜技｜巧 （1）y＝logaf(x)型函数性质 ①定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域. ②值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域. ③单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定.(或运用单调性定义判定) ④奇偶性：根据奇偶函数的定义判定. ⑤最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值. （2）对数及对数型函数解不等式 形如logaf(x)<logag(x)的不等式. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x). 形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<b＝logaab. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>ab； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<ab. 【典例1】若函数是奇函数，则___________，___________. 【典例2】已知函数，且，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【变式1】不等式的解集为 ． 【变式2】（24-25高一上·河北唐山·期末）已知函数，则 ；若关于的方程有4个不等的实数根，则的取值范围是 ． 【变式3】已知函数，． (1)直接写出时，的最小值． (2)若，求证：在上存在唯一零点． (3)若，有且仅有两个零点，求a的取值范围． 题型九 指数函数与对数函数的情境应用 【典例1】大部分大西洋蛙鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵.研究蛙鱼的科学家发现蛙鱼的游速单位：可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的（  ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【变式1】某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的（  ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【变式2】生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年，碳14含量衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，与死亡年数之间的函数关系式为（其中为常数）.2024年考古学家挖掘出某生物标本，经研究发现该生物体内碳14残余量约占原始含量的81%，则可推断该生物死亡时间属于（    ）附：①参考数据：，②参考时间轴如图： A．东汉 B．三国 C．西晋 D．东晋 【变式3】如果不考虑空气阻力，火箭的最大速度（单位：）与燃料质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）之间的函数关系是，这里表示以为底的自然对数．若已知火箭的最大速度为，火箭的质量约为，则火箭需要加注的燃料质量约为（  ） A． B． C． D． 题型十二 幂指对函数的综合应用 【典例1】已知定义域为的函数和，其中是奇函数，是偶函数，且. (1)求函数和的解析式； (2)若，求范围； (3)若关于的方程有实根，求正实数的取值范围. 【典例2】已知函数为奇函数，为偶函数，且满足为偶函数，为奇函数． (1)求函数，的解析式； (2)求函数的值域； (3)若（）在上有三个零点，求实数a的取值范围． 【变式1】已知函数为偶函数． （1）求实数的值； （2）解关于的不等式； （3）设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围． 【变式2】设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数 （1）若，求的“准不动点”： （2）若为的一个“准不动点”，且，求实数的取值范围： （3）设函数若使得成立，求实数的取值范围. 【变式3】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知定义在上的函数． (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 期末基础通关练（测试时间：30分钟） 一、单选题 1．幂函数图象过点，则的定义域为（  ） A． B． C． D． 2．函数的值域为（  ） A． B． C． D． 二、多选题 3．已知函数（且，），则下列说法正确的是（   ） A．若，则的图象过定点 B．若，则的最小值为4 C．若，则 D．若， 4．设，若有三个不同的实数根，则实数的取值可以是（  ） A． B．1 C． D．2 5．已知函数，若存在四个不同的值，使得，则下列结论错误的是（  ） A． B． C． D． 三、填空题 6．函数的单调增区间是______． 7．已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是 ． 8．已知函数，若方程有且仅有个实数根，则实数的取值范围是 . 四、解答题 9．已知函数为奇函数． (1)求实数a的值并指出函数的单调性（不需证明）； (2)解关于x的不等式． 10．已知函数是幂函数. (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)若，且关于的不等式有解，求实数的取值范围. 期末重难突破练（测试时间：45分钟） 一、单选题 1.已知函数，若，则函数的图象是（  ） A．   B．   C．     D．   2．若函数的定义域是，则函数的定义域是（  ） A． B． C． D． 3．函数在上的大致图象为（  ） A． B． C． D． 4．若函数（，且）满足，则的单调递减区间是（  ） A． B． C． D． 5．已知函数的值域为R，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 6．若，则下列不等关系一定不成立的是（  ） A． B． C． D． 二、多选题 7．(多选)下列幂函数中满足条件的函数是（  ） A． B． C． D． 8．若，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．已知幂函数是偶函数，则 ，设，若对于任意，，则实数的最大值为 . 10．已知函数若的最小值为，则实数的取值范围是 . 四、解答题 11．已知． (1)求证：； (2)判断的单调性，并用单调性的定义证明； (3)当时，恒成立，求实数m的取值范围． 12．已知函数，（且），为奇函数． （1）求的值； （2）当时，求不等式的解集； （3）若关于的方程有两个不同的解，求实数的取值范围． 期末综合拓展练（测试时间：60分钟） 一、单选题 1．已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（  ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域是，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 3．已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 4．任何一个正实数N可以表示成的形式，这便是科学记数法，若N两边取常用对数，则有，当时，N是n＋1位数，则的位数为（参考数据：）（   ） A．611 B．610 C．609 D．608 5．已知点在幂函数的图象上，设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的定义域为，，对于任意的，当时，有.若，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 7．（多选）已知函数，，，则（  ） A．的单调递减区间为 B．的图象为轴对称图形 C．的图象关于原点对称 D．满足的x的取值范围为 8．双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数 ，且当时有，则下列选项正确的是（  ） A． B．的值域为 C．，则 D．，则 9．已知幂函数经过点，则的值是 ． 10．函数的定义域为，值域是，则的最大值为 . 11．已知函数. (1)若为偶函数，求的值； (2)若在上单调递增，求的取值范围 (3)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 12．已知函数. (1)求函数在区间上的值域； (2)若函数有两个零点，，且，求实数的取值范围； (3)请问是否存在实数，，使得函数在区间上的值域为？若存在，求出实数，的值；若不存在，请说明理由. 49 / 108 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $