精品解析：江西省抚州市临川区联考2025-2026学年九年级上学期12月阶段检测数学试题

九年级 数学（北师大版）（三） 说明： 1．范围：上册全部． 2．分值：120分，时间：120分钟． 3．请将答案写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 若方程是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义判断作答即可． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， 则“□”含，可以是， 故选：C． 2. 如图，这是一个几何体，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的三视图，从前面看到的图形是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左边看到的图形是左视图．能看到的线画实线，看不到的线画虚线． 根据俯视图是从上面看到的图形且能看到的线画实线，看不到的线画虚线，据此即可解答． 【详解】解：该几何体的俯视图是 故选：C． 3. 从电脑文档存储的一篇文章中随机抽取若干页，统计其中“的”字出现的频率约为0.02，由此可以估计整篇文章中“的”字出现的概率约为（ ） A. 0.04 B. 0.02 C. 0.98 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查频率与概率的关系．在大量重复试验中，频率会稳定于概率附近，因此可以通过随机抽样得到的频率来估计概率．题目中“随机抽取若干页”且统计出的频率为0.02，符合用频率估计概率的条件． 【详解】解：随着相同条件下试验次数的增大，事件出现的频率逐渐稳定，可以用稳定时的频率来估计这一事件发生的概率， 故可估计这本书中“人”字出现的概率是0.02． 故选B． 4. 如图，在中，，分别是边，上的点，，且相似比为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方；由相似比为，可求出，即可求解. 【详解】解：∵，且相似比为， ∴， ∴. 故选：A. 5. 已知反比例函数，则下列结论正确的是（ ） A. 其图象分别位于第一、三象限 B. y随x的增大而增大 C. 函数的图象关于原点对称，关于直线、对称 D. 如果点在它的图象上，则点不在它的图象上 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质． 利用反比例函数的图象和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A.由得，其图象分别位于第二、四象限，该选项错误，不符合题意； B.在每个象限内，y随x的增大而增大，该选择错误，不符合题意； C.该选项正确，符合题意； D. 如果点在它的图象上，则，点的坐标也满足， 所以，点也在它的图象上，该选项错误，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，直线交y轴于点C，与双曲线交于A、B两点，P是线段上的点（不与A、B重合），Q为线段上的点（不与B、C重合），过点A、P、Q分别向x轴作垂线，垂足分别为D、E、F，连接，设的面积为、的面积为、的面积为，则有（　　） A. B. C. D. 的大小关系无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，由于点A在上，可知，又由于点P在双曲线的上方，可知，而Q在双曲线的下方，可得，进而可比较三个三角形面积的大小． 【详解】解：如图， ∵点A在上， ∴， ∵点P在双曲线上方， ∴， ∵Q在双曲线下方， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 台灯下笔筒的影子属于_______投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】中心 【解析】 【分析】本题考查投影，投影分为平行投影和中心投影，区别的关键是看光线是由一点发出的，还是平行的．熟练掌握由一点发出的光线，形成的投影是中心投影；由平行发出的光线，形成的投影是平行投影是解题的关键． 【详解】解：∵台灯是点光源， ∴台灯下笔筒的影子属于中心投影， 故答案为：中心． 8. 已知反比例函数，当时，________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数图象上的点满足函数解析式是解题的关键． 直接把代入反比例函数求出相应x的值即可． 【详解】解：当时，， ∴． 故答案为：2． 9. 若已知点和，且平行于轴，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，掌握平行于轴的直线上点的坐标特征是解题的关键．根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相等，即可求解． 【详解】解：∵点和，且平行于轴， ∴． 故答案为：． 10. 小明在与对话中输入如下的文字：“有没有这样一个数，先计算它的平方，再减去它的3倍后再加上4，结果等于这个数？”经过40秒的深度思考和验证，给出的这个数应该是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握根据题意列一元二次方程并求解是解题的关键．设这个数为，根据题目描述的数量关系列出一元二次方程，然后求解方程得到这个数． 【详解】解：设这个数为． ， ， ， ， 故答案为：2． 11. 阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下宽的亮区（如图所示）．已知亮区到窗口下墙脚的距离，窗口高，则窗口底边离地面的高为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意易证，利用相似三角形的性质，对应线段成比例求解即可． 【详解】解：由题意，得， ，， ， ， ， ． 故答案为：. 【点睛】主要考查了相似的三角形在实际生活中的应用，利用相似三角形的性质，对应线段成比例解题． 12. 在平面直角坐标系中、、的坐标分别是，，，要使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则顶点 的坐标是_________． 【答案】、或 【解析】 【分析】本题考查了图形与坐标，平行四边形的性质等知识，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．根据以、、、 为顶点的四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，分类讨论即可． 【详解】解：如图所示， 平行四边形的两组对边分别平行且相等， 当，时，四边形是平行四边形， ； 当，时，四边形是平行四边形， ； 当，时，四边形是平行四边形， ， 综上所述，顶点的坐标为、或． 故答案为：、或． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：． （2）如图，四边形四边形，，，，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，相似多边形的性质、四边形的内角和定理． （1）利用公式法求解即可； （2）根据相似多边形的性质、四边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：（1）， ， 所以， 即； （2），，， ， 四边形四边形， ． 14. 已知反比例函数的图象经过点，试判断点，是否在此函数的图象上． 【答案】点在函数图象上，不在函数图象上 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上的点的特征，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵，， ∴点在函数图象上，不在函数图象上． 15. 如图是某几何体的三视图，其俯视图是边长为的菱形． （1）该几何体的名称是______； （2）请根据图中数据，计算该几何体的所有侧面的面积之和． 【答案】（1）四棱柱 （2） 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体的形状以及几何体侧面积的求解，注意计算的准确性． （1）由三视图即可判断； （2）由俯视图是菱形可知侧面是全等的矩形，据此即可求解． 【小问1详解】 解：由三视图可知该几何体是四棱柱 故答案为：四棱柱 【小问2详解】 解：∵四棱柱的底面是边长为的菱形， ∴侧面是全等的矩形， ∴四棱柱所有侧面的面积之和为． 16. 如图是的正方形网格，小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，等边三角形的顶点A，B均在格点上．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）在图（1）中，作的高； （2）在图（2）中，过点B作． 【答案】（1） 解：的高，如图所示： （2） 解：如图所示： 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合网格特征，得出点是的中点，因为是等边三角形，运用三线合一，即可作出的高； （2）先结合正方形的性质，证明，故，结合（1）得，因为，证明，即，所以，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，在中，点是的边上的一点． 小星：若，则可证： 小红：若，则可证 小亮：若．则可证 （1）请判断三人的对错：小星___________，小红___________，小亮___________．（均选填“对”或“错”） （2）选择一种正确的方法求证：． 【答案】（1）对，对，错 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定定理解答即可； （2）根据相似三角形的判定定理解答即可． 【小问1详解】 解：小星和小红对，小亮错； 【小问2详解】 证明：选择小星的证明： ∵，， ∴， 选择小红的证明： ∵，， ∴． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 今年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，很多爱国主义题材电影上映．小明和小红想去看电影，但是时间关系只能选择两部，所以他们制作了3张分别印有电影名字的卡片：《南京照相馆》、《东极岛》、《731》．现将这3张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片、求下列事件发生的概率： （1）第一次抽取的卡片不是《731》的概率为_____________； （2）求抽取的两次结果都不是《731》的概率？（请用树状图或列表等方法说明理由） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率． （1）根据题意，可以直接写出第一次抽取的卡片不是《731》的概率； （2）根据题意可以画出相应的树状图，然后即可计算出求抽取的两次结果都不是《731》的概率． 【小问1详解】 解：由题意可得， 第一次抽取的卡片不是《731》的概率为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意可得，树状图如下： 由上可得，共有6种等可能的结果，两次结果都不是《731》的有2种， 抽取的两次结果都不是《731》的概率为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．将点 A 向右平移2个单位长度，得到点B，将点B向下平移，使其对应点C落在反比例函数的图象上，此时点C的纵坐标为1． （1）点B的坐标为 ，点C 的坐标为 ；(用含a的代数式表示) （2）求 k的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，直角坐标系中坐标的平移，熟练掌握坐标的平移特征和反比例函数解析式的特征是解决本题的关键． （1）先利用向右平移2个单位长度，即横坐标加2，得出点B的坐标，再根据将点B向下平移，对应点为点C，得点C的横坐标和点B的横坐标相同，即可求解； （2）根据点A与点C均在反比例函数图象上，代入列式可求解，可得a的值，进而可知点A的坐标，代入函数解析式即可求解． 【小问1详解】 解：∵向右平移2个单位长度，得到点B， ∴点B的坐标为， ∵将点B向下平移，使其对应点C落在反比例函数的图象上，点C的纵坐标为1， ∴点C的横坐标和点B的横坐标相同， ∴点C的坐标为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵点，都在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴， ∴． 20. 某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架（）放在离树（）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（）上的点E处，然后沿着直线后退至点D 处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，，，观测者目高（）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，求这棵树的高度的长 ？ 【答案】这棵树的高度的长为米 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，矩形的判定与性质，平行线的性质，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．过点作的水平线交于点，交于点，根据镜面反射的性质求出，再根据对应边成比例解答即可． 【详解】解：过点作的水平线交于点，交于点，如图， ∵，， ∴， ∴四边形、是矩形，， ∴， ∵米，米，米，米， ∴米，米，米， ∴（米）， 根据题意得，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴米， 答：这棵树的高度的长为米． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，已知，，，分别是矩形的边，，，的中点，连接，，，． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求菱形的面积 【答案】（1） 证明：连接， 在中，∵点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ， 同理． 又 ∵在矩形中，， ， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形； （2）利用菱形的面积公式解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵四边形是矩形， ， ∵四边形是菱形， ， ， ∴菱形的对角线为， ∴菱形的面积为：． 【点睛】本题考查了中点四边形，三角形中位线定理，矩形的性质以及菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：（1）定义，（2）四边相等，（3）对角线互相垂直平分． 22. 阅读下面的材料：小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算“”为：． 求的值． 小明是这样解决问题的：由新定义可知，，又，所以． 请你参考小明的解题思路，回答下列问题： （1）计算： ______； （2）若，则______． （3）函数的图象大致是______． 【答案】（1） （2） （3）D 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，实数的新定义运算等知识． （1）根据新定义进行解答即可； （2）根据新定义分两种情况进行解答即可； （3分和两种情况进行分析即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意可得，； 故答案为： 【小问2详解】 当时， ， 解得：， 当时，， 解得：， ； 故答案为： 【小问3详解】 当时，， 此时是双曲线的第一象限部分； 当时，， 此时是双曲线的第二象限部分； 故函数的图象大致是D． 六、（本大题共12分） 23. 如图（1），在中，，，点P是边上一点，过点P作于点D，连接，O为的中点，连接． （1）如图（1），若． ①填空： ；（用含α的式子表示） ②求证：． （2）将绕点A旋转，使点P落在边上，如图（2），则（1）②中结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）①； ②如图，连接． ∵，点O是的中点， ∴， ∴， ∴． ∴是等腰直角三角形， ∴． （2） 解：成立 证明：如图，过点D作于点H． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴=， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 又， ∴， 又， 又， ∴， ∴，即（1）②中结论仍然成立 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造等腰直角三角形是解答本题的关键． （1）①根据题意得，得出，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得出，得到，再根据外角的性质可得结论； ②连接，证明是等腰直角三角形即可； （2）过点D作于点H．证明、是等腰直角三角形，得到，再证明即可得到结论． 【小问1详解】 解：①∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵O为的中点，且， ∴， ∴ ∴， 故答案为：； ②略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级 数学（北师大版）（三） 说明： 1．范围：上册全部． 2．分值：120分，时间：120分钟． 3．请将答案写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 若方程是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，这是一个几何体，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 从电脑文档存储的一篇文章中随机抽取若干页，统计其中“的”字出现的频率约为0.02，由此可以估计整篇文章中“的”字出现的概率约为（ ） A. 0.04 B. 0.02 C. 0.98 D. 不能确定 4. 如图，在中，，分别是边，上的点，，且相似比为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知反比例函数，则下列结论正确的是（ ） A. 其图象分别位于第一、三象限 B. y随x的增大而增大 C. 函数的图象关于原点对称，关于直线、对称 D. 如果点在它的图象上，则点不在它的图象上 6. 如图，直线交y轴于点C，与双曲线交于A、B两点，P是线段上的点（不与A、B重合），Q为线段上的点（不与B、C重合），过点A、P、Q分别向x轴作垂线，垂足分别为D、E、F，连接，设的面积为、的面积为、的面积为，则有（　　） A. B. C. D. 的大小关系无法确定 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 台灯下笔筒的影子属于_______投影．（填“平行”或“中心”） 8. 已知反比例函数，当时，________． 9. 若已知点和，且平行于轴，则______． 10. 小明在与对话中输入如下的文字：“有没有这样一个数，先计算它的平方，再减去它的3倍后再加上4，结果等于这个数？”经过40秒的深度思考和验证，给出的这个数应该是______． 11. 阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下宽的亮区（如图所示）．已知亮区到窗口下墙脚的距离，窗口高，则窗口底边离地面的高为_____． 12. 在平面直角坐标系中、、的坐标分别是，，，要使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则顶点 的坐标是_________． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：． （2）如图，四边形四边形，，，，求的度数． 14. 已知反比例函数的图象经过点，试判断点，是否在此函数的图象上． 15. 如图是某几何体的三视图，其俯视图是边长为的菱形． （1）该几何体的名称是______； （2）请根据图中数据，计算该几何体的所有侧面的面积之和． 16. 如图是的正方形网格，小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，等边三角形的顶点A，B均在格点上．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）在图（1）中，作的高； （2）在图（2）中，过点B作． 17. 如图，在中，点是的边上的一点． 小星：若，则可证： 小红：若，则可证 小亮：若．则可证 （1）请判断三人的对错：小星___________，小红___________，小亮___________．（均选填“对”或“错”） （2）选择一种正确的方法求证：． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 今年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，很多爱国主义题材电影上映．小明和小红想去看电影，但是时间关系只能选择两部，所以他们制作了3张分别印有电影名字的卡片：《南京照相馆》、《东极岛》、《731》．现将这3张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片、求下列事件发生的概率： （1）第一次抽取的卡片不是《731》的概率为_____________； （2）求抽取的两次结果都不是《731》的概率？（请用树状图或列表等方法说明理由） 19. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．将点 A 向右平移2个单位长度，得到点B，将点B向下平移，使其对应点C落在反比例函数的图象上，此时点C的纵坐标为1． （1）点B的坐标为 ，点C 的坐标为 ；(用含a的代数式表示) （2）求 k的值． 20. 某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架（）放在离树（）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（）上的点E处，然后沿着直线后退至点D 处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，，，观测者目高（）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，求这棵树的高度的长 ？ 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，已知，，，分别是矩形的边，，，的中点，连接，，，． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求菱形的面积 22. 阅读下面的材料：小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算“”为：． 求的值． 小明是这样解决问题的：由新定义可知，，又，所以． 请你参考小明的解题思路，回答下列问题： （1）计算： ______； （2）若，则______． （3）函数的图象大致是______． 六、（本大题共12分） 23. 如图（1），在中，，，点P是边上一点，过点P作于点D，连接，O为的中点，连接． （1）如图（1），若． ①填空： ；（用含α的式子表示） ②求证：． （2）将绕点A旋转，使点P落在边上，如图（2），则（1）②中结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $