精品解析：江苏省扬州市江都区第二中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级数学素养测试 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 车辆随机到达一个路口遇到红灯 B. 投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 C. 任意画一个三角形其内角和是 D. 早上的太阳从西方升起 2. 在献爱心活动中，五名同学捐款数分别是，，，，（单元：元），后来每人追加了元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，不变的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 3. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平行四边形中，为边的中点，交于点，若的面积为，则的面积为（    ）． A. B. C. D. 5. 如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，圆锥的底面圆半径，高，则圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，是直径，且，点D是上一点，点C是的中点，于点E，过点D的切线交的延长线于点G，连接，分别交、于点P、Q，连接．关于下列结论：①；②；③点P是的外心；④点P是的内心；⑤若，则．正确的有（　　） A. ①②③ B. ②③④ C. ②③⑤ D. ②③④⑤ 8. 如图，正方形和的边长分别是2和5，将正方形绕点C旋转，在旋转过程中，的面积S的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9. 黄金分割是大自然的基本规律，比如植物叶片按照黄金分割的规律进行排列．如图，点B是的黄金分割点（），若的长度为，那么的长度是________． 10. 一个不透明的布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球．从中任意摸出1个球是红球的概率为________． 11. 已知a和b是方程的两个解，则的值为________． 12. 函数中，自变量的取值范围是_______． 13. 若＝＝，则＝_______． 14. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为_____． 15. 如图，半径为4的扇形OAB中，∠O＝60°，C为半径OA上一点，过C作CD⊥OB于点D，以CD为边向右作等边△CDE，当点E落在上时，CD＝_____． 16. 如图，的周长是，点O是的内心，过点O作，与分别交于点E、F，已知，则的周长为 ___________． 17. 如图，半圆的直径为4，将半圆绕点顺时针旋转得到半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为___________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作，使其经过原点O，与x轴交于点B，并与y轴交于点A．点E是圆弧上一点，连接，点F为的中点．当点E沿着圆弧从点A顺时针运动到点B时，点F的运动路径长是______． 三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 用合适的方法解下列方程： （1）； （2）． 20. 中国人在餐桌上的礼仪文化源远流长，曾因孔子的称赞推崇而成为历朝历代表现大国之貌、礼仪之邦、文明之所的重要方面．某天，张教授宴请自己的5位学生（分别用、、、、表示），如图，根据中国的餐桌礼仪文化，入座时张教授应坐在餐桌上座的位置，五位学生在其余五个座位（分别用①、②、③、④、⑤表示）随机入座．已知学生第一个到，他从五个座位中随机选择一个座位入座，学生第二个到，他在剩下的四个座位中随机选择一个座位入座． （1）学生坐在②号座位的概率为_______； （2）请用列表法或画树状图的方法，求学生和学生入座后相邻的概率． 21. 某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分．将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）完成表格； 平均数/分 中位数/分 方差/分 甲 ______ 乙 9 ______ 丙 ______ 8 （2）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由； （3）在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为，则______．（填“”或“”或“”） 22. 如图，在▱ABCD中，BC=2AB，点E、F分别是BC、AD的中点，AE、BF交于点O，连接EF，OC． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AB=4，∠ABC=60°，求OC的长． 23. 如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的长和图中阴影部分的面积． 24. 如图1，某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心处竖直安装一根高度为的水管，处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，测得水流的最高处距离喷水池中心的水平距离为，最大竖直高度为． （1）①请直接写出水流的最高处的坐标_________； ②求喷出水流的竖直高度与距离水池中心的水平距离之间的关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动，即其形状和对称轴保持不变，若水流离喷水池中心的最远水平距离不超过，水流最大竖直高度大于，直接写出喷头高度的取值范围． 25. 文明交通从“头”做起，幸“盔”有你．某商店购进了一批某品牌头盔，该品牌头盔每个的成本为30元，经市场调研发现，当每个头盔的售价为40元时，月销售量为300个，在此基础上，每个头盔的售价每上涨1元，则月销售量减少10个．若既要销售此品牌头盔的月利润刚好达到3840元，又要尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个的售价应上涨多少元？ 26. 【习题再现】 （教材P74第10题）如图①，I是的内心，的延长线交的外接圆于点．和相等吗？为什么？ （不需解答，请看下面的问题） 【逆向思考】 （1）如图（1），为内一点，的延长线交的外接圆于点．若，求证：为的内心； 【拓展提高】 （2）如图（2），的半径长为5，弦，动点在优弧上（不与、重合），是的内心． ①点到上某点的距离始终不变，请用无刻度的直尺找出该点； ②的最大值为______． 27. 综合与实践 九年级机器人社团围绕“跳跃机器人”开展主题学习活动．现有甲，乙两款跳跃机器人，他们起跳后的运动路线均可看作抛物线．甲，乙分别从水平地面起跳，甲的运动路线的最高点距离地面，起跳点与落地点之间的距离为；乙的运动路线的最高点距离地面，起跳点与落地点之间的距离为． 【数学建模】 如图1，甲的起跳点为，落地点为，将甲的运动路线抽象为抛物线，其顶点为；乙的起跳点也为，落地点为，将乙的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，两机器人的运动路线在同一竖直平面内．以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； 【问题解决】 （2）如图2，水平地面上有个障碍物，其纵切面为矩形，，点在边左侧，甲，乙分别从点处起跳．机器人越过障碍物时，与障碍物表面的点在竖直方向上的距离不少于2cm才能安全通过．（障碍物的纵切面与两机器人的运动路线在同一竖直平面内） ①若，甲款机器人___________安全越过该障碍物；（横线上填“能”或“不能”）； ②若要使甲，乙两款机器人都能安全跃过该障碍物，设，则的取值范围为（结果保留根号）． 28. 如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径作弧，交边于点，连接． （1）______°； （2）若，求的长； （3）如图，点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点在内部，过点作分别交，，于点，，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学素养测试 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 车辆随机到达一个路口遇到红灯 B. 投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 C. 任意画一个三角形其内角和是 D. 早上的太阳从西方升起 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，熟知必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件是解答的关键． 根据初中数学知识，三角形的内角和定理保证任意三角形的内角和均为，因此选项C是必然事件；其他选项均不是一定发生的事件． 【详解】解：选项A中车辆随机到达一个路口可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，不是必然事件，不符合题意； 选项B中投掷一枚质地均匀的硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上，不是必然事件，不符合题意； 选项C中三角形的内角和定理：任意三角形的内角和等于，是必然事件，符合题意； 选项D中早上的太阳从东方升起，从西方升起是不可能事件，故不是必然事件，不符合题意． 故选：C． 2. 在献爱心活动中，五名同学捐款数分别是，，，，（单元：元），后来每人追加了元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，不变的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数，众数，中位数，方差的定义即可求解． 【详解】解：五名同学捐款数分别是，，，，（单位：元），后来每人追加了元．追加后的个数据与之前的个数据相比，不变的是方差；平均数，众数，中位数都会发生变化， 故选：D． 【点睛】本题考查了平均数，众数，中位数，方差的定义，熟练掌握平均数，众数，中位数，方差的定义是解题的关键． 3. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方程移项后，两项加上一次项系数的一半的平方配方得到结果，即可作出判断． 【详解】方程移项得：， 配方得：， 即， 故选：D． 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键． 4. 如图，在平行四边形中，为边的中点，交于点，若的面积为，则的面积为（    ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据平行四边形性质得出、，求出，再证明，根据相似三角形的性质可得求出，再结合已知条件即可解答． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 为边的中点， ， ∵， ， ， 的面积为， 的面积为. 故选：C． 5. 如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 利用圆周角定理证得、，根据直角三角形的两锐角互余，进行计算求解即可． 【详解】解：由于为直径， 则， ∵， ∴, ∴， 故选：A． 6. 如图，圆锥的底面圆半径，高，则圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算及勾股定理的应用，解题的关键是先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再代入侧面积公式计算． 由圆锥的底面半径和高，利用勾股定理求出母线长；再根据圆锥侧面积公式（乘以底面半径乘以母线长）计算侧面积． 【详解】解：圆锥的母线长， 圆锥的侧面积为． 故选：A． 7. 如图，在中，是直径，且，点D是上一点，点C是的中点，于点E，过点D的切线交的延长线于点G，连接，分别交、于点P、Q，连接．关于下列结论：①；②；③点P是的外心；④点P是的内心；⑤若，则．正确的有（　　） A. ①②③ B. ②③④ C. ②③⑤ D. ②③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】①用反证法即可判断结论①；②通过证明即可判断结论②；③通过证明即可判断结论③；④说明与不一定相等，即可判断结论④；⑤证明是等边三角形，求出即可判断结论⑤． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 即：、是的三等分点， 这显然不符合题意，故结论①错误； 如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论②正确； ∵是直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点是的外心，故结论③正确； ∵与不一定相等， ∴与不一定相等， ∴点不一定是的内心，故结论④错误； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴点P是的内心， ， ∴，故结论⑤正确； 综上所述，正确的结论有：； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反证法，圆周角定理，切线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等边对等角，直径所对的圆周角是直角，三角形外心内心的性质，等边三角形的判定，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 8. 如图，正方形和的边长分别是2和5，将正方形绕点C旋转，在旋转过程中，的面积S的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，垂线段最短，勾股定理，旋转的性质，利用数形结合的思想是解题关键． 由题意可求出，可判断点A的运动轨迹为以C为圆心，为半径的圆，交点A的运动轨迹于点和，从而得出以为底时，高的取值范围，进而即可求解． 【详解】解：∵正方形的边长5， ∴． ∵正方形的边长是2， ∴点A的运动轨迹为以C为圆心，为半径的圆，设线段的中点为，连接，交点A的运动轨迹于点和，如图， ∵，， ∴点A在运动过程中，距离的最小距离为， 最长距离为， ∴， ， ∴S的取值范围是． 故选：D． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9. 黄金分割是大自然的基本规律，比如植物叶片按照黄金分割的规律进行排列．如图，点B是的黄金分割点（），若的长度为，那么的长度是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义得到，然后代数求解即可． 【详解】解：∵点B是的黄金分割点（），的长度为， ∴，即 ∴． 故答案为：． 10. 一个不透明的布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球．从中任意摸出1个球是红球的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是概率公式，熟知随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数是解题的关键．根据概率公式，事件发生的概率等于事件发生的情况数除以所有可能的情况数． 【详解】解：从中任意摸出1个球共有4种等可能结果，其中是红球的有3种结果， 所以从中任意摸出1个球是红球的概率为， 故答案为：． 11. 已知a和b是方程的两个解，则的值为________． 【答案】2028 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可． 【详解】解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2028． 12. 函数中，自变量的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】要使函数有意义，必须满足，解不等式即可． 【详解】，解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数． 13. 若＝＝，则＝_______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据等式的性质，可用x表示y、z，根据分式的性质，可得答案． 【详解】解：由＝＝，得 y＝，z＝． ＝＝1． 故答案为1． 【点睛】本题考查比例的性质， 分式的值. 14. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为_____． 【答案】或6 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．由题意可知的对称轴为直线，顶点坐标为，分两种情况讨论：当时，；当时，在，，即可求解答案． 【详解】解：的对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，在，函数有最小值， ∵的最小值为， ∴， ∴； 当时，离对称轴越远，函数值越小， 在，，， ∴当时，函数有最小值， ∴， 解得； 综上所述：的值为6或． 故答案为：6或． 15. 如图，半径为4的扇形OAB中，∠O＝60°，C为半径OA上一点，过C作CD⊥OB于点D，以CD为边向右作等边△CDE，当点E落在上时，CD＝_____． 【答案】## 【解析】 【分析】如图，连接OE,设OD＝m,证明∠OCE＝90°，利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：如图，连接OE．设OD＝m． ∵CD⊥OB， ∴∠CDO＝90°， ∵∠COD＝60°， ∴∠OCD＝90°﹣60°＝30°， ∴OC＝2OD＝2m，CD＝m， ∵△CDE是等边三角形， ∴CD＝CE＝m，∠DCE＝60°， ∴∠OCE＝∠OCD+∠DCE＝90°， ∴OC2+CE2＝OE2， ∴4m2+3m2＝42， ∴m＝（负根舍去）， ∴CD＝m＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形性质、勾股定理、等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型． 16. 如图，的周长是，点O是的内心，过点O作，与分别交于点E、F，已知，则的周长为 ___________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查的是三角形的内切圆与内心、平行线的性质、等腰三角形的判定，明确三角形的内心是三条角平分线的交点是解题的关键． 先根据三角形内心的定义得到是和的角平分线，结合平行线的性质可证明，于是得到，故此可得到，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：连接． ∵点O是的内心， ∴分别是和的角平分线． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴， ∴的周长， 故答案为：12． 17. 如图，半圆的直径为4，将半圆绕点顺时针旋转得到半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握圆的性质以及旋转的性质是解题关键．先求出半圆的面积，由旋转的性质可知，，结合等边对等角的性质，得出，从而求出的面积和，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 半圆的直径为4， 半圆的面积为， 由旋转的性质可知，， ， ， ， 扇形的面积为，， 图中阴影部分的面积半圆的面积扇形的面积 故答案为：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作，使其经过原点O，与x轴交于点B，并与y轴交于点A．点E是圆弧上一点，连接，点F为的中点．当点E沿着圆弧从点A顺时针运动到点B时，点F的运动路径长是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，取的中点，连接、，根据勾股定理得到，根据三角形中位线定理得到，得出点在以点为圆心，半径为的圆上运动，再结合点E的运动路径，推出点的运动路径，再利用弧长公式即可求解． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接、， ∵， ∴， ∴， ∵点F为的中点，点为的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴点在以点为圆心，半径为的圆上运动， ∵点E沿着圆弧从点A顺时针运动到点B，且绕转过的角度为， ∴点沿着圆弧从点顺时针运动到点，且绕转过的角度为， ∴点F的运动路径长是周长的一半， ∴点F的运动路径长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了点的轨迹问题，勾股定理，三角形中位线定理，弧长公式，坐标与图形，正确找出点的运动轨迹是解题的关键． 三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 用合适的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据公式法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：，，， ， ， ， 【小问2详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：，. 20. 中国人在餐桌上的礼仪文化源远流长，曾因孔子的称赞推崇而成为历朝历代表现大国之貌、礼仪之邦、文明之所的重要方面．某天，张教授宴请自己的5位学生（分别用、、、、表示），如图，根据中国的餐桌礼仪文化，入座时张教授应坐在餐桌上座的位置，五位学生在其余五个座位（分别用①、②、③、④、⑤表示）随机入座．已知学生第一个到，他从五个座位中随机选择一个座位入座，学生第二个到，他在剩下的四个座位中随机选择一个座位入座． （1）学生坐在②号座位的概率为_______； （2）请用列表法或画树状图的方法，求学生和学生入座后相邻的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及概率公式，概率等于所求情况数与总情况数之比，熟练掌握并运用相关知识是解题的关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）先列表得到所有可能的情况，再找出符合题意的情况，最后根据概率公式求解即可； 【小问1详解】 解：根据题意可得：学生坐在②号座位的概率． 【小问2详解】 解：列表如图： 学生B 学生 ① ② ③ ④ ⑤ ① 相邻 不相邻 不相邻 不相邻 ② 相邻 相邻 不相邻 不相邻 ③ 不相邻 相邻 相邻 不相邻 ④ 不相邻 不相邻 相邻 相邻 ⑤ 不相邻 不相邻 不相邻 相邻 根据表格可得，共有20种情况，其中学生和学生入座后相邻的情况有8种情况， 故学生和学生入座后相邻的概率． 21. 某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分．将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）完成表格； 平均数/分 中位数/分 方差/分 甲 ______ 乙 9 ______ 丙 ______ 8 （2）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由； （3）在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为，则______．（填“”或“”或“”） 【答案】（1）9，，； （2）选甲更合适， 因为甲、乙、丙三人平均成绩一样，说明三人实力相当，但是甲的方差最小，说明甲的成绩更稳定，所以选甲； （3） 【解析】 【分析】（1）分别根据中位数、方差、平均数的定义进行计算，即可得到答案； （2）根据（1）中表格，结合平均数和方差的意义进行分析，即可得到答案； （3）根据方差公式进行计算，再比较大小即可得到答案． 【小问1详解】 解：由甲得分的折线统计图可知，甲得分的排序为：10、9、9、8、8， 甲得分的中位数为9， 由乙得分的条形统计图可知， 乙得分的方差为， 由丙得分的扇形统计图可知，有2名评委打分为10，有3名评委打分为8， 丙得分的平均数为， 故答案为：9，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：去掉一个最高分和一个最低分之后，甲的平均数为， 甲的方差为， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了中位数，平均数，方差，理解相关定义与意义，熟记方差公式解题关键． 22. 如图，在▱ABCD中，BC=2AB，点E、F分别是BC、AD的中点，AE、BF交于点O，连接EF，OC． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AB=4，∠ABC=60°，求OC的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD，BC=AD． ∵E，F分别是BC，AD的中点， ∴BEBC，AFAD， ∴BE=AF， ∴四边形ABEF是平行四边形． ∵BC=2AB， ∴AB=BE， ∴平行四边形ABEF是菱形． （2）． 【解析】 【分析】（1）首先证明四边形ABEF是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明； （2）过点O作OG⊥BC于点G．分别在Rt△OEG，Rt△OCG中，由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）过点O作OG⊥BC于点G，如图所示， ∵E是BC的中点，BC=2AB， ∴BE=CE=AB=4． ∵四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°， ∴BE=CE=AB=4，∠OBE=30°，∠BOE=90°， ∴OE=2，∠OEB=60°， ∴GE=1，OGGE， ∴GC=GE+CE=5， ∴OC2． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 23. 如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的长和图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接，则， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． （2）， 【解析】 【分析】（1）连接，论证即可； （2）根据等腰三角形的性质结合勾股定理求出，连接，可得是等边三角形，从而得到，进而计算出弧长及阴影部分的面积． 【详解】（1） 略 （2）解：如图，连接， 是的直径， ， ， ，， ， ， ，  在中，， ，解得舍负， ，， 是等边三角形，， ， 的长， ∴图中阴影部分的面积 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理、等腰三角形的性质、扇形面积、三角形面积等知识点，关键是灵活应用知识点解题． 24. 如图1，某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心处竖直安装一根高度为的水管，处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，测得水流的最高处距离喷水池中心的水平距离为，最大竖直高度为． （1）①请直接写出水流的最高处的坐标_________； ②求喷出水流的竖直高度与距离水池中心的水平距离之间的关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动，即其形状和对称轴保持不变，若水流离喷水池中心的最远水平距离不超过，水流最大竖直高度大于，直接写出喷头高度的取值范围． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解题意，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． （1）根据题意得：点的横坐标为1，纵坐标为，即可求解； ②依据题意，设抛物线的解析式为，由点坐标为，求出的值，进而求得抛物线的解析式； （2）设抛物线的解析式为，根据水流离喷水池中心的最远水平距离不超过，水流最大竖直高度大于，求出的取值范围，进而求出的取值范围即可． 【小问1详解】 ①，， ∴点的横坐标为1，纵坐标为， 故点坐标为． 故答案为：． ②由题意，点坐标为，点坐标为， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点， ∴，解得， 喷出水流的竖直高度与距离水池中心的水平距离之间的关系式为． 【小问2详解】 ∵抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变， ∴可设抛物线的解析式为， ∵水流最大竖直高度大于， ， 当时，，解得， （负值舍去）， ∵水流离喷水池中心的最远水平距离不超过， ， ， ， ． 当时，， ． ， ， 25. 文明交通从“头”做起，幸“盔”有你．某商店购进了一批某品牌头盔，该品牌头盔每个的成本为30元，经市场调研发现，当每个头盔的售价为40元时，月销售量为300个，在此基础上，每个头盔的售价每上涨1元，则月销售量减少10个．若既要销售此品牌头盔的月利润刚好达到3840元，又要尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个的售价应上涨多少元？ 【答案】6元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，通过设上涨金额为未知数，根据利润和销售量的关系列出方程，求解后根据题意选择上涨金额较小的解，以尽可能让顾客得到实惠． 【详解】解：设该品牌头盔每个的售价应上涨元． 由题意，得， 化简方程． 解得或． ∵要尽可能让顾客得到实惠，即上涨金额较小， ∴取． 答：该品牌头盔每个的售价应上涨6元． 26. 【习题再现】 （教材P74第10题）如图①，I是的内心，的延长线交的外接圆于点．和相等吗？为什么？ （不需解答，请看下面的问题） 【逆向思考】 （1）如图（1），为内一点，的延长线交的外接圆于点．若，求证：为的内心； 【拓展提高】 （2）如图（2），的半径长为5，弦，动点在优弧上（不与、重合），是的内心． ①点到上某点的距离始终不变，请用无刻度的直尺找出该点； ②的最大值为______． 【答案】（1） 证明：连接，如图 平分 是的一个外角 ， 平分 为的内心 （2） ①如图： ② 【解析】 【分析】（1）连接，由，可知，得到，从而推出平分，然后由，可知，通过三角形的外角可推出平分，得证． （2）①作的延长线交于点，连接，，根据三角形内心的性质和同弧所对的圆周角相等，可推出，再由三角形外角的可推出，结合，从而推出，即，可得点为所求； ②由①可知，从而推出当为的直径时，取得最大值，设交于点，连接，根据三角形内心的性质和垂径定理推论可得，，然后利用勾股定理先求得，即可得到，从而求得的最大值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①作的延长线交于点，连接，，如图 是的内心 ， ，点为中点 又和为所对的圆周角 是的一个外角 是一个定值 故延长交于点，点即为所求， ②如①图，， 当取最大值时，取得最大值 当为的直径时，取得最大值，如下图所示， 设交于点，连接 是的内心 是的直径 ， 的半径长为5， ，， 的最大值为 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内心的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理的推论，等腰三角形的判定，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并构造出合适的辅助线是解题的关键． 27. 综合与实践 九年级机器人社团围绕“跳跃机器人”开展主题学习活动．现有甲，乙两款跳跃机器人，他们起跳后的运动路线均可看作抛物线．甲，乙分别从水平地面起跳，甲的运动路线的最高点距离地面，起跳点与落地点之间的距离为；乙的运动路线的最高点距离地面，起跳点与落地点之间的距离为． 【数学建模】 如图1，甲的起跳点为，落地点为，将甲的运动路线抽象为抛物线，其顶点为；乙的起跳点也为，落地点为，将乙的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，两机器人的运动路线在同一竖直平面内．以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； 【问题解决】 （2）如图2，水平地面上有个障碍物，其纵切面为矩形，，点在边左侧，甲，乙分别从点处起跳．机器人越过障碍物时，与障碍物表面的点在竖直方向上的距离不少于2cm才能安全通过．（障碍物的纵切面与两机器人的运动路线在同一竖直平面内） ①若，甲款机器人___________安全越过该障碍物；（横线上填“能”或“不能”）； ②若要使甲，乙两款机器人都能安全跃过该障碍物，设，则的取值范围为（结果保留根号）． 【答案】（1）；； （2）①能； ② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，包括抛物线表达式的求解以及利用二次函数解决障碍物越过问题，熟练掌握二次函数的顶点式、图象性质及不等式求解是解答本题的关键． （1）利用抛物线的顶点式，结合起跳点和落地点的坐标，求出抛物线的函数表达式； （2）①分别将障碍物左端和右端的横坐标代入甲的抛物线表达式，计算出纵坐标，与障碍物高度比较竖直距离，判断是否能安全跃过； ②分别将障碍物左端和右端的横坐标代入甲、乙的抛物线表达式，列出不等式，求解出的取值范围． 【详解】解：（1）对于抛物线： 起跳点，落地点，顶点， 设， 代入点得， 则， 展开得：； 对于抛物线： 起跳点，落地点，顶点， 设， 代入点得， 则， 展开得：． （2）①，，， 分别将，代入得： ， ， 甲款机器人能安全跃过该障碍物． ②甲款机器人：令， 则， 解得：，， 即， 解得：； 乙款机器人：令， 则， 解得：，， 即， 解得：， 综上所述，的取值范围为． 28. 如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径作弧，交边于点，连接． （1）______°； （2）若，求的长； （3）如图，点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点在内部，过点作分别交，，于点，，，求证：． 【答案】（1） （2） （3） 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可求得； （2）过点作于点，设，利用勾股定理列方程即可求得； （3）连接，通过论证三角形相似及等边对等角进行线段的转换即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点作于点， ∵， ∴， 设， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍）； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $