专题三 分数的大小比较（导学案）五年级数学寒假自学课（冀教版）

2025-2026学年冀教版数学五年级寒假新课衔接 专题三 分数的大小比较 一、思维导图 二、考点精讲 考点一：公倍数和最小公倍数 公倍数—几个数公有的倍数，其中最小的一个是最小公倍数 求两个数的最小公倍数：列举法、筛选法、短除法 短除法：求最大公因数：将所有的除数连乘 求最小公倍数：将所有的除数和最后的商连乘 【典例分析1】（1）找出8和12的倍数、公倍数。 8的倍数有：________ 12的倍数有：________ 8和12的公倍数有：________ （2）把8和12的倍数、公倍数填在下面的圈里。 【答案】（1）8，16，24，32，40，48，56，64，72… 12，24，48，60，72… 24，48，72… （2）见详解 【分析】（1）根据求一个数倍数的方法，分别写出8和12的倍数，再找出它们的公倍数； （2）根据（1）的结果，把8和12的倍数、公倍数，再从公倍数中找出最小公倍数填写即可。 【详解】（1）8的倍数有：8，16，24，32，40，48，56，64，72… 12的倍数有：12，24，48，60，72… 8和12的公倍数有：24，48，72… （2） 【典例分析2】用短除法求下面各组数的最小公倍数。 24和28    12和32    40和30 【答案】168；96；120 【分析】用短除法求最小公倍数的方法步骤：第一步：找出两数的最小公因数，列短除式，用最小公因数去除这两个数，得到两个商；第二步：然后找出两个商的最小公因数，用最小公因数去除这两个商，得到新一级的两个商；第三步：以此类推，直到这两个商为互质数（即两个商只有公因数1）为止；第四步：将所有的公因数及最后的两个商相乘，所得积就是我们要求的两个数的最小公倍数。 【详解】 ，所以24和28的最小公倍数是168。 ，所以12和32的最小公倍数是96。 ，所以40和30的最小公倍数是120。 【变式训练1】 先填一填，再找出12和18的公倍数。 【变式训练2】找出下面每组数的最小公倍数。 8和9( )        6和24( )        12和10( )        8和40( ) 11和77( )        9和10( )        24和36( )        30和45( ) 【变式训练3】两个数的最小公倍数（    ）。 A．比这两个数都大 B．一定等于较大的数 C．可能等于较小的数 D．不会小于较大的数 【变式训练4】写出下面各组数的最小公倍数。 5和7( )    12和18( )   9和36( )   3和7( ) 6和9( )    11和9( )   15和20( )   4和8( ) 考点二：通分 意义：把异分母的分数化成和原来分数相等的同分母。 通分方法：两个分母的最小公倍数作公分母 【典例分析】将下面各组分数通分。 和        和       和       和 【答案】、；、；、；、 【分析】通分的方法：先求出几个分数的分母的最小公倍数，把它作为这几个分数的公分母，然后依据分数的基本性质，把原分数分别化成以公分母为分母的分数。 【详解】＝；＝；＝，＝；＝、＝ 【变式训练1】把下面每组中的分数通分。 和                 和                 、和 【变式训练2】把下面每组中的两个分数通分。 和     和     和     和 和     和     和     和 考点三：异分母比较大小 异分母分数比大小—先通分，再比较 【典例分析】比较下面各组分数的大小。 和     和     、和 【答案】＞；＞；＜＜ 【分析】根据分数的基本性质，把分数化成同分母分数，再根据分母相同的分数，分子大的分数大进行比较即可。 【详解】（1）＝＝   ＝＝ 因为＞，所以＞ （2）＝＝   ＝＝ 因为＞，所以＞ （3）＝＝   ＝＝   ＝＝ ＜＜，所以＜＜ 【变式训练1】先通分，再比较下面各组分数的大小。 和     和     、和 和     和     、和 【变式训练2】聪聪和丫丫看同样一本书，谁看得多一些？ 【变式训练3】五年级同学帮助菜农摘黄瓜，第一小组4人摘了3筐，第二小组6人摘了5筐，第三小组5人摘了4筐。哪个小组平均每人摘黄瓜的筐数最多，哪个小组最少？ 考点四：最小公倍数的应用 【典例分析】2路和6路公交车都从公交总站发车，2路公交车每隔15分钟发车一次，6路公交车每隔20分钟发车一次。若2路和6路公交车5：30同时从公交总站发车，下次两车同时发车是什么时候？ 【答案】6：30 【分析】要求下次同时发车应是什么时候，先求出再一次发车时要隔多长时间，间隔时间即15和20的最小公倍数；根据求最小公倍数的方法：即两个数的公有质因数与每个数的独有质因数的连乘积，进行解答即可。 【详解】15＝3×5 20＝2×2×5 15和20的最小公倍数是2×2×3×5＝60 60分钟＝1时      5时30分＋1时＝6时30分，即下次两车同时发车的时间是6：30。 答：下次两车同时发车是6∶30。 【变式训练1】大课间时同学们玩“抱团”游戏，人数在30和40之间。同学们发现当抱团口令为3，4或6时，每个人都可以抱团成功。有多少人在玩游戏？（“抱团”游戏的规则当听到口令中所报的数后，相应人数的同学迅速抱在一起，算作成功。） 【变式训练2】张老师买来一些糖果，糖果的颗数在90与100之间，如果每4颗装成一袋、6颗装成一袋或者8颗装成一袋都正好装完，那么张老师一共买来多少颗糖果？ 【变式训练3】五年级同学参加植树活动的人数在100人至130人之间，如果按6人一组分或8人一组分，都少3人。五年级参加植树活动的同学有多少名？ 三、强化训练 1．用短除法求8、12和30的最小公倍数。 2．直接找出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 8和32 5和9 13和39 6和11 最大公因数 最小公倍数 3．在括号里填上“＞”或“＜”。 ( )   ( )   ( )   ( ) ( )   ( )   ( )   ( ) 4．先通分，再比较下面各组两个分数的大小。 和     和     和     和 5．小欣和朋友们一起玩“飞花令”，规定时间内说出含“花”字的诗句最多的人获胜。下图是每个人说出的含“花”字诗句的数量占他们说出的含“花”字诗句总数量的几分之几。( )最终获胜，理由是( )。 6．7和9的最大公因数是( )，最小公倍数是( )；4和24的最大公因数是( )，最小公倍数是( )；10和15的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 7．幸福书院印刷一批书，若每12本打包成1捆，则少1本；若每18本打包成1捆，则也少1本。已知这批书的本数在550与600之间，则这批书共有( )本。 8．三台收割机分别收割三块同样大小的麦田。甲机用了小时，乙机用了小时，丙机用了小时。哪台收割机收割得最快，哪台最慢？ 9．小猴子们运来一些苹果，若每堆分11个则正好能分成若干堆；若每堆分12个，则也正好能分成若干堆。这些苹果至少有多少个？ 10．王阿姨和宋阿姨都是河北梆子社团的成员，她们在9月9日这天同时去社团参加活动，王阿姨每6天去一次社团，宋阿姨每8天去一次社团，她们下一次同时去社团是几月几日？ 11．有一批苹果，每筐装30千克或33千克，都正好装完。这批苹果至少有多少千克？ 12．一种瓷砖长4分米，宽3分米。如果用这种瓷砖铺一个正方形的地面（用的瓷砖必须都是整块），正方形的边长可以是多少分米？最小是多少分米？ 13．食品店运来一些面包，如果每2个装一袋，每3个装一袋，每5个装一袋，都能正好装完，这些面包可能有多少个？（面包个数在50－80之间） 14．五年级（2）班同学站队，4人一排，5人一排，6人一排都没有剩余。五年级（2）班至少有学生多少人？ 15．2021年端午节到来之际，为了弘扬传统文化，实验小学开展了“我们的节日——端午”主题活动。其中五年级参加划旱地龙舟的学生在20人～30人之间，赛前预演时，无论4人一组或6人一组都剩余2人，请问五年级参加划旱地龙舟的学生有多少人？ 16．水果店有一些苹果，如果每6千克装一袋，多4千克：如果每10千克装一袋，也多4千克，这些苹果最少有多少千克？ 参考答案 考点一 【变式训练1】见详解 【分析】倍数是指一个整数能够被另一个整数整除这个整数就是另一整数的倍数。公倍数是指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数。我们先分别找出100以内12和18的倍数，再找出它们的公倍数。 【详解】.100以内12的倍数 从12开始，12×1＝12 12×2＝24 12×3＝36 12 ×4＝48 12×5＝60 12×6＝72 12×7＝84 12×8＝96 所以100以内12的倍数有12、24、36、48、60、72、84、96。 100以内18的倍数： 18×1＝18 18×2＝36 18×3＝54 18×4＝ 72 18×5＝90 所以100以内18的倍数有18、36、54、72、90。 100以内12和18的公倍数：对比100以内12的倍数和100以内18的倍数，发现相同的数有36和72。所以100以内12和18的公倍数是36、72。 【变式训练2】 72 24 60 40 77 90 72 90 【分析】两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积为最小公倍数；如果两个数为倍数关系，较大的那个数为最小公倍数；如果两个数为互质数关系，最小公倍数为两个数的乘积，据此解答。 【详解】8和9 8和9为互质数，最小公倍数为8×9＝72。 6和24 6和24为倍数关系，最小公倍数为24。 12和10 12＝2×2×3 10＝2×5 12和10的最小公倍数为2×2×3×5＝60。 8和40 8和40为倍数关系，最小公倍数为40。 11和77 11和77为倍数关系，最小公倍数为77。 9和10 9和10为互质数，最小公倍数为9×10＝90。 24和36 24＝2×2×2×3 36＝2×2×3×3 24和36的最小公倍数为2×2×2×3×3＝72。 30和45 30＝2×3×5 45＝3×3×5 30和45的最小公倍数为2×3×5×3＝90。 【变式训练3】D 【分析】两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。 全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数；两数成倍数关系，最小公倍数是较大数；两数互质，最小公倍数是两数的积，据此分别举例说明即可。 【详解】A．2和4的最小公倍数是4，两个数的最小公倍数可能等于其中一个数，选项说法错误； B．6和8的最小公倍数是24，两个数的最小公倍数不一定等于较大的数，选项说法错误； C．两个数的最小公倍数不可能等于较小的数，选项说法错误； D．2和4的最小公倍数是4，6和8的最小公倍数是24，两个数的最小公倍数不会小于较大的数，选项说法正确。 故答案为：D 【变式训练4】 35 36 36 21 18 99 60 8 【分析】求两个数的最小公倍数，两个数的公有质因数和各自独有质因数的连乘积就是它们的最小公倍数； 如果两个数是互为质数关系，这两个数的最小公倍数为这两个数的乘积； 如果两个数是倍数关系的两个数，较大数是它们的最小公倍数；据此解答。 【详解】（1）5和7互质，所以5和7的最小公倍数为：5×7＝35； （2）12＝2×2×3；18＝2×3×3，所以12和18的最小公倍数为：2×2×3×3＝36； （3）36是9的倍数，所以9和36的最小公倍数为：36； （4）3和7互质，所以3和7的最小公倍数为：3×7＝21； （5）6＝2×3；9＝3×3，所以6和9的最小公倍数为：2×3×3＝18； （6）11和9互质，所以11和9的最小公倍数为：11×9＝99； （7）15＝3×5；20＝2×2×5，所以15和20的最小公倍数为：2×2×3×5＝60； （8）8是4的倍数，所以8和4的最小公倍数为：8。 考点二 【变式训练1】，；，；，， 【分析】把异分母分数化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。通分时，一般用原来几个分母的最小公倍数作为公分母，然后运用分数的基本性质，将各分数分别化成以这个公分母为分母的分数。 【详解】＝＝；＝＝ ＝＝；不变 ＝＝；＝＝；＝＝ 【变式训练2】＝；＝；＝；＝；＝；＝；＝；＝； ＝；＝；＝；＝；＝；＝；＝；＝ 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数大小不变；把异分母分数分别化为与原来分数相等的同分母分数的过程，叫做通分；先找到分母的最小公倍数，然后根据分数的基本性质进行通分。 【详解】＝＝ ＝＝ ＝＝ ＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝ ＝ ＝＝ ＝＝ 考点三 【变式训练1】见详解 【分析】把几个分母不同的分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫作通分，相同的分母叫作这几个分数的公分母，一般用原来几个分母的最小公倍数作公分母，同分母分数比较大小时，分子大的分数值大，分子小的分数值小，据此解答。 【详解】（1）和 ＝＝ ＝＝ 因为＞，所以＞。 （2）和 ＝＝ ＝＝ 因为＜，所以＜。 （3）、和 ＝＝ ＝＝ ＝＝ 因为＜＜，所以＜＜。 （4）和 ＝＝ ＝＝ 因为＞，所以＞。 （5）和 ＝＝ ＝＝ 因为＜，所以＜。 （6）、和 ＝＝ ＝＝ ＝＝ 因为＜＜，所以＜＜。 【变式训练2】聪聪 【分析】根据异分母分数比较大小的方法：先通分，化成分母相同的分数，再根据同分母分数比较大小的方法进行解答。比较聪聪和丫丫看了这本书的分率，进而解答。 【详解】＝；＝ ＜，即＜，聪聪看得多。 答：聪聪看得多。 【变式训练3】第二小组；第一小组 【分析】用每小组摘的筐数除以人数，求出各小组平均每人摘黄瓜的筐数，再比较大小即可。 【详解】3÷4＝（筐） 5÷6＝（筐） 4÷5＝（筐） ＝ ＝ ＝ 因为45＜50＜60 所以＜＜ 答：第二小组平均每人摘黄瓜的筐数最多，第一小组平均每人摘黄瓜的筐数最少。 考点四 【变式训练1】36人 【分析】根据题意，口令为3，4或6时，每个人都可以抱团成功，所以人数应该是3、4和6的公倍数，同时该公倍数应该在30和40之间，据此解答即可。 【详解】由分析可得：3＝1×3 4＝2×2 6＝2×3 3、4或6的最小公倍数是：2×2×3＝12； 则3、4或6的公倍数有：12、24、36、48、60……三个数的公倍数在30和40之间的为：36，所以有36人。 答：有36人在玩游戏。 【变式训练2】96颗 【分析】根据题意可知，糖果的数量是4、6、8的公倍数，据此先求出4、6、8的最小公倍数，然后再用乘法求出在90与100之间的4、6、8的公倍数。 【详解】4＝2×2 6＝2×3 8＝2×2×2 4、6、8的最小公倍数是：2×3×2×2＝24 24×4＝96（颗） 答：张老师一共买来96颗糖果。 【变式训练3】117名 【分析】根据题意，如果按6人一组分或8人一组分，都少3人，说明五年级参加植树活动的总人数比6、8的公倍数少3；先求出6和8的最小公倍数，再求最小公倍数在100～130之间的倍数，最后减去3，就是五年级参加植树活动的总人数。 【详解】6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数是：2×2×2×3＝24 24在100～130之间的公倍数是：24×5＝120 120－3＝117（名） 答：五年级参加植树活动的同学有117名。 强化训练 1．120 【分析】用短除法求最小公倍数的方法步骤：第一步：找出几个数的最小公因数，列短除式，用最小公因数去除这几个数，得到两个商；第二步：然后找出几个商的最小公因数，用最小公因数去除这几个商，得到新一级的几个商；第三步：以此类推，直到这几个商为互质数（即几个商只有公因数1）为止；第四步：将所有的公因数及最后的几个商相乘，所得积就是我们要求的几个数的最小公倍数。 【详解】 所以8、12和30的最小公倍数是120。 2．见详解 【分析】8和32是倍数关系，8和32的最大公因数是8，最小公倍数是32。5和9是互质数，5和9的最大公因数是1，最小公倍数是它们的积。13和39是倍数关系，13和39的最大公因数是13，最小公倍数是39。6和11是互质数，6和11的最大公因数是1，最小公倍数是它们的积。 【详解】 8和32 5和9 13和39 6和11 最大公因数 8 1 13 1 最小公倍数 32 45 39 66 3． ＜ ＜ ＞ ＞ ＞ ＞ ＞ ＜ 【分析】根据异分母分数比较大小的方法：先通分，化成分母相同的分数，再按照同分母分数比较大小的方法进行比较。 【详解】和 ＝＝；＝＝ 因为＜，所以＜ 和 ＝＝；＝＝ 因为＜，所以＜ 和 ＝＝；＝＝ 因为＞，所以＞ 和 ＝＝；＝＝ 因为＞，所以＞ 和 ＝＝；＝＝ 因为＞，所以＞ 和 ＝＝；＝＝ 因为＞，所以＞ 和 ＝＝；＝＝ 因为＞，所以＞ 和 ＝＝；＝＝ 因为＜，所以＜ 4．，， ，， ，， ，， 【分析】根据分数的基本性质，把几个异分母分数化成与原来分数相等的同分母分数的过程，叫做通分。据此将各组中的分数通分后化为同分母的分数比较大小即可。 【详解】 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 5． 小欣 小欣含“花”字的诗句最多 【分析】分数比较大小：分母相同，分子较大的分数比较大，分子较小的分数比较小；分子相同，分母较大的分数比较小，分母较小的分数比较大；分子和分母不同，先通分，再比较分子，分子大的数较大，分子小的数较小；据此解答。 【详解】 小欣最终获胜，理由是小欣含“花”字的诗句最多。 6． 1 63 4 24 5 30 【分析】7和9是互质数，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积，7×9＝63；4和24是倍数关系，它们的最大公因数是其中的较小数4，最小公倍数是其中的较大数24；10和15的最大公因数和最小公倍数可以用短除法来求。 【详解】 7和9的最大公因数是1，最小公倍数是63；4和24的最大公因数是4，最小公倍数是24；10和15的最大公因数是5，最小公倍数是5×2×3＝30。 【点睛】两个数是互质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；两个数是倍数关系，最大公因数是其中的较小数，最小公倍数是较大数；求两个数的最大公因数和最小公倍数，一般用短除法。 7．575 【分析】每12本或18本打包都少1本，说明这批书的总本数加1后，既是12的倍数，也是18的倍数，即这个数是12和18的公倍数。先找到12和18的最小公倍数，再在550与600之间找到符合条件的公倍数，这个公倍数减1，即是这批书的总本数，据此解答。 【详解】12＝2×2×3 18＝2×3×3 12和18的最小公倍数：2×2×3×3＝36。 550÷36≈15.28，600÷36≈16.67，15.28＜16＜16.67 16×36＝576，在550与600之间12和18的公倍数的是576。 576－1＝575（本） 即这批书共有575本。 8．最快：丙机；最慢：甲机 【分析】根据异分母分数比较大小的方法：先通分，化成分母相同的分数，再根据同分母分数比较大小的方法进行比较，谁小，谁收割得最快，谁大，谁收割得最慢，据此解答。 【详解】＝＝ ＝ ＝ 因为＞＞，所以＞＞，即甲机＞乙机＞丙机，丙机收割得最快，甲机收割得最慢。 答：丙机收割得最快，甲机收割得最慢。 9．132个 【分析】由题意可知苹果的个数既是11的倍数，又是12的倍数，那么苹果的个数是11与12的公倍数，因11与12是相邻的自然数，它们公倍数中最小的是11与12的积，据此解答即可。 【详解】11×12＝132（个） 答：这些苹果至少有132个。 【点睛】学生应准确理解到苹果个数是11与12的公倍数。 10．10月3日 【分析】由题意可知：下一次同时去社团的所需时间是6天与8天的最小公倍数，根据求最小公倍数的方法求出最小公倍数，进而得出下一次同时去社团是几月几日。 【详解】6＝2×3 8＝2×2×2 所以6和8的最小公倍数是2×2×2×3＝24，也就是再过24天同时去社团。 9月9日＋24天＝10月3日 答：她们下一次同时去社团是10月3日。 【点睛】本题主要考查最小公倍数的实际应用。 11．330千克 【分析】由题意可知：苹果的总质量是30和33的公倍数，应用分解质因数的方法求出30和33的最小公倍数即可。 【详解】30＝2×3×5 33＝3×11 30和33的最小公倍数为： 2×3×5×11 ＝6×5×11 ＝30×11 ＝330 答：这批苹果至少有330千克。 12．填空见详解； 12分米、24分米、36分米、48分米…；12分米 【分析】 两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。分别求出4和3的倍数，找出它们的公倍数，即正方形的边长的长度，最小公倍数即是正方形的最小边长。据此解答。 【详解】 4和3是互质数，最小公倍数是3×4＝12，正方形的边长最小是12分米。 12的倍数有12，24，36，48… 正方形的边长是12分米、24分米、36分米、48分米…。 答：正方形的边长可以是12分米、24分米、36分米、48分米…；最小是12分米。 【点睛】本题考查公倍数和最小公倍数的实际应用，利用求两个数的公倍数的方法解决问题。 13．60个 【分析】根据题意，如果每2个装一袋，每3个装一袋，每5个装一袋，都能正好装完，就是求2、3、5的公倍数，而且在50－80之间。 【详解】2×3×5＝30（个） 30×2＝60（个） 答：这些面包可能有60个。 【点睛】本题主要考查公倍数的求法及运用。 14．60人 【分析】求出三种站法每排人数的最小公倍数就是最少人数。 【详解】4＝2×2 6＝2×3 2×2×3×5＝60（人） 答：五年级（2）班至少有学生60人。 【点睛】全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 15．26人 【分析】根据题意，五年级参加旱地龙舟的学生人数在20人～30人之间，无论4人或6人一组都省2人，求出4和6的公倍数，在20～30之间，求出倍数再加上2，就是参加旱地龙舟的学生人数。 【详解】4的倍数：4、8、12、16、20、24、28、32…… 6的倍数：6、12、18、24、30…… 4和6在20～30之间的倍数是24 24＋2＝26（人） 答：五年级参加旱地龙舟的学生有26人。 【点睛】本题考查两个数的公倍数的求法。 16．34千克 【分析】苹果每袋装6千克或者10千克，都会多4千克，需要求苹果最少的重量，即求出6和10 的最小公倍数，再加上多出的4千克，即可得出答案。 【详解】，，则6和10的最小公倍数为； ； 再加上多出的4千克，即（千克）。 答：这些苹果最少有34千克。 【点睛】本题主要考查的是最小公倍数的应用，解题的关键是理解求苹果最少即是求两个数的最小公倍数再加上多出来的苹果。 学科网（北京）股份有限公司11 学科网（北京）股份有限公司 $