3.1.1函数的概念教案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册
高中一年级数学《函数的概念》
教案
1. 授课对象：高中一年级学生
2. 授课时长：45分钟
3. 授课教师：[教师姓名]
4. 授课类型：新授课
1. 理解函数的近代定义，明确函数的三要素（定义域、对应关系、值域）。
2. 能够根据函数的定义判断两个变量之间是否构成函数关系。
3. 掌握函数的三种表示方法（解析法、列表法、图像法），并能根据具体情境选择合适的表示方法。
1. 通过对初中函数定义的回顾与拓展，引导学生经历从具体实例到抽象概念的概括过程，培养学生的抽象概括能力。
2. 借助实例分析、小组讨论等活动，让学生主动参与函数概念的形成过程，提升学生的逻辑推理和合作探究能力。
1. 让学生感受函数概念的严谨性和实用性，体会数学与生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣。
2. 培养学生勇于探索、敢于质疑的科学态度，提升学生的数学核心素养。
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1. 函数的近代定义及其理解。
2. 函数三要素的辨析与确定。
1. 对函数概念中“任意一个x都有唯一确定的y与之对应”的理解。
2. 抽象函数定义域的求解。
1. 多媒体课件（包含初中函数实例、高中函数实例、练习题等）。
2. 学案（包含预习问题、探究任务、巩固习题）。
3. 直尺、圆规等绘图工具。
1. 教师提问：同学们，在初中我们已经学习过函数的概念，谁能回忆一下初中阶段我们是如何定义函数的？
2. 学生回答：在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定唯一的一个y值，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
3. 教师展示实例：
（1）汽车以60km/h的速度行驶，行驶路程s（km）与行驶时间t（h）之间的关系。
（2）正方形的边长为x，面积y与边长x之间的关系。
4. 教师引导：这些实例都符合初中函数的定义，但随着我们学习的深入，这样的定义是否足够严谨呢？比如，当变量的取值不再是具体的数，而是集合时，该如何定义函数？今天我们就来学习更加严谨的函数概念。（板书课题：函数的概念）
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教师展示三个高中阶段的函数实例，引导学生分析：
实例1：集合A={1,2,3,4}，集合B={2,4,6,8}，对应关系f：x→y=2x，即1→2，2→4，3→6，4→8。
实例2：集合A={x|x是实数}，集合B={y|y≥0}，对应关系f：x→y=x²。
实例3：集合A={x|x是三角形}，集合B={y|y>0}，对应关系f：x→y是x的面积。
提问：这三个实例中，两个集合之间的对应关系有什么共同特点？
学生小组讨论后回答，教师总结：
（1）都有两个非空集合A和B；
（2）对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应。
教师给出函数的近代定义：设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作y=f(x)，x∈A。
对定义进行解读：
（1）定义域：x的取值范围A叫做函数的定义域；
（2）值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域，值域是集合B的子集；
（3）三要素：定义域、对应关系、值域，其中定义域和对应关系确定后，值域随之确定。
针对本节课的两个核心难点，采用“实例对比+动手操作+阶梯式提问”的方式分层突破，引导学生从直观感知到理性理解：
难点一：突破“任意一个x都有唯一确定的y与之对应”的理解
1. 阶梯式提问引导思考：
① 提问1：“任意一个x”意味着什么？（引导学生明确：定义域内的每一个x都要被考虑到，不能遗漏任何一个元素）
② 提问2：“唯一确定的y”又该如何理解？（引导学生初步感知：一个x不能对应多个y）
2. 实例对比强化认知：
展示两组对比实例，让学生分组讨论判断是否为函数，并说明理由：
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