精品解析：2025-2026学年苏科版九年级数学上册培优期末试卷

培优期末试卷2025-2026学年苏科版 九年级数学上册 （考试时间：120分钟，分值：120分） 一、单选题（每小题4分，共24分） 1. 9的算术平方根是（ ） A. ﹣3 B. ±3 C. 3 D. 2. 沿河土家族自治县2020年秋季学期城乡义务教育阶段，某中学对家庭经济困难学生生活费补助的教育资助共14.5万元，把14.5万元用科学记数法可表示为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 3. 一次函数的图象是（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形不是旋转对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的值是（ ） A. 16 B. 64 C. 6 D. 8 6. 如图，已知⊙O的直径为10，将⊙O沿折叠，使弧与直径相切于点E，则折痕的取值范围为（ ） A. B. C D. 二、填空题（每小题4分，共40分） 7. 若，则________． 8. 分式，当_________时有意义. 9. 计算的结果是________． 10. 如果正多边形的一个外角是，那么这个正多边形的边数为___________． 11. 如图所示，平行四边形中，对角线交于点点是中点．若的周长为则的周长为________________． 12 某学校广播站要新招1名广播员，甲、乙两名同学经过选拔进入复试环节，参加了口语表达、写作能力两项测试，得分如下表： 口语表达 写作能力 甲同学 80 90 乙同学 90 80 该学校规定口语表达按、写作能力按计入总成绩，根据总成绩从高到低择优录取．通过计算，被录取的同学是______． 13. 如图，正方形的边长为3，线段长度为3，图①所示为线段的初始位置，点与点重合，点与点重合．过点作，交于点，过点作于点．如图②，在保证线段长度不变的前提下，点沿向下滑动，当点移动至线段的三等分点时，线段的长度为 __． 14. 在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小俊用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … 0 1 2 … … 1 1 … 下列四个结论：①该函数的图象关于直线对称；②该函数图象在x轴上方：③该函数图象没有最低点；④若和是该函数图象上两点，则．其中正确的结论是______（填写正确答案的序号）． 15. 小海的圆柱形水壶有一个布套(如图，含侧面和两个底面)，其底面直径为，母线长为．他做这个布套至少用的布料为________．(结果保留) 16. 如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标是，⊙P与x轴相切，点A，B在上，它们的横坐标分别是0，18．若沿着x轴作无滑动的滚动，当点B第一次落在x轴上时，此时点A的坐标是________． 三、三、解答题解答题（共56分） 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 18. 阅读理解题． 我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为． （1）已知分式，，判断是否为的“雅中式”．若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“雅中值”． （2）已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，为整数，且的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值． 19. 某校组织学生参加植树活动，原计划每天植树80棵，5天完成，后因天气原因需提前1天完成，问每天需多植树多少棵？ 20. 如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点，点分别在上，，连接，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若点是的中点，，，求四边形的周长和面积． 21. 一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球，其中5个黄球，8个黑球，7个红球，现从袋中取出若干个黑球，搅匀后，在袋中剩下的球中随机摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再随机摸出一个小球，记录颜色后放回、搅匀，……不断重复这一过程，经过大量试验发现从袋中摸出一个球是黑球的频率稳定在，估计从袋中取出黑球的个数． 22. 省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，成绩（单位：环）如下表： 队员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 甲 9 7 10 10 9 9 乙 10 8 9 8 10 9 （1）分别计算甲、乙六次测试成绩的平均数和方差； （2）你认为推荐谁参加全国比赛更合适？请说明理由． 23. 如图，半圆O的直径为AB，D是半圆上的一个动点（不与点A，B重合），连接BD并延长至点C，使CD＝BD，连接AC，过点D作DE⊥AC于点E． （1）请猜想DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）当AB＝4，∠BAC＝45°时，求DE长． 24. 如图所示，小明想测量山坡上一棵大树的高度（与地面垂直），首先在水平地面上点处测得大树底端的仰角为，大树顶端的仰角为，然后再测得山坡的坡度，最后测得坡底到大树底端的距离为34米．（注：图中各点都在一个平面内，参考数据：，，，，，） （1）求，之间的距离； （2）求大树的高度． 25. 如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，对称轴是y轴． （1）点A、B坐标分别是：A（ ），B（ ）； （2）若，则x的取值范围是 ； （3）函数y的最小值是 ． 26. 如图，在中，，，．点在边上运动，点关于点的对称点为点，以为边在上方作正方形．设． （1）的长为_____________． （2）求线段的长．（用含x的代数式表示） （3）当正方形与重叠部分的图形为四边形时，求的取值范围． （4）连结，当所在直线将正方形的面积分成1：2两部分时，直接写出的值． 27. 已知抛物线与轴交于点、，与轴交于点. （1）求抛物线解析式； （2）如图①，若点是第一象限内抛物线上一动点，过点作于点，求线段长的最大值 （3）如图②，若点是抛物线上另一动点，点是平面内一点，是否存在以点、、、为顶点，且以为边的矩形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优期末试卷2025-2026学年苏科版 九年级数学上册 （考试时间：120分钟，分值：120分） 一、单选题（每小题4分，共24分） 1. 9的算术平方根是（ ） A. ﹣3 B. ±3 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：9的算术平方根是3， 故选C． 考点：算术平方根． 2. 沿河土家族自治县2020年秋季学期城乡义务教育阶段，某中学对家庭经济困难学生生活费补助的教育资助共14.5万元，把14.5万元用科学记数法可表示为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：14.5万=145000=1.45×105元． 故选A． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 一次函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象； 根据，时，一次函数图象过二、三、四象限可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴函数图象过二、三、四象限， 故选：C． 4. 下列图形不是旋转对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转对称图形的概念．如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A、B、C均能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转一定的角度（小于）后能与原图形重合，所以都是旋转对称图形； 选项D不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转一定的角度（小于）后能与原图形重合，所以不是旋转对称图形； 故选：D． 5. 已知，则的值是（ ） A. 16 B. 64 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，先由等式得到，再利用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则即可求解 【详解】解：∵，即， ， 故选D 6. 如图，已知⊙O的直径为10，将⊙O沿折叠，使弧与直径相切于点E，则折痕的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质以及垂径定理和勾股定理，切线的性质，作辅助线是解题的关键．如图，设，，设弧的圆心为，连接交于F，连接，，根据垂径定理以及勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，设，，设弧的圆心为， 连接交于F，连接，， 由折叠得，，⊙的半径为5， ∴， ∴， ， 垂直平分， ， ∴， ∵弧与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，的值最大，最大值为， 当时，的值最小，最小值为， ∴． 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共40分） 7. 若，则________． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据绝对值的意义可直接进行求解． 【详解】解：由可得：； 故答案为±3． 【点睛】本题主要考查绝对值的意义，熟练掌握是解题的关键． 8. 分式，当_________时有意义. 【答案】≠-5 【解析】 【分析】分式有意义时,分母不等于0. 详解】由题意得：x+5≠0，解得：x≠-5， 故答案为≠-5. 9. 计算的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简二次根，再合并同类二次根式即可． 详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式加法，熟练掌握二次根式加法法则是解题的关键． 10. 如果正多边形的一个外角是，那么这个正多边形的边数为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和定理．根据外角和为，除以每个外角的度数即可得出多边形的边数． 详解】解：， ∴这个多边形的边数为5． 故答案：5． 11. 如图所示，平行四边形中，对角线交于点点是的中点．若的周长为则的周长为________________． 【答案】9cm 【解析】 【分析】根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OA=OC，DO=BO，E点是CD的中点，可得OE是△ABC的中位线，可得OE=AB．从而得到△OEC的周长． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，其周长为20cm， ∴OA=OC，OB=OD，AB+BC=10cm， 又∵E是BC中点， ∴OE是△ABC的中位线，CE=BC， ∴OE=AB， ∴△OEC的周长=×（AB+BC+AC）=×（10+8）=9（cm） 故答案为：9cm． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及三角形中位线的性质的应用．解题时注意：平行四边形的对角线互相平分． 12. 某学校广播站要新招1名广播员，甲、乙两名同学经过选拔进入复试环节，参加了口语表达、写作能力两项测试，得分如下表： 口语表达 写作能力 甲同学 80 90 乙同学 90 80 该学校规定口语表达按、写作能力按计入总成绩，根据总成绩从高到低择优录取．通过计算，被录取的同学是______． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的计算，加权平均数公式为：（其中分别为的权）．根据加权平均数公式计算后比较即可． 【详解】解：甲：分， 乙：分， ∵， ∴被录取的同学是乙． 故答案为：乙． 13. 如图，正方形的边长为3，线段长度为3，图①所示为线段的初始位置，点与点重合，点与点重合．过点作，交于点，过点作于点．如图②，在保证线段长度不变的前提下，点沿向下滑动，当点移动至线段的三等分点时，线段的长度为 __． 【答案】或 【解析】 【分析】证明得出，当点移动至线段的三等分点时，分两种情况讨论，①，，②，，分别计算即可求解． 【详解】解：在正方形中， ， ， 又 四边形为矩形 正方形的边长为3，线段长度为3， 当点移动至线段的三等分点时，有两种情况： ①，， 则在中， ， 在中， ②， 则在中， ， 在中， 综上所述线段的长度为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，分类讨论是解题的关键． 14. 在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小俊用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … 0 1 2 … … 1 1 … 下列四个结论：①该函数的图象关于直线对称；②该函数图象在x轴上方：③该函数图象没有最低点；④若和是该函数图象上两点，则．其中正确的结论是______（填写正确答案的序号）． 【答案】① ② ③ 【解析】 【分析】根据函数解析式 和表格数据，分析函数的对称性、图像位置、函数的最值以及函数值比较． 本题考查了函数的计算，对称性，函数的最值，函数的增减性，熟练掌握性质和最值是解题的关键． 【详解】解： ① 由函数 ，且表格中和时值均为1，表明图像关于直线 对称，故正确； ② 由于 且当时 ， 因此，图像在轴上方，故正确； ③ 函数且始终大于 0，无最小值点，故正确； ④ 点 和 ，计算 ，，因此 ，结论 错误； 故答案为：① ② ③． 15. 小海的圆柱形水壶有一个布套(如图，含侧面和两个底面)，其底面直径为，母线长为．他做这个布套至少用的布料为________．(结果保留) 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求圆柱体的表面积，根据圆柱底面积和侧面积的计算方法进行计算即可得到答案． 【详解】解： ， ()， 答：做这个布套至少需要布料． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标是，⊙P与x轴相切，点A，B在上，它们的横坐标分别是0，18．若沿着x轴作无滑动的滚动，当点B第一次落在x轴上时，此时点A的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点P作轴于点，轴于点，求出A、B的坐标，当点B第一次落在x轴上时，点P移动的距离为的长，进而得到此时点P的坐标，根据旋转过程中的长度不变，确定A的位置，再进行求解即可． 【详解】解：连接，过点P作轴于点，轴于点， ∵， ∴， ∵与x轴相切， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点B的横坐标为，， ∴P、B在平行于x轴的直线上，即：， ∴， ∴的长为， 当点B第一次落在x轴上时，点P移动的距离为的长， ∴此时P点的坐标为：， 当沿着x轴向右作无滑动的滚动，的长度保持不变， ∴点A位置转动到如图所示的位置： ∵， ∴， ∴，即：， 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形，切线的性质，求弧长，勾股定理．解题的关键是确定点B第一次落在x轴上时，点P和点A的位置． 三、三、解答题解答题（共56分） 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，，，， 【解析】 【分析】本题考查求一元一次不等式组的所有整数解，解题的关键在于掌握解一元一次不等式组的方法与步骤．先分别解一元一次不等式，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定不等式组的解集，进而求解其所有整数解，即可解题． 【详解】解：， 解①得：，， 解②得： ， 一元一次不等式组是解集为：， 它的所有整数解为，，，，． 18. 阅读理解题． 我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为． （1）已知分式，，判断是否为的“雅中式”．若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“雅中值”． （2）已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，为整数，且的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值． 【答案】（1）是的“雅中式”，关于的“雅中值”为 （2），的值为 【解析】 【分析】（）根据定义解答即可求解； （）由定义可得，即得，进而可得，根据为整数，且的值也为整数可得可能是，， 据此解答即可求解； 本题考查了分式的加减运算，理解定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴是的“雅中式”，关于的“雅中值”为； 【小问2详解】 解：∵是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为整数，且的值也为整数， ∴是的因数， ∴可能是，， ∴的值为． 19. 某校组织学生参加植树活动，原计划每天植树80棵，5天完成，后因天气原因需提前1天完成，问每天需多植树多少棵？ 【答案】每天需多植树20棵 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设实际每天种植棵树，则得到方程，求出实际每天种植100棵，再减去原计划每天植树80棵，即可求解． 【详解】解：设实际每天种植棵树， 由题意得， 解得， 则实际每天种植100棵， ∴（棵） 答：每天需多植树棵． 20. 如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点，点分别在上，，连接，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若点是的中点，，，求四边形的周长和面积． 【答案】（1）见详解 （2）四边形的周长和面积分别是和 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，再证，得为等腰三角形即可得出结论； （2）由菱形的性质得，，，由直角三角形斜边上的中线性质得，然后根据勾股定理和菱形面积公式即可得出结论． 本题考查了菱形的性质、平行四边形的性质，等腰三角形的性质、菱形的面积、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ∴为等腰三角形， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，，， ， 为的中点， ， ，， ，， ， ， （负值已经舍去）， ，， 四边形的面积． ∴四边形的周长． ∴四边形的周长和面积分别是和． 21. 一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球，其中5个黄球，8个黑球，7个红球，现从袋中取出若干个黑球，搅匀后，在袋中剩下的球中随机摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再随机摸出一个小球，记录颜色后放回、搅匀，……不断重复这一过程，经过大量试验发现从袋中摸出一个球是黑球的频率稳定在，估计从袋中取出黑球的个数． 【答案】2个 【解析】 【分析】设从袋中取出个黑球，根据题意得，继而求得答案． 【详解】解：设从袋中取出个黑球， 根据题意得， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 所以从袋中取出黑球的个数为2个． 【点睛】本题考查概率公式的应用，注意利用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之和． 22. 省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，成绩（单位：环）如下表： 队员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 甲 9 7 10 10 9 9 乙 10 8 9 8 10 9 （1）分别计算甲、乙六次测试成绩的平均数和方差； （2）你认为推荐谁参加全国比赛更合适？请说明理由． 【答案】（1），，， （2）选择乙，见解析 【解析】 【分析】（1）先计算出数据的平均数，再计算方差，即可得到答案； （2）根据方差和平均数两者进行分析． 【小问1详解】 解：； ； ； ． 【小问2详解】 解：∵，； ∴选择乙． 【点睛】此题主要考查了计算平均数和方差，关键是掌握平均数和方差的计算公式． 23. 如图，半圆O的直径为AB，D是半圆上的一个动点（不与点A，B重合），连接BD并延长至点C，使CD＝BD，连接AC，过点D作DE⊥AC于点E． （1）请猜想DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）当AB＝4，∠BAC＝45°时，求DE的长． 【答案】（1）与相切；（2） 【解析】 【分析】（1）先证明OD为△ABC的中位线得到OD∥AC，再利用DE⊥AC得到OD⊥DE，然后根据切线的判定方法可确定DE为⊙O的切线； （2）作OF⊥AC于F，如图，证明四边形ODEF为矩形得到OF=DE，再证明△OAF为等腰直角三角形得到OF=，从而得到DE的长． 【详解】（1）DE与⊙O相切．理由如下： 连接OD． ∵CD=BD，OA=OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC． ∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线； （2）作OF⊥AC于F，如图，易得四边形ODEF为矩形，∴OF=DE． ∵∠BAC=45°，∴△OAF为等腰直角三角形，∴OF=OA=，∴DE=． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定：过半径的外端与半径垂直的直线为圆的切线． 24. 如图所示，小明想测量山坡上一棵大树的高度（与地面垂直），首先在水平地面上点处测得大树底端的仰角为，大树顶端的仰角为，然后再测得山坡的坡度，最后测得坡底到大树底端的距离为34米．（注：图中各点都在一个平面内，参考数据：，，，，，） （1）求，之间的距离； （2）求大树的高度． 【答案】（1） （2）大树的高度为32米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作辅助线构造直角三角形，熟练解直角三角形是解题的关键． （1）延长交于点，根据题意，根据坡度求得，再解直角三角形求得，即可解答； （2）解直角三角形求得，即可解答． 【小问1详解】 解：如图，延长交于点，根据题意 ， 根据，可设， ∵， 根据勾股定理可得 ∵， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在中， ， ∴， ∴ 答：大树的高度为32米 25. 如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，对称轴是y轴． （1）点A、B的坐标分别是：A（ ），B（ ）； （2）若，则x的取值范围是 ； （3）函数y的最小值是 ． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质， （1）依据题意，由及抛物线关于y轴对称，进而可以求得B点坐标； （2）依据题意，由抛物线在x轴上方部分的图像满足，进而可以判断得解； （3）依据题意，根据抛物线的顶点为，开口向上，即可判断得解． 【小问1详解】 解：由题意，， 又∵抛物线对称轴是y轴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 由题意，抛物线在x轴上方部分的图像满足， ∴或， 故答案为：或． 【小问3详解】 由题意，根据抛物线的顶点为，开口向上， ∴函数y的最小值是， 故答案为：． 26. 如图，在中，，，．点在边上运动，点关于点的对称点为点，以为边在上方作正方形．设． （1）的长为_____________． （2）求线段的长．（用含x的代数式表示） （3）当正方形与重叠部分图形为四边形时，求的取值范围． （4）连结，当所在直线将正方形的面积分成1：2两部分时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）和 （4）和 【解析】 【分析】（1）根据题意在中应用勾股定理即可得到本题答案； （2）根据题意可知分两种情况讨论，当时和分别求出的长即可； （3）分别计算和在上时点的值，当正方形与重叠部分的图形为四边形时，存在两种情况，分别根据两种情况可得结论； （4）分两种情况∶在点的左侧和右侧，①点在边上，此时，根据所在直线将正方形的面积分成两部分列方程可解答；②当在的延长线上时，此时，同理根据面积比列方程可解答． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴在中应用勾股定理，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵点在边上运动，点关于点的对称点为点，， ∴分两种范围： 当时，． 当时，， 故答案为：； 【小问3详解】 解：当点落在上时，（如图①） ， ，即，解得． 当点落在上时，（如图②） ， ，即，解得． 综上所述，当和时，正方形与重叠部分的图形为四边形； 【小问4详解】 解：分两种情况： 当点在边上时，如图③： ， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵所在直线将正方形的面积分成两部分， ∴或， ∴或， 解得：（舍），，（舍）； ②当在的延长线上时，如图④， ， 由图可知：，， ∵所在直线将正方形的面积分成两部分， ∴或， ∴或， 解得：（舍），，（舍）； 综上所述：当所在直线将正方形的面积分成两部分，的值是和， 故答案为：和． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定，正方形的性质，三角形和正方形的面积，三角函数等知识，解题的关键是分情况讨论，作出对应的图形方便求解． 27. 已知抛物线与轴交于点、，与轴交于点. （1）求抛物线解析式； （2）如图①，若点是第一象限内抛物线上一动点，过点作于点，求线段长的最大值 （3）如图②，若点是抛物线上另一动点，点是平面内一点，是否存在以点、、、为顶点，且以为边的矩形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】（1）抛物线解析式为 （2）的长的最大值为 （3）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据题意，设抛物线解析式为，再把代入，计算即可得出答案； （2）过点作轴交于点，交于点，根据题意，得出，进而得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出，再根据对顶角相等，得出，进而得出是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质，得出，再根据待定系数法求出直线的解析式，然后设点，则，再根据两点之间的距离公式，得出，再根据，得出，再根据二次函数的性质，即可得出答案； （3）根据题意，设，然后分两种情况：当、在直线的上方时和当、在直线的下方时，根据相似三角形的判定与性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，即可得出点的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点、， ∴设抛物线解析式为， 又∵抛物线与轴交于点， ∴把代入， 可得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：过点作轴交于点，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为， ∵，， ∴可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点，则， ∴， ∴， ∴当时，的长的最大值为； 【小问3详解】 解：存在以点、、、为顶点，且以为边的矩形，理由如下： 设， 如图1，当、在直线的上方时，过点作轴交于点，过点作轴交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图2，当、在直线的下方时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点， 同理可得：， ∴，即， 解得：（舍去）或， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述：点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质、直角三角形两锐角互余、等腰直角三角形的性质、求一次函数解析式、两点之间的距离公式、相似三角形的判定与性质、矩形的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $