精品解析：2025-2026学年北师大版八年级上册数学期末考试考前热身卷

北师大版2025—2026学年八年级上册数学期末考试考前热身卷 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 在实数，，，3.14中，无理数是（　　） A. B. C. D. 3.14 2. 下列说法正确的是（　　） A. 1的平方根是1 B. C. 4的算术平方根是2 D. 9的立方根是3 3. 在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 一次函数与正比例函数的图象在同一直角坐标系中的位置可能是（　　） A. B. C. D. 5. 《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50，问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题：①没有公共点的两条直线平行；②若，则；③立方根等于本身的数有0和；④两直线平行，同旁内角相等．其中真命题有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，将一副直角三角板如图所示放置在平面直角坐标系中，轴，若点E的坐标为，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正比例函数，下列结论正确的是（　　　） A. 图象是一条射线 B. 图象必经过点（-1，2） C. 图象经过第一、三象限 D. 随增大而减小 9. 在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，，若，，则点到的距离是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（6小题，每题3分，共18分） 11. 点在轴上，则的值是___________． 12. 如图，直线是一次函数的图象，点，在直线上．请根据图象写出方程的解为___________． 13. 如图，在中，，，，的角平分线，相交于点，则四边形的面积为___________． 14. 如图，已知直线和直线交于点P，若二元一次方程组的解为x、y，则__________． 15. 若函数是一次函数，则m的值为______. 16. 如图，在中，，，，D为中点，点E，F分别在线段，上（点E不与点B，C重合），．当时，线段的长为____________． 第II卷 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17. 计算 （1）； （2） 18. 解下列方程组： （1） （2） 19. 已知一次函数经过，两点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）判断点是否在这个一次函数的图象上？说明理由． 20. 如图，一辆小车从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m （1）求的值； （2）求的值． 21. 如图，已知． （1）直接写出点C到x轴的距离； （2）求作关于x轴对称的图形，并写出各顶点坐标； （3）点P在y轴上，当的面积为6时，请直接写出点P的坐标． 22. 定义：直线与直线互为“友好直线”．如：直线与直线互为“友好直线”． （1）点在直线的“友好直线”上，则 ； （2）直线上的一点又是它的“友好直线”上的点，求点M的坐标： （3）对于直线上的任意一点，都有点在它的“友好直线”上，求a、b的值． 23. 为响应政府号召，某地水果种植户借助电商平台，在线下批发的基础上同步在电商平台线上零售水果．已知线上零售200kg、线下批发400kg 水果共获得18000元：线上零售50kg和线下批发80kg水果的销售额相同． （1）求线上零售和线下批发水果单价分别为每千克多少元？ （2）该种植户某月线上零售和线下批发共销售水果4000kg，设线上零售mkg，获得总销售额为w元： ①请写出w与m的函数关系式： ②当线上零售和线下批发的数量相等时，求获得的总销售额为多少？ 24. 如图1，平面直角坐标系中，一次函数分别与x轴和y轴交于点C和点B，已知． （1）求的面积； （2）直线l经过两点，求直线的解析式； （3）点D是在直线上的动点，是否存在动点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； （4）如图2，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点、为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接并延长交y轴于点K．当P点运动时，K点的位置是否发生变化？如果不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． （1）的长为______，点D的坐标是______． （2）求点C的坐标； （3）点M是y轴上一动点，若，求出点M坐标； （4）在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版2025—2026学年八年级上册数学期末考试考前热身卷 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 在实数，，，3.14中，无理数是（　　） A. B. C. D. 3.14 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数，无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可． 【详解】解：，是整数，3.14是有限小数，它们不是无理数； 是无限不循环小数，它是无理数； 故选：B． 2. 下列说法正确的是（　　） A. 1的平方根是1 B. C. 4的算术平方根是2 D. 9的立方根是3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的定义，熟练掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解题的关键． 根据平方根、算式平方根和立方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. 的平方根是，故该选项不符合题意； B.，故该选项不符合题意； C. 的算术平方根是，故该选项符合题意； D. 的立方根是，故该选项不符合题意； 故选：C ． 3. 在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于轴的对称点坐标的特征．根据“横坐标不变，纵坐标互为相反数”即可得到答案． 【详解】解：点关于轴的对称点坐标是， 故选：D． 4. 一次函数与正比例函数的图象在同一直角坐标系中的位置可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数和正比例函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限． 【详解】解：A、由一次函数的图象可得，，则，而正比例函数图象可得，符合题意； B、由一次函数的图象可得，，则，而正比例函数图象可得，不符合题意； C、由一次函数的图象可得，，则，而正比例函数图象可得，不符合题意； D、由一次函数的图象可得，，则，而正比例函数图象可得，不符合题意； 故选：A． 5. 《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50，问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有钱50”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意，得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 6. 下列命题：①没有公共点的两条直线平行；②若，则；③立方根等于本身的数有0和；④两直线平行，同旁内角相等．其中真命题有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题的真假．根据平行线的性质以及平行公理的推论，平方根与立方根的定义，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①在同一平面内，没有公共点的两条直线平行；原命题是假命题； ②若，则，是真命题； ③立方根等于本身的数有0和，是真命题； ④两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题． 故选：B． 7. 如图，将一副直角三角板如图所示放置在平面直角坐标系中，轴，若点E的坐标为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理．过点E作轴于点H，，根据题意可得，再由点E的坐标为，可得，，然后根据直角三角形的性质可得，再根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作轴于点H，， 根据题意得：， ∴， ∴， ∵点E的坐标为，轴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8. 已知正比例函数，下列结论正确的是（　　　） A. 图象是一条射线 B. 图象必经过点（-1，2） C. 图象经过第一、三象限 D. 随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】根据正比例函数的图象和性质逐一判断即可． 【详解】解：A．正比例函数的图象是一条直线，故A错误； B．当时，，∴图象不经过点（-1，2），故B错误； C．∵，∴图象经过第二、四象限，故C错误； D．∵，∴随的增大而减小，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是正比例函数的图象和性质． 9. 在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中坐标轴上的点的特点，注意在轴上的点，纵坐标为0，在y轴上的点，横坐标为0． 点Q在轴上，则点Q的纵坐标为0，据此求出的值并求得点Q的坐标． 【详解】解：∵点在轴上 ∴ 解得： ∴ 故选：A 10. 如图，，，若，，则点到的距离是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，在中，利用勾股定理可求出的长，再利用等腰直角三角形的性质可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后根据的面积的面积的面积的面积进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点， ，，， ， ，， ，， ， ， ， 在中，， ， 的面积的面积的面积的面积， ， ， ， 点到的距离是， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形，点到直线的距离，利用了勾股定理，锐角三角函数，根据题目的已知条件结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 二、填空题（6小题，每题3分，共18分） 11. 点在轴上，则的值是___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了在x轴上点的坐标特点，在x轴上的点的纵坐标为0，据此求解即可． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴， 故答案为：3． 12. 如图，直线是一次函数的图象，点，在直线上．请根据图象写出方程的解为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程．运用图象法即可解答问题． 【详解】解：由图可知：函数图象与直线交于点， 所以，即为方程的解， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，，的角平分线，相交于点，则四边形的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 由题意作于于于于，连接，并根据题意分别求出即可解决问题． 【详解】解：如图，作于于于于，连接， 在中 ， ， ∵平分，平分， 点是的内心， ， ， 在和中， ， ， ， ， 设， 在中 ， ， ， 同法可求：， ． 14. 如图，已知直线和直线交于点P，若二元一次方程组的解为x、y，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查一次函数与二元一次方程（组），解题关键在于理解两直线交点与两解析式组成的方程组的解之间的联系． 直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到答案． 【详解】∵直线和直线交点P的坐标为， ∴二元一次方程组 解得， ∴． 故答案为：3． 15. 若函数是一次函数，则m的值为______. 【答案】-1 【解析】 【分析】由一次函数的定义得出且，由此求解即可． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴且， ∴且， ∴ 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，形如（k≠0，k、b为常数）的式子，叫做一次函数．正确理解一次函数定义是解答此题的关键． 16. 如图，在中，，，，D为中点，点E，F分别在线段，上（点E不与点B，C重合），．当时，线段的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用；延长至点，使，连接，，,如图所示，先证明，再证明，可得，证明，设，则，再利用勾股定理建立方程求解即可. 【详解】解：延长至点，使，连接，，,如图所示， ，为中点， ，， 在和中， ， ， ， ， ， 即， 在中，， ； 当时，， 设，则， ， ， ； ∴线段的长为． 故答案为： 第II卷 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17. 计算 （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】题目主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据平方差公式及二次根式的乘法运算求解即可； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 18. 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握代入消元法和加减消元法． （1）用加减消元法消去，求出的值，再代入求出的值； （2）先将第一个方程整理成整式方程，再用代入消元法求解． 【小问1详解】 解： 由得：③， ②－③得： 解得： 把代入得：，即 解得： 方程组的解为； 【小问2详解】 解： 先对进行整理，两边同乘6得：， 展开得：，移项得：③， 由②得：④， 把④代入③得：， 解得：， 把代入④得：， 方程组的解为． 19. 已知一次函数经过，两点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）判断点是否在这个一次函数的图象上？说明理由． 【答案】（1）一次函数的表达式为； （2）点在这个一次函数图象上，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，正确求出一次函数的解析式是解此题的关键． （）利用待定系数法求解即可； （）求出当时的值，比较即可得解． 【小问1详解】 解：设一次函数的表达式为，由一次函数过，两点， ∴，解得：， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：点在这个一次函数的图象上，理由， 由（）得一次函数的表达式为， 当时，， ∴点在这个一次函数的图象上． 20. 如图，一辆小车从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据两点在数轴上的位置计算求值即可； （2）根据绝对值意义、化简求值即可； 【小问1详解】 解：∵B点在A点右边， ∴m=； 【小问2详解】 解：∵m＜1， ∴|m-1|=1-m， ∴原式； 【点睛】本题考查了实数的运算、实数与数轴的关系、0指数幂运算，根据数轴的特征，利用数形结合是解题关键． 21. 如图，已知． （1）直接写出点C到x轴的距离； （2）求作关于x轴对称的图形，并写出各顶点坐标； （3）点P在y轴上，当的面积为6时，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）3 （2）图形见解析， （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，画轴对称图形，写出点的坐标，以及三角形的面积公式，数形结合是解题的关键． （1）根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值即可解答； （2）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点，顺次连接，并根据坐标系写出各点的坐标即可； （3）设点P的坐标为，利用的面积为6可得关于t的方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ， 所以点C到x轴的距离为3； 【小问2详解】 如下图，即为所求，； 【小问3详解】 设点P的坐标为， 的面积为6， ， ， 或， 点P的坐标为或． 22. 定义：直线与直线互为“友好直线”．如：直线与直线互为“友好直线”． （1）点在直线的“友好直线”上，则 ； （2）直线上的一点又是它的“友好直线”上的点，求点M的坐标： （3）对于直线上的任意一点，都有点在它的“友好直线”上，求a、b的值． 【答案】（1） （2）点的坐标为 （3） 【解析】 【分析】本题考查了新定义“友好直线”的应用及一次函数上点的坐标特征，解题的关键是根据“友好直线”定义（直线的友好直线为），结合“点在直线上则点的坐标满足直线解析式”这一性质，逐一求解各问题． （1）先根据定义求出的友好直线，再将点代入友好直线解析式，求解； （2）先求出的友好直线，再根据点同时在两条直线上，列方程组求解坐标； （3）先写出的友好直线，再根据在原直线、在友好直线上，分别列出等式，结合任意均成立的条件，求出、． 【小问1详解】 解：∵直线的友好直线为 （根据定义，交换、得友好直线）， 又∵点在上， ∴，解得． 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵直线的友好直线为 （交换、得）， ∵点在和上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 【小问3详解】 ∵直线的友好直线为， ∵点在上， ∴①； ∵点在上， ∴②， 将①代入②：， 整理得：， ∵对任意该等式均成立， ∴系数需为0， 即，解得． 23. 为响应政府号召，某地水果种植户借助电商平台，在线下批发的基础上同步在电商平台线上零售水果．已知线上零售200kg、线下批发400kg 水果共获得18000元：线上零售50kg和线下批发80kg水果的销售额相同． （1）求线上零售和线下批发水果的单价分别为每千克多少元？ （2）该种植户某月线上零售和线下批发共销售水果4000kg，设线上零售mkg，获得的总销售额为w元： ①请写出w与m函数关系式： ②当线上零售和线下批发的数量相等时，求获得的总销售额为多少？ 【答案】（1）线上零售水果的单价为每千克40元，线下批发水果的单价为每千克25元 （2）①；②当线上零售和线下批发的数量相等时，获得的总销售额为130000元 【解析】 【分析】（1）根据线上零售200kg、线下批发400kg 水果共获得18000元；线上零售50kg和线下批发80kg水果的销售额相同，可以列出相应的方程组，然后求解即可； （2）①根据题意和（1）中的结果，可以写出w与m的函数关系式；②根据线上零售和线下批发的数量相等，可以求得m的值，然后代入①中关系式计算即可． 【小问1详解】 解：设线上零售水果的单价为每千克x元，线下批发水果的单价为每千克y元，由题意得： ， 解得， 答：线上零售水果的单价为每千克40元，线下批发水果的单价为每千克25元； 【小问2详解】 解：①由题意可得，， 即w与m的函数关系式是； ②∵线上零售和线下批发的数量相等， ∴， 解得， ∴当时，， 答：当线上零售和线下批发的数量相等时，获得的总销售额为130000元． 【点睛】本题考查二元一次方程的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数解析式． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数分别与x轴和y轴交于点C和点B，已知． （1）求的面积； （2）直线l经过两点，求直线的解析式； （3）点D是在直线上的动点，是否存在动点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； （4）如图2，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点、为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接并延长交y轴于点K．当P点运动时，K点的位置是否发生变化？如果不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由． 【答案】（1）24 （2） （3）存在点D的坐标为或使得； （4）点K的位置不发生变化，其坐标为， 【解析】 【分析】（1）先求出B、C的坐标，进而求出，的长，再根据三角形面积公式求解即可； （2）设直线的解析式为，将，代入，利用待定系数法求解即可； （3）先据三角形面积求出，据此求解即可； （4）如图所示，过点Q作轴于H，根据一线三垂直模型证明，得到，，进而证明，得到是等腰直角三角形，则，由此可证明为等腰直角三角形则，； 【小问1详解】 解：当时，，当时，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将，代入，得， ∴， ∴直线的解析式为； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴当时，，解得，即点D的坐标为； 当时，，解得，即点D的坐标为； 综上所述，存在点D的坐标为或使得； 【小问4详解】 解：点K的位置不发生变化，其坐标为，理由如下： 如图所示，过点Q作轴于H， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合，求一次函数解析式，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． （1）的长为______，点D的坐标是______． （2）求点C的坐标； （3）点M是y轴上一动点，若，求出点M坐标； （4）在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）5， （2） （3）为或 （4）第一象限内存在点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可得，根据轴对称的性质可得，则可得，进而可得； （2）设，则，在中,根据勾股定理列方程求出x的值，即可得C点的坐标． （3）设，则，根据列方程求出m的值，即可得到点M的坐标； （4）分三种情况讨论：①当，；②当，；③当，，根据全等三角形的性质分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ，， ， ∵将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． ， ． 故答案为：5，． 【小问2详解】 解：，则， 在中, ， ∴， 解得， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ， ， ， ∴， 解得，． ∴M点的坐标为或． 【小问4详解】 解：存在，理由如下： ①当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点P作轴于G点, 则， ∵， ∴， 又∵ ， 在和中， ， ， ，， ． ∴P点的坐标为． ②当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点P作轴于H点， 同理得， ，， ∴P点的坐标为． ③当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点P作轴于点M，轴于点N， 则， ∴， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 设点P的坐标为，， 则，，， 解得：， ∴点P的坐标为． 综上可知，第一象限内存在点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，绝对值方程，作辅助线构造全等三角形，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $