江苏省南京市2025-2026学年九年级数学上学期期末自编模拟卷03

2025-2026学年江苏省南京市上学期期末自编模拟卷 九年级数学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分选择题和填空题和简答题三部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第填空题、简答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：新教材苏科版九上数学。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：本题共6个小题，每小题2分，共12分。每小题只有一个选项符合题目要求。 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D C A A B B 二．填空题：本题共10个小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。 7． 8．乙． 9．5； 10．． 11．45． 12．． 13．． 14．． 15．12． 16．9． 三．解答题（共11小题，共88分） 17．【解答】解：（1）开方得：或，...............................................................2分 解得：或；...............................................................4分 （2）方程整理得：，...............................................................6分 或， 解得：或．...............................................................8分 18．【解答】解：（1）8，8，9；...............................................................3分 （2）因为他们的平均数相等，而甲的方差小，发挥比较稳定，所以选择甲参加射击比赛；..............................................................4分 （3）变小...............................................................6分 19．【解答】 （1）-1≤y≤3；..........................................................2分 （2）时，的取值范围是．..........................................................6分 用五点法画出函数图象如图： ..........................................................8分 20．【解答】解：（1）是的切线，理由如下： 如图，连接， 是的直径，点是上一点， ，.......................................................2分 即， 是的切线；.......................................................4分 （2）设与的交点为，与的交点为， 连接，，， ，， 是线段的垂直平分线， ，， ，， ，.......................................................6分 ， ， ， ， ．.......................................................8分 21． 【解答】证明：，， ，．.......................................................2分 ， ． ， ． 又， ．.......................................................5分 ． ．.......................................................7分 22．【解答】解：（1）把，代入得： ， 解得， 二次函数解析式为，.................................................2分 ， 顶点坐标为；.................................................3分 （2）；.................................................5分 （3）或0．.................................................7分 23． 【解答】（1）证明：二次函数为常数），................................................2分 时，， 不论为何值，该函数的图象与轴总有公共点；................................................4分 （2）或或；................................................6分 （3）当时，或．................................................8分 24． 【解答】解：（1）设拱桥所在抛物线的函数表达式为， 点在该函数图象上， ，................................................2分 解得， ， 即拱桥所在抛物线的函数表达式是；................................................4分 （2）当时， ，................................................6分 解得，， ， 因降暴雨水位上升，此时水面宽为，................................................8分 25． 【解答】（1）①②⑤；................................................2分 （2）证明：方法一：设“一致函数”的表达式为， 根据题意得：， ， 一元二次方程的根的判别式， 一元二次方程无实数根， “一致函数”的图象与轴没有公共点； 方法二：设“一致函数”的表达式为， 令得：， 化简得：， ， 该方程无实数根， 一致函数的图象与轴没有公共点；................................................5分 （3）解：函数是一致函数， ， ， ， ∴c≤1．................................................8分 26．【解答】（1）证明：，，， ， ，................................................2分 平分， ， ， ， 即．................................................4分 （2）解：如图，即为所求． 证明：连接， 平分， ， ， ， ，................................................6分 ， ， ， 为的半径， 是的切线．................................................8分 27． 【解答】解：（1）二次函数与一次函数的公共点可转化为方程有实数根， 可转化为方程有实数根， 二次函数的图象与一次函数的图象的有公共点． 故答案为：．................................................2分 （2）与轴的交点为和， 对称轴为，图象最高点为． 根据上述信息画出的图象，如图1所示： ................................................5分 （3）如图2所示： ①当时，一次函数与二次函数没有交点； ②当时，一次函数即与二次函数只有一个交点，这是一个临界条件； ③随着减小，当时，一次函数即与二次函数有两个交点，这同样是一个临界条件； 根据①②③：当时，两个图象公共点个数为0个；当时，两个图象公共点个数为1个． 如图3所示： ④令， 即， △，即时，两函数的图象相切，有一个公共点， 当时，一次函数即与二次函数只有1个交点，这是一个临界条件； ⑤当时，一次函数与二次函数没有交点， 根据④⑤：当时，两个图象公共点个数为2个；当时，两个图象公共点个数为1个；当时，两 个图象公共点个数为0个． 综上：当或时，两个图象公共点个数为0个；当或时，两个图象公共点个数为1个；当时，两个图象公共点个数为2个．................................................8分 （4）将二次函数（其中，为常数）的图象与一次函数的图象有两个公共点转化为：二次函数的图象与一次函数的图象的公共点． 两函数图象的公共点情况如图4所示：（虚线部分与实线部分结合是二次函数的完整图象，实线部分是在本题条件下二次函数在的图象）， 二次函数图象的两个端点，，，， 令，即， △，即时，两函数的图象相切，有一个公共点； 当一次函数过点时，，两函数的图象有一个公共点， 当一次函数过点时，两函数的图象有两个公共点， 根据图中所示，当时，两函数的图象有两个公共点． 的取值范围为：． 故答案为：．................................................11分 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/14 22:12:00；用户：许天枢；邮箱：jlhwxx01@xyh.com；学号：38511705 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年江苏省南京市上学期期末自编模拟卷 九年级数学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分选择题和填空题和简答题三部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第填空题、简答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：新教材苏科版九上数学。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：本题共6个小题，每小题2分，共12分。每小题只有一个选项符合题目要求。 1．一元二次方程的解是　　 A． B． C．， D．， 【解答】解：， 则， ， ，， 故选：． 2．已知的半径为1，若，则点在　　 A．内 B．上 C．外 D．不能确定 【解答】解：，，， 点在外． 故选：． 3．某位同学四次射击测试成绩（单位：环）分别为：9，9，，8，若这组数据的众数与平均数恰好相等，则的值为　　 A．10 B．9 C．8 D．7 【解答】解：这组数据的众数与平均数恰好相等， 众数为9， ， ． 故选：． 4．若关于的一元二次方程的一个根为2，则二次函数与轴的交点坐标为　　 A．、 B．、 C．、 D．、 【解答】解：关于的一元二次方程的一个根为2， ， 解得， 把代入中， 得， 当时，， 即， ， ， 解得或， 二次函数与轴的交点坐标为和， 故选：． 5．某送餐员十二月份送餐统计数据如下表： 送餐距离 小于等于3公里 大于3公里 占比 送餐费 4元单 6元单 则该送餐员十二月份平均每单送餐费是（　　） A．4.4元 B．4.6元 C．4.8元 D．5元 【解答】解：该送餐员十二月份平均每单送餐费是：（元， 故选：． 6．如图，在，，，，点，分别在，上，连接，将沿翻折，使点的对应点落在的延长线上，若平分，则的长为　　 A． B． C． D． 【解答】解：作于， 在纸片中，， 由勾股定理得：， 将沿翻折得， ，， 平分， ， ， 设， 在中，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 二．填空题：本题共10个小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。 7．如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，则这个圆锥侧面展开图的圆心角为　　． 【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：， 设圆心角的度数是度．则， 解得：． 故答案为： 8．甲乙两个人6次体育测试的平均分相同，分，分，则成绩较为稳定的是 　乙　．（填“甲”或“乙” 【解答】解：（1）分，分， ， 成绩较为稳定的是乙， 故答案为：乙． 9．用一个圆心角为，半径为12的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 　5　． 【解答】解：扇形的弧长， 设圆锥的底面半径为，则， 所以． 故答案为：5； 10．某公司一月份的产值为200万元，二，三月份的产值总和为720万元，设公司每月产值的平均增长率为，则可列方程为 　　 ． 【解答】解：由题意得：； 故答案为：． 11．如图，在正八边形中，、是两条对角线，则的度数为 　45　． 【解答】解：连接、、，如图所示： 则四边形为正方形， ， 故答案为：45． 12．若、是方程的两个实数根，则的值为 　　． 【解答】解：，是方程的两个实数根， ， 故答案为：． 13．如图，在边长为1的正方形网格中，、、、为格点，连接、相交于点，则的长为 　　． 【解答】解：根据题意可知：，，，， △△， ， ， 解得． 故答案为：． 14．如图，在中，以为直径作，经过点，且与交于点，连接并延长，与交于点，若是的中点，，则　　． 【解答】解：连接，， 四边形是平行四边形， ，， 是中点， ， ， ， ， 是的直径， ， ，， ，， ， ． 故答案为：． 15．如图，、、、为一个正多边形相邻的4个顶点，，则这个正多边形的边数为 　12　． 【解答】解：如图，设正多边形的外接圆为，连接，， ， ， 而， 这个正多边形为正十二边形， 故答案为：12． 16．如图，在中，是斜边边上一点，且，分别过点、作、平行于，若，则与之间的最大距离为 　9　． 【解答】解：方法一：如图，当点在的左侧时，以为直径作圆，延长交于点，过点作于点，取的中点，连接， ，，， ， ， ，是的中点， ， 设与之间的距离为， 则， 则与之间的最大距离为9； 如图，当点在的右侧时，过点作于点，延长交于点， ， ， ， ， 设，，， ，， 过点作于点， ， ， 得矩形， ， ， 在中，根据勾股定理，得 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，，， ， ， ， 因为二次函数开口向下，当对称轴时，取最大值是9， 反映的是在正上方的左边， 时，取得最大值为9， ， ， 与之间的最大距离为9． 方法二：如图，延长交于点， ，，， ， ， ， 定边定角隐圆，过点，作垂直，，垂足分别为，， 距离最大就是最大，也就是最大， 所以此时， ， ． 故答案为：9． 三．解答题（共11小题，共88分） 17．解方程： （1）； （2）． 【解答】解：（1）开方得：或， 解得：或； （2）方程整理得：， 或， 解得：或． 18．甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下： 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 （1）填写下表： 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 　8　 8 0.4 乙 　　 9 　　 3.2 （2）教练根据这5次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ （3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差 　　．（填“变大”、“变小”或“不变” ． 【解答】解：（1）甲的众数为8，乙的平均数，乙的中位数为9； （2）因为他们的平均数相等，而甲的方差小，发挥比较稳定，所以选择甲参加射击比赛； （3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差变小． 故答案为：8，8，9；变小． 19．画出函数的图象，根据图象，解决下列问题： （1）当时，的取值范围是 　　． （2）当时，直接写出的取值范围． 【解答】解：， 抛物线的顶点为，对称轴为直线为， 令，则， 解得，， 抛物线与轴的交点为和， 令，则， 抛物线与轴的交点为， 根据对称性，关于对称轴的对称点为， 用五点法画出函数图象如图： （1）由图象可知当时，的取值范围是， 故答案为：； （2）时，的取值范围是． 20．如图，点在外，为的中点，以点为圆心，以为半径画弧，交于点，，连接； （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）连接，若，的半径为3，求的长． 【解答】解：（1）是的切线，理由如下： 如图，连接， 是的直径，点是上一点， ， 即， 是的切线； （2）设与的交点为，与的交点为， 连接，，， ，， 是线段的垂直平分线， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 21．如图，点在线段上，，，．求证． 【解答】证明：，， ，． ， ． ， ． 又， ． ． ． 22．如图是二次函数的图象． （1）求该二次函数的关系式及顶点坐标； （2）当时的取值范围是 　　； （3）当时，，则的值为 　　． 【解答】解：（1）把，代入得： ， 解得， 二次函数解析式为， ， 顶点坐标为； （2）根据函数图象可知，时的取值范围是， 故答案为：； （3）抛物线的顶点纵坐标为4，且， 顶点横坐标1在范围内， 当时，， 解得：，， 当时，，此时，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，此时，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 的值为或0， 故答案为：或0． 23．已知二次函数为常数）． （1）求证：不论为何值，该函数的图象与轴总有公共点； （2）若，，该函数图象与线段只有1个公共点，直接写出的取值范围； （3）若点，，在该函数的图象上，当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【解答】（1）证明：二次函数为常数）， 时，， 不论为何值，该函数的图象与轴总有公共点； （2）解：二次函数为常数）， 图象与轴的交点为，， 若，，该函数图象与线段只有1个公共点，则或或； （3）解：点，，在该函数的图象上，当时，或． 24．图中是抛物线形拱桥，处有一照明灯，水面宽．以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，若点的坐标为． （1）求拱桥所在抛物线的函数表达式； （2）因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少？（结果保留根号） 【解答】解：（1）设拱桥所在抛物线的函数表达式为， 点在该函数图象上， ， 解得， ， 即拱桥所在抛物线的函数表达式是； （2）当时， ， 解得，， ， 因降暴雨水位上升，此时水面宽为， 25．如果一个二次函数的二次项系数与顶点纵坐标相等，那么称该二次函数为“一致函数”． （1）下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，是一致函数的是 　①②⑤　．（填序号） （2）求证：一致函数的图象与轴没有公共点． （3）已知函数是一致函数，直接写出的取值范围． 【解答】（1）解：①函数的二次项系数为1，顶点纵坐标为1， 该二次函数是“一致函数”． ②函数的二次项系数为，顶点纵坐标为， 该二次函数是“一致函数”． ③函数的二次项系数为3，顶点纵坐标为， 该二次函数不是“一致函数”． ④函数二次项系数为2，顶点纵坐标为， 该二次函数不是“一致函数”． ⑤函数的二次项系数为1，顶点纵坐标为， 该二次函数是“一致函数”． 是一致函数的是①②⑤； 故答案为：①②⑤； （2）证明：方法一：设“一致函数”的表达式为， 根据题意得：， ， 一元二次方程的根的判别式， 一元二次方程无实数根， “一致函数”的图象与轴没有公共点； 方法二：设“一致函数”的表达式为， 令得：， 化简得：， ， 该方程无实数根， 一致函数的图象与轴没有公共点； （3）解：函数是一致函数， ， ， ， ． 26．如图，在四边形中，，平分，，，． （1）求证； （2）请用直尺（不带刻度）和圆规作的外接圆（不必写作法，但要保留作图痕迹），求证：是的切线． 【解答】（1）证明：，，， ， ， 平分， ， ， ， 即． （2）解：如图，即为所求． 证明：连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线． 27．问题呈现：探究二次函数（其中，为常数）的图象与一次函数的图象公共点． 问题解决： （1）问题可转化为：二次函数的图象与一次函数　　的图象的公共点． （2）在下列平面直角坐标系中画出的图象． （3）请结合（2）中图象，就的取值范围讨论两个图象公共点的个数． 问题拓展：若二次函数（其中，为常数）的图象与一次函数的图象有两个公共点，则的取值范围为 　　． 【解答】解：（1）二次函数与一次函数的公共点可转化为方程有实数根， 可转化为方程有实数根， 二次函数的图象与一次函数的图象的有公共点． 故答案为：． （2）与轴的交点为和， 对称轴为，图象最高点为． 根据上述信息画出的图象，如图1所示： （3）如图2所示： ①当时，一次函数与二次函数没有交点； ②当时，一次函数即与二次函数只有一个交点，这是一个临界条件； ③随着减小，当时，一次函数即与二次函数有两个交点，这同样是一个临界条件； 根据①②③：当时，两个图象公共点个数为0个；当时，两个图象公共点个数为1个． 如图3所示： ④令， 即， △，即时，两函数的图象相切，有一个公共点， 当时，一次函数即与二次函数只有1个交点，这是一个临界条件； ⑤当时，一次函数与二次函数没有交点， 根据④⑤：当时，两个图象公共点个数为2个；当时，两个图象公共点个数为1个；当时，两 个图象公共点个数为0个． 综上：当或时，两个图象公共点个数为0个；当或时，两个图象公共点个数为1个；当时，两个图象公共点个数为2个． （4）将二次函数（其中，为常数）的图象与一次函数的图象有两个公共点转化为：二次函数的图象与一次函数的图象的公共点． 两函数图象的公共点情况如图4所示：（虚线部分与实线部分结合是二次函数的完整图象，实线部分是在本题条件下二次函数在的图象）， 二次函数图象的两个端点，，，， 令，即， △，即时，两函数的图象相切，有一个公共点； 当一次函数过点时，，两函数的图象有一个公共点， 当一次函数过点时，两函数的图象有两个公共点， 根据图中所示，当时，两函数的图象有两个公共点． 的取值范围为：． 故答案为：． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/14 22:12:00；用户：许天枢；邮箱：jlhwxx01@xyh.com；学号：38511705 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年江苏省南京市上学期期末自编模拟卷 九年级数学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分选择题和填空题和简答题三部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第填空题、简答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：新教材苏科版九上数学。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：本题共6个小题，每小题2分，共12分。每小题只有一个选项符合题目要求。 1．一元二次方程的解是　　 A． B． C．， D．， 2．已知的半径为1，若，则点在　　 A．内 B．上 C．外 D．不能确定 3．某位同学四次射击测试成绩（单位：环）分别为：9，9，，8，若这组数据的众数与平均数恰好相等，则的值为　　 A．10 B．9 C．8 D．7 4．若关于的一元二次方程的一个根为2，则二次函数与轴的交点坐标为　　 A．、 B．、 C．、 D．、 5．某送餐员十二月份送餐统计数据如下表： 送餐距离 小于等于3公里 大于3公里 占比 送餐费 4元单 6元单 则该送餐员十二月份平均每单送餐费是（　　） A．4.4元 B．4.6元 C．4.8元 D．5元 6．如图，在，，，，点，分别在，上，连接，将沿翻折，使点的对应点落在的延长线上，若平分，则的长为　　 A． B． C． D． 二．填空题：本题共10个小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。 7．如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，则这个圆锥侧面展开图的圆心角为　　． 8．甲乙两个人6次体育测试的平均分相同，分，分，则成绩较为稳定的是 　　．（填“甲”或“乙” 9．用一个圆心角为，半径为12的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 　　． 10．某公司一月份的产值为200万元，二，三月份的产值总和为720万元，设公司每月产值的平均增长率为，则可列方程为 　　 ． 11．如图，在正八边形中，、是两条对角线，则的度数为 　　． 12．若、是方程的两个实数根，则的值为 　　． 13．如图，在边长为1的正方形网格中，、、、为格点，连接、相交于点，则的长为 　　． 14．如图，在中，以为直径作，经过点，且与交于点，连接并延长，与交于点，若是的中点，，则　　． 15．如图，、、、为一个正多边形相邻的4个顶点，，则这个正多边形的边数为 　　． 16．如图，在中，是斜边边上一点，且，分别过点、作、平行于，若，则与之间的最大距离为 　　． 三．解答题（共11小题，共88分） 17．（8分）解方程： （1）； （2）． 18．（6分）甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下： 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 （1）填写下表： 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 　　 8 0.4 乙 　　 9 　　 3.2 （2）教练根据这5次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ （3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差 　　．（填“变大”、“变小”或“不变” ． 19．（8分）画出函数的图象，根据图象，解决下列问题： （1）当0≤x<3时，的取值范围是 　　． （2）当时，直接写出的取值范围． 20．（8分）如图，点在外，为的中点，以点为圆心，以为半径画弧，交于点，，连接； （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）连接，若，的半径为3，求的长． 21．（7分）如图，点在线段上，，，．求证． 22．（7分）如图是二次函数的图象． （1）求该二次函数的关系式及顶点坐标； （2）当时的取值范围是 　　； （3）当时，，则的值为 　　． 23．（8分）已知二次函数为常数）． （1）求证：不论为何值，该函数的图象与轴总有公共点； （2）若，，该函数图象与线段只有1个公共点，直接写出的取值范围； （3）若点，，在该函数的图象上，当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 24．（9分）图中是抛物线形拱桥，处有一照明灯，水面宽．以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，若点的坐标为． （1）求拱桥所在抛物线的函数表达式； （2）因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少？（结果保留根号） 25．（8分）如果一个二次函数的二次项系数与顶点纵坐标相等，那么称该二次函数为“一致函数”． （1）下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，是一致函数的是 　　．（填序号） （2）求证：一致函数的图象与轴没有公共点． （3）已知函数是一致函数，直接写出的取值范围． 26．（8分）如图，在四边形中，，平分，，，． （1）求证； （2）请用直尺（不带刻度）和圆规作的外接圆（不必写作法，但要保留作图痕迹），求证：是的切线． 27．（11分）问题呈现：探究二次函数（其中0≤x≤3，为常数）的图象与一次函数的图象公共点． 问题解决： （1）问题可转化为：二次函数y=-x(x-3)(0≤x≤3)的图象与一次函数　　的图象的公共点． （2）在下列平面直角坐标系中画出y=-x(x-3)(0≤x≤3)的图象． （3）请结合（2）中图象，就的取值范围讨论两个图象公共点的个数． 问题拓展：若二次函数（其中0.5≤x≤1.25，为常数）的图象与一次函数的图象有两个公共点，则的取值范围为 　　． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $