江苏省南京市2025-2026学年九年级数学上学期期末自编模拟卷02

2025-2026学年江苏省南京市上学期期末自编模拟卷 九年级数学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分选择题和填空题和简答题三部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第填空题、简答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：新教材苏科版九上数学。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：本题共6个小题，每小题2分，共12分。每小题只有一个选项符合题目要求。 1．若是的一个根，则的值是　　 A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 2．下列实际问题中的与之间的函数表达式是二次函数的是　　 A．正方体集装箱的体积，棱长 B．高为的圆柱形储油罐的体积，底面圆半径 C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量斤，单价为元斤 D．小莉驾车以的速度从南京出发到上海，行驶，距上海 3．一元二次方程化成一般形式后，常数项是，一次项系数是　　 A．2 B． C．4 D． 4．已知点是线段的黄金分割点，若，则的长约为　　 A．0.382 B．0.618 C．3.82 D．6.18 5．如图，，分别是△的边，上的点，，，若△的面积为6，则△的面积等于　　 A．12 B．18 C．24 D．54 6．二次函数，，为常数，且，函数与自变量的部分对应值如表： 1 3 下列结论：①；②二次函数的图象与轴总有两个公共点；③若，则二次函数图象顶点的纵坐标的最小值为3；④当自变量的值满足时，与其对应的函数值随的增大而增大，则，其中所有正确结论的序号是　　 A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 二．填空题：本题共10个小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。 7．若，则　　． 8．某药品经过两次降价．每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率相同．设平均每次降价的百分率是，可列方程为 　　 ． 9．设，是方程的两个根，则的值是 　　． 10．用一个圆心角为，半径为12的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 　　． 11．如图，正方形的边长为2，是边的中点，是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，它的长是 　　． 12．如图，将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分不变，即得到的图象．根据图象，若关于的方程有四个不相等的实数根，则的取值范围是 　　． 13．如图，△中，，，，是边上的高，，分别是△，△的内切圆，则与的面积比为 　　． 14．一个圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，沿着一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，则这个扇形的圆心角度数为 　　． 15．有3个样本如图所示，关于它们的离散程度有下列几种说法：①样本1与样本3的离散程度相同；②样本2的离散程度最小；③三组数据的离散程度从小到大依次为：样本2、样本3、样本1．正确的序号为 　　． 16．中，，，点是的内心，点是的外心，则　　． 三．解答题（共11小题，共88分） 17．（8分）解下列方程： （1）； （2）． 18．（6分）解方程：（用配方法） 19．（8分）商店购进某种玩具的价格为30元．根据一段时间的市场调查发现，按销售单价50元每件出售时，能卖600件，而销售单价每涨价0.5元，销售量就会减少5件．为获得15000元的利润，销售单价应为多少元？ 20．（8分）如图，表示一个窗户的高，和表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离．已知某一时刻在地面的影长，在地面的影长，求窗户的高度． 21．（7分）近日，“复旦学霸图书馆”新闻引发网友热议，其中，“风雨无阻爱学习”的潘同学一年时间图书馆打卡301次，更是成为众多学子膜拜的对象．某大学图书馆为了更好服务学子，对某周来馆人数进行统计，统计数据如下（单位：人） 时间 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 人数 650 550 710 420 650 2320 3100 （1）该周到馆人数的平均数为 　　人、众数为 　　人、中位数为 　　人； （2）周一至周五到馆人数相差不多，用这五天的数据估算该周的平均数合适吗？为什么？ （3）选择合适的数据，估算该校一个月的到馆人数（一个月按30天计）． 22．（7分）已知关于的方程为常数）． （1）若该方程有两个相等的实数根，求； （2）当　　时，函数的值最小，最小值为 　　． 23．（8分）如图，为的直径，弦于点，连接，过点作，交于点，连接，是延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 24．（9分）如图，正方形的边长为4，是上一动点，过点作，交于点，连接． （1）求证：； （2）求长度的最小值． 25．（8分）如图，是的弦，是的切线，，交于点，是的中点． （1）求证：； （2）判断四边形的形状，并说明理由． 26．（8分）某商店销售甲、乙两种礼品，每件利润分别为20元、10元，每天卖出件数分别为40件、80件．为适应市场需求，该店决定降低甲种礼品的售价，同时提高乙种礼品的售价．售卖时发现，甲种礼品单价每降1元可多卖4件，乙种礼品单价每提高1元就少卖2件．若每天两种礼品共卖出140件，则每天销售的最大利润是多少？ （1）分析：设甲种礼品每件降低了元，填写下表（用含的式子表示，并化简）； 调价后的每件利润 调价后的销售量 甲种礼品 　　 乙种礼品 　　 　　 （2）解答： 27．（11分）（1）如图①，在△中，，，垂足为．求证． （2）已知点在线段上．在图②中，用直尺和圆规作出所有的点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） （3）如图③，在△中，，点在边上，，连接．若线段上存在点（包含端点），使得，则的取值范围是 　　． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年江苏省南京市上学期期末自编模拟卷 九年级数学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分选择题和填空题和简答题三部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第填空题、简答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：新教材苏科版九上数学。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：本题共6个小题，每小题2分，共12分。每小题只有一个选项符合题目要求。 1．若是的一个根，则的值是　　 A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【解答】解：是的一个根， ， ， ． 故选：． 2．下列实际问题中的与之间的函数表达式是二次函数的是　　 A．正方体集装箱的体积，棱长 B．高为的圆柱形储油罐的体积，底面圆半径 C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量斤，单价为元斤 D．小莉驾车以的速度从南京出发到上海，行驶，距上海 【解答】解：．正方体集装箱的体积，棱长，则，故不是二次函数； ．高为的圆柱形储油罐的体积，底面圆半径，则，故是二次函数； ．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量斤，单价为元斤，则，故不是二次函数； ．小莉驾车以的速度从南京出发到上海，行驶，距上海，则南京与上海之间的距离，故不是二次函数． 故选：． 3．一元二次方程化成一般形式后，常数项是，一次项系数是　　 A．2 B． C．4 D． 【解答】解：， 移项得：， 即一次项系数是， 故选：． 4．已知点是线段的黄金分割点，若，则的长约为　　 A．0.382 B．0.618 C．3.82 D．6.18 【解答】解：点是线段的黄金分割点， ， ， ， 故选：． 5．如图，，分别是△的边，上的点，，，若△的面积为6，则△的面积等于　　 A．12 B．18 C．24 D．54 【解答】解：， △△． ． ， ． ． 故选：． 6．二次函数，，为常数，且，函数与自变量的部分对应值如表： 1 3 下列结论：①；②二次函数的图象与轴总有两个公共点；③若，则二次函数图象顶点的纵坐标的最小值为3；④当自变量的值满足时，与其对应的函数值随的增大而增大，则，其中所有正确结论的序号是　　 A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【解答】解：把表格中数据代入解析式，得： ， ①②，得：， 解得，， 故①正确； ，， 抛物线与轴有交点， 根据抛物线的对称性得二次函数的图象与轴总有两个公共点， 故②正确； 若，则开口向下，同时又经过两个定点和，那么顶点纵坐标的最小值就是3． 故③正确； 当自变量的值满足时，与其对应的函数值随的增大而增大，， 或， 或， ． ， 或． 故④错误， 综上所述，①②③正确， 故选：． 二．填空题：本题共10个小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。 7．若，则　　． 【解答】解：， ， ． 故答案为：． 8．某药品经过两次降价．每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率相同．设平均每次降价的百分率是，可列方程为 ． 【解答】解：根据题意得：． 故答案为：． 9．设，是方程的两个根，则的值是 　29　． 【解答】解：设，是方程的两个根， ， ． 故答案为：29． 10．用一个圆心角为，半径为12的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 　5　． 【解答】解：扇形的弧长， 设圆锥的底面半径为，则， 所以． 故答案为：5； 11．如图，正方形的边长为2，是边的中点，是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，它的长是 　　． 【解答】解：连接， 正方形的边长为2， ，， 点是边的中点， ， ， 将沿翻折得到， ， 点在以为圆心，2为半径的圆上运动， 当点、、三点共线时，最小， ． 故答案为：． 12．如图，将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分不变，即得到的图象．根据图象，若关于的方程有四个不相等的实数根，则的取值范围是 　　． 【解答】解：若关于的方程有四个不相等的实数根，则函数的图象与的图象有四个交点，如图： 由函数图象可知，的取值范围是， 故答案为：． 13．如图，△中，，，，是边上的高，，分别是△，△的内切圆，则与的面积比为 　　． 【解答】解：在△中， ，，， ， ， ， 在△中，由勾股定理得， ， ， 设的半径为，的半径为，则 ， 即， ， 同理， 与的面积比为， 故答案为：． 14．一个圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，沿着一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，则这个扇形的圆心角度数为 　120　． 【解答】解：设扇形的圆心角为， 根据题意得， 解得． 故答案为120． 15．有3个样本如图所示，关于它们的离散程度有下列几种说法：①样本1与样本3的离散程度相同；②样本2的离散程度最小；③三组数据的离散程度从小到大依次为：样本2、样本3、样本1．正确的序号为 　②③　． 【解答】解：样本2的离散程度最小；三组数据的离散程度从小到大依次为：样本2、样本3、样本1． 故②③正确，样本1的离散程度比样本3的离散程度大，故①错误， 故答案为：②③． 16．中，，，点是的内心，点是的外心，则　14.3　． 【解答】解：设边的中点为，连接， ， ，， 点为的外心，点为的内心， 内心和外心都在直线上， ，， ， ， 设的内切圆半径为，外接圆半径为，则， 连接，在中，，，， 由勾股定理得， ， ， ， ， ， ． 故答案为：14.3． 三．解答题（共11小题，共88分） 17．解下列方程： （1）； （2）． 【解答】解：（1）， ，，， △， ， ，； （2）． ， ， 或， 所以，． 18．解方程：（用配方法） 【解答】解：由原方程移项，得 ， 等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得 ， 即， ， ，． 19．商店购进某种玩具的价格为30元．根据一段时间的市场调查发现，按销售单价50元每件出售时，能卖600件，而销售单价每涨价0.5元，销售量就会减少5件．为获得15000元的利润，销售单价应为多少元？ 【解答】解：设销售单价应为元， 根据题意得，， 解得，， 答：销售单价应为60元或80元； 20．如图，表示一个窗户的高，和表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离．已知某一时刻在地面的影长，在地面的影长，求窗户的高度． 【解答】解：， ，， ， ， ， 解得：， ， 答：窗户的高度为． 21．近日，“复旦学霸图书馆”新闻引发网友热议，其中，“风雨无阻爱学习”的潘同学一年时间图书馆打卡301次，更是成为众多学子膜拜的对象．某大学图书馆为了更好服务学子，对某周来馆人数进行统计，统计数据如下（单位：人） 时间 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 人数 650 550 710 420 650 2320 3100 （1）该周到馆人数的平均数为 　1200　人、众数为 　　人、中位数为 　　人； （2）周一至周五到馆人数相差不多，用这五天的数据估算该周的平均数合适吗？为什么？ （3）选择合适的数据，估算该校一个月的到馆人数（一个月按30天计）． 【解答】解：（1）该周到馆人数的平均数为：（人， 众数为650人，中位数为650人， 故答案为：1200，650，650； （2）由于周六、周日比周一至周五到馆人数多得多，所以用周一至周五这五天的数据估算该周的平均数不合适； （3）估算该校一个月的到馆人数为：（人． 22．已知关于的方程为常数）． （1）若该方程有两个相等的实数根，求； （2）当　　时，函数的值最小，最小值为 　　． 【解答】解：（1）可整理为， 该方程有两个相等的实数根， ， 整理得：， ； （2） ， ， 当时，函数的值最小，最小值为． 故答案为：，． 23．如图，为的直径，弦于点，连接，过点作，交于点，连接，是延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【解答】（1）证明：如图，连接， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：， 四边形是矩形， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ． 的半径为． 24．如图，正方形的边长为4，是上一动点，过点作，交于点，连接． （1）求证：； （2）求长度的最小值． 【解答】（1）证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 又， ； （2）解：设，则， ， ，即， ， 当时，取最大值1，此时有最小值3， 在中，， 当时，取最小值，的最小值为， 长度的最小值为5． 25．如图，是的弦，是的切线，，交于点，是的中点． （1）求证：； （2）判断四边形的形状，并说明理由． 【解答】（1）证明：， ． ， ， ； （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： 如图，连接，连接并延长，交于点，连接， 是直径， ， ． 是的切线，是切点， ． ． ． 和都是所对的圆周角， ． ． 是的中点， ， ． 是的外角， ． ． ． ． ， ， ， 四边形是平行四边形． 26．某商店销售甲、乙两种礼品，每件利润分别为20元、10元，每天卖出件数分别为40件、80件．为适应市场需求，该店决定降低甲种礼品的售价，同时提高乙种礼品的售价．售卖时发现，甲种礼品单价每降1元可多卖4件，乙种礼品单价每提高1元就少卖2件．若每天两种礼品共卖出140件，则每天销售的最大利润是多少？ （1）分析：设甲种礼品每件降低了元，填写下表（用含的式子表示，并化简）； 调价后的每件利润 调价后的销售量 甲种礼品 　　 乙种礼品 　　 　　 （2）解答： 【解答】解：（1）商店原来每天可售出甲种礼品40件，甲种礼品单价每降1元可多卖4件，且甲种礼品每件降低了元， 每天销售甲种礼品件， 又每天两种礼品共卖出140件， 每天销售乙种礼品件． 商店原来每天可售出乙种礼品80件，乙种礼品单价每提高1元就少卖2件，且乙种礼品每天的销售量为件， 乙种礼品单价提高元， 调价后每件乙种礼品的利润为元． 故答案为：；；． （2）设每天的销售利润为元，则， 即， ， 当时，取得最大值，最大值为2000． 答：每天销售的最大利润是2000元． 27．（1）如图①，在△中，，，垂足为．求证． （2）已知点在线段上．在图②中，用直尺和圆规作出所有的点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） （3）如图③，在△中，，点在边上，，连接．若线段上存在点（包含端点），使得，则的取值范围是 　　． 【解答】（1）证明：，， ， ， △△， ， ； （2）如图1， ①作的垂直平分线，交于点， ②以为圆心，为半径作， ③在上截取，作的垂直平分线，交于， ④以点为圆心，为半径作， 则点在是除直线与的两个交点外的上； （3）如图2， 以为直径作，作交于，以为圆形，为半径作， 则点在上（不包括点， 当点在点处时， 设，， 由射影定理得， ，， ，， ， ， 故答案为：． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/14 22:19:26；用户：许天枢；邮箱：jlhwxx01@xyh.com；学号：38511705 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年江苏省南京市上学期期末自编模拟卷 九年级数学 (考试时间：100分钟试卷满分：120分) 注意事项： 1.本试卷分选择题和填空题和简答题三部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写 在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第填空题、简答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.测试范围：新教材苏科版九上数学。 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一.选择题：本题共6个小题，每小题2分，共12分。每小题只有一个选项符合题目要求。 题号 1 2 3 6 答案 C B D D D A 二.填空题：本题共10个小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡 相应位置上。 2 7.3 8.1001-x)2=81 9.29. 10.5: 11.5-2. 12.0<k<4 9 13.16 14.120. 15.②③ 第1页（共8页） 16.14.3. 三.解答题（共11小题，共88分） 17.【解答】解：(1)x2-4x+1=0, a=1,b=-4,c=1, △=b2-4ac=16-4×1×1=12>0, 2分 x=-b±公2-4ac_4±25-2士N5 2a 2 x=2+5,为2=2-V5 4分 (2)(x-3}2=2x-6 (x-3)2-2(x-3)=0 (x-3)x-3-2)=0 6分 x-3=0或x-3-2=0, 所以=3，x2=5 8分 18.解方程：x2-6x+4=0(用配方法) 【解答】解：由原方程移项，得 x2-6x=-4 ）2分 等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得 x2-6x+9=-4+9 即x-3)2=5 4分 x=±V5+3, x=V5+3,x32=-V5+3 6分 19.【解答】解：设销售单价应为X元，2分 第2页（共8页） (x-30[60-5x-501=1500 根据题意得， 0.5 ，5分 解得=60,2=80 7分 答：销售单价应为60元或80元： 8分 20.【解答】解：BN11AM, .∠CBN=∠A,∠CNB=∠M, 1分 .∴△CBN∽△CAM NC BC .MCAC,1… 4分 1.51 4.5AC, 解得：CA=3(m) 6分 .AB=3-1=2(m) 答：窗户的高度为2m. 8分 21.【解答】解：（1)1200,650,650：3分 (2)由于周六、周日比周一至周五到馆人数多得多，所以用周一至周五这五天的数据估算该周的平均数 不合适； 5分 (3)估算该校一个月的到馆人数为：1200×30=36000（人）， 7分 22.【解答】解：(1)(x-3x-2)=p可整理为2-5x+6-p=0, ·该方程有两个相等的实数根， .b2-4ac=(-5)2-4×1×(6-p)=0 整理得：1+4p=0 1 4 3分 (2)2, 4 7分 23.【解答】(1)证明：如图，连接BE, 第3页（共8页） D B ,AB为⊙0的直径， .∠BEA=90°， :CD⊥AB, :BC=BD, ∴.∠BCD=∠BED, ∠BCD=∠FAE, .∠BED=∠FAE, CD⊥AB,DE⊥CD, .∴.AB/IED .∠BED=∠ABE, ∠ABE=∠FAE, :∠ABE+∠BAE=90°， .∠FAE+∠BAE=90°， ∠BAF=90°， .0A1Af,2分 OA是⊙0的半径， AF是⊙O的切线： 4分 (2)解：∠APD=∠D=∠PAF=90°， ∴四边形APDF是矩形， ∠AFE=90°， AF=2,EF=1, AE=VAF2+EF2=√5 ∠F=∠AEB=90°，∠FAE=∠EBA, 第4页（共8页） △FAE∽△EBA,6分 AE EF .AB AE, 51 AB5 AB=5, 014a 2. J ⊙0的半径为2. 8分 24.【解答】(1)证明：四边形ABCD是正方形， ∠B=∠C=90°， .∠BAE+∠BEA=90°， EF⊥AE, ∠AEF=90°， 2分 ∴.∠BEA+∠CEF=90°， .∠BAE=∠CEF, 又：∠B=∠C=90°， .△ABE∽AECF; 5分 (2)解：设BE=x,则CE=4-x, :△ABE∽AECF, BE AB x4 .CFCE,即CF4-x, ∴CF=4-x9_1 4 =40x-2y+1 当x=2时，CF取最大值1，此时DF有最小值3，.7分 :在RtAADF中，AF=VDF2+AD2=√DF2+4F ·当DF=3时，AF取最小值，AF的最小值为V32+4=5, AF长度的最小值为5.9分 25 【解答】(1)证明：AB=AC, 第5页（共8页） .∠B=∠C 2分 AD=AD, ∠B=∠E, ∠C=∠E4分 (2)解：四边形ACDE是平行四边形，理由如下： 如图，连接AD,连接AO并延长，交⊙O于点F,连接DF, D AF是直径， .∠ADF=90° ∴.∠F+∠DAF=90° :AC是⊙O的切线，A是切点， .∠CAF=90° ∴.∠CAD+∠DAF=90°， ∴.∠CAD=∠F :∠B和∠F都是AD所对的圆周角， ∠B=∠F. ∠B=∠C=∠CAD=∠F E是AB的中点， :AE=BE, ∴.∠ADE=∠EDB ∠ADB是△ADC的外角， .∴∠ADB=∠C+∠CAD=2∠EDB, 6分 .∠EDB=∠C. 第6页（共8页） .DE //AC ∠E=∠B ∠C=∠B=∠EDB=∠E, :AE //BC, AC /ED, .四边形ACDE是平行四边形.8分 26. 【解答】解：(1)(40+4)：2x;Q00-4x) 3分 (2)设每天的销售利润为'元，则y=(20-x40+4)+2.x100-4x), 即y=-12(x-10)2+2000 5分 …-12<0 .当x=10时，y取得最大值，最大值为2000， 答：每天销售的最大利润是2000元。8分 27. 【解答】(1)证明：CD⊥AB,∠ACB=90°， ∠BDC=∠ACB, ∠B=∠B △BCD∽△BAC, BC BD :AB BC, BC2=BD.BA;3分 (2)如图1， 第7页（共8页） M A B D 个 图1 ①作AB的垂直平分线，交AB于点O, ②以O为圆心，OA为半径作⊙0， ③在AB上截取CD=CB,作BD的垂直平分线EF,交⊙O于E, ④以点B为圆心，BE为半径作⊙B, 则点P在是除直线AB与⊙B的两个交点外的⊙B上： 98分 BC (3)AC2 、11分 E B D F 图2 第8页（共8页）