江苏省南京市2025-2026学年九年级数学上学期期末自编模拟卷01

2025-2026学年江苏省南京市上学期期末自编模拟卷 九年级数学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分选择题和填空题和简答题三部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第填空题、简答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：新教材苏科版九上数学。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：本题共6个小题，每小题2分，共12分。每小题只有一个选项符合题目要求。 1．在比例尺为的地图上，两处景点的距离为，则这两处景点的实际距离为　　 A． B． C． D． 【解答】解：设这两处景点的实际距离为厘米， 则：， 解得， 3200000厘米千米． 故选：． 2．已知二次函数，下列说法正确的是　　 A．图象经过原点 B．图象的顶点坐标为 C．图象与轴无公共点 D．图象与轴的交点坐标为 【解答】解：二次函数， 该函数图象过，故选项错误，不符合题意； 该函数图象的顶点坐标为，故选项错误，不符合题意； 当时，，该方程无解，即该函数图象与轴无公共点，故选项正确，符合题意； 当时，，即该函数图象与轴的交点坐标为，故选项错误，不符合题意； 故选：． 3．如图，在△中，，，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为　　 A．6 B． C． D． 【解答】解：由勾股定理得，， 则阴影部分的面积 ， 故选：． 4．气象部门统计了某市2014年到2023年每年12月的最低气温如下（单位： 12月的最低气温 次数 1 3 2 1 1 1 1 在这十年中，12月最低气温的众数和中位数分别是　　 A．， B．， C．， D．， 【解答】解：将2014年到2023年每年12月的最低气温按从小到大的顺序排列，第五个，第六个数为，， 中位数为第五个，第六个数的平均数，即； 出现了3次，次数最多，故众数为． 故选：． 5．如图经过点、、，点在第一象限的上，则的度数为　　 A． B． C． D． 【解答】解：连接， ， ， （圆周角定理）． 故选：． 6．已知二次函数与一次函数．若函数的图象与轴只有一个公共点，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：二次函数， 二次函数与轴的交点坐标为，， 一次函数，当时，， 一次函数与轴的交点坐标为， ， 当时，，， 当时，， 函数的图象与轴只有一个公共点， 的图象与轴的交点为， ， 化简得：． 故选：． 二．填空题：本题共10个小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。 7．若，则　　 ． 【解答】解：， ， ． 故答案为：． 8．抛掷质地均匀的骰子（骰子的6个面分别标有这6个整数）一次，向上一面的数字是2的倍数的可能性 　　向上一面的数字是3的倍数的可能性（填“”“ ”或“” ． 【解答】解：向上一面的数字是2的倍数可能性为：，向上一面的数字是3的倍数可能性为：， ， 向上一面的数字是2的倍数的可能性向上一面的数字是3的倍数的可能性． 故答案为：． 9．已知圆锥的底面半径为，母线长，则它的侧面积为　　． 【解答】解：圆锥的底面半径为，母线长为， 圆锥的侧面积． 故答案为：． 10．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到新的抛物线的表达式是 　　． 【解答】解：将抛物线先向左平移3个单位长度可得：，再向下平移2个单位长度得到． 故答案为：． 11．甲、乙、丙三人各自通过买到了某演唱会门票，三张票的座位是连续的，记甲乙座位相邻的概率为，甲乙座位不相邻的概率为，则　　．（填“”“ ”或“”号） 【解答】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中甲乙座位相邻的结果有：甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲，共4种，甲乙座位不相邻的结果有：甲丙乙，乙丙甲，共2种， ，， ， ． 故答案为：． 12．如图，点，和点，分别在和的图象上．若点，的横坐标均为，点，的横坐标均为4，则线段，与两条抛物线围成的阴影部分的面积是　24　． 【解答】解：如图，分别连接、． 若点，的横坐标均为，点，的横坐标均为4， 轴． 又上面的抛物线为向下平移可得4个单位可得下面的抛物线， ． 四边形为平行四边形． 又由平移可得， 阴影部分的面积为平行四边形的面积． 故答案为：24． 13．如图，直线，与直线，，分别相交于点，，和点，，，．若，，，，则 　13　． 【解答】解：过点作，与，分别相交于点，， ， 四边形和四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，， ， ， △△， ， ， ， ． 故答案为：13． 14．如图，在正五边形中，连接，以为圆心，长为半径画弧，与交于点，连接，则的度数是 　54　． 【解答】解：在正五边形中，， ， ， ， ， ， 故答案为：54． 15．如图，在△中，，，，以边上一点为圆心，作与边相切，若与边只有一个公共点，则的取值范围是 　或　． 【解答】解：如图1，与相切于点，此时与边只有一个公共点， ，，， ， 设与相切于点，连接、，则，， ， ，， △△，△△， ，， ，， ， ， 解得； 如图2，经过点，设此时与相切于点，连接，则， ， 解得， ， 当，与边只有一个公共点， ， ， 综上所述，的取值范围是或， 故答案为：或． 16．如图，在△中，，，，是的中点，连接，过点作，交于点．将△沿直线翻折，点落在处，交于点，则的长为 　　． 【解答】解：，，， ， 是的中点， ， ， ， △△， ，即， ， ， 将△沿直线翻折，点落在处， ，，， ， ， △△， ， 设，，则，， ，， ， 解得， ； 故答案为：． 三．解答题（共11小题，共88分） 17．解方程： （1）； （2）． 【解答】解：（1）， ， 则或， 所以，． （2）， ， ， 则或， 所以． 18．深秋建邺，醉人心扉．南京眼，绿博园，银杏里等地，都呈现出浓浓的秋色．小宁，小邺两人分别从这3个景点中选择景点游玩． （1）若每人选择1个景点，求两人所选景点相同的概率； （2）若每人选择2个景点，则两人所选景点恰好相同的概率为　　． 【解答】解：（1）将这3个景点分别记为，，， 列表如下： 共有9种等可能的结果，其中两人所选景点相同的结果有3种， 两人所选景点相同的概率为． （2）列表如下： 共有9种等可能的结果，其中两人所选景点恰好相同的结果有3种， 两人所选景点恰好相同的概率为． 故答案为：． 19．为了解，两款品质相近的无人机在一次充满电后运行的最长时间，分别随机调查了，两款无人机各10架，记录它们运行的最长时间（单位：，并对数据进行整理． （1）填空： 平均数 中位数 众数 方差 70 69.5 ①　72　 ②　　 72 ③　　 69 14 （2）根据以上信息，你认为哪款无人机运行时间更有优势？请说明理由． 【解答】解：（1）组数据为64、66、67、68、69、70、72、72、72、80， 则其众数为72，方差为， 组数据为68、69、69、69、70、72、72、74、77、80， 所以其中位数为， 故答案为：72、17.8、71； （2）款无人机运行时间更有优势， 款无人机运行时间的平均时间大于款无人机， 款无人机运行时间更有优势（答案不唯一，合理均可）． 20．矩形种植区域如图所示，米，米．现计划从中开垦出两个正方形区域用于种植青菜，其余区域种植胡萝卜，已知，胡萝卜种植区域的面积是原矩形区域面积的一半，设米． （1） 　　米（用含的代数式表示）， 　　米； （2）求的长． 【解答】解：（1）计划从矩形种植区域开垦出两个正方形区域用于种植青菜，，米． 米，米，， 米，（米， 故答案为：，25； （2）由题意得，， 解得，（不合题意，舍去）， 米． 21．已知二次函数，函数与自变量的部分对应值如表： 0 1 0 3 4 （1）求该二次函数的表达式； （2）当时，的取值范围为 　　 ； （3）将该函数图象沿轴翻折，所得新图象的函数表达式为 　　 ． 【解答】解：（1）将表格中三组数据代入解析式得， 解得， 二次函数的表达式为， （2）由二次函数的表达式为，可知抛物线的对称轴为直线，开口向下，在对称轴右侧，随的增大而减小，时，， 当时，；当时，， 当时，的取值范围为． 故答案为：． （3）， 将该函数图象沿轴翻折，所得新图象的函数表达式为，即． 故答案为：． 22．如图，在△中，点，分别为边，的中点，，相交于点．求的值． 【解答】解：点，分别为边，的中点， 为△的中位线， ，， △△， ． 23．如图，是上一点，在直径上取点，使，延长交于点，分别作，垂直于，垂足分别为，．已知的半径是2． （1）求证：是的平分线； （2）若，则的长是 　2　． 【解答】（1）证明：连接， 是圆的直径， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 是的平分线； （2）解：， ， 是圆的直径， ， ， ， ，， △△， ， 与重合， ， ． 故答案为：2． 24．某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满：当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用． （1）房价定为200元时，则有　48　个房间有游客居住； （2）房价定为多少时，宾馆利润最大？ 【解答】解：（1）依题意得：（个， 故答案为：48； （2）设每个房间定价增加元， 依题意得：所获利润， 当元时，利润最大， （元， 即房价定为350元时，宾馆利润取得最大值． 25．如图，古城墙进出口的道闸杆水平放置时，与地面平行．支撑点与端点之间的距离，与另一端点之间的距离．道闸杆绕着支撑点旋转，当点旋转到点时，测得点到的距离为，此时，点到的距离是多少？ 【解答】解：如图，于点，于点， 根据题意得，，，， ，， ， △△， ， 即， ， 即点到的距离是． 26．如图，南京长江四桥是中国首座三跨吊悬索桥，该索桥的主体部分由两座高度相同的索塔，，三条缆索，，，以及连接缆索与桥面的吊杆组成．缆索，，的形状均近似是抛物线，索塔、吊杆均与桥面垂直．以为原点，桥面所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．测得索塔，桥面，锚碇到索塔的距离，缆索的最低点到桥面的距离为． （1）求缆索所在抛物线的表达式； （2）同一直角坐标系中，缆索所在抛物线的表达式为． ①求，的值； ②为了加固桥梁，计划在索塔左、右两侧各安装一根吊杆，且两根吊杆之间的距离为．要使两根吊杆的长度之和最小，如何确定两根吊杆的安装位置？请直接写出在索塔左侧需安装的吊杆与之间的距离． 【解答】解：（1）根据题意可知，缆索所在抛物线的顶点坐标为， 设缆索所在抛物线的解析式为， 把代入解析式得：， 解得：， 缆索所在抛物线的表达式为； （2）①缆索所在抛物线经过点和， ， 解得：； ②设两根吊杆的长度之和为，在索塔左侧需安装的吊杆与之间的距离为 ，则在索塔右侧需安装的吊杆与之间的距离为， ， 抛物线的开口向上，对称轴为直线， 当时，最小． 答：索塔左侧需安装的吊杆与之间的距离为． 27．（1）如图（1），在△中，，以为直径作，交于点，连接． 求证． （2）已知点，的位置如图（2）所示． ①若过点的直线与有两个交点，，用两种不同的方法求作直线，使得．（要求：．用直尺和圆规作图；．保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． ②设的半径为，改变点的位置，①中求作的直线可能不存在．请直接写出直线存在时对应的的取值范围．（用含的代数式表示） 【解答】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：①作法一：如图，直线即为所求， 作法提示：①连接并延长交于点、； ②以为圆心，长为半径画弧交的下方于点； ③连接并延长交于点，过、作直线交于点，则直线即为所求． 证明：连接， 是直径， ，即， ， ． 作法二：连接并延长，交于、两点， 如图，设，，， 由得， ， ， 以点为圆心，长（即长）为半径画弧，交于点，连接并延长交于点，则即为所求； （3）根据①作法一可知，以为圆心，为半径的与有交点即可， ． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/14 22:01:24；用户：许天枢；邮箱：jlhwxx01@xyh.com；学号：38511705 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年江苏省南京市上学期期末自编模拟卷 九年级数学 （考试时间：100分钟试卷满分：120分) 注意事项： 1,本试卷分选择题和填空题和简答题三部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写 在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3,回答第填空题、简答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.测试范围：新教材苏科版九上数学。 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一. 选择题：本题共6个小题，每小题2分，共12分。每小题只有一个选项符合题目要求。 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B C A B B 二.填空题：本题共10个小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡 相应位置上。 2 1.5 8.>. 9.24π. 10.y=-2(x+3)2-2. 11.>. 12.24. 13.13. 14.54. 15.04=15或25<0A5. 9 20 16. 第1页（共7页） 三.解答题（共11小题，共88分） 17.【解答】解：（1)x2+4x-5=0, (x-1)(x+5)=0, 2分 则x-1=0或x+5=0, 所以x=1,x2=-5. .4分 （2)3x(x-2)=x-2, 3x(x-2)-(x-2)=0, (x-2)3x-0）=0,6分 则x-2=0或3x-1=0, 1 所以x=2,x3= 8分 3 18.【解答】解：(1)将这3个景点分别记为A,B,C, 列表如下： A B A (A,A) (A,B) (A,C) ⊙ (B,A) (B,B) (B,C) (C,A) (C,B) (C,C) 共有9种等可能的结果，其中两人所选景点相同的结果有3种， ·两人所选景点相同的概率为之=} 93 4分 (2) 3 6分 19.【解答】解：(1)72、17.8、71； 3分 (2)B款无人机运行时间更有优势， :B款无人机运行时间的平均时间大于A款无人机， 。B款无人机运行时间更有优势（答案不唯一，合理均可).5分 20.【解答】解：（1)(50-x),25;4分 1 (2)由题意得，(50-x)2+252=75×50×二， 2 第2页（共7页） 解得x=50-25√2，x,=50+25√2（不合题意，舍去）， ∴.DF=(50-25V2)米. 8分 a-b+c=0 21.【解答】解：(1)将表格中三组数据代入解析式得{c=3 a+b+c=4 a=-1 解得b=2, c=3 .二次函数的表达式为y=-x2+2x+3,3分 (2)-5<y≤4. 5分 (3)y=x2-2X-3.7分 22.【解答】解：点D,E分别为边AB,AC的中点， DE为△ABC的中位线，3分 :.DE /IBC,DE=IBC, .△DEGn△CBG， 5分 :8-e3 DG DE 1 7分 23.【解答】(1)证明：连接BC, :AB是圆的直径， LACB=90°，2分 :CM⊥AB, :LACM+LBCM=LABC+∠NCM=90°， :∠ACM=LABC, :∠ADC=LABC, LADC=LACM,4分 :AC=CE,CM⊥AB, LMCE=∠ACM, :CM⊥AB,DN⊥AB, :CM //DN 第3页（共7页） :Z EDN ZM CE :∠EDN=LADC, ·DC是LADN的平分线；6分 （2）2.…8分 M ⊙ 24.【解答】解：1)依题意得：50-20-180=48（个）， 10 故答案为：48； 2分 (2)设每个房间定价增加x元， 4分 依题意得：所获利润=080+x-20X50-治=6(c-170+10890, 6分 .当x=170元时，利润最大， 180+170=350（元)，8分 即房价定为350元时，宾馆利润取得最大值. 9分 25.【解答】解：如图，A'M⊥AB于点M,B'N⊥AB于点N, B' M A 0 根据题意得，0A=0A'=1.2m,0B=0B'=18m,A'M=0.8m, :A'M⊥AB,B'N⊥AB, :A'M //B'N △A'0M∽△B'0N，4分 4M04 B'N OB' 即08-1.2 BN-18 B'N=12(m）,62分 第4页（共7页） 即点B到AB的距离是12m.8分 26.【解答】解：(1)根据题意可知，缆索L所在抛物线的顶点坐标为(600,20)， .设缆索L所在抛物线的解析式为y=a(-600)2+20,1分 把A(0,200)代入解析式得：360000a+20=200, 1 解得：a= 2000 :缆索L所在抛物线的表达式为y=200 (x-600)2+20;3分 3 b (2)① 4;5分 c=200 ②设两根吊杆的长度之和为w,在索塔OA左侧需安装的吊杆与OA之间的距离为nm,则在索塔OA右 侧需安装的吊杆与OA之间的距离为(150-n), 1600×(-0)2+×(←m）+200+1 1 3 W (150-n-600)2+20 4 2000 2、3 9 1285 -n+ 8000 10 4 6分 “抛物线的开口向上，对称轴为直线n=-b=400 2a3 :当n=400时，w最小. 3 答：索塔OA左侧需安装的吊杆与0A之间的距离为4O m.8分 3 27.【解答】(1)证明：：AB=AC, LB=LC,12分 :0B=0D, LB=∠ODB, :∠C=L0DB, 0D11AC;3分 (2)解：①作法一：如图，直线1即为所求， 第5页（共7页） N M E Q 作法提示：①连接P0并延长交⊙0于点E、F; ②以P为圆心，EF长为半径画弧交⊙O的EF下方于点Q; ③连接Q0并延长交⊙0于点N,过P、N作直线1交⊙0于点M,则直线1即为所求. 证明：连接QM, :QN是直径， .∠QMW=90°，即QM⊥PN, .PO=EF=ON, :PM MN. 作法二：连接P0并延长，交⊙0于C、D两点， D 0 M N 如图，设a=PC,b=PD, 2 PM=x, b 第6页（共7页） 由PM·PN=PC·PD得， x…2x=a·2b, ..x2=ab, .以点P为圆心，PM长（即x长）为半径画弧，交⊙0于点M,连接PM并延长交⊙O于点N,则 PN即为所求；9分 (3)根据①作法一可知，以P为圆心，2r为半径的0P与⊙0有交点即可， .r<OP3r.11分 第7页（共7页） 2025-2026学年江苏省南京市上学期期末自编模拟卷 九年级数学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分选择题和填空题和简答题三部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第填空题、简答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：新教材苏科版九上数学。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：本题共6个小题，每小题2分，共12分。每小题只有一个选项符合题目要求。 1．在比例尺为的地图上，两处景点的距离为，则这两处景点的实际距离为　　 A． B． C． D． 2．已知二次函数，下列说法正确的是　　 A．图象经过原点 B．图象的顶点坐标为 C．图象与轴无公共点 D．图象与轴的交点坐标为 3．如图，在△中，，，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为　　 A．6 B． C． D． 4．气象部门统计了某市2014年到2023年每年12月的最低气温如下（单位： 12月的最低气温 次数 1 3 2 1 1 1 1 在这十年中，12月最低气温的众数和中位数分别是　　 A．， B．， C．， D．， 5．如图经过点、、，点在第一象限的上，则的度数为　　 A． B． C． D． 6．已知二次函数与一次函数．若函数的图象与轴只有一个公共点，则　　 A． B． C． D． 二．填空题：本题共10个小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。 7．若，则　　 ． 8．抛掷质地均匀的骰子（骰子的6个面分别标有这6个整数）一次，向上一面的数字是2的倍数的可能性 　　向上一面的数字是3的倍数的可能性（填“”“ ”或“” ． 9．已知圆锥的底面半径为，母线长，则它的侧面积为　　． 10．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到新的抛物线的表达式是 　　． 11．甲、乙、丙三人各自通过买到了某演唱会门票，三张票的座位是连续的，记甲乙座位相邻的概率为，甲乙座位不相邻的概率为，则　　．（填“”“ ”或“”号） 12．如图，点，和点，分别在和的图象上．若点，的横坐标均为，点，的横坐标均为4，则线段，与两条抛物线围成的阴影部分的面积是　　． 13．如图，直线，与直线，，分别相交于点，，和点，，，．若，，，，则 　　． 14．如图，在正五边形中，连接，以为圆心，长为半径画弧，与交于点，连接，则的度数是 　　． 15．如图，在△中，，，，以边上一点为圆心，作与边相切，若与边只有一个公共点，则的取值范围是 　　． 16．如图，在△中，，，，是的中点，连接，过点作，交于点．将△沿直线翻折，点落在处，交于点，则的长为 　　． 三．解答题（共11小题，共88分） 17．（8分）解方程： （1）； （2）． 18．（6分）深秋建邺，醉人心扉．南京眼，绿博园，银杏里等地，都呈现出浓浓的秋色．小宁，小邺两人分别从这3个景点中选择景点游玩． （1）若每人选择1个景点，求两人所选景点相同的概率； （2）若每人选择2个景点，则两人所选景点恰好相同的概率为　　． 19．（8分）为了解，两款品质相近的无人机在一次充满电后运行的最长时间，分别随机调查了，两款无人机各10架，记录它们运行的最长时间（单位：，并对数据进行整理． （1）填空： 平均数 中位数 众数 方差 70 69.5 ①　　 ②　　 72 ③　　 69 14 （2）根据以上信息，你认为哪款无人机运行时间更有优势？请说明理由． 20．（8分）矩形种植区域如图所示，米，米．现计划从中开垦出两个正方形区域用于种植青菜，其余区域种植胡萝卜，已知，胡萝卜种植区域的面积是原矩形区域面积的一半，设米． （1） 　　米（用含的代数式表示）， 　　米； （2）求的长． 21．（7分）已知二次函数，函数与自变量的部分对应值如表： 0 1 0 3 4 （1）求该二次函数的表达式； （2）当时，的取值范围为 　　 ； （3）将该函数图象沿轴翻折，所得新图象的函数表达式为 　　 ． 22．（7分）如图，在△中，点，分别为边，的中点，，相交于点．求的值． 23（8分）如图，是上一点，在直径上取点，使，延长交于点，分别作，垂直于，垂足分别为，．已知的半径是2． （1）求证：是的平分线； （2）若，则的长是 　　． 24．（9分）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满：当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用． （1）房价定为200元时，则有　　个房间有游客居住； （2）房价定为多少时，宾馆利润最大？ 25．（8分）如图，古城墙进出口的道闸杆水平放置时，与地面平行．支撑点与端点之间的距离，与另一端点之间的距离．道闸杆绕着支撑点旋转，当点旋转到点时，测得点到的距离为，此时，点到的距离是多少？ 26．（8分）如图，南京长江四桥是中国首座三跨吊悬索桥，该索桥的主体部分由两座高度相同的索塔，，三条缆索，，，以及连接缆索与桥面的吊杆组成．缆索，，的形状均近似是抛物线，索塔、吊杆均与桥面垂直．以为原点，桥面所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．测得索塔，桥面，锚碇到索塔的距离，缆索的最低点到桥面的距离为． （1）求缆索所在抛物线的表达式； （2）同一直角坐标系中，缆索所在抛物线的表达式为． ①求，的值； ②为了加固桥梁，计划在索塔左、右两侧各安装一根吊杆，且两根吊杆之间的距离为．要使两根吊杆的长度之和最小，如何确定两根吊杆的安装位置？请直接写出在索塔左侧需安装的吊杆与之间的距离． 27．（11分）（1）如图（1），在△中，，以为直径作，交于点，连接． 求证． （2）已知点，的位置如图（2）所示． ①若过点的直线与有两个交点，，用两种不同的方法求作直线，使得．（要求：．用直尺和圆规作图；．保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． ②设的半径为，改变点的位置，①中求作的直线可能不存在．请直接写出直线存在时对应的的取值范围．（用含的代数式表示） 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $