精品解析：河南省百师联盟2025-2026学年高一上学期12月联考数学试卷（北师大版）

2025－2026学年高一12月联考 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中，正确的是( ). A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. “”是“函数是幂函数”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 某校从500名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查．将这500名同学编号为001，002，…，500，假设从第1行第4列的数字开始，则第4个被抽到的同学的编号为（ ） 3484 4217 5572 1754 5560 8331 0474 4767 2176 3350 2583 9212 0676 6301 6378 5916 9555 6719 A. 331 B. 047 C. 455 D. 447 5. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 设函数，则使得成立的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知．若存在最小值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于的方程有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有政史地、物化生、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则下列说法正确的是（ ） A. 该校高一学生总数为600 B. 该校高一学生中选考物化政组合的人数为80 C. 该校高一学生中选考物理的人数比选考历史的人数多 D. 用分层随机抽样的方法从该校高一学生抽取20人，则生史地组合抽取4人 10. 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. . D. 11. 已知函数，的定义域均为，，是偶函数，且，若，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的图象关于点中心对称 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 样本数据20，24，6，15，18，10，42，57，2，7的40%分位数为____． 13. 当生物体死亡后，它机体内原有的元素含量会按确定的比率衰减.刚死亡的生物体某元素含量为，经过天后元素含量与时间（天）的关系式为：.已知生物体死亡10天后，它机体内该元素含量变为，则生物体死亡__________天后，它机体内该元素含量变为. 14. 已知函数，则的最小值是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. 某地区有小学生人，初中生人，高中生人，教育局组织“人工智能科普”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数； （2）成绩位列前%的学生平台会生成“人工智能科普达人”优秀证书，试估计获得“人工智能科普达人”的成绩至少为多少分； （3）已知落在内的平均成绩为，方差是，落在内的平均成绩是，方差是，求落在内的平均成绩和方差. 附：设两组数据的样本量，样本平均数和样本方差分别为：.记两组数据总体样本平均数为，则总体样本方差 17. 某医疗器械公司为了进一步加强市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为100万元，最大产能为80台.每生产台该产品，需另投入成本万元，当年产量为5台时，需另投入成本225万元.由市场调研知，每台该产品的售价为100万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. （1）求出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数解析式（利润销售收入-成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 18. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值. （2）若存在使得不等式成立，求实数的取值范围. （3）是否存在实数，使得在区间上的取值范围是？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数，若对于其定义域中任意的非零实数，都有，就称函数为“JC函数”. （1）已知，判断是否是“JC函数”，并说明理由； （2）已知函数是定义在上的“JC函数”，函数在上单调递增，判定并证明函数在上的单调性； （3）若函数是“JC函数”，且定义域为，已知时，，求函数的解析式，并指出方程是否有正整数解？若有整数解，请求出；若没有整数解，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年高一12月联考 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合，再利用交集的定义运算. 【详解】由，得，故， 因，则. 故选：A 2. 下列命题中，正确的是( ). A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质解决此问题即可. 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，若，，则，所以，故D错误. 故选： C. 3. “”是“函数是幂函数”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的定义以及充分、必要条件等知识确定正确答案. 【详解】若函数是幂函数，则，解得或， 所以“”是“函数是幂函数”的充分不必要条件. 故选：B 4. 某校从500名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查．将这500名同学编号为001，002，…，500，假设从第1行第4列的数字开始，则第4个被抽到的同学的编号为（ ） 3484 4217 5572 1754 5560 8331 0474 4767 2176 3350 2583 9212 0676 6301 6378 5916 9555 6719 A. 331 B. 047 C. 455 D. 447 【答案】A 【解析】 【分析】由随机数法概念即可求解. 【详解】由题意，依次读取的三个数字编号分别是442，175，572，175，455，608，331，047， 剔除一个重复数据175和超过500的数据572，608， 所以符合条件的前5个编号是442，175，455，331，047， 所以第4个是331． 故选:A 5. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用中间值法和幂函数的单调性比较大小. 【详解】因为. 又因为，且在上单调递增，， 所以，即.综上，. 故选：A. 6. 设函数，则使得成立的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用偶函数的定义得到 是偶函数.求出当时和的单调性，从而得到当时的单调性，利用 是偶函数将转化为，利用当时的单调性，解出不等式，即可得解. 【详解】的定义域为， 所以是偶函数.当时，单调递减，单调递增， 所以单调递减，则等价于， 所以，，解得或. 所以实数的取值范围是. 故选：B. 7. 已知．若存在最小值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的单调性，结合指数函数和一次函数的性质、最小值定义分类讨论进行求解即可. 【详解】当时，函数在上单调递增， 所以当时，，即， 显然不存在最小值，不符合题意， 当时，当时，， 当时，函数单调递增，则有， 因为，所以此时函数存在最小值，最小值为，符合题意； 当时，函数在上单调递减， 所以当时，，即， 当时，函数单调递增，则有， 要想存在最小值，只需，而，所以； 当时，函数在上单调递减， 所以当时，，即， 当时，函数单调递减，则有， 因此函数存在最小值，最小值为， 综上所述：， 故选：A 8. 已知函数，若关于的方程有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意或，作出的图象，数形结合求得有三个不同的实数根，从而结合图象求得有一个实数根时的取值范围. 【详解】由， 得，所以或. 作出的图象，如图. 因为函数的图象与直线有三个交点，所以有三个不同的实数根. 所以必须有一个实数根，即函数的图象与直线有一个交点. 由图可知， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有政史地、物化生、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则下列说法正确的是（ ） A. 该校高一学生总数为600 B. 该校高一学生中选考物化政组合的人数为80 C. 该校高一学生中选考物理的人数比选考历史的人数多 D. 用分层随机抽样的方法从该校高一学生抽取20人，则生史地组合抽取4人 【答案】BCD 【解析】 【分析】A：由扇形图和条形图中选政史地的人数和占比即可求出高一学生总数；B：结合扇形图和条形图即可计算；C：直接计算比较即可；D：利用分层抽样的原理即可求解． 【详解】A：由扇形图和条形图可知，选政史地的人数为200，占比25%， ∴该校高一学生总数为人，故A错误； B：由扇形图知，选择物化生的人数为， ∴选择物化地和物化政的人数为， 又∵选考物化地和物化政组合的人数相等， ∴选考物化地和物化政组合的人数均为，故B正确； C：该校高一学生中选考物理的有人，选考历史的有人，选考物理的人数比选考历史的人数多，故C正确； D：∵选考生史地的学生人数占比为，∴用分层随机抽样的方法从该校高一学生抽取20人，则生史地组合抽取人，故D正确． 故选：BCD． 10. 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. . D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用基本不等式判断；对于，利用基本不等式结合指数幂的运算判断；对于C，令， 利用“1”的代换判断；对于 由，结合选项A判断. 【详解】对于A，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，故A正确； 对于，当且仅当，即时等号成立，故B错误； 对于C，令，则， ， 当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于， 因为，所以，由A知， 所以，当且仅当时取等号，所以成立，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，的定义域均为，，是偶函数，且，若，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的图象关于点中心对称 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的递推关系推导出函数的奇偶性、周期性、对称性，然后逐项进行分析推导求值即可. 【详解】因为是偶函数，所以， 则，所以. 选项A，当时，，又因为，所以， 由，得，所以，故A错误； 选项B，由，得， 两式相加得， 化简得，即， 又因为，所以， 所以的图象关于点中心对称，故B正确； 选项C，由B知，，即，所以， 所以，故是以6为一个周期的周期函数， 所以，故C正确； 选项D，由B知，，所以，， ， 所以， 由A知，，. 由得，，所以. 所以. 则 ，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 样本数据20，24，6，15，18，10，42，57，2，7的40%分位数为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据百分位数的计算方法计算即可． 【详解】将数据从小到大排列为2，6，7，10，15，18，20，24，42，57，共10个数， ， ∵4为整数，∴分位数为第四个数与第五个数的平均数． 故答案为：12.5． 13. 当生物体死亡后，它机体内原有的元素含量会按确定的比率衰减.刚死亡的生物体某元素含量为，经过天后元素含量与时间（天）的关系式为：.已知生物体死亡10天后，它机体内该元素含量变为，则生物体死亡__________天后，它机体内该元素含量变为. 【答案】20 【解析】 【分析】根据题意列出等式，求出值，得到函数解析式，进而可求得结果. 【详解】由题意，得，解得，则. 由，即，解得. 故答案为：20. 14. 已知函数，则的最小值是__________. 【答案】4 【解析】 【分析】先求证，再结合基本不等式可求最值. 【详解】由，得或，故的定义域为， 因， 则， 所以， 所以 ， 若，则，等号成立时； 若，则，等号成立时； 故，等号成立时， 则， 当且仅当时等号成立， 所以最小值为4. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由集合的运算，得到两个集合的关系，再分和两种情况讨论，最后取两种情况的并集； （2）先由是的充分不必要条件，得到是的真子集，再根据集合的关系列不等式组求解． 【小问1详解】 因为，所以， 当时，此时满足，则，解得； 当且，则，解得，所以， 综上所述，实数的取值范围是； 【小问2详解】 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则，且不同时取等号，解得， 所以实数的取值范围是． 16. 某地区有小学生人，初中生人，高中生人，教育局组织“人工智能科普”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数； （2）成绩位列前%的学生平台会生成“人工智能科普达人”优秀证书，试估计获得“人工智能科普达人”的成绩至少为多少分； （3）已知落在内的平均成绩为，方差是，落在内的平均成绩是，方差是，求落在内的平均成绩和方差. 附：设两组数据的样本量，样本平均数和样本方差分别为：.记两组数据总体样本平均数为，则总体样本方差 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在频率分布直方图中，平均数等于每组的组中值乘以每组的频率之和；众数是最高矩形横坐标的中点，据此求解； （2）依题意可知题目所求是第%分位数，先判断第%分位数落在哪个区间再求解即可； （3）先求出每组的比例，再根据分层随机抽样的平均数及方差求解即可. 【小问1详解】 一至六组的频率分别为， 所以，平均数为. 由图可知，众数为. 因此，以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为分，众数为分. 【小问2详解】 前组的频率之和为， 前组的频率之和为， 第%分位数落在第组，设为，则，解得. “人工智能科普达人”的成绩至少为分. 【小问3详解】 的频率为，的频率为， 所以的频率与的频率之比为， 的频率与的频率之比为， 设内的平均成绩和方差分别为， 依题意有，解得， ，解得， 所以内的平均成绩为，方差为. 17. 某医疗器械公司为了进一步加强市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为100万元，最大产能为80台.每生产台该产品，需另投入成本万元，当年产量为5台时，需另投入成本225万元.由市场调研知，每台该产品的售价为100万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. （1）求出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数解析式（利润销售收入-成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） （2）当年产量为40台时，该公司所获年利润最大，最大年利润是920万元 【解析】 【分析】（1）根据题干函数，由利润的定义，分段给出利润函数的表达式； （2）根据（1）的利润函数，结合二次函数和基本不等式分别求出两段的最大值，进行比较，得出最大利润. 【小问1详解】 由题意，当时，，所以. 当时， 当时， . 所以年利润关于年产量的函数关系式为 【小问2详解】 由（1）得， 当时，， 当时，； 当时， ， 当且仅当，即时等号成立， . 因为，故当时，年利润最大，最大年利润是920万元. 综上，当年产量为40台时，该公司所获年利润最大，最大年利润是920万元. 18. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值. （2）若存在使得不等式成立，求实数的取值范围. （3）是否存在实数，使得在区间上的取值范围是？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据奇函数定义由求出的值，并检验可得结果； （2）利用函数奇偶性以及单调性解不等式可得成立，再由换元法求出函数，的最大值即可； （3）结合函数单调性得出方程有两个不相等的实数根，由换元法以及指数函数值域可得方程有两个不相等的正根，由判别式以及根的符号解不等式可得结果。 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，所以， 即，解得.所以. 由，可知函数是奇函数，所以. 【小问2详解】 因为，且是上的奇函数， 所以（*）. 由（1）知，， 由指数函数性质得，在上恒正且单调递增，故函数在上单调递增. 则由（*）得成立，即成立. 设，则， 所以， 所以. 设， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 即实数的取值范围是. 【小问3详解】 由（2）知，函数在上单调递增， 设存在实数，使得函数在区间上的取值范围是， 则即 所以方程，即有两个不相等的实数根， 即方程有两个不相等的实数根. 令，则，故方程有两个不相等的正根， 结合韦达定理，可得解得， 所以实数的取值范围为. 19. 已知函数，若对于其定义域中任意的非零实数，都有，就称函数为“JC函数”. （1）已知，判断是否是“JC函数”，并说明理由； （2）已知函数是定义在上的“JC函数”，函数在上单调递增，判定并证明函数在上的单调性； （3）若函数是“JC函数”，且定义域为，已知时，，求函数的解析式，并指出方程是否有正整数解？若有整数解，请求出；若没有整数解，请说明理由. 【答案】（1）不是，理由： 由于不恒成立， 所以不是“JC函数”. （2）单调递增，证明： 函数在上单调递增. 由函数是定义在上的“JC”函数，得，即， 任取，则， 由，得，由在上单调递增，得， 则，即， 所以在上单调递增. （3），有，9 【解析】 【分析】（1）根据给定函数，利用“JC函数”的定义直接判断. （2）利用函数单调性定义判断并推理证明. （3）当时，由求出解析式，再分段写出；利用零点存在性定理确定方程的正整数解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，，则当时，， ，当时，，解得， 所以函数的解析式为； 而，则方程有正整数解9， 又函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， 因此方程有唯一正整数解， 所以方程有正整数解，且正整数解为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $