专项5 解直角三角形-【王朝霞系列丛书】2025-2026学年九年级上册数学期末试卷精选（华东师大版2012 河南专版）

期末复习方略·攻专项 专项5 解直角三角形 锁定期末高频考点，快速掌握 一、选择题（每小题只有一个正确选项） 1.在△ABC中，∠C=90°，设∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.若b=c◆，则“◆”表示（ A.sinA B.sinB C.cosB D.tanA 2.在△ABC中，∠C=90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值 A.扩大为原来的2倍 B.缩小为原来的) C.扩大为原来的4倍D.不变 毁 3.按图中所示的运算程序，能使输出y值为)的是 是 y=sina 输入,B ≥B? 输出y值 线 内 否 y=cosB A.a=60°，B=45° B.a=30°，B=45° C.a=30°，B=30° D.x=45°，B=30 题 4.〔郑州市〕如图，在网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的三个顶点都在格点上，则taA 的值为 辐 A写 1 B. 2 C.5 D. 5 4 60° 301 A F B B 图1 图2 第4题图 第5题图 第6题图 第7题图 5.如图，水库大坝某段横截面迎水坡AB的坡度i=1:2坡度i= 铅垂高度BC 若坡高BC=20m, 水平长度AC 则坡面AB的长度约为（结果保留整数，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√5≈2.24）（ A.28m B.35m C.45m D.67m 6.〔哈尔滨市〕如图，某货船以24 n mile/h的速度从A处向正东方向的D处航行，在点A处测得 某岛C在北偏东60°的方向上.该货船航行30mi后到达B处，此时测得小岛C在北偏东 30°的方向上，则货船在航行中离小岛C的最短距离是 ( A.12 n mile B.6w√3 n mile C.123 n mile D.24v3 n mile 超 7.〔商丘模拟〕某校数学“综合与实践”小组的同学想要测量校园内文化长廊（如图1）的最高点到 地面的高度.图2是其测量示意图，五边形ABDEC关于直线EF对称，EF与AB,CD分别相交 于点F,G.测得AB=3m,CD=5m,∠ABD=135°，∠BDE=92°，则文化长廊的最高点离地面的 高度EF约为（结果保留一位小数，参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）( ) A.4.2m B.4.0m C.3.7m D.3.6m 河南专版数学九年级华师第1页共3页 8.在直角三角形ABC中，若2AB=AC,则cosC= A要 号 c.5或2y5 2 5 n9或5 9.〔开封市〕如图，已知第一象限内的点A在反比例函数)=2的图象上，第二象限内的点B在反比例函数 y=冬的图象上，且0A10B,an∠BA0=√3，则k的值为 A.-6 B.-2√3 B C.-3 D.-√3 二、填空题 10.已知△ABC的内角满足l√3tanA-3引l+lW2cosB-1I=0,则∠C= 度 1.如图，在△ABC中，∠C=90,BC=15,anl=点则AB- 墙面 梯子 B 6km 梯子 30> A@人B R 地面 第11题图 第12题图 第14题图 12.〔武汉市〕如图，一枚火箭从地面L处发射，当火箭到达点A时，从位于地面R处的雷达站观测得知AR的距 离是6km,仰角∠ARL=30°，又经过1s后火箭到达点B,此时测得仰角∠BRL=45°，则这枚火箭从A到 B的平均速度为 kmls(结果保留根号)： 13.已知sin(A+B)=sinA.cosB+cosA.sinB.例如：sin(30°+20°)=sin30°·cos20°+cos30°·sin20°.则 sin75°的值为 14.如图，某梯子长10m,斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为x时，梯子顶端靠在墙面上的点 B处，底端落在水平地面的点A处.如果将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为B,且sia= =号那么梯子顶端上升了 m. 三、解答题 15.计算： -1-2+3tan301+(√2-1.41)°； （2)2cos30°-tan45°+- 2sin60° 2-c0s60° 河南专版数学九年级华师第2页共3页 专项5 16.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，sinM=号，BC=8,D是AB的中点，过点B作直线CD的垂线，垂 足为点E (1)求线段CD的长； (2)求cos∠ABE的值， 7.设题新角度综合与实践了中国文字博物馆主题馆门前屹立着高大的字坊.字坊取甲骨文、金文 中“字”之形，是中国文字博物馆的象征性建筑之一.某数学兴趣小组在学习了《解直角三角 形》之后，开展了一次测量字坊高度的课外实践活动.小明和小红分别设计了如下方案： 课题 测量字坊高度 测量者 小明 小红 测量示意图 & E B B 在点E处用距离地面高度 测量方案 在，点0处放一面镜子，当小红站在点D处刚好在镜子 为1.6m的测角仪EF测出 中看到字坊顶端A处，同时她还测得自己眼睛与地面 与测量数据 字坊顶端A的仰角α为55° 的距离CD=1.6m,DB=37m,∠DC0=61° sin55°≈0.82，c0s55°≈0.57， 参考数据 sin29°≈0.48，cos29°≈0.87，tan29°≈0.55 tan55°≈1.43 计算字坊高度 (1)数学老师看了他们的测量方案后说：“其中一名同学的测量方案存在问题，不能得到测量 结果.”你认为 (选填“小明”或“小红”)的测量方案存在问题，并提出修改建议 (2)请根据正确的测量方案计算字坊的高度.（结果精确到0.1m) 专项5 河南专版数学九年级华师第3页共3页 期末复习方略·攻专项 专项6 随机事件的概率 锁定期末高频考点，快速掌握 一、选择题（每小题只有一个正确选项） 1.跨学科语文了成语是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力.下列成语 描述的事件属于必然事件的是 ( A.水中捞月 B.空中楼阁 C.旭日东升 D.刻舟求剑 2.如图，转盘中四个扇形的面积都相等.小明随意转动转盘1次，指针指向的数字为偶数（若指 针指向分界线则重转)的概率为 ( ) 2 C. 3 4 4 D.S 6 第2题图 第3题图 3.〔平顶山市〕我国象棋文化历史久远.在图中所示的部分棋盘中，“马”的位置在“”（图中虚 线)的下方，“马”移动一次能够到达的所有位置已用“”标记，则“马”随机移动一次，到达的位 置在“”上方的概率是 () A写 B c 4.小颖有两顶帽子，分别为红色和黑色，有三条围巾，分别为红色、黑色和白色，她随机拿出一 顶帽子和一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是 () A B.o c 5.在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同.小明通过多次试验 发现，摸出红球的频率稳定在0.6左右，则估计袋子中红球的个数是 A.6个 B.8个 C.12个 D.15个 6.〔河南中考〕甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就.正面分 别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这四张卡 片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是 甲 甲 甲 骨文 骨 逆 骨 美 丽 山 河 1 1 1 A.12 b.6 C.A 0.2 河南专版数学 九年级 华师 第1页 共3页 专项6 7.不透明的盒子里装有除所标数字外完全相同的三个小球，球上分别标有数字-2,1,4，随机摸出一个小 球，其数字记为p,放回，再随机摸出一个小球，其数字记为g,则满足关于x的方程x2+px+g=0有实数 根的概率是 ( c D.g 8.跨学科物理了如图所示的电路图中，随机闭合开关S,S2,S,中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率 为 A.2 B. D. 2 3 C. 6 ③ ☒L 【②例 第8题图 第9题图 9.〔烟台模拟〕一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙两人等可能地坐到①，②，③中 的2个座位上.乙坐在②号座位的概率为P,甲与乙不是相邻而坐的概率为P2,则下列结论正确的是（) A.P=P2 B.2P1=P2 C.P>P2 D.P1+P2=1 二、填空题 10.〔沈阳模拟〕从1,3,5三个数中选取一个数作为x的值，使二次根式√6-2x有意义的概率为 11.中华优秀传统文化情境投壶投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏.下表记录了一组游戏参与者的 投壶结果.根据表中数据，估计这组游戏参与者投中的概率为 （结果精确到0.1) 投壶次数n 50 100 150 200 250 300 400 500 投中次数m 28 46 72 104 125 153 200 250 投中频率m 0.56 0.46 0.48 0.52 0.50 0.51 0.50 0.50 n 第11题图 第12题图 12.如图，已知等边三角形ABC的面积为1，D,E分别为AB,AC的中点，若向图中随机抛掷一枚飞镖，飞镖落 在阴影区域的概率是 (不考虑落在线上和落在△ABC外的情形) 13.〔朝霞原创〕一枚质地均匀的骰子六个面上分别刻有1到6的点数，掷两次骰子，得到向上一面的点数分 别为m,n,则点A(m,n)在正比例函数y=2x的图象上的概率是 三、解答题 14.设题新角度综合与实践了某班开展主题为“我爱河南”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文 学”“艺术”“科技”（分别记作A,B,C,D,E)五个研究方向，并采取小组合作的研究方式.同学们在五张完 全相同的不透明卡片的正面分别写上“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”，卡片背面保持完全相同 (1)将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为 专项6 河南专版数学九年级华师第2页共3页 (2)各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向.将这五张卡 片背面朝上洗匀后，小明代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀 后，小亮代表第二小组从中随机抽取一张.请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究 方向不同的概率. 弥 封 15.〔洛阳市〕为增强学生的爱国情感，某校组织全校学生参加了“爱国知识答题”活动，该校随机 线 抽取部分学生的答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A(优秀)，B(良好)，C(一般)， D(不合格)，并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图. 学生答题成绩条形统计图 学生答题成绩扇形统计图 小人数 20 A /D 内 16 1615 24%/14% 8 m 32% 01 ABCD等级 不 根据图中所给信息解答下列问题： (1)这次抽样调查共抽取 名学生，条形统计图中的m= (2)将条形统计图补充完整，并求出在扇形统计图中C等级所在扇形对应的圆心角的度数； (3)该校有1000名学生，估计该校学生答题成绩良好及以上的有多少名； 要 (4)答题成绩为A等级且表达能力较强的四名学生中有两名男生、两名女生，学校从中随机 抽出两名学生去做国家安全知识宣传员，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰 好都是男生的概率， 答 河南专版数学九年级华师第3页共3页∴.CE=6,符合题意 (3)BD的长为1. 【解析】如图②，设BD=x,过点B作BH∥AC 交CE于点H. C H A E D B 图② :CE平分LBCJ,∴.∠BCH=∠HCJ. .BH∥AJ,∠BHC=∠HCJ,△BHE△ACE. .∠BCH=∠BHC..BH=BC. BH BC BE AC =AC-AE = BC BD BE BD CD平分∠ACB,AC=ADAE=AD' 即3-x= 6 F3x=1.BD=1. 专项5解直角三角形 一、选择题 1.B2.D3.C4.A5.C6.B7.C 8.C【解析】设AB=x,则AC=2x.分两种 情况： ①若∠B=90°，则BC=√AC-AB2=√3x. eace=复- 2x 2 ②若LA=90°，则BC=√AC2+AB2=√5x. ∴.cosC= 4C-2x=25 BC√5x 5 综上所述.oC的值为号或25故选C 9.A【解析】如图，过点A作AC⊥x轴于点C,过 点B作BD⊥x轴于点D DOC ∴.∠AC0=∠BD0=90°..∠B0D+∠0BD=90° ,OA⊥OB,.∠B0D+∠AOC=90°..∠OBD= ∠A0C.△0BD~△A0C.tan∠BA0=OB OA , SAOBD= 0B)2 1 ×2= OA =3.S6oc=2 1,.SA0m=3 SAAOG=3.∴k=-6.故选A. 5 河南专版数学 二、填空题 10.7511.1712.(3√3-3) 13.√6+√2 4 14.2【解析】如图，根据题意可知，∠ACB=90°， BC 3 BC 3 AB=ED=10.sing=B105 0=6m8=品-房若-号 ∴.EC=6..在Rt△CDE中，CD= √ED2-EC=8.∴.BD=CD-BC=8-6= 2(m),即梯子顶端上升了2m. 面 D 梯子 梯子 1484B E 地面 三、解答题 15.獬：(1)原式=3--2+√31+1=3-(2- √3)+1=2+√3， 2原式=2×9-1+255 3 3 16.解：(1)：LACB=90,sinM=BC=4 AB=5 .BC=8,.AB=10. D是AB的中点，CD=B=5 (2)在Rt△ABC中，.AB=10,BC=8, ..AC=AB2 -BC2 =6. D是AB的中点，∴.BD=5,SABc=S△MDc 1 BC...BE=24 在Rt△BDE中，eos/ABE= 24 24 17.解：(1)小明 修改建议：在方案中加上“测量出测角仪与 字坊的距离BE”即可. (2)根据小红的测量方案计算. 设AB=xm.根据题意，得∠AOB=∠COD= 90°-∠DC0=29. 九年级华师 在Rt△AOB中，：tan∠AOB=AB OB' ∴.OB= AB tan/AOB m29“a5 在Rt△C0D中，：tan∠COD=CD D￥ CD 1.6 .∴.OD= 1.6 tan_C0Dtan29°≈ .55 .DB=37,DB=OB+OD, 05+0 1.6 =37..x=18.75≈18.8. 答：字坊的高度约为18.8m 专项6随机事件的概率 一、选择题 1.C2.A3.B4.B5.C6.B 7.C【解析】根据题意，画树状图表示出所有 可能出现的结果如下 不小个 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中 满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根 (即p2-4g≥0)的结果有6种.∴.P(满足关于 的方餐2+四+9=0有实能根)-日-号放 选C 8.D 9.A【解析】根据题意，画树状图表示出所有 可能出现的结果如下 甲 ② 乙②③①③①② 由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中 乙坐在②号座位的结果有2种，甲与乙不是 相邻而坐的结果有2种..乙坐在②号座位 的概率P=名甲与乙不是相邻面坐的 概率R=号-了R=R,放选A 二、填空题 0 1.0512 河南专版数学 【解析】根据题意可列表表示出所有可 能出现的结果如下 (m,n八m 1 2 3 4 6 1 (1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1) 9 (1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2) (1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3) 4 (1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4) 5 (1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5) 6 (1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6) 由上表可得共有36种等可能的结果，其中 点A(m,n)在正比例函数y=2x图象上的情 况有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3种..P(点A 在正比例函数y=2x的图象上)=362 31 三、解答题 14.解：(1号 (2)根据题意，画树状图表示出所有可能出 现的结果如下 小明 小亮ABCDEABCDEABCDEABCDEABCDE 由树状图可知，共有25种等可能的结果，其 中这两个小组研究方向不同的结果有20种， :P(两个小组研究方向不同)= 204 25=5 15.解：(1)507 【解析】由统计图可得，这次抽样调查共抽 取16÷32%=50（名），m=50×14%=7. (2)补充完整的条形统计图如图所示. 学生答题成绩条形统计图 人数 20 16 16H 1 12 8 4 04 A B CD等级 C等级所在扇形对应的圆心角的度数为 360°×1 0=108 (3)1000×(24%+32%)=1000×56%= 560(名). ∴.估计该校学生答题成绩良好及以上的有 560名. 九年级华师 6