专项4 图形的相似(二)-【王朝霞系列丛书】2025-2026学年九年级上册数学期末试卷精选（华东师大版2012 河南专版）

期末复习方略·攻专项 专项4 图形的相似（二） 锁定期末高频考点，快速掌握 一、选择题（每小题只有一个正确选项） 1.在比例尺为1：5000的地图上，量得甲、乙两地的距离为25cm,则甲、乙两地间的实际距离是 ) A.1250km B.125 km C.12.5km D.1.25km 2.〔平顶山市〕△MNP如图所示.下列四个三角形，与△MNP相似的是 75 A B D M 6 6 p75° 0 B 0 B 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 3.如图，透明胶片上有一平行四边形，该平行四边形的一顶点M的坐标为(0,1)，另一顶点N的 坐标为(3,3)，移动胶片，使点M移动至点N处，原来的点N移动至点P处，则点P的坐标为 ( A.(5,5) B.(5,6) C.(6,5) D.(6,6) 4.〔石家庄市〕带有刻度的直尺结合数轴作的图如图所示，已知图中的虚线相互平行，若点A与 直尺的5刻度线重合且在数轴上表示的数是-2，则点B在数轴上表示的数是 ( A.2 B.3 C.4 D.5 5.如图，在平面直角坐标系中，△0AB的顶点为0(0,0)，A(4,3),B(3,0).以点0为位似中心， 在第三象限内作与△OAB的相似比为3的位似图形△OCD,则点C的坐标为 A.(-1,-1) B.(-1) c1, D.(-2,-1) 6.如图，在四边形ABCD中，AB=CD,E,F,G分别是BC,AC,AD的中点.若∠EFG=130°，则 ∠EGF的度数为 ( A.20° B.259 C.30 D.359 7.甲说：“将三角形各边向内平移1个单位长度并适当缩短，得到如图1所示的图形，变化前后 的两个三角形相似.”乙说：“将矩形（长和宽不相等）各边向内平移1个单位长度并适当缩短， 河南专版数学九年级华师第1页共3页 专项4 得到如图2所示的图形，变化前后的两个矩形相似.”对于两人的观点，下列说法正确的是 A.两人都对 B.两人都不对 C.甲对，乙不对 D.甲不对，乙对 M …个1 图 图2 H DG E N B 第7题图 第8题图 第9题图 8.〔洛阳市〕如图，在△ABC中，BC=120,高AD=60,正方形EFGH一边在BC上，点E,F分别在AB,AC上， AD交EF于点N,则AN的长为 () A.15 B.20 C.25 D.30 9.〔济南市〕如图，点D为△ABC边AC上一点（可与，点A重合），已知AC=8,BC=10.以点B为圆心，适当长为半 径作弧，分别交AB,BC于点M,N;再以点D为圆心，BM的长为半径作弧，交AC于点P(点P在，点D下方)；最 后以点P为圆心，MN的长为半径作弧，两弧交于点Q,连结DQ并延长，交BC于点E.以下四个结论： ①☑c0E=∠B,②G-8C.③C的最大值为，④若D为C的中点，则<号其中正瑜的结论有 BA A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 10.C烟合〕如果登皆=异且+y+:=9,那么+y- 11.(平顶山市]如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则A0 AB E 160 B C 第11题图 第12题图 第13题图 12.〔平顶山市〕如图，等边三角形ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1,D为AC上一点.若∠APD=60°， 则CD的长是 13.如图所示，矩形ABCD的顶点A,B分别在x轴、y轴上，OA=OB=2,AD=4W2,将矩形ABCD绕点O按顺 时针方向每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点C的坐标为 三、解答题 14.如图，某学习小组开展测量学校旗杆高度的实践活动.他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实 地测量，测量报告如下 课题 测量旗杆AB的高度 测量工具 皮尺、标杆 说明：在水平地面上直立一根标 杆EF,观测者沿着直线BF后退 测量示意图 H 到点D,使眼睛C、标杆的顶端E、 B 旗杆的顶端A在同一条直线上， 专项4 河南专版数学 九年级 华师 第2页共3页 续表 观测者与标 观测者与旗 观测者的眼睛离 标杆EF的长 测量数据 杆的距离DF 杆的距离DB 地面的距离CD 2m 28m 2.8m 1.7m 问题解决 如图，过点C作CH⊥AB,交AB于点H,交EF于点G… 请根据以上测量结果及该小组的思路，求学校旗杆AB的高度. 弥 15.设题新角度综合与实践了九年级某学习小组以“角平分线的关联”为主题开展数学探究活动. 【问题探究】 线 如图1，CP为△ABC的角平分线，求证：PB=BC 甲同学的思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B作BD∥AC,交CP的延长线于，点D,利用“三角形 的相似”可证结论. 内 乙同学的思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点P分别作PD⊥AC于点D,PE⊥ BC于点E,利用“等面积法”也可证结论. 尊 丙同学认为甲、乙两位同学的思路均是正确的，同时丙还发现“如图1，P为△ABC的边AB上一点， 如果PA=AC PB-BC,那么CP是△ABC的角平分线”为真命题. 不 【问题解决】 (1)丙同学的发现正确吗？若正确，请予以证明；若不正确，请说明理由. (2)如图2，CP为△ABC的角平分线，DE垂直平分CP,垂足为D,交AB的延长线于点E,连结 要 CE.若AC=6,BC=4,PA=3,求CE的长 (3)如图3，CD为△ABC的角平分线，△ABC的外角平分线CE交AB的延长线于点E,且ED= AD=3,请直接写出BD的长. 答 D B 图 图2 图3 河南专版数学九年级华师第3页共3页 期末复习方略·攻专项 专项5 解直角三角形 锁定期末高频考点，快速掌握 一、选择题（每小题只有一个正确选项） 1.在△ABC中，∠C=90°，设∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.若b=c◆，则“◆”表示（ A.sinA B.sinB C.cosB D.tanA 2.在△ABC中，∠C=90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值 A.扩大为原来的2倍 B.缩小为原来的) C.扩大为原来的4倍D.不变 毁 3.按图中所示的运算程序，能使输出y值为)的是 是 y=sina 输入,B ≥B? 输出y值 线 内 否 y=cosB A.a=60°，B=45° B.a=30°，B=45° C.a=30°，B=30° D.x=45°，B=30 题 4.〔郑州市〕如图，在网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的三个顶点都在格点上，则taA 的值为 辐 A写 1 B. 2 C.5 D. 5 4 60° 301 A F B B 图1 图2 第4题图 第5题图 第6题图 第7题图 5.如图，水库大坝某段横截面迎水坡AB的坡度i=1:2坡度i= 铅垂高度BC 若坡高BC=20m, 水平长度AC 则坡面AB的长度约为（结果保留整数，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√5≈2.24）（ A.28m B.35m C.45m D.67m 6.〔哈尔滨市〕如图，某货船以24 n mile/h的速度从A处向正东方向的D处航行，在点A处测得 某岛C在北偏东60°的方向上.该货船航行30mi后到达B处，此时测得小岛C在北偏东 30°的方向上，则货船在航行中离小岛C的最短距离是 ( A.12 n mile B.6w√3 n mile C.123 n mile D.24v3 n mile 超 7.〔商丘模拟〕某校数学“综合与实践”小组的同学想要测量校园内文化长廊（如图1）的最高点到 地面的高度.图2是其测量示意图，五边形ABDEC关于直线EF对称，EF与AB,CD分别相交 于点F,G.测得AB=3m,CD=5m,∠ABD=135°，∠BDE=92°，则文化长廊的最高点离地面的 高度EF约为（结果保留一位小数，参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）( ) A.4.2m B.4.0m C.3.7m D.3.6m 河南专版数学九年级华师第1页共3页 8.在直角三角形ABC中，若2AB=AC,则cosC= A要 号 c.5或2y5 2 5 n9或5 9.〔开封市〕如图，已知第一象限内的点A在反比例函数)=2的图象上，第二象限内的点B在反比例函数 y=冬的图象上，且0A10B,an∠BA0=√3，则k的值为 A.-6 B.-2√3 B C.-3 D.-√3 二、填空题 10.已知△ABC的内角满足l√3tanA-3引l+lW2cosB-1I=0,则∠C= 度 1.如图，在△ABC中，∠C=90,BC=15,anl=点则AB- 墙面 梯子 B 6km 梯子 30> A@人B R 地面 第11题图 第12题图 第14题图 12.〔武汉市〕如图，一枚火箭从地面L处发射，当火箭到达点A时，从位于地面R处的雷达站观测得知AR的距 离是6km,仰角∠ARL=30°，又经过1s后火箭到达点B,此时测得仰角∠BRL=45°，则这枚火箭从A到 B的平均速度为 kmls(结果保留根号)： 13.已知sin(A+B)=sinA.cosB+cosA.sinB.例如：sin(30°+20°)=sin30°·cos20°+cos30°·sin20°.则 sin75°的值为 14.如图，某梯子长10m,斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为x时，梯子顶端靠在墙面上的点 B处，底端落在水平地面的点A处.如果将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为B,且sia= =号那么梯子顶端上升了 m. 三、解答题 15.计算： -1-2+3tan301+(√2-1.41)°； （2)2cos30°-tan45°+- 2sin60° 2-c0s60° 河南专版数学九年级华师第2页共3页 专项5 16.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，sinM=号，BC=8,D是AB的中点，过点B作直线CD的垂线，垂 足为点E (1)求线段CD的长； (2)求cos∠ABE的值， 7.设题新角度综合与实践了中国文字博物馆主题馆门前屹立着高大的字坊.字坊取甲骨文、金文 中“字”之形，是中国文字博物馆的象征性建筑之一.某数学兴趣小组在学习了《解直角三角 形》之后，开展了一次测量字坊高度的课外实践活动.小明和小红分别设计了如下方案： 课题 测量字坊高度 测量者 小明 小红 测量示意图 & E B B 在点E处用距离地面高度 测量方案 在，点0处放一面镜子，当小红站在点D处刚好在镜子 为1.6m的测角仪EF测出 中看到字坊顶端A处，同时她还测得自己眼睛与地面 与测量数据 字坊顶端A的仰角α为55° 的距离CD=1.6m,DB=37m,∠DC0=61° sin55°≈0.82，c0s55°≈0.57， 参考数据 sin29°≈0.48，cos29°≈0.87，tan29°≈0.55 tan55°≈1.43 计算字坊高度 (1)数学老师看了他们的测量方案后说：“其中一名同学的测量方案存在问题，不能得到测量 结果.”你认为 (选填“小明”或“小红”)的测量方案存在问题，并提出修改建议 (2)请根据正确的测量方案计算字坊的高度.（结果精确到0.1m) 专项5 河南专版数学九年级华师第3页共3页专项4图形的相似（二） 一、选择题 1.D2.A3.C4.C5.B6.B7.C 8.B【解析】设正方形EFGH的边长EF= EH=x.:四边形EFGH是正方形，∴.∠HEF= ∠EHG=90°，EF∥BC..△AEF△ABC. .AD是△ABC的高，.∠HDN=90°..四边 形EHDN是矩形..DN=EH=x.△AEF △MBc小=器a0=120,40=60, AN=60-x20=高0解得x=40 ∴.AN=60-x=20.故选B. 9.C【解析】由尺规作图步骤，得LCDE=∠B. ①正确.，∠C=∠C,∠CDE=∠B,∴△CED △CB8C-C②错误BC.D9dC BC :AC=8,BC=10,当DC的值最大时，EC 的值最大..当D与A重合时，EC最大，此时 DC=Ac=8,EC=是③正确，当D为4c 1 的中点时，DC=2AC=4.由尺规作图步骤，得 BM=DQ<DE.△CED-△CAB,DE AB 品音-号0←脂即<号④正 确..正确的结论有3个.故选C 二、填空题 10.111.2 2 12.号【解析】：△ABC为等边三角形，∠B= ∠C=60°.∠APD+∠DPC=∠B+∠BAP, P ∠BAP=∠DPC..△ABP△PCD.C GABG3.BP=1 .PC=2 AB 小记会0-子符合题意 13.(6,4)【解析】如图，过点C作CE⊥y轴于 点E,连结OC. .OA=OB=2,∴.∠AB0=∠BA0=45°. 河南专版数学 ∠ABC=90°，∴.∠CBE=45°.四边形 ABCD为矩形，BC=AD=42..CE= BE=4.∴.0E=OB+BE=6.∴.点C(-4,6). 矩形ABCD绕点O按顺时针方向旋转，每 次旋转90°，.第1次旋转结束时，点C的 坐标为(6,4)；第2次旋转结束时，点C的坐 标为(4，-6)；第3次旋转结束时，点C的坐标 为(-6，-4)；第4次旋转结束时，点C的坐标 为(-4,6)；…..点C的坐标以点(6,4)， (4,-6),（-6,-4),(-4,6)为一个循环组依 次循环..2025÷4=506…1，.第2025 次旋转结束时，点C的坐标为(6,4). 三、解答题 14.解：由题意，得CD=FG=BH=1.7m,CG= DF=2 m,CH DB=28 m..EF 2.8 m, .EG=EF-FG=1.1m..∠ECG=∠ACH, ∠CGE=∠CHA,.△CEG△CAH. 品胎即系品 CH AH' .AH=15.4m. ∴.AB=AH+BH=17.1m. 答：学校旗杆AB的高度为17.1m. 15.解：（1)正确. 证明：如图①，过点B作BD∥AC,与CP的延 长线交于点D. D 图① △PAC-APB0品路-C, ∴.BD=BC.∴.∠D=∠BCP BD∥AC,∴.∠D=∠ACP.∠BCP=∠ACP. .CP是△ABC的角平分线. （②)CP为△4CB的角平分线路-C ∠PCA=∠PCB.△ABC中，AC=6,BC=4, PM=3-异PB=2,符合感意0E 垂直平分CP,∴CE=PE..∠ECP=∠EPC. :'∠ECP=∠ECB+∠PCB,∠EPC=∠A+ ∠PCA,∴.∠ECB=∠A.:∠AEC=∠CEB, △MBc△cEa2%-品即9 4=CE-2 九年级华师 4 ∴.CE=6,符合题意 (3)BD的长为1. 【解析】如图②，设BD=x,过点B作BH∥AC 交CE于点H. C H A E D B 图② :CE平分LBCJ,∴.∠BCH=∠HCJ. .BH∥AJ,∠BHC=∠HCJ,△BHE△ACE. .∠BCH=∠BHC..BH=BC. BH BC BE AC =AC-AE = BC BD BE BD CD平分∠ACB,AC=ADAE=AD' 即3-x= 6 F3x=1.BD=1. 专项5解直角三角形 一、选择题 1.B2.D3.C4.A5.C6.B7.C 8.C【解析】设AB=x,则AC=2x.分两种 情况： ①若∠B=90°，则BC=√AC-AB2=√3x. eace=复- 2x 2 ②若LA=90°，则BC=√AC2+AB2=√5x. ∴.cosC= 4C-2x=25 BC√5x 5 综上所述.oC的值为号或25故选C 9.A【解析】如图，过点A作AC⊥x轴于点C,过 点B作BD⊥x轴于点D DOC ∴.∠AC0=∠BD0=90°..∠B0D+∠0BD=90° ,OA⊥OB,.∠B0D+∠AOC=90°..∠OBD= ∠A0C.△0BD~△A0C.tan∠BA0=OB OA , SAOBD= 0B)2 1 ×2= OA =3.S6oc=2 1,.SA0m=3 SAAOG=3.∴k=-6.故选A. 5 河南专版数学 二、填空题 10.7511.1712.(3√3-3) 13.√6+√2 4 14.2【解析】如图，根据题意可知，∠ACB=90°， BC 3 BC 3 AB=ED=10.sing=B105 0=6m8=品-房若-号 ∴.EC=6..在Rt△CDE中，CD= √ED2-EC=8.∴.BD=CD-BC=8-6= 2(m),即梯子顶端上升了2m. 面 D 梯子 梯子 1484B E 地面 三、解答题 15.獬：(1)原式=3--2+√31+1=3-(2- √3)+1=2+√3， 2原式=2×9-1+255 3 3 16.解：(1)：LACB=90,sinM=BC=4 AB=5 .BC=8,.AB=10. D是AB的中点，CD=B=5 (2)在Rt△ABC中，.AB=10,BC=8, ..AC=AB2 -BC2 =6. D是AB的中点，∴.BD=5,SABc=S△MDc 1 BC...BE=24 在Rt△BDE中，eos/ABE= 24 24 17.解：(1)小明 修改建议：在方案中加上“测量出测角仪与 字坊的距离BE”即可. (2)根据小红的测量方案计算. 设AB=xm.根据题意，得∠AOB=∠COD= 90°-∠DC0=29. 九年级华师