专项3 图形的相似(一)-【王朝霞系列丛书】2025-2026学年九年级上册数学期末试卷精选（华东师大版2012 河南专版）

期末复习方略·攻专项 专项3 图形的相似（一） 锁定期末高频考点，快速掌握 一、选择题（每小题只有一个正确选项） 1.〔鹤壁市)下列四组线段中，不是成比例线段的一组是 A.2 cm,3 cm,4 cm,6 cm B.1cm,√2cm,√3cm,W6cm C.1 cm,2 cm,3 cm,6 cm D.1 cm,2 cm,3 cm,5 cm 2.如图，在平坦的地面上，为测量池塘旁A,B两点间的距离，先确定一点O,分别取OA,OB的中 点C,D,量得CD=40m,则点A,B之间的距离是 ( 救 A.20m B.40m C.80m D.100m 线 >0 内 第2题图 第4题图 题 3.[郑州市〕在△ABC与△A,B,C中，有下列条件：①AB=BC A,B=B:②5C=AG B,C,4,C:③∠A=∠A量 辐 ④LC=∠C.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判定△ABC∽△A,B,C,的共有（) A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 4.如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O,且 0E3 EA =则四边形EFGH的 周长与四边形ABCD的周长的比值是 ( A经 B号 c D号 5.已知线段AB=10,点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC),则AC的长为 A.5√5-10 B.15-55 C.55-5 D.10-2√5 6.如图，四个三角形的顶点都在小正方形的格点上，下列两个三角形中相似的是 A.①④ B.①③ C.②③ D.②④ 3 缩小的 实像1 物体焦点F 焦点 B 第6题图 第7题图 班 7.跨学科物理凸透镜成像的原理如图所示，AD∥∥BC.若凸透镜左侧物体到左边焦点的距 离与该焦点到凸透镜中心线DB的距离之比为5：4，则物体的像是原来的 4 B.5 4 A.5 C. D. 5 9 河南专版数学九年级华师 第1页共3页 8.〔重庆市改编〕如图，四边形ABCD为平行四边形，AF,BE分别为∠DAB,∠CBA的平分线，且AD=2,AB=3, 则SAEFG:SAABF= D A.2:3 B.1:9 C.1:12 D.4:9 二、填空题 .深圳市)若号-号则2 10.〔南阳市]如图，直线AB∥CD,/EF.若AC=4,CE=3,则 BF的值是 A B D C E E D B Q 第10题图 第11题图 第12题图 11.〔南阳市〕某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架(EF)放在离树(AB)适 当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架(EF)上的点E处，然后观测者沿着直线BF后 退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A,再用皮尺分别测量BF,DF,EF的长，观测者的眼晴离地 面的距离(CD),利用测得的数据可以求出这棵树的高度.已知CD⊥BD于点D,EF⊥BD于点F,AB⊥BD于 点B,BF=6m,DF=2m,EF=0.5m,CD=1.7m,则这棵树的高度(AB的长)是m. 12.〔濮阳市〕如图，在△ABC中，AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动， 点Q从点B开始沿BC边向点C以2c/s的速度移动，连结PQ.如果点P,Q分别从点A,B同时出发， 那么经过 s时，以B,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似. 三、解答题 13.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,-1),B(3,3),C(1,-2). (1)把△ABC先向左平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度，画出平移后的△ABC1; (2)画出△ABC关于x轴对称的△A,B2C2; (3)在y轴左侧画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A,B,C3,使得△ABC与△A,B,C,的相似比为 2并写出△ABC各顶点的坐标。 河南专版数学九年级华师第2页共3页 专项3 14.〔长春市〕如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D. B (1)求证：AC=AB·AD; (2)如果BD=5,AC=6,求CD的长. D A 15.〔周口市〕问题发现 (1)如图1，已知正方形ABCD和正方形AEFG,连结CF,写出CF与DG之间的数量关系： 拓展探究 (2)将正方形AEFG绕点A顺时针旋转到图2所示的位置，连结DG,CF,试猜想CF与DG之间 的数量关系，并说明理由； 类比迁移 (3)如图3，已知菱形ABCD和菱形AEFG,∠DAB=60°，将菱形AEFG绕点A顺时针旋转 α(0°<≤60°)，连结DG,CF,请在备用图中画出草图，判断CF与DG之间的数量关系是否 随着α：的变化而变化，并说明理由 D G G B B 图1 图2 图3 备用图 专项3 河南专版数学九年级华师第3页共3页 期末复习方略·攻专项 专项4 图形的相似（二） 锁定期末高频考点，快速掌握 一、选择题（每小题只有一个正确选项） 1.在比例尺为1：5000的地图上，量得甲、乙两地的距离为25cm,则甲、乙两地间的实际距离是 ) A.1250km B.125 km C.12.5km D.1.25km 2.〔平顶山市〕△MNP如图所示.下列四个三角形，与△MNP相似的是 75 A B D M 6 6 p75° 0 B 0 B 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 3.如图，透明胶片上有一平行四边形，该平行四边形的一顶点M的坐标为(0,1)，另一顶点N的 坐标为(3,3)，移动胶片，使点M移动至点N处，原来的点N移动至点P处，则点P的坐标为 ( A.(5,5) B.(5,6) C.(6,5) D.(6,6) 4.〔石家庄市〕带有刻度的直尺结合数轴作的图如图所示，已知图中的虚线相互平行，若点A与 直尺的5刻度线重合且在数轴上表示的数是-2，则点B在数轴上表示的数是 ( A.2 B.3 C.4 D.5 5.如图，在平面直角坐标系中，△0AB的顶点为0(0,0)，A(4,3),B(3,0).以点0为位似中心， 在第三象限内作与△OAB的相似比为3的位似图形△OCD,则点C的坐标为 A.(-1,-1) B.(-1) c1, D.(-2,-1) 6.如图，在四边形ABCD中，AB=CD,E,F,G分别是BC,AC,AD的中点.若∠EFG=130°，则 ∠EGF的度数为 ( A.20° B.259 C.30 D.359 7.甲说：“将三角形各边向内平移1个单位长度并适当缩短，得到如图1所示的图形，变化前后 的两个三角形相似.”乙说：“将矩形（长和宽不相等）各边向内平移1个单位长度并适当缩短， 河南专版数学九年级华师第1页共3页 专项4 得到如图2所示的图形，变化前后的两个矩形相似.”对于两人的观点，下列说法正确的是 A.两人都对 B.两人都不对 C.甲对，乙不对 D.甲不对，乙对 M …个1 图 图2 H DG E N B 第7题图 第8题图 第9题图 8.〔洛阳市〕如图，在△ABC中，BC=120,高AD=60,正方形EFGH一边在BC上，点E,F分别在AB,AC上， AD交EF于点N,则AN的长为 () A.15 B.20 C.25 D.30 9.〔济南市〕如图，点D为△ABC边AC上一点（可与，点A重合），已知AC=8,BC=10.以点B为圆心，适当长为半 径作弧，分别交AB,BC于点M,N;再以点D为圆心，BM的长为半径作弧，交AC于点P(点P在，点D下方)；最 后以点P为圆心，MN的长为半径作弧，两弧交于点Q,连结DQ并延长，交BC于点E.以下四个结论： ①☑c0E=∠B,②G-8C.③C的最大值为，④若D为C的中点，则<号其中正瑜的结论有 BA A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 10.C烟合〕如果登皆=异且+y+:=9,那么+y- 11.(平顶山市]如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则A0 AB E 160 B C 第11题图 第12题图 第13题图 12.〔平顶山市〕如图，等边三角形ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1,D为AC上一点.若∠APD=60°， 则CD的长是 13.如图所示，矩形ABCD的顶点A,B分别在x轴、y轴上，OA=OB=2,AD=4W2,将矩形ABCD绕点O按顺 时针方向每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点C的坐标为 三、解答题 14.如图，某学习小组开展测量学校旗杆高度的实践活动.他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实 地测量，测量报告如下 课题 测量旗杆AB的高度 测量工具 皮尺、标杆 说明：在水平地面上直立一根标 杆EF,观测者沿着直线BF后退 测量示意图 H 到点D,使眼睛C、标杆的顶端E、 B 旗杆的顶端A在同一条直线上， 专项4 河南专版数学 九年级 华师 第2页共3页 续表 观测者与标 观测者与旗 观测者的眼睛离 标杆EF的长 测量数据 杆的距离DF 杆的距离DB 地面的距离CD 2m 28m 2.8m 1.7m 问题解决 如图，过点C作CH⊥AB,交AB于点H,交EF于点G… 请根据以上测量结果及该小组的思路，求学校旗杆AB的高度. 弥 15.设题新角度综合与实践了九年级某学习小组以“角平分线的关联”为主题开展数学探究活动. 【问题探究】 线 如图1，CP为△ABC的角平分线，求证：PB=BC 甲同学的思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B作BD∥AC,交CP的延长线于，点D,利用“三角形 的相似”可证结论. 内 乙同学的思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点P分别作PD⊥AC于点D,PE⊥ BC于点E,利用“等面积法”也可证结论. 尊 丙同学认为甲、乙两位同学的思路均是正确的，同时丙还发现“如图1，P为△ABC的边AB上一点， 如果PA=AC PB-BC,那么CP是△ABC的角平分线”为真命题. 不 【问题解决】 (1)丙同学的发现正确吗？若正确，请予以证明；若不正确，请说明理由. (2)如图2，CP为△ABC的角平分线，DE垂直平分CP,垂足为D,交AB的延长线于点E,连结 要 CE.若AC=6,BC=4,PA=3,求CE的长 (3)如图3，CD为△ABC的角平分线，△ABC的外角平分线CE交AB的延长线于点E,且ED= AD=3,请直接写出BD的长. 答 D B 图 图2 图3 河南专版数学九年级华师第3页共3页专项2一元二次方程 一、选择题 1.C2.C3.C4.B5.A6.A 7.B【解析】一元二次方程a(x+m)2+n= 0(a≠0)的两根分别为x1=-3,x2=1,.方程 a(x+m-2)2+n=0(a≠0)中x-2=-3或x -2=1.∴.x1=-1,x2=3.故选B. 8.A【解析】x2+mx-n=0,∴.x(x+m)=n. .小明构造的图形中长方形的长为x+m、宽 为x.大正方形的边长为x+m+x=2x+m, 小正方形的边长为m.,大正方形的面积为 12,小正方形的面积为4，.大正方形的边长 为√12=2W3,小正方形的边长为√4=2， 即2x+m=2W3,m=2.x=2√3-2_ √3-1，即方程的正数解为√3-1.故选A. 二、填空题 9.x2+2x=0(答案不唯一)10.-9 11.202312.③ 13.19【解析】设这个最小数为x,则另外三个 数分别为x+1,x+7,x+8.根据题意，得 x(x+8)=513.解得x1=19,x2=-27(舍去). .这个最小数为19. 三、解答题 14.解：(1)a=2,b=-5,c=1. 4=b2-4ac=(-5)2-4×2×1=17 -b±√B-4ae-5±V7 2a 2×2 5±√1 ,即=5+√7 6=5I7 4 4 4 (2)移项，得3(x-5)2-4(5-x)=0.因式分 解，得(x-5)(3x-11)=0.于是得x-5= 0,或3x11=0.∴x=5,x2=2 15.解：0)证明4=-2k+1DP-4×46-习》 42-12k+9=(2k-3)2≥0， .无论取何值，此方程总有实数根， (2)分两种情况：①当b=c时，(2k-3)2=0, 3 解得k,==2 ∴.原方程为x2-4x+4=0,解得x1=x2=2. .2+2=4,不符合三角形三边关系，∴.此种 情况不成立. ②当a=b=4或a=c=4时，把x=4代入方程， 河南专版数学 得16-4(2k+1)+4k-引=0解得长=号 .原方程为x2-6x+8=0.解得x1=4,x2=2 .这个等腰三角形的三边长分别为4,4,2， 能组成三角形. .等腰三角形的周长为4+4+2=10. 综上所述，这个等腰三角形的周长是10. 16.解：(1)设7月份到9月份制作泥塑数量的月 平均增长率为x 根据题意，得1000(1+x)2=1440. 解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(舍去). 答：7月份到9月份制作泥塑数量的月平均 增长率为20%. (2)设该泥塑的售价应定为y元/件， 根据题意，得[400-10(y-40)](y-30)= 6000. 解得y1=50,y2=60. ·要尽可能让顾客得到实惠，y=50, 答：该泥塑的售价应定为50元/件， 17.解：(1)设剪去的小正方形的边长为xcm. 根据题意，得(100-2x)(40-2x)=1600. 解得x1=10,x2=60(舍去). 答：剪去的小正方形的边长为10cm. (2)①设收纳盒的高为acm,则收纳盒底面 的长为1022cm,宽为40-2a)cm 根据题意，得100,2a(40-2a）=608, 2 解得1=12,2=58（舍去）. 答：收纳盒的高为12cm. ②不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒， 专项3图形的相似（一） 一、选择题 1.D2.C3.C4.D5.C6.B7.A 8.C【解析】四边形ABCD是平行四边形， .∴.AB∥CD,AD=BC=2,AB=CD=3.∴∠DFA= ∠FAB..AF平分∠DAB,∠DAF=∠FAB. ∴.∠DAF=∠DFA.∴.DF=AD=2.同理，可得 CE =2...EF=DF CE CD =1..EGF ∠4G,△BF6△BMGg-名-号 S△Mc+SARGF,.S△ErG:SAABF=1:12.故选C. 九年级华师 二、填空题 9.0 10. 11.4.1【解析】过点E作水平线交AB于点G, 交CD于点H,如图 G B ·CD⊥BD,EF⊥BD,AB⊥BD,∴.DH=EF= GB=0.5 m,EH DF=2 m,EG=BF =6 m. .CH=CD-DH=1.2m.根据题意，得 ∠CHE=∠AGE=90°，∠CEH=∠AEG. △cmE△AGE光=器即是-名 ∴.AG=3.6m,符合题意..AB=AG+GB= 4.1m. 12.5或2【解析】设经过ts时，以B,P,Q为顶 点的三角形与△ABC相似.根据题意，得 AP =t cm,BO 2t cm..AB=10 cm, .BP=(10-t)cm.分两种情况： ①当△PBQ-△ABC时，则BP=B2 AB BC 即190 .解得t=5, ②当△QBP△ABC时，则B0=BP AB BC 即品100兰解得1=2 综上所述，经过5s或2s时，以B,P,Q为顶 点的三角形与△ABC相似. 三、解答题 13.解：(1)△AB,C1如图所示. (2)△A,B,C2如图所示 (3)△A,B,C如图所示. 点A(-6,2),点B(-6,-6),点C3(-2,4). 14.解：(1)证明：CD⊥AB, ∴.∠ADC=∠ACB=90°. 3 河南专版数学 .'∠DAC=∠CAB, .△ACD△ABC. ACAD ·AB=AC ∴.AC=AB·AD. (2).AC2=AB-AD, .62=(AD+5)AD .AD>0,.AD=4 在Rt△ADC中，CD=√AC2-AD2=2√5. 15.解：(1)CF=√2DG (2)CF=√2DG.理由：连结AC,AF ,:四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形， .∠DAC=∠GAF=45°， ∠ADC=∠AGF=90°. =AF=2 LCAF=∠DAG,AD-AG .△ACF△ADG. CF AF DGAG =√2， 即CF=√2DG. (3)如图所示. B CF与DG之间的数量关系不变. 理由：连结AC,BD交于点O,连结AF :四边形ABCD和四边形AEFG均为菱形， 二LDAC=LGAF=2DAB=30°，ACLBD A0=C0. 将菱形AEFG绕点A顺时针旋转a, 则∠DAG=∠CAF. 在Rt△AD0中， =COSLDAC=3 AC 同理，得 AG =√3 6 3. .∴.△ACF△ADG. CF AF DC-AG =3,即CF=√3DG. .CF与DG之间的数量关系不变. 九年级华师