专项10 全等三角形的综合探究-【王朝霞系列丛书】2025-2026学年新教材八年级上册数学期末试卷精选（华东师大版 河南专版）

期末复习第2步·攻专项 专项10 全等三角形的综合探究 根据新教材编写 满分：30分得分： 编者按：本专项结合当地期末考情，针对全等三角形中探究线段之间的关系这一高频考法精准 设题，帮助学生集中突破期末高频难点 1.设题新角度过程性学习了(8分)某数学兴趣小组学习了尺规作图和等腰三角形以后，研究 下面问题.如图，E是等边三角形ABC边CA延长线上的一点，进行如下操作： 第一步：以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC,AB于点M,N; 第二步：以点E为圆心，AM的长为半径画弧，交EA于点P,再以点P为圆心，MN的长为半 径画弧，两弧交于点Q: 第三步：作射线EQ,交CB的延长线于点F. (1)填空：图1中∠PEQ与∠CAB的大小关系是 ,依据是 (2)判断△EFC的形状，并说明理由； (3)如图2，延长AB到点D,连结FD,CD,使FD=CD,请直接写出AD,EF,BC之间的数量 关系 E N XM 图1 图2 期末复习第2步 ·攻专 2.〔开封市〕(10分)问题初探 (1)在数学社团活动中，李老师给同学们出了这样一道题： 如图1，在△ABC中，高BD,CE交于点F,且BD=CD,试说明FC和AB有怎样的数量关系 小明经过思考，说出了他的方法：根据已知条件，易证△ABD≌△FCD,从而得出FC=AB. 小明证明△ABD≌△FCD的依据可能是 (填序号) ①SSS ②ASA ③HL ④SAS 引导发现 (2)李老师看同学们的兴致很高，又出了一道题： 如图2，在△ABC中，AB=AC,∠A=90°，CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足E在CD的延长线上」 ①填空：∠ABE= ②判断线段BE与CD的数量关系，并写出证明过程 河南专版数学八年级上册华师 31 拓展延伸 (3)在△ABC中，AB=AC,∠A=90°，如图3，点D在线段BC上，BE⊥ED于点E,DE交AB于 点F,且∠ABE=∠EDB,请直接写出BE和FD的数量关系， 图 1 图2 图3 3.设题新角度综合与实践了(12分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将Rt△ABC沿着斜边 AB翻折得到Rt△ABD,M,N分别是射线AC和射线DA上的点，且∠MBN=∠CBD, 【初步探索】 (1)如图1，点M,N分别在线段AC和线段DA上，试探究线段MN,CM,DN之间的数量关系 小明同学探究此问题的思路：延长AD至点E,使得DE=CM,连结BE,先证明△MCB≌△EDB, 期末复习 再证明△MBW≌△EBN,即可得到线段MN,CM,DN之间的数量关系 请依照小明的思路，写出探究过程， 【探索延伸】 2步 (2)如图2，点M,N分别在线段AC,DA的延长线上，(1)中的结论还成立吗？若成立，请给 予证明；若不成立，请猜想线段MN,CM,DN之间新的数量关系，并说明理由. 【灵活运用】 项 (3)在R△ABC中，若BC=3,AC=4,AD=AN,请直接写出△AMN的周长。 M 图1 图2 32 河南专版数学八年级上册华师专项9全等三角形的运用与证明 1.解：(1)选择①AB=BC. (1分) 证明：BE平分LABC,.∠ABE=∠CBE. BD=BD,AB=BC,.△ABD≌△CBD. (4分) [或选择②LA=LC (1分) 证明：BE平分LABC,∴∠ABE=∠CBE BD=BD,∠A=∠C,△ABD≌△CBD. (4分刀 (2AC40ABE-AC=20 ∠A=30°，∴∠ADE=∠A+∠ABE=50° △ABD≌△CBD,∴.LADB=∠CDB. .∠ADE=∠CDE=50°. .∴.∠ADC=∠ADE+∠CDE=100° (8分) 2.解：(1)所作图形如图所示 (3分) 0 B (2)PB线段垂直平分线上的点到线段两端的距 离相等∠PAB等边对等角 (7分) 3.解：(1)证明：AB∥DE,A,C,D三点共线， .∴.∠BAC=∠D ∠B=∠DCE=90°，AC=DE, .△ABC≌△DCE. (4分) (2)设△ADE的边DE上的高为h. ∠B=90°，BC=5,AB=12, .DE=AC=√BC2+AB2=13. (5分) '△ABC≌△DCE, ..BC=CE=5,AB DC=12. ∴.AD=AC+DC=25 ∠DCE=90°，∴.CE⊥AD -DE.h=AD+CE. 1 ∴2×13h=2×25×5, 解得h=125 13 一△ADE的边DE上的商是罗 (8分) 河南专版数学 4.解：(1)证明：.EF∥AD, ∴.∠BAD=∠PFA,∠CAD=∠P. (2分) .·AD平分∠BAC,.∠BAD=∠CAD. .LPFA=∠P ∴AF=AP,即△APF是等腰三角形. (4分) (2)AB=PC. (5分) 证明：.CH∥AB,.∠B=∠BCH,∠BAD=∠H. EF∥AD,∠BAD=∠BFE. ∴.∠BFE=∠H. .BE=CD,.△BEF≌△CDH. ∴.BF=CH. (7分) 由(1)知LBAD=∠CAD,AF=AP. ∴∠CAD=∠H. ∴.AC=CH..AC=BF .AB=AF+BF,PC=AP+AC, ∴.AB=PC. (9分) 5.解：(1)BC (2分) (2)30m (4分) (3)可行. (5分) 证明：根据题意，得B0=C0,∠AB0=∠DC0= 90°.∠A0B=∠C0D,∴.△AB0≌△DC0. ..AB CD. (8分) 专项10全等三角形的综合探究 1.解：(1)∠PEQ=∠CAB全等三角形的对应角相等 (2分) (2)△EFC是等边三角形 (3分) 理由如下：：△ABC是等边三角形， ∴.LC=∠CAB=60°. 根据作图步骤知LPEQ=∠CAB.∴.∠PEQ=60°. ∴.LEFC=180°-∠C-∠PEQ=60°. ∴.△EFC是等边三角形， (5分) (3)EF=BC+AD. (8分) 【解析】连结ED :△EFC是等边三角形，∴.EF=EC. .点E在线段FC的垂直平分线上 FD=CD,.点D在线段FC的垂直平分线上. 、年级上册华师 8 ∴.ED垂直平分FC..∠FED=∠CED. '∠CEF=∠BAC,.AD∥EF ∴.∠FED=LADE.∴.∠CED=LADE. ..AE=AD. :△ABC是等边三角形，.AC=BC .EC=AC+AE,.EC=BC+AD. ..EF=BC+AD. 2.解：(1)② (1分) (2)①22.5 (2分) ②BE=cD, (3分) 证明：延长BE交CA的延长线于点M. BE⊥CD,∴.∠BEC=∠MEC=90°. LBAC=90°，.∠BAM=90° ∠BDE=∠ADC,∴.LABM=∠ACD. .'AB=AC,∠BAM=∠BAC, .△ABM≌△ACD..BM=CD. (5分) :CD平分LACB,.∠BCE=∠ACE. 'LBEC=∠MEC,CE=CE, .△BCE≌△MCE.∴.BE=ME. 1 BE=2BM=2CD. (8分) (n-jrn (10分) 【解析】如图，过点D作DG∥AC,交BE的延长线于 点G,与AF相交于点H. .AB=AC,∠A=90°， .∴.∠C=∠ABC=45° DG∥AC, .∠GDB=∠C=45°，∠BHD=∠A=90° .∠BHG=∠BHD=90°，∠ABC=∠GDB=45°. .BH=DH BE⊥ED,∴.∠BED=90°. .'∠EFB=∠HFD 9 河南专版数学 八 ,LEBF=∠HDF..△HBG≌△HDF. ∴BG=FD. ∠ABE=∠EDB, ∠EDB=LBDG=BDG :∠BED=∠GED=90°，DE=DE, .△BDE≌△GDE. 六BE=EG.BE=2BG=2FD. 3.解：(1)延长AD至点E,使得DE=CM,连结BE. 根据折叠的性质，得BC=BD,∠C=∠ADB=90° ∴.LC=∠BDE=90°. CM=DE,∴.△BCM≌△BDE. .∠CBM=∠DBE,BM=BE ∠MBN=CBD,LMBN=MBE. .∴∠MBN=∠NBE. .BN=BN,.△MBW≌△EBN..MN=EN. ∴.MN=DN+DE=DN+CM. (4分) (2)不成立.MW=DN-CM. (6分) 理由：在AD上截取DH,使得DH=CM,连结BH. 根据折叠的性质，得BC=BD,∠ACB=∠ADB=90°. .∠BCM=∠BDH=90°. ·.CM=DH,∴.△BCM≌△BDH, .∠CBM=∠DBH,BM=BH. (8分) ∠MBN-CB, 1 ∴∠MBN=2∠MBH.∴∠MBN=∠NBH, :BN=BN,∴.△MBN≌△HBN.∴.MN=HN. .·.MN=DN-DH=DN-CM. (10分) (38或0 (12分) 【解折】：AD=AC=4MD-多WAN 3 根据题意，分两种情况：①当点N在线段AD上时， 与(1)同理可得MN=CM+DN. .△AMN的周长为AM+AN+MW=AM+AN+ CM+DN=AC+AD=8. 年级上册华师 ②当点N在线段DA的延长线上时，与(2)同理可 得MN=DN-CM, ∴.△AMN的周长为AM+AN+MW=AM+AN+ DN-CM=AC+AD+2AN=40 综上所述，△AMN的周长为8或40. 3 期末复习第3步·练真题 试卷1南阳市 一、选择题 1.A2.C3.C4.A5.D6.B7.D8.B 9.D【解析】AE=AC,BC=BD,∠AEC=∠ACE, ∠BCD=∠BDC.∠BDC+∠AEC+∠DCE=180°， ∠DCE=40°，∴.∠BDC+∠AEC=140°.∴.∠ACB= ∠ACE+∠BCD-∠DCE=∠AEC+∠BDC- ∠DCE=100°.故选D. 10.D解析】由第1个图的作图痕迹可知，射线OP 为∠AOB的平分线.由第2个图的作图痕迹可知， OC=OD..OP垂直平分CD..∠C0P=∠DOP. ∴射线OP为∠AOB的平分线. 由第3个图的作图痕迹可知，OA=OB,OC=OD. ∴.OA-OC=OB-OD,即AC=BD.∠AOB= ∠AOB,.△OAD≌△OBC..∠OAD=∠OBC. .∠APC=∠BPD,.△APC≌△BPD..AP=BP. OP=OP,∴.△OAP≌△OBP..∠AOP=∠BOP. .射线OP为∠AOB的平分线.由第4个图的作图 痕迹可知，∠ACP=∠AOB,CO=CP.∴.CP∥OB, ∠COP=∠CPO..∠CP0=∠BOP..∠COP= ∠BOP.∴.射线OP为∠AOB的平分线.由第5个图 的作图痕迹可知，OA=OB,作OA,OB的垂直平 分线，如图. B .0C=OD,∠0CE=∠0DE=90°..0E=0E, .Rt△OCE≌Rt△ODE..∠AOP=∠BOP.∴射线 OP为LAOB的平分线.综上所述，射线OP为 ∠AOB的平分线的有5个.故选D. 河南专版数学 二、填空题 11.两直线平行，内错角相等（答案不唯一） 12.2 13.18 14.84【解析】过点A作AD⊥BC于点D. 设BD=x里，则CD=(14-x)里. .AD2=AB2-BD2 AC2-CD2, .132-x2=152-(14-x)2..x=5. .BD=5里..AD=√AB2-BD2=12里. S6=8C~AD=分×14×12=84（平方里. 15.√34026 【解析】：点C是AB的中点，AB=24cm,.AC= 12.cm. 根据题意，最有可能的三种情况如下：①如图① DC=√AD2+AC2=√(8+6)2+122=√340(cm). ②如图②.DC=√(8+12)2+62=√436(cm). ③如图③.DC=√/(6+12)2+82=√388(cm). (单位：cm) (单位：cm) B D86 A (单位：cm） C 12 8A12C C B A D B 8 图① 图② 图③ √340<√388<√436，∴最短路程是√340cm. 如图④，连结AP,BP.:PF=8cm,BF=6cm, ∠BFP=90°，.BP=√PF2+BF2=10cm.AB =24cm,∠ABP=90°，.AP=√AB2+BP2=26cm. ∴.此长方体盒子内能容下一根最大长度是26cm 的木棒 图④ 、年级上册华师 10