专项4 等腰三角形、命题、定理-【王朝霞系列丛书】2025-2026学年新教材八年级上册数学期末试卷精选（华东师大版 河南专版）

期末复习第2步·攻专项 专项4等腰三角形、命题、定理 根据新教材编写 满分：60分得分： 编者按：本专项按章节知识精心规划复习，通过深挖期末高频考点，稳步筑牢知识根基， 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.〔广州市〕图2是某钢架屋顶（图1）的外框示意图，其中AB=AC,BC是横梁，AD是竖梁.在 焊接竖梁AD时，只需要找到BC的中点D,就可以保证竖梁AD与横梁BC垂直，这样操作 的数学依据是 ( A.三角形具有稳定性 B.等腰三角形的三线合一 C.垂线段最短 D.等边对等角 D D 图1 图2 图1 图2 第1题图 第2题图 2.跨学科化学了图1是实验室利用过滤法除杂的装置图，图2是其简化示意图，在图2中， 若AB∥CD,AC∥0D,0D=0C,∠BAC=50°，则∠D0C的度数为 () 期末复习第 A.50° B.60 C.70° D.80° 3.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D,E为AB的中点.若AB=12, 2步 CD=3,则△DBE的面积为 () A.10 B.12 C.9 D.6 A 项 ① A E 第3题图 第4题图 第5题图 4.如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC长为半径作弧交BC于点D,连结AD,再分别以点B, D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧分别交于M,N,连结MN,交AB于点E,连结DE. 已知△ADE的周长为13，AC=5,则AB的长为 ( A.7 B.8 C.9 D.10 5.〔沈阳市〕如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E,F分别是边BC上的三等分点，分别过 点E,F沿着平行于BA,CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是 ( A.2 B.4 C.6 D.8 16 河南专版数学八年级上册华师 6.下列命题的逆命题是真命题的是 A.三个角都相等的三角形是等边三角形 B.对顶角相等 C.等腰三角形的底角一定是锐角 D.两个等腰直角三角形一定全等 7.〔洛阳市改编)〕如图，在等边三角形ABC中，AC=9,点0在AC上，且AO=3,点P是AB上 一动点，连结OP,将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD.要使点D恰好落在 BC上，则AP的长是 ) A.12 B.9 C.6 D.3 C B 0→PB 第7题图 第8题图 8.如图，∠B0C=60°，A是直线B0上一点，OA=12cm,动点P从点A出发沿AB以2cm/s的 速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动.如果点P,Q同时出发，当△OPQ 是等腰三角形时，移动的时间是 A.4s B.12s C.4s或12s D.6s或12s 二、填空题（每小题3分，共9分） 9.把命题“等腰三角形两底角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为 10.如图，∠ABC,∠ACB的平分线相交于点F,过点F作DE∥ BC,交AB于点D,交AC于点E,BD=3cm,EC=2cm,则 DE= cm. 期末复习第2步 11.〔西安市〕如图，在△ABC中，AB=2.5,AC=6,BC=6.5,EF 垂直平分AC,点P为直线EF上一动点，连结AP,BP,则 ·攻专 △ABP周长的最小值是 三、解答题（共27分） 12.(8分)如图，在△ABC中，∠B=∠C (1)作图：在AC上有一点D,连结BD,并在BD的延长线上取点E,使AE=AB,连结AE,作 ∠EAC的平分线交DE于点F,连结CF(用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)； (2)在(1)的条件下，求证：∠ABF=∠ACF 河南专版数学八年级上册华师 13.〔商水县〕(8分)如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,且 BE=CF. (1)求证：∠B=∠C; (2)连结AD,求证：AD⊥BC. E D 14.设题新角度综合与实践了(11分)在综合与实践课上，同学们以“折叠等边三角形纸片”为 主题开展探究 实验操作：如图，已知等边三角形纸片ABC中，点D,E分别是AB,AC边上的点，连结 DE,将△ADE沿DE折叠得到△A'DE,连结A'B与A'C. 【初步探究】(1)如图1，当折痕DE∥BC,且点A'恰好落在BC边上时，求证：△A'BD是等边 期末复习第 三角形. (2)如图2，当折痕DE∥BC,且点A'落在△ABC内部时，求证：△A'BD≌△A'CE. 【深入探究】(3)当折痕DE与BC不平行，且△A'BD是等腰直角三角形时，请直接写出 2步 ∠ADE的度数 攻专项 图1 图2 备用图 18 河南专版数学八年级上册华师8.D【解析】根据题意，得OB=√7,0A=4. ,∠B0M=∠MAN=90°，.分两种情况： ①当△OBM≌△AMN时，OB=AM=√7. .0M=0A-AM=4-√7 .点M表示的数为4-√7 ②当△OBM≌△ANM时，OM=AM. 0A=4,.0M=2..点M表示的数为2. 综上所述，点M表示的数为2或4-√7.故选D. 二、填空题 9.∠B=∠E(或AC=DF) 10.180° 11.27°，81°或72°【解析】如图. D D, LECA=36°，CELAB,.∠EAC=90°-∠ECA= 54°，∠BAC=90°+∠ECA=126°..∠ABC= LACB=(10°-∠BMC)=27. 当△ABC与△ACD全等时，分三种情况： ①当点D在点D1处时，∠CAD,=∠ABC=27°. ∴.∠DAE=∠EAC-∠CAD1=27°. ②当点D在点D2处时，∠CAD2=∠ABC=27°. .∠D2AE=∠EAC+LCAD2=81° ③当点D在点D,处时，∠CAD3=∠BAC=126. ∴.∠D3AE=∠CAD3-∠EAC=72. 综上所述，∠DAE的度数为27°，81°或72. 三、解答题 12.解：△BAD≌△CED, ..AB EC,AD ED. (3分) .AB=10,AC=14, ∴.EC=10,ED+DC=AD+DC=AC=14.(5分) .△CED的周长为ED+DC+EC=14+10 =24. (8分) 3 河南专版数学 13.解：(1)30 (3分) (2)理由：∠DCB=100°，∠ADC=65°， .∠A=180°-∠DCB-∠ADC=15°. ∠E=15°，.∠A=∠E. '∠ACD=∠ECB,BC=CD, .△ACD≌△ECB. (6分) .AC=CE.∴.AC-BC=CE-CD,即AB=DE. .测得DE的长就是A,B两点间的距离.(9分) 14.解：(1)证明：∠B+∠C=180°，∠C=90°， ,∠B=90° AD平分∠BAC,.BD=CD. (3分) (2)成立 (4分) 证明：在线段AB上截取AF=AC,连结DF,如图 ①.AD平分LBAC, .∠DAC=∠BAD..·AD=AD,.∴.△ACD≌△AFD .∠C=∠AFD,CD=FD ∠B+∠C=180°，∠AFD+∠DFB=180°， ∠B=∠DFB.∴FD=BD.∴.BD=CD.(6分) D B 图① 图② (3)在线段AB上截取AF=AC=2,连结DF,如图②， 与(2)同理，得FD=BD. DE⊥AB,BE=3,∴.EF=BE=3. ..AB=AF+EF+BE=8 (8分) 0EL18,am0:DE=24, 即2×8DE=24.DE=6. (10分) 专项4等腰三角形、命题、定理 一、选择题 1.B2.D3.C4.B5.C6.A 7.C【解析】由题意可得，0D=OP,∠P0D=60°. :△ABC为等边三角形，∠A=∠C=60°.若点 D在BC上，如图.，∠1+∠2+∠A=180°，∠1+ 年级上册华师 ∠3+∠P0D=180°，.∠1+∠2=120°，∠1+ ∠3=120°..∠2=∠3.0P=0D,△A0P≌ △CD0.∴.AP=CO..'AC=9,A0=3,∴.AP=C0= AC-A0=6.故选C. 8.C【解析】设点P,Q的运动时间为ts.根据题意， 得OQ=tcm,AP=2tcm.当△OPQ为等腰三角形 时，分两种情况： ①当点P在线段OA上时，，OA=12cm, ∴.0P=0A-AP=(12-2t)cm. ∠B0C=60°， .∠A0C=180°-∠B0C=120°. .若△OPQ是等腰三角形，则0P=OQ. ∴.12-2t=t.解得t=4. ②当点P在0B上时，0P=AP-OA=(2t-12)cm .∠B0C=60°， ∴.若△OPQ是等腰三角形，则△0PQ是等边三角形， .0P=0Q. .2t-12=t.解得t=12. 综上所述，当△OPQ是等腰三角形时，移动的时间 是4s或12s.故选C. 二、填空题 9.如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形 的两底角相等 10.5 11.9【解析】连结CP.EF垂直平分AC,AP= CP.:CAAB即=AB+AP+BP=AB+CP+BP≥ AB+BC,AB为定长，.当点P在BC上时，△ABP 周长最小，为AB+BC的长.：AB=2.5,BC= 6.5,.△APB周长的最小值为AB+BC=9. 河南专版数学 三、解答题 12.解：(1)如图所示. (4分) (2)证明：∠ABC=∠ACB,.AB=AC AE=AB,∴.∠ABF=∠AEF,AE=AC :AF平分LEAC, .∠EAF=∠CAF. (6分) .AF=AF, .△AEF≌△ACF. :.∠AEF=∠ACF..∴.∠ABF=∠ACF (8分) 13.证明：(1)D是BC的中点，.BD=CD.(2分) DE⊥AB,DFLAC,.∠BED=∠CFD=90°. BE=CF,∴.Rt△BDE≌Rt△CDF. ∴.LB=LC. (4分) (2)∠B=LC,∴.AB=AC ∴.△ABC是等腰三角形. (6分) D是BC的中点， .AD⊥BC. (8分) 14.解：(1)证明：△ABC是等边三角形， .∠A=LB=∠C=60° DE∥BC,.∠ADE=∠B=60 根据折叠的性质，得∠ADE=∠A'DE=60° ∠BDA'=180°-∠ADE-∠A'DE=60. .∠BA'D=180°-∠B-∠BDA'=60° .△A'BD是等边三角形. (4分) (2)证明：由(1)知LADE=60°，∠A'DB=60°. 同理可得，∠AED=∠ACB=60°，∠A'EC=60°. :.△ADE是等边三角形，∠A'DB=∠A'EC ∴.AD=AE. △ADE沿DE折叠得到△A'DE, ..A'D=AD,A'E AE...A'D =A'E. (7分) AB=AC,∴BD=CE..△A'BD≌△A'CE.(9分) (3)∠ADE的度数为45或67.5°. (11分) 【解析】由折叠得LADE=∠A'DE.当△A'BD是等 腰直角三角形时，分三种情况： 年级上册华师 ①当∠BDA'=90°时，LADE=∠A'DE= 180°-∠BDA' 2 =45°. ②当LBA'D=90时，∠BDA'=∠A'BD=45. ∠ADE=180°-∠BDA =67.5° ③当∠A'BD=90°时，∠BDA'=45°. ∠ADB=180°-，∠BDA=67.5. 2 综上所述，∠ADE的度数为45°或67.5°. 专项5勾股定理 一、选择题 1.B2.B3.B4.A5.C6.B 7.C【一题多解】方法一：如图，过点D作DELAB于 点E.∠AED=90° 在△ABC中，AC=6,BC=8,AB=10,62+82=102, .'.AC2+BC2=AB2. ∴.△ABC是直角三角形，∠C=90°. Se=2Ac-Bc=24 AD平分LBAC,.CD=DE. ∴.SAARC=SAACD+S△ABD, 即5×60D+2×100E=24.DB=3. 点D到AB的距离是3.故选C. E 方法二：如图，过点D作DE⊥AB于点E. .LAED=90° 在△ABC中，AC=6,BC=8,AB=10,62+82=102, .'.AC2+BC2=AB2. .△ABC是直角三角形，∠C=90°. AD平分LBAC,CD=DE. ,∠C=∠AED=90°，AD=AD, .Rt△ACD≌Rt△AED..AC=AE=6. ∴.BE=AB-AE=4. 在Rt△BDE中， 5 河南专版数学 ·.·BD=BC-CD=BC-DE=8-DE .DE+BE2=BD2,即DE2+42=(8-DE)2. 解得DE=3.点D到AB的距离是3.故选C. 8.A【解析】根据题意，将容器侧面展开，作A关于 EF的对称点A',连结A'B,则A'B即为最短路程. D H .'.AE =A'E =4 cm. .CH 12 cm,BH=4 cm,.'.BC=8 cm. .BD BC+CD=BC+A'E 12 cm. 该容器底面周长为18cm,.A'D=9cm. ∠D=90°，.A'B=WA'D2+BD2=15cm. .蚂蚁吃到该饭粒需爬行的最短路程是15cm.故 选A. 二、填空题 9.1310.3m11.73尺 6 12.4【解析】当点P与点B重合时，如图①. 由题知，A'B=AB=6,BC=AD=10. ∴.CA'=BC-A'B=4. Q D(O 图① 图② 当点Q与点D重合时，如图②. 由题知，A'D=AD=10,CD=AB=6. 在Rt△A'CD中，由勾股定理，得 CA'=√A'D2-CD2=8. .点A'在BC边上可移动的最大距离为8-4=4. 三、解答题 13.解：(1)如图①，点C即为所求.（答案不唯一） (3分) 图① 入年级上册华师