专项2 一元二次方程-【王朝霞系列丛书】2025-2026学年九年级上册数学期末试卷精选（北师大版2012 河南专版）

期末复习方略·攻专项 专项2一元二次方程 锁定期末高频考点，快速掌握 一、选择题（每小题只有一个正确选项） 1.〔唐山市〕若方程口-3=x是关于x的一元二次方程，则“口”可以是 A.-2x B.22 C.y2 D.2x2 2.方程(x+3)2=4的根是 A.x1=-1,x2=-5 B.x1=1,x2=-5 C.x1=x2=-1 D.x1=-1,x2=5 3.〔武汉市〕一元二次方程3x2-2=4x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是( A.3,4 B.3,0 C.3,-4 D.3,-2 4.〔西安高新一中)已知方程x2-4x+1=,“”中的数字印刷不清楚.若可以将其化成(x- m)2=5的形式，则印刷不清楚的数字是 A.-3 B.-2 C.3 D.2 5.〔南阳市〕若关于x的方程x2+ax-2=0有一个根是x=1,则a= A.-1 B.1 C.-2 D.2 6.设题新角度过程性学习某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程x(x-1)=3(x 1),解答过程如下所示： 甲同学 乙同学 原方程可变形为x(x-1)-3(x-1)=0,(x-3)(x-1)=0. 两边同时除以(x-1),得x=3. x-3=0,或x-1=0. ,x1=3,x2=1. 其中解答过程完全正确的是 A.甲同学 B.甲和乙同学 C.乙同学 D.都不正确 7.〔厦门市〕某机械厂七月份生产零件50万个，八、九月份共生产146万个，设该厂八、九月份平 均每月的增长率为x,那么x满足的方程是 A.50(1+x)2=146 B.50(1+x)+50(1+x)2=146 C.50+50(1+x)+50(1+x)2=146 D.50(1+x)+50(1+2x)=146 8.定义运算：m⊕n=n2-mn+1.例如：1⊕2=22-1×2+1=3，则方程1⊕x=0的根的情况为 ( A.无实数根 B.只有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 9.小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而 得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个 根是-2和-5，则原来的方程可能是 A.x2+6x+5=0 B.x2-7x+10=0 C.x2-5x+2=0 D.x2-6x-10=0 河南专版数学九年级 北师第1页共3页 专项2 10.〔温州市〕已知方程x2+3x-4=0的根是x1=1,x2=-4,则方程(2x-3)2+3(2x-3)-4=0的根是（) A.x1=-2,x2=-0.5 B.x1=2,x2=0.5 C.x1=2,x2=-0.5 D.x1=-2,x2=0.5 二、填空题 11.设题新角度开放性试题若关于x的一元二次方程x2+2x+c=0无实数根，则c的值可以是 (写出一个即可) 市设α，B是一元二次方程3x+x-2=0的两个根， 13.某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是 队 14.〔重庆市〕已知三角形的两边长分别为2和7，第三边的长是一元二次方程x2-10x+24=0的根，则这 个三角形的周长为 15.〔郑州模拟〕如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4cm,BC=3cm,动点P,Q分别从 点A,B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为2cm/s,点Q的速度为 10 1cms,点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动.当△PBQ的面积为cm A 时，点P运动的时间是 三、解答题 16.解方程： (1)2x2-5x+1=0(用公式法)； (2)x2-4x-5=0(用配方法). 17.已知关于x的一元二次方程mx2-2x-4=0. (1)当方程有两个实数根时，求m的取值范围； (2)在(1)的条件下，当m取最小的整数时求方程的根 专项2 河南专版数学九年级北师第2页共3页 18.〔苏州市〕如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,且lx1-x2=2, 那么称这样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程x2+2x=0的两个根是x,=0,x2= -2,10-(-2川=2，方程x2+2x=0是“伴根方程” (1)方程x2+8x+15=0(选填“是”或“不是”)“伴根方程”； (2)已知关于x的方程x2+(m-1)x-m=0(m是常数)是“伴根方程”，求m的值. 弥 9.日常生活情境学生研学了某校组织学生进行研学活动，下图是该校领队与旅行社导游就收费 线 标准的一段对话截图，该校商定按旅行社的收费标准组团去该景点进行研学活动.请根据对 话内容，解决下列问题， (1)设学校这次到该景点参加研学活动的学生有x(x>100,且为10的倍数)人，则学生人均 内 研学活动费用为 元； (2)在(1)的条件下，若学校这次组织的研学活动，共支付给旅行社38940元（其中领队及随 队的教师共有5人)，求学校这次到该景点参加研学活动的学生人数， 导游您好！我想咨询下，我们学校组团 不 到该景点研学每人收费是多少呢？ 领队 李老师，您好！正常成年人的人均费用 导游 为300元，没有优惠；学生票打八折，而 且若学生人数超过100人，还有优惠， 要 那学生人数超过100人怎样优惠呢？ 领队 如果学生人数超过100人，每增加10人， 答 导游 学生人均研学费用降低6元，但旅行社 规定，人均研学费用不得低于150元. 好的，我们考虑一下，谢谢！ 领队 题 烯 河南专版数学九年级北师第3页共3页 期末复习方略·攻专项 王朝发 专项3 概率的进一步认识 锁定期末高频考点，快速掌握 一、选择题（每小题只有一个正确选项） 1.〔绍兴市〕一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球、3个白球、若干个绿球，每次摇 匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经大量试验，发现摸到绿球的频率稳定在 0.2,则袋中的绿球个数为 ( A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 2.10月16日是世界粮食日.某校组织了粮食安全公益活动，现有“节粮宣讲员”“光盘示范员” T 和“爱粮监督员”三类志愿者岗位身份，小霞先随机选一类，小艺从剩下的两类中任选一类， 则小霞和小艺分别选到岗位“节粮宣讲员”和“光盘示范员”的概率是 ( 弥 线 点号 B写 c 不 3.跨学科生物学人的眼皮有单眼皮与双眼皮，这是由对应的基因决定的.研究表明：决定眼 皮单双的基因有两种，一种是显性基因（记为B),另一种是隐性基因（记为b).一个人的基因 总是成对出现（如BB,Bb,bb)的，在成对的基因中，一个来自父亲，另一个来自母亲，父母提 供基因时均为随机的.只要出现了显性基因B,那么这个人就一定是双眼皮，即基因BB,Bb 桶 均为双眼皮.现有一对夫妻，两人成对的基因都是Bb,若不考虑其他因素，则他们的孩子是 单眼皮的概率是 ( Ag B C.g 4.中华优秀传统文化情境甲骨文了甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的 辉煌成就.正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全 相同.把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文 “丽”和“山”的概率是 () 甲骨文 甲 甲 骨 骨文 美 山 1 A. 12 B 1 C.A 6 0. 5.〔成都市〕如图，一段长管中放置着三根同样的绳子，小明从左边随机选一根，小华从右边随机 选一根，两人恰好选中同一根绳子的概率是 1 B. 2 D B E 1 C.9 0.6 河南专版数学九年级北师 第1页共3页 6.九上教材P62例1改编小明和小华玩“石头、剪刀、布”的游戏，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的 规则决定获胜者（两人的手势相同，按平局）.若随机出手一次，则小华获胜的概率是 A号 B c写 D号 7.九上教材P68第1题改编如图，同时自由转动两个转盘，指针指向两个转盘其对应颜色能配成紫色（红色 和蓝色在一起能配成紫色.若指针指在分界线上，重转)的概率是 A.3 B号 1 黄 8.跨学科物理物理某一实验的电路图如图所示，其中S1,S2,S为电路开关，L1,L2为能正常发光的灯泡.任 意闭合开关S,S2,S,中的两个，能让两个灯泡同时发光的概率为 A号 1 1 C.2 D. 4 二、填空题 9.〔济南模拟〕在一个不透明的纸箱中放有除了数字不同外，其他完全相同的2张卡片，分别标有数字1,2， 从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为 10.〔沈阳市〕当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，小明对二维码开展数学试验活动 小明将一个面积为900cm的二维码（由空白部分和阴影部分组成）打印在正方形纸上，为了估计阴影部 分的面积，他在二维码内随机掷点（掷在二维码区域外的则重新掷），经过大量试验，发现点落在阴影部 分的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中阴影部分的面积为 cm2 11.跨学科化学了在一个化学实验室里，有四瓶外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、 氯化钠、稀盐酸、碳酸钠四种溶液.已知只有酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）可以用来除铁锈，从中 随机抽取两瓶，则这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率是 12.一个不透明的盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字-2,1,4，随机摸出一个小球（不放回）， 其数字记为p,再随机摸出另一个小球，其数字记为g,则满足关于x的方程x2+px+g=0有实数根的概 率是 入口 13.〔郑州模拟〕如图，一博物馆由主馆A和三个副馆B,C,D组成.一游客从入口进入，准备参 观主馆和一个副馆后离开，已知他随机从四个出口中的一个离开，则他从中间出口（即 出口e或f)离开的概率是 三、解答题 出口 14.有四张反面完全相同的纸牌A,B,C,D,其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌洗匀正面 朝下放在桌面上， (1)从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是 (2)小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回.再由小亮从剩下的纸牌中 随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜， 这个游戏公平吗？请用列表法（或画树状图的方法）说明理由· 河南专版数学九年级北师第2页共3页 专项3 0 菱形 等腰三角形 矩形 平行四边形 15.一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做 摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获 得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到白球的次数 72 93 130 334 532 667 摸到白球的频率 0.3600 0.3100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3335 (1)该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是 (精确到 0.01),由此估计红球有 个； (2)现从该袋中按上述方式摸出2个球（先任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，再摸出1 个)，请用适当的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球、1个红球的概率. 16.国庆期间，甲、乙两名同学分别从云台山、青天河、青龙峡3个景点中随机选择2个景点去 游览 (1)甲同学选择的2个景点是云台山和青天河的概率是 (2)甲、乙两名同学选择的2个景点恰好相同的概率是多少？请用树状图或表格表示. 专项3 河南专版数学九年级北师第3页共3页B ,四边形ABCD、四边形AGFE均为正方形， ∴.AD=AB,AE=AG,∠DAB=∠EAG=90. .∠DAB-∠EAB=∠EAG-∠EAB,即∠DAE= ∠BAG. .△DAE≌△BAG ∴.DE=BG,SADAE=S△BAC,∠ADE=∠ABG ∠ADE+∠AHD=90°，∠AHD=∠BHP, .∠ABG+∠BHP=90°. ∴.∠DPM=90° Sae=号DE~AW.SA6-7BG~AM。 ∴.AN=AM..PA为∠DPM的平分线. ∴.∠APE=45°. (3)9√2 【解析】连接BD.四边形ABCD为正方形， .∴.DC=CB=AB=41,∠DCB=90°. ∴.在Rt△DCB中，BD=√DC2+CB2=41√2 由(2)可知LAPE=45°.：DOLPA, △PDQ为等腰直角三角形. ∴.QP=DQ=40. ∴.在Rt△PDQ中，DP=,√QP2+DQ2=402. ∴.在Rt△DPB中，BP=√BD2-DP2=9√2. 专项2一元二次方程 一、选择题 1.D2.A3.C4.D5.B6.C7.B 8.A【解析】1⊕x=0,∴.x2-x+1=0.4= (-1)2-4×1×1=-3<0,.该方程没有实数根. 故选A. 9.B【解析】设原来的方程为ax2+bx+c=0(a+ 0).根据题意，得-b=6+1=7,9=-2×(-5)= 10..b=-7a,c=10a.原来的方程为ax2-7ax+ 10a=0,即x2-7x+10=0.故选B. 10.C【解析】方程x2+3x-4=0的解是x1=1, x2=-4, ∴.方程(2x-3)2+3(2x-3)-4=0中2x-3= 1,2x-3=-4. .x1=2,x2=-0.5 故选C. 二、填空题 11.2(答案不唯一)12.号 河南专版数学 13.9【解析】设参加此次比赛的球队数是x队.根据 题意，得(x-1)=36.解得x=9,x=-8(舍 去).∴参加此次比赛的球队数是9队 14.15 15.3s【解析】设点P运动的时间是ts..BP= （4-m,B0=1em~BC=3em,点Q的速度 为1cml/s,∴.点Q在BC上运动的时间为3÷1= 3(s).t≤3.△PBQ的面积为 4cm2, 六4-2=草解得4=3站=5（合去当 △PB0的面积为cm时，点P运动的时间是36 三、解答题 16.獬：(1)a=2,b=-5,c=1.△=b2-4ac=(-5)2-4 x2x1=17>0.x=-b±2-4c-5±7。 2a 2×2 5±万，即5=5+，=5而 4 4 4 (2)移项，得x2-4x=5. 配方，得x2-4x+22=5+22, (x-2)2=9. 两边开平方，得x-2=±3，即x-2=3,或x 2=-3. x1=5,x2=-1. 17.解：(1).关于x的一元二次方程mx2-2x-4=0 有两个实数根， .A=(-2)2-4m(-4)≥0，且m≠0. ∴.m≥ 1且m≠0. 4 且m≠0，m取最小的整数， (2）:m≥-4 ∴m=1..原方程为x2-2x-4=0. 解得x1=1-√5，x2=1+W5, ,在(1)的条件下，当m取最小的整数时方程的 根为x1=1-√5，x2=1+√5. 18.解：(1)是【解析】解方程x2+8x+15=0, 得x1=-3,x2=-5.-3-(-5)川=2， .方程x2+8x+15=0是“伴根方程” (2)解关于x的方程x2+(m-1)x-m=0,得x1= -m,x2=1. :方程x2+(m-1)x-m=0(m是常数)是“伴根 方程”， 1+m|=2.∴.m=1或m=-3. 19.解：(1)(300-0.6x) 【得折】300x08-00x6=(60-06元。 ∴.学生人均研学活动费用为(300-0.6x)元. (2)根据题意，得300×5+(300-0.6x)x= 38940.解得x1=240,x2=260. 九年级北师 当x=240时，300-0.6x=156>150,符合题意； 当x=260时，300-0.6x=144<150,不符合题 意，舍去 答：学校这次到该景点参加研学活动的学生有 240人. 专项3概率的进一步认识 一、选择题 1.A2.D3.B4.B 5.A【解析】设A,D为同一根绳子，B,E为同一根 绳子，C,F为同一根绳子.用表格表示出所有可能 出现的结果如下 、小华 小明 D E F A (A,D) (A,E) (A,F) B (B,D) (B,E) (B,F) G (C,D) (C,E)(C,F) 由表格可知共有9种等可能的结果，其中两人恰 好选中同一根绳子的结果有(A,D),(B,E),(C, F),共3种.P(两人恰好选中同一根绳子)= 多-号故选 6.c 7.D【解析】将两个转盘分别记为第1个、第2个 第2个转盘中红色占50%，·.将第2个转盘中红色 区域等分成2份，分别记为红1、红2·用树状图表示 出所有可能出现的结果如下 开始 第1个 红 第2个红红2黄蓝红红2黄蓝红红2黄蓝 由树状图可知共有12种等可能的结果，其中能配 成紫色的结果有3种. P(能配成紫色)=i2=4 3 故选D. 8.A【解析】将闭合的两个开关分别记为第1个、第 2个.根据题意，画树状图表示出所有可能出现的 结果如下. 开始 第1个 第2个S2S3S,SS1S, 由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中能让 两个灯泡同时发光的结果有2种.“P(能让两个 灯泡同时发光)名行薇选A 二、填空题 9.1 11. 1 10.540 6 3 河南专版数学 12号 【解析】用树状图表示出所有可能出现的结 果如下 开始 4 -24-2 p2-4g0-129-152412 由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中满足 关于x的方程x2+px+g=0有实数根（即p2 4q≥0)的情况有4种..P(满足关于x的方程x2 +m+g=0有实教根)=4=3 6=3 13.子【解析】根据题意，记主馆、副馆的出口分别 为第1个、第2个.用树状图表示出所有可能出现 的结果如下. 开始 第1个 第2个d e 由树状图可知共有6种等可能的结果，其中从中 间出口（即出口e或f)离开的结果有4种， 一H他从中间出口（即出口：或0离利-各子 三、解答题 14.解：(1月 (2)游戏不公平. 理由如下：记先后摸出的两张纸牌分别为第一 张、第二张，列表表示出所有可能出现的结果如下. 第二张 第一张 B C 0 A (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,D) D (D,A)(D,B)(D,C) 由表格可知共有12种等可能的结果，其中摸出的 两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图 形的结果有(A,C),(C,A),共2种 .P(两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对 称国形)=合=名即小亮获胜的概率为片 :小明获鞋的概率为1一石名 君行游戏不公平。 15.解：(1)0.332 (2)记摸出的两个球分别为第一个、第二个，两个 红球分别为红1、红2画树状图表示出所有可能 出现的结果如下. 九年级北师