专项1 特殊平行四边形-【王朝霞系列丛书】2025-2026学年九年级上册数学期末试卷精选（北师大版2012 河南专版）

期末复习方略·攻专项 专项1特殊平行四边形 锁定期末高频考点，快速掌握 一、选择题（每小题只有一个正确选项） 1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是 A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角线平分对角 2.九上教材P14做一做改编如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个 矩形框架ABCD,B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右拉动框架顶点D,观察所 得四边形的变化.下列判断错误的是 救 A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形 弥 封 B.拉动后BD的长度有变化 C.四边形ABCD的面积不变 不 D.四边形ABCD的周长不变 题 3.〔洛阳市〕将一张矩形纸片按照图中所示的方式折叠，然后沿实线AB将阴影部分剪下，再将剪 下的阴影部分纸片展开，所得到的平面图形是 ( 辐 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.矩形 D.菱形 4.如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点.若AB=10,AD=24,则四边形 ABOM的周长是 ( ) A.45 B.43 C.40 D.36 E G >0 0 第4题图 第5题图 第6题图 5.〔河南省实验中学〕如图，四边形ABCD是周长为52cm的菱形，其中对角线AC的长为10cm,则 菱形ABCD的面积为 A.100 cm B.120 cm2 C.180cm2 D.240cm2 斑 6.〔洛阳市〕如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，0是坐标原点，点E的坐标为(2,3)， 则点F的坐标为 ( A.(-1,5) B.(-3,5) C.(5,-2) D.(-2,3) 河南专版数学 九年级 北师第1页共3页 7.如图，以矩形ABCD的顶点A为圆心，AD长为半径画弧交CB的延长线于点E,连接AE;过点D作DF∥AE 交BC于点F,连接AF.若AB=4,AD=5,则AF的长是 A.25 B.3√5 C.3 D.33 E.B.. 8.〔重庆市〕如图，在正方形ABCD中，AC,BD相交于点O,E,F分别为BC,CD上的两点，BE=CF,AE,BF分 别交BD,AC于M,N两点，连接OE,OF.下列结论：①AE=BF;②AE⊥BF;③CE+CF=BD;④S四边形OECF= 子心其中所有正确的序号是 () A.①② B.①④ C.①②④ D.①②③④ 二、填空题 9.设题新角度开放性试题了如图，四边形ABCD是菱形，要使四边形ABCD是正方形，需添加的一个条件 是 D D G H B E C B 第9题图 第10题图 第11题图 10.〔河南中考改编〕如图，在菱形ABCD中，∠B=45°，AB=6,点E在边BC上，连接AE,将△ABE沿AE折叠，若 点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为 11.如图，在矩形ABCD中，AB=9cm,BC=12cm,E,F是对角线AC上的两个动点，分别从点A,C同时出发， 相向而行，速度均为1cms,运动时间为ts(0≤t≤15).若G,H分别是AB,DC的中点，且t≠7.5，当以E, G,F,H为顶点的四边形是矩形时，t的值为 三、解答题 12.〔河南中考〕如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，BE∥DC交AC的延长线于点E. (1)请用无刻度的直尺和圆规作∠ECM,使∠ECM=∠A,且射线CM交BE于点F(保留作图痕迹，不写作法)； (2)求证：(1)中得到的四边形CDBF是菱形. 河南专版数学九年级北师第2页共3页 专项1 13.〔青岛模拟〕如图，在菱形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于点E,∠ACD的平分线交AD于点F. (1)求证：AF=CE. (2)从下列条件中任选一个作为已知条件，判断四边形AECF的形状.请证明你的结论 ①∠BAD=2LABC;②AC=BC. 选择的条件： (填写序号). 14.〔河南师大附中〕如图所示，已知四边形ABCD,AGFE均为正方形， (1)如图1，点E在线段AB上，连接DE,BG,则线段DE和线段BG的数量关系是 ,位置 关系是 (2)将正方形AGFE从图1位置开始绕点A顺时针旋转a(0°<a<90°)，如图2所示，连接BG, 连接DE并延长交直线BG于点P,连接AP,当α发生变化时，∠APE的度数是否发生变化？若 不变化，求出∠APE的度数；若发生变化，请说明理由. (3)在(2)的条件下，如图3，过点D作DQ⊥PA交PA的延长线于点Q,若AB=41,DQ=40,则 线段BP的长为 图1 图2 图3 专项1 河南专版数学九年级北师第3页共3页 期末复习方略·攻专项 专项2一元二次方程 锁定期末高频考点，快速掌握 一、选择题（每小题只有一个正确选项） 1.〔唐山市〕若方程口-3=x是关于x的一元二次方程，则“口”可以是 A.-2x B.22 C.y2 D.2x2 2.方程(x+3)2=4的根是 A.x1=-1,x2=-5 B.x1=1,x2=-5 C.x1=x2=-1 D.x1=-1,x2=5 3.〔武汉市〕一元二次方程3x2-2=4x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是( A.3,4 B.3,0 C.3,-4 D.3,-2 4.〔西安高新一中)已知方程x2-4x+1=,“”中的数字印刷不清楚.若可以将其化成(x- m)2=5的形式，则印刷不清楚的数字是 A.-3 B.-2 C.3 D.2 5.〔南阳市〕若关于x的方程x2+ax-2=0有一个根是x=1,则a= A.-1 B.1 C.-2 D.2 6.设题新角度过程性学习某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程x(x-1)=3(x 1),解答过程如下所示： 甲同学 乙同学 原方程可变形为x(x-1)-3(x-1)=0,(x-3)(x-1)=0. 两边同时除以(x-1),得x=3. x-3=0,或x-1=0. ,x1=3,x2=1. 其中解答过程完全正确的是 A.甲同学 B.甲和乙同学 C.乙同学 D.都不正确 7.〔厦门市〕某机械厂七月份生产零件50万个，八、九月份共生产146万个，设该厂八、九月份平 均每月的增长率为x,那么x满足的方程是 A.50(1+x)2=146 B.50(1+x)+50(1+x)2=146 C.50+50(1+x)+50(1+x)2=146 D.50(1+x)+50(1+2x)=146 8.定义运算：m⊕n=n2-mn+1.例如：1⊕2=22-1×2+1=3，则方程1⊕x=0的根的情况为 ( A.无实数根 B.只有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 9.小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而 得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个 根是-2和-5，则原来的方程可能是 A.x2+6x+5=0 B.x2-7x+10=0 C.x2-5x+2=0 D.x2-6x-10=0 河南专版数学九年级 北师第1页共3页 专项2 10.〔温州市〕已知方程x2+3x-4=0的根是x1=1,x2=-4,则方程(2x-3)2+3(2x-3)-4=0的根是（) A.x1=-2,x2=-0.5 B.x1=2,x2=0.5 C.x1=2,x2=-0.5 D.x1=-2,x2=0.5 二、填空题 11.设题新角度开放性试题若关于x的一元二次方程x2+2x+c=0无实数根，则c的值可以是 (写出一个即可) 市设α，B是一元二次方程3x+x-2=0的两个根， 13.某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是 队 14.〔重庆市〕已知三角形的两边长分别为2和7，第三边的长是一元二次方程x2-10x+24=0的根，则这 个三角形的周长为 15.〔郑州模拟〕如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4cm,BC=3cm,动点P,Q分别从 点A,B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为2cm/s,点Q的速度为 10 1cms,点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动.当△PBQ的面积为cm A 时，点P运动的时间是 三、解答题 16.解方程： (1)2x2-5x+1=0(用公式法)； (2)x2-4x-5=0(用配方法). 17.已知关于x的一元二次方程mx2-2x-4=0. (1)当方程有两个实数根时，求m的取值范围； (2)在(1)的条件下，当m取最小的整数时求方程的根 专项2 河南专版数学九年级北师第2页共3页 18.〔苏州市〕如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,且lx1-x2=2, 那么称这样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程x2+2x=0的两个根是x,=0,x2= -2,10-(-2川=2，方程x2+2x=0是“伴根方程” (1)方程x2+8x+15=0(选填“是”或“不是”)“伴根方程”； (2)已知关于x的方程x2+(m-1)x-m=0(m是常数)是“伴根方程”，求m的值. 弥 9.日常生活情境学生研学了某校组织学生进行研学活动，下图是该校领队与旅行社导游就收费 线 标准的一段对话截图，该校商定按旅行社的收费标准组团去该景点进行研学活动.请根据对 话内容，解决下列问题， (1)设学校这次到该景点参加研学活动的学生有x(x>100,且为10的倍数)人，则学生人均 内 研学活动费用为 元； (2)在(1)的条件下，若学校这次组织的研学活动，共支付给旅行社38940元（其中领队及随 队的教师共有5人)，求学校这次到该景点参加研学活动的学生人数， 导游您好！我想咨询下，我们学校组团 不 到该景点研学每人收费是多少呢？ 领队 李老师，您好！正常成年人的人均费用 导游 为300元，没有优惠；学生票打八折，而 且若学生人数超过100人，还有优惠， 要 那学生人数超过100人怎样优惠呢？ 领队 如果学生人数超过100人，每增加10人， 答 导游 学生人均研学费用降低6元，但旅行社 规定，人均研学费用不得低于150元. 好的，我们考虑一下，谢谢！ 领队 题 烯 河南专版数学九年级北师第3页共3页期末复习小助手 答案精解精析 竭力使答案更美好 期末复习方略·攻专项 三、解答题 专项1特殊平行四边形 12.解：(1)所作图形如图所示。 一、选择题 1.B2.C3.D4.C 5.B【解析】设AC交BD于点O.:四边形ABCD是周 长为52cm的菱形，.AB=52÷4=13(cm),ACLBD, AC 20A,BD =20B.AC 10 cm,.'OA 24C=5cm.在Rt△AB0中，0B=√AB-OA= (2)证明：∠ECM=∠A,CF∥AB. 12cm.∴BD=20B=24cm..S菱形ABcn= BE∥DC,∴.四边形CDBF是平行四边形 CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， BD=120cm2.故选B. .CD=BD 6.A7.A ∴.平行四边形CDBF是菱形 8.C【解析】四边形ABCD是正方形，.AB=BC= 13.解：(1)证明：四边形ABCD是菱形， CD,∠ABE=∠BCF=90°.BE=CF,.△ABE≌ .AB∥CD,AD∥BC.∠BAC=∠ACD △BCF..AE=BF,∠BAE=∠FBC.∴.∠FBC+ ∠ABF=∠BAE+∠ABF=90°..AE⊥BF.①②正 :AE平分∠BAC,CF平分LACD, 确.△BCD是等腰直角三角形，∴BD=√2BC CAE=BAc,∠AcF=AcD, .CE+CF=CE+BE=BC≠BD.③错误.：四边 .∠CAE=∠ACF..AE∥CF. 形ABCD是正方形，.OB=OC,∠OBE=∠OCF= AF∥CE,.四边形AECF是平行四边形 45°.BE=CF,.△OBE≌△0CF.∴.SAORE=SAOCF ..AF=CE. ∴.S形0Ecr=SACOE+SAOCF=SACOE+SAOBE=SA0Bc= (2)① 3E形c④正确.综上所述，正确的是①②④。 1 四边形AECF是矩形 故选C. 证明：AD∥BC,.∠ABC+∠BAD=180° 二、填空题 ∠BAD=2LABC, 9.∠ABC=90°（答案不唯一）10.6W2-6 .∠ABC=60° 11.1.5或13.5【解析】连接GH.四边形ABCD为矩 四边形ABCD是菱形，.AB=BC, 形，∠B=90°，AB=CD=9cm,AB∥CD..∠BAC= .△ABC是等边三角形 ∠DCA.BC=12cm,.AC=√AB2+BC2=15cm. AE平分∠BAC,∴.AE⊥BC,即LAEC=90°. G,H分别为AB,CD的中点，.AG=CH=BG 由(1)可知四边形AECF为平行四边形， .四边形GBCH是矩形.∴GH=BC=12cm.由 .平行四边形AECF是矩形 题意可知AE=CF=tcm.∴.△AGE≌△CHF. [或② ∠AEG=LCFH,GE=HF.分两种情况：①当点 四边形AECF是矩形 E,F未相遇，即0≤t<7.5时，∠GEF=180° 证明：，四边形ABCD是菱形，.AB=BC ∠AEG,∠HFE=180°-∠CFH,.∠GEF=∠HFE. AC=BC,.△ABC是等边三角形. ∴.GE∥HF.∴以E,G,F,H为顶点的四边形为平 AE平分∠BAC,.AE⊥BC,即LAEC=90°. 行四边形.若要使以E,G,F,H为顶点的四边形 由(1)可知四边形AECF为平行四边形， 是矩形，则EF=GH.∴.15-2t=12.解得t=1.5. .平行四边形AECF是矩形.] ②当点E,F相遇后，即7.5<t≤15时，同理可得 14.解：(1)DE=BGDE⊥BG 2t-15=12.解得t=13.5.综上所述，当以E,G, (2)APE的度数不发生变化. F,H为顶点的四边形是矩形时，t的值为1.5或 如图，过点A作AW⊥EP于点N,AMLBG交BG的 13.5. 延长线于点M,设DP与AB交于点H 河南专版 数学 九年级北师 13.9【解析】设参加此次比赛的球队数是x队.根据 题意，得2(x-1)=36.解得x=9,=-8(舍 去).∴.参加此次比赛的球队数是9队， 14.15 :四边形ABCD、四边形AGFE均为正方形， 15.3s【解析】设点P运动的时间是ts.BP= ∴.AD=AB,AE=AG,∠DAB=∠EAG=90° 4-m,B0=1emBC=3e,点0的速度 .∠DAB-∠EAB=∠EAG-∠EAB,即∠DAE= 为1cms,∴.点Q在BC上运动的时间为3÷1= ∠BAG. △DAE≌△BAG 3(s).t≤3.△PBQ的面积为 4cm2, ∴.DE=BG,S△DME=S△BMG,∠ADE=LABG. 1 1. :'∠ADE+∠AHD=90°，LAHD=∠BHP, 24- 2= 华解得6=36=5〔合去当 ∴.∠ABG+∠BHP=90°. △P80的面积为cm2时，点P运动的时间是3s .∠DPM=90°. 三、解答题 DEAN,SGAM, 1 16.獬：(1)a=2,b=-5,c=1.△=b2-4ac=(-5)2-4 ∴.AN=AM..PA为∠DPM的平分线. ×2x1=17>0.=-b±W-4c=5±7 .∠APE=45 2a 2×2 (3)9√2 5±币，即-5+币，k-5而 4 4 4 【解析】连接BD.四边形ABCD为正方形， (2)移项，得x2-4x=5. .∴.DC=CB=AB=41,∠DCB=90° 配方，得x2-4x+22=5+22, .在Rt△DCB中，BD=√DC2+CB2=41√/2. (x-2)2=9. 由(2)可知∠APE=45°.：DQ⊥PA, 两边开平方，得x-2=±3，即x-2=3,或x .△PDQ为等腰直角三角形. 2=-3. ∴.QP=DQ=40. .x1=5,x2=-1. 17.解：(1)关于x的一元二次方程mx2-2x-4=0 ∴.在Rt△PDQ中，DP=√QP2+DQ2=40√2 有两个实数根， .在Rt△DPB中，BP=√BD2-DP2=9√2. .4=(-2)2-4m(-4)≥0，且m≠0. ∴.m≥ 且m≠0. 专项2一元二次方程 4 一、选择题 1 (2):m≥-4且m≠0，m取最小的整数， 1.D2.A3.C4.D5.B6.C7.B .m=1..原方程为x2-2x-4=0. 8.A【解析】1⊕x=0,.x2-x+1=0.△= 解得x1=1-√5，x2=1+√5 (-1)2-4×1×1=-3<0,.该方程没有实数根. ∴.在(1)的条件下，当m取最小的整数时方程的 故选A. 根为x1=1-5,x2=1+W5 9.B【解析】设原来的方程为ax2+bx+c=0(a≠ 18.解：(1)是【解析】解方程x2+8x+15=0, 0).根据题意，得-。=6+1=7，=-2×(-5)= 得x1=-3,x2=-5.-3-(-5)川=2， a a 10.∴.b=-7a,c=10a..原来的方程为ax2-7ax+ ∴.方程x2+8x+15=0是“伴根方程” (2)解关于x的方程x2+(m-1)x-m=0,得x1= 10a=0,即x2-7x+10=0.故选B. 10.C【解析】：方程x2+3x-4=0的解是x1=1, -m,x2=1. 方程x2+(m-1)x-m=0(m是常数)是“伴根 x2=-4, 方程”， ∴.方程(2x-3)2+3(2x-3)-4=0中2x-3= ∴.1+m|=2.∴.m=1或m=-3. 1,2x-3=-4. 19.解：(1)(300-0.6x) .x1=2,x2=-0.5. 故选C. 【懈折析】30×08-00×6=（30-06元. 二、填空题 ∴.学生人均研学活动费用为(300-0.6x)元. 11.2(答案不唯-）12.2 (2)根据题意，得300×5+(300-0.6x)x= 38940.解得x1=240,x2=260. 河南专版数学九年级北师