专项3 二次函数的应用-【王朝霞系列丛书】2025-2026学年九年级上册数学期末试卷精选（人教版2012 河南专版）

期末复习方略·攻专项 王朝发 专项3！ 二次函数的应用 锁定期末高频考点，快速掌握 一、选择题（每小题只有一个正确选项） 1.“科教兴国，强国有我”某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”进行升空实验，已知 “水火箭”的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足的关系式为h=-t+12t+11.若“水火箭”的 飞行时间为2s,则此时的升空高度为 ) A.31m B.33m C.35m D.37m 2.如图，在Rt△AB0中，AB⊥OB,且AB=OB=3,设直线x=t截此三角形所得的阴影部分的面 T 积为S,则S与t之间的函数关系式为 弥 A.S=t(0<t≤3) 封 B.8=0<153》 内 1 C.S=2(0<t≤3) D.S=2-10<t≤3) B 3.某同学在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形，如图所示，若实心球运动路线所 在抛物线的解析式为y=石：-4少+6，其中(m)是实心球飞行的高度(m)是实心球飞 桶 行的水平距离，则该同学此次掷球的成绩（即OA的长度）是 A.6m B.8m C.10m D.12m y=ax2+dx+c6 y=kx +b 432 y2=mx+n P y/m A 4 0.8 430123 0.5 -20x 0.2 A x/m 图1 图2 245u(L) 第3题图 第4题图 第6题图 4.如图1，一次函数y=x+b(k≠0)的图象经过点A(-2,4),则关于x的不等式x+b<4的解集 为x<-2.类似地，图2是函数y1=ax2+dx+c(a≠0)和函数y2=mx+n(m≠0)的图象，由图 象可知，关于x的不等式ax2+dx+c≥mx+n的解集为 ( ) A.x≤-2 B.-2≤x≤1 C.x≥1 D.x≤-2或x≥1 5.〔安阳市〕服装店将进价为每件100元的服装按每件x(x>100)元出售，每天可销售(200-x) 件，若想获得最大利润，则x应定为 ( 班 A.150 B.160 C.170 D.180 6.老师带领学生开展“校园农业项目式学习”，进行无土栽培.已知洒水少了发芽率p低，洒水 多了要烂根，也会影响发芽率p.通过实验，同学们发现：在温度一定的条件下，发芽率p与洒 河南专版数学九年级人教第1页共3页 水量v(单位：L)近似满足函数关系p=a2+bm+c(a,b,c是常数，且a≠0).图中记录了三次实验的数据， 根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳的洒水量为 A.4.25L B.4 C.3.75L D.3.5L 7.二次函数y=x2-8x+15的图象与x轴相交于M,N两点(，点M在，点N左侧)，点P在该函数的图象上运动， 能使△PMN的面积等于)的点P共有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.如图1，在平行四边形ABCD中，∠ABC=120°，已知点P在边AB上，以1ms的速度从点A向点B运动，点 Q在边BC上，以√3/s的速度从点B向点C运动.若点P,Q同时出发，当点P到达点B时，点Q恰好到达 点C处，此时两点都停止运动.图2是△BPQ的面积y(m)与点P的运动时间t(s)之间的函数关系图象 (点M为图象的最高，点)，则平行四边形ABCD的面积为 ( A.24√3m2 y(m2)* B.24m2 C.12√/3m2 i(s) D.12m2 图1 图2 二、填空题 9.跨学科物理对于竖直向上抛出的物体，在没有空气阻力的条件下，上升高度h(单位：m)、初速度 %(单位：m/s)、运动时间t(单位：s),这三个量之间有如下关系：h=wt-2(其中g是重力加速 度，g取10m/s2).将一物体以=21m/s的初速度竖直向上抛，当物体处在离抛出点18m高的地方 时，t的值为 10.如图，在二次函数y=x2+2x-3的图象上有点A(0,-3),B(2,5),在其对称轴直线x=-1上有一动点P, 连接PA,PB,则当PA+PB的值最小时，动点P的坐标为 5 4 3 个y P( 5-4-3-21 12345x B D 6m 0 第10题图 第11题图 第12题图 11.图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽6m,水面下降 m时，水面宽8m. 12.〔新乡市〕如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点坐标分别为A(1,1),B(1,2),C(2,2),D(2,1), 抛物线y=(x+1)向下平移m(m>0)个单位长度后，与正方形ABCD的边（包含四个顶，点）有交点，则m 的取值范围是 河南专版数学九年级人教第2页共3页 专项3 三、解答题 13.〔大连市]如图，一张正方形纸板的边长为8cm,将它剪掉一个正方形，留下四个全等的直角三 角形（图中阴影部分）.设AE=BF=CG=DH=xcm,阴影部分的面积为ycm. (1)求y关于x的函数解析式并写出x的取值范围. (2)当x取何值时，阴影部分的面积最大？最大面积是多少？ 14.设题新角度综合与实践了某校数学智慧社团研究“城市广告牌照明优化项目”中的数学问题 项目背景 在城市某条繁华的商业街道上，有一块大型广告牌，其顶部为抛物线拱，拱高为4m,底部是 长方形，长方形的长为8m、宽为6m 任务一：建立数学模型 以广告牌底部的长方形ABCD的边AB的中点O为原点，以AB所在的直线为x轴，以过点O且 垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系(1个单位长度为1m),求抛物线 的解析式. 任务二：确定射灯位置 为保证整个广告牌照明效果最优，经测算，需要在广告牌顶部边缘（抛物线拱边缘）安装4个 射灯，射灯间的水平距离相等，两端射灯距离广告牌左右两侧边缘线的水平距离均为1m.在 平面直角坐标系中，请用坐标表示这4个射灯的位置. 专项3 河南专版数学九年级人救第3页共3页 期末复习方略·攻专项 王朝我 专项4旋转 锁定期末高频考点，快速掌握 一、选择题（每小题只有一个正确选项） 1.下列四幅作品是中心对称图形的是 产产 米 A B C D 2.下图是一个活动的平行四边形框架ABCD,∠ABC=40°，固定顶点B,C,拉动顶点A,当边BA 绕点B逆时针旋转α(0°<<90°)时成为矩形框架ABCD,则旋转角a的度数为 ( ) A.40° B.50° C.609 D.90° N c B ③ ④ D BO ① ② 第2题图 第4题图 第5题图 第6题图 3.已知点A(m,2)与点B(-6,n)关于原点对称，则m-n的值为 ( A.4 B.-8 C.8 D.-4 4.〔徐州市〕如图所示，△ABC与△A'B'C关于点O成中心对称，则下列结论成立的是 ( ①点A与点A'关于点O对称；②B0=B'O;③AC∥A'C';④LABC=∠C'A'B' A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④ 5.如图，在由正三角形组成的网格中，以某点为中心，将△MNP旋转，得到△M,N,P,则旋转中 心是 ( ) A.点A B.点B C.点C D.点D 6.如图，在标有序号①②③④的小正方形中选一个涂灰，使其与图中阴影部分构成中心对称 图形，该小正方形的序号是 ( A.① B.② C.③ D.④ 7.如图，已知正方形ABCD的边长为5，E,F分别是AB,BC边上的点，且∠EDF=45°，将△ADE 绕点D逆时针旋转90°得到△CDM.若AE=2,则MF的长为 ) B.5 C.4 25 D.1 河南专版数学九年级人救第1页共3页 专项4 8.〔洛阳市〕如图，平面直角坐标系中，A(0,0),B(4,0),△APB是等腰直角三角形且∠P1=90°，把△APB绕 点B顺时针旋转180°得到△CP,B,把△CPB绕，点C顺时针旋转180°得到△CP,D,·,依次类推，得到的等 腰直角三角形的直角顶，点P24的坐标为 A.(8090,2) B.(8094,2) 0(A) C.(8090,-2) D.(8094,-2) 二、填空题 9.设题新角度开放性试题了如图，若将图案绕点O旋转x°可以与自身重合，则x的值可以是 （写出 一个值即可) D R 第9题图 第10题图 第11题图 第12题图 10.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,点E恰好落在边AC上，连接AD.若∠ACB=30°，则∠DAC 的度数是 11.如图，在平面直角坐标系中，已知A(-4,0),B(0,3),把△AOB绕点A逆时针旋转90°后得到△ACD,则点 D的坐标是 12.如图，等边三角形ABC中，AB=6,D为BC中点，M为AD上的动点，连接CM,将线段CM绕点C逆时针 旋转60°得到CN,连接ND,则ND+CN的最小值为 三、解答题 13.如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上 (1)将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△AB,C,（B1,C,分别是点B,C的对应，点)，在图中画出△AB,C1; (2)在图中画出△ABC关于点0成中心对称的△A,B2C2(A2,B2,C2分别是点A,B,C的对应点)，点C2的坐标 是 (3)在(1)(2)的基础上，我们发现点C,A,关于某点中心对称，则对称中心的坐标是 专项4 河南专版数学九年级人教第2页共3页 14.如图，把矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转得到矩形AEFG,使点E落在对角线BD上，连 接DG,DF. (1)若∠BAE=50°，求∠DGF的度数； (2)求证：DF=DC. 弥 封 线 15.〔安阳市〕已知：如图1，△ABC中，AB=AC,∠BAC=60°，D,E分别是AB,AC上的点，AD=AE, 不难发现BD,CE的关系 (1)将△ADE绕点A旋转到图2位置时，写出BD,CE的数量关系： 内 (2)当∠BAC=90°时，将△ADE绕点A旋转如图3所示 ①BD与CE有什么数量关系和位置关系？请仅就图3进行证明 些 ②当点C,D,E在同一直线上时，写出∠ADB的度数： 不 要 图1 图2 图3 答 题 河南专版数学九年级人教第3页共3页整理，得x2-12x+40=0. 4=(-12)2-4×1×40=-16<0, .该方程无实数根，即不能围成面积为120m的 菜地 专项2二次函数的图象与性质 一、选择题 1.A2.C3.B4.A5.C6.B7.B8.A 9.A【解析】二次函数y=x2-2x-a的图象开口向 上，对称轴是直线x=1,且图象经过平面内的四个 象限，.该图象与y轴的交点在负半轴..-a<0. 解得a>0.故选A. 10.B【解析】根据题图，得抛物线开口向下，对称 轴为直线x=-1,交)销于正半轴a<0,品 -1,c>0.b=2<02<0①鲭误.当x=-1 时，y取得最大值，最大值为y=a-b+c.∴.对于 任意实数m,当x=m时，y=am2+bm+c≤a-b +c.∴.am2+bm≤a-b.②正确.当x=1时，y= a+b+c<0,b=2a,∴.3a+c<0.∴.3a+c<1. ③正确.：点M,N在二次函数的图象上，且两点 的纵坐标相等，=2名=-1高十6 2 -2.④错误.综上所述，正确的结论为②③，共2 个.故选B. 二、填空题 11.y=-x2+1(答案不唯一)12.8 13.414.0与1（或-2与-3） 15.5或-令【解析】y=m2+2m+1=m(x+ 1)2-m+1,∴.二次函数y=mx2+2mx+1的对称 轴为直线x=-1.-2≤x≤2，分两种情况： ①当m>0时，抛物线开口向上，.x=-1时，y有 最小值，y最小=-m+1=-4.∴.m=5.②当m<0 时，抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1, 且-1-（-2)<2-(-1)，.x=2时，y有最小值， y=加+n+1=4m=令综上所述，m 的值为5或-8 5 三、解答题 16.解：(1)补全的表格如下 -3 -2 0 0 -3 -4-3 0 河南专版数学 (2)如图所示 (3)x<-2或x>0. 17.解：(1)抛物线y=ax2-2ax-3+2a2=a(x-1)2 +2a2-a-3, .这条抛物线的对称轴为直线x=1. (2)这条抛物线的对称轴为直线x=1, ∴.抛物线顶点的横坐标为1. :抛物线的顶点在x轴上， ∴.当x=1时，y=2a2-a-3=0. a,=24=-1. “兆物线解折式为y--3+或)=+ 2x-1. (3)抛物线的对称轴为直线x=1, ∴点Q(3,y2)关于直线x=1的对称点的坐标为 (-1,y2.当a>0时，y1<y2,.-1<m<3.当 a<0时，y1<y2,m<-1或m>3. 18.解：(1)在y=ax2+bx+3中，令x=0,得y=3. .点C的坐标为(0,3)..0C=3. OA=OC,点A在x轴的负半轴上， .点A的坐标为(-3,0). 把点A(-3,0),B(1,0)代入y=ax2+bx+3, 得-3弘+3=0，解得a=-1, a+b+3=0. (6=-2. ∴.抛物线的解析式为y=-x2-2x+3. y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4, ∴.抛物线的顶点坐标为(-1,4). (2)k≤x<0,且k<-1, .顶点(-1,4)在该段抛物线上。 ∴y的最大值为4，即m=4. m+n=-1,∴n=-1-m=-5. 令y=-x2-2x+3=-5,∴.x1=-4,x2=2. .k<-1,∴.k=-4. 专项3二次函数的应用 一、选择题 1.A2.B3.C4.D5.A6.C 7.D【解析】在y=x2-8x+15中，当y=0时，x2- 8x+15=0.解得x1=3,x2=5..点M,N的坐标分 别为(3,0)和(5,0)..MN=2.设点P的坐标为 九年级人救 2 (m,n).点P在函数y=x2-8x+15的图象上， nm8m+15..Sar ut.n 2=分a=或=分当a=时，m-8m+ 15-分解得网1=8+6m=86当=-月 2 2 时，m2-8m+15=分解得m-8+y5m 2 =82综上所述，点P的生标8+6，引 2 ·能使△PMN的面积等于)的点P共有4个，放 选D 8.B【解析】如图，过点P作PE⊥CB交CB的延长线 于点E,过点A作AF⊥CB交CB的延长线于点F. D FEB 0 由题意可知AB:BC=1:√3.设AB=am,则BC =√3am.点P以1m/s的速度从点A向点B运动， 点Q以√3m/s的速度从点B向点C运动，，PA=tm, PB=(a-t)m,BQ=√3tm. 在Rt△PBE中，∠PBE=180°-∠ABC=60°. BPE=30.BE=7PB. 在Rt△PBE中，PE=PB-BB=5PB= 2 9a-n 由二次函数图象可知，函数的顶点纵坐标为3. 6c=32o为正数a=4 ∴.AB=4m,BC=4√3m.在Rt△ABF中，∠ABF= 60°，同理，得AF=5AB=2√3m 2 ∴.SGABCD=BCAF=24m2.故选B. 二、填空题 9晚3 10.(-1,-1) .号 【解析】如图，以水面所在的直线AB为x轴， 以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴建立平面 直角坐标系，0为原点，单位长度为1m. 3 河南专版数学 2' 盘进 6m 由题意，得A0=OB=3m,点C的坐标为(0， 2)..点A(-3,0). 设抛物线的解析式为y=ax2+2. 把点A(-3,0)代人，得9如+2=0，解得a=-乙 9 “龙物线的解新折式为)=子+2当水面宽8m时。 水面与抛物线的一个交点的横坐标为4. 当=4时y=-号×16+2=-号水面下降 1 9m. 12.2≤m≤8【解析】根据题意，得抛物线平移后的 解析式为y=(x+1)2-m.将点B(1,2)代人 y=(x+1)2-m,得4-m=2.∴m=2.将点D(2, 1)代人y=(x+1)2-m,得9-m=1..m=8. .平移后的抛物线与正方形ABCD的边（包含四 个顶，点)有交点时，m的取值范围是2≤m≤8. 三、解答题 13.解：(1)AE=BF=CG=DH=xcm, ..BE =CF=DG=AH=(8-x)cm. y=4×2(8-)=-22+16(0<x<8). (2)y=-2x2+16x=-2(x-4)2+32,-2<0, 0<x<8, ∴.当x=4时，y有最大值，最大值为32， 即当x=4时，阴影部分的面积最大，最大面积是 32cm2. 14.解：任务一：根据题意，得0F=OE+EF=6+4= 10(m),0B=)AB=4m,BC=6m. .点F(0,10),C(4,6). 设抛物线的解析式为y=ax2+c.把点F(0,10), C(4,6)分别代入y=ar2+c,得c=10, 16a+c=6. 解得 a- 1 41 c=10. “抛物线的解析式为y=+10, 任务二：·两端射灯距离广告牌左右两侧边缘线 的水平距离均为1m,且射灯间的水平距离相等， ÷射灯间的水平距离为8-】-1=2(m) 3 九年级人教 .4-1=3,3-2=1,1-2=-1,-1-2=-3. .这4个射灯的横坐标分别为3,1，-1，-3. 当=3时y=头当=1时y=翠当x=- 时y-碧当=-3时y 4 这4个射灯的坐标分别为3，到}，2) 1,233 专项4旋转 一、选择题 1.D2.B3.C4.A5.B6.B 7.A【解析】连接EF.:四边形ABCD是正方形， ∴LA=∠B=∠FCD=90°，AB=BC=5.△ADE 绕点D逆时针旋转90°得到△CDM,.AE= CM=2,∠A=∠DCM=90°，∠EDM=90°，DE=DM. .∠FCD+∠DCM=180°..F,C,M三点共线. ∠EDF=45°，∴.∠FDM=∠EDF=45°.DF= DF,∴.△DEF≌△DMF.∴.EF=MF.设EF=MF= x..AE=CM=2,BC=5,..BM=BC+CM=7...BF BM-MF=7-x.EB=AB-AE=3,∴.在Rt△EBF 中，由勾股定理，得EB2+BF2=EF2,即32+(7- P=2解得：=9MF的长为9放远式 8.B【解析】过点P,作PK⊥AB于点K.△APB 是等腰直角三角形且∠AP,B=90°，∴AK=PK= B点A0,0),B4,0)4B=4AK= P,K=AB=2.点P,的坐标为(2，-2).同理可 得，点P2的坐标为(6,2)，点P3的坐标为(10，-2)， 点P4的坐标为(14,2)，…，依次类推，点Pn的横坐 标为4n-2.当n为奇数时，点P的纵坐标为-2；当 n为偶数时，点Pn的纵坐标为2.∴点P2m4的横坐标 为4×2024-2=8094，纵坐标为2，即点P224的坐 标为(8094,2).故选B. 二、填空题 9.90(答案不唯一)10.75°11.（-7,4) 12.3√3【解析】连接BN并延长.线段CM绕点 C逆时针旋转60°得到CN,△ABC是等边三角形， .CM=CN,∠MCN=∠ACB=60°.∴.∠ACM+ ∠MCD=∠MCD+∠BCN. ,∠ACM=∠BCN.,在等边三角形ABC中，AC= BC,∴.△ACM≌△BCN.∴.∠CBN=∠CAM.D为 BC的中点，.∠CAM=30°. ∠CBN=30°..点N在射线BN上运动.作点D 河南专版数学 关于射线BV的对称点D',连接BD',CD',ND', 如图. D' 由轴对称性质可知，BD=BD',∠D'BN= ∠CBN=30°，ND=ND',∴.ND+CN=ND'+ CN≥CD..当且仅当C,N,D'三点共线时，ND +CN取得最小值，即为CD'的长. .∠D'BN=∠CBN=30°，∴.∠CBD'=∠CBN+ ∠D'BW=60°..△BDD'是等边三角形 ∴.∠BDD'=60°，BD=CD=DD'.∴.∠BCD'= ∠CDD=2BD'=30.∠BDC=90. .BC=6,.BD'=3...CD'=BC2 -BD2 3√3..ND+CN的最小值为3√3. 三、解答题 13.解：(1)△AB,C如图所示. V (2)△A,B,C,如图所示】 (3,-6) (3)(2,0) 14.解：(1)由旋转的性质，得∠BAE=∠DAG=50°， AD-AG.ACD=LADG-(180-DAG)= 65°.四边形AEFG为矩形， .∠AGF=90°..∠DGF=LAGF-∠AGD=25°. (2)证明：连接AF.根据题意，得AB=AE=DC, AD=AG=EF,∠BAD=∠AEF=90° ..ABE=∠AEB,△AEF≌△BAD..AF=BD, LFAE=∠ABE=LAEB.∴.AF∥BD .四边形ABDF是平行四边形..DF=AB. .DF=DC 15.解：(1)BD=CE (2)①BD=CE,BD⊥CE. 证明：∠BAC=∠DAE=90°， 九年级人救