专项1 一元二次方程-【王朝霞系列丛书】2025-2026学年九年级上册数学期末试卷精选（人教版2012 河南专版）

期末复习方略·攻专项 专项1一元二次方程 锁定期末高频考点，快速掌握 一、选择题（每小题只有一个正确选项） 1.〔南阳市〕下列方程中是关于x的一元二次方程的是 ( A.3(x+1)2=2(x+1) B.1+1-2=0 C.ax2+bx+c=0 D.x+ =2 2.一元二次方程9x2=5-4x化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ) A.9,5,-4 B.9,4,-5 C.9,-5,4 D.9,-4,5 3.若x=-1是一元二次方程x2-mx+3=0的一个根，则m的值是 毁 A.-4 B.4 C.-2 D.2 4.〔西安市)小明在解方程时，发现方程x2-4x+1=,“ ”中的数字印刷不清楚.若可以将 线 其配方成(x-m)2=5的形式，则印刷不清楚的数是 ) A.-3 B.-2 C.3 D.2 不 5.数学文化情境买椽多少了我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱， 题 倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意为现请人代买一批椽，这批椽 的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于 一株椽的价钱.根据题意可列方程3x(x-1)=6210,其中x表示 ( 桶 A.剩余椽的数量 B.这批椽的数量C.剩余椽的运费 D.每株椽的价钱 6.〔平顶山市〕已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0,其中m,n在数轴上的对应点如图所 示，则方程的根的情况是 0 m A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 7.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看”其大意为 知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘.假设每天“遗忘”的百 分比是一样的，“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：√2≈1.414） A.20.3% B.25.2% C.29.3% D.50% 8.〔石家庄市〕关于x的方程x(x-1)=3(x-1),下列解法完全正确的是 甲 乙 丙 丁 整理，得x2-4x=-3. 移项，得x(x-1)+3(x- a=1,b=-4,c=-3, 整理，得x2-4x=-3. 两边同时除以 1)=0. .△=b2-4ac=28. 配方，得x2-4x+4=1. 班 .(x-1)(x+3)=0. (x-1),得x=3. .x-1=0或x+3=0. x=4±√28 ∴.(x-2)2=1. 2 =2±√7. ∴x-2=±1. x1=1,x2=-3. x1=2+√7，x2=2-√7. .x1=1,x2=3. A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 河南专版数学九年级 人教第1页 共3页 9.小影与小冬一起写作业，在解一道关于x的一元二次方程（二次项系数为1）时，小影在化简过程中写错 了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两 个根是-2和-5，则原来的方程是 ) A.x2+6x+5=0 B.x2-7x+10=0 C.x2-5x+2=0 D.x2-6x-10=0 10.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a-b+c=0,且有两个相等的实数根，则下列结论 错误的是 ( A.a-c=0 B.2a-b=0 C.b-2c=0 D.a+b+c=0 二、填空题 11.设题新角度开放性试题了写出一个一元二次方程，使它有一个根为1，则这个方程可以为 12.某校九年级组织一次辩论赛，规定进行单循环赛（每两班赛一场），共赛了28场，该校九年级共有多少个 班级参加了辩论赛？设该校九年级共有x个班级参加了辩论赛，根据题意，可列方程为 13.若等腰三角形ABC的一腰长a=6,另两边长b,c恰好是方程x2-(m+1)x+2(m-1)=0的两个实数根， 则△ABC的周长为 14,〔南通中考〕若m,n是一元二次方程？+3x-1=0的两个实数根，则m+mn的值为 3m-1 三、解答题 15.解方程：(1)x(x-4)+5(x-4)=0; (2)5x2-3x-1=0. 16.〔安阳市)定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0,那么我们称这个方程为“凤凰” 方程. (1)写出一个“凤凰”方程： (2)“凤凰”方程必定有一个根是 (3)已知方程x2+mx+n=0是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求mn的值. 河南专版数学九年级人教第2页共3页 专项1 17.〔杭州市〕某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于 进价时，日销售量y(盒)与销售单价x(元/盒)是一次函数关系.下表是y与x的几组对应值. 销售单价x(元/盒) 12 14 16 18 20 日销售量y(盒) 56 52 48 44 40 (1)求y关于x的函数解析式. (2)糖果销售单价定为多少元/盒时，所获日销售利润为448元？ (3)超市决定从售出的每盒糖果所获得的利润中拿出2元捐赠给儿童福利院，那么该种糖果 的日销售利润去掉捐款后可以为400元吗？若可以，请求出该糖果的销售单价；若不可以， 请说明理由. 18.根据教育部印发的《义务教育课程方案(2022年版)》和《义务教育劳动课程标准(2022年 版)》，某中学设置劳动课，并在校园内开辟了专门的劳动教育基地.九年级数学兴趣小组在 课余时间里，利用一面学校的墙（墙的最大可用长度为22m)和长为34的篱笆（篱笆正好 要全部用完，且不考虑接头的部分)围成中间隔有一道篱笆的长方形菜地，在菜地的前端各 设计了两个宽1的小门，供同学们进行劳动实践，如图 (1)设菜地的宽AB为xm,则BC= m(用含x的代数式表示). (2)求当x为何值时，围成的菜地面积为81m2 (3)要想围成的菜地面积为120m,可能吗？请计算说明理由， D 专项1 河南专版数学九年级人救第3页共3页 期末复习方略·攻专项 专项2 二次函数的图象与性质 锁定期末高频考点，快速掌握 一、选择题（每小题只有一个正确选项） 1.若y=(a-2)x2-3x+4是二次函数，则a的取值范围是 A.a≠2 B.a>0 C.a>2 D.a≠0 2.〔北京市〕将二次函数y=x2-4x+3化为y=(x-h)2+k的形式，下列结果正确的是 ( A.y=(x+2)2+1 B.y=(x+2)2-1C.y=(x-2)2-1 D.y=(x-2)2+1 3.若二次函数y=ax2的图象经过点P(2,4),则该图象必经过点 A.(-2,-4) B.（-2,4) C.(-4,2) D.(4,-2) 4.〔哈尔滨市〕将抛物线y=2x经过怎样的平移可得到抛物线y=2(x+3)2+4 A.先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 B.先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 C.先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 D.先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 5.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，其中b<0,c>0,则该函数的图象可能是 B 6.〔郑州市〕关于抛物线y=-2(x+1)2+3,下列说法错误的是 A.抛物线的开口方向向下 B.当x<-1时，y随x的增大而减小 C.抛物线的对称轴是直线x=-1 D.抛物线必经过点(0,1) 7.如图，二次函数y=ax2-2ax+1(a<0)的图象所在平面直角坐标系的原点是 A.点01 B.点02 C.点03 000 D.点O4 8.〔重庆市改编〕点P,(-3,y),P2(-1,y2),P(2,y3)均在二次函数y=x2-4x-4的图象上，则y1, y2,y的大小关系是 A.y1>y2>y3 B.y3>y1>y2 C.y2>y3>y D.y2>y1>y3 9.二次函数y=x2-2x-a的图象经过平面内的四个象限，则a的取值范围为 A.a>0 B.a>-1 C.-1<a<0 D.a<2 河南专版数学九年级 人教第1页 共3页 专项2 10.二次函数y=a2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，对称轴为直线x=-1,则下列结论：①6>0；②am +bm≤a-b(m为任意实数)；③3a+c<1;④若M(x1,n),N(x2,n)是抛物线上不同的两个点，则x1+x2≤-3. 其中正确的结论有 () A.1个 B.2个 2 1 C.3个 -3-2-1,01x D.4个 二、填空题 11.设题新角度开放性试题了已知二次函数的图象开口向下，对称轴是y轴，且图象不经过原点，请写出一个符 合上述条件的二次函数解析式： 12.〔西安市〕已知正方形的边长为4，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作出的函数y=2x2与y= -2x的图象如图所示，则阴影部分的面积是 10x 第12题图 第13题图 13.〔天津市改编)二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x=-1,与x轴的一个交点为A (1,0),另一个交点为B,则线段AB的长为 14.下表列出了函数y=ax2+bx+c(a≠0)中自变量x与函数y的部分对应值.根据表中数据，判断一元二次 方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解在相邻的整数 之间 -2 -1 0 1 2 y 1 2 1 -2 -7 15.〔济南市〕已知二次函数y=mx2+2mx+1(m≠0)在-2≤x≤2时有最小值-4，则m的值为 三、解答题 16.〔烟台市〕已知二次函数y=x2+2x-3. (1)把下表补充完整； -3 -2 -1 0 1 … y -3 e0年 (2)在所给的平面直角坐标系中，画出此函数图象； (3)根据所画的图象直接写出当y>-3时，x的取值范围 专项2 河南专版数学九年级人教第2页共3页 17.已知抛物线y=ax2-2ax-3+2a2(a≠0). （1)求这条抛物线的对称轴； (2)若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式； (3)若点P(m,y),Q(3,y2)在该抛物线上，且y1<y2,求m的取值范围 弥 封 线 18.〔安阳市〕如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A,B(1,0),与y轴交于点C,且OA=OC. (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； 内 (2)当k≤x<0,且k<-1时，y的最大值和最小值分别为m,n,且m+n=-1,求k的值， 四 答 题 席 河南专版数学九年级人教第3页共3页期末复习小助手 答案精解精析 竭力使答案更美好 期末复习方略·攻专项 专项1一元二次方程 方程有两个不相等的实数根，x=-6±√P-4ac 2a 一、选择题 =3±29 1.A2.B3.A4.D5.B 2×5, 6.B【解析】由题图可知，m>0,n<0..-4n>0. 即x=3+29 3-√29 10 x2= 10 m2>0,.△=m2-4n>0..该方程有两个不相 16.解：(1)x2+x-2=0(答案不唯一) 等的实数根.故选B. (2)x=1 7.C8.D (3).x2+mx+n=0是“凤凰”方程，且该方程有 9.B【解析】设原来的方程为x2+bx+c=0.由题 两个相等的实数根， 知96+1=7，片=-2x(-5=106=-7, .1=x2=1. c=10..原来的方程为x2-7x+10=0.故选B. ∴.由根与系数的关系，得m=-(x1+x2)=-2,n= 10.D【解析】a-b+c=0,.b=a+c.该方程 xx2=1..mn=-2. 17.解：(1)设y关于x的函数解析式为y=kx+b(k≠0. 有两个相等的实数根，.△=b2-4ac=0.∴.(a+ c)2-4ac=0..(a-c)2=0.a-c=0.A正确 由题意，得2k+h56解得二2， 14k+b=52. b=80. a-c=0,∴a=c..b=2a=2c..2a-b=0,b y关于x的函数解析式为y=-2x+80. -2c=0.B,C正确.a+b+c=a+2a+a=4a≠0. (2)由题意，得(x-10)(-2x+80)=448. D错误.故选D. 解得x1=26,x2=24. 二、填空题 答：糖果销售单价定为26元/盒或24元/盒时，所 11.x2=1(答案不唯一) 获日销售利润为448元 122x-10=28 (3)该种糖果的日销售利润去掉捐款后不可以为 13.14【解析】由题可知，方程x2-(m+1)x+2(m 400元. -1)=0有一个根为x=6.将x=6代入，得36- 理由：由题意，得(x-10)(-2x+80)-2(-2x+ 80)=400. 6(m+1)+2(m-1)=0.解得m=7..原方程为 整理，得x2-52x+680=0. x2-8x+12=0.解得x1=2,x2=6.∴.△ABC的三 边长为2,6,6..△ABC的周长为2+6+6=14. 4=(-52)2-4×680=-16<0, 此方程无实数根. 14.3【解析】m,n是一元二次方程x2+3x-1=0 .该种糖果的日销售利润去掉捐款后不可以为 的两个实数根，m≠0，m+n=-3,m2+3m- 400元 1=0.3m-1=-m2.m+m2n=m2m+）_ 3m-1 3m-1 18.解：(1)(36-3x) -3m2 (2)根据题意，得x(36-3x)=81. n23. 解得x1=3,x2=9. 三、解答题 当x=3时，36-3x=36-3×3=27>22,不符合 15.解：(1)因式分解，得(x-4)(x+5)=0. 题意，舍去； 于是得x-4=0,或x+5=0, 当x=9时，36-3x=36-3×9=9<22,符合题意. x1=4,x2=-5. .当围成的菜地面积为81m时，x的值为9. (2)a=5,b=-3,c=-1. (3)不可能 4=b2-4ac=(-3)2-4×5×(-1)=29>0. 理由：根据题意，得x(36-3x)=120. 河南专版 数学 九年级人教 整理，得x2-12x+40=0. (2)如图所示 4=(-12)2-4×1×40=-16<0, .该方程无实数根，即不能围成面积为120m的 菜地 专项2二次函数的图象与性质 一、选择题 1.A2.C3.B4.A5.C6.B7.B8.A (3)x<-2或x>0. 9.A【解析】二次函数y=x2-2x-a的图象开口向 17.解：(1)抛物线y=ax2-2ax-3+2a2=a(x-1)2 上，对称轴是直线x=1,且图象经过平面内的四个 +2a2-a-3, 象限，.该图象与y轴的交点在负半轴..-a<0. .这条抛物线的对称轴为直线x=1. 解得a>0.故选A. (2)这条抛物线的对称轴为直线x=1, 10.B【解析】根据题图，得抛物线开口向下，对称 .抛物线顶点的横坐标为1. 轴为直线x=-1,交y销于正半轴a<0,名 :抛物线的顶点在x轴上， .当x=1时，y=2a2-a-3=0. -1,c>0.b=2a<0..6<0.①错误.当x=-1 3 a1=24=-1. 时，y取得最大值，最大值为y=a-b+c..对于 “抛物线解折式为y--3+或y=-+ 3 任意实数m,当x=m时，y=am2+bm+c≤a-b 2x-1. +c.∴am2+bm≤a-b.②正确.：当x=1时，y= (3)抛物线的对称轴为直线x=1, a+b+c<0,b=2a,∴.3a+c<0.∴.3a+c<1. ∴点Q(3,y2)关于直线x=1的对称点的坐标为 ③正确.点M,N在二次函数的图象上，且两点 (-1,y2).当a>0时，y1<y2,.-1<m<3.当 的纵坐标相等，十=-6 2 2a =-1x1+x2= a<0时，y1<y2,∴m<-1或m>3. 18.解：(1)在y=ax2+bx+3中，令x=0,得y=3. -2.④错误.综上所述，正确的结论为②③，共2 ∴点C的坐标为(0,3).0C=3. 个.故选B. .OA=OC,点A在x轴的负半轴上， 二、填空题 .点A的坐标为(-3,0) 11.y=-x2+1(答案不唯一)12.8 把点A(-3,0),B(1,0)代人y=ax2+bx+3, 13.414.0与1（或-2与-3） 得3+3.0，解得a=- 15.5或-。【解析】y=m2+2mx+1=mc+ a+b+3=0. b=-2. .抛物线的解析式为y=-x2-2x+3. 1)2-m+1,.二次函数y=mx2+2mx+1的对称 y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4, 轴为直线x=-1.-2≤x≤2，.分两种情况： “.抛物线的顶点坐标为(-1,4). ①当m>0时，抛物线开口向上，.x=-1时，y有 (2)k≤x<0,且k<-1, 最小值，y最小=-m+1=-4.∴m=5.②当m<0 .顶点(-1,4)在该段抛物线上. 时，抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1, ∴y的最大值为4，即m=4. 且-1-（-2)<2-(-1)，∴x=2时，y有最小值， .'m+n=-1,∴.n=-1-m=-5 y新=加+n+1=4m=-名综上所述，n 令y=-x2-2x+3=-5,∴x1=-4,x2=2. .k<-1,.k=-4 的值为5或。 专项3 二次函数的应用 三、解答题 一、选择题 16.解：(1)补全的表格如下 1.A2.B3.C4.D5.A6.C 7.D【解析】在y=x2-8x+15中，当y=0时，x2- 3 -2 0 8x+15=0.解得x1=3,x2=5..点M,N的坐标分 … 0-3 -4 -3 0 别为(3,0)和(5,0).MN=2.设点P的坐标为 河南专版数学 九年级人教