专题08角的和差9大计算问题（期末复习专项训练）七年级数学上学期新教材浙教版

专题08 角的和差 目录 题型一 角度的四则计算（共4小题） 1 题型二 角度和差计算（常考点）（共4小题） 3 题型三 单角平分线模型（共3小题） 6 题型四 双角平分线模型（重点）（共4小题） 9 题型五 n等分线模型（共3小题） 14 题型六 余（补）角有关的计算（常考点）（共4小题） 18 题型七 动角问题（重点）（难点）（共4小题） 22 题型八 用方程解决角度和差问题（重点）（共3小题） 30 题型九 用分类讨论解决角的和差问题（重点）（共3小题） 34 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 角度的四则计算（共4小题） 1．（25-26七年级上·江苏徐州·月考）计算 (1)； (2)； (3) 2．（21-22七年级上·湖北孝感·期末）计算题： (1)； (2)． 3．（25-26七年级上·湖南长沙·月考）计算： (1)； (2) 4．（25-26七年级上·江西南昌·月考）计算： (1) (2) 题型二 角度和差计算（常考点）（共4小题） 5．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，点A、O、B在同一直线上，平分，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，是直线上一点，若，，，则的度数是 ． 7．（25-26七年级上·陕西榆林·月考）如图，在内部有三条射线依次分布，若，，，则的度数为 ． 8．（25-26七年级上·山西太原·月考）如图，和都是直角，在的内部． (1)如果，那么____________． (2)找出除和之外相等的角：____________；如果，它们还会相等吗？____________（填“相等”或者“不相等”）． (3)若的度数为，那么的度数为____________（用含的代数式表示）． 题型三 单角平分线模型（共3小题） 9．（25-26七年级上·山东·期末）已知点O是直线上的一点，，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若（为锐角），请直接写出的度数（用含的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，将绕点O顺时针旋转，使得恰好平分，求的度数． 10．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，，，平分． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 11．（25-26七年级上·重庆·月考）如图，已知，平分，且，求的度数． 题型四 双角平分线模型（重点）（共4小题） 12．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，已知，是内部的两条射线，平分，平分， (1)若，，求的度数． (2)若，，求的度数．（用α，β含的式子表示） 13．（25-26七年级上·重庆万州·月考）如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线． (1)如图1，分别是、的角平分线，已知，，求的度数； (2)如图2，若，，，求的度数． 14．（25-26七年级上·河南驻马店·月考）如图，是的平分线，是的平分线． (1)如图1，当是直角，时，，的度数是多少？ (2)如图2，当，时，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当，时，猜想：与、有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，已知内部有三条射线，OE平分，OF平分． (1)若，求的度数； (2)若将条件中的“OE平分，OF平分”改为“，”，且，求的度数． 题型五 n等分线模型（共3小题） 16．（24-25七年级上·四川广安·期末）如图，已知，射线在的内部，射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线． (1)若平分，求的度数． (2)小明说：“不论射线在的内部哪个位置，的度数始终保持不变．”你认为小明的说法是否正确？请说明理由． 17．（23-24七年级上·江西南昌·期末）如图1，直线与相交于点O，使．将一直角三角尺的直角顶点放在O处，即．    (1)当三角尺一边在的内部，且为的三等分线，求的度数？ (2)当三角尺一边在的内部（图2），求的值？ 18．（24-25七年级下·北京·期末）如图， 点O在直线 上，， 射线在内部， 且． (1)如图1， 若是的平分线， 求的度数；下面是小张同学的解答过程，请帮小张补充完整答案 解：如图1， ∵是的平分线， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ， ， ∴ ． (2)如图2，小张发现当不是的平分线时，与的数量关系仍然保持不变，请你用等式表示出与的数量关系，并说明理由． 题型六 余（补）角有关的计算（常考点）（共4小题） 19．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，直线，，相交于点，，与互为余角，平分，则 ． 20．（23-24七年级上·辽宁营口·期末）如图，是内三条射线，平分，平分． (1)已知，，求的度数； (2)若与互余，求的度数． 21．（24-25七年级上·四川绵阳·期末）如图所示，是的平分线，是的平分线． (1)如果，与互余，求． (2)如果与互补，求． 22．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，是的角平分线，为的角平分线． (1)若，，求的度数； (2)若与互为补角，求的度数． 题型七 动角问题（重点）（难点）（共4小题） 23．（25-26七年级上·四川达州·月考）如图1，已知，在内部画射线得到三个角，分别为，，．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于且小于的角） 阅读理解： （1）角的平分线 这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”） 初步应用： （2）如图1，若，射线为的“幸运线”，求的度数； 解决问题： （3）如图2，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点O顺时针旋转，同时射线从出发，以每秒的速度绕点O顺时针旋转，设旋转的时间为t秒（）．若，，三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求t的值． 24．（2025七年级上·全国·专题练习）如图1，先画出直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角（）的顶点与角（）的顶点重合，且边，都在直线上． (1) 度； (2)如图2，固定三角板不动，将三角板绕点按顺时针方向旋转一个角度，当边第一次落在射线上时停止． ①当平分时，求旋转角α的度数； ②如图3，当运动到内部时，是定值，求这个定值； ③当时， 直接写出旋转角α的度数为 ． 25．（25-26七年级上·广东清远·月考）综合运用： 数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图1，数轴上的点A 表示的数为a，B 表示的数为b，且 点C在线段上，图1中有3条线段，分别是线段、线段、线段．若其中一条线段是另一条线段的一半，则称点C是线段的等分点． 【问题解决】 （1） ①点A、B 表示的数分别是_______、_______； ②若点C是线段的等分点，请求出此时线段的长． 【方法迁移】 （2）我们发现角的很多运算方法和线段一样，如图2，射线在的内部，图中共有3 个角：， 和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的一半，则称射线是的“等分线”． ①如图3， 若，且射线绕点P从位置开始， 以每秒的速度逆时针旋转，旋转的时间为t 秒，当与成时停止旋转．当t为何值时，射线是的“等分线”． ②在①的条件下，射线从位置开始绕点P 以每秒的速度逆时针旋转，并与 同时停止，请直接写出当射线是的“等分线”时t的值． 26．（25-26七年级上·江西鹰潭·月考）如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，边在射线上，边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点O旋转至图2的位置，使边在的内部，若恰好平分，则______，______； (2)将图1中的三角板绕点O旋转，使边在的内部，试探究与之间的数量关系； (3)将图1中的三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转一周．在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为______． 题型八 用方程解决角度和差问题（重点）（共3小题） 27．（25-26七年级上·浙江金华·月考）如图，是的平分线，，，求的度数． 28．（25-26七年级上·陕西西安·月考）如图，为内部的一条射线，是的平分线，是的平分线，若，比的3倍少， (1)求的度数； (2)求的度数． 29．（25-26七年级上·河北唐山·期中）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的，那么这两条射线所成的角叫做这个角的“相生角”．如图1，若，则是的相生角． (1)如图1，已知，，是的相生角，求的度数； (2)某同学将绕点O按顺时针方向旋转得到，如图2．若，判断是否是的相生角，并说明理由． (3)若，把含有角的三角板与顶点O重合放置，如图3所示，让三角板的边与边重合开始绕顶点O按顺时针方向旋转一周，请直接写出在旋转过程中是的相生角时旋转角的度数． 题型九 用分类讨论解决角的和差问题（重点）（共3小题） 30．（24-25七年级下·甘肃定西·月考）如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，，则是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是 ． 31．（2025七年级上·广东深圳·专题练习）已知，，平分，的度数为 32．（25-26七年级上·重庆·期中）已知射线在的内部，射线在射线的右侧，且满足． (1)如图1，在的内部，已知，射线、分别平分、，则________． (2)如图2，已知射线平分，，试探究与的数量关系，并求出当时，的度数． (3)在（2）的结论下，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，同时将绕着点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，当时，请直接写出t的值． $专题08 角的和差 目录 题型一 角度的四则计算（共4小题） 1 题型二 角度和差计算（常考点）（共4小题） 3 题型三 单角平分线模型（共3小题） 6 题型四 双角平分线模型（重点）（共4小题） 9 题型五 n等分线模型（共3小题） 14 题型六 余（补）角有关的计算（常考点）（共4小题） 18 题型七 动角问题（重点）（难点）（共4小题） 22 题型八 用方程解决角度和差问题（重点）（共3小题） 30 题型九 用分类讨论解决角的和差问题（重点）（共3小题） 34 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 角度的四则计算（共4小题） 1．（25-26七年级上·江苏徐州·月考）计算 (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了度分秒的加、减、乘、除运算，解题的关键在于要注意度分秒是60进制． （1）先借化为分和秒，然后同一单位分别相减即可得解； （2）每一个单位分别乘以4，分、秒超出60的部分向上一个单位进1即可； （3）从度开始计算，余数乘以60继续除以3进行计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 余 ， 所以， ． 2．（21-22七年级上·湖北孝感·期末）计算题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角的计算． （1）根据题意用度、分、秒分别相减，注意度、分、秒之间的进制都是60进制，小单位不够减，需要向上一级单位借1，即可求解； （2）由题意先算乘除，再算加减，注意度、分、秒之间的进制都是60进制，小单位满60需要向上一级单位进1，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 3．（25-26七年级上·湖南长沙·月考）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角度的四则运算，熟练掌握运算法则和正确进行度、分、秒之间的换算是解题的关键． （1）根据度分秒的减法法则计算即可求解； （2）根据度分秒的乘法和加法法则计算即可求解； 【详解】（1）解： （2）解：． 4．（25-26七年级上·江西南昌·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角的四则运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据角的四则运算法则求解即可； （2）根据角的四则运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型二 角度和差计算（常考点）（共4小题） 5．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，点A、O、B在同一直线上，平分，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，解题的关键是根据角平分线找出角的等量关系． 由平角定义得，计算，然后利用角平分线定义即可解答． 【详解】解：因为点A、O、B在同一直线上， 所以是平角，即． 因为， 所以． 又因为平分， 所以． 故选：A． 6．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，是直线上一点，若，，，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，正确理清角之间的关系是解题的关键．先根据平角的定义求出，进而求出，则． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·陕西榆林·月考）如图，在内部有三条射线依次分布，若，，，则的度数为 ． 【答案】/42度 【分析】本题考查了角的和差倍关系，设，可得，，进而得到，再根据角的和差关系即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（25-26七年级上·山西太原·月考）如图，和都是直角，在的内部． (1)如果，那么____________． (2)找出除和之外相等的角：____________；如果，它们还会相等吗？____________（填“相等”或者“不相等”）． (3)若的度数为，那么的度数为____________（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)；相等 (3) 【分析】本题考查角的和差运算，解题的关键是利用直角的性质分析角之间的关系． （1）通过直角的度数，结合已知角的度数，计算； （2）根据角的和差关系找出相等的角，并判断其恒等性； （3）用含的代数式表示． 【详解】（1）解： 和都是直角，， ， ， ． 故答案为：； （2）解： ， ，即． 若，上述等式仍成立，故它们仍然相等． 故答案为：；相等． （3）解： ， ， ． 故答案为：． 题型三 单角平分线模型（共3小题） 9．（25-26七年级上·山东·期末）已知点O是直线上的一点，，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若（为锐角），请直接写出的度数（用含的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，将绕点O顺时针旋转，使得恰好平分，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角的运算，角平分线的定义； （1）由可得，平分，可求出，最后根据即可求解； （2）将（1）的过程中的的度数用代替，即可求出的度数； （3）由，可求出，平分，可求出，再由平分，得，列出方程求解即可. 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴. （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴. （3）解：恰好平分，当在直线下方时，如图所示， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 当在直线上方时，如图所示， 同理可得：. 综上：. 10．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，，，平分． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了几何图形中角的计算，角平分线的定义； （1）根据题意，，，即可得出，再根据计算即可得出答案； （2）根据角平分线求出，由，即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）平分． ， ， ，， ， ． 11．（25-26七年级上·重庆·月考）如图，已知，平分，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，用方程的思想设角的度数，进而将其他角用该角的代数式表示，最后根据题意列出方程求解即可． 设，，然后用表示出和的度数，列出方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：由， 设，， ， ， ． 平分， ， ， ，解得， ， ， ． 题型四 双角平分线模型（重点）（共4小题） 12．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，已知，是内部的两条射线，平分，平分， (1)若，，求的度数． (2)若，，求的度数．（用α，β含的式子表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线定义，几何图形中角的计算，解题的关键是数形结合，注意整体思想应用． （1）先根据，，求出，再根据角平分线定义得出，，从而求出，最后求出结果即可； （2）先根据，，求出，再根据，求出结果即可． 【详解】（1）解：由条件可知 ， ∵平分，平分， ∴，， ∵ ， ∴ ； （2）解：由条件可知 ， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴ ． 13．（25-26七年级上·重庆万州·月考）如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线． (1)如图1，分别是、的角平分线，已知，，求的度数； (2)如图2，若，，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，角的和与差，弄清角与角间的数量关系，利用方程思想解答是解题的关键． （1）根据、分别是、的角平分线，而，可求，再由即可求解； （2），可得，从而得到，再由，根据角的和差列方程求解，即可求解的度数． 【详解】（1）解：∵、分别是、的角平分线， ∴， ∵，， ∴ ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴． 14．（25-26七年级上·河南驻马店·月考）如图，是的平分线，是的平分线． (1)如图1，当是直角，时，，的度数是多少？ (2)如图2，当，时，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当，时，猜想：与、有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由． 【答案】(1)， (2)，见解析 (3)，见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义以及角的运算； （1）观察图形，结合角平分线的定义可得，，，再根据可得答案； （2）观察图形，结合角平分线的定义可得，，再根据可得答案； （3）观察图形，结合角平分线的定义可得，，再根据可得答案． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， 是直角， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）解：． 理由：∵，是的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：． 理由：∵平分， ∴， ∵，是的平分线， ∴， ∴． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，已知内部有三条射线，OE平分，OF平分． (1)若，求的度数； (2)若将条件中的“OE平分，OF平分”改为“，”，且，求的度数． 【答案】(1)45°； (2)． 【分析】本题主要考查角的平分线以及角的和差关系的应用，通过角平分线的性质或给定的角的比例关系，结合已知角的度数或表达式来求解的度数． 【详解】（1）解：∵平分，OF平分 ∴， ∴ ∵ ∴ （2）解：∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了角的和差与角平分线的应用，掌握利用角的和差关系结合角平分线性质或角的比例关系来推导角的度数的方法是解题的关键． 题型五 n等分线模型（共3小题） 16．（24-25七年级上·四川广安·期末）如图，已知，射线在的内部，射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线． (1)若平分，求的度数． (2)小明说：“不论射线在的内部哪个位置，的度数始终保持不变．”你认为小明的说法是否正确？请说明理由． 【答案】(1) (2)正确，理由见解析 【分析】本题考查角平分线和角三等分线，角的和与差． （1）根据角平分线得到，再根据三等分线可得和的度数，最后利用可得答案； （2）正确，按照（1）的思路计算即可． 【详解】（1）∵，平分， ∴， ∵射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线， ∴， ， ∴； （2）小明是说法正确， ∵射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线， ∴，， ∴． 17．（23-24七年级上·江西南昌·期末）如图1，直线与相交于点O，使．将一直角三角尺的直角顶点放在O处，即．    (1)当三角尺一边在的内部，且为的三等分线，求的度数？ (2)当三角尺一边在的内部（图2），求的值？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等分角问题，角的和差； （1）由为的三等分线，得 ，或 ，即可求解； （2）由角的和差得，，即可求解； 能根据角的等分线不确定性分类求解，用已知角的和差表示所求角是解题的关键． 【详解】（1）解： 为的三等分线， ， 或 ， ， 或； 故的度数为或； （2）解：∵， ， ∴， ， ∴ ． 18．（24-25七年级下·北京·期末）如图， 点O在直线 上，， 射线在内部， 且． (1)如图1， 若是的平分线， 求的度数；下面是小张同学的解答过程，请帮小张补充完整答案 解：如图1， ∵是的平分线， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ， ， ∴ ． (2)如图2，小张发现当不是的平分线时，与的数量关系仍然保持不变，请你用等式表示出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角的倍数关系，角的和差等知识点，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和角的和差． （1）利用角的平分线的定义求出的度数，再利用角的和差求出的度数，最后根据角的倍数关系以及角的和差即可求解； （2）假设，则，利用角的和差表示出相关的角，然后进行比较即可得出数量关系． 【详解】（1）解：如图1， ∵是的平分线， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ， ∴ ， 故答案为：，，； （2）解：，理由如下： 假设，则，， ∴， 则． 题型六 余（补）角有关的计算（常考点）（共4小题） 19．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，直线，，相交于点，，与互为余角，平分，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是角互余的含义，角平分线的定义，角的和差运算，熟练的利用角的和差关系进行计算是解本题的关键． 由与互为余角，，可求出，进而求出，结合平分，可求出，根据对顶角相等得到，再利用角的和差关系可得答案． 【详解】解： 与互为余角， ， ， ， ， 平分， ， ． 故答案为：． 20．（23-24七年级上·辽宁营口·期末）如图，是内三条射线，平分，平分． (1)已知，，求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义求出的度数，即可求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数即可； （2）根据角平分线的定义及角的和差得出，再根据与互余，即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ， 即， ∵与互余， ∴， 即， ∴． 21．（24-25七年级上·四川绵阳·期末）如图所示，是的平分线，是的平分线． (1)如果，与互余，求． (2)如果与互补，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线有关的计算，余角、补角有关的计算，掌握相关定义和性质是解题的关键． （1）由角平分线的定义可得，由互为余角的特征得到的度数，再由角平分线的定义可得的度数，最后根据角的和差即可解答； （2）由与互补，可得，结合角平分线的定义可得，进一步即可解答． 【详解】（1）解：是的平分线，， ， 与互余， ， 是的平分线， ， ． （2）解：若与互补，则， ，即， 是的平分线，是的平分线， ，， ，即， ， ． 22．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，是的角平分线，为的角平分线． (1)若，，求的度数； (2)若与互为补角，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查了角平分线的性质及补角的性质． （1）利用角平分线的性质得出的度数，再利用角度的和差关系求出结果； （2）利用角平分线的性质得出，，通过角度的和差关系得出，紧接着根据补角的性质求出结果． 【详解】（1）解：∵为的角平分线， ∴， ∴． （2）解：∵是的角平分线，为的角平分线， ∴，， ∴， ∵与互为补角， ∴， ∴， ∴． 题型七 动角问题（重点）（难点）（共4小题） 23．（25-26七年级上·四川达州·月考）如图1，已知，在内部画射线得到三个角，分别为，，．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于且小于的角） 阅读理解： （1）角的平分线 这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”） 初步应用： （2）如图1，若，射线为的“幸运线”，求的度数； 解决问题： （3）如图2，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点O顺时针旋转，同时射线从出发，以每秒的速度绕点O顺时针旋转，设旋转的时间为t秒（）．若，，三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求t的值． 【答案】（1）是；（2）的度数为或或；（3）t的值是或或 【分析】本题考查了几何图形中的角度运算，一元一次方程的应用，新定义问题. （1）根据“幸运线”定义即可求解； （2）分3种情况，根据“幸运线”定义得到方程求解即可； （3）分4种情况，根据“幸运线”定义得到方程求解即可． 【详解】（1）解：设是的平分线，则， ∴一个角的平分线是这个角的“幸运线”， 故答案为：是； （2）解：①若，设，则， 由题意得，， 解得， ②若，设，则， 由题意得，， 解得， ③若，设，则， 由题意得，， 解得， ∴的度数为或或； （3）解：当时，射线在内部， 此时，， ①当时，则， 即， 解得； ②当时，则， 即， 解得； ③当时，则， 解得； ④当时，则， 解得； 故的值是或或． 24．（2025七年级上·全国·专题练习）如图1，先画出直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角（）的顶点与角（）的顶点重合，且边，都在直线上． (1) 度； (2)如图2，固定三角板不动，将三角板绕点按顺时针方向旋转一个角度，当边第一次落在射线上时停止． ①当平分时，求旋转角α的度数； ②如图3，当运动到内部时，是定值，求这个定值； ③当时， 直接写出旋转角α的度数为 ． 【答案】(1) (2)①；②；③或 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想解决问题是关键． （1）根据图形中角的和差关系进行计算即可； （2）①根据角平分线的定义以及平角的定义进行计算即可； ②根据图形中角的和差关系进行计算即可； ③分两种情况，当在内部时，当在内部时，利用角的和差表示出和，然后根据列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①当平分时， ∴， ∴， 即旋转角； ②如图3，，理由如下： ； ③如图2，当在内部或与重合时，即， 由题意得，， ， 当时， 即， 解得． 如图3，当在内部与重合时，即， ， ， 当时， 即， 解得， 故答案为：或． 25．（25-26七年级上·广东清远·月考）综合运用： 数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图1，数轴上的点A 表示的数为a，B 表示的数为b，且 点C在线段上，图1中有3条线段，分别是线段、线段、线段．若其中一条线段是另一条线段的一半，则称点C是线段的等分点． 【问题解决】 （1） ①点A、B 表示的数分别是_______、_______； ②若点C是线段的等分点，请求出此时线段的长． 【方法迁移】 （2）我们发现角的很多运算方法和线段一样，如图2，射线在的内部，图中共有3 个角：， 和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的一半，则称射线是的“等分线”． ①如图3， 若，且射线绕点P从位置开始， 以每秒的速度逆时针旋转，旋转的时间为t 秒，当与成时停止旋转．当t为何值时，射线是的“等分线”． ②在①的条件下，射线从位置开始绕点P 以每秒的速度逆时针旋转，并与 同时停止，请直接写出当射线是的“等分线”时t的值． 【答案】（1）①，9；②；（2）①当，3，4，9时，射线是的“等分线”．②或或． 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，角的和差计算，线段的和差计算等知识． （1）①根据非负数的性质即可求出答案；②根据等分点的定义分情况进行解答即可；（2）①根据射线是的“等分线”分情况进行解答即可；②根据射线是的“等分线”分情况进行解答即可． 【详解】（1）①，， ∴，， 解得，， 故答案为：，9； ②由①可知，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，，则， 综上可知，若点C是线段的等分点，线段的长为． （2）①当，即，解得， 当，即，解得， 当，即，解得， 当时，，此时， 即，解得， 综上可知，当，3，4，9时，射线是的“等分线”． ②依题意有：在的外部， ∴，， 当时，如图所示： ， 解得； 当时， ， 解得； 当时， ， 解得． 在的外部，当时，若， 即 解得， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴当射线是的“等分线”时的值为或或． 26．（25-26七年级上·江西鹰潭·月考）如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，边在射线上，边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点O旋转至图2的位置，使边在的内部，若恰好平分，则______，______； (2)将图1中的三角板绕点O旋转，使边在的内部，试探究与之间的数量关系； (3)将图1中的三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转一周．在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为______． 【答案】(1)； (2)或 (3)23或59 【分析】本题考查的是角的动态定义，角的和差运算，角平分线的定义． （1）由邻补角的定义与角平分线的定义可得答案． （2）分两种情况讨论：当在的外部时，当在的内部时，再结合角的和差运算可得答案． （3）解：分两种情况讨论：①如图，当平分时，②如图，当的反向延长线平分时，再分别画示意图，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴． 分两种情况讨论： 当在的外部时， ∴． ∵，， ∴； 当在的内部时， ∴， ∴． 综上所述，与之间的数量关系为或． （3）解：分两种情况讨论： ①如图，当平分时， ， ∴旋转的角度是：， ∴； ②如图，当的反向延长线平分时， ， ∴， ∴旋转的角度是：， ∴． 综上所述，t的值为23或59． 题型八 用方程解决角度和差问题（重点）（共3小题） 27．（25-26七年级上·浙江金华·月考）如图，是的平分线，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了角度的计算，角平分线的定义，分别表示出与是解题的关键． 设，然后用与的度数分别表示出与，然后根据角平分线的定义可知，计算即可求出的值，然后求出与的度数，相加即可得解． 【详解】解：设，则． ∵， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∴， 解得， ∴， 即， ∴． 28．（25-26七年级上·陕西西安·月考）如图，为内部的一条射线，是的平分线，是的平分线，若，比的3倍少， (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角度计算、角平分线的定义、一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，，再利用角的和差即可求解； （2）设，则，由（1）得，利用角的和差列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 即， ∵， ∴； （2）解：设，则， ∵是的平分线， ∴， 由（1）得，， ∴， 解得， ∴． 29．（25-26七年级上·河北唐山·期中）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的，那么这两条射线所成的角叫做这个角的“相生角”．如图1，若，则是的相生角． (1)如图1，已知，，是的相生角，求的度数； (2)某同学将绕点O按顺时针方向旋转得到，如图2．若，判断是否是的相生角，并说明理由． (3)若，把含有角的三角板与顶点O重合放置，如图3所示，让三角板的边与边重合开始绕顶点O按顺时针方向旋转一周，请直接写出在旋转过程中是的相生角时旋转角的度数． 【答案】(1) (2)不是，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，角的和差，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． （1）根据相生角的定义求得，再根据计算即可； （2）先根据旋转的性质得，再分别求出和，再根据相生角的定义即可得出结论； （3）分两种情况讨论：当边在的上方时，设；当边在的下方时，设；分别根据相生角的定义的角的和差列方程计算． 【详解】（1）解：∵是的相生角，， ∴， ∵， ∴； （2）解：不是，理由如下： ∵将绕点O按顺时针方向旋转得到， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴不是的相生角； （3）解：分以下两种情况讨论： 当边在的上方时，设， ∵是的相生角， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 即此时旋转角的度数为； 当边在的下方时，设， ∵是的相生角， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 即此时旋转角的度数为； 综上所述，旋转过程中是的相生角时旋转角的度数为或． 题型九 用分类讨论解决角的和差问题（重点）（共3小题） 30．（24-25七年级下·甘肃定西·月考）如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，，则是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查平移的性质，分两种情形：当点在线段上时，当点在的延长线上时，分别求解． 【详解】解：当点在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴． 当点在的延长线上时， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：或． 31．（2025七年级上·广东深圳·专题练习）已知，，平分，的度数为 【答案】或 【分析】本题考查角平分线定义及角的计算，弄清题意画出正确图形是解题关键 依据角的和差关系求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数即可． 【详解】解：当在外部时，如图①所示， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， 当在内部时，如图②所示， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， 故答案为：70°或． 32．（25-26七年级上·重庆·期中）已知射线在的内部，射线在射线的右侧，且满足． (1)如图1，在的内部，已知，射线、分别平分、，则________． (2)如图2，已知射线平分，，试探究与的数量关系，并求出当时，的度数． (3)在（2）的结论下，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，同时将绕着点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，当时，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2)； (3)t的值为或 【分析】此题考查了角的旋转，角平分线的计算和一元一次方程的应用，解题的关键是掌握相关概念． （1）设，根据题意得，再根据即可求出x的值，结合角平分线的定义即可求出的度数，进而即可求出的度数； （2）根据题意可求出，根据角平分线的定义可得，进而即可求出将进行变形代入即可求出和的数量关系，最后将进行代入求解即可得到的度数； （3）由（2）得，计算出未旋转时，、、的度数，由题意得，位置旋转，位置旋转，则可求出、的度数，再根据角平分线的定义可得的度数，分和时得的一元一次方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴设，则， ∴ 解得， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， 结合， 得 ， ∴ ， （2）解：由图可得，， ∵， ∴， ， ， ， ∵平分， ∴， 由图可得， ， ∵，， ∴， ， ， ， 由图可得，， ∴， ∴， ， ， 当时， ， ∴ ； （3）解：由（2）知，未旋转时， ， ， ， 当时， 由题意得，逆时针旋转每秒，位置旋转，角度大小不变，且旋转后对应的角为； 顺时针旋转每秒，位置旋转，角度大小不变，且旋转后对应的角为， ∴，， ∵平分， ∴， ∴ ， ∵， ∴ 解得． 当时，射线旋转超过一周， 则， ∴， ∴ ∴， 解得； 所以，的值为或． $