专题03～05整式及其加减全章21大题型（期末复习专项训练）七年级数学上学期新教材浙教版

专题05 整式的规律探究 目录 题型一 数字规律探究（共4小题） 1 题型二 数阵规律探究（共6小题） 2 题型三 算式规律探究（难点）（共5小题） 3 题型四 图形的规律探究（常考点）（共6小题） 5 题型五 程序性计算规律（常考点）（共3小题） 7 题型六 数表结合规律探究（共3小题） 8 题型七 幻方规律探究（常考点）（共3小题） 9 题型八 数形结合规律探究（难点）（共3小题） 10 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 数字规律探究（共4小题） 1．（25-26七年级上·甘肃张掖·期中）若是不等于1的实数，我们把称为的差倒数，如2的差倒数是，的差倒数为．现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D．4 2．（25-26七年级上·江西南昌·月考）已知整数，，，，…满足下列条件：，，，，…依次类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·广西崇左·月考）观察下列数据：，5，，17，，…，则第12个数是（　　） A．2045 B．﹣2047 C．4095 D．4097 4．（25-26七年级上·湖北荆门·期中）a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”，如3的“哈利数”是，的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则为 ． 题型二 数阵规律探究（共6小题） 5．（25-26七年级上·福建泉州·期末）观察下列数字规律， 则第行第个数是（　　） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·广东广州·月考）世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示，则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·四川绵阳·月考）如下列图表所示，数字2在第1行第2列，2020在m行第n列， ． 8．（25-26八年级上·湖南永州·期中）将按如图方式排列，若规定表示第m排从左向右第n个数，则 ①表示的数是 ； ②与表示的两数的平方和为 ． 9．（25-26七年级上·四川成都·期中）把正整数排成如图所示的数表． (1)数字“8”在此数表中总共出现了______次，数字“9”在此数表中总共出现了______次； (2)记第一行所有数的和为，第二行所有数的和为，第三行所有数的和为，…，照此规律计算下去，______． (3)请求出的值． 10．（25-26七年级上·湖南岳阳·月考）观察下面的数阵，探究其规律： 第1行：1 第2行：  3 第3行：4    6 第4行：  8    10 第5行：11    13    15 ．．．．．． (1)请写出第6行的所有数字； (2)第行有多少个数字？第行的第一个数字是多少？（用含的代数式表示） (3)求第13行所有数字的和． 题型三 算式规律探究（难点）（共5小题） 11．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）观察下列等式：，，… (1)仿照上面的等式，把后面这个代数式写成上面等式右边的形式：______； (2)直接写出下面算式的结果：______； (3)探究并计算：． 12．（25-26七年级上·江西赣州·期中）观察下列各式：①；②；③；④；… (1)根据上述规律写出第⑤个等式：_____； (2)请写出第个等式（用含的式子表示）； (3)计算的值． 13．（25-26七年级上·新疆阿克苏·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式： ； (2)请用含n的式子表示第n（n正整数）个等式． (3)求的值． 14．（25-26六年级上·山东泰安·期中）请先阅读下列材料，然后解答问题： 【材料1】 因为， 所以 ； 【材料2】 因为， 所以 ． (1)根据材料1，计算：． (2)根据材料2，计算：． 15．（25-26九年级上·河南周口·期中）观察下列等式，探索规律： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式： (1)写出第n个等式； (2)计算：． 题型四 图形的规律探究（常考点）（共6小题） 16．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）如图，将黑、白两种颜色的小正方形按照一定规律组合成一系列图案，若第n个图案中黑色小正方形个数记作，如，，则等于（    ） A．4049 B．4050 C．4051 D．4052 17．（25-26七年级上·江苏南通·期中）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图是其中一类：1，5，12，22称为五边形数，请你根据其中数排列的规律计算第101个五边形数与第100个五边形数的差是（    ） A．199 B．201 C．290 D．301 18．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图1中有5个棋子，图2中有10个棋子，图3中有16个棋子，……，则图11中有（   ）个棋子． A．115 B．100 C．86 D．73 19．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）按图中规律，第⑩个图形中黑色三角形的个数为（    ） A． B． C． D． 20．（25-26七年级上·四川绵阳·期中）我们知道有机物是生命产生的物质基础，所有的生命体都含有有机物．有机物主要是由碳元素、氢元素组成．烷烃是一类最基本的有机物，从结构上可看作其他各类有机物的母体，而球棍模型能够直观地展示各个原子之间的化学键连接情况．如图是几种常见烷烃的球棍模型，依此规律，烷烃的通式中的指的是（用含的代数式表示） ． 21．（25-26七年级上·浙江杭州·月考）以下图形中的圆点按照一定规律摆放．第个图形中“●”的个数为，第个图形中“●”的个数为，第个图形中“●”的个数为，…，以此类推，计算前个图形中圆点个数的倒数之和，即的值为 ． 题型五 程序性计算规律（常考点）（共3小题） 22．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2026次输出的结果为（   ） A．1 B．5 C．25 D．625 23．（25-26七年级上·山东青岛·期末）如图所示，在这个运算程序中，若开始输入的值为，结果输出的是，将第次输出的结果，再次输入运算程序，进行第次运算，结果输出的是，则第次输出的结果是 ． 24．（25-26七年级上·广东阳江·月考）如图是一种数值转换的运算程序： (1)若第1次输入的数为，则第2次输出的数为________； (2)若第1次输入的数为，则第5次输出的数为________； (3)若第1次输入的数为8，求第2019次输出的数是多少？ 题型六 数表结合规律探究（共3小题） 25．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）干支纪年是中国传统纪年方法．干支是天干和地支的总称，“甲、乙、丙…”等十个符号叫天干，“子、丑、寅…”等十二个符号叫地支，把干支（天干+地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅…）正好六十为一周期，周而复始，循环纪年．有人总结出纪年算法的辅助表如下： 十天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 十二地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 由上表还很快算出年是甲子年，年是庚辰年，那么年是（    ） A．丁酉 B．甲辰 C．乙巳 D．戊申 26．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）下面各方框中的三个数之间都有相同的规律，根据图中数字的规律，的值是 ． 2 4 6 8 5 12 17 72 37 228 m n 27．（25-26七年级上·河南新乡·期中）【阅读材料】 密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．英语字母表中字母的排列顺序如下： 如果规定又接在的后面，使26个字母排成圈，我们可以用英语26个字母来编制密码．例如，对于密文“ ”，如果破译它的“钥匙”是“”（其中代表字母表中的任意一个字母，表示将该字母换成向前移动3位所得到的字母），按这个规律就有 ．这样就能把密文“ ”破译成明文“ ”，从而解读出密文的意思，“”就是密文到明文的破译密码钥匙． （1）根据材料中的钥匙，密文“”可破译成明文“ ”； 【类比研究】 （2）将26个英文字母依次对应序号，如下表．给出密文与明文之间的关系如下： 当密文对应的序号为奇数时，明文对应的序号为；当密文对应的序号为偶数时，明文对应的序号为．请将密文“1  12  25  19”破译成用英文字母表示的明文； 字母 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 字母 序号 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 【研究拓展】 （3）小明沿用对字母标号的方法，即将26个英文字母依次对应序号，把密文“”译成明文“”，请直接写出它的破译密码钥匙． 题型七 幻方规律探究（常考点）（共3小题） 28．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）幻方是一种古老的数学游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和都相等．图1是一个幻方，图2是一个未完成的幻方，则是（     ）    A．20 B．21 C．22 D．23 29．（25-26九年级上·贵州毕节·期中）如图①是明代陆深古墓中发掘出来的宝玉——明白玉幻方．其背面有方框四行十六格，为四阶幻方（从1到16，一共十六个数目，它们纵列、横行与两条对角线上4个数之和均为34）．小明探究后发现，这个四阶幻方中的数满足下面规律：在四阶幻方中，当数有如图②的位置关系时，均有．如图③，已知此幻方中的一些数，则x的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 30．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”图案中，恰好能使四个三角形中的每个三角形三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．如图2所示的“幻方”图案也具有图1中的规律，则的值是 ． 题型八 数形结合规律探究（难点）（共3小题） 31．（24-25七年级上·天津北辰·开学考试）请你结合图形解答． = 32．（25-26七年级上·四川成都·期中）在一次综合实践活动课上，杨老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出 的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，…，依次类推，则图1中空白部分的面积为 ． “破浪”小组是这样思考的：设 ， 将等式两边同时乘以 得： ， 将上式减去下式得  ，即 ，即． 【过程思考】 (1)图1中阴影部分的面积是 ， ． (2)请你利用图2，再设计能求 的值的几何图形．（只画出图形即可） (3)根据以上规律， ① ．（n为正整数） ②计算 的值，并写出解答过程． 33．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）数形结合是重要的数学思想，通过数与形的相互转化，利用“以形助数”或“以数解形”，将抽象的数量关系与直观的图形结合起来解决问题．下面借助数形结合思想进行探究． (1)小明观察图1、2分别得到等式：，． ①从小明的观察视角，写出图3所对应的等式____________； ②运用发现的规律简便计算：； (2)小亮观察图1、2分别得到等式：，． ①从小亮的观察视角，写出图3所对应的等式____________； ②运用发现的规律解决下面实际问题： 学校举办“阶梯队列表演”，队列从第1排1人，第2排2人，第3排3人，…，依次增加到第m排m人，再从第排开始，每排人数比前一排少1人，直到最后1排1人．现有100名学生参与表演，恰好能排成这样的“阶梯队列”，求m的值． $专题05 整式的规律探究 目录 题型一 数字规律探究（共4小题） 1 题型二 数阵规律探究（共6小题） 3 题型三 算式规律探究（难点）（共5小题） 10 题型四 图形的规律探究（常考点）（共6小题） 16 题型五 程序性计算规律（常考点）（共3小题） 19 题型六 数表结合规律探究（共3小题） 22 题型七 幻方规律探究（常考点）（共3小题） 25 题型八 数形结合规律探究（难点）（共3小题） 27 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 数字规律探究（共4小题） 1．（25-26七年级上·甘肃张掖·期中）若是不等于1的实数，我们把称为的差倒数，如2的差倒数是，的差倒数为．现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】此题考查数字的规律循环，通过计算前几项发现周期是解题关键． 根据差倒数的定义，计算前几项发现每三个数为一个循环，依次是、、，由2025是3的倍数，可知，即可得解． 【详解】解：由题意可知， ， 则， ， ， …… 观察发现，每三个数为一个循环，依次是、、， ∵， ∴ ， 故选：D． 2．（25-26七年级上·江西南昌·月考）已知整数，，，，…满足下列条件：，，，，…依次类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，有理数加法运算，数字类规律探索等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 通过计算序列前几项，发现规律：当n为奇数时，；当n为偶数时，，由2025为奇数，代入公式计算即可求解． 【详解】解∶∵， ， ， ， ， ， ， … ∴规律为：n为奇数时，； n为偶数时，． ∵2025为奇数， ∴． 故选：A． 3．（25-26七年级上·广西崇左·月考）观察下列数据：，5，，17，，…，则第12个数是（　　） A．2045 B．﹣2047 C．4095 D．4097 【答案】D 【分析】观察数据，找到规律：第n 个数为，根据规律求出第12个数即可． 此题主要考查了数字变化规律，根据已知数据得出数字的变与不变是解题关键． 【详解】解：观察数据，找到规律：第n 个数为， ∴第12个数是． 故选：D． 4．（25-26七年级上·湖北荆门·期中）a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”，如3的“哈利数”是，的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字的规律变化，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．分别求出数列的前5个数得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， ∴该数列每4个数为1周期循环， ∵， ∴． 故答案为: ． 题型二 数阵规律探究（共6小题） 5．（25-26七年级上·福建泉州·期末）观察下列数字规律， 则第行第个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律变化问题，由题可知第个数可表示为，第行有个数，进而得到第行第个数是这列数中的第个数，再把代入计算即可求解，找到数字的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题可知，这列数依次为， ∴第个数可表示为， 又∵第行有个数，第行有个数，第行有个数，， ∴第行有个数， ∵， ∴第行第个数是这列数中的第个数， 当时，， ∴第行第个数是， 故选：． 6．（25-26七年级上·广东广州·月考）世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示，则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字规律，根据图示，找出规律是关键． 根据题意得到第行第三个数的分母为，分子均是1，由此代入求值即可． 【详解】解：第一行共一个数字，第一个数字是， 第二行共二个数字，第一个数字是，第二个数字是， 第三行共三个数字，第一个数字是，第二个数字是，第三个数字是， ∴分母依次是，分子均是1， 第四行共四个数字，第一个数字是，第二个数字是，第三个数字是，第四个数字是， ∴分母依次是，分子均是1， ∴第行第三个数的分母为，分子均是1， ∴第10行的第三个数字的分母为，分子是1， ∴第10行从左边数第3个位置上的数是， 故选：B ． 7．（25-26七年级上·四川绵阳·月考）如下列图表所示，数字2在第1行第2列，2020在m行第n列， ． 【答案】 【分析】此题考查了数字类规律，根据题意得到2020在第61行第4列，即可得到答案． 【详解】解：把1叫做第一条对角线上的数，2，3叫做第二条对角线上的数，4,5,6叫做第三条对角线上的数，依次类推，则第63条对角线上的最大数为， ∴是第64条对角线上的数，由图可知，2020在第61行第4列，即， 故答案为： 8．（25-26八年级上·湖南永州·期中）将按如图方式排列，若规定表示第m排从左向右第n个数，则 ①表示的数是 ； ②与表示的两数的平方和为 ． 【答案】 【分析】先确定每行使用的自然数范围，再根据行数的奇偶性决定该行是递增还是递减排列． 【详解】①解：第1排： 第2排：，（从左到右依次增大） 第3排：，，（从左到右依次减小） 第4排：，，，（从左到右依次增大） 第5排：，，，，（从左到右依次减小） 奇数排（1，3，5，…）的数字从左到右是从大到小排列． 偶数排（2，4，…）的数字从左到右是从小到大排列． 数字是自然数开根号，不重复，顺序是连续填充的． 前m排数字的总个数：， 前一排（第排）的总个数是， 所以第m排的第1个数是序列中的第个数的平方根． 当 m为奇数时， 第m排有m个数，从左到右依次是：，，…，， 即最左是，最右是， 因此奇数排的第n个数（从左向右数）是：， 当m为偶数时， 第m排有m个数，从左到右依次是：，，…，， 即最左是，最右是， 因此偶数排的第 n个数是：， ，为偶数， ， 所代表的数为， 故答案为：； ②，为偶数，， ， ，为奇数，， ， 它们的平方和为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字类规律探索，用代数式表示数、图形的规律，用有序数对表示位置，求一个数的算术平方根解题关键是根据“蛇形”排列规则推导出第m排第n个数所对应的自然数序号． 9．（25-26七年级上·四川成都·期中）把正整数排成如图所示的数表． (1)数字“8”在此数表中总共出现了______次，数字“9”在此数表中总共出现了______次； (2)记第一行所有数的和为，第二行所有数的和为，第三行所有数的和为，…，照此规律计算下去，______． (3)请求出的值． 【答案】(1)5；5 (2)165 (3) 【分析】本题主要考查数字规律和利用规律计算，难度较大，解题的关键是找到对应的规律并利用规律解决计算问题， （1）找出数字“8”和“9”在数表第一次和最后一次的位置，即可求解； （2）根据数表找出第十行的第一个数和总共数字的个数，求和即可解答； （3）利用已知的数表得到，则，那么，，再次利用求和方法即可得到，并得到，计算即可． 【详解】（1）解：由题知， 数字“8”第一次出现在第四行，且此时数字“8”为该行中的最大数， 数字“8”最后一次出现在第八行，且此时数字“8”为该行中的最小数， 则， 所以数字“8”一共出现了5次； 数字“9”第一次出现在第五行，且此时数字“9”为该行中的倒数第2个数， 数字“9”最后一次出现在第九行，且此时数字“9”为该行中的最小数， 则， 所以数字“9”一共出现了5次； 故答案为：5，5； （2）解：由题知， 第十行有11个数，且该行的第1个数为10，后续数依次增加1， 则… 故答案为：165； （3）解：， ， ， ， 则， ∴， 则， ∵n个数相加的和为， ∴个数相加的和为， 则， 那么，， ∴ ． 10．（25-26七年级上·湖南岳阳·月考）观察下面的数阵，探究其规律： 第1行：1 第2行：  3 第3行：4    6 第4行：  8    10 第5行：11    13    15 ．．．．．． (1)请写出第6行的所有数字； (2)第行有多少个数字？第行的第一个数字是多少？（用含的代数式表示） (3)求第13行所有数字的和． 【答案】(1) (2)第行有个数字， 当为奇数时，第行第一个数字为；当n为偶数时，第一个数字为 (3) 【分析】本题主要考查了用代数式表示数的规律，掌握通过观察数阵推断出规律是解题的关键． （1）观察数阵，即可得出结果． （2）先分析每一行的数字个数，推断出第n行有n个数字，求出前一共有多少个数字，第n行第一个数的绝对值比其多1，再分析出奇数行和偶数行第一个数的正负性，即可求解． （3）根据（2）列出第13行的所有数字，相加即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知，第6行的数字为． （2）观察数阵，可知第一行有1个数字，第一个数字为1， 第二行有2个数字，第一个数字为， 第三行有3个数字，第一个数字为4， 第四行有4个数字，第一个数字为， 第五行有5个数字，第一个数字为11， 故第n行有n个数字，则前行一共有个数字， 当n为奇数时，第一个数字为正数，为， 当n为偶数时，第一个数字为负数，为． （3）根据（2）可知第13行数字为 ，和为． 题型三 算式规律探究（难点）（共5小题） 11．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）观察下列等式：，，… (1)仿照上面的等式，把后面这个代数式写成上面等式右边的形式：______； (2)直接写出下面算式的结果：______； (3)探究并计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，数字规律，解题的关键是理解题干中的拆项方法． （1）观察题干中所给的式子可得结果； （2）原式各项利用拆项法变形，计算即可得到结果； （3）将原式变形为，再利用拆项法变形，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2）解：由题意得， ， 故答案为：； （3）解：由题意得， ． 12．（25-26七年级上·江西赣州·期中）观察下列各式：①；②；③；④；… (1)根据上述规律写出第⑤个等式：_____； (2)请写出第个等式（用含的式子表示）； (3)计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键． （1）根据已知等式写出第⑤个等式即可； （2）根据规律写出第n个等式即可； （3）根据（2）中的规律将代数式中的积转换为差进行计算即可． 【详解】（1）解：根据上述规律写出第⑤个等式：， 故答案为：． （2）解：第个等式为． （3）解： ． 13．（25-26七年级上·新疆阿克苏·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式： ； (2)请用含n的式子表示第n（n正整数）个等式． (3)求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数的运算，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题干给出的式子写出第5个等式即可； （2）根据题干给出的式子得出规律，写出第n（n正整数）个等式即可； （3）根据（2）中得出的规律结合有理数的运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：； 故答案为：；； （2）解：由题意可得：用含n的式子表示第n（n正整数）个等式为； （3）解： ． 14．（25-26六年级上·山东泰安·期中）请先阅读下列材料，然后解答问题： 【材料1】 因为， 所以 ； 【材料2】 因为， 所以 ． (1)根据材料1，计算：． (2)根据材料2，计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查规律探索，有理数的运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）归纳材料1所给的规律为，据此将每项拆分，然后合并计算即可； （2）归纳材料2所给的规律为，据此将每项拆分，然后合并计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 15．（25-26九年级上·河南周口·期中）观察下列等式，探索规律： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式： (1)写出第n个等式； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数字规律探索和有理数的运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）观察已知等式，归纳出第 个等式的形式； （2）利用（1）的等式将每一项拆成两个分数的差，通过求和相消得到结果． 【详解】（1）解：观察所给等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 由此归纳，第 个等式为： ； （2）解：根据（1）的结论， ． 题型四 图形的规律探究（常考点）（共6小题） 16．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）如图，将黑、白两种颜色的小正方形按照一定规律组合成一系列图案，若第n个图案中黑色小正方形个数记作，如，，则等于（    ） A．4049 B．4050 C．4051 D．4052 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变化类，找到变化规律是解题的关键．先求出前6个图案中黑色小正方形个数，再找出规律求解． 【详解】解： ，， ，， ， 当为奇数时，，当为偶数时，， ， 故选：. 17．（25-26七年级上·江苏南通·期中）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图是其中一类：1，5，12，22称为五边形数，请你根据其中数排列的规律计算第101个五边形数与第100个五边形数的差是（    ） A．199 B．201 C．290 D．301 【答案】D 【分析】找出五边形数变化的规律，依据规律解答即可． 本题考查了数字类变化规律，根据所给五边形数准确找出数字的规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得：第二个五边形数比第一个五边形数多， 第三个五边形数比第二个五边形数多， 第四个五边形数比第三个五边形数多， ， 第101个五边形数比第100个五边形数多 故选：． 18．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图1中有5个棋子，图2中有10个棋子，图3中有16个棋子，……，则图11中有（   ）个棋子． A．115 B．100 C．86 D．73 【答案】B 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类．通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 通过观察可知图1中棋子有个，图2中棋子有个，图3中棋子有个，……，由此即可推出第n个图形中棋子数为，即可． 【详解】解：图1中棋子有个， 图2中棋子有个， 图3中棋子有个， ……， 一般地，第n个图形中棋子数为， ∴图11中棋子有个， 故选：B． 19．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）按图中规律，第⑩个图形中黑色三角形的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的变化类问题，正确找出规律是解题的关键．找到图形的变化规律，即可得出答案． 【详解】解：∵第个图案中有个，即个， 第个图案中有个，即个， 第个图案中有个，即个， 第个图案中有个，即个， ， ∴第个图案中有个． ∴按此规律，第⑩个图案中有个黑色三角形． 故选：B． 20．（25-26七年级上·四川绵阳·期中）我们知道有机物是生命产生的物质基础，所有的生命体都含有有机物．有机物主要是由碳元素、氢元素组成．烷烃是一类最基本的有机物，从结构上可看作其他各类有机物的母体，而球棍模型能够直观地展示各个原子之间的化学键连接情况．如图是几种常见烷烃的球棍模型，依此规律，烷烃的通式中的指的是（用含的代数式表示） ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，掌握相关知识是解题的关键． 观察前面四幅图可知氢原子的个数是碳原子的2倍加2，据此规律求解即可． 【详解】解：第1种有机物的分子模型中，氢原子的个数为：， 第2种有机物的分子模型中，氢原子的个数为：， 第3种有机物的分子模型中，氢原子的个数为：， 第4种有机物的分子模型中，氢原子的个数为：， ， ∴第n种有机物的分子模型中，氢原子的个数为个， 烷烃的通式中的指的是． 故答案为：． 21．（25-26七年级上·浙江杭州·月考）以下图形中的圆点按照一定规律摆放．第个图形中“●”的个数为，第个图形中“●”的个数为，第个图形中“●”的个数为，…，以此类推，计算前个图形中圆点个数的倒数之和，即的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形规律、数字规律，根据图示找出规律，结合分数的计算方法是关键； 根据图形找到规律，利用有理数的运算法则计算即可． 【详解】解：第幅图形中“●”的个数为， 第幅图形中“●”的个数为， 第幅图形中“●”的个数为， 第幅图形中“●”的个数为，…， 以此类推， ∴， ∴ ， 故答案为：． 题型五 程序性计算规律（常考点）（共3小题） 22．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2026次输出的结果为（   ） A．1 B．5 C．25 D．625 【答案】A 【分析】本题考查了数字的变化规律，求代数式的值，能根据求出的结果得出规律是解决此题的关键．依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，然后再计算出第2026次输出的结果，即可得出答案． 【详解】解：当时，，即第1次输出的结果为； 当时，，即第2次输出的结果为； 当时，，即第3次输出的结果为； 当时，，即第4次输出的结果为； 当时，，即第5次输出的结果为； 当时，，即第6次输出的结果为； 依此类推，以5，1循环， ， ∴输出的结果是． 故选：A． 23．（25-26七年级上·山东青岛·期末）如图所示，在这个运算程序中，若开始输入的值为，结果输出的是，将第次输出的结果，再次输入运算程序，进行第次运算，结果输出的是，则第次输出的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探索、求代数式的值；根据题意和运算程序可以计算出前几次的输出结果，从而可以发现结果的变化特点并得到第次输出的结果. 【详解】解：由题意可得， 第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， …， 由上可得，从第二次输出结果开始，以，，依次循环出现， ∵， ∴第次输出的结果是． 故答案为：． 24．（25-26七年级上·广东阳江·月考）如图是一种数值转换的运算程序： (1)若第1次输入的数为，则第2次输出的数为________； (2)若第1次输入的数为，则第5次输出的数为________； (3)若第1次输入的数为8，求第2019次输出的数是多少？ 【答案】(1)5 (2)1 (3)1 【分析】本题主要考查代数式的值及数字规律，解题的关键理解题中的数值转换的运算程序； （1）根据是奇数，然后代入数值转换运算即可； （2）根据是偶数，然后代入数值转换运算即可； （3）由题意易得第1次输出的数为，第2次输出的数为；第3次输出的数为；第4次输出的数为；第5次输出的数为；….；由上可知：规律为按照4、2、1每3次一循环出现，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由数值转换运算程序可知：把代入， ∴第2次输出的数为； 故答案为：5； （2）解：由数值转换运算程序可知：把代入， ∴第2次输出的数为；第3次输出的数为；第4次输出的数为；第5次输出的数为； 故答案为：1； （3）解：由题意得： 第1次输入的数为8，则第1次输出的数为， ∴第2次输出的数为；第3次输出的数为；第4次输出的数为；第5次输出的数为；….； 由上可知：规律为按照4、2、1每3次一循环出现， ∵， ∴第2019次输出的数为1． 题型六 数表结合规律探究（共3小题） 25．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）干支纪年是中国传统纪年方法．干支是天干和地支的总称，“甲、乙、丙…”等十个符号叫天干，“子、丑、寅…”等十二个符号叫地支，把干支（天干+地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅…）正好六十为一周期，周而复始，循环纪年．有人总结出纪年算法的辅助表如下： 十天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 十二地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 由上表还很快算出年是甲子年，年是庚辰年，那么年是（    ） A．丁酉 B．甲辰 C．乙巳 D．戊申 【答案】D 【分析】本题考查数学规律问题，分析其规律变化是解题的关键． 根据干支纪年的周期规律，天干年一循环，地支年一循环.，已知年为庚辰年，对应天干数字、地支数字，计算年与年的差值年，分别求天干和地支的余数变化即可． 【详解】∵年为庚辰年，天干数字，地支数字， 年， ∵天干周期，余， ∴天干数字从增加位，对应戊， 地支周期，余， ∴地支数字从增加位，对应申， ∴年为戊申年， 故选：D． 26．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）下面各方框中的三个数之间都有相同的规律，根据图中数字的规律，的值是 ． 2 4 6 8 5 12 17 72 37 228 m n 【答案】593 【分析】本题属于规律类问题，找出准确的规律是解题的关键． 表格中每个上方的数字与下方的两个数字和满足规律：，． 对于，计算和的值，再求的值即可． 【详解】由表格数据可得， 表格中每个上方的数字与下方的两个数字和满足规律：， 当时，，， 因此， 故答案为：593． 27．（25-26七年级上·河南新乡·期中）【阅读材料】 密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．英语字母表中字母的排列顺序如下： 如果规定又接在的后面，使26个字母排成圈，我们可以用英语26个字母来编制密码．例如，对于密文“ ”，如果破译它的“钥匙”是“”（其中代表字母表中的任意一个字母，表示将该字母换成向前移动3位所得到的字母），按这个规律就有 ．这样就能把密文“ ”破译成明文“ ”，从而解读出密文的意思，“”就是密文到明文的破译密码钥匙． （1）根据材料中的钥匙，密文“”可破译成明文“ ”； 【类比研究】 （2）将26个英文字母依次对应序号，如下表．给出密文与明文之间的关系如下： 当密文对应的序号为奇数时，明文对应的序号为；当密文对应的序号为偶数时，明文对应的序号为．请将密文“1  12  25  19”破译成用英文字母表示的明文； 字母 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 字母 序号 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 【研究拓展】 （3）小明沿用对字母标号的方法，即将26个英文字母依次对应序号，把密文“”译成明文“”，请直接写出它的破译密码钥匙． 【答案】（1）；（2）明文“”；（3）当密文对应的序号为奇数时，明文对应的序号为；当密文对应的序号为偶数时，明文对应的序号为 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确理解破译密码钥匙是解题关键． （1）根据破译密码钥匙，找到密文中每个字母向前移动3位所得到的字母，据此即可得； （2）根据密文与明文之间的关系，先求出明文对应的序号，再得出对应的字母，据此即可得； （3）分别求出密文字母对应的序号、译成明文字母对应的序号，发现规律，据此即可得破译密码钥匙． 【详解】解：（1）∵字母向前移动3位所得到的字母为，字母向前移动3位所得到的字母为，字母向前移动3位所得到的字母为，字母向前移动3位所得到的字母为， ∴密文“”可破译成明文“”， 故答案为：． （2）∵为奇数，明文对应的序号为，对应的字母为， 为偶数，明文对应的序号为，对应的字母为， 为奇数，明文对应的序号为，对应的字母为， 为奇数，明文对应的序号为，对应的字母为， ∴将密文“ ”破译成用英文字母表示的明文“”． （3）密文字母对应的序号为15，译成明文字母对应的序号为， 密文字母对应的序号为17，译成明文字母对应的序号为， 密文字母对应的序号为16，译成明文字母对应的序号为， 密文字母对应的序号为12，译成明文字母对应的序号为， 密文字母对应的序号为11，译成明文字母对应的序号为， 密文字母对应的序号为12，译成明文字母对应的序号为， 密文字母对应的序号为9，译成明文字母对应的序号为， 由此可知，破译密码钥匙是当密文对应的序号为奇数时，明文对应的序号为；当密文对应的序号为偶数时，明文对应的序号为． 题型七 幻方规律探究（常考点）（共3小题） 28．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）幻方是一种古老的数学游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和都相等．图1是一个幻方，图2是一个未完成的幻方，则是（     ）    A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】C 【分析】本题考查了整式加减的应用，发现数字的规律是解答本题的关键． 先根据题意计算出左下方方框数是17和最中间方框是20，再根据对角线和为60计算值即可． 【详解】解：每一横行，每一竖列以及两条对角线上的3个数之和都相等， 左下方空格数， 正中间空格数， 每一横行，每一竖列以及两条对角线上的3个数之和是， ， ， 故选：C． 29．（25-26九年级上·贵州毕节·期中）如图①是明代陆深古墓中发掘出来的宝玉——明白玉幻方．其背面有方框四行十六格，为四阶幻方（从1到16，一共十六个数目，它们纵列、横行与两条对角线上4个数之和均为34）．小明探究后发现，这个四阶幻方中的数满足下面规律：在四阶幻方中，当数有如图②的位置关系时，均有．如图③，已知此幻方中的一些数，则x的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查整式的加减法；根据发现，将四阶幻方分解为三阶幻方进行研究，图中给出数据，在三阶区域内有左上角对应的是，对应左下角的数是，再根据每列和是，即可求解． 【详解】解：如图，根据发现，三阶区域内有左上角对应的是，对应左下角的数是， 在第一列中，四个数分别是，，，， ， ； 故选：B． 30．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”图案中，恰好能使四个三角形中的每个三角形三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．如图2所示的“幻方”图案也具有图1中的规律，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了对题干中“幻方”特征的理解和有理数的四则运算，根据“每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等”可得，，进一步即可解题． 【详解】解：∵， ， 由题知，，整理得， ，整理得， ∴原式． 故答案为：． 题型八 数形结合规律探究（难点）（共3小题） 31．（24-25七年级上·天津北辰·开学考试）请你结合图形解答． = 【答案】 【分析】本题考查了数形结合解题，数字规律探索，读懂图形并找出规律是解题的关键． 结合三张图，可知第三张图右下方的空格占比，进而得到空1答案，然后通过计算得到空2答案． 【详解】解：结合三张图，可知第三张图右下方的空格占比为， 故空1答案为， 计算得到空2为． 故答案为：，． 32．（25-26七年级上·四川成都·期中）在一次综合实践活动课上，杨老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出 的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，…，依次类推，则图1中空白部分的面积为 ． “破浪”小组是这样思考的：设 ， 将等式两边同时乘以 得： ， 将上式减去下式得  ，即 ，即． 【过程思考】 (1)图1中阴影部分的面积是 ， ． (2)请你利用图2，再设计能求 的值的几何图形．（只画出图形即可） (3)根据以上规律， ① ．（n为正整数） ②计算 的值，并写出解答过程． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)①② 【分析】本题考查了图形变化的规律，有理数乘方的应用，巧妙运用数形结合思想以及整体思想是解题的关键． （1）阴影部分的面积等于部分⑥的面积，设，则，用即可求解； （2）如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，…，依次类推，则图中空白部分的面积为； （3）①根据示范的例子求解即可； ②根据示范的例子求解即可． 【详解】（1）解：由题知，正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半， ∴图中阴影部分的面积与第⑥部分的面积相等． 又∵第①部分的面积为：， 第②部分的面积为：， 第③部分的面积为：， …， 依次类推，第n部分的面积为． 当时，． ∴阴影部分的面积为， 设， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：如图，空白部分即为； （3）解：设， ∴， ∴， 故答案为：； ②设，则 ， ∴， ∴， ∴，即． 33．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）数形结合是重要的数学思想，通过数与形的相互转化，利用“以形助数”或“以数解形”，将抽象的数量关系与直观的图形结合起来解决问题．下面借助数形结合思想进行探究． (1)小明观察图1、2分别得到等式：，． ①从小明的观察视角，写出图3所对应的等式____________； ②运用发现的规律简便计算：； (2)小亮观察图1、2分别得到等式：，． ①从小亮的观察视角，写出图3所对应的等式____________； ②运用发现的规律解决下面实际问题： 学校举办“阶梯队列表演”，队列从第1排1人，第2排2人，第3排3人，…，依次增加到第m排m人，再从第排开始，每排人数比前一排少1人，直到最后1排1人．现有100名学生参与表演，恰好能排成这样的“阶梯队列”，求m的值． 【答案】(1)①；② (2)①；② 【分析】本题主要考查了图形规律类探索，理解题意，正确列出代数式是解题的关键． （1）①根据题意写出图3所对应的等式即可； ②由规律得到，，代入计算即可； （2）①根据题意写出图3所对应的等式即可； ②由规律得到，据此计算即可． 【详解】（1）解：①图1得到等式：， 图2得到等式： 从小明的观察视角，图3所对应的等式：； ②由规律得到，， ∴ ； （2）解：①小亮观察图1得到等式：， 小亮观察图2得到等式：， 从小亮的观察视角，写出图3所对应的等式：， ②由题意得： 因为是正整数，所以 所以 所以． $专题03 整式的化简求值 目录 题型一 整式的化简求值（共4小题） 1 题型二 赋值带入问题（难点）（共4小题） 1 题型三 整体带入求值问题（难点）（共4小题） 2 题型四 错看漏看问题（常考点）（共3小题） 4 题型五 缺项、无关问题（常考点）（共4小题） 4 题型六 降次求值问题（难点）（共2小题） 5 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 整式的化简求值（共4小题） 1．（2025七年级上·重庆·专题练习）先化简再求值：，其中． 2．（25-26七年级上·江西南昌·期中）先化简，再求值：，其中． 3．（25-26七年级上·辽宁铁岭·月考）先化简，再求值：，其中． 4．（25-26七年级上·山西临汾·月考）先化简，再求值：，其中，． 题型二 赋值带入问题（难点）（共4小题） 5．（25-26七年级上·安徽淮南·月考）已知，若，则 ，所以．运用类似的方法，解决下列问题： （1） ； （2）代数式的值为 ． 6．（25-26七年级上·四川绵阳·月考）已知，则的值是 ． 7．（25-26七年级上·北京·月考）阅读下列材料，并解决问题． 特殊值法，是通过设题中某个未知数为特殊值，从而通过简单的运算，解决问题的一种方法．如： 问题：若，求的值． 解：当时，左式：，右式． 所以． 问题：若．求： (1)求的值； (2)求的值． 8．（24-25七年级下·陕西西安·期中）已知，则的值为 ． 题型三 整体带入求值问题（难点）（共4小题） 9．（25-26七年级上·河南南阳·月考）【教材呈现】“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中的应用极为广泛．下题是华师版七年级上册数学教材第120页的部分内容． 代数式的值为7，则代数式的值为 ． 【阅读理解】小明在解答该题时采用的方法如下：由题意，得，则有，，所以代数式的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式的值为10，求代数式的值． （2）若时，代数式的值为7，当时，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，，求的值． 10．（25-26七年级上·吉林长春·期中）阅读材料：“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．我们知道，类似的我们可以把看成一个整体，则．请尝试解决： (1)把看成一个整体，合并______； (2)已知，求的值； (3)已知，，则代数式的值为______． 11．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读理解，并解决问题．“整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，比如整体代入，整体换元，整体约减，整体求和，整体构造等．有些问题若从局部求解，采取各个击破的方式，很难解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也能迎刃而解．因而“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： 例：当整式的值为7时，求整式的值． 解：因为，所以． 所以． 请根据阅读材料，解决下列问题： (1)把看成一个整体，计算的结果是______； (2)设，则______；（用含y的整式表示） (3)已知，求的值． 12．（23-24七年级上·江苏·周测）整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 【尝试应用】 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （1）如果，求的值； （2）当时，代数式的值为，当时，求代数式的值；（用含的代数式表示） 【拓展应用】 （3）周末爸爸妈妈带着小明和妹妹在小区的休闲区运动．爸爸和小明在休闲区的环形跑道上跑步，两人相距20米，同时反向运动，小明的速度是，爸爸的速度是 ，经过两人第一次相遇．妈妈带着妹妹做追逐游戏，妹妹在妈妈前面，两人同时同向起跑，妹妹的速度是，妈妈的速度也是，经过，妈妈追上妹妹． ①休闲区的环形跑道周长是_____________m；（用含的代数式表示） ②起跑时，妹妹站在妈妈前面_____________m；（用含的代数式表示） ③若休闲区的环形跑道周长是，起跑时妹妹站在妈妈前面，综合上述信息求代数式的值． 题型四 错看漏看问题（常考点）（共3小题） 13．（25-26七年级上·吉林长春·期中）小李同学做一道题，已知两个多项式A，B，其中，在计算时，他将“”看成了“”，求得的结果是 (1)求多项式A； (2)若，则______，______，求多项式 A的值． 14．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）已知两个整式和，其中，小明在计算的值时，不小心将错看成，得到的结果是． (1)求多项式 (2)当，时，请帮他求出正确的值． 15．（25-26七年级上·山东东营·月考）小马同学做一道题，已知两个多项式A，B，其中，计算．在计算时，他误将看成了，求得的结果是． (1)求多项式A； (2)若与互为相反数，求的值． 题型五 缺项、无关问题（常考点）（共4小题） 16．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知：，． (1)计算：； (2)若，求的值； (3)若的值与y的取值无关，求x的值． 17．（25-26七年级上·四川广元·月考）（1）已知，．若的值与的取值无关，求的值； （2）已知关于，的多项式化简后的结果不含有项，求的值． 18．（25-26七年级上·全国·期末）已知多项式，． (1)当时，求的值； (2)的值与，的取值是否有关？试说明理由． 19．（25-26七年级上·四川成都·期中）已知，． (1)若，求的值； (2)若代数式的值与字母x的取值无关，求y的值． 题型六 降次求值问题（难点）（共2小题） 20．（25-26九年级上·广东揭阳·月考）若，则的值是（  ） A． B． C． D． 21．（24-25八年级上·北京海淀·期中）先阅读下面的材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可将表示为的一次多项式，从而达到“降次”的目的．我们称为“降次代换法” 例如：已知，求代数式的值． 解： ， 原式 请用“降次代换法”完成下列各小题： (1)若，则代数式的值为________． (2)若，求代数式的值． (3)若，则代数式的值为_________． $专题03 整式的化简求值 目录 题型一 整式的化简求值（共4小题） 1 题型二 赋值带入问题（难点）（共4小题） 3 题型三 整体带入求值问题（难点）（共4小题） 5 题型四 错看漏看问题（常考点）（共3小题） 10 题型五 缺项、无关问题（常考点）（共4小题） 12 题型六 降次求值问题（难点）（共2小题） 16 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 整式的化简求值（共4小题） 1．（2025七年级上·重庆·专题练习）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查代数式求值，熟练掌握整式的加减运算法则，代数式求值的方法是解题的关键． 先用整式的加减运算法则化简代数式，再求出x，y代入化简后的代数式求值即可． 【详解】 ； ∵ ∴，， ∴， ∴原式． 2．（25-26七年级上·江西南昌·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值及绝对值和平方的非负性， 先去括号，再合并同类项，得到化简的结果，再把，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 当时， 原式． 3．（25-26七年级上·辽宁铁岭·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】根据去括号，合并同类项，正确化简，后转化为代数式的值计算即可． 本题考查了整式的化简求值，正确化简是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴，； ∴， 当，时， 原式． 4．（25-26七年级上·山西临汾·月考）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减法，先去括号再合并同类项，化简后将，代入求值即可. 【详解】原式 ， 当，时，原式. 题型二 赋值带入问题（难点）（共4小题） 5．（25-26七年级上·安徽淮南·月考）已知，若，则 ，所以．运用类似的方法，解决下列问题： （1） ； （2）代数式的值为 ． 【答案】 64 / 【分析】本题主要考查了乘方的综合运算、代数式求值等知识点，灵活运用赋值法是解题的关键． （1）令，代入原式可得所有系数和； （2）令，结合的结果，求出，再减去的值即可求得的值，然后再求出的值，最后代入计算即可． 【详解】解：（1）令，则==64，即． 故答案为：64． （2）令，则=0，即 将和的结果相加，得，即， ∵， ∴， ． ∴． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·四川绵阳·月考）已知，则的值是 ． 【答案】 364 【分析】本题考查代数式的值，有理数的乘方；通过赋值法，分别计算当和时的值，利用其差除以2得到所有奇数次项系数的和. 【详解】解：∵， ∴当时，， 当时，， ∴两式相减得， ∴. 故答案为：364. 7．（25-26七年级上·北京·月考）阅读下列材料，并解决问题． 特殊值法，是通过设题中某个未知数为特殊值，从而通过简单的运算，解决问题的一种方法．如： 问题：若，求的值． 解：当时，左式：，右式． 所以． 问题：若．求： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了代数式求值，掌握代入代数式求值的方法是解题的关键． （1）将代入代数式中即可得出的值； （2）将代入代数式中即可得出的值，再相加即可得 结论． 【详解】（1）解：当时，有， ； （2）解：当时，有， ； 可得， ． 8．（24-25七年级下·陕西西安·期中）已知，则的值为 ． 【答案】392 【分析】本题考查了代数式求值．解题的关键在于将代入原式，求出相关代数式的值． 先令，即可求出①；再令，得到②，可得，最后令，可得，由此即可求得的值，继而可求解． 【详解】解：令，得：①； 令，得②， 得：， 即， 令，得， 则， ∴， 故答案为：392． 题型三 整体带入求值问题（难点）（共4小题） 9．（25-26七年级上·河南南阳·月考）【教材呈现】“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中的应用极为广泛．下题是华师版七年级上册数学教材第120页的部分内容． 代数式的值为7，则代数式的值为 ． 【阅读理解】小明在解答该题时采用的方法如下：由题意，得，则有，，所以代数式的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式的值为10，求代数式的值． （2）若时，代数式的值为7，当时，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，，求的值． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查代数式求值，整式加减中的化简求值，熟练掌握整体代入法是解题的关键． （1）仿照题干，利用整体代入法进行求值即可； （2）把代入得到，再把和代入计算即可； （3）去括号，合并同类项，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：（1）∵代数式的值为10， ∴， ∴， ∴； （2）∵当时，， ∴， ∴当时，； （3）∵，， ∴， ∴ ． 10．（25-26七年级上·吉林长春·期中）阅读材料：“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．我们知道，类似的我们可以把看成一个整体，则．请尝试解决： (1)把看成一个整体，合并______； (2)已知，求的值； (3)已知，，则代数式的值为______． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握合并同类项法则和整体代入求值法． （1）根据合并同类项法则进行计算即可； （2）把所求式子写成含有的形式，再把代入进行计算即可； （3）把所求式子中的写成的形式，再利用分组法，把所求式子写成含有，的形式，最后整体代入进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． 故答案为：． （2）， ． （3），， ． 故答案为：5． 11．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读理解，并解决问题．“整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，比如整体代入，整体换元，整体约减，整体求和，整体构造等．有些问题若从局部求解，采取各个击破的方式，很难解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也能迎刃而解．因而“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： 例：当整式的值为7时，求整式的值． 解：因为，所以． 所以． 请根据阅读材料，解决下列问题： (1)把看成一个整体，计算的结果是______； (2)设，则______；（用含y的整式表示） (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整体思想在多项式化简与求值中的应用，将式子中的某一部分看成一个整体进行运算是解题的关键． （1）把看成一个整体，合并同类项即可求解； （2）设，逆用分配律将化为，代入化简即可求解； （3）根据得到，再逆用分配律即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：设，则； 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∴ ． 12．（23-24七年级上·江苏·周测）整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 【尝试应用】 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （1）如果，求的值； （2）当时，代数式的值为，当时，求代数式的值；（用含的代数式表示） 【拓展应用】 （3）周末爸爸妈妈带着小明和妹妹在小区的休闲区运动．爸爸和小明在休闲区的环形跑道上跑步，两人相距20米，同时反向运动，小明的速度是，爸爸的速度是 ，经过两人第一次相遇．妈妈带着妹妹做追逐游戏，妹妹在妈妈前面，两人同时同向起跑，妹妹的速度是，妈妈的速度也是，经过，妈妈追上妹妹． ①休闲区的环形跑道周长是_____________m；（用含的代数式表示） ②起跑时，妹妹站在妈妈前面_____________m；（用含的代数式表示） ③若休闲区的环形跑道周长是，起跑时妹妹站在妈妈前面，综合上述信息求代数式的值． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②，③ 【分析】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知整式的运算法则及整体法的运用． （1）先将原式化简，再进行整体代入即可求解； （2）先根据题意得出，然后把变形后整体代入即可求解； （3）①根据小明的路程+爸爸的路程起跑时两人间的距离跑道周长即可求解； ②根据妈妈的路程妹妹的路程起跑时两人间的距离即可求解； ③先根据题意求出，，然后把原式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴ ； （2）当时，代数式的值为， ∴， ∴， ∴当时， ； （3）①根据题意，得跑道周长为； ②根据题意，得妹妹站在妈妈前面； ③根据题意，得，， ∴，， ∴ ． 题型四 错看漏看问题（常考点）（共3小题） 13．（25-26七年级上·吉林长春·期中）小李同学做一道题，已知两个多项式A，B，其中，在计算时，他将“”看成了“”，求得的结果是 (1)求多项式A； (2)若，则______，______，求多项式 A的值． 【答案】(1) (2)；； 【分析】根据题意列式为，将其计算即可； 根据绝对值及偶次幂的非负性求得x，y的值，然后代入A中计算即可． 本题考查整式的加减，绝对值及偶次幂的非负性，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得， 则 ； （2）解：， ，， 解得：，， ， 故答案为：1；；． 14．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）已知两个整式和，其中，小明在计算的值时，不小心将错看成，得到的结果是． (1)求多项式 (2)当，时，请帮他求出正确的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，整式的化简求值，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）根据题意可得，则，据此根据整式的加减计算法则求解即可； （2）根据（1）所求，先求出的结果，再代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ， 当，时，． 15．（25-26七年级上·山东东营·月考）小马同学做一道题，已知两个多项式A，B，其中，计算．在计算时，他误将看成了，求得的结果是． (1)求多项式A； (2)若与互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算、非负数的性质，解题的关键是通过错误的运算逆向求出多项式，再结合非负数的性质求代数式的值． (1) 根据，代入的表达式，通过移项、去括号、合并同类项求出； (2) 由非负数的性质求出、的值，代入的化简式计算结果． 【详解】（1）解：根据题意，得 ． （2）由题意 与互为相反数， ， ，． ． 题型五 缺项、无关问题（常考点）（共4小题） 16．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知：，． (1)计算：； (2)若，求的值； (3)若的值与y的取值无关，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的加减-化简求值，非负数的性质：绝对值与偶次方，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把，代入中，去括号合并即可得到结果； （2）利用非负数的性质求出x与y的值，代入（1）化简的结果中计算即可； （3）结果整理后，由取值与y无关，确定出x的值即可． 【详解】（1），， ； （2）， ，， ； （3），由值与y的取值无关， 所以得到， 解得： 17．（25-26七年级上·四川广元·月考）（1）已知，．若的值与的取值无关，求的值； （2）已知关于，的多项式化简后的结果不含有项，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了整式的加减，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）先化简，再将，代入进行整式的加减计算，最后令的系数为，即可求解． （2）先根据整式的加减进行计算，根据化简结果不含有项，得出，再代入代数式求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴， 解得， （2）解： ， ∵化简后的结果不含有项， ∴， 解得， ∴ ． 18．（25-26七年级上·全国·期末）已知多项式，． (1)当时，求的值； (2)的值与，的取值是否有关？试说明理由． 【答案】(1) (2)的值与，的取值无关，理由见解析 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先利用整式的加减运算进行化简，再代入进行计算即可得解； （2）先利用整式的加减运算求出，即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， 将代入可得，原式； （2）解：的值与，的取值无关，理由如下： ∵，， ∴ ， ∴的值与，的取值无关． 19．（25-26七年级上·四川成都·期中）已知，． (1)若，求的值； (2)若代数式的值与字母x的取值无关，求y的值． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了非负数的性质，整式的加减运算，整式的加减运算中与某字母的值无关，掌握“去括号的法则，合并同类项，与某字母的值无关的含义”是解题的关键． （1）将代入并化简可得结果为，再由，求解和的值，再整体代入求值即可； （2）先将去括号化简为，再将代入化简，把含x的同类项合并，由代数式的值与字母x的取值无关可得，由此求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ，即， ，即， 则原式 ； （2） ， ，， ， 由于代数式的值与字母x的取值无关， ， 解得， 则y的值为． 题型六 降次求值问题（难点）（共2小题） 20．（25-26九年级上·广东揭阳·月考）若，则的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值．由可得，进而得到，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ． 故选：D． 21．（24-25八年级上·北京海淀·期中）先阅读下面的材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可将表示为的一次多项式，从而达到“降次”的目的．我们称为“降次代换法” 例如：已知，求代数式的值． 解： ， 原式 请用“降次代换法”完成下列各小题： (1)若，则代数式的值为________． (2)若，求代数式的值． (3)若，则代数式的值为_________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题目中所给的例子进行计算即可； （2）根据题目中所给的例子进行计算即可； （3）根据题目中所给的例子进行计算即可； 【详解】（1）解： ， ； 故答案为：； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ； 故答案为：． $专题04 整式加减的应用 目录 题型一 数字问题（共3小题） 1 题型二 图形周长面积问题（共4小题） 1 题型三 图形镶嵌问题（难点）（常考点）（共4小题） 3 题型四 日历数阵问题（共4小题） 4 题型五 方案选择问题（常考点）（共4小题） 6 题型六 销售问题（常考点）（共4小题） 8 题型七 分段收费问题（难点）（共3小题） 9 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 数字问题（共3小题） 1．老师给出一个三位数，让同学们将它各位上的数字倒序排列后得到一个新的三位数，用新的三位数减去原来的三位数．甲、乙、丙、丁四位同学计算的结果分别为275，495，576，681，老师判定4个结果中有且只有一个正确，则四位同学中答对的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．对于一个四位数M，若其千位上的数字与个位上的数字相同，百位上的数字与十位上的数字相同，但其四个数位上的数字不全相同且均不为零，则称数M为“对称数”．如数2332是“对称数”，数2222不是“对称数”，若M为“对称数”，将其千位与百位数字交换，十位与个位数字交换得到一个新的四位数，若是10的倍数，是44的倍数，则满足条件的M的最小值为 ． 3．定义：若，则称m与n是关于2的平衡数． (1)3与 是关于2的平衡数；与 （用含x的整式表示）是关于2的平衡数． (2)若，，判断A与B是否是关于2的平衡数，并说明理由． 题型二 图形周长面积问题（共4小题） 4．如图，阴影部分是正方形，图中最大的长方形的周长是（    ） A． B． C． D．无法确定 5．如图，公园有一块长为米，宽为a米的长方形土地(一边靠着墙)，现将公园三面留出宽都是b米的小路，余下部分设计成长方形花圃，并用篱笆沿该花圃不靠墙的三边将花圃围挡起来． (1)花圃的宽为 米，花圃的长为 米；(用含a，b的代数式表示) (2)求围挡该花圃的篱笆的总长度；(用含a，b的代数式表示) (3)若，篱笆的单价为50元/米，请计算围挡该花圃的篱笆的总价． 6．窗户的形状如图所示（图中长度单位：米），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形．已知下部小正方形的边长是a米．（取3） (1)求窗户的面积． (2)求窗户框的总长（图中所有黑线的长度和）． (3)为了隔音保暖，窗户安装的是带有分割线的双层玻璃，每层这样的玻璃每平方米的价格是20元，安装玻璃时，用到的窗户框材料每米的价格是30元．若，求安装好一个这样的窗户需要的总费用（总费用=玻璃的费用+窗户框材料的费用）． 7．如图，陈叔叔家有一块长方形菜地，为方便管理，现准备在菜地中改建两条小路出来，且每条小路的路边都分别平行（如图中阴影部分所示），剩余部分种植蔬菜． (1)种植蔬菜部分的面积是_____；（用化简后含的代数式表示） (2)若，种植蔬菜的部分每平方米的种子成本是4元，每平方米的人工成本是16元，求这块菜地种植蔬菜需要的成本． 题型三 图形镶嵌问题（难点）（常考点）（共4小题） 8．将两张边长分别为和的正方形纸片按图示方式放置在长方形中．若知道长方形的周长和两张正方形纸片重叠部分（阴影部分）的周长，则一定能求出（   ） A． B． C． D． 9．如图，图①所示的小长方形两条边的长分别为1，，现将这样5个大小形状完全相同的小长方形不重叠地放入图②所示的大长方形中，图中未被覆盖部分用阴影表示，其面积分别为，设面积为的长方形一条边为，若无论为何值，图中阴影部分的值总保持不变，此时的值为 ． 10．把七个长和宽分别为的小长方形，摆成如图所示的图形，若四边形为长方形，则图中阴影部分的面积为 ．（用含有的代数式表示） 11．用4个完全相同的边长为的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽（）为6的大长方形（如图2）． (1)请用含的代数式表示：①的长；②阴影的面积； (2)说明阴影与阴影的周长的和与的关系． 题型四 日历数阵问题（共4小题） 12．如图，这是2025年1月的月历，其中“”形，“”形两个阴影图形均覆盖四个数字，它们在框内可上下左右移动，可重叠，设“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为；“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为，当时，用含的式子表示 ，此时的最大值为 ． 13．将正整数按一定规律排列如表，其中有一个带阴影的方框，提醒自己要“倍”努力． (1)如图，方框中的个数之和是______． (2)平移表中带阴影的方框，若设框住的个数中，从小到大排列后第个数为，请求出阴影方框框住的个数的和（用含的式子表示）． (3)平移表中带阴影的方框，阴影方框框住个数之和能是吗？若能，请求出这个数分别是多少；不能，请说明理由． 14．【综合与探究】如图①是2023年11月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图②所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． 日 一 二 三 四 五 六 　 　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 　 　 a 　 b 　 　 　 c 　 d a b 　 　 c d a 　 b 　 c 　 　 d 　 图① 图② 图③ 图④ (1)初步分析：计算图①中的结果为________． 将的方框移动到图①中的其他位置，通过计算可以发现的值均为0． (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其推理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，， ． （　　）= ． ∴的值均为0． (3)开放性拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图①中的日历，继续进行如下探究．请从下列A，B两题中任选一题作答． A．在日历中用“Z型框”框住位置如图③所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由； B．任日历中用“Y型框”框住位置如图④所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 15．下图的数阵是由全体奇数排成： (1)图中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系？ (2)在数阵图中任意作一类似（1）中的平行四边形，这九个数之和是否能等于2016？说明理由． (3)依据规律这九个数之和能否等于18171呢？若能，请写出这九个数中最大的一个；若不能，请说出理由． 题型五 方案选择问题（常考点）（共4小题） 16．某网店准备在“11.11”网购节期间实施一系列优惠活动回馈新老客户，该店针对一款原价25元/支的钢笔推出了两种优惠方案：方案一：每支按8折销售；方案二：购买20支以内无优惠，当购买数量超过20支但不超过50支时，每多购买1支，每支钢笔的单价就会减少0.2元，当购买数量超过50支时，每支单价为18元． (1)购买数量为30支时，方案二钢笔的单价为______元； (2)王老师准备在该网店一次性购买x支钢笔赠与学生留念（已知）． ①根据题意填表：（请用含x的代数式表示） 方案 购买数量（支） 购买单价（元） 总金额（元） 方案一 x ____________ ____________ 方案二 ____________ ____________ 18 ②若王老师有一张满1100减200的优惠券，可与上述两种优惠方案同享，则当时，选择方案几购买更划算？为什么？ 17．某商场开展春节促销活动出售A、B两种商品，活动方案如下两种： 方案一：商品A每件标价90元，按标价的返还现金；商品B每件标价100元，返利按标价的； 方案二：所购商品一律按标价的返利． (1)某单位购买A商品30件，B商品20件，选用何种方案划算？能便宜多少钱？ (2)某单位购买A商品x件（x为正整数），购买B商品的件数是A商品件数的2倍多1件，该单位选择哪种方案更合算？请说明理由． 18．在“生命，幸‘盔’有你”为主题的交通安全宣传教育下，人们骑乘电动自行车佩戴头盔的安全意识不断提高．某电动自行车店计划分别购进40个安全头盔和若干副电动自行车手套，店经理联系了批发商，他们之间的对话如下： (1)电动自行车店计划购买30个安全头盔和100副手套，若选择方案一共需要花费多少元？ (2)电动自行车店计划购买40个安全头盔和副手套（）．若选择方案一购买，需要花费多少元？（用含的代数式表示）；若选择方案二购买，需要花费多少元？（用含的代数式表示）； (3)当时，如何选择购买方案能更省钱？ 19．每年“双11”，网上商城都会推出各种优惠活动进行促销．某民宿负责人张阿姨准备在今“双11”当天，从网上商城的三家店铺中选择一家购买被子若干条，每条被子标价800元． 【信息收集】 “双11”当天优惠活动 A店铺 享受八折优惠； B店铺 商品每满800元可使用店铺优惠券50元，同时每满400元可使用商城购物津贴券50元，并且每单还可立减80元；（例如：一单购买2条被子需支付元） C店铺 购买10条以内（包括10条），每条立减150元；购买10条以上，前10条优惠不变，超过部分每条立减180元． 【模型建构】 （1）若一单购买a条被子，请用含a的代数式分别表示在这三家店铺采购的实际费用． 【问题解决】 （2）若张阿姨准备一单购买20条被子，应选择哪家店铺最划算？请说明理由． 题型六 销售问题（常考点）（共4小题） 20．疫情期间，为了满足市场上对口罩的需求，某厂家决定生产两种款式的口罩，每天两种口罩的生产量共5000个，两种口罩的成本和售价如下表： 成本（元/个） 售价（元/个） 5 8 7 9 设每天生产种口罩个． (1)用含的代数式表示该工厂每天的生产成本，并进行化简； (2)用含的代数式表示该工厂每天获得的利润，并将所列代数式进行化简；（利润=售价一成本） (3)当时，求每天获得的利润． 21．学校小卖部新进了一部分学习用品，文具盒每只定价元，笔记本每本元．小卖部在开展促销活动期间，向学生提供两种优惠方案：①文具盒和笔记本都按定价的%付款；②买一只文具盒送一本笔记本．现某班开展学习竞赛要到学校小卖部购买只文具盒，笔记本本数是文具盒只数的倍多． (1)若该班按方案①购买，需付款 元：(用含的代数式表示)；若该班按方案②购买，需付款 元．(用含的代数式表示) (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ 22．三位家长决定带领名孩子（不少于）在“元旦”期间去同安方特景区旅游，春光旅行社的收费标准是成人全价，孩子半价；华夏旅行社收费标准是成人、孩子一律八折优惠，这两家旅行社的基本价相同，都是元． (1)用代数式表示这三位家长和名孩子分别参加这两家旅行社所需的总费用； (2)如果你是其中的一名孩子，你认为选择哪一家旅行社较为合算？为什么？ 23．某小型工厂生产酸枣面和黄小米，每日两种产品合计生产1500袋，两种产品的成本和售价如下表，设每天生产酸枣面袋． 成本/（元/袋） 售价/（元/袋） 酸枣面 40 46 黄小米 13 15 (1)表示该工厂每天获得的利润，用含的代数式表示，并进行化简（利润=售价-成本）； (2)当时，求每天获得的利润． 题型七 分段收费问题（难点）（共3小题） 24．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节水的目的．如下所示是该市自来水收费价格见价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 2元/ 超出但不超出的部分 4元/ 超出的部分 8元/ 注：水费按月结算． (1)填空：若该户居民2月份用水，则应收水费______元； (2)若该户居民3月份用水（其中），则应收水费多少元？（用含的整式表示并化简） (3)若该户居民4，5月份共用水（5月份用水量超过了4月份），设4月份用水，求该户居民4，5月份共交水费多少元？（用含的整式表示并化简） 25．某超市在双十一期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 八折优惠 500元或超过500元 其中500元给予八折优惠，超过500元的部分给予七折优惠 (1)若王老师一次性购物600元，他实际付款______元，若王老师实际付款160元，那么王老师一次性购物可能是 元； (2)如果王老师有两天去超市购物原价合计900元，第一天购物的原价为a元（），用含a的代数式表示分别表示这第一天购物王老师实际付款多少元？第二天购物王老师实际付款多少元(结果要化简)？当元时，王老师两天一共节省了多少元？ 26．为提倡节约用水，某地对每户按年累积用水实行阶梯收费．具体水价执行标准如下表：（水费一月一缴） 用水类别 供水价格（元） 阶梯水量（年度） 第一阶梯 3 （含）以下 第二阶梯 5 （不含）～（含） 第三阶梯 10 （不含）以上 根据表中的内容，解答下列问题： (1)今年小杰家1，2，3，4月份的用水量分别为，，，，则4月份应缴水费多少元？ (2)若小杰家5月的用水量为，试用含的代数式表示应缴水费． $专题04 整式加减的应用 目录 题型一 数字问题（共3小题） 1 题型二 图形周长面积问题（共4小题） 3 题型三 图形镶嵌问题（难点）（常考点）（共4小题） 7 题型四 日历数阵问题（共4小题） 10 题型五 方案选择问题（常考点）（共4小题） 15 题型六 销售问题（常考点）（共4小题） 20 题型七 分段收费问题（难点）（共3小题） 23 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 数字问题（共3小题） 1．老师给出一个三位数，让同学们将它各位上的数字倒序排列后得到一个新的三位数，用新的三位数减去原来的三位数．甲、乙、丙、丁四位同学计算的结果分别为275，495，576，681，老师判定4个结果中有且只有一个正确，则四位同学中答对的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查整式的加减，列代数式，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 设一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，其中a，c都是1～9之间的整数，b是0～9之间的整数，那么这个数可表示为，将它各位上的数字倒序排列后得到一个新的三位数可表示为，将它们作差后并计算，然后判断被哪个数整除，据此进行判断即可． 【详解】解：设一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，其中a，c都是1～9之间的整数，b是0～9之间的整数， 那么这个数可表示为， 将它各位上的数字倒序排列后得到一个新的三位数可表示为， ， 那么它们的差应被99整除， 275，495，576，681四个数中，只有495能被99整除， 则四位同学中答对的为乙， 故选：B． 2．对于一个四位数M，若其千位上的数字与个位上的数字相同，百位上的数字与十位上的数字相同，但其四个数位上的数字不全相同且均不为零，则称数M为“对称数”．如数2332是“对称数”，数2222不是“对称数”，若M为“对称数”，将其千位与百位数字交换，十位与个位数字交换得到一个新的四位数，若是10的倍数，是44的倍数，则满足条件的M的最小值为 ． 【答案】1991 【分析】本题考查整式加减的应用．根据对称数的定义，设M的千位数字为a，百位数字为b，则，．由是10的倍数，得；由是44的倍数，得是4的倍数．结合且a，b均为1到9的整数，求出可能的M值，取最小． 【详解】解：设M的千位数字为a，百位数字为b，则十位数字为b，个位数字为a， ，交换后， ， ， 是10的倍数，且1111不是10的倍数， ， ； ，是44的倍数，， 是4的倍数． 81不是4的倍数， 是4的倍数． ，且a，b均为1到9的整数， ，3，7，9，对应的b的值为9，7，3，1， 对应M值分别为1991，3773，7337，9119．最小值为1991． 故答案为：1991． 3．定义：若，则称m与n是关于2的平衡数． (1)3与 是关于2的平衡数；与 （用含x的整式表示）是关于2的平衡数． (2)若，，判断A与B是否是关于2的平衡数，并说明理由． 【答案】(1) (2)A与B不是关于2的平衡数，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，新定义，整式的加减，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用新定义解答． （1）根据题意，可以列出相应的方程，从而可以解答本题； （2）将相加，化简判断即可． 【详解】（1）解：设与是关于2的平衡数， 则， 解得：， 设与是关于的平衡数， 则， 解得：， 故答案为：，； （2）解：A与B不是关于2的平衡数． 理由如下：∵，， ∴ ∴A与B不是关于2的平衡数． 题型二 图形周长面积问题（共4小题） 4．如图，阴影部分是正方形，图中最大的长方形的周长是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了长方形周长的计算，整式加减的应用，解题的关键是利用正方形的边长相等，确定长方形的长与宽的和． 设正方形的边长为，则长方形的长为，宽为；周长为，进而判断选项． 【详解】解：设正方形的边长为，则最大长方形的长为，宽为． 其周长为． 故选：C． 5．如图，公园有一块长为米，宽为a米的长方形土地(一边靠着墙)，现将公园三面留出宽都是b米的小路，余下部分设计成长方形花圃，并用篱笆沿该花圃不靠墙的三边将花圃围挡起来． (1)花圃的宽为 米，花圃的长为 米；(用含a，b的代数式表示) (2)求围挡该花圃的篱笆的总长度；(用含a，b的代数式表示) (3)若，篱笆的单价为50元/米，请计算围挡该花圃的篱笆的总价． 【答案】(1)， (2)米 (3)1150元 【分析】本题主要考查了列代数式、整式的加减、代数式求值的实际应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系是解题的关键． （1）根据所给的图形，列出花圃的长和宽的代数式即可； （2）根据（1）所得花圃的长和宽，再根据长方形周长公式求出篱笆总长度即可； （3）直接将代入第（2）问所得的式子中求得花圃的周长，再乘以篱笆的单价即可解答． 【详解】（1）解：花圃的宽为米，花圃的长为米． 故答案为：，． （2）解：围挡该花圃的篱笆的总长度为： 米． （3）解：围挡该花圃的篱笆的总价为： （元）． 答：围挡该花圃的篱笆的总价为1150元． 6．窗户的形状如图所示（图中长度单位：米），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形．已知下部小正方形的边长是a米．（取3） (1)求窗户的面积． (2)求窗户框的总长（图中所有黑线的长度和）． (3)为了隔音保暖，窗户安装的是带有分割线的双层玻璃，每层这样的玻璃每平方米的价格是20元，安装玻璃时，用到的窗户框材料每米的价格是30元．若，求安装好一个这样的窗户需要的总费用（总费用=玻璃的费用+窗户框材料的费用）． 【答案】(1)窗户的面积为平方米； (2)窗户框的总长为米； (3)总费用为280元． 【分析】本题考查了整式加减的应用，代数式求值，理解题意并正确列式是解题关键． （1）根据圆的面积公式和正方形的面积公式列式求解即可； （2）根据圆的周长公式和正方形的周长公式列式求解即可； （3）根据前两问所得面积乘以价格，再相加即可． 【详解】（1）解：窗户的面积为， 当时，（平方米）， 答：窗户的面积为平方米； （2）解：窗户框的总长为， 当时，原式（米）， 答：窗户框的总长为米； （3）解：根据题意，需要的总费用， 当时，（元）， 答：安装好一个这样的窗户需要的总费用为280元． 7．如图，陈叔叔家有一块长方形菜地，为方便管理，现准备在菜地中改建两条小路出来，且每条小路的路边都分别平行（如图中阴影部分所示），剩余部分种植蔬菜． (1)种植蔬菜部分的面积是_____；（用化简后含的代数式表示） (2)若，种植蔬菜的部分每平方米的种子成本是4元，每平方米的人工成本是16元，求这块菜地种植蔬菜需要的成本． 【答案】(1) (2)11520元 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算，以及代数式求值等知识． （1）根据种植蔬菜的部分的面积菜地的面积两条小路的面积代入求解即可． （2）把代入（1）求出面积，再根据面积乘以每平方米的费用计算即可． 【详解】（1）解：种植蔬菜的部分的面积菜地的面积两条小路的面积，即： ． （2）解：当时， ， 所以这块菜地种植蔬菜需要的成本是（元）． 答：这块菜地种植蔬菜需要的成本是11520元． 题型三 图形镶嵌问题（难点）（常考点）（共4小题） 8．将两张边长分别为和的正方形纸片按图示方式放置在长方形中．若知道长方形的周长和两张正方形纸片重叠部分（阴影部分）的周长，则一定能求出（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减． 表示出重叠部分的长为，宽为，可知重叠部分的周长为，即可得到答案． 【详解】解：观察图形可知，重叠部分为矩形，长为，宽为， ∴重叠部分的周长为， 若知道长方形的周长和两张正方形纸片重叠部分的周长，即已知的值和的值，则可求出的值． 故选：D． 9．如图，图①所示的小长方形两条边的长分别为1，，现将这样5个大小形状完全相同的小长方形不重叠地放入图②所示的大长方形中，图中未被覆盖部分用阴影表示，其面积分别为，设面积为的长方形一条边为，若无论为何值，图中阴影部分的值总保持不变，此时的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式加减运算的应用，由题意可得图②中，，由此表示出阴影部分的面积，然后令含的项的系数之和为，列方程求得的值，从而求解． 【详解】解：由题意可得：，， ， 又阴影部分的值总保持不变， ， 解得：， ， 故答案为：． 10．把七个长和宽分别为的小长方形，摆成如图所示的图形，若四边形为长方形，则图中阴影部分的面积为 ．（用含有的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，能表示出长方形的面积及小长方形的面积是解题的关键；将阴影部分的面积转化为长方形的面积减去7个小长方形的面积之和即可． 【详解】解：由所给图形可知，长方形的长为：，宽为：， 所以长方形的面积为：， 又因为空白部分为7个小长方形，它们的面积之和为：， 所以阴影部分的面积为， 故答案为：． 11．用4个完全相同的边长为的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽（）为6的大长方形（如图2）． (1)请用含的代数式表示：①的长；②阴影的面积； (2)说明阴影与阴影的周长的和与的关系． 【答案】(1)①；② (2)阴影M与阴影N的周长的和与a、b无关 【分析】本题考查了列代数式，整式加减的应用，由拼图用含有a、b的代数式表示，，是正确解答的关键． （1）①由拼图可直接得到AD；②用代数式表示阴影M的长、宽，再根据长方形面积的计算方法即可得出答案； （2）由阴影M与阴影N的周长的和为，据此求解即可． 【详解】（1）解：①由拼图可知，， ②阴影M的长为a，宽为， 所以阴影M的面积为， （2）解：阴影M与阴影N的周长的和与a、b无关，理由： 如图， 阴影M与阴影N的周长的和为 ， 所以阴影M与阴影N的周长的和与a、b无关． 题型四 日历数阵问题（共4小题） 12．如图，这是2025年1月的月历，其中“”形，“”形两个阴影图形均覆盖四个数字，它们在框内可上下左右移动，可重叠，设“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为；“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为，当时，用含的式子表示 ，此时的最大值为 ． 【答案】 / 203 【分析】本题考查了整式加减的应用，理解题意并正确列式是解题关键．根据题意得出，，再结合日历表求解即可． 【详解】解：设“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为， 则， 设“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为， 则， 当时，则， ， ， 、都是正整数， 由日历表可知，的最大值为，此时，满足“”形阴影图形， 最大值为， 故答案为：，203． 13．将正整数按一定规律排列如表，其中有一个带阴影的方框，提醒自己要“倍”努力． (1)如图，方框中的个数之和是______． (2)平移表中带阴影的方框，若设框住的个数中，从小到大排列后第个数为，请求出阴影方框框住的个数的和（用含的式子表示）． (3)平移表中带阴影的方框，阴影方框框住个数之和能是吗？若能，请求出这个数分别是多少；不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 【分析】（）把七个数相加即可求解； （）由题意可得阴影方框中的个数分别为，，，，，再把七个数相加即可求解； （）若阴影方框框住个数之和是，则，可得阴影方框中的个数分别为，，，，，，，再根据每行有个数可得位于第列，应与41隔一列且在同一行，即第8列，但是实际上数的分布不存在第8列，据此即可判断求解； 本题考查了有理数的加法运算，整式的加法运算的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴方框中的个数之和是， 故答案为：； （2）解：由题意可得，阴影方框中的个数分别为，，，，，，， ∴阴影方框框住的个数的和为； （3）解：不能，理由如下： 若阴影方框框住个数之和是，则， ∴阴影方框中的个数分别为，，，，，，， ∵每行有个数， ∴位于第列，应与41隔一列且在同一行，即第8列，但是实际上数的分布不存在第8列， ∴在此表中阴影方框框住个数之和不能是． 14．【综合与探究】如图①是2023年11月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图②所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． 日 一 二 三 四 五 六 　 　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 　 　 a 　 b 　 　 　 c 　 d a b 　 　 c d a 　 b 　 c 　 　 d 　 图① 图② 图③ 图④ (1)初步分析：计算图①中的结果为________． 将的方框移动到图①中的其他位置，通过计算可以发现的值均为0． (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其推理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，， ． （　　）= ． ∴的值均为0． (3)开放性拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图①中的日历，继续进行如下探究．请从下列A，B两题中任选一题作答． A．在日历中用“Z型框”框住位置如图③所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由； B．任日历中用“Y型框”框住位置如图④所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1)0 (2)；；0 (3)A．的值均为0，理由见解析；B．的值均为，理由见解析 【分析】本题考查了图形规律，解决本题的关键是读懂题意，找到图形规律列式求解． （1）根据图形规律即可求解； （2）设，则，，，根据数量关系列出算式计算即可求解； （3）A．设，则，，，根据数量关系列出算式计算即可求解； B．设，则，，，根据数量关系列出算式计算即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为：0； （2）解：设，则，，， ． ∴的值均为0． 故答案为：；；0． （3）解：A．的值均为0， 理由：设，则，，， ， ∴的值均为0 B．的值均为， 理由：设，则，，， ， ∴的值均为． 15．下图的数阵是由全体奇数排成： (1)图中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系？ (2)在数阵图中任意作一类似（1）中的平行四边形，这九个数之和是否能等于2016？说明理由． (3)依据规律这九个数之和能否等于18171呢？若能，请写出这九个数中最大的一个；若不能，请说出理由． 【答案】(1)平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍 (2)不能，见解析 (3)不能，见解析 【分析】本题考查了数字类规律题，整式的加减，通过数表，寻找数字间的规律并运用这一规律解决问题． （1）应算出平行四边形框内的九个数之和，进而判断与中间的数的关系； （2）任意作一类似（1）中的平行四边形框，仿照（1）的算法，进行简单判断；然后设最框中间的数为未知数，左右相邻的两个数相差，上下相邻的两个数相差，得到这个数的和，再判断能否被整除，且一定是奇数才可以． （3）看所给的数能否被整除，再次判断位置，能不能用平行四边形框出符合题意的数． 【详解】（1）解：∵， 平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍； （2）解：这九个数之和不能等于2016，理由如下： 不妨设框中间的数为，这九个数按大小顺序依次为： ，，，，，，，，． ∴． ∴平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍， ∵，是偶数，而数阵所有的数是奇数， ∴这九个数之和不能等于2016； （3）解：不能，理由如下： ∵， ， ∴是第个奇数， ∵数阵每行有个数，， ∴是第行第个数， 而此时无法构成平行四边形框， 因此这九个数之和不能等于18171． 题型五 方案选择问题（常考点）（共4小题） 16．某网店准备在“11.11”网购节期间实施一系列优惠活动回馈新老客户，该店针对一款原价25元/支的钢笔推出了两种优惠方案：方案一：每支按8折销售；方案二：购买20支以内无优惠，当购买数量超过20支但不超过50支时，每多购买1支，每支钢笔的单价就会减少0.2元，当购买数量超过50支时，每支单价为18元． (1)购买数量为30支时，方案二钢笔的单价为______元； (2)王老师准备在该网店一次性购买x支钢笔赠与学生留念（已知）． ①根据题意填表：（请用含x的代数式表示） 方案 购买数量（支） 购买单价（元） 总金额（元） 方案一 x ____________ ____________ 方案二 ____________ ____________ 18 ②若王老师有一张满1100减200的优惠券，可与上述两种优惠方案同享，则当时，选择方案几购买更划算？为什么？ 【答案】(1)23 (2)①见解析；②选择方案一购买更划算，理由见解析 【分析】本题考查列代数式，解题的关键是读懂题意，用含x的代数式表示相关的量． （1）利用单价超过20支的数量，即可求出结论； （2）①根据方案一每支按8折销售，可得单价，从而可得方案一购买的总金额，利用单价超过20支的数量，即可用含x的代数式表示出方案二购买单价，再利用总金额购买单价购买数量，即可用含x的代数式表示出总金额； ②结合①和满1100减200，分别求出方案一，方案二所需总金额，再比较即可得到答案． 【详解】（1）解： （元）， 答：购买数量为30支时，方案二湖笔的单价为23元； 故答案为：23； （2）解：①方案一：购买单价为（元），购买x支总金额为元； 方案二：当时，购买单价为元，总金额是元， 填表如下： 方案 购买数量（支） 购买单价（元） 总金额（元） 方案一 x 20 方案二 18 ②选择方案一购买更划算，理由如下： 当时， 方案一：（元）， （元）； 方案二：（元）， ∵， ∴选择方案一购买更划算． 17．某商场开展春节促销活动出售A、B两种商品，活动方案如下两种： 方案一：商品A每件标价90元，按标价的返还现金；商品B每件标价100元，返利按标价的； 方案二：所购商品一律按标价的返利． (1)某单位购买A商品30件，B商品20件，选用何种方案划算？能便宜多少钱？ (2)某单位购买A商品x件（x为正整数），购买B商品的件数是A商品件数的2倍多1件，该单位选择哪种方案更合算？请说明理由． 【答案】(1)选方案一，170元 (2)方案二更合算，理由见解析 【分析】本题考查列代数式，有理数的混合运算，整式的混合运算； （1）依据题意分别计算出方案一和方案二的价格，比较大小即可得出结果； （2）依据题意分别用含有x的代数式表示出方案一和方案二的价格，用作差法比较出大小即可. 【详解】（1）解：方案一费用： （元） 方案二费用： （元） ∵， ∴选方案一划算，便宜元. 答：选方案一划算，能便宜170元. （2）解：由题意得：购买B商品件数为件， 方案一费用： . 方案二费用： ∵ 又∵x为正整数 ∴ 即 ∴方案一费用更高，方案二更合算 18．在“生命，幸‘盔’有你”为主题的交通安全宣传教育下，人们骑乘电动自行车佩戴头盔的安全意识不断提高．某电动自行车店计划分别购进40个安全头盔和若干副电动自行车手套，店经理联系了批发商，他们之间的对话如下： (1)电动自行车店计划购买30个安全头盔和100副手套，若选择方案一共需要花费多少元？ (2)电动自行车店计划购买40个安全头盔和副手套（）．若选择方案一购买，需要花费多少元？（用含的代数式表示）；若选择方案二购买，需要花费多少元？（用含的代数式表示）； (3)当时，如何选择购买方案能更省钱？ 【答案】(1)元； (2)若选择方案一购买，需要花费元，若选择方案二购买，需要花费元； (3)选择购买方案二能更省钱． 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，列代数式，求代数式的值，解题的关键是理解题意，根据题意列出代数式． （1）根据题干信息列出算式进行计算即可； （2）根据两种方案列出代数式即可； （3）将已知的a值代入，然后进行解答即可． 【详解】（1）解：方案一需要花费： （元）； （2）解：若选择方案一购买，需要花费： 元； 若选择方案二购买，需要花费： 元； （3）解：当时， 若选择方案一购买，需要花费： （元）； 若选择方案二购买，需要花费： （元）； ， 答：当时，选择购买方案二能更省钱． 19．每年“双11”，网上商城都会推出各种优惠活动进行促销．某民宿负责人张阿姨准备在今“双11”当天，从网上商城的三家店铺中选择一家购买被子若干条，每条被子标价800元． 【信息收集】 “双11”当天优惠活动 A店铺 享受八折优惠； B店铺 商品每满800元可使用店铺优惠券50元，同时每满400元可使用商城购物津贴券50元，并且每单还可立减80元；（例如：一单购买2条被子需支付元） C店铺 购买10条以内（包括10条），每条立减150元；购买10条以上，前10条优惠不变，超过部分每条立减180元． 【模型建构】 （1）若一单购买a条被子，请用含a的代数式分别表示在这三家店铺采购的实际费用． 【问题解决】 （2）若张阿姨准备一单购买20条被子，应选择哪家店铺最划算？请说明理由． 【答案】（1）若购买10条以内（包括10条），需支付元，若购买10条以上，需支付元；（2）张阿姨选择C店铺购买被子最划算，理由见解析 【分析】本题考查列代数式及整式加减法的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． （1）根据题意可以分别得到三家店铺需要支付的费用； （2）根据题意可以得出在三家店铺的购买费用，即可求解． 【详解】解：（1）一单购买a条被子的实际费用： 在A店铺一单购买a条被子，需支付：元； 在B店铺一单购买a条被子，需支付：元； 在C店铺一单购买a条被子， 若购买10条以内（包括10条），需支付：（元）， 若购买10条以上，需支付：元． （2）一单购买20条被子的实际费用： 在A店铺一单购买20条被子，需支付：元； 在B店铺一单购买20条被子，需支付：元； 在C店铺一单购买20条被子，元． ， 张阿姨选择C店铺购买被子最划算． 题型六 销售问题（常考点）（共4小题） 20．疫情期间，为了满足市场上对口罩的需求，某厂家决定生产两种款式的口罩，每天两种口罩的生产量共5000个，两种口罩的成本和售价如下表： 成本（元/个） 售价（元/个） 5 8 7 9 设每天生产种口罩个． (1)用含的代数式表示该工厂每天的生产成本，并进行化简； (2)用含的代数式表示该工厂每天获得的利润，并将所列代数式进行化简；（利润=售价一成本） (3)当时，求每天获得的利润． 【答案】(1)元 (2)元 (3)12000元 【分析】本题考查列代数式和代数式求值，解题的关键是能看懂题意和表格，熟练掌握去括号和合并同类项． （1）根据题意和表格可以得到款式的成本和款式的成本，由某厂家生产、两种款式的环保口罩，每天共生产个，可以得到该工厂每天的生产成本，从而可以解答问题； （2）根据题意和表格可以得到A款式的成本和款式的成本和售价，由某厂家生产、两种款式的环保口罩，每天共生产个，可以得到该工厂每天获得的利润，从而可以解答问题； （3）根据（1），（2）中求出的代数式，可以求得当时，每天获得的利润． 【详解】（1）解：根据题意可得，该工厂每天的生产成本为（元）； （2）根据题意可得，种口罩的利润为每个（元）， 种口罩的利润为每个2（元）， 该工厂每天获得的利润为（元）； （3）把，代入中， 原式（元）． 所以当时，每天获得的利润为12000元．． 21．学校小卖部新进了一部分学习用品，文具盒每只定价元，笔记本每本元．小卖部在开展促销活动期间，向学生提供两种优惠方案：①文具盒和笔记本都按定价的%付款；②买一只文具盒送一本笔记本．现某班开展学习竞赛要到学校小卖部购买只文具盒，笔记本本数是文具盒只数的倍多． (1)若该班按方案①购买，需付款 元：(用含的代数式表示)；若该班按方案②购买，需付款 元．(用含的代数式表示) (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ 【答案】(1)； (2)第②种合算，计算见解析 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值； （1）根据题意列出代数式，即可求解； （2）将分别代入（1）中两个代数式，再比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知：①文具盒和笔记本都按定价的%付款；则方案①需付款； ②买一只文具盒送一本笔记本．则方案②需付款； 故答案为：；． （2）把分别代入（1）中两个代数式： 方案①：元；方案②：元； ， 故第②种合算． 22．三位家长决定带领名孩子（不少于）在“元旦”期间去同安方特景区旅游，春光旅行社的收费标准是成人全价，孩子半价；华夏旅行社收费标准是成人、孩子一律八折优惠，这两家旅行社的基本价相同，都是元． (1)用代数式表示这三位家长和名孩子分别参加这两家旅行社所需的总费用； (2)如果你是其中的一名孩子，你认为选择哪一家旅行社较为合算？为什么？ 【答案】(1)选择春光旅行社所需的总费用为元；选择华夏旅行社所需的总费用为元 (2)选择春光旅行社较为合算，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式以及整式的加减，根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出选择两旅行社所需的总费用是解题的关键. 利用总价单价数量，结合两旅行社给出的收费标准，即可用含的代数式表示出选择两旅行社所需的总费用； 选择春光旅行社较为合算，将的两代数式作差，结合，可得出，即，进而可得出选择春光旅行社较为合算． 【详解】（1）解：根据题意得：选择春光旅行社所需的总费用为元； 选择华夏旅行社所需的总费用为元； （2）选择春光旅行社较为合算，理由如下： ， ， ， ， 即， 选择春光旅行社较为合算． 23．某小型工厂生产酸枣面和黄小米，每日两种产品合计生产1500袋，两种产品的成本和售价如下表，设每天生产酸枣面袋． 成本/（元/袋） 售价/（元/袋） 酸枣面 40 46 黄小米 13 15 (1)表示该工厂每天获得的利润，用含的代数式表示，并进行化简（利润=售价-成本）； (2)当时，求每天获得的利润． 【答案】(1) (2)每天获得的利润是5400元 【分析】本题考查了列代数式的知识，掌握题干数量关系并用代数式表示出来是解题关键． （1）用生产的酸枣面、黄小米的袋数分别乘以每袋酸枣面、黄小米的利润即可得到每天生产的酸枣面、黄小米的利润，然后把两者相加即可得到每天获得的利润； （2）把代入（1）的代数式，计算得出答案即可． 【详解】（1）解：每天获得的利润； （2）解：当时，每天的利润， 所以，每天获得的利润是5400元． 题型七 分段收费问题（难点）（共3小题） 24．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节水的目的．如下所示是该市自来水收费价格见价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 2元/ 超出但不超出的部分 4元/ 超出的部分 8元/ 注：水费按月结算． (1)填空：若该户居民2月份用水，则应收水费______元； (2)若该户居民3月份用水（其中），则应收水费多少元？（用含的整式表示并化简） (3)若该户居民4，5月份共用水（5月份用水量超过了4月份），设4月份用水，求该户居民4，5月份共交水费多少元？（用含的整式表示并化简） 【答案】(1)8 (2)元 (3)见解析 【分析】此题主要考查了整式的加减的应用，分段收费的含义，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据表格中的收费标准，求出水费即可； （2）根据a的范围，求出水费即可； （3）根据5月份用水量超过了4月份，得到4月份用水量少于，分4月份的用水量少于时，5月份用水量超过；4月份用水量不低于，但不超过时，5月份用水量不少于，但不超过；4月份用水量超过，但少于时，5月份用水量超过但少于三种情况分别求出水费即可． 【详解】（1）解：根据题意得：（元）； （2）解：根据题意得：元． 答：应收水费元； （3）解：由5月份用水量超过了4月份，得到4月份用水量少于， 当4月份用水量少于时，5月份用水量超过，则4，5月份共交水费为： 元； 当4月份用水量不低于，但不超过时，5月份用水量不少于，但不超过，则4，5月份交的水费为： 元； 当4月份用水量超过，但少于时，5月份用水量超过但少于，则4，5月份交的水费为： （元）． 25．某超市在双十一期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 八折优惠 500元或超过500元 其中500元给予八折优惠，超过500元的部分给予七折优惠 (1)若王老师一次性购物600元，他实际付款______元，若王老师实际付款160元，那么王老师一次性购物可能是 元； (2)如果王老师有两天去超市购物原价合计900元，第一天购物的原价为a元（），用含a的代数式表示分别表示这第一天购物王老师实际付款多少元？第二天购物王老师实际付款多少元(结果要化简)？当元时，王老师两天一共节省了多少元？ 【答案】(1)470；160或200 (2)第一天购物王老师实际付款为元，第二天购物王老师实际付款元，当元时，王老师两天一共节省元 【分析】本题考查了列代数式、整式加减的应用等知识，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键． （1）根据购物超过500元的优惠办法计算即可得；设王老师实际付款160元，分两种情况：少于200元和低于500元但不低于200元，根据优惠办法求解即可得； （2）先求出第二天购物的原价为元，再根据优惠办法列式，计算整式的加减，然后将代入计算即可得答案． 【详解】（1）解：王老师一次性购物600元，他实际付款为：元)； 若王老师实际付款160元，有两种可能： 一是一次性购物元，没有优惠； 二是一次性购物不少于200元时，则有八折优惠，实际付款元， 则王老师一次性购物原价为 （元）． 所以，王老师一次性购物可能是或元． 故答案为：；或； （2）因为第一天购物原价为a元， 则第二天购物原价为元，易知：， 第一天购物优惠后实际付款 元)， 第二天购物优惠后实际付款： 元， 王老师两天一共付款 元， 当元时， 实际一共付款：（元）， 一共节省（元）． 26．为提倡节约用水，某地对每户按年累积用水实行阶梯收费．具体水价执行标准如下表：（水费一月一缴） 用水类别 供水价格（元） 阶梯水量（年度） 第一阶梯 3 （含）以下 第二阶梯 5 （不含）～（含） 第三阶梯 10 （不含）以上 根据表中的内容，解答下列问题： (1)今年小杰家1，2，3，4月份的用水量分别为，，，，则4月份应缴水费多少元？ (2)若小杰家5月的用水量为，试用含的代数式表示应缴水费． 【答案】(1)4月份应缴水费120元 (2)见解析 【分析】此题考查了整式加减的应用、有理数的混合运算，掌握其数量关系是解决此题的关键． （1）根据数量×单价计算可得答案； （2）分当，，时三种情况计算可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴4月份应缴水费元 （2）解：由（1）知，1至4月份已用水， ，， 当时，应缴水费元； 当时，应缴水费元； 当时，应缴水费元． $