专题03 椭圆热点问题（解答题）（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦椭圆热点问题，涵盖椭圆性质综合、定点定值、最值范围等核心考点，按考情精解、知能框架、题型攻坚分层构建知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练帮助学生突破难点，体现复习的系统性和针对性。 资料整合近五年北京卷真题，提炼焦半径、焦点三角形等常用结论培养数学思维，设计分层题型专项训练提升解题能力，助力学生用数学语言精准表达思路，为教师把控复习节奏、学生高效备战高考提供有力支撑。

专题03椭圆热点问题 目录 01 析·考情精解 1 02 构·知能框架 1 03 破·题型攻坚 1 考点一 椭圆性质综合 2 真题动向 必备知识 知识1椭圆性质 知识2常用结论 命题预测 题型1椭圆性质综合 题型2定点定值问题 考点二 最值与范围问题 25 真题动向 必备知识 命题预测 题型1最值与范围问题 命题轨迹透视 从近五年北京卷高考试题来看，圆锥曲线每年一道解答题，主要考圆锥曲线性质综合，难度中等。 重点考查地是：弦长、面积、定点定值、最值范围。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 椭圆性质综合 北京T19解答题15分 北京T19解答题15分 最值范围问题 北京T19解答题15分 2026命题预测 预计在2026年北京卷高考中，圆锥曲线仍会考性质综合得解答题，侧重弦长、面积、定点定值、最值范围。难度中等为主，但也要注意较难题。 考点一 椭圆性质综合 1．(2024年北京高考数学真题T19解答题14分)已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的方程及离心率；(2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 2.(2023年北京高考数学真题T19解答题14分)已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，． (1)求的方程； (2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：． 3.(2022年北京高考数学真题T19解答题14分) 已知椭圆的一个顶点为，焦距为． (1)求椭圆E的方程； (2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值． 知识1椭圆性质 (一)椭圆统一方程： 当时，为椭圆； (二)椭圆的曲线系问题 与曲线：有相同焦点的椭圆(或双曲线)的方程可设为：. (三)椭圆的焦半径问题 1.椭圆上点P(x0，y0)与焦点F1，F2之间的距离叫做椭圆的焦半径，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|. (1)第一定义：； (2).，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0； ，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0； (3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点): (4)； (四)椭圆的焦点弦问题 1.若椭圆方程为，半焦距为，焦点， (1)过左焦点的焦点弦:；过右焦点的焦点弦:. (2)椭圆过焦点弦长公式： (Ⅰ)过的直线的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有 ①；②； (Ⅱ)过的直线的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有： ①；②； (3)若是过焦点的弦,设,则； (4)过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为:；焦点弦中以通径最短； (五)椭圆的焦点三角形问题 1.椭圆的焦点三角形：点P(x0，y0)在(a＞b＞0)上， 若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则： (1). (2).S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|， 当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，θ最大, S也最大，最大值为bc. (3).焦点三角形的周长为2(a＋c)． (4).记，则； (5).点是内心，交于点，则. (六)椭圆的切线问题 1.椭圆： (1)以上点为切点的切线斜率为；则；切线方程:. (2)过外一点作两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2所在直线方程：. (七)椭圆与点差法有关的结论 1.椭圆中有关点差法的经典结论(以下椭圆方程均为：) (1).AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则. (2).过原点的直线交椭圆于两点，P点是椭圆上异于两点的任一点，则有； (3).过椭圆上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则 (常数). (八)椭圆的离心率 1.一般方法：根据条件，建立齐次等量关系f(a，b，c)＝0，再化归为关于e的方程求解． 2.； 2. 焦点三角形中： P为椭圆上异于长轴端点的任一点,，则； 3.过椭圆的焦点F作倾斜角为θ直线与椭圆或双曲线相交A、B两点，且＝λ, 则；即． (当椭圆焦点在轴上时，)；注:或者。 4. 若直线y＝kx与椭圆E交于A，B两点，P为椭圆上异于A，B的点，若直线PA，PB的斜率存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝－＝e2－1． 　　　 　　　　　 5.直线y＝kx＋m(k≠0且m≠0)与椭圆E交于A，B两点，P为弦AB中点，k0，则k0·k＝－＝e2－1．　　　　 知识2常用结论 1.过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为，过焦点最长弦为长轴． 2.过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b. 3.顶点,，与y轴平行的直线交椭圆于；则A1P1与A2P2交点的轨迹方程是. 4.P为椭圆上任一点,A为椭圆内一定点， 则,当且仅当三点共线时，等号成立. 5.、为椭圆上两动点，且.则： ①； ②的最大值为； ③的最小值是. 6.若A、B是椭圆上两点，线段AB的中垂线与x轴交于点, 则. 7.从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点. 8.椭圆内接矩形最大面积：. 题型1椭圆性质综合 1．(25-26高三上·北京·期中)已知椭圆的长轴长为，且. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)椭圆的左、右顶点分别为，，经过点的直线与椭圆相交于不同的两点，(不与点，重合).直线与直线相交于点，求证：，，三点共线. 2．(25-26高三上·北京·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，的周长为，且椭圆的离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)两条平行直线、不与坐标轴平行，已知与椭圆交于、两点，与椭圆交于、两点，、、、四点构成四边形，试问四边形是否有可能为等腰梯形，若可能，请求出一组满足要求的直线、，若不可能，请说明理由． 3．(25-26高三上·北京海淀·月考)已知椭圆经过点和点. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)设点关于原点的对称点为，过点的直线与椭圆的另一个交点为，且与直线交于椭圆内的点.设的面积和的面积分别为和，若，求直线的斜率. 4．(25-26高三上·北京·开学考试)已知椭圆：的右顶点为，焦距为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)过作直线交椭圆E于不同两点，设直线，分别与直线交于点，，比较与的大小，并给出证明． 5．(25-26高三上·北京丰台·开学考试)已知椭圆. (1)求的离心率和短轴长； (2)设为原点，直线，动点在椭圆上，过点作的垂线交直线于点，点到直线的距离为1，求的值. 6．(24-25高三下·北京·月考)已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，且短轴长为，离心率等于． (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆的左顶点，为右焦点，为椭圆上一个动点．设直线与直线交于点，连接，过作的平行线与交于点，求的值． 7．(2025·北京·三模)已知椭圆：过，两点. (1)求椭圆的方程； (2)设，，过点的直线与椭圆交于两点，连接、交x轴于两点(不重合)，已知，求直线的方程. 8．(2025·北京海淀·三模)已知椭圆的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线交椭圆于、两点，点在第一象限． (1)求椭圆的焦距；若，求点的坐标； (2)若轴，垂足为，连结并延长交椭圆于点，取线段中点，求证：． 题型2定点定值问题 1．(2023·北京·三模)已知椭圆经过点，且其离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)直线与轴交于点，与椭圆交于两点，直线分别与直线交于两点．是否存在定点，使得与的面积之比为定值？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 2．(2025·北京·模拟预测)椭圆：，左、右顶点分别为A，B，上顶点为C，原点为，P是椭圆上一点.，面积的最大值为6. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)当点P不与椭圆顶点重合时，记直线与椭圆的另一个交点为，交直线为D，直线交x轴为E.求证：直线与直线的斜率之积为定值. 3．(2024·北京朝阳·一模)已知椭圆：的离心率为，A，B分别是E的左、右顶点，P是E上异于A，B的点，的面积的最大值为. (1)求E的方程； (2)设O为原点，点N在直线上，N，P分别在x轴的两侧，且与的面积相等. (i)求证：直线与直线的斜率之积为定值； (ⅱ)是否存在点P使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由. 4．(22-23高三下·北京东城·月考)已知椭圆，且过两点． (1)求椭圆E的方程和离心率e； (2)若经过有两条直线，它们的斜率互为倒数，与椭圆E交于A，B两点，与椭圆E交于C，D两点，P，Q分别是AB，CD的中点试探究：与的面积之比是否为定值？ 若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． 5．(25-26高三上·北京·月考)已知椭圆的离心率为，点在C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知动直线l过曲线C的左焦点F，且与椭圆C分别交于P，Q两点，试问x轴上是否存在定点R，使得为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由． 6．(25-26高三上·北京·月考)椭圆的离心率为，左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，四边形是边长为的菱形． (1)求椭圆C的方程； (2)已知A是椭圆C在第一象限上的点，B与A关于原点对称，为椭圆C的右焦点，连接与，并延长交椭圆C于D，E两点，若直线AB的斜率为，直线DE的斜率为，试探究是否为定值．若是，则求出这个定值；若不是，请说明理由． 7．(25-26高三上·北京海淀·月考)已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上不与端点重合的动点，且的周长为. (1)求椭圆的方程； (2)已知过点的直线与椭圆交于两点，点，直线与直线分别交于点，求线段的中点的坐标. 8．(25-26高三上·北京·开学考试)已知椭圆，其中，点在椭圆上． (1)求椭圆的方程及上顶点的坐标；(2)过点的直线交椭圆于两点，直线与轴的交点分别为，，证明：线段的中点为定点． 考点二 最值与范围问题 1．(2025年北京高考数学真题T19解答题14分)已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小． 2．(2021年高考北京卷数学真题T20解答题14分)已知椭圆一个顶点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为． （1)求椭圆E的方程； （2)过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围． 题型1最值与范围问题 1．(25-26高三上·北京·月考)椭圆分别为左右焦点，为坐标原点，直线过与椭圆交于两点，的周长为，的周长为. (1)求椭圆的方程； (2)过作直线交抛物线于点，求的取值范围. 2．(25-26高三上·北京·月考)已知椭圆的离心率为，右焦点为，过的直线交于两点，为的中点． (1)求的方程和短轴长； (2)若的垂直平分线交轴于，且. (i)求直线的方程；(ii)点在上，求△面积的最大值． 3．(25-26高三上·北京昌平·月考)已知椭圆：的离心率为，长轴长为4．过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点． (1)求椭圆的方程；(2)若的面积为，求；(3)求的面积的最大值． 4．(25-26高三上·北京·开学考试)已知直线过椭圆C的中心坐标原点O，与平行的直线与C交于两点，且.当轴时，直线AB过C的一个焦点. (1)求C的方程； (2)点D、E满足，交于点G，直线交于点H，求面积的最大值. 5．(2025·北京·二模)椭圆，直线经过椭圆的左顶点和下顶点． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)设过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，直线与直线的交点分别为，线段的中点分别为．若直线经过坐标原点，求的取值范围． 6．(2024·北京房山·一模)已知椭圆的离心率为，左焦点为，过的直线交椭圆于、两点，点为弦的中点，是坐标原点，且点不与，重合． (1)求椭圆的方程； (2)若是延长线上一点，且的长度为，求四边形面积的取值范围． 7．(23-24高三上·北京海淀·期末)已知椭圆过点，焦距为. (1)求椭圆的方程，并求其短轴长； (2)过点且不与轴重合的直线交椭圆于两点，，连接并延长交椭圆于点，直线与交于点，为的中点，其中为原点.设直线的斜率为，求的最大值. 学科网(北京)股份有限公司第 1 页 共 65 页 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 专题03椭圆热点问题 目录 01析考情精解…个 02构知能框架 03破题型攻坚… 考点一椭圆性质综合 2 真题动向 必备知识 知识1椭圆性质 知识2常用结论 命题预测 题型1椭圆性质综合 题型2定点定值问题 考点二最值与范围问题… 5 真题动向 必备知识 命题预测 题型1最值与范围问题 NO.1 析·考情精解 命题 从近五年北京卷高考试题来看，圆锥曲线每年一道解答题，主要考圆锥曲线性质综合， 难度中等。 轨迹 重，点考查地是：弦长、面积、定点定值、最值范围。 透视 考点 考点 2025年 2024年 2023年 频次 椭圆性质综合 北京T19解答题15分 北京T19解答题15分 总结 最值范围问题 北京T19解答题15分 2026 预计在2026年北京卷高考中，圆锥曲线仍会考性质综合得解答题，侧重弦长、面积、 定点定值、最值范围。难度中等为主，但也要注意较难题。 命题 预测 N0.2 构·知能框架 第1页共19页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 考点一椭圆 性质综合 知识点1椭圆性质 题型1椭圆性质综合 知识点2常用结论 题型2定点定值问题 专题2椭圆热点问题 考点二最值 知识点1直线与圆锥 与范围问题 曲线的位置关系 题型1最值与范围问题 NO.3 破·题型攻坚 考点一椭圆性质综合 题 动 向 1.(Q024年北京高考数学真题T19解答腰14分)已知椭圆5：三+发=1(a>b>0),以椭圆E的焦点和短轴 端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点(O,t)(t>√2且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A,B, 过点A和C(0,1)的直线AC与椭圆E的另一个交点为D. (1)求椭圆E的方程及离心率；(2)若直线BD的斜率为0，求t的值. 第2页共19页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 2(2023年北京高考数学真题T19解答题14分)已知椭圆号+三=1〔a>b>0)的离心率为，4、C分别 是E的上、下顶点，B,D分别是E的左、右J顶点，|AC|=4. (1)求E的方程： (2)设P为第一象限内E上的动点，直线PD与直线BC交于点M,直线PA与直线y=-2交于点N.求证：MN/CD. 3.(2022年北京高考数学真题T19解答题14分) 己知椭圆5号+片=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1),焦距为2V3. (1)求椭圆E的方程： (2)过点P(-2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与x轴交于点M,N, 当MN=2时，求k的值. 第3页共19页 品学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 必 备 知 ●● 知识1椭圆性质 (一)椭圆统一方程：mx2+ny2=1 当m>0,n>0,m≠n时，为椭圆： (二)椭圆的曲线系问题 与曲线：兰+兰-1有相同焦点的椭圆（或双曲线）的方程可设为：品+兰=1 (三)椭圆的焦半径问题 1.椭圆上点P(o,yo)与焦点F,F2之间的距离叫做椭圆的焦半径，r1=PF,2=PF. (1)第一定义：P+PF,=2a: (a景+3=1(a>b>0),r1=a+eo,h=a-eo: 茶+景=1a>b>0n=a+g,=a-gni (3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小（近日点与远日点）：a-c≤PF≤a+c (4)b≤PRPF s: (四)椭圆的焦点弦问题 1.若椭圆方程为5+三=1(a>b>0),半焦距为c,焦点E(-c,0),E(c,0）, (1)过左焦点的焦点弦：AB=2a+e(x+x2):过右焦点的焦点弦：AB=2a-e(x+x2) 2ab2 (2)椭圆过焦点弦长公式：|AB= a2 cosa(焦点在x轴上) 2ab2 acma(焦点在y轴上) (I)过E的直线1的倾斜角为α，交椭圆于A、B两点，则有 DAFIA 2ab2 (工)过F的直线I的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有： @al=rl-,:②1aB=2 ③)若AB是过焦点F的弦，设4=m,BF=n,则片+日= ④过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：咎，焦点弦中以通径最短； (五)椭圆的焦点三角形问题 1.椭圆的焦点三角形：点P(o:均)在号+5=1a>b>0上， 若r1=PF1,2=PF,∠FPF=0,△PFF2的面积为，则： 第4页共19页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 (1).cos日≥1-2e2 )-PlPF:sin 0-b-tan 9-clvd, 2 当%=b时，即点P为短轴端点时，最大，S也最大，最大值为bc. (3).焦点三角形的周长为2(a十c) ④记∠RPR=0,则eF- )点M是APRR内心，PM交R月于点N,-是 (六)椭圆的切线问题 1.椭圆： ()以后+茶=1a>b>0)上点Fo.Yo))为切点的切线斜率为k:则k.ka-:切线方程学+罗=1 ②)过号+兰=1外一点Pyo)作两条切线切点为R、P,则切点弦PP,所在直线方程：警+罗=1 (七)椭圆与点差法有关的结论 1.椭圆中有关点差法的经典结论（似下椭圆方程均为：常+是-1(a>b>0》 (1).AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M(x。,y)为AB的中点，则koM·k4B= 、b3 ②.过原点的直线交椭圆于AB两点，P点是椭圆上异于AB两点的任一点，则有krakpn=一三 (3).过椭圆上任一点A(x,八)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则kc·ko4=三（常数）。 (八)椭圆的离心率 1.一般方法：根据条件，建立齐次等量关系a,b,c)=0,再化归为关于e的方程求解. 2e椭圈=后=1-（总）2； 2.焦点三角形中： P为椭圆+京-1(a>b>0)上异于长铂端点的任一点，∠P,=aPF,=B.则e-日= 3.过椭圆的焦点F作倾斜角为0直线与椭圆或双曲线相交A、B两点，且下=F(☑>0)， 则e=T+反：即ecos昨-L 1+1 (尚椭圆焦点在y轴上时，e=1+(:注入=能或者入=熙。 BF AF 4.若直线y=与椭圆E交于A,B两点，P为椭圆上异于A,B的点，若直线PA,PB的斜率存在，且分 别为，众，则1妇= a2-e2-1. 第5页共19页 丽学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 y B 5直线=+m40且m40)与椭圆E交于A,B两点，P为弦AB中点，ko=,则6k=8-e2-1 知识2常用结论 1过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为2少，过焦点最长弦为长轴， 2.过原点最长弦为长轴长2a,最短弦为短轴长2b: 3.顶点A(-a,0,4(a,0),与y轴平行的直线交椭圆于P1,P2:则AB与AP,交点的轨迹方程是器-三=1 4.P为椭圆上任一点，A为椭圆内一定点， 则2-AF,SPA+PZ2a+|AF,当且仅当A,F,P三点共线时，等号成立. 5.P、Q为椭圆上两动点，且OP⊥OQ.则： @凉+忘=片+京 1 ②OA+0Q2的最大值为4a22 a2+628 国S40的最小值是2 a2+b2 6若A、B是椭圆上两点，线段B的中垂线与x轴交于点P(,0),则-<，<- a 7.从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点 8.椭圆内接矩形最大面积：2ab ●0 题型1椭圆性质综合 1.(25-26高三上北京期中)已知椭圆W:号+茶=1a>b>0)的长轴长为4，且a=2b, (1)求椭圆的方程和离心率： (2)椭圆的左、右顶点分别为A,B,经过点P(1,0)的直线与椭圆W相交于不同的两点C,D(不与点A,B重合) 直线CB与直线x=4相交于点M,求证：A,D,M三点共线 第6页共19页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 2.(25-26高三上北京期中)已知椭圆5兰+兰-1a>b>0)的左、右焦点分别为1、F2,上顶点为H, △F1F2H的周长为6，且椭圆E的离心率为 (1)求椭圆E的标准方程： (2)两条平行直线l1、2不与坐标轴平行，已知L1与椭圆E交于A、B两点，2与椭圆E交于C、D两点，A、B、C、 D四点构成四边形ABCD,试问四边形ABCD是否有可能为等腰梯形，若可能，请求出一组满足要求的直线L1> l2,若不可能，请说明理由. 第7页共19页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 3.(25-26高三上北京海淀月考)已知椭圆C:三+罗=1(a>b>0)经过点4(-2,0)和点M(-1,) (1)求椭圆C的方程和离心率： (2)设点M关于原点的对称点为N,过点A的直线与椭圆C的另一个交点为P,且l与直线MN交于椭圆内的点T 设△TAM的面积和△TPN的面积分别为S1和S2,若S1=S2,求直线的斜率. 4.(25:26高三上北京开学考试)已知椭圆B:兰+茶=1(a>b>0)的右顶点为P(2,0),焦距为2W5. (I)求椭圆E的方程及离心率e: (2)过Q(2,1)作直线交椭圆E于不同两点A,B,设直线PA,PB分别与直线y=1交于点C(xc,1),D(xD,1), 比较xc+xD与xcxD的大小，并给出证明. 第8页共19页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 5.(2526商三上北京丰台开学考试己知椭圆E+y=1 (1)求E的离心率和短轴长： (2)设0为原点，直线L:y=m,动点P在椭圆E上，过点0作0P的垂线交直线于点Q,点0到直线PQ的距离为 1,求m的值. 6.(2425高三下北京·月考)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且短轴长为2V3,离心率等于) (1)求椭圆C的方程： (2)设A为椭圆C的左顶点，F为右焦点，P为椭圆C上一个动点.设直线AP与直线x=4交于点Q,连接FQ, 过A作FQ的平行线与FP交于点M,求|MF的值. 第9页共19页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 7.(2025北京三模)已知椭圆W:三+-1(a>b>0)过A(0,-1),B(V5,)两点 (1)求椭圆W的方程： (2)设C(O,2),D(0,-4),过点C的直线与椭圆交于P,Q两点，连接QD、PD交x轴于M,N两点(M,N不重合)， 已知ON=21OM|,求直线的方程. 8.(2025北京海淀三模)已知椭圆。+兰=1的左、右焦点分别为F1,F2,过坐标原点的直线交椭圆于A、B 两点，点A在第一象限， (1)求椭圆的焦距；若AF1·AF2=2,求点A的坐标； (2)若AE⊥x轴，垂足为E,连结BE并延长交椭圆于点C,取线段BC中点G,求证：IGA=IGBL. 第10页共19页 专题03椭圆热点问题 目录 01 析·考情精解 1 02 构·知能框架 1 03 破·题型攻坚 1 考点一 椭圆性质综合 2 真题动向 必备知识 知识1椭圆性质 知识2常用结论 命题预测 题型1椭圆性质综合 题型2定点定值问题 考点二 最值与范围问题 25 真题动向 必备知识 命题预测 题型1最值与范围问题 命题轨迹透视 从近五年北京卷高考试题来看，圆锥曲线每年一道解答题，主要考圆锥曲线性质综合，难度中等。 重点考查地是：弦长、面积、定点定值、最值范围。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 椭圆性质综合 北京T19解答题15分 北京T19解答题15分 最值范围问题 北京T19解答题15分 2026命题预测 预计在2026年北京卷高考中，圆锥曲线仍会考性质综合得解答题，侧重弦长、面积、定点定值、最值范围。难度中等为主，但也要注意较难题。 考点一 椭圆性质综合 1．(2024年北京高考数学真题T19解答题14分)已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的方程及离心率；(2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 【答案】(1)；(2)【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中的定值问题 【分析】(1)由题意得，进一步得，由此即可得解； (2)设，，联立椭圆方程，由韦达定理有，而，令，即可得解. 【详解】(1)由题意，从而， 所以椭圆方程为，离心率为； (2)直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾， 从而设，， 联立，化简并整理得， 由题意，即应满足， 所以， 若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设， 所以，在直线方程中令， 得，所以， 此时应满足，即应满足或， 综上所述，满足题意，此时或. 2.(2023年北京高考数学真题T19解答题14分)已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，． (1)求的方程； (2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：． 【答案】(1)；(2)证明见解析【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定值问题 【分析】(1)结合题意得到，，再结合，解之即可； (2)依题意求得直线、与的方程，从而求得点的坐标，进而求得，再根据题意求得，得到，由此得解. 【详解】(1)依题意，得，则， 又分别为椭圆上下顶点，，所以，即， 所以，即，则， 所以椭圆的方程为. (2)因为椭圆的方程为，所以， 因为为第一象限上的动点，设，则，        易得，则直线的方程为， ，则直线的方程为， 联立，解得，即， 而，则直线的方程为， 令，则，解得，即， 又，则，， 所以 ， 又，即， 显然，与不重合，所以. 3.(2022年北京高考数学真题T19解答题14分) 已知椭圆的一个顶点为，焦距为． (1)求椭圆E的方程； (2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值． 【答案】(1)；(2)【难度】0.65 【知识点】根据弦长求参数、根据韦达定理求参数、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】(1)依题意可得，即可求出，从而求出椭圆方程； (2)首先表示出直线方程，设、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线、的方程，表示出、，根据得到方程，解得即可； 【详解】(1)解：依题意可得，，又， 所以，所以椭圆方程为； (2)若直线斜率不存在，与椭圆只有一个交点，不合题意； 所以直线斜率存在，设过点的直线为， 设、，不妨令， 由，消去整理得， 所以，解得， 所以，， 直线的方程为，令，解得， 直线的方程为，令，解得， 所以 ， 所以，即 即 即 整理得，解得 知识1椭圆性质 (一)椭圆统一方程： 当时，为椭圆； (二)椭圆的曲线系问题 与曲线：有相同焦点的椭圆(或双曲线)的方程可设为：. (三)椭圆的焦半径问题 1.椭圆上点P(x0，y0)与焦点F1，F2之间的距离叫做椭圆的焦半径，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|. (1)第一定义：； (2).，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0； ，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0； (3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点): (4)； (四)椭圆的焦点弦问题 1.若椭圆方程为，半焦距为，焦点， (1)过左焦点的焦点弦:；过右焦点的焦点弦:. (2)椭圆过焦点弦长公式： (Ⅰ)过的直线的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有 ①；②； (Ⅱ)过的直线的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有： ①；②； (3)若是过焦点的弦,设,则； (4)过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为:；焦点弦中以通径最短； (五)椭圆的焦点三角形问题 1.椭圆的焦点三角形：点P(x0，y0)在(a＞b＞0)上， 若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则： (1). (2).S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|， 当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，θ最大, S也最大，最大值为bc. (3).焦点三角形的周长为2(a＋c)． (4).记，则； (5).点是内心，交于点，则. (六)椭圆的切线问题 1.椭圆： (1)以上点为切点的切线斜率为；则；切线方程:. (2)过外一点作两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2所在直线方程：. (七)椭圆与点差法有关的结论 1.椭圆中有关点差法的经典结论(以下椭圆方程均为：) (1).AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则. (2).过原点的直线交椭圆于两点，P点是椭圆上异于两点的任一点，则有； (3).过椭圆上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则 (常数). (八)椭圆的离心率 1.一般方法：根据条件，建立齐次等量关系f(a，b，c)＝0，再化归为关于e的方程求解． 2.； 2. 焦点三角形中： P为椭圆上异于长轴端点的任一点,，则； 3.过椭圆的焦点F作倾斜角为θ直线与椭圆或双曲线相交A、B两点，且＝λ, 则；即． (当椭圆焦点在轴上时，)；注:或者。 4. 若直线y＝kx与椭圆E交于A，B两点，P为椭圆上异于A，B的点，若直线PA，PB的斜率存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝－＝e2－1． 　　　 　　　　　 5.直线y＝kx＋m(k≠0且m≠0)与椭圆E交于A，B两点，P为弦AB中点，k0，则k0·k＝－＝e2－1．　　　　 知识2常用结论 1.过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为，过焦点最长弦为长轴． 2.过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b. 3.顶点,，与y轴平行的直线交椭圆于；则A1P1与A2P2交点的轨迹方程是. 4.P为椭圆上任一点,A为椭圆内一定点， 则,当且仅当三点共线时，等号成立. 5.、为椭圆上两动点，且.则： ①； ②的最大值为； ③的最小值是. 6.若A、B是椭圆上两点，线段AB的中垂线与x轴交于点, 则. 7.从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点. 8.椭圆内接矩形最大面积：. 题型1椭圆性质综合 1．(25-26高三上·北京·期中)已知椭圆的长轴长为，且. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)椭圆的左、右顶点分别为，，经过点的直线与椭圆相交于不同的两点，(不与点，重合).直线与直线相交于点，求证：，，三点共线. 【答案】(1)，；(2)证明见解析.【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中的定直线 【分析】(1)椭圆的长轴长和、的关系求出椭圆方程和离心率； (2)再利用直线与椭圆相交，通过联立方程求出相关点的坐标，进而证明三点共线. 【详解】(1)已知椭圆长轴长为，得， 因为，所以，因此，椭圆方程为， 由，得离心率； (2)设直线的方程为，如下图所示： 联立，消去得， 由韦达定理得， 直线的方程为，令，得， 要证三点共线，只需证， 因为，所以需证，即证， 将代入，化简得， 即，整理为， 代入韦达定理结果：左边，右边，等式成立， 故三点共线. 2．(25-26高三上·北京·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，的周长为，且椭圆的离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)两条平行直线、不与坐标轴平行，已知与椭圆交于、两点，与椭圆交于、两点，、、、四点构成四边形，试问四边形是否有可能为等腰梯形，若可能，请求出一组满足要求的直线、，若不可能，请说明理由． 【答案】(1)；(2)不可能，理由见解析【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、由韦达定理或斜率求弦中点 【分析】(1)由离心率和的周长可求得、的值，据此可得出的值，由此可得出椭圆的标准方程； (2)分别取线段、的中点、，若四边形为等腰梯形，则，设直线的方程为，设直线的方程为，将这两条直线方程分别与椭圆的方程联立，求出点、的坐标，求出直线的斜率，结合两直线垂直于斜率的关系可得出结论. 【详解】(1)椭圆的离心率为，故， 的周长为，解得，， 故，所以椭圆的标准方程为. (2)如下图所示： 若四边形为等腰梯形，则， 设直线、交于点，因为，所以，故， 从而， 分别取线段、的中点、，则，， 故、、三点共线，则， 不妨设直线的方程为，设点、， 联立可得， ，可得， 由韦达定理可得， 故，故点， 设直线的方程为，同理可得点， 直线的斜率为， 因为，即与不垂直， 因此不存在满足题设条件的两条平行直线、，使得四边形为等腰梯形. 3．(25-26高三上·北京海淀·月考)已知椭圆经过点和点. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)设点关于原点的对称点为，过点的直线与椭圆的另一个交点为，且与直线交于椭圆内的点.设的面积和的面积分别为和，若，求直线的斜率. 【答案】(1)，；(2)0【难度】0.65 【知识点】求标准方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形(四边形)的面积 【分析】(1)根据题意有，解出即可得椭圆的方程，进而得离心率； (2)连接，由，得，进而得 ，点与点关于原点对称，得，进而得，得直线的方程，与椭圆方程联立即可得点坐标，进而求解. 【详解】(1)由已知有：，解得，所以椭圆方程为， 所以，所以离心率； (2)连接，因为，所以，即， 所以点和点到直线的距离相等， 由题意，点与点在直线的同侧，所以 ， 因为点与点关于原点对称，所以， 又，所以，所以， 直线的方程为，即， 由可得，得或， 当时，，得， 当时，点与点重合，不合题意. 所以直线的斜率为0. 4．(25-26高三上·北京·开学考试)已知椭圆：的右顶点为，焦距为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)过作直线交椭圆E于不同两点，设直线，分别与直线交于点，，比较与的大小，并给出证明． 【答案】(1)；；(2)，证明见解析【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据韦达定理求参数 【分析】(1)利用已知得，又利用即可求椭圆的方程，利用离心率的公式即可求解； (2)设直线的方程为：，与椭圆方程联立，设，由韦达定理得，求直线的方程，进而得，同理得，求出和即可求解. 【详解】(1)由题意有：，所以， 又，所以椭圆的方程为：， 所以离心率为； (2)由题意得直线的斜率存在且不为0，可设直线的方程为：， 所以， 所以，即， 设，所以， 由，所以直线的方程为：， 令得，同理得， 所以 ， ， 当且时，，    当时，或， 此时与平行，没有交点，不合题意. 所以. 5．(25-26高三上·北京丰台·开学考试)已知椭圆. (1)求的离心率和短轴长； (2)设为原点，直线，动点在椭圆上，过点作的垂线交直线于点，点到直线的距离为1，求的值. 【答案】(1)，短轴长；(2)【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆中的参数及范围 【分析】(1)根据椭圆的方程求出，，，即可求解离心率和短轴长； (2)法1：设点，，由在椭圆上及得，利用距离公式求得，，，根据等面积法求解并化简得，结合即可求解.法2：设点，，由点在椭圆上得，由向量垂直的坐标运算得，若直线斜率不存在，求得；若直线斜率存在，设直线方程为：，利用点到直线的距离公式并化简得，即可求解. 【详解】(1)由题意得，，所以， 故离心率，短轴长； (2)法1：设点，，因为点在椭圆上，所以； 因为，所以，得， ，， ， 因为点到直线的距离为1，所以， 即，整理得， 因为，所以，结合，得到，. 法2：设点，，因为点在椭圆上，所以； 因为，所以，可得(*)； 若直线斜率不存在，即，此时，代入(*)解得； 若直线斜率存在，即，设直线方程为：， 即， 点到直线的距离为：，整理得， 展开得， 由(*)得，代入上式，化简得：， 将代入化简得， 又，所以，则有， 两边同乘化简得：， 又且，所以，所以. 6．(24-25高三下·北京·月考)已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，且短轴长为，离心率等于． (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆的左顶点，为右焦点，为椭圆上一个动点．设直线与直线交于点，连接，过作的平行线与交于点，求的值． 【答案】(1)；(2)【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定值问题 【分析】(1)由题意得，再结合可求出，从而可求出椭圆方程； (2)设，表示出直线的方程，则可求出点的坐标，求出直线和直线的方程，两直线方程联立可求出点的坐标，进而可求出的值． 【详解】(1)因为椭圆的中心在原点，焦点在轴上， 所以设椭圆方程为， 由题意得，解得， 所以椭圆的方程为； (2)由题意得，设， 则，得，即， 由题意得直线的斜率存在，则，所以直线为， 当时，，所以，所以直线的斜率为， 因为直线与直线平行，所以直线的斜率为，所以直线为， 当时，由椭圆的对称性，不妨设点为第一象限的点，则， 此时直线为，直线为， 由，得，即，所以， 当时，直线的斜率为，则直线为， 由，得，即， 所以 综上， 7．(2025·北京·三模)已知椭圆：过，两点. (1)求椭圆的方程； (2)设，，过点的直线与椭圆交于两点，连接、交x轴于两点(不重合)，已知，求直线的方程. 【答案】(1)；(2)或【难度】0.65 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中向量共线比例问题 【分析】(1)将两点代入计算可得椭圆的方程； (2)设出直线方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理并结合，由向量共线可得出坐标间的等量关系，联立解方程组可得直线斜率，可求得结论. 【详解】(1)将，代入椭圆的方程可得，解得， 所以椭圆的方程为. (2)结合题意可知，直线的斜率存在， 又，设直线方程为，，如下图所示： 联立，整理可得， 所以可得，且， 可得，即或； 因为，所以、的斜率分别为， 因此直线、的方程分别为， 则交点的坐标为；结合可知， 即,也即，整理可得， 又，可得， 又因为，将代入， 可得，解得，所以， 代入计算可得，解得，即或，经检验符合题意， 所以直线的方程为或. 8．(2025·北京海淀·三模)已知椭圆的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线交椭圆于、两点，点在第一象限． (1)求椭圆的焦距；若，求点的坐标； (2)若轴，垂足为，连结并延长交椭圆于点，取线段中点，求证：． 【答案】(1)4，；(2)证明见解析.【难度】0.4 【知识点】数量积的坐标表示、由斜率判断两条直线垂直、求椭圆的焦点、焦距、根据韦达定理求参数 【分析】(1)利用椭圆方程直接求出焦距，设出点的坐标，利用向量垂直的坐标表示，结合椭圆方程求解. (2)法1，设，直线与椭圆方程联立证明即可；法2，设，联立直线与椭圆方程证明即可；法3，设，联立直线与椭圆方程证明即可；法4，直线与椭圆方程联立证明即可. 【详解】(1)设椭圆长轴长、短轴长、焦距分别为．依题意，，， 所以椭圆焦距为； 设点，而，则， 于是，即，由点在椭圆上，得， 解得，，由点在第一象限，得，则， 所以点的坐标为. (2)方法1：设点，，，则， 依题意，点与点关于原点对称，即， 显然直线斜率存在且不为0，设直线， 代入中得，， ， 设，则，， ，即，直线斜率， 由在直线上，得，即， 于是直线的斜率，，即， 又为线段中点，所以． 方法2：设点，，，则， 依题意，点与点关于原点对称，即， 直线斜率，直线， 联立直线与椭圆方程得：， 必有，设，则，， ，即， 直线斜率，而直线斜率， 则，即，又为线段中点，所以． 方法3：设点，，，则， 依题意，点与点关于原点对称，即， 直线斜率，直线， 联立直线与椭圆方程得：， 显然，设，则，， 于是，， 点，， 又，则，即， 因此是直角三角形，又为斜边中点，所以. 方法4：设，与椭圆联立，得，， 而点在第一象限，则，， 点，直线的斜率， 直线，令，则， 与椭圆联立得，显然， 线段中点，有，， 点，于是直线斜率，， 又为中点，所以. 题型2定点定值问题 1．(2023·北京·三模)已知椭圆经过点，且其离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)直线与轴交于点，与椭圆交于两点，直线分别与直线交于两点．是否存在定点，使得与的面积之比为定值？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)；(2)不存在，理由见解析【难度】0.4 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】(1)由题意建立，求解方程组可得； (2)设直线，联立椭圆方程，由韦达定理得坐标关系，进而表示坐标及与的面积，由面积比为定值求的值，再分析是否过定点即可. 【详解】(1)由题意，解得，故椭圆方程为：． (2)设直线与轴交点为，则由题意斜率存在， 设，与椭圆方程联立得， 由得．设， 由韦达定理得， 直线为，令，则点横坐标为，同理． 设，则 所以 . 若存在定值，即不随变化而改变，则，解得， 但此时过点，不合题意．所以定点不存在． 2．(2025·北京·模拟预测)椭圆：，左、右顶点分别为A，B，上顶点为C，原点为，P是椭圆上一点.，面积的最大值为6. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)当点P不与椭圆顶点重合时，记直线与椭圆的另一个交点为，交直线为D，直线交x轴为E.求证：直线与直线的斜率之积为定值. 【答案】(1)，；(2)证明见解析【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中的定值问题 【分析】(1)由长轴长得，当点在椭圆上下顶点时，面积取得最大值， 由此求得，即得椭圆的方程，有平方关系可得，即求得离心率； (2)先设点的坐标，由椭圆的对称性得点的坐标， 再分别写出直线和直线的方程得点和的坐标， 由此得到的表达式，结合点在椭圆上代入化简即可证明. 【详解】(1)由题意知，当点在椭圆上下顶点时， 面积取得最大值，即， 所以椭圆方程为，，所以离心率； (2)不妨设点，由椭圆的对称性可知， 直线的斜率为，故直线的方程为， 令，得点纵坐标； 直线的斜率为，故直线的方程为， 令，得点横坐标， 所以直线的斜率为， 直线的斜率为， 故直线和直线的斜率之积为， 因为点在椭圆上，所以有，也即， 代入斜率之积的表达式的三次项中，得为定值. 3．(2024·北京朝阳·一模)已知椭圆：的离心率为，A，B分别是E的左、右顶点，P是E上异于A，B的点，的面积的最大值为. (1)求E的方程； (2)设O为原点，点N在直线上，N，P分别在x轴的两侧，且与的面积相等. (i)求证：直线与直线的斜率之积为定值； (ⅱ)是否存在点P使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】(1)；(2)(ⅰ)证明见解析；(ⅱ)不存在点【难度】0.65 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中存在定点满足某条件问题、椭圆中的定值问题 【分析】(1)利用待定系数法，列方程组，即可求解； (2)(ⅰ)首先利用坐标表示和，利用面积相等，以及点在椭圆上的条件，即可化简斜率乘积的公式，即可证明；(ⅱ)由条件，确定边长和角度的关系，再结合数形结合，即可判断是否存在点满足条件. 【详解】(1)当点是短轴端点时，的面积最大，面积的最大值为， 则，得，，所以椭圆的方程为； (2)(ⅰ)设， ， ，， 由题意可知，，，即，所以；    (ⅱ)假设存在点，使得， 因为，，， 所以，，，则， 由(ⅰ)可知，，又，所以三点共线， 如图，则，所以，则点与点重合，这与已知矛盾， 所以不存在点，使. 4．(22-23高三下·北京东城·月考)已知椭圆，且过两点． (1)求椭圆E的方程和离心率e； (2)若经过有两条直线，它们的斜率互为倒数，与椭圆E交于A，B两点，与椭圆E交于C，D两点，P，Q分别是AB，CD的中点试探究：与的面积之比是否为定值？ 若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)；(2)4【难度】0.65 【知识点】求标准方程、椭圆中的直线过定点问题、椭圆中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】(1)由条件列关于的方程，解方程可得，由此可得椭圆方程； (2)设直线，(且)，联立直线与椭圆的方程利用设而不求法求的坐标，再求点的坐标，证明直线过定点，再证明与的面积之比为定值. 【详解】(1)由题意可得，解得，则的方程； (2)由已知可得直线的斜率存在，且不为，也不为， 设直线，(且)，联立可得， 方程的判别式， 设，，， 则，. 所以，，所以， 因为两直线斜率互为倒数，则，用代换点坐标中的得. 所以， 所以直线即；所以恒过定点， 设点、到直线的距离分别是，，则. 与的面积之比是定值，定值为4. 5．(25-26高三上·北京·月考)已知椭圆的离心率为，点在C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知动直线l过曲线C的左焦点F，且与椭圆C分别交于P，Q两点，试问x轴上是否存在定点R，使得为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)存在.【难度】0.4 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定值问题 【分析】(1)由离心率和点在椭圆上，列出等式求解即可； (2)当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，利用韦达定理和向量的数量积求出，此时为定值；当直线的斜率不存在时，直线的方程为，求出此时点R也满足前面的结论，即得解. 【详解】(1)设椭圆的半焦距为， 由题意可得，解得， ，则， 所以椭圆的标准方程为． (2)当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 代入椭圆的方程，可得， 设，，则，， 设，则 ， 若为定值，则，解得，此时， 点的坐标为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 代入，得， 不妨设，若，则，， 综上所述，在轴上存在点，使得为定值. 6．(25-26高三上·北京·月考)椭圆的离心率为，左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，四边形是边长为的菱形． (1)求椭圆C的方程； (2)已知A是椭圆C在第一象限上的点，B与A关于原点对称，为椭圆C的右焦点，连接与，并延长交椭圆C于D，E两点，若直线AB的斜率为，直线DE的斜率为，试探究是否为定值．若是，则求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)；(2)是定值，．【难度】0.65 【知识点】求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】(1)根据离心率和菱形的边长，建立关于的方程组，求解即得椭圆方程； (2)设，求出，写出直线的方程并与椭圆方程联立，消去后得到韦达定理，从而用表示出点的坐标，写出的算式并化简即可求出的定值. 【详解】(1)由可得 又由题意，，联立两式，解得 所以椭圆C的方程为． (2)设，则，，， 则，． 则直线与椭圆方程联立， 消去可得：， 即． 显然,，所以，． 所以，同理可得． 所以． 所以． 7．(25-26高三上·北京海淀·月考)已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上不与端点重合的动点，且的周长为. (1)求椭圆的方程； (2)已知过点的直线与椭圆交于两点，点，直线与直线分别交于点，求线段的中点的坐标. 【答案】(1)；(2)【难度】0.4 【知识点】椭圆定义及辨析、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】(1)由离心率的定义和焦点三角形的周长列方程可解； (2)设出直线方程，联立曲线方程得到韦达定理，然后利用直线方程与联立表示出交点的纵坐标，再由中点坐标公式可得. 【详解】(1)由题意可得， 又的周长为，由椭圆的性质可得， 联立可解，所以， 所以椭圆的方程. (2)显然直线的斜率存在，设其方程为， 联立椭圆方程，消去可得， 设，显然，则， 因为，所以，代入可解得， 同理可解得，所以的中点的纵坐标为， 又 展开代入韦达定理可得， 所以线段的中点的坐标为. 8．(25-26高三上·北京·开学考试)已知椭圆，其中，点在椭圆上． (1)求椭圆的方程及上顶点的坐标；(2)过点的直线交椭圆于两点，直线与轴的交点分别为，，证明：线段的中点为定点． 【答案】(1)，；(2)证明见解析.【难度】0.65 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中的定值问题 【分析】(1)根据题意列方程组式求解，进而可得结果； (2)设直线的方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证为定值即可. 【详解】(1)由题意可得，解得. 所以椭圆方程为.上顶点的坐标为； (2)由题意可知：直线的斜率存在且不为0，设， 联立方程，消去得： ， 则，解得， 可得， 因为，则直线， 令，解得，即,同理可得， 所以线段的中点是定点. 考点二 最值与范围问题 1．(2025年北京高考数学真题T19解答题14分)已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小． 【答案】(1)；(2)【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形(四边形)的面积 【分析】(1)根据椭圆定义以及离心率可求出，再根据的关系求出，即可得到椭圆方程； (2)法一：联立直线方程求出点坐标，即可求出，再根据，即可得出它们的大小关系. 法二：利用到角公式或者倾斜角之间的关系得到，再根据三角形的面积公式即可解出. 【详解】(1)由椭圆可知，，所以，又，所以，， 故椭圆E的方程为； (2)联立，消去得，， 整理得，①， 又，所以，， 故①式可化简为，即，所以， 所以直线与椭圆相切，为切点. 设，易知，当时，由对称性可知，． 故设，易知， 联立，解得， 联立，解得， 所以， ，故． 法二：不妨设，易知，当时，由对称性可知，．故设， 联立，解得， 联立，解得， 若，则， 由对称性，不妨取，则， ，，所以， 同理，当时，， 当时，则，，, 又，所以，所以， ， 则，即， 所以. 2．(2021年高考北京卷数学真题T20解答题14分)已知椭圆一个顶点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为． （1)求椭圆E的方程； （2)过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围． 【答案】（1)；（2)．【难度】0.65 【知识点】椭圆中三角形（四边形)的面积、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1)根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求，从而可求椭圆的标准方程. （2)设，求出直线的方程后可得的横坐标，从而可得，联立直线的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简，从而可求的范围，注意判别式的要求. 【详解】（1)因为椭圆过，故， 因为四个顶点围成的四边形的面积为，故，即， 故椭圆的标准方程为：. （2)设，因为直线的斜率存在，故， 故直线，令，则，同理. 直线，由可得， 故，解得或. 又，故，所以 又 故即， 综上，或. 题型1最值与范围问题 1．(25-26高三上·北京·月考)椭圆分别为左右焦点，为坐标原点，直线过与椭圆交于两点，的周长为，的周长为. (1)求椭圆的方程； (2)过作直线交抛物线于点，求的取值范围. 【答案】(1)；(2)【难度】0.4 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形(四边形)的面积、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】(1)由焦点三角形的周长，建立方程组，解得，可得答案； (2)设出直线方程，分别联立椭圆与抛物线方程，写出韦达定理，利用三角形面积公式，结合二次函数以及不等式性质，可得答案. 【详解】(1)由题意可得的周长， 的周长， 联立可得，解得，则， 所以椭圆的标准方程为. (2)由椭圆，即，则， 易知直线的斜率存在，设， 联立，化简可得， 显然，设，则， 可得， 由，且垂足为，则， 联立可得，化简可得， 显然，设，则， 可得， 设直线的倾斜角为，则，可得， ， 令，可得， 由，则令，求导可得， 易知当时，，所以函数在上单调递增，故， 即，可得 所以. 2．(25-26高三上·北京·月考)已知椭圆的离心率为，右焦点为，过的直线交于两点，为的中点． (1)求的方程和短轴长； (2)若的垂直平分线交轴于，且. (i)求直线的方程；(ii)点在上，求△面积的最大值． 【答案】(1)的方程为，短轴长；(2)(i)；(ii).【难度】0.4 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形(四边形)的面积、根据弦长求参数 【分析】(1)根据焦点与离心率，以及椭圆中的关系求解即可； (2)(i)设直线与椭圆联立，根据韦达定理得出中点，根据弦长公式以及建立方程求解即可； (ii)利用椭圆的参数方程设点，写出点到直线距离公式，结合辅助角公式求最大值即可. 【详解】(1)由题意，，则，， 则的方程为，短轴长. (2)(i)当直线斜率不存在时，，，不合题意， 故设直线的方程为：，， 联立，得，， 所以， ，， 由得，解得， 所以直线的方程为：. (ii)由于点在上，故设， 由对称性，设，，， 则点到的距离；其中， 当时，，. 所以△面积的最大值为. 3．(25-26高三上·北京昌平·月考)已知椭圆：的离心率为，长轴长为4．过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点． (1)求椭圆的方程；(2)若的面积为，求；(3)求的面积的最大值． 【答案】(1)；(2)；(3)【难度】0.4 【知识点】求椭圆的标准方程、求椭圆中的弦长、椭圆中三角形(四边形)的面积、求椭圆中的最值问题 【分析】(1)根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程； (2)设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长. (3)由(2)得，设，则，，用基本不等式解． 【详解】(1)因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. (2)当直线AB的斜率不存在时，此时三点共线，不合要求，舍去， 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：， 联立消去得，， 由，解得， 设，， ， 解得，所以 ． (3)当直线AB的斜率不存在时，此时三点共线，不合要求，舍去， 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：， 联立消去得，， 由，解得， 设，， 设，则， ，当且仅当，即时等号成立，即， 解得时取等号，满足，所以的面积最大为. 4．(25-26高三上·北京·开学考试)已知直线过椭圆C的中心坐标原点O，与平行的直线与C交于两点，且.当轴时，直线AB过C的一个焦点. (1)求C的方程； (2)点D、E满足，交于点G，直线交于点H，求面积的最大值. 【答案】(1)；(2)【难度】0.65 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中三角形(四边形)的面积 【分析】(1)根据题中条件，列出方程组，求出，即可得出椭圆方程. (2)当直线的斜率不存在时，求出点G和点H的坐标，求得；当直线的斜率存在时，利用相似比例得，设直线 ，与椭圆方程联立得，求出，点到直线的距离，代入面积公式得，利用换元法求得，从而求出面积的最大值. 【详解】(1)由题意椭圆C的焦点在轴上，设为()， 则由题意，即，解得， 所以椭圆C的方程为； (2)当直线的斜率不存在时，则直线为轴，易知， 因为，所以， 直线方程为，即，令得， 直线方程为，即，令得， 此时面积为； 当直线的斜率存在时，因为，所以为中点，， 因为，由相似三角形性质可得，所以， 所以， 设直线 ， 由，消去得， 则，即， ，且，所以， 直线方程为，即，且， 点到直线的距离为， 所以， 令，则， 因为，所以，所以，所以， 所以， 因此，当时，面积取到最大值； 综上，面积的最大值为. 5．(2025·北京·二模)椭圆，直线经过椭圆的左顶点和下顶点． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)设过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，直线与直线的交点分别为，线段的中点分别为．若直线经过坐标原点，求的取值范围． 【答案】(1)，离心率；(2)【难度】0.15 【知识点】求椭圆方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】(1)由直线方程确定，进而可求解； (2)设方程为，点，联立椭圆方程，结合韦达定理得到的坐标为，再由直线：，直线：．得点．再由线段的中点为，得，化简得到，进而可求解. 【详解】(1)因为直线与坐标轴交点为和， 所以．由，解得， 所以椭圆的方程为，离心率． (2)由题意，直线的斜率存在，故设其方程为， 设点，由得， 所以． 所以点的横坐标，纵坐标． 结合直线过坐标原点，可得直线的方程为． 令，得点的坐标为． 当时，显然点不在轴上． 则直线：，直线：． 令，得点． 由线段的中点为，得， 整理，得， 即， 化简，得．由，得． 当时，由题意，点中有一个与点重合(不妨设点与点重合)，故为中点，且， 在中，，则直线的方程为， 由的中点为，则，即，故， 所以，当且仅当时等号成立． 综上，的取值范围为. 6．(2024·北京房山·一模)已知椭圆的离心率为，左焦点为，过的直线交椭圆于、两点，点为弦的中点，是坐标原点，且点不与，重合． (1)求椭圆的方程； (2)若是延长线上一点，且的长度为，求四边形面积的取值范围． 【答案】(1)；(2)【难度】0.4 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中三角形(四边形)的面积 【分析】(1)根据椭圆的离心率以及焦点坐标，直接求出、，再根据确定即可求出椭圆方程； (2)根据已知条件设出直线方程，直曲联立，利用韦达定理确定确定，，利用中点坐标公式求出点坐标，得到直线的方程，求出点、到直线的距离，结合已知条件可以表示出四边形面积为，根据的取值范围，即可求解四边形面积的取值范围． 【详解】(1) 因为，得；又，所以，所以； 所以，所以椭圆的方程为. (2)设过的直线为，与椭圆两交点坐标分别为，， 由于不与，重合，可知直线的斜率存在且不为， 根据已知条件设直线方程为，联立直线方程与椭圆方程， 整理有； ，即，整理有：恒成立； 根据韦达定理：，； 因为为弦的中点，所以； 因为在直线上，所以，解得， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为， 化为一般式为：； 设到直线的距离为，点到直线的距离也为， 因为为弦的中点，由点到直线距离公式有： ，因为、位于两侧， 所以， 所以， 又因为 ， 所以， 设四边形面积为， 根据题意有：， 因为，所以. 所以，所以. 所以四边形面积的取值范围是. 7．(23-24高三上·北京海淀·期末)已知椭圆过点，焦距为. (1)求椭圆的方程，并求其短轴长； (2)过点且不与轴重合的直线交椭圆于两点，，连接并延长交椭圆于点，直线与交于点，为的中点，其中为原点.设直线的斜率为，求的最大值. 【答案】(1)，4；(2)【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的最值问题、根据韦达定理求参数 【分析】(1)由题意根据长轴顶点坐标、焦距以及平方关系列方程即可求解. (2)不妨设直线的方程为，，，则.联立直线的方程与椭圆方程，由韦达定理得，联立直线与直线的方程得点的坐标，由中点坐标公式得点的坐标，由斜率公式以及韦达定理可得斜率的表达式(只含有参数)，对分类讨论即可求解. 【详解】(1)由题意知，. 所以，. 所以椭圆的方程为，其短轴长为4. (2)设直线的方程为，，，则. 由，得.所以. 由得直线的方程为. 由得. 因为，所以，.所以. 因为为的中点，且，所以. 所以直线的斜率. 当时，. 当时，因为，当且仅当时，等号成立. 所以. 所以当时，取得最大值. 学科网(北京)股份有限公司第 1 页 共 65 页 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 专题03椭圆热点问题 目录 01析考情精解…个 02构知能框架 03破题型攻坚… 考点一椭圆性质综合 2 真题动向 必备知识 知识1椭圆性质 知识2常用结论 命题预测 题型1椭圆性质综合 题型2定点定值问题 考点二最值与范围问题…25 真题动向 必备知识 命题预测 题型1最值与范围问题 NO.1 析·考情精解 命题 从近五年北京卷高考试题来看，圆锥曲线每年一道解答题，主要考圆锥曲线性质综合， 难度中等。 轨迹 重，点考查地是：弦长、面积、定点定值、最值范围。 透视 考点 考点 2025年 2024年 2023年 频次 椭圆性质综合 北京T19解答题15分 北京T19解答题15分 总结 最值范围问题 北京T19解答题15分 2026 预计在2026年北京卷高考中，圆锥曲线仍会考性质综合得解答题，侧重弦长、面积、 定点定值、最值范围。难度中等为主，但也要注意较难题。 命题 预测 N0.2 构·知能框架 第1页共36页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 考点一椭圆 性质综合 知识点1椭圆性质 题型1椭圆性质综合 知识点2常用结论 题型2定点定值问题 专题2椭圆热点问题 考点二最值 知识点1直线与圆锥 与范围问题 曲线的位置关系 题型1最值与范围问题 NO.3 破·题型攻坚 考点一 椭圆性质综合 动 向 1.(2024年北京高考数学真腰T19解答题14分)已知椭圆B:兰+发=1(a>b>0),以椭圆E的焦点和短轴 端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点(O,t)(t>√2且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A,B, 过点A和C(0,1)的直线AC与椭圆E的另一个交点为D. (1)求椭圆E的方程及离心率；(2)若直线BD的斜率为0，求t的值. 【答案】a片+号=1e=9Q②t=2【难度】0.65 【知识点】根据、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据直线与椭圆的位置关 系求参数或范围、椭圆中的定值问题 【分析】(1)由题意得b=c=√2，进一步得a,由此即可得解： 2)设AB:y=kx+t,(k≠0，t>V2:A(x1,y1),B(x2,y2),联立椭圆方程，由韦达定理有x1+x2= x2=益而A0y=器c-X+:令x=0,即可得解 -4kt X1十X2 【详解】)油题意b=c==V反，从而a=VB+C=2, 所以椭圆方程号+兰-1，离心率为e=号 ②)直线AB斜率不为0，否则直线AB与椭圆无交点，矛盾， 从而设AB:y=kx+t,(k≠0，t>V2,A(x1,y1),B(x2,y2), 没化简并理得1+2网x2+4软x+22一4 (y=kx+t 由题意△=16k2t2-8(2k2+1)(t2-2)=8(42+2-t2)>0,即k,t应满足42+2-t2>0, 第2页共36页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 -4kt 2t2-4 所以x1十x2=1+中2，X1x2=双2+1 若直线BD斜率为0，由椭圆的对称性可设D(-x2,y2), 所以AD:y=兰(x-x)+y1,在直线AD方程中令x=0, X1+x2 得yc=22业=2+921t坦=212+6t包=C3-2+t=2=1,所以t=2 X1十x2 X1十X2 x1十X2 -4kt 此时k应满足42+2-2三4秋2-2>0，即k应满足k<-或k>三 k≠0 21 2 综上所述，【=2满足题意，此时k<-号或k>号 2 20023年北京高考数学真题T19解答愿14分)已知椭圆6兰+发-1(a>b>0)的离心率为，A、C分别 是E的上、下顶点，B,D分别是E的左、右顶点，|AC=4. (1)求E的方程： (2)设P为第一象限内E上的动点，直线PD与直线BC交于点M,直线PA与直线y=-2交于点N,求证：MN//CD. 【答案】(@片+=1：（②证明见解析【难度】065 4 【知识点】根据ā、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定值问题 【分析】0)结合题意得到=气，2b=4,再结合a2-c2=b2,解之即可 (②)依题意求得直线BC、PD与PA的方程，从而求得点M,N的坐标，进而求得kMN,再根据题意求得kcD,得 到kMN=kcD:由此得解 【详解】Q依题意，得e=兰号则c=a, 又A,C分别为椭圆上下顶点，|AC=4,所以2b=4,即b=2, 所以a2-c2=b2=4,即a2-5a2=4a2=4,则a2=9, 所以椭圆E的方程为芩+专-1 ②因为椭圈5的方程为号+苦-1，所以402，c0,-2.8(-30,D3,0, 因为P为第一象限E上的动点，设Pm,)0<m<30<n<2),则g+号=1， y=-2 M 易得kec=品。=子则直线BC的方程为y=-x-2, -3-031 ken=号-品则直线PD的方程为y=二-3). n-0 第3页共36页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 联立 2x-2 y=- 3(3n-2m+6) 解得 3n+2m-6 即M(3(3m-2m+6) -12m） y= -12m 3n+2m-6'3n+2m-6) 3n+2m-6 而A=号= ,则直线PA的方程为y=”二2x+2, m 令y-2,则-2=x+2解得x=授即N(织-2 号+号=1，则m2=9-买，8m2=72-18m2, (-6n+4m-12)(n-2) -6n2+4mn-8m+24 所以kMN=38o—女=9n-6m+180m-2)+4m(8n+2m-6-gn2+8m2+6m-12m-36 3+2m-6n-2 -6n2+4mn-8m+24 -6nm2+4n-8m+24_2(-3n2+2n-4m+12）_2 =9n2+72-18n2+6mn-12n-36 -9n2+6m-12m+36 3(-3m2+2m-4m+1分= 又kn=g号-号即kw=keo: 显然，MW与CD不重合，所以MN/CD 3.(2022年北京高考数学真题T19解答题14分) 已知椭圆6+茶=1a>b>0)的一个顶点为A0,焦距为2N5 (1)求椭圆E的方程； (2)过点P(-2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与x轴交于点M,N, 当MN=2时，求k的值 【答案】（片+y2=1:(②k=-4【难度】0.65 【知识点】根据弦长求参数、根据韦达定理求参数、根据ā、b、c求椭圆标准方程 b=1 【分析】1)依题意可得 2c=2√3，即可求出a,从而求出椭圆方程： c2=a2-b2 (2)首先表示出直线方程，设B(x1,y1)入、C(x2,y2),联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线AB、AC 的方程，表示出xMxw,根据MN=xN一xM得到方程，解得即可； 【详解】(1)解：依题意可得b=1,2c=2V3,又c2=a2-b2, 所以a=2,所以椭圆方程为+y2=1: ②)若直线斜率不存在，x=一2与椭圆只有一个交点，不合题意： 所以直线斜率存在，设过点P(-2,1)的直线为y一1=k(x+2), 设B(x1,y1)、C(x2,y2),不妨令-2≤x1<x2≤2， y-1=k(x+2) 由{ +y2=1,消去整理得1+4r2+6k2+8k)x+16k2+16k=0. x 所以△=(16k2+8k)2-4(1+4k2)(16k2+16k)>0,解得k<0, 厂1+42，为‘X2=162+16 所以x1+x2=-1624融 1+4k2 直线AB的方程为y-1=x,令y=0,解得M=岛 X1 第4页共36页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 直线AC的方程y-1=号x,令y=0,解得w=品司 X2 所以IMN|=xw-xM= X1 11-y2 1-[k(x2+2)+1可1-[k(1+2)+1可 = X2 X1 |x2+2)x1-X2(x1+2) 2x1-x2 k2+2++ =2, k(x2+2)(x1+2) I|(x2+2)(x1+2) 所以川x1-x2=k(x2+2)(x1+2),即 /x1+x2)2-4x1x2=kx2x1+2x2+x1)+4 16k2+8k 2 1+4k2 4X16k2+16 1+4k2 k T16k2+16k 1+4k2 +2(- 16k2+8k 4)+4 即8 1+4k2√ 22+-1+4k22+)=6k2+16k-216k2+80+41+4k9列 整理得8√-k=4k,解得k=-4 ●●● 知识1椭圆性质 (一)椭圆统一方程：mx2+ny2=1 当m>0,n>0,m≠n时，为椭圆： (二)椭圆的曲线系问题 与曲线：产+兰=1有相同焦点的椭圆（或双曲线）的方程可设为：点+品-1 (三)椭圆的焦半径问题 1.椭圆上点P(o,o)与焦点F1,F2之间的距离叫做椭圆的焦半径，1=PF,2=PF (1)第一定义：P+PF=2a; (②)5+5=1(a>b>0),r1=a+ex,n=a-eo: ￥+景=1a>b>0,n=ate,n=a-w (3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小（近日点与远日点）：a4-c≤PF≤a+c (4)b2≤PE PF sa2: (四)椭圆的焦点弦问题 1若椭圆方程为号+茶=1(a>b>0),半焦距为c,焦点(-c,0),R(c,0）, (1)过左焦点的焦点弦：AB=2a+e(x+x2)；过右焦点的焦点弦：AB=2a-(x1+x2) 2ab2 (2)椭圆过焦点弦长公式：|AB a2-cosa(焦点在x轴上) 2ab2 a2 c'sinFa(焦点在y轴上) (I)过F的直线I的倾斜角为a,交椭圆于A、B两点，则有 第5页共36页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 ①Al-.lBF=:②aBl- 2ab2 (Ⅱ)过瓦，的直线1的倾斜角为o,交椭圆于A、B两点，则有： ①hFl-:lBFl-②laBl= 3)若AB是过焦点P的弦，设=m,BF=n,则片+片=会 (④过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为改，焦点弦中以通径最短： (五)椭圆的焦点三角形问题 1.椭圆的焦点三角形：点P(,6在号+兰-1a>b>0上， 若r1=PFl,2=PF,∠FPF2=0,△PFF的面积为S,则： (1).cos0≥1-2e2. )-PFllPF-sin 0-b'tan 9-cwl. 2 当yol=b时，即点P为短轴端点时，最大，S也最大，最大值为bc. (3).焦点三角形的周长为2(a十c). ④记∠RPR=0,则F= )点M是APRR内心，PM交R月于点N,则-是 (六)椭圆的切线问题 1.椭圆： ()以哈+号=1a>b>0)上点Po.o)为切点的切线斜率为k:则k:k=-:切线方程：学+罗=1 ②过号+若-1外一点PKyo)作两条切线切点为R、B,则切点弦PP,所在直线方程：警+=1 (七)椭圆与点差法有关的结论 1椭圆中有关点差法的经典结论（似下椭圆方程均为：三+发=1(Q>b>0》 b2 (1).AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M(xo,y)为AB的中点，则kM·k4a= ②).过原点的直线交椭圆于AB两点，P点是椭圆上异于AB两点的任一点，则有kAkB-一二 ③).过椭圆上任一点A(,y)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则kac·koA-兰（常数）。 (八)椭圆的离心率 1.一般方法：根据条件，建立齐次等量关系a,b,c)=0,再化归为关于的方程求解. 2.e椭题=后=1-（合2； 2.焦点三角形中： P为椭圆后+兰=1(Q>b>0)上异于长轴端点的任一点，∠P,F2=&∠PF,=B,则e=； sina+sinβ 第6页共36页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 3.过椭圆的焦点F作倾斜角为θ直线与椭圆或双曲线相交A、B两点，且F=F(>0), 则e=√1+k2 -1 即lecos01= 1元-1 +19 1+1 (当椭圆焦点在y轴上时，e=、1+(严：注入-或者 AF 4.若直线y=与椭圆E交于A,B两点，P为椭圆上异于A,B的点，若直线PA,PB的斜率存在，且分 别为，，则=一 az=e2-1. 个y B 5直线y=十m40且0)与椭圆E交于4，B两点，P为弦4B中点，kp0=,则k=-三e2-1. 知识2常用结论 1过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为2，过焦点最长弦为长轴。 a 2.过原点最长弦为长轴长2a,最短弦为短轴长2b 3.顶点A(-a0),4a,0),与y轴平行的直线交椭圆于P,P2:则AB与A,交点的轨迹方程是影-三=1 4.P为椭圆上任一点，A为椭圆内一定点， 则2a-AF,sPA|+PE2a+AF|,当且仅当A,F,P三点共线时，等号成立. 5.P、Q为椭圆上两动点，且OP⊥OQ.则： ①脉+脉+ 1 1 ②0A+00的最大值为器： 国S4g的最小值是a262 a2+b2 6若A、B是椭圆上两点，线段AB的中垂线与x轴交于点P(G,0),则_-<< a2-b2 a a 7从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点 8.椭圆内接矩形最大面积：2ab, 题型1椭圆性质综合 第7页共36页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 1.(25-26高三上北京期中)已知椭圆w:器+三-1(a>b>0)的长轴长为4，且a-2b (1)求椭圆的方程和离心率： (2)椭圆的左、右顶点分别为A,B,经过点P(1,0)的直线与椭圆W相交于不同的两点C,D(不与点A,B重合) 直线CB与直线x=4相交于点M,求证：A,D,M三点共线， 【答案】旷+y2=1,。=马(@证明见解析【难度】065 【知识点】根据、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中的定直线 【分析】(1)椭圆的长轴长和α、b的关系求出椭圆方程和离心率； ②)再利用直线与椭圆相交，通过联立方程求出相关点的坐标，进而证明三点共线 【详解】(1)已知椭圆长轴长为4，得a=2, 因为a=2b,所以b=1,因此，椭圆方程为号+y2=1, 由c=Va2-b=V4-1=V3,得离心率e== a 2 2)设直线CD的方程为x=my+1,C(x1,y1),D(x2,y2),如下图所示： y D M F2 0 B C 1=4 (x=my+1 联立 得+y=1'消去x得m2+2+2my-3=0, 2m 3 由韦达定理得y+y2=一m年y以=-m年 直线CB的方程y=是2x-2)令x=4,得M4兴)， 要证A,D,M三点共线，只需证kAD=kAM, 因为k40品kw=最可所以箭证品中。即证3y,化-2)y+2) y1 y1 将x1=my1+1,x2=my2+1代入，化简得3y2(my1-1)=y1(my2+3): 即3my1y2-3y2=my1y2+3y1,整理为2my1y2=3(y1+y2), 代入韦达定理结果：左边2m(-)=-婴右边3·(-年)=一器等式成立， 故A,D,M三点共线 2.(Q5-26高三上北京期中)已知椭圆5兰+三=1(Q>b>0)的左、右焦点分别为P1、F2:上顶点为H, △FF2H的周长为6，且椭圆E的离心率为号 第8页共36页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 (1)求椭圆E的标准方程： (2)两条平行直线l1、l2不与坐标轴平行，己知l1与椭圆E交于A、B两点，l2与椭圆E交于C、D两点，A、B、C、 D四点构成四边形ABCD,试问四边形ABCD是否有可能为等腰梯形，若可能，请求出一组满足要求的直线L1、 2,若不可能，请说明理由， 【答案】（听+号=1：（②不可能，理由见解析【难度】04 【知识点】根据、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、由韦达定理或斜率求弦中点 【分析】(1)由离心率和△F1F,H的周长可求得c、α的值，据此可得出b的值，由此可得出椭圆E的标准方程： (2)分别取线段AB、CD的中点M、N,若四边形ABCD为等腰梯形，则MN⊥AB,设直线AB的方程为y=kx+ m(k≠O),设直线CD的方程为y=kx+n(m≠n),将这两条直线方程分别与椭圆E的方程联立，求出点M、 N的坐标，求出直线MN的斜率，结合两直线垂直于斜率的关系可得出结论， 【详解】)椭圆E的离心率为e=:=克故a=2c, △HF1F2的周长为HFl+IHF2+IF1F2=2a+2c=6c=6,解得c=1,a=2, 故b=Vac=V2-予=5，所以椭圆E的标准方程为芳+号=1 (2)如下图所示： 若四边形ABCD为等腰梯形，则AD=|BC, 设直线AD、BC交于点P,因为AB/CD.所以恩-品故PG=PD1, 从而PA=IPB|, 分别取线段AB、CD的中点M、N,则PM 1 AB,PN L AD, 故P、M、N三点共线，则MN1AB, 不妨设直线AB的方程为y=kx+m(k≠O),设点A(x1,y1)、B(x2,y2), 联立{2之，2m2可得(4k2+3)x2土8kmx+4m2=12=0, △=64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)>0,可得m2<4k2+3, 由韦达定理可得辽+名一零 故+2=k+x分+2m=一器器+2m=产故点M(←) 设直线CD的方程为y=kx+n(m≠m),同理可得点N(一牛3·) 4kn3n） 第9页共36页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 3m 3n 直线MW的斜率为kMN=a恶 3 4 4k2+34k2+3 因为kwmk=-k=-子≠-1，即MN与AB不垂直， 因此不存在满足题设条件的两条平行直线1、2，使得四边形ABCD为等腰梯形 3.(25-26高三上北京海淀月考)已知椭圆C:苦+号=1(a>b>0)经过点A(-20)和点M(-1,) (1)求椭圆C的方程和离心率： (2)设点M关于原点的对称点为W,过点A的直线l与椭圆C的另一个交点为P,且l与直线MN交于椭圆内的点T, 设△TAM的面积和△TPN的面积分别为S1和S2,若S1=S2,求直线的斜率. 【答案】（片+号-=1，克（②0【难度】06的 【知识点】求标准方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积 a=2 【分析】(1)根据题意有 9 1 2十是二工”解出即可得椭圆C的方程，进而得离心率 (2)连接AN,由S1=S2, 得S△MAw=S△PaN,进而得MP∥AN,点N与点M关于原点对称，得N(L,-到) 进而得kMP=k4N,得直线MP的方程，与椭圆方程联立即可得点P坐标，进而求解 a=2 【详解】(1)由已知有： +京=1' 1 9 解得62=3，所以椭圆方程为片+号=1， 所以c2=a2-b2=1,c=1,所以离心率e=后=去 (2)连接AN,因为S1=S2,所以S1+SATAN=S2+S△TAN,即S△MAN=S△PAN' 所以点M和点P到直线AN的距离相等， 由题意，点M与点P在直线AN的同侧，所以MP//AN, 因为点N与点M关于原点对称，所以N(L,-) 又4(-20，所w-得-专所以e一专 直线MP的方程为y-是-+1)，即x+2y-2=0, 由代2y212可得x2-x-2=0,得x=2或x=-1, 当x=2时，y=0,得P(2,0) 当x=-1时，点P与点M重合，不合题意. 所以直线的斜率为0. 第10页共36页