寒假作业13 导数的计算与导数的几何意义5类重点必刷题型（巩固培优）高二数学苏教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 寒假作业13 导数的计算与导数的几何意义 1、导数的概念 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或．导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即． 2、几何意义 函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率． ⑴、在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． ⑵、过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外． 3、导数的运算 ⑴、求导的基本公式 基本初等函数 导函数 （为常数） ⑵、导数的四则运算法则 （1）函数和差求导法则：； （2）函数积的求导法则：； （3）函数商的求导法则：，则． （3）、复合函数求导数 复合函数的导数和函数，的导数间关系为： 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 导数的概念与瞬时变化率 1．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】由导数的定义化简已知，即可求解. 【详解】已知函数可导， ， 所以. 故选：A 2．（24-25高二下·广东东莞·月考）已知函数，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求某点处的导数值、基本初等函数的导数公式、导数定义中极限的简单计算 【分析】求出的导函数，， 代入求解即可. 【详解】由题， ， 故选：A. 3．若，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】利用极限的简单运算和导数的定义求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 4． ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导数的定义及求导公式即可求解. 【详解】设，则， ∴. 故答案为：. 题型二 导数计算（加、减、乘、除） 1．（25-26高二上·江苏盐城·期中）（多选题）下列选项中的式子求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】分别利用求导公式和运算法则逐一计算四个选项，即可得正确选项． 【详解】选项A∶，故选项A错误； 选项B∶，故选项B正确； 选项C∶，故选项C正确； 选项D∶，故选项D正确． 故选：BCD 2．（25-26高二上·浙江宁波·期中）（多选题）下列导数计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】导数的乘除法、基本初等函数的导数公式 【分析】根据导数运算公式计算判断各个选项. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确； 故选：AD. 3．（24-25高二下·江西宜春·月考）求下列函数的导数. (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】简单复合函数的导数、导数的运算法则、基本初等函数的导数公式 【分析】（1）由基本初等函数的导数公式及导数的求导法则求解； （2）由基本初等函数的导数公式及导数的求导法则求解； （3）由基本初等函数的导数公式及导数的求导法则求解. 【详解】（1）. （2）. （3）. 4．求下列函数的单调区间： (1)； (2). 【答案】(1)单调递减区间为和，单调递增区间为 (2)单调递减区间为和，单调递增区间为和 【难度】0.65 【知识点】简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式、利用导数求函数的单调区间（不含参）、导数的运算法则 【分析】（1）根据导数的运算律结合复合函数求导，再根据导数正负得出函数的单调性； （2）根据导数的运算律结合基本初等函数求导，再根据导数正负得出函数的单调性. 【详解】（1）函数的定义域为， ，令，得或，当变化时，，的变化情况如表所示 0 2 0 0 单调递减 单调递增 单调递减 的单调递减区间为和，单调递增区间为． （2）函数的定义域为， ，令，得或，当变化时，，的变化情况如表所示． 1 0 0 单调递增 单调递减 单调递减 单调递增 函数的单调递减区间为和，单调递增区间为和． 题型三 复合函数的导数计算 1．（25-26高二上·江苏·期末）下列求导运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】导数的运算法则、简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式、导数的加减法 【分析】应用导数的运算法则及复合函数的导数求法判断各项的正误. 【详解】A：，正确； B：，正确； C：，错误； D：，正确； 故选：C. 2．（24-25高二下·北京房山·期中）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式 【分析】根据基本初等函数及简单复合函数的求导公式、运算法则求导即可. 【详解】因为，故A错误； 因为，故B错误； 因为，故C错误； 因为，故D正确. 故选：D 3．（24-25高二下·辽宁·期中）（多选题）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】导数的运算法则、简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式 【分析】根据导数的四则运算法则以及复合函数的求导法则代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，因为是常数，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D， ，故D正确. 故选：BCD. 4．（24-25高二下·内蒙古呼伦贝尔·月考）（多选题）下列求导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】基本初等函数的导数公式、简单复合函数的导数、导数的运算法则 【分析】根据求导公式和求导法则分别对各选项进行计算分析. 【详解】对于选项A： ，所以选项A错误. 对于选项B：，所以选项B正确. 对于选项C：，所以选项C正确. 对于选项D：，所以选项D正确. 故选:BCD. 题型四 导数的几何意义-在某点的切线方程 1．（25-26高二上·江苏·期末）函数在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则 【分析】求出的导数，求得切线的斜率，可得切线方程. 【详解】函数的导数为，则， 则函数在点处的切线方程为，即. 故函数在点处的切线方程为. 故选：B. 2．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知直线是函数在某点处的切线，则实数的值为（    ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】导数的运算法则、已知切线（斜率）求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】设切点坐标，根据导数的几何意义，可得切点坐标，再代入切线方程即可． 【详解】由题可得，设切点坐标为， 则， 所以，，，故D正确. 故选：D. 3．（2025·陕西西安·二模）已知曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则 【分析】先求导，然后求出和，再利用点斜式求直线方程即可. 【详解】有题意得，所以曲线在点处的切线的斜率为， 又，所以切线方程为，整理得. 故答案为：. 4．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知函数，则函数在处的切线方程是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】简单复合函数的导数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】在等式两边求导，令，可求出的值，即可得出函数的解析式，再求出切点坐标，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程. 【详解】因为，所以， 令可得，解得，故， 所以，即切点坐标为， 因此函数在处的切线方程是，即. 故答案为：. 题型五 导数的几何意义-过某点的切线方程 1．（25-26高二上·江苏·期末）过点作函数的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求过一点的切线方程、导数的运算法则 【分析】设切点为，利用导数几何意义求切线方程，结合所过的点求参数，进而确定切线方程. 【详解】，， 设切点为，则， 切线方程为，又切线过点， ，整理得， 切线方程为，则. 故选：C. 2．（24-25高二下·山东青岛·期中）过点作曲线的切线，不同的切线条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求过一点的切线方程 【分析】设切点坐标，由斜率构造等式求解即可. 【详解】由题意设切点坐标， ， 切线斜率：，， 化简可得：， 解得：或， 所以满足条件的切点有两个，对应切线有2条， 故选：C 3．（25-26高三上·辽宁·月考）函数过原点的切线方程为 ． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】导数的乘除法、求过一点的切线方程 【分析】设切点坐标为，利用导数的几何意义可得出关于的等式，解出的值，即可得出所求切线的方程. 【详解】设切点为，对函数求导得，切线斜率为， 由于切线过原点，则，整理得，即， 解得， 当时，切线斜率为，此时切线方程为； 当时，切线斜率为，此时切线方程为. 故答案为：或. 4．（24-25高二下·四川·期中）若曲线存在过原点的切线，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程 【分析】设切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有实数根，求得的取值范围. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵存在过原点的切线，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 1．（24-25高二下·安徽·月考）若存在两条不同的直线与函数及的图象都相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】由导数的几何意义及导数分析函数的单调性求解． 【详解】设直线与函数及的图象分别相切于点， 因为，，所以切线的斜率， 整理得，代入，得． 设，问题转化为在上的图象与直线有两个不同的交点， 因为，当时，单调递增， 当时，单调递减，又， 当时，，且，所以实数的取值范围是． 故选：A. 2．（2025·河南南阳·三模）已知函数与存在公切线，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、用导数判断或证明已知函数的单调性、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】设出两切点，由导数的意义求出切线方程，转化为方程组有解问题，消去后构造函数，求导分析单调性可得最值. 【详解】设公切线与函数及函数的切点分别为，，且，， 故两切线方程为，， 即，， 与存在公切线，所以有解，消去后得：， 令，， 易得在上单调递增，且时，；时，， 故在区间上递减，在上递增． 所以，的最小值为，即的最小值为，即实数的最小值为． 故选：B． 3．（2025·辽宁·二模）若曲线与曲线存在公切线，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】设公切线分别与曲线，相切于点，，分别求切线方程，即可有，，得，令，，利用导数研究单调性，进而得即可求解. 【详解】由题意知，， 设公切线分别与曲线，相切于点，，则，， 所以公切线方程为，， 即，，所以，， 所以， 令，，， 所以，由，得,由，得， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，且时，，时，， 所以． 故答案为：. 4．（24-25高三上·辽宁·期中）已知直线是曲线和的公切线，则的值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】利用导数的几何意义求解即可. 【详解】令，则， 因为直线是曲线的切线， 所以由解得，此时 所以在处的切线为，所以， 又是的切线， 联立得， 令解得， 所以， 故答案为： 1．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，阴影部分（含边界）所示的四叶图是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得的三条曲线及抛物线围成的，则下列说法错误的是（    ）    A．开口向上的抛物线的方程为 B．四叶图上的点到点的距离的最大值为 C．四叶图的面积小于6 D．动直线被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】对于A，利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，即可确定抛物线方程；对于B，联立抛物线方程，求出点A的坐标，即得四叶图上的点到点的距离的最大值；对于CD，由图像对称性，当与平行的直线分别与抛物线相切时的弦取得最大，利用导数几何意义可求切点，根据对称性再得到，即可求弦长最大值，又第一象限花瓣一半的面积小于与的差，所以求出与的差，即可判断阴影区域面积小于6. 【详解】由题知，开口向右的抛物线方程为，焦点， 所以开口向上的抛物线方程为，即，故A正确； 又，所以， 所以四叶图上的点到点的距离的最大值，故B正确；    ，且在第一象限的区域关对称，直线与直线垂直， 所以在第一象限花瓣的弦长最大时，即作与平行的直线分别与抛物线相切时， 设切点为，开口向上的抛物线方程为， 又，所以切点，由对称可得切点， 此时弦长最大值，故D错误； 切线的方程为，与轴交点， 过点的切线方程为，与轴交点，与切线的交点， 由图知第一象限花瓣一半的面积小于与的差， ， 所以阴影区域面积小于，故C正确； 故答案为：D. 2．（24-25高二下·内蒙古包头·月考）在微积分中“以直代曲”是最基本、最朴素的思想方法，中国古代科学家刘徽创立的“割圆术”，用圆的外切正n边形和内接正n边形“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，事实上就是用“以直代曲”的思想方法进行近似计算的，它是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的方法，在切点附近可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来“近似计算”．若函数，则曲线在点处的切线方程为 ，用此结论“近似计算”的值为 （结果用分数表示）． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数新定义 【分析】根据新定义，利用导数的几何意义即可得切线方程，继而近似计算，可得答案． 【详解】函数的导数为，所以， 函数在点处的切线为， 所以在附近可以用代替， 即，又非常接近0， ． 故答案为：；． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 寒假作业13 导数的计算与导数的几何意义 1、导数的概念 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或．导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即． 2、几何意义 函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率． ⑴、在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． ⑵、过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外． 3、导数的运算 ⑴、求导的基本公式 基本初等函数 导函数 （为常数） ⑵、导数的四则运算法则 （1）函数和差求导法则：； （2）函数积的求导法则：； （3）函数商的求导法则：，则． （3）、复合函数求导数 复合函数的导数和函数，的导数间关系为： 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 导数的概念与瞬时变化率 1．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（   ） A． B． C．1 D．3 2．（24-25高二下·广东东莞·月考）已知函数，则（   ） A． B． C．1 D．2 3．若，则 . 4． ． 题型二 导数计算（加、减、乘、除） 1．（25-26高二上·江苏盐城·期中）（多选题）下列选项中的式子求导正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·浙江宁波·期中）（多选题）下列导数计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江西宜春·月考）求下列函数的导数. (1) (2) (3) 4．求下列函数的单调区间： (1)； (2). 题型三 复合函数的导数计算 1．（25-26高二上·江苏·期末）下列求导运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·北京房山·期中）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·辽宁·期中）（多选题）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·内蒙古呼伦贝尔·月考）（多选题）下列求导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四 导数的几何意义-在某点的切线方程 1．（25-26高二上·江苏·期末）函数在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知直线是函数在某点处的切线，则实数的值为（    ） A．1 B．-1 C． D． 3．（2025·陕西西安·二模）已知曲线在点处的切线方程为 . 4．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知函数，则函数在处的切线方程是 ． 题型五 导数的几何意义-过某点的切线方程 1．（25-26高二上·江苏·期末）过点作函数的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·山东青岛·期中）过点作曲线的切线，不同的切线条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26高三上·辽宁·月考）函数过原点的切线方程为 ． 4．（24-25高二下·四川·期中）若曲线存在过原点的切线，则实数的取值范围为 ． 1．（24-25高二下·安徽·月考）若存在两条不同的直线与函数及的图象都相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南南阳·三模）已知函数与存在公切线，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁·二模）若曲线与曲线存在公切线，则的取值范围是 ． 4．（24-25高三上·辽宁·期中）已知直线是曲线和的公切线，则的值为 . 1．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，阴影部分（含边界）所示的四叶图是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得的三条曲线及抛物线围成的，则下列说法错误的是（    ）    A．开口向上的抛物线的方程为 B．四叶图上的点到点的距离的最大值为 C．四叶图的面积小于6 D．动直线被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为 2．（24-25高二下·内蒙古包头·月考）在微积分中“以直代曲”是最基本、最朴素的思想方法，中国古代科学家刘徽创立的“割圆术”，用圆的外切正n边形和内接正n边形“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，事实上就是用“以直代曲”的思想方法进行近似计算的，它是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的方法，在切点附近可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来“近似计算”．若函数，则曲线在点处的切线方程为 ，用此结论“近似计算”的值为 （结果用分数表示）． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $