专题5.2 导数的运算（举一反三讲义）高二数学苏教版选择性必修第一册

专题5.2 导数的运算（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 基本初等函数的导数】 2 【题型2 导数的四则运算法则】 3 【题型3 复合函数的求导方法】 3 【题型4 求曲线的切线方程（斜率）】 4 【题型5 已知切线（斜率）求参数】 5 【题型6 函数图象的判断及应用】 5 【题型7 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】 7 【题型8 导数运算的新定义问题】 7 知识点1 导数的运算 1．基本初等函数的导数公式 函数 导数 （c为常数） 2．导数的运算法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 3．复合函数的导数 (1)复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). (2)复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 4．导数的运算的方法技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 【题型1 基本初等函数的导数】 【例1】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·福建莆田·阶段练习）已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二下·全国·课后作业）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高二上·浙江舟山·期末）下列求导结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 导数的四则运算法则】 【例2】（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数 ，则（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 【变式2-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数，则（    ） A． B． C．0 D．0或 【变式2-2】（24-25高二下·北京东城·期中）已知，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【变式2-3】（24-25高三上·安徽·期末）已知函数在上的导函数为，且满足，则（    ） A． B． C．2 D．1 【题型3 复合函数的求导方法】 【例3】（24-25高二上·江苏常州·期中）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·浙江舟山·期末）下列求导运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高三上·青海玉树·阶段练习）求下列函数的导函数 (1)； (2) (3) 【变式3-3】（25-26高二上·全国·单元测试）求下列已知函数的导函数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型4 求曲线的切线方程（斜率）】 【例4】（24-25高三上·河南·期末）函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高三上·河南·阶段练习）已知，过作曲线的切线，切点在第一象限，则切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二上·重庆·期末）已知曲线， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【变式4-3】（24-25高二下·福建泉州·阶段练习）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数，的值； (2)若曲线，求曲线过点的切线方程． 【题型5 已知切线（斜率）求参数】 【例5】（24-25高二下·广东潮州·阶段练习）设直线是曲线的一条切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二下·贵州毕节·阶段练习）若直线是曲线的一条切线，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【变式5-2】（24-25高二下·吉林松原·期中）已知函数的图象在点处的切线的方程为，且点在上，，则（   ） A．3 B． C．4 D． 【变式5-3】（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数在点处的切线斜率为2，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【题型6 函数图象的判断及应用】 【例6】（25-26高二上·全国·单元测试）已知为的导函数，则的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式6-1】（24-25高三上·河南洛阳·开学考试）已知，为的导函数，则的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二·全国·单元测试）函数的导函数在区间上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高二下·辽宁鞍山·阶段练习）函数的导数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．     【题型7 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】 【例7】（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高二下·安徽合肥·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【变式7-2】（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数. (1)求曲线过点处的切线； (2)若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值. 【变式7-3】（24-25高二下·江西·期中）已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程. (2)若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出直线的方程（若直线的方程含参数，则用表示）；若不存在，请说明理由. 【题型8 导数运算的新定义问题】 【例8】（24-25高三上·湖南益阳·阶段练习）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.若，则曲线在处的曲率是（    ） A．0 B． C．1 D． 【变式8-1】（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）定义满足方程的解叫做函数的“自足点”，则下列四个函数：①；②；③；④，则存在“自足点”的函数共有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-2】（25-26高三上·上海·期中）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．若函数，则的和为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2025·安徽·模拟预测）给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导数，记.若在D上恒成立，则称在D上为凸函数.以下四个函数在上不是是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.2 导数的运算（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 基本初等函数的导数】 2 【题型2 导数的四则运算法则】 3 【题型3 复合函数的求导方法】 5 【题型4 求曲线的切线方程（斜率）】 7 【题型5 已知切线（斜率）求参数】 9 【题型6 函数图象的判断及应用】 11 【题型7 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】 13 【题型8 导数运算的新定义问题】 16 知识点1 导数的运算 1．基本初等函数的导数公式 函数 导数 （c为常数） 2．导数的运算法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 3．复合函数的导数 (1)复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). (2)复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 4．导数的运算的方法技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 【题型1 基本初等函数的导数】 【例1】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据基本初等函数的求导公式即可解答. 【解答过程】对于选项A， 故A错误； 对于选项B，，故B错误； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，，故D错误； 故选：C. 【变式1-1】（25-26高二上·福建莆田·阶段练习）已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用导数公式直接计算即可. 【解答过程】由解析式知，所以. 故选：B. 【变式1-2】（24-25高二下·全国·课后作业）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由基本初等函数求导法则即可得解. 【解答过程】由题意，，，. 故选：C. 【变式1-3】（24-25高二上·浙江舟山·期末）下列求导结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由初等函数导数公式求导. 【解答过程】，A正确； ，B错误； ，C错误； ，D错误. 故选：A. 【题型2 导数的四则运算法则】 【例2】（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数 ，则（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】B 【解题思路】对求导，注意是常数，将代入导函数中，可求得，进而可求． 【解答过程】因为函数 ，所以， 令，可得， 所以，所以． 故选：B. 【变式2-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数，则（    ） A． B． C．0 D．0或 【答案】D 【解题思路】求出函数的导数，再列式求解. 【解答过程】函数，求导得， 则，解得或． 故选：D. 【变式2-2】（24-25高二下·北京东城·期中）已知，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解题思路】求导得，计算即可. 【解答过程】由，可得， 所以. 故选：D. 【变式2-3】（24-25高三上·安徽·期末）已知函数在上的导函数为，且满足，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【解题思路】求导，通过赋值即可求解； 【解答过程】由， 求导可得：， 令，可得， 所以， 故选：A. 【题型3 复合函数的求导方法】 【例3】（24-25高二上·江苏常州·期中）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据导数的运算法则及复合函数的导数计算即可判断. 【解答过程】，故错误； ，故错误； ，故正确； ，故错误. 故选：C. 【变式3-1】（24-25高二上·浙江舟山·期末）下列求导运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】应用导数的运算法则及复合函数的导数求法判断各项的正误. 【解答过程】A：，对； B：，对； C：，错； D：，对. 故选：C. 【变式3-2】（24-25高三上·青海玉树·阶段练习）求下列函数的导函数 (1)； (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用求导法则求导即得； （2）利用分式函数的求导法则求导即得； （3）利用复合函数的求导法则求导即得. 【解答过程】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以 ； （3）因为， 所以 . 【变式3-3】（25-26高二上·全国·单元测试）求下列已知函数的导函数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) ． (4) 【解题思路】（1）根据导函数的基本公式和加法法则求解即可． （2）根据导函数的基本公式和复合函数求导法则求解即可. （3）方法一：根据乘法法则求解即可；方法二：先化简函数，再根据导数运算法则求解即可. （4）结合导数运算法则，根据复合函数求导法则求解即可. 【解答过程】（1）由得． （2） ． （3）方法一： ． 方法二：因为 ， 所以 ． （4）令， 则 ， 所以 ． 【题型4 求曲线的切线方程（斜率）】 【例4】（24-25高三上·河南·期末）函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求导，代入得切线斜率，利用点斜式，写出切线方程. 【解答过程】依题意，， 因为， 所以，所以切线方程为， 即， 故选：D. 【变式4-1】（24-25高三上·河南·阶段练习）已知，过作曲线的切线，切点在第一象限，则切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设切点坐标为，写出切线的方程，求出即得解. 【解答过程】解：由，得， 设切点坐标为，则切线方程为， 把点代入并整理，得， 解得或（舍去）， 故切线斜率为． 故选：C． 【变式4-2】（24-25高二上·重庆·期末）已知曲线， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）求得，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）设切点为，求得切线方程为，结合点在直线上，列出方程求得，进而求得过点的切线方程. 【解答过程】（1）解：由函数，可得，可得， 即曲线在点处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）解：因为点不在曲线上， 设切点为，所以， 所以切线方程为， 又因为在直线上，所以， 即，解得或. 当切点为时，切线方程为； 当切点为时，切线的斜率为，此时切线方程为， 综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：或. 【变式4-3】（24-25高二下·福建泉州·阶段练习）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数，的值； (2)若曲线，求曲线过点的切线方程． 【答案】(1)， (2)或 【解题思路】（1）求导结合曲线在点处的切线方程为，可得，结合，可求； （2）设曲线与过点的切线相切于点，求得切线方程为，利用点在切线上，可得，求解即可求切线方程. 【解答过程】（1），，由曲线在点处的切线方程为， 可得，即，且切点为， 所以，解得，即有，； （2）曲线即为，求导得， 设曲线与过点的切线相切于点， 则切线的斜率，所以切线方程为， 即，因为点在切线上，所以， 解得或，故所求的切线方程为或． 【题型5 已知切线（斜率）求参数】 【例5】（24-25高二下·广东潮州·阶段练习）设直线是曲线的一条切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设出切点，根据在切点处的导数即为切线的斜率以及切点既在切线上又在曲线上列等式，即可求的值. 【解答过程】设切点为，，直线的斜率. 则，得，. 故选：D. 【变式5-1】（24-25高二下·贵州毕节·阶段练习）若直线是曲线的一条切线，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解题思路】求出函数的导函数，根据导数的几何意义，可得切点坐标，然后求出的值. 【解答过程】由，得， 设切点为，则由导数的几何意义得， 又切线方程为，所以， 即，解得，. 故选：D. 【变式5-2】（24-25高二下·吉林松原·期中）已知函数的图象在点处的切线的方程为，且点在上，，则（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【解题思路】利用导数的几何意义结合题设条件，列出方程组，求解即得. 【解答过程】依题意，，解得. 故选：B. 【变式5-3】（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数在点处的切线斜率为2，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【解题思路】由题意得，可求出，再将代入函数解析式中可求出，从而可求得的值. 【解答过程】由题意得， 所以， 解得， 又，则， 所以． 故选：B. 【题型6 函数图象的判断及应用】 【例6】（25-26高二上·全国·单元测试）已知为的导函数，则的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】先化简函数表达式，然后对函数进行求导，再分析其图象特征（如奇偶性、关键点、趋势等），结合选项判断正确图象. 【解答过程】因为， 所以， 又，      则为奇函数，排除B，D， 当时，，排除C. 故选:A． 【变式6-1】（24-25高三上·河南洛阳·开学考试）已知，为的导函数，则的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】首先对求导，再利用奇偶性排除B、D，然后通过取特殊值排除C即可. 【解答过程】因为，则， 又因为，所以为奇函数，由此可排除B、D； ，说明的图像在区间上函数值存在负数，由此C不满足，故A正确. 故选：A. 【变式6-2】（24-25高二·全国·单元测试）函数的导函数在区间上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】首先对函数进行求导，然后判断导函数的奇偶性，最后根据图像特征，通过赋值法判断的符号即可求解. 【解答过程】∵，∴， ∴，∴为奇函数， 从而的图像在区间上关于原点对称，由此可排除选项A、B， 又∵，排除D，从而答案为C. 故选：C. 【变式6-3】（24-25高二下·辽宁鞍山·阶段练习）函数的导数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．     【答案】D 【解题思路】根据已知，利用函数的求导公式以及函数的奇偶性、函数值进行排除. 【解答过程】因为，所以， 令，，则， 所以函数是奇函数，故A，C错误； 又，故B错误. 故选：D. 【题型7 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】 【例7】（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用导数求出两条曲线的切线方程，再利用公共切线可解出切点，进而求得切线的方程. 【解答过程】设直线与曲线的切点坐标为，直线与曲线的切点坐标为， 直线方程为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， 直线为曲线与的公共切线， ①，②， 由①得，两边取对数得，，， 代入②中得，，即， 解得或， 当时，，，直线的方程为； 当时，，，直线的方程为； 根据选项可知直线的方程可以为. 故选：C. 【变式7-1】（24-25高二下·安徽合肥·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【解题思路】求导，与直线垂直，求出的值. 【解答过程】由，求导， 则在点处的切线的斜率为， 而在点处的切线与直线垂直, 则，故. 故选：D. 【变式7-2】（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数. (1)求曲线过点处的切线； (2)若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值. 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）利用导数几何意义求过一点的切线方程； （2）利用导数几何意义，由切线平行列方程求参数值. 【解答过程】（1）由导数公式得， 设切点坐标为，设切线方程为： 由题意可得： ，       所以或，      从而切线方程为或. （2）由(1)可得：曲线在点处的切线方程为, 由，可得曲线在处的切线斜率为， 由题意可得，  从而，    此时切点坐标为，曲线在处的切线方程为， 即，故符合题意，所以. 【变式7-3】（24-25高二下·江西·期中）已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程. (2)若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出直线的方程（若直线的方程含参数，则用表示）；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，或 【解题思路】（1）根据导数的几何意义，先求导数得到切线的斜率，利用点斜式可得方程； （2）先求两个函数的导数，利用公切线建立等量关系，求解方程可得答案. 【解答过程】（1）当时，，，. 曲线在处的切线方程为，即. （2）设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，，. 曲线在点A处的切线为， 与曲线相切于点， 则且（*）， 由，则， 代入（*）得， 解得或. 当时，直线.当时，，直线. 故存在直线与曲线和都相切，直线的方程为或. 【题型8 导数运算的新定义问题】 【例8】（24-25高三上·湖南益阳·阶段练习）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.若，则曲线在处的曲率是（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【解题思路】根据曲率的定义求解即可. 【解答过程】因为， 所以，所以， 所以曲线在处的曲率. 故选：C. 【变式8-1】（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）定义满足方程的解叫做函数的“自足点”，则下列四个函数：①；②；③；④，则存在“自足点”的函数共有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】求出各函数的导函数，判断每个选项中方程是否有解，由此可得合适的选项. 【解答过程】对于①，则，由， 即，，所以无实数根， 因此不存在“自足点”，故①错误； 对于②，，则，由， 可得，其中，令，显然在定义域上单调递增， 又，， 所以函数在上存在零点，即函数存在“自足点”，故②正确； 对于③，则，其中， 因为，故函数存在“自足点”，故③正确； 对于④，则， 由，可得， 因为，， 所以， 所以方程无实解，故④错误. 故存在“自足点”的函数共有个. 故选：B. 【变式8-2】（25-26高三上·上海·期中）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．若函数，则的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】通过二次求导得到的对称中心，利用对称性求解即可. 【解答过程】由题意可得，， 令解得， 又， 所以的图象的对称中心为，即， 所以 ， 故选：B. 【变式8-3】（2025·安徽·模拟预测）给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导数，记.若在D上恒成立，则称在D上为凸函数.以下四个函数在上不是是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给出的导数新定义逐项判断即可. 【解答过程】对于A：，，， 则在上恒有，故A错误； 对于B：，，， 则在上恒有，故B错误； 对于C：，，， 则在上恒有，故C错误； 对于D：，，， 则在上恒有，故D正确. 故选：D. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $