27.3（第2课时）平面直角坐标系中的位似（培优教学课件）数学人教版九年级下册

该初中数学课件聚焦“平面直角坐标系中的位似”，核心知识点为以原点为位似中心时位似图形的坐标变化规律。课堂导入通过复习位似图形概念、判断方法及作图步骤，搭建旧知支架，引导学生从位似基础过渡到坐标关系探究。 其亮点是用问题链驱动新知探究，结合线段、三角形等实例让学生观察坐标变化，培养用数学眼光发现规律的能力。归纳总结提炼坐标比与相似比关系，典例和检测题覆盖不同情况，助学生用数学思维推理、用数学语言表达，既帮学生建立数形联系，也方便教师高效教学。

第27章 相似 人教版 数学 九年级 下册 BY YUSHEN BY YUSHEN 27.3（第2课时） 平面直角坐标系 中的位似 BY YUSHEN BY YUSHEN 复习引入 1. 两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做 ，这个交点叫做 ．位似图形上任意一对对应 点到位似中心的距离之比等于 ， 对应线段 . 2. 如何判断两个图形是不是位似图形? 位似图形 位似中心 相似比 (或位似比) 平行或者在一条直线上 3. 画位似图形的一般步骤有哪些？ BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 4. 基本模型： 我们知道，在直角坐标系中，可以利用变化前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些平移、轴对称和旋转 (中心对称). 那么，位似是否也可以用两个图形坐标之间的关系来表示呢？ BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考：在平面直角坐标系中，有两点 A（6，3），B（6，0）.以原点 O 为位似中心，相似比为，把线段 AB 缩小，观察对应点之间坐标的变化. 2 4 4 6 B' －2 －4 －4 x y A B A' A" B" O 如图，把 AB 缩小后 A，B 的对应点为 A′ （2，1）， B' （2，0）； A" （-2，-1）， B" （-2，0）. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考：△ABC 三个顶点坐标分别为 A（2，3），B（2，1），C（5，2），以点 O 为位似中心，相似比为 2，将 △ABC 放大，观察对应顶点坐标的变化. 如图，把 △ABC 放大后 A，B，C 的对应点为 A'（4，6）， B'（4，2）， C'（10，4）； A"（-4，-6）， B"（-4，-2）， C"（-10，-4）. 2 4 6 4 6 －2 －4 －4 x y A B 2 8 10 C －2 －6 －8 －10 －6 O B' A' C' A" B" C" BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考：在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作几个？ 思考：所作位似图形与原图形在原点的同侧，那么对应顶点的坐标的比与其相似比是何关系？如果所作位似图形与原图形在原点的异侧呢？ 2 4 4 6 B' －2 －4 －4 x y A B A' A" B" O 2 4 6 4 6 －2 －4 －4 x y A B 2 8 10 C －2 －6 －8 －10 －6 O B' A' C' A" B" C" BY YUSHEN BY YUSHEN 归纳总结 1. 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作两个． 2. 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k； 当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的坐标的比为－k． 3. 当 k＞1 时，图形扩大为原来的 k 倍； 当 0＜k＜1时，图形缩小为原来的 ． BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，若AC=2OA,点B的坐标为(2，1)，求点D的坐标. 解：∵AC=2OA, ∴OC=OA+AC=OA+2OA=3OA, ∴△AOB与△COD的位似比为1：3， ∵以点O为位似中心，点B的坐标为(2，1)， ∴点D的坐标为(2×3，1×3)，即D(6，3). BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例2 如图，矩形OABC中，OA=6,OC=4,已知矩形OABC与矩形OA’B’C’位似，位似中心为O，矩形OA’B’C’的面积为矩形OABC面积的，画出矩形OA’B’C’并求出点B’的坐标. C′ B′ A′ C′′ B′′ A′′ 解：∵矩形OABC与矩形OA’B’C’位似， ∴矩形OABC∽矩形OA’B’C’， ∵矩形OA’B’C’的面积为矩形OABC面积的 ， ∴矩形OABC与矩形OA’B’C’的相似比为， ∵OA=6,OC=4,∴B(6,4), ∴B’(6×,4×)或(－6×,－4×)，即B’(3,2)或(－3,－2). BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例3 如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是第一象限以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，若点A的横坐标为4，求点D的横坐标. 解：如图，过点A作AM⊥x轴于点M,过点D作DN⊥x轴于点N,则AM∥DN, ∵△ABC与△DEF是位似图形， ∴△ABC∽△DEF，AB∥DE,=, ∴△OAB∽△ODE，∴=, 又∵AM∥DN, ∴△AOM∽△DON，∴=, ∵OM=4, ∵AC=2OA, ∴ON=2OM=8, ∴点D的横坐标为8. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例4 在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O(0,0)，A(6,0)，B(3,6)，C(-3,3).以原点O为位似中心画一个四边形，使它与四边形OABC位似，且相似比是2∶3. y 2 4 6 -2 -4 -6 A B C O x 2 4 6 -2 -4 -6 解：四边形OABC的顶点坐标都乘分别是O(0,0)，A′(4,0)，B′(2,4)，C′(-2,2)； 在平面直角坐标系中描出点A′，B′，C′， 用线段顺次连接点O ，A′，B′，C′，O，则四边形OA′B′C′就是符合要求的四边形. A′ B′ C′ BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例4 在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O(0,0)，A(6,0)，B(3,6)，C(-3,3).以原点O为位似中心画一个四边形，使它与四边形OABC位似，且相似比是2∶3. y 2 4 6 -2 -4 -6 A B C O x 2 4 6 -2 -4 -6 解：四边形OABC的顶点坐标都乘 分别是O(0,0)，A(4,0)，B′′(2,4)，C′′(-2,2)； 在平面直角坐标系中描出点A′′，B′′，C′′， 用线段顺次连接点O ，A′′，B′′，C′′，O，则四边形OA′′B′′C′′就是符合要求的四边形. A′ B′ C′ BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例5 如图，在平面直角坐标系中，△FCD与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形. (1)画出点P的位置并写出点P的坐标； (2)以点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的另一个位似△O1A1B1，使它与△OAB的相似比为2:1. 解：(1)点P的坐标为(5，1); (2)△O1A1B1即为所求. BY YUSHEN BY YUSHEN 平面直角坐标 系中的位似 归纳总结 概念 平面直角坐标系中的位似图形的画法 平面直角坐标系中的图形变换 坐标变化规律 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 1.如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为 在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为(　　) A．(2，1)　　　　B．(2，0) C．(3，3)　　　　D．(3，1) A 2.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点(网格线的交点)上，则点P的坐标为(　　) A．(0，0)　 B．(0，1)　 C．(－3，2)　 D．(3，－2) C BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 3.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(1，2).以点O为位似中心，将△ABC的各边放大为原来的3倍得到△A’B’C’，则点A的对应点A′的坐标是(　　) A．(，) 　 B．(3，6) C． ()或(－，－) 　D．(3，6)或(－3，－6) D BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 4.如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，若A(－2，1)，B(－1，0)，C(4，－2)，则点D的坐标为(　　) A．(，0)　 B．(1，0)　 C．(2，0)　 D．(4，0) C 5.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若AB:DE=1:2，则点C(1，2)的对应点F的坐标 . (2，4) BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 6. △ABC 三个顶点 A (3，6)，B (6，2)，C (2，－1)，以原点为位似中心，得到的位似图形 △A′B′C′ 三个顶点分别为 A′ (1，2)，B′ (2， )，C′ ( ， )，则 △A′B′C′ 与 △ABC 的位似比是 . 1 : 3 7. 原点 O 是 △ABC 和 △A′B′C′ 的位似中心，点 A (1，0) 与点 A′ (－2，0) 是对应点，△ABC 的面积是3，则 △A′B′C′ 的面积是 . 6 8.如图，正方形 ABCD 和正方形 OEFG 中，点 A 和点 F 的坐标分别为 (3，2)，(－1，－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是___________________． (1，0) 或 (－5，－2) BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 解：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点 A′（－3，6），B′（－3，0），O（0，0）.顺次连接点 A′，B′，O，所得的 △A′ B′O就是要画的图形. 9.如图，在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A （－2，4）， B （－2，0），O （0，0）. 以原点 O 为位似中心，画出一个三角形使它与 △ABO 的相似比为 3 ：2. 2 4 6 2 －2 －4 x y A B O A′ B′ BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 10.在 13×13 的网格图中，已知 △ABC 和点 M （1，2）. （1） 以点 M 为位似中心，位似比为 2，画出 △ABC的位似图形 △A′B′C′； （2） 写出 △A′B′C′ 的各顶点坐标. 解：（1）所求作图形如图所示. （2)△A′B′C′ 的各顶点坐标分别为 A′ （3，6）， B′ （5，2）， C′ （11，4）. x y A B C M O A′ B′ C′ BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 11.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 三个顶点的坐标分别为 A （－2，－2）， B （－5，－4），O （－1，－5）. (1)以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的两倍，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1； (2)求△A1B1C1的面积. 解：(1)△A1B1C1即为所求. (2)△A1B1C1的面积为： 8×6－×8×2－ ×6×4－×6×2 =22. BY YUSHEN BY YUSHEN $