27.3（第1课时）位似图形的概念及画法（培优教学课件）数学人教版九年级下册

该初中数学课件聚焦“位似图形的概念及画法”，通过幻灯机放映、小松鼠对应点连线等情境引入，从相似图形过渡到位似图形，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于以现实情境培养数学眼光，通过测量计算和多例题（如位似判断、作图）发展数学思维，结合皮影戏等生活实例强化数学语言表达。学生能直观理解知识，提升推理与应用能力，教师可高效开展教学。

第27章 相似 人教版 数学 九年级 下册 BY YUSHEN BY YUSHEN 27.3(第1课时) 位似图形的 概念及画法 BY YUSHEN BY YUSHEN 情境引入 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 下图是运用幻灯机（点O表示光源）把幻灯片上的Labubu放映到屏幕上的示意图，这两个图形之间有什么关系？ A A’ B B’ C C’ O 这两个图形的形状相同，但大小不同，它们是相似图形. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 在图中的右边小松鼠的右边耳朵、尾巴和左脚趾上分别取点A，B，C. 左边小松鼠的右边耳朵、尾巴和左脚趾上的点A′，B′，C′分别为点A，B，C的对应点. 此时我们会发现点A ，A′与点O在一条直线上， 点B ， B′与点O在一条直线上，点C ， C′与点O也在一条直线上. 测量OA，OB，OA′，OB′的长度，你有什么发现？ A A’ B B’ C C’ O BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 分别量出线段OA，OA′，OB，OB′，OC，OC′的长度，计算(精确到0.1)： ,,. 继续在左、右两只小松鼠上找出一些对应点，我们会发现每一对对应点都与点O在一条直线上，且每一对对应点与点O所连线段的比与上述 的值相等. A A’ B B’ C C’ O BY YUSHEN BY YUSHEN 知识清单 =k P P’ O 一般地，取定一个点O，如果一个图形G上每一个点P对应于另一个图形G′上的点P′，且满足： （1）直线PP′经过同一点O， （2） , 其中k 是非零常数，当k>0时，点P′在射线 OP上，当k<0时，点P′在射线OP的反向延长线上. P BY YUSHEN BY YUSHEN 位似中心 两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心． 判断两个图形是不是位似图形，需要从两方面去考察： 一是这两个图形是相似的; 二是要有特殊的位置关系，即每组对应点所在的直线都经过同一点． A B E C D O A′ B′ C′ D′ E′ A B C O A′ B′ C′ BY YUSHEN BY YUSHEN 位似图形的性质 4. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 1. 位似图形的对应角相等，对应边成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方； 2. 位似图形的对应点的连线相交于一点，即经过位似中心； 3. 位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上； A B E C D O A′ B′ C′ D′ E′ A B C O A′ B′ C′ 利用位似，可以把一个图形进行放大或缩小. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 ● O ● ● ● 　 如下图，要把△ABC放大为原来的2倍，我们可以在三角形外任意取一点O，连接OA，OB，OC，分别在线段OA，OB，OC 的延长线上取点A′，B′，C′使得 C B A ● ● ● 同向 反向 BY YUSHEN BY YUSHEN 画位似图形的一般步骤 （1）确定位似中心； （2）分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长； （3）根据相似比，确定能代表所画的位似图形的关键点； （4）按照原图的形状，顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形. ● O ● ● ● C B A ● ● ● ● BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 请指出下列图形那些是位似图形,并指出位似图形图的位似中心. o P BY YUSHEN BY YUSHEN 位似图形的判断 判断两个图形是不是位似图形，需要从两方面去考察： 一是这两个图形是相似的， 二是要有特殊的位置关系，即每组对应点所在的直线都经过同一点. 利用位似进行作图的关键是确定位似中心和关键点. 位似分为内位似和外位似， 内位似的位似中心在连接两个对应点的线段上； 外位似的位似中心在连接两个对应点的线段之外. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例2 如图，△ABC 和△A′ B′ C′ 是位似图形，求位似中心. 解：∵△ABC 和△A′ B′ C′ 是位似图形， ∴A 和A′ 是对应点，B 和B′ 是对应点， C 和C′ 是对应点， 连接AA′，BB′ ，CC′ ，其交点为点D， ∴位似中心为点D. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例3 如图所示，四边形ABCD 和四边形A′ B′ C′ D′位似，相似比，四边形A′B′C′D′和四边形A″ B″ C″D″位似，相似比 ＝. 则四边形A″ B″ C″ D″和四边形ABCD 是位似图形吗？如果是，请说明理由并求出相似比. 解：∵ 四边形ABCD 和四边形A′ B′ C′ D′位似， ∴ 四边形ABCD ∽四边形A′ B′ C′ D′ . ∵ 四边形A′ B′ C′ D′和四边形A″ B″ C″ D″位似， ∴ 四边形A′ B′ C′ D′∽四边形A″ B″ C″ D″ . ∴ 四边形A″ B″ C″ D″∽四边形ABCD. ∵ 对应顶点的连线过同一点， ∴ 四边形A″ B″ C″ D″和四边形ABCD 是位似图形. ∵ 四边形ABCD 和四边形A′ B′ C′ D′位似，相似比 ＝ ， 四边形A′ B′ C′ D′和四边形A″ B″ C″ D″位似，相似比 ＝， ∴ 四边形A″ B″ C″ D″和四边形ABCD 的相似比为 . BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例4 在网格中画出把图形D按2：1的比放大后的图形． BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例5 如图，△ABC 和△A1B1C1是位似图形，位似中心为M. (1)画出点M的位置；(2)△A1B1C1和△A2B2C2是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，画出△A2B2C2. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例6 如图，F 在 BD 上，BC、AD 相交于点 E，且AB∥CD∥EF， (1) 图中有哪几对位似三角形? 选其中一对加以证明； 解： △DFE 与 △DBA， △BFE 与 △BDC， △AEB 与 △DEC 都是位似图形. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例6 (2) 若 AB=2，CD=3，求 EF 的长. 解：∵ △BFE ∽△BDC，△AEB ∽△DEC， AB=2，CD=3， ∴ ∴ 解得 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例7 如图，△ABC 和△A1B1C1是位似图形，位似中心为O,且OA:AA1=1:3, 若△A1B1C1的面积为8，求△ABC的面积. 解：∵OA:AA1=1:3,∴OA:OA1=1:2, ∵△ABC 和△A1B1C1是位似图形， ∴△ABC ∽△A1B1C1，AC∥A1C1， ∴△AOC ∽△A1OC1， ∴==, ∴△ABC 和△A1B1C1的面积比为1：4， ∵△A1B1C1的面积为8，∴△ABC的面积为2. BY YUSHEN BY YUSHEN 位似的概念及画法 归纳总结 概念 两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心． 性质 1. 位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似图形的所有性质，即对应角相等，对应边的比相等 2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．（位似图形的相似比也叫做位似比） 3. 对应线段平行或者在一条直线上． 画法 ① 确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形. BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 C 1.下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是（     ） 2.如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，△ABC的位似图形可以是（    ） A.△DEF B.△DHF C.△GEH D.△GDH C A. B. C. D. BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 3.皮影戏是中国民间戏剧，也是国家非物质文化遗产．如图，用灯光照射兽皮或纸板做成的“人物”， 屏幕上便出现影子，则实物与其影子之间的变换是（    ） A．平移变换 B．轴对称变换 C．位似变换 D．旋转变换 C 4.如图，在正方形网格中，△ABC与△A’B’C’是位似图，则位似中心是（     ） A.点R B.点P C.点Q D.点O D BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 5.如图，BC//ED，下列说法不正确的是（ ） A. 两个三角形是位似图形 B.点 A 是两个三角形的位似中心 C.B 与 D、C 与 E是对应位似点 D.AE ： AD是相似比 D E A B C D 6.如图，△ABC 和△A’B’C’是以O为位似中心的位似图形，若OA:OA’=1:2,则△ABC 和△A’B’C’的周长比为( ) A.1：2 B.1：3 C.1：4 D.1：9 A BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 8.如图，四边形木框 ABCD 在灯泡发出的光照射下形成的影子是四边形 A′B′C′D′，若 OB ： O′B′＝1 ： 2，则四边形 ABCD 的面积与四边形A′B′C′D′的面积比为（ ） A、4∶1　　B、 ∶1　　C、1∶　　D、1∶4 D 灯泡 A B C D A′ B′ C′ D′ 7.如图，△ABC 和△DEF是以O为位似中心的位似图形，若OA:OD=2:3,AB=2cm,则DE的长为( ) A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm C BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 9.两个位似图形中的对应角_ ___,对应线段___ __,对应顶点的连线必经过___ ____. 相等 成比例 位似中心 1:16 10.四边形ABCD 和四边形A′ B′ C′ D′ ，O为位似中心，若OA:OA′ =1:4, 那么=___ __. 11.如图，△ABC 和△DEF是以O为位似中心的位似图形，相似比为2：1，若△ABC的周长为12，则△DEF为的周长 为 . 6 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 12.已知边长为1的正方形ABCD，以它的两条对角线的交点为位似中心，画一个边长为2且与它位似的正方形. A B C D E H G F O 解：画射线OA、OB、OC、OD;在射线OA、OB、OC、OD上分别取点D、E、F,使OE = 2OA , OF = 2OB , OG = 2OC , OH = 2OD;顺次连结E、F、G、H,使正方形ABCD与正方形EFGH位似,相位似比为1： BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 13.如图，已知△ABC，以点O为位似中心画△DEF，使其与△ABC位似，且位似比为2. 解：画射线OA、OB、OC； 在射线OA、OB、OC上分别取点D、E、F，使OD = 2OA，OE = 2OB，OF = 2OC； 顺次连结D、E、F,使△DEF与△ABC位似，相似比为2. A B C F E D O BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 解：画射线OA、OB、OC; 沿着射线OA、OB、OC反方向上分别取点D、E、F,OD = 2OA,OE = 2OB,OF = 2OC; 顺次连结D、E、F,使△DEF与△ABC位似,相似比为2. A B C O E F D BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 14.如图，已知DE//BC，则△ADE与△ABC是位似图形吗？若是，找出它们的位似中心. 解：△ADE与△ABC是位似图形，理由如下： ∵DE//BC， ∴△ADE∽△ABC， ∵△ADE与△ABC三组对应点所在直线经过同一点A，且AD与AB，AE与AC在同一条直线上，且DE//BC， ∴它们的位似中心为点A. A D E C B BY YUSHEN BY YUSHEN $