专题02 二次函数（期末复习课件）九年级数学上学期人教版

这是一份初中数学九年级上学期期末复习课件，以学习支架形式构建复习体系，包含期末考情分析、必备知识梳理（二次函数概念、图像性质等）、重难点题型突破（8大题型，含典例与变式）及分层验收练习，系统覆盖二次函数核心内容。 资料特色鲜明，融合数学核心素养，通过概念辨析培养抽象能力，题型解题技巧强化推理与运算能力，应用题型（如利润、面积问题）提升模型意识与应用意识。分层设计满足不同学生需求，易错点拨助力精准突破，帮助学生夯实基础、提升解题能力，为教师提供高效复习教学资源。九年级学生面临升学考试，需重点关注考点整合与应试能力提升，本资料通过系统梳理与分层训练，助力学生针对性复习，高效备战期末。

专题02 二次函数 九年级数学上学期 期末复习大串讲 人 教 版 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期末考情 第一部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 核心考点 复习目标 考情规律 二次函数的有关概念 熟练掌握二次函数的概念，明确各项及其系数。 根据二次函数的定义求参数值较常考查。 待定系数法求解析式 根据题目给出的不同条件，能正确选择解析式形式并准确列出方程组求解，最终确定二次函数的具体表达式。 顶点式考查频率持续上升，且多与实际情景结合。务必保证顶点式的设、代、解、答全流程零失误。 二次函数的图象与性质 掌握从系数到图象、从解析式到性质的对应规律，实现“数”与“形”的自由转化。 近年来图象识别与性质推理的结合题比例上升，要求能快速从图象中提取对称轴、顶点位置等信息进行综合判断。 二次函数的图象与各项系数之间的关系 建立“a、b、c、Δ”四个符号与图象特征的直接对应，做到“见系数知图象、见图象定系数”；看到任意二次函数图象，能在30秒内准确判断 a、b、c、Δ 的符号及 a+b+c 等特殊式子的正负。 该考点难度稳中有升，从单一知识考查转向综合能力考查，要求考生建立完整的“系数-图象”对应体系，并能灵活应用。 核心考点 复习目标 考情规律 二次函数图象的变换 掌握抛物线平移的坐标变换规律，实现“解析式变化 → 图象变化”和“图象变化 → 解析式变化”的双向推导。 图象变换考点稳定性高、规律性强，但近年复合化和综合化趋势明显。掌握平移对称基本规律，辅以顶点验证法，即可应对80%以上考题。该考点是“基础分必拿，能力分可争”的典型。 二次函数与一元二次方程 熟练运用判别式Δ和韦达定理解决交点、根分布、参数范围等问题；给出任意二次函数，能立即说出对应方程的根的情况、图象交点个数，并能根据根的要求反推出系数需满足的条件。 近年呈现“基础题更基础，难题更难”的两极分化趋势。应确保基础题满分，中档题多练，难题有选择地突破。掌握好“函数-方程-图象”的转化关系是得分关键。 二次函数与不等式 掌握“图象在上方→不等式>0，图象在下方→不等式<0”的数形对应，能熟练解二次不等式并处理含参、恒成立问题。 确保基础题型熟练化，掌握含参讨论模型化，突破恒成立问题方法化。 二次函数的应用 掌握从实际问题中抽象出二次函数模型的建模能力，重点解决“利润最大、面积最大、增长率、图形最值”四类问题，并准确确定自变量的实际取值范围。 二次函数应用正从“数学题”向“真实问题解决”转变。备考需实现 “经典模型内化、建模思维强化、规范表达固化” 的三化目标。该考点已不仅是数学能力的考查，更是综合素养的体现，过程完整性比答案正确性更重要。 记•必备知识 第二部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 二次函数有关概念 知识点01 (3)三类解析式 一般式：(a、b、c是常数，)； 顶点式：()，二次函数的顶点坐标是(h，k)； 交点式： ()，其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ． (1)定义： 一般的，形如(a、b、c是常数，)的函数叫做二次函数，自变量x的取值范围为全体实数. 、bx、c分别称作二次函数的二次项、一次项和常数项，、b分别称为二次项系数和一次项系数. (2)(a、b、c是常数，)各项名称 6 待定系数法求解析式 知识点02 ①巧设二次函数的解析式 （给顶点设顶点式，给交点设交点式，其余情况设一般式）； ②根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）； ③解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.            开口 方向 a>0时，开口向上；a<0时，开口向下. 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h 顶点 与 最值 (0，0) (0 ，k) (h，0) (h，k) a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值，最小值为0(或k或 )； a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最大值为0(或k或 ). 增 减 性 a>0 x<0(h或 )时，y随x的增大而减小；x>0(h或 )时，y随x的增大而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。 a<0 x<0(h或 )时，y随x的增大而增大；x>0(h或 )时，y随x的增大而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小 。 对称性 1.图象是轴对称图形； 2. 抛物线上y值相等的两点，其中点必在对称轴上； 3. 抛物线上到对称轴距离相等的点，y值必定相等. 二次函数的图象与性质 知识点03 8 二次函数的图象与各项系数之间的关系 知识点04 (1)的正负决定开口方向: ，抛物线开口向上；，抛物线开口向下. 的大小决定开口的大小: 越大，抛物线的开口越小； 越小，抛物线的开口越大. (2)、b的符号共同决定对称轴的位置 当时， ，对称轴为y轴； 当a、b同号时， ，对称轴在y轴左边； 当a、b异号时， ，对称轴在y轴右边．（简记为“左同右异”） (3)c决定抛物线与轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；当c＝0时，抛物线经过原点； 当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上. 二次函数图象的变换 知识点05 (1)图象的平移：任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到， (2)图象的对称： ①化成顶点式， ②结合图象，求出对称后的顶点和开口方向， ③再写出对称后的解析式. 概括成八个字 左加右减， 上加下减 值正右移负左移 值正上移，负下移    上加下减 向上（）下（）平移个单位 向右（）左（）平移个单位 向右（）左（）平移个单位 左加右减 左加右减 上加下减 向上（）下（）平移个单位 向上（）下（）平移个单位 向右（）左（）平移个单位 二次函数与一元二次方程 知识点06 二次函数()的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程的根. b2-4ac与 0的关系 二次函数与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0根的情况 b2-4ac>0 2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac=0 1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac<0 0个交点 没有实数根 二次函数与不等式 知识点07 (1)抛物线在x轴上方图象上的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集； (2)抛物线在x轴下方图象上的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集. 不等式以a大于0为例 图象 观察方法 解集 >0 的解集情况   函数y=ax²+bx+c的图象位于x轴上方时对应的自变量的取值范围 x<或x>  <0 的解集情况   函数y=ax²+bx+c的图象位于x轴下方时对应的自变量的取值范围 <x< 二次函数的应用 知识点08 (1)最大利润问题：求解最值时，一定要考虑顶点横坐标（对称轴）的取值是否在自变量的取值范围内. (2)面积问题：篱笆问题，铅锤法求面积. (3)类抛物线问题：拱桥、投桥、喷泉问题. (4)与几何图形结合：与三角形、圆等几何图形结合，考查最大面积或最小距离等问题 破•重难题型 第三部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 二次函数有关概念 题型一 解｜题｜技｜巧 二次函数的判断方法： （1）含有自变量的代数式必须是整式； （2）化简后自变量的最高次数是2； （3）二次项系数不为0． 二次函数有关概念 题型一 易｜错｜点｜拨 也叫做二次函数的一般形式，判断一个函数是否是二次函数应先将函数化为一般形式 二次函数有关概念 题型一 【典例1】下列函数中是二次函数的是（　　） A．y＝x3+2x﹣1 B．y＝4x﹣7 C．y＝x2+4 D．y＝（x+1）2﹣x2 解： A、y＝x3+2x﹣1，不是二次函数，故A不符合题意； B、y＝4x﹣7，是一次函数，故B不符合题意； C、y＝x2+4，是二次函数，故C符合题意； D、y＝（x+1）2﹣x2＝2x+1，是一次函数，故D不符合题意； C 二次函数有关概念 题型一 【典例2】已知是关于的二次函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解：∵是关于的二次函数， ∴，∴， 【典例3】把变成一般式，它的常数项为 ． 解 变成一般式，它的常数项为， 二次函数有关概念 题型一 【变式1】已知y＝（a+2）x2﹣5x是关于x的二次函数，则a的取值范围是（　　） A．a≥﹣2 B．a≠2 C．A ≥ 2 D．A ≠﹣2 解：根据题意可知，y＝（a+2）x2﹣5x是关于x的二次函数， 所以a+2≠0，即a≠﹣2． D 【变式2】若关于x的函数是二次函数，则a 的取值范围是 ． 解：由题意得：， 解得：， 二次函数有关概念 题型一 【变式3】把变成一般式，它的常数项为 ． 解： 把变成一般式， 它的常数项为， 待定系数法求二次函数的解析式 题型二 解｜题｜技｜巧 待定系数法求函数解析式的步骤： （1）设函数解析式：根据已知条件设函数解析式； （2）找点：找函数图象上的点； （3）代入：把点代入函数解析式得到方程； （4）求解方程； （5）反代入：把求出的字母的值带入解析式． 待定系数法求二次函数的解析式 题型二 易｜错｜点｜拨 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式， 但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点， 即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示． 二次函数解析式的这三种形式可以互化． 待定系数法求二次函数的解析式 题型二 【典例1】如果一条抛物线的形状和开口方向与y＝﹣2x2+2相同，且顶点坐标是（4，2），则它的解析式是（　　） A．y＝2（x﹣4）2+2 B．y＝﹣2（x﹣4）2﹣2 C．y＝﹣2（x﹣4）2+2 D．y＝﹣2（x+4）2﹣2 解：由条件可知a＝﹣2， ∵顶点坐标是（4，2）， ∴它的解析式为y＝﹣2（x﹣4）2+2， C 待定系数法求二次函数的解析式 题型二 【典例2】已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过三点（﹣3，0），（1，0），（0，3），则该抛物线的顶点坐标是　 　 ． 解：由条件可知，解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝-（x+1)2+4， ∴抛物线的顶点坐标是（﹣1，4）． （﹣1，4） 待定系数法求二次函数的解析式 题型二 【变式1】已知y＝（a﹣2）x2﹣2x+a2是关于x的二次函数，其图象经过（0，4），则a的值为（　　） A．a＝±2 B．a＝2 C．a＝﹣2 D．无法确定 解：∵y＝（a﹣2）x2﹣2x+a2是关于x的二次函数， 其图象经过（0，4）， ∴4＝a2，a﹣2≠0，解得：a＝﹣2， C 待定系数法求二次函数的解析式 题型二 【变式2】已知抛物线C1的顶点坐标为（2，3），且与抛物线的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线C1的解析式为（　　） A．y＝（x+2）2﹣3 B．y＝﹣（x﹣2）2﹣3 C．y＝﹣（x﹣2）2+3 D．y＝（x﹣2）2+3 解：∵抛物线C1的顶点坐标为（2，3）， ∴抛物线C1的解析式可设为y＝a（x﹣2）2+3， ∴抛物线C1与抛物线的开口方向、形状大小完全相同， ∴a＝1， ∴抛物线C1的解析式为y＝（x﹣2）2+3． D 待定系数法求二次函数的解析式 题型二 【变式3】已知抛物线的顶点为（﹣1，﹣3），与y轴的交点为（0，﹣5），求抛物线的解析式． 解：根据题意设y＝a（x+1）2﹣3， 将（0，﹣5）代入得： a﹣3＝﹣5， 解得：a＝﹣2， 则抛物线解析式为: y＝﹣2（x+1）2﹣3＝﹣2x2﹣4x﹣5． 故抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣4x﹣5． 二次函数的图象与性质 题型三 解｜题｜技｜巧 1、二次函数图象上任意两个函数值相等的点都关于对称轴对称，且到对称轴的距离相等．对称轴等于这两个点的横坐标之和除以2．即：若点与点都在二次函数图象上，且，则二次函数的对称轴为：． 2、二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标： 二次函数y=ax2+bx+c用配方法可化成的形式，二次函数的对称轴是直线x= ，顶点坐标是（ ）． 二次函数的图象与性质 题型三 【典例1】二次函数图象的顶点坐标为（ ） A． B． C． D． 解：∵ 二次函数的顶点坐标为， ∴的图象的顶点坐标为， D 二次函数的图象与性质 题型三 【典例2】在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（    ） B． D． A． C． 解：A选项：由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：，故A选项不符合题意； B选项：由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：，故B选项不符合题意 C选项：由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：，故C选项符合题意； D选项：由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：，故D选项不符合题意． C 二次函数的图象与性质 题型三 【典例3】已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示． … 0 1 … … 0 0 … (1)求的值． (2)在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（无需再单独列表）． (3)根据图象，直接写出当时，的取值范围： ． （1）解：由题意，根据表格数据， 设， ∴将代入得: ，∴， ∴抛物线解析式为， 即:， 把代入得： 二次函数的图象与性质 题型三 【典例3】已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示． … 0 1 … … 0 0 … (1)求的值． (2)在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（无需再单独列表）． (3)根据图象，直接写出当时，的取值范围： ． （2）解：根据表格中数据，描点、连线得：如图所示： （3）解：根据图象，当时， y的取值范围为:． ． 二次函数的图象与性质 题型三 【变式1】抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 解：∵ 抛物线解析式为 ，符合顶点式形式， ∴ 顶点坐标 为． B 二次函数的图象与性质 题型三 【变式2】一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能为（    ） B． D． A． C． 解：由图可知，， ∴， ∴二次函数的开口方向向下，与y轴的交点在y轴的负半轴， 四个选项中，符合要求的只有D选项， D 二次函数的图象与性质 题型三 【变式3】已知二次函数（，为常数，）的图象上有两点，，若，则的取值范围是 ． 解：∵点和点 在二次函数上． ∴ ， ∴ ， 则 ． ∵， ∴，即． ∵，不等式 等价于． 当与同为正号时， 则，∴； 当与同为负号时，则 ，∴； 综上：或． 故答案为： 或． 二次函数的图象与性质 题型三 【变式4】已知抛物线经过点和． …           … …           … (1)求抛物线解析式； (2)用五点法列表并画出函数图象； (3)当时，的取值范围是___________． （1）解： 抛物线经过点和， ， 解得：， 抛物线的解析式为：； 二次函数的图象与性质 题型三 【变式4】已知抛物线经过点和． …           … …           … (1)求抛物线解析式； (2)用五点法列表并画出函数图象； (3)当时，的取值范围是___________． （2）解：列表： … 0 1 … … 0 0 … （3）解：当时，， 由图象可得：当时， 的取值范围是:， 二次函数的图象与各项系数之间的关系 题型四 解｜题｜技｜巧 1.a看开口:正上负下，大窄小宽。 2.b看对称轴:左同右异(对称轴在左ab同号，在右ab异号)。 3.c看纵截距:正上负下过原点。 4.看横交点:正二负零没有交。 5.式子看特殊点:(1,a+b+c),(-1,a-b+c)要记牢。 二次函数的图象与各项系数之间的关系 题型四 数形结合是核心:一定要养成把代数条件在图上标出来的习惯。 注意的符号:所有与不等式相关的推理(比如比较2a+b)，必须先明确的正负，否则不等号方向容易出错。 对称性是利器:利用对称轴可以快速找到对应点的坐标，比较函数值。 易｜错｜点｜拨 二次函数的图象与各项系数之间的关系 题型四 【典例1】二次函数的图象如图所示，下列式子： ①，②，③，④， 其中正确的有 ．（填编号） 解：由图象可知，对称轴为直线， ，， 故①错误；②正确； 当时，， ，故③错误； 对称轴为直线， ， ， ，故④正确． ②④ 二次函数的图象与各项系数之间的关系 题型四 【变式1】如图，二次函数的对称轴为直线，则下列结论正确的是（    ）   A． B． C． D ．（的实数） 解：由图象可知：，， ，∴，故A错误； 时，， ∴由对称知，当时，函数值大于 0 ， 即，故B错误； 由图象知，当时，， 当时，， ， ， 即 ，故C错误； ∵当时，的值最大． 此时， 而当时， ， 所以， 故， 即，故D正确；   D 二次函数图象的变换 题型五 解｜题｜技｜巧 上下平移 若原函数为   （1）其中m均为正数，若m为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可． （2）通常上述变换称为上加下减，或者上正下负． 二次函数图象的变换 题型五 解｜题｜技｜巧 左右平移 若原函数为，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式+𝑘再进行相应的变形． 注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可． ②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负． 二次函数图象的变换 题型五 【典例1】将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（ ） A． B． C． D． 解：∵原抛物线 的顶点为， ∴向右平移2个单位长度，顶点横坐标变为； 向上平移3个单位长度，顶点纵坐标变为． ∴平移后顶点为， ∴平移后所得抛物线的解析式为． A 二次函数图象的变换 题型五 【典例2】将抛物线y＝﹣2x2+4x+1向左平移2个单位，再向上平移3个单位后新抛物线的顶点坐标（　　） A．（3，6） B．（﹣3，6） C．（1，0） D．（﹣1，6） 解：由题意，抛物线为y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3， 又由抛物线的变化规律“上加下减，左加右减”， ∴将抛物线y＝﹣2x2+4x+1向左平移2个单位， 再向上平移3个单位后可得抛物线为: y＝﹣2（x﹣1+2）2+3+3，即:y＝﹣2（x+1）2+6． ∴此时顶点坐标为（﹣1，6）． D 二次函数图象的变换 题型五 【变式1】将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 解：将函数解析式化为顶点式，得 ， 将函数向右平移1个单位，向上平移2个单位， 得到新抛物线为:． D 二次函数图象的变换 题型五 【变式2】抛物线y1可以由抛物线y（　　）得到． A．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 解：∵y1， ∴该抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣1）， ∵抛物线y的顶点坐标是（0，0）， ∴平移的方法可以是： 将抛物线y向左平移1个单位，再向下平移1个单位． D 二次函数与一元二次方程 题六 解｜题｜技｜巧 当参数在二次项系数a时，一定要讨论a=0和a≠0两种情况! 数形结合时，草图要画出关键特征:开口、对称轴、与坐标轴交点。 韦达定理的使用前提是△≥0，务必先验证。 二次函数与一元二次方程 题型六 【典例1】若二次函数的图象与轴只有一个公共点，则的值为 ． 解：∵二次函数 的图象与x轴只有一个公共点， ∴方程 有两个相等的实数根， ∴，且， 整理得，， 解得:或， 或 二次函数与一元二次方程 题型六 【典例2】已知二次函数（）的图象如图所示， 那么 0．（用填空）   解：由抛物线与x轴有两个交点， 一元二次方程有两个根， ， 二次函数与一元二次方程 题型六 【典例3】如图是二次函数图象的一部分，与轴的一个交点是，对称轴是直线．则关于的一元二次方程的解是（    ）   A．， B．， C．， D．， 解：二次函数图象的一部分， 与轴的一个交点是，对称轴是直线， ∴， ∴与轴的另一个交点是， ∴关于的一元二次方程的解: ， A 二次函数与一元二次方程 题型六 【变式1】已知抛物线的关系式为，则该抛物线与x轴的交点情况为 ． 解：令 ， 则 ， 原方程无实数根， 即该抛物线与x轴无交点， 无交点 二次函数与一元二次方程 题型六 【变式2】已知二次函数 的图象经过 与 两点，关于的方程 有两个根，其中一个根是5．则关于的方程 有两个整数根，这两个整数根是（ ） A．-2或4 B．-2或0 C．0或4 D．-2或5 解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过（-1，0）与（3，0）两点， ∴当y=0时，0=ax2+bx+c的两个根为-1和3， 则函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1， 又∵关于x的方程ax2+bx+c+m=0（m＞0）有两个根，其中一个根是5． ∴方程ax2+bx+c+m=0（m＞0）的另一个根为-3， 函数y=ax2+bx+c的图象开口向上， ∵关于x的方程ax2+bx+c+n=0 （0＜n＜m）有两个整数根， ∴这两个整数根是-2或4， A 二次函数与不等式 题型七 解｜题｜技｜巧 二次函数与不等式是联立前两个知识点的综合应用，解题核心是 “数形结合，看图解不等”。 二次函数与不等式 题型七 【典例1】如图抛物线， 则关于x的不等式的解集是（　　） A． B． C． D．或 解：由图可知，不等式的解集是． C 【典例2】如图，抛物线的部分图象如图所示， 若，则的取值范围是（    ）   A ． B． C． D．或 解：由函数图象得： 二次函数的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点的坐标为， ∴关于x的不等式的解集是 C 二次函数与不等式 题型七 【典例3】如图，抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是 ． 解：∵ ∴    ∵如图；与关于y轴对称， 抛物线与直线交于两点， ∴抛物线与直线交于两点，   ∴，即 ∴ . 二次函数与不等式 题型七 【变式1】二次函数的图象如图所示， 则不等式的解集是（   ）  A． B． C． D．或 解：由图象可知，不等式的解集是 ； C 【变式2】如图是二次函数和一次函数的图象，当时，的取值范围是（    ）  A． B． C． D． 解：观察图象得： 当时，二次函数的图象位于一次函数的图象的下方， ∴当时，的取值范围是， B 二次函数与不等式 题型七 【变式3】如图，函数与的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是 ．   解：∵函数与的图象交于，两点， ∴由函数图象可知： 关于x的不等式（即）的解集是 或； 或 二次函数的应用 题型八 解｜题｜技｜巧 二次函数模型解决实际问题的一般步骤： 审：审清题意，理解问题． 找：分析问题中的变量和常量找出它们之间的关系． 列：列函数解析式表示它们之间的关系（建立数学模型）． 解：用数学方法求解． 验：检验结果的合理性． 答：书写答案． 利用二次函数解决动态几何问题 利用二次函数解决动态几何问题解决动态几何问题时，可先观察图形运动的整个过程，找出这一过程中变化的量与不变的量，再根据这些量之间的关系构造适当的数学模型．同时关注特殊情形，通过特殊情形逐步过渡到一般情形，从而找到解题的方法． 59 二次函数的应用 题型八 【典例1】某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金（元）关于x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 解：∵该厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x， ∴该厂今年二月份新产品的研发资金为万元，三月份新产品的研发资金为万元． 根据题意得：， B 二次函数的应用 题型八 【典例2】苏州自古以桥梁之盛闻名内外，素有东方威尼斯之称．如图是抛物线形拱桥，当拱顶距水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加 ．   解：如图，建立直角坐标系，则， 可设这条抛物线为， 把代入得：， 解得：， ， 当时，， 解得：， 水面下降，水面宽度增加． 二次函数的应用 题型八 【典例3】如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙（无需篱笆）的矩形菜园，并且中间用篱笆隔开，，墙长，设，矩形面积为．  (1)关于的函数解析式为___________（写化简后结果）， 的取值范围是_________； (2)求菜园面积的最大值，并求此时的长； (3)在（2）的前提下，若将矩形和矩形分别种植甲、乙两种农作物．甲农作物的年收入（单位：元）与种植面积（单位：）的函数关系式为，乙农作物的年收入（单位：元）与种植面积（单位：）的函数关系式为，两种农作物年收入之和不小于8918元，并且乙农作物的种植面积不小于甲农作物的种植面积的两倍．设，求的取值范围． 二次函数的应用 题型八 【典例3】如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙（无需篱笆）的矩形菜园，并且中间用篱笆隔开，，墙长，设，矩形面积为．  (1)关于的函数解析式为 （写化简后结果）， 的取值范围是________ _； (2)求菜园面积的最大值，并求此时的长； （2）解： ， 对称轴为直线，开口向下， 在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ，当时，取最大值， 最大值为：， 此时， 即菜园面积的最大值为， 此时的长为； （1）解：由题意知， ， 且， 解得: ， ， 二次函数的应用 题型八 【典例3】 (3)在（2）的前提下，若将矩形和矩形分别种植甲、乙两种农作物．甲农作物的年收入（单位：元）与种植面积（单位：）的函数关系式为，乙农作物的年收入（单位：元）与种植面积（单位：）的函数关系式为，两种农作物年收入之和不小于8918元，并且乙农作物的种植面积不小于甲农作物的种植面积的两倍．设，求的取值范围． （3）解：设，则， 矩形的面积为， 矩形的面积为， ， ， 由题意得：， 即， 化简得，解得:， 乙农作物的种植面积不小于甲农作物的种植面积的两倍， ， 解得， 的取值范围为． 二次函数的应用 题型八 【典例4】北京冬季奥运会的吉祥物冰墩墩在冬奥会期间火遍全国．某网店也借机售卖一款冰墩墩，进价为30元/个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于31元，试销售期间发现：当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，该网店决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售量为y个． (1)直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； (2)网店为响应“助力奥运，回馈社会”活动，决定每销售1个冰墩墩就捐赠m元给希望工程，若每天扣除捐赠后可获得最大利润为7830元，则m的值是多少？ （1）解：因为进价为30元/个， 规定单个销售利润不低于10元，且不高于31元， ∴ 由题意得，； ∴y与x之间的函数关系式为： ． 二次函数的应用 题型八 【典例4】北京冬季奥运会的吉祥物冰墩墩在冬奥会期间火遍全国．某网店也借机售卖一款冰墩墩，进价为30元/个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于31元，试销售期间发现：当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，该网店决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售量为y个． (2)网店为响应“助力奥运，回馈社会”活动，决定每销售1个冰墩墩就捐赠m元给希望工程，若每天扣除捐赠后可获得最大利润为7830元，则m的值是多少？ （2）解：设每天扣除捐赠后可获得利润为W，根据题意得，则 ， ∴对称轴为， ∵，∴， ∴当时，W 随x的增大而增大， ∴时，W取得最大值， ∴， 解得：． 二次函数的应用 题型八 【典例5】如图，抛物线（为常数，）与轴交于点，两点，点为抛物线的顶点，且该二次函数有最大值，最大值不超过5．  (1)求的取值范围； (2)若为等腰直角三角形，求的值． （1）解： ，       ∵二次函数有最大值，∴， ∵函数最大值不超过5， ，解得： ， （2）解：当时， ， 解得：，， ， ，      D ∟ 为等腰直角三角形， ∴， ， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， 解得：∴的值为． 二次函数的应用 题型八 【典例6】如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式；(2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标；(3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． （1）解：将点代入关系式， ∴，解得， ∴抛物线的关系式为； 二次函数的应用 题型八 【典例6】如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； （2）解：如图， ∵， 且， ∴， ∴． ∵点A，B关于对称轴对称， ∴点E的横坐标为1，此时， 即点； 二次函数的应用 题型八 【典例6】如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． （3）解：∵抛物线， ∴对称轴为， 设点， 如图，以为矩形的对角线， 由中点的坐标可知，解得． ∵，∴， ∴， 解得或4，∴点或； 二次函数的应用 题型八 【典例6】如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 如图，以为矩形的边时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵，∴， ∴， 解得，∴点； 二次函数的应用 题型八 【典例6】如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 若以为矩形的对角线时， 由中点的坐标公式，得，解得， ∵， ∴， ∴ ， 解得，∴点， 综上所述，点P的坐标为或或或． 二次函数的应用 题型八 【变式1】某市今年第一季度的专项教育投入为亿元，第二季度比第一季度增长的百分比为，第三季度增长的百分比是第二季度增长百分比的倍，则第三季度专项教育投入（亿元）关于的函数关系式为 ．（不要求写自变量的取值范围） 解：由题意得：今年第二季度的专项教育投入为亿元， ∴今年第二季度的专项教育投入为 亿元， 二次函数的应用 题型八 【变式2】一个横截面为抛物线形的隧道底部宽，高，如图，车辆双向通行，规定车辆必须在中心线两侧距道路边缘这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于的空隙，请你根据这些要求，建立适当的坐标系，利用所学的函数知识，确定通过隧道车辆的高度限制． 解：如图，建立平面直角坐标系， 由已知可得，抛物线顶点坐标为，与x轴的一个交点为， 设抛物线的表达式为， 把代入表达式，得，解得， ∴抛物线的表达式为， 当时，， ∴，∴通过隧道车辆的高度限制为． 二次函数的应用 题型八 【变式3】某经销商以元个的价格购进了一批摆件，打算采取线下和线上两种方式销售，调查发现线下每周销量y个与售价元个满足一次函数关系（如下表)；线上售价为元个，供不应求．规定无论线上线下销售，每个摆件利润均不得高于进价的． 售价（元个） 销量（个） (1)求与的函数解析式； (2)若该经销商共购进个摆件，一周内全部售完．如何分配线下和线上的销量，可使全部售完后获得的利润最大，最大利润是多少？（不计其他成本） （1）解：设与的函数解析式为 ，由表格可知， 当，， 当，， ∴， 解得：， ∴与的函数解析式 ； 二次函数的应用 题型八 【变式3】某经销商以元个的价格购进了一批摆件，打算采取线下和线上两种方式销售，调查发现线下每周销量y个与售价元个满足一次函数关系（如下表)；线上售价为元个，供不应求．规定无论线上线下销售，每个摆件利润均不得高于进价的． (2)若该经销商共购进个摆件，一周内全部售完．如何分配线下和线上的销量，可使全部售完后获得的利润最大，最大利润是多少？（不计其他成本） （2）解：当线下销量为个时，线上销量为 （个）， 设全部售完后获得的利润为w元，根据题意得 ， ∵线下销售，每个摆件的利润不得高于进价的， ∴，解得， ∵， ∴线上销售符合要求， ∵，对称轴为直线， ∴当时， 有最大值，最大值为， 此时线下销售量为： （个）， 线上销售量为个， 答：线下销售个，线上销售个时获利最大，最大利润是元． 二次函数的应用 题型八 【变式4】大坝泄洪时，水流的形状类似抛物线形．如图2，建立如图所示平面直角坐标系（大坝底与水平面交点为原点，大坝墙面为轴），已知水流内轮廓线的函数表达式为 ，泄洪口高；水流外轮廓线的最高点比泄洪口A处高，且与泄洪口处的水平距离为． (1)求水流外轮廓线的表达式和内轮廓线的顶点的坐标． (2)求水流落入水平面时，形成的水流的宽度． （1）解：内轮廓线的函数表达式为， 内轮廓线的顶点的坐标为． 令，得．点的坐标为． 泄洪口高，点的坐标为． ∵水流外轮廓线的最高点比泄洪口处高， 且与泄洪口处的水平距离为，点坐标， ∴点横坐标为，纵坐标为，即． 设外轮廓线的函数表达式为顶点式． 把代入，得 ，即． 解得， ∴外轮廓线的函数表达式为． 二次函数的应用 题型八 【变式4】大坝泄洪时，水流的形状类似抛物线形．如图2，建立如图所示平面直角坐标系（大坝底与水平面交点为原点，大坝墙面为轴），已知水流内轮廓线的函数表达式为 ，泄洪口高；水流外轮廓线的最高点比泄洪口A处高，且与泄洪口处的水平距离为． (1)求水流外轮廓线的表达式和内轮廓线的顶点的坐标． (2)求水流落入水平面时，形成的水流的宽度． （2）解：当水流落入水平面时，． 代入外轮廓，得． 解得，（舍去）； 代入内轮廓，得， 解得，（舍去）． ∵的长度等于点横坐标减去点横坐标， ∴， 水流落入水平面时，形成的水流的宽度为． 二次函数的应用 题型八 【变式5】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．  (1)求二次函数的解析式； (2)若为抛物线对称轴上一动点，求使为直角三角形的点的坐标． （1）解：将、代入二次函数得， ， 解得 ， 二次函数的解析式为； 二次函数的应用 题型八 【变式5】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (2)若为抛物线对称轴上一动点，求使为直角三角形的点的坐标． （2）解：由（1）知，二次函数的解析式为， 对称轴为， 令，则， 解得或，， 当时，由勾股定理可得 ， 则， 解得，则； 当时，由勾股定理可得 ， 则， 解得，则； 设抛物线对称轴上一动点， 、， ，， ， 二次函数的应用 题型八 即， ， ，则或， 综上所述，使为直角三角形的点的坐标为 或或或． 【变式5】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．  (1)求二次函数的解析式； (2)若为抛物线对称轴上一动点，求使为直角三角形的点的坐标． 当时，由勾股定理可得 ， 则， 二次函数的应用 题型八 【变式6】 综合运用：如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点C，二次函数的图象经过A，C两点，并与x轴交于点．点是线段上一个动点（不与点O，A重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点．  (1)求这个二次函数的解析式；(2)用含m的代数式表示，； (3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （1）解：将代入一次函数，得， 点C的坐标为， 将代入一次函数，得，解得， 点A的坐标为， 将点A，C的坐标代入抛物线， 得，解得， 这个二次函数的解析式为． 二次函数的应用 题型八 【变式6】 综合运用：如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点C，二次函数的图象经过A，C两点，并与x轴交于点．点是线段上一个动点（不与点O，A重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点．  (1)求这个二次函数的解析式； (2)用含m的代数式表示，； (3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （2）解：∵过点作x轴的垂线， 分别与二次函数图象和直线相交于点E和点， 点，点， ， 二次函数的应用 题型八 【变式6】 综合运用：如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点C，二次函数的图象经过A，C两点，并与x轴交于点．点是线段上一个动点（不与点O，A重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点．   (3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）存在．如图，以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形时， 分以下三种情况： 由（）可得，点，，， ， ， ， 二次函数的应用 题型八 【变式6】 综合运用：如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点C，二次函数的图象经过A，C两点，并与x轴交于点．点是线段上一个动点（不与点O，A重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点．   (3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． ①当时，， 解得，（舍去），（舍去）， 此时点M的坐标为； ②当时，， 解得，舍去， 此时点M的坐标为； 二次函数的应用 题型八 【变式6】 综合运用：如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点C，二次函数的图象经过A，C两点，并与x轴交于点．点是线段上一个动点（不与点O，A重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点．   (3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． ③当时，， 解得，（舍去）， （舍去）， 此时点M的坐标为． 综上所述，存在满足题意的点F，此时点M的坐标为 或或． 过•分层验收 第四部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 期末基础通关练 1．二次函数y＝x2+4的图象不经过的象限为（　　） A．第三、第四象限 B．第二、第四象限 C．第一、第二象限 D．第一、第四象限 解：∵y＝x2+4，a＝1＞0， ∴抛物线开口向上， ∵x2≥0，∴y≥4， ∴函数值y始终为正数， ∴图象经过第一象限和第二象限， 但不经过第三象限和第四象限． A 3．二次函数y＝﹣2（x﹣2）2+5的最大值是　 　 ． 期末重难突破练 2．抛物线y＝x2﹣3x﹣2与x轴的交点个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 解：由题知， 因为二次函数的解析式为y＝﹣2（x﹣2）2+5， 所以抛物线的开口向下，且顶点坐标为（2，5）， 所以当x＝2时，二次函数取得最大值为5． 5 解：∵Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4×1×（﹣2）＝17＞0， ∴该抛物线与x轴的交点个数是2个； C 期末重难突破练 4．在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx+b和二次函数y＝k（x+b）2的图象大致可能为（　　） B． D． A． C． 解：由y＝k（x+b）2可知二次函数图象与x轴交于（﹣b，0）， 观察选项A和选项B的一次函数经过一、二、三象限，可得k＞0，b＞0， 若k＞0，b＞0，则二次函数y＝k（x+b）2开口方向向上，与x轴的交点在负半轴，故选项A和选项B错误； 观察选项C和选项D的一次函数经过一、二、象限，可得k＜0，b＞0， 若k＜0，b＞0，则二次函数y＝k（x+b）2开口方向向下，与x轴的交点在负半轴，故选项C错误，选项D正确． D 期末重难突破练 5．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的坐标如下表，下列说法错误的是（　　） x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 … A．对称轴是直线x＝﹣2 B．当x＝﹣4时，y＝﹣11 C．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小 D．抛物线开口向下 解：A、由表格中点（﹣3，﹣3），（﹣1，﹣3）， 可知对称轴是直线x＝﹣2，故不符合题意； B、根据对称轴是直线x＝﹣2，图象过点（1，﹣11）， 所以当x＝﹣5时，y＝﹣11，故符合题意； C、由表格数据可知，当x＞﹣2时， y随x的增大而减小，故不符合题意； D、根据对称轴是直线x＝﹣2，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小， 可知抛物线开口向下，故不符合题意； B 期末重难突破练 6．已知抛物线y＝﹣x2+4x+5与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，有一动点D在线段BC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，则DE的最大值为　 ． 解：当y＝0时，可得：﹣x2+4x+5＝0， 解得：x1＝5，x2＝﹣1， ∵点A在点B左侧， ∴点B的坐标是（5，0）， 当x＝0时，可得：y＝﹣x2+4x+5＝5， ∴点C的坐标是（0，5）， 设直线BC的解析式是y＝kx+b（k≠0）， 把点B的坐标（5，0），点C的坐标（0，5）代入y＝kx+b（k≠0）， 可得 解得 设点D的坐标是（x，﹣x+5）， 则点E的坐标是（x，﹣x2+4x+5）， ， ∵二次项系数为﹣1＜0， ∴DE有最大值，最大值是． ∴直线BC的解析式是y＝﹣x+5， 期末重难突破练 7．如图，要建一个矩形养殖场ABCD，养殖场的长边靠墙（墙长45米），并在与墙平行的一边开一道1米宽的门方便出入．已知围成养殖场的木板总长为75米，设养殖场的宽AD为x米，面积为y平方米． （1）求y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）若要建成的矩形养殖场的面积为690平方米，则养殖场的宽AD为多少米？ 解：（1）设养殖场的宽为x米，则养殖场的长为75+1﹣2x＝（76﹣2x）米， 养殖场的面积： y＝（76﹣2x）x＝﹣2x2+76x， 由题意可得： 解得：， ∴； （2）当y＝690时， 由690＝﹣2x2+76x 得：x2﹣38x+345＝0， 解得：x1＝23，x2＝15（舍去）， 答：养殖场的宽为23米． 期末重难突破练 8．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a，b是常数，且a≠0）与x轴交于A（3，0），B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称． （1）求线段AB的长；（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围； （3）如图2，点G为抛物线对称轴上的点，点E（m，y1），F（n，y2）在对称轴右侧抛物线上（m＞n）．若△GEF为等腰直角三角形，∠EGF＝90°，求m﹣n的值． （1）解：∵抛物线与x轴交于A（3，0），B两点， 且关于直线x＝1对称， ∴B（﹣1，0）， ∴AB＝3﹣（﹣1）＝4． 期末重难突破练 8．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a，b是常数，且a≠0）与x轴交于A（3，0），B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称． （1）求线段AB的长；（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围； （3）如图2，点G为抛物线对称轴上的点，点E（m，y1），F（n，y2）在对称轴右侧抛物线上（m＞n）．若△GEF为等腰直角三角形，∠EGF＝90°，求m﹣n的值． （2）将A（3，0），B（﹣1，0）分别代入y＝ax2+bx+3 得： 解得 ∴该抛物线的表达式为： y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4． ∴当x＝1时，y＝4；x＝3时，y＝0， ∴当0＜x＜3时，y的取值范围为0＜y≤4． 期末重难突破练 8． （3）如图2，点G为抛物线对称轴上的点，点E（m，y1），F（n，y2）在对称轴右侧抛物线上（m＞n）．若△GEF为等腰直角三角形，∠EGF＝90°，求m﹣n的值． （3）如图，过点E作EM⊥对称轴于点M，过F作FN⊥对称轴于点N， 则∠EMG＝∠FNG＝90°， ∴∠MGE+∠MEG＝90°， ∵△GEF为等腰直角三角形， ∠EGF＝90°， ∴GE＝GF，∠NGF+∠MGE＝90°， ∴∠NGF＝∠MEG． 在△EMG和△GNF中， ∵E（m，y1），F（n，y2）， ∴EM＝GN＝m﹣1， GM＝NF＝n﹣1， ∴MN＝GN+GM ＝m﹣1+n﹣1＝m+n﹣2． ∵点E（m，y1），F（n，y2）在对称轴右侧抛物线上， ∴MN＝m+n﹣2＞0， y1＝﹣m2+2m+3，y2＝﹣n2+2n+3， ∴△EMG≌△GNF（AAS）， ∴EM＝GN，GM＝NF． ∴ ， 即（m﹣n）（m+n﹣2）＝m+n﹣2， ∴m﹣n＝1． ∵E（m，y1），F（n，y2）， ∴EM＝GN＝m﹣1，GM＝NF＝n﹣1， 期末综合拓展练 9．对于二次函数y＝ax2+bx+c，规定函数y是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为（，1），（，1），连接MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（　　） A．﹣3＜n≤﹣1或 B．﹣3＜n＜﹣1或 C．n≤﹣1或 D．﹣3＜n＜﹣1或n≥1 解：如图1所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点． 所以当x＝2时，y＝1，即﹣4+8+n＝1，解得n＝﹣3． 期末综合拓展练 9．对于二次函数y＝ax2+bx+c，规定函数y是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为（，1），（，1），连接MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（　　） A．﹣3＜n≤﹣1或 B．﹣3＜n＜﹣1或 C．n≤﹣1或 D．﹣3＜n＜﹣1或n≥1 如图2所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点． ∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1， ∴﹣n＝1，解得：n＝﹣1． ∴当﹣3＜n≤﹣1时， 线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点． 期末综合拓展练 9．对于二次函数y＝ax2+bx+c，规定函数y是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为（，1），（，1），连接MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（　　） A．﹣3＜n≤﹣1或 B．﹣3＜n＜﹣1或 C．n≤﹣1或 D．﹣3＜n＜﹣1或n≥1 如图3所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点． ∵抛物线y＝﹣x2+4x+n经过点（0，1）， ∴n＝1． 99 期末综合拓展练 9．对于二次函数y＝ax2+bx+c，规定函数y是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为（，1），（，1），连接MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（　　） A．﹣3＜n≤﹣1或 B．﹣3＜n＜﹣1或 C．n≤﹣1或 D．﹣3＜n＜﹣1或n≥1 如图4所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点． ∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n经过点M（，1）， ∴2﹣n＝1，解得：n． ∴1＜n时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1≤n， A 期末综合拓展练 10．如图，抛物线过点（3，0），顶点为M． （1）求b的值及点M的坐标； （2）点Q（xQ，yQ）在C1上，若1＜xQ＜4，直接写出yQ的取值范围； （3）抛物线（t为常数，且），顶点为N．C1与C2交于A，B（A在B的左侧）两点． ①当t＝4时，求C1在点A，B之间（含边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）个数； ②连接AB，MN，且AB与MN交于点P，直接写出点P的纵坐标． 解：（1）∵抛物线C1：y＝x2﹣bx过点（3，0），顶点为M，将坐标代入得： 9﹣3b＝0，解得：b＝3， ∴抛物线C1为y＝x2﹣3x， ∴顶点M的坐标为； 期末综合拓展练 10．如图，抛物线过点（3，0），顶点为M． （1）求b的值及点M的坐标； （2）点Q（xQ，yQ）在C1上，若1＜xQ＜4，直接写出yQ的取值范围； （2）yQ的取值范围为；理由如下： ∵抛物线C1：y＝x2﹣3x的开口向上，顶点为， ∴当时，函数值y有最小值； 当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大． 当x＝1时，得：y＝1﹣2＝﹣2， 当x＝4时，得：y＝42﹣3×4＝4， ∴当1＜xQ＜4，yQ的取值范围为； 期末综合拓展练 10．如图，抛物线过点（3，0），顶点为M． （3）抛物线（t为常数，且），顶点为N．C1与C2交于A，B（A在B的左侧）两点． ①当t＝4时，求C1在点A，B之间（含边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）个数； （3）①当t＝4时，抛物线C2的解析式为 y＝﹣x2+（2×4﹣4）x﹣42+4×4＝﹣x2+4x， ∴ 解得 或 ∴A（0，0），， 把x＝1代入抛物线C1：y＝x2﹣3x， 得：y＝12﹣3×1＝﹣2， 把x＝2代入抛物线C1：y＝x2﹣3x，得：y＝22﹣3×2＝﹣2， 把x＝3代入抛物线C1： y＝x2﹣3x，得： y＝32﹣3×3＝0， ∴C1在点A，B之间（含边界）的整点有： （0，0），（1，﹣2）， （2，﹣2），（3，0）， 共有4个； 期末综合拓展练 10．如图，抛物线过点（3，0），顶点为M． （3）抛物线（t为常数，且），顶点为N．C1与C2交于A，B（A在B的左侧）两点． ②连接AB，MN，且AB与MN交于点P，直接写出点P的纵坐标． ②点P为线段AB与线段MN的中点，其纵坐标为．理由如下： 设抛物线C1与C2的交点A的坐标为（xA，yA），B的坐标为（xB，yB）， ∴ 整理得：2x2+（1﹣2t）x+t2﹣4t， ∴，， ∵，， ∴ ， 期末综合拓展练 10．如图，抛物线过点（3，0），顶点为M． （3）抛物线（t为常数，且），顶点为N．C1与C2交于A，B（A在B的左侧）两点． ②连接AB，MN，且AB与MN交于点P，直接写出点P的纵坐标． ∴线段AB的中点的横坐标为 ， 纵坐标为，即为． ∵抛物线C2： y＝﹣x2+（2t﹣4）x﹣t2+4t ＝﹣[x﹣（t﹣2）]2+4， ∴顶点N的坐标为（t﹣2，4）， ∵抛物线C1：y＝x2﹣3x的顶点为， ∴线段MN的中点的横坐标为 ， 纵坐标为，即为． ∴线段AB与线段MN的中点重合， ∵AB与MN交于点P， ∴点P为线段AB与线段MN的中点， 其纵坐标为． 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 $