精品解析：河南省百师联盟2025-2026学年高二上学期12月联考数学试卷（A卷）

2025-2026学年高二12月联考数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列的通项公式为，则下列各数不是数列的项的是（　　） A. 2 B. 4 C. 8 D. 80 2. 已知点，，，若直线与互相垂直，则实数n的值为（ ） A. 8 B. 10 C. 6 D. 4 3. 在等差数列中，为其前项和．若，则（　　） A. 205 B. 410 C. 230 D. 460 4. 已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上，且（O为坐标原点）．若，则焦点F的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，．记以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，若直线上存在点C，使得，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面可以表示为集合．设，则,，所以平面的方程为．若点在方程为的平面内，点在平面外，则直线与平面所成角的正弦值为（　　） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为6，离心率．过点且倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列是等差数列，其公差为，前项和为，则下列说法正确的有（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则当时最小 D. 若，则 10. 已知公比为的正项等比数列的前3项和为，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 数列是递减数列 D. 11. 已知菱形的边长为2，，沿对角线将折起，得到如图所示的三棱锥．设，，，E是棱上靠近B的三等分点，F是的中点，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 棱的长为 D. 异面直线与所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在等比数列中，，则___________． 13. 已知点在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的离心率为______． 14. 设数列的前项和为，且，则的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的公差，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求证：． 16. 已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数． （1）设动点的轨迹是曲线，求曲线的方程并指出曲线是什么曲线； （2）已知点为曲线上任意一点，是圆的直径，求的取值范围． 17. 已知数列满足．设，数列的前项和分别为． （1）证明：为等比数列，并求数列的通项公式； （2）求和． 18. 已知圆的半径为2，圆心在直线上，且圆被轴截得的弦长为4，直线与圆交于两点． （1）求圆的标准方程； （2）弦长是否有最大值？何时弦长最小？当弦长最小时，求直线的方程及弦长； （3）直线过点，且，直线与圆交于两点，求四边形面积的最大值． 19. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，，．平面平面，M为的中点，点E为线段上的动点（点E不与点P，D重合）． （1）求证：平面． （2）当时，求证：平面． （3）是否存在点E，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二12月联考数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列的通项公式为，则下列各数不是数列的项的是（　　） A. 2 B. 4 C. 8 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列的概念和通项公式进行验证即可. 【详解】因为， 所以． 而，， 所以4不是数列的项. 故选：B． 2. 已知点，，，若直线与互相垂直，则实数n的值为（ ） A. 8 B. 10 C. 6 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线垂直得出斜率关系结合两点的斜率公式计算求解参数即可. 【详解】因为点，，所以直线的斜率． 因为，所以直线的斜率， 即，解得． 故选：C． 3. 在等差数列中，为其前项和．若，则（　　） A. 205 B. 410 C. 230 D. 460 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的下标和性质得出，再利用等差数列的前项和公式求出. 【详解】因为，所以， 由等差数列的性质得， 所以． 故选：A． 4. 已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上，且（O为坐标原点）．若，则焦点F的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点M作轴，利用直角三角形的性质可求出以，从而可求出，进而可求出焦点F 的坐标. 【详解】由抛物线的对称性，不妨设点M在x轴上方． 设抛物线C的准线l与x轴的交点为H，则． 过点M作轴于点N，作准线l于点Q，则四边形是矩形，，所以．在中，因为，，所以，所以． 因为焦点F的坐标为，所以焦点F的坐标为． 故选C． 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，．记以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据椭圆的定义以及勾股定理分别表示出，再由离心率计算公式可求结果. 【详解】设，则，由椭圆的定义，得， 因为以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为，所以， 在中，，即， 所以离心率， 故选：A． 6. 已知点，，若直线上存在点C，使得，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得点C在以为直径的圆上，记为圆D，求出圆D的圆心和半径，分析可得直线l与圆D有公共点，根据直线与圆的位置关系，分析计算，即可得答案. 【详解】因为，所以点C在以为直径的圆上，记为圆D． 因为，，所以圆心，圆D的半径， 因为点C在直线l上，所以直线l与圆D有公共点， 所以圆心D到直线l的距离，即， 化简得，解得，即实数k的取值范围是． 故选：B 7. 在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面可以表示为集合．设，则,，所以平面的方程为．若点在方程为的平面内，点在平面外，则直线与平面所成角的正弦值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得平面方程，然后得出法向量，最后用空间向量线面角公式计算. 【详解】因为点在平面内，所以，解得， 所以平面,由题意得平面的一个法向量为． 因为，所以， 设直线与平面所成的角为， 则， 故选：C 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为6，离心率．过点且倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知条件求出双曲线方程，然后求出直线的方程，联立直线方程与双曲线方程，求得，，再根据弦长公式计算即可求解. 【详解】由题意得，， 所以，，所以，，， 所以双曲线的方程为， 因为，直线过点且倾斜角为，则直线的斜率， 所以直线l的方程为， 与双曲线的方程联立，消去，整理得， 解得，， 所以． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列是等差数列，其公差为，前项和为，则下列说法正确的有（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则当时最小 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据等差数列基本量计算即可；对于B，由等差数列的性质可得即可；对于C，由等差数列的单调性，时，，当时，即可判断；对于D，由等差数列前项和性质，为等差数列即可求解． 【详解】因为，所以，解得，故A错误． 因为，所以，所以．故B正确． 因为，所以当时，，当时，，所以当时最小．故C正确． 由等差数列的性质，得是公差为的等差数列， 即是等差数列． 因为，所以成等差数列， 即，解得．故D正确． 故选：BCD． 10. 已知公比为的正项等比数列的前3项和为，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 数列是递减数列 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AB，根据题意列出方程组求解即可；对于CD，由求出的等比数列通项公式即可判断． 【详解】对于AB，由题意得且，， 由得，由得， 所以，化简得， 解得或（舍），将2代入，解得，故AB正确； 对于C，由AB选项可知，，所以数列是递增数列，故C错误； 对于D，法一：由等比数列的性质，得，因为，所以； 法二：因为，所以，所以； 故D正确． 故选：ABD． 11. 已知菱形的边长为2，，沿对角线将折起，得到如图所示的三棱锥．设，，，E是棱上靠近B的三等分点，F是的中点，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 棱的长为 D. 异面直线与所成角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题可得，，根据空间向量线性运算法则可表示出，即可判断A；由数量积的定义及运算律，化简后可判断B；先求出，再由余弦定理可求得，即可判断C；根据异面直线所成角的向量求法可求得异面直线与所成角的余弦值，即可判断D. 【详解】选项A：因为E是棱上靠近B的三等分点，F是的中点， 所以，．因为，所以． 因为，，，所以 ，故A正确； 选项B：因为菱形的边长为2，， 所以，． 因为，所以 ， 解得，故B正确； 选项C：因为，所以． 在三棱锥的侧面中， 由余弦定理得， 所以，故C错误； 选项D：因为， 所以 ， 可得异面直线与所成角的余弦值为，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在等比数列中，，则___________． 【答案】729 【解析】 【分析】先根据，求出等比数列的公比，再由求出. 【详解】设等比数列的公比为． 因为，所以，所以． 所以 故答案为： 13. 已知点在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线过点列式得出，进而结合得出离心率即可. 【详解】由题意，双曲线C的渐近线方程为， 所以点在渐近线上，即， 所以，所以离心率． 故答案为：. 14. 设数列的前项和为，且，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出数列是常数列，进而求出，再利用等差数列的前项和公式求出，最后利用基本不等式求最值. 【详解】因为，所以，所以数列是常数列， 因为，所以，所以，故数列为等差数列， 因为， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的公差，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：由（1）得，因为， 所以. 则 因为，所以，所以. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式，结合等比数列的性质进行求解即可； （2）运用裂项相消法进行计算证明即可. 【小问1详解】 由题意，得且， 解得 所以. 【小问2详解】 略 16. 已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数． （1）设动点的轨迹是曲线，求曲线的方程并指出曲线是什么曲线； （2）已知点为曲线上任意一点，是圆的直径，求的取值范围． 【答案】（1）曲线的方程为，曲线是椭圆. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用条件，建立方程，化简，即可求曲线的轨迹方程； （2）利用向量运算转化，再利用坐标配方法求最值． 【小问1详解】 因为， 所以由题意得. 两边平方并化简，得，所以. 所以曲线的方程为，曲线是椭圆. 【小问2详解】 由圆的方程知，圆的圆心为，半径为2. 设，则，所以. 因为是圆的直径，所以， 所以 . 因为， 所以. 因为，所以，即的取值范围是. 17. 已知数列满足．设，数列的前项和分别为． （1）证明：为等比数列，并求数列的通项公式； （2）求和． 【答案】（1） 证明：由得， 因为，所以，所以. 等式两边取倒数，整理得，所以，即. 因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以，即，所以. （2）， 【解析】 【分析】（1）根据题意得，等式两边取倒数，得，再通过配凑即可求证； （2）分组求和法求，再利用错位相减法求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知. 所以 ， 两式作差，得. 所以. 18. 已知圆的半径为2，圆心在直线上，且圆被轴截得的弦长为4，直线与圆交于两点． （1）求圆的标准方程； （2）弦长是否有最大值？何时弦长最小？当弦长最小时，求直线的方程及弦长； （3）直线过点，且，直线与圆交于两点，求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2）没有最大值；有最小值，直线轴时，弦长最短，的方程为，最短弦长为 （3）7 【解析】 【分析】（1）由题意推导出圆心C在轴上，再根据圆心在直线上即可求出圆C的标准方程； （2）结合图像分析出弦最大、最小时，直线AB和圆C的位置关系，再据此即可求解； （3）分斜率存在和不存在两种情况求解四边形面积，当斜率存在时，根据直线与圆相交弦的弦长公式即可求出AB、EF的表达式，再结合换元法和基本不等式求解该表达式的最大值即可，最后再与斜率不存在的情况进行比较． 【小问1详解】 因为圆的半径，且被轴截得的弦长为4，所以圆心在轴上， 又因为圆心在直线上，令，解得，所以圆心， 所以圆的标准方程为． 【小问2详解】 由直线的方程知，若直线的斜率存在，则； 直线恒过定点，且此定点在圆内，如图所示， 当弦为圆的直径时，弦最长，即的值最大， 此时直线为轴，斜率，又直线的斜率，所以弦长没有最大值； 当直线轴时，弦长最短，此时直线的方程为， 此时圆心到直线的距离为1， 所以最短弦长． 【小问3详解】 由（2）知，直线恒过点，如图所示， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则直线的方程为， 由（2）知，， 弦是圆的直径，所以， 所以四边形的面积； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 则直线的方程为， 因为圆心到直线的距离， 所以， 同理得， 所以四边形的面积 ， 令，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 由，解得，即； 因为，所以四边形面积的最大值为7． 19. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，，．平面平面，M为的中点，点E为线段上的动点（点E不与点P，D重合）． （1）求证：平面． （2）当时，求证：平面． （3）是否存在点E，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明： 如图，连接交于点Q，连接， 因为四边形是矩形，所以Q为的中点． 又因为M为的中点，所以在中，， 因为平面，平面，所以平面. （2）证明： 因为，所以． 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为，平面，所以，． 因为，所以，，两两垂直， 以点B为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，， 因为，所以． 因为，， 所以，，即，， 又因为，平面，平面， 所以平面. （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据题意，连接，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）根据题意，以点B为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可证明； （3）由空间向量的坐标运算以及二面角的公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 设，， 则． 设平面的法向量为，则， 即． 令，则，，所以． 取平面的法向量， 则， 化简得，解得或． 所以或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $