27.1 图形的相似 导学案2025-2026学年人教版数学九年级下册

该初中数学导学案围绕图形的相似展开，核心知识点包括相似图形、相似多边形的概念与性质、相似比及比例线段。通过复习全等图形概念与性质，引导观察图形相同点和不同点，建立全等与相似的联系，搭建从已知到新知的学习支架。 导学案设计多个探究问题与分层练习，结合观察、思考等数学活动，培养学生几何直观与空间观念。通过问题链引导推理判断，发展推理意识，典例与中考题链接生活情境，提升应用意识，助力自主探究与知识内化。

九年级下册27.1 图形的相似 导学案 一、学习目标 1. 理解并掌握两个相似图形的概念，并会判断相似图形； 2.掌握相似多边形的性质，会辨别两个多边形是否相似； 3.通过观察、思考、实践、交流等数学活动，让学生体会生活中的相似，进一步发展学生的几何直观； 4.通过观察、欣赏、创作相似图形，进一步体验生活中处处有数学，同时感受数学之美. 二、核心知识 ★知识点1:相似图形的概念: 数学上，我们把具有 的图形称为相似形. ★知识点 2:相似多边形的概念: 如果两个 相同的多边形 相等、 的两个多边形叫做相似多边形. ★知识点3:相似多边形的性质: 相似多边形的 、对应边 . ★知识点4:相似比的概念: 相似多边形 叫做相似比. ★知识点5:比例线段的概念: 对于四条线段 a，b，c，d，如果其中 相等,如 (即 )，我们就称四条线段是成比例线段，简称比例线段. 三、复习巩固 1.简述全等图形概念？ 2.简述全等图形的性质？ 四、新知探究 1.观察下面图形，你发现它们有什么相同点和不同点？ 【提问 1】根据全等图形和相似图形的概念，你发现它们之间有什么关系吗? 【提问 2】如果两个图形相似，这两个图形有什么关系呢? 【提问 3】如果图形A与图形B相似，图形B与图形C相似，那么图形A与图形c有什么关系呢? 巩固练习 1. 下列说法中，正确的是( ) A.所有的等腰三角形都相似 B.所有的矩形都相似 C.所有的等腰直角三角形都相似 D.所有的直角三角形都相似 2. 如图，将图形用放大镜放大，应该属于( ) A.平移变换 B.相似变换 C.旋转变换 D.对称变换 3.下列结论中，错误的有：( ) ①所有的菱形都相似；②放大镜下的图形与原图形不一定相似；③等边三角形都相似；④有一个角为110度的两个等腰三角形相似；⑤所有的矩形不一定相似. A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个 新知探究 下图所示两组图形分别是相似图形，它们的对应角有什么关系？对应边的比有什么关系？ 问题4：根据相似多边形的定义，你知道如何判断相似多边形吗？ 问题5：若两个相似多边形的相似比为1时，则这两个多边形有什么关系？ 问题6：已知四条线段(a≠0)，如下图，这四条线段长度成比例吗？ 回答以下问题： · 任意两个等边三角形相似吗？ · 任意两个正方形相似吗？ · 任意两个正五边形相似吗 ？ · 任意两个正n边形相似吗 ？ 你发现了什么？ 典例解析 例 如图 ，四边形 ABCD 和EFGH 相似，求角 α ，β 的大小和EH 的长度x. 巩固练习 1.如图所示的两个四边形相似，则α的度数是（ ） A.60° B.75° C.87° D.120° 2.一个多边形的边长为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为18，则这个多边形的最短边长为( ) A.6 B. 8 C.12 D.10 3.一个四边形的边长分别是4，5，6，7，另一个与它形状相同的四边形最短边长为8，则另一个四边形的周长是 . 4.如图，在长为8cm，宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ） A. 2 cm2 B. 4 cm2 C.8 cm2 D.16 cm2 5. 如图矩形草坪长20m，宽10m，沿草坪四周有1m宽的环形小路，小路内外边缘所构成的矩形EFGH和矩形ABCD是否相似？ 6.已知矩形ABCD中，AD=3，AB=1.若EF把矩形分成两个小的矩形，如图所示，其中矩形ABEF与矩形ABCD相似，求AF:AD的值. 课堂检测 1.两个相似多边形一组对应边分别为3cm，4.5cm，那么它们的相似比为( ) A. B. C. D. 2.在矩形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，如果矩形ABCD~矩形EFCB，那么它们的相似比为( ) A. B. C.2 D. 3.相似多边形对应边之比叫做___________. 4.两个相似多边形的最长边分别为10cm和20cm，其中一个多边形的最短边为5cm，则另一个多边形的最短边为 . 5.梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别为AB，CD上一点，且梯形AEFD∽梯形EBCF，若AD=4，BC=9。试求AE：EB的值。 6.如图，把一个矩形ABCD划分成三个全等的小矩形. (1)若原矩形ABCD的长AB=6，宽BC=4.问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由. (2)若原矩形的长AB=a，宽BC=b，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长a与宽b应满足的关系式. 【链接中考】 1.制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是( ) A.360元 B.720元 C.1080元 D.2160元 2.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（　） A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm 参考答案 二、核心知识 ★知识点1:相似图形的概念: 数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形. ★知识点 2:相似多边形的概念: 如果两个 边数 相同的多边形 对应角 相等、 对应边成比例 的两个多边形叫做相似多边形. ★知识点3:相似多边形的性质: 相似多边形的 对应角相等、对应边 成比例 . ★知识点4:相似比的概念: 相似多边形 对应边的比 叫做相似比. ★知识点5:比例线段的概念: 对于四条线段 a，b，c，d，如果其中 两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比 相等,如 = (即 ad=bc )，我们就称四条线段是成比例线段，简称比例线段. 三、复习巩固 1.简述全等图形概念？ 能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 2.简述全等图形的性质？ 如果两个图形全等，则它们的形状、大小相同. 四、新知探究 1.观察下面图形，你发现它们有什么相同点和不同点？ 相同点： 形状相同 . 不同点： 大小不一定相同 . 【提问 1】根据全等图形和相似图形的概念，你发现它们之间有什么关系吗? 全等图形是相似图形的一种特殊形式. 【提问 2】如果两个图形相似，这两个图形有什么关系呢? 两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到. 【提问 3】如果图形A与图形B相似，图形B与图形C相似，那么图形A与图形c有什么关系呢? 相似图形具有传递性:如果图形A与图形B相似，图形B与图形C相似， 那么图形A与图形C相似. 巩固练习 1. 下列说法中，正确的是( C ) A.所有的等腰三角形都相似 B.所有的矩形都相似 C.所有的等腰直角三角形都相似 D.所有的直角三角形都相似 【详解】A.所有的等腰三角形，边的比不一定相等，对应角不一定对应相等.故错误；B.所有的矩形，对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等.故错误；C.所有的等腰直角三角形，边的比一定相等，对应角对应相等.故正确；E. 一个等腰直角三角形与一个一般的直角三角形不相似，故错误. 2. 如图，将图形用放大镜放大，应该属于( B ) A.平移变换 B.相似变换 C.旋转变换 D.对称变换 3.下列结论中，错误的有：( B ) ①所有的菱形都相似；②放大镜下的图形与原图形不一定相似；③等边三角形都相似；④有一个角为110度的两个等腰三角形相似；⑤所有的矩形不一定相似. A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个 【详解】相似多边形对应边成比例，对应角相等，萎形之间的对应角不一定相等.故①错误；放大镜下的图形只是大小发生了变化，形状不变，所以一定相似.②错误；等边三角形的角都是60°，一定相似.③正确；钝角只能是等腰三角形的顶角，则底角只能是35°，所以两个等腰三角形相似.④正确；矩形之间的对应角相等，但是对应边不一定成比例.故⑤正确，有2个错误. 新知探究 下图所示两组图形分别是相似图形，它们的对应角有什么关系？对应边的比有什么关系？ 对应角相等，对应边的比相等. 问题4：根据相似多边形的定义，你知道如何判断相似多边形吗？ 1) 边数相同； 2) 对应角相等； 3) 对应边成比例. 问题5：若两个相似多边形的相似比为1时，则这两个多边形有什么关系？ 这两个多边形是全等多边形. 问题6：已知四条线段(a≠0)，如下图，这四条线段长度成比例吗？ ∵ = = ∴四条线段长度成比例. 对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等，如= (即 ad=bc)，我们就说这四条线段成比例. 回答以下问题： · 任意两个等边三角形相似吗？相似 · 任意两个正方形相似吗？相似 · 任意两个正五边形相似吗 ？相似 · 任意两个正n边形相似吗 ？相似 你发现了什么？ 任意两个边数相等的正多边形都相似. 典例解析 例 如图 ，四边形 ABCD 和EFGH 相似，求角 α ，β 的大小和EH 的长度x. 解：因为四边形 ABCD 和 EFGH 相似， 所以它们的对应角相等， 由此可得α =∠C=83°，∠A=∠E=118°. 在四边形 ABCD 中， β =360°-(78°+83°+118°)=81°， 因为四边形 ABCD 和 EFGH 相似，所以它们的对应边成比例， 由此可得 = ，解得x=28. 巩固练习 1.如图所示的两个四边形相似，则α的度数是（ C） A.60° B.75° C.87° D.120° 2.一个多边形的边长为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为18，则这个多边形的最短边长为( A ) A.6 B. 8 C.12 D.10 3.一个四边形的边长分别是4，5，6，7，另一个与它形状相同的四边形最短边长为8，则另一个四边形的周长是 44 . 4.如图，在长为8cm，宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ C ） A. 2 cm2 B. 4 cm2 C.8 cm2 D.16 cm2 【解析】设留下矩形的宽为xcm， ∵留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似， ∴ = ，解得x=2， 则留下矩形的面积为2×4=8(cm2).故选C 5. 如图矩形草坪长20m，宽10m，沿草坪四周有1m宽的环形小路，小路内外边缘所构成的矩形EFGH和矩形ABCD是否相似？ 解：由题意得，EF=10，EH=20，AB=12，AD=22 ∵≠ ∴小路内外边缘所构成的矩形EFGH和矩形ABCD不相似. 6.已知矩形ABCD中，AD=3，AB=1.若EF把矩形分成两个小的矩形，如图所示，其中矩形ABEF与矩形ABCD相似，求AF:AD的值. 解：设AF=x， ∵矩形ABEF与矩形ABCD相似，且AD=3，AB=1， ∴对应边成比例，即= ，即 = ，解得x= ， ∴ AF:AD = : 3=1 : 9 课堂检测 1.两个相似多边形一组对应边分别为3cm，4.5cm，那么它们的相似比为( A ) A. B. C. D. 2.在矩形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，如果矩形ABCD~矩形EFCB，那么它们的相似比为( A ) A. B. C.2 D. 3.相似多边形对应边之比叫做 相似比 4.两个相似多边形的最长边分别为10cm和20cm，其中一个多边形的最短边为5cm，则另一个多边形的最短边为 10cm或2.5cm. 5.梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别为AB，CD上一点，且梯形AEFD∽梯形EBCF，若AD=4，BC=9。试求AE：EB的值。 解：∵AD//BC ∴ 𝐴𝐷𝐸𝐹 = 𝐸𝐹𝐵𝐶 ∵ AD=4，BC=9. ∴ EF=6 ∴ 𝐴𝐸𝐸𝐵 = 𝐴𝐷𝐸𝐹 = 46 = 23 6.如图，把一个矩形ABCD划分成三个全等的小矩形. (1)若原矩形ABCD的长AB=6，宽BC=4.问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由. 解：不相似。理由如下： ∵原矩形ABCD的长AB=6，宽BC=4， ∴划分后小矩形的长为AD=4，宽为AE=6÷3=2. 又∵ = ≠ = ， 即原矩形与每个小矩形的边不成比例， ∴每个小矩形与原矩形不相似. (2)若原矩形的长AB=a，宽BC=b，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长a与宽b应满足的关系式. ∵原矩形的长AB=a，宽BC=b， ∴划分后小矩形的长为AD=b，宽为AE= ， 又∵每个小矩形与原矩形相似， ∴ = ， ∴ = ， 即a2=3b2. 【链接中考】 1.制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是( C ) A.360元 B.720元 C.1080元 D.2160元 2.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（C） A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm 学科网（北京）股份有限公司 $