精品解析：2025-2026学年北师大版数学八年级上册期末考试押题卷

北师大版2025—2026学年八年级上册数学期末考试押题卷 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 下列实数中，无理数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个0）等形式． 无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项． 【详解】解：A、是分数，为有理数，故本选项不符合题意； B、，是整数，为有理数，故本选项不符合题意； C、是分数，为有理数，故本选项不符合题意； D、无理数，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 如图，在直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中两个正方形的面积分别是81和225，则字母B所代表的正方形的边长是（　　） A. 12 B. 13 C. 144 D. 306 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理和正方形面积公式，得字母B所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差． 【详解】解：由勾股定理得：字母B所代表的正方形的面积． 所以字母B所代表的正方形的边长是． 故选：A． 3. 成都市近天日最低气温的扇形统计图如图所示，这天日最低气温的平均数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查扇形图，求加权平均数，从扇形图中获取信息，利用加权平均数的计算公式计算即可． 【详解】解：； 故选C． 4. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算，根据运算法则逐项计算，即可得出答案． 【详解】解：A．，计算错误，不合题意； B．，计算错误，不合题意； C．，计算错误，不合题意； D．，计算正确，符合题意； 故选D． 5. 已知一次函数的图象过点，则下列结论正确的是（ ） A. 随的增大而增大 B. C. 直线过点 D. 直线与坐标轴围成的三角形面积是3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象与性质，一次函数与几何图形，熟练掌握一次函数的性质是解答的关键．先将代入中求得k值得到函数解析式，再根据一次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：先将代入中，得，故选项B错误，不符合题意； ∴， ∴y随x的增大而减小，故选项A错误，不符合题意； 当时，，即直线过点，故选项C正确，符合题意； 令，则，令，则， ∴函数与坐标轴交于点， ∴函数与坐标轴围成的三角形面积是，故选项D错误，不符合题意， 故选：C． 6. 下列说法错误的是（ ） A. 4的算术平方根是2 B. 2的平方根是 C. 的整数部分是2 D. 的小数部分是 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算和平方根，解题关键是熟练掌握如何估算无理数大小和平方根的定义．A．根据算术平方根的定义进行解答即可；B．根据平方根的定义进行解答即可；C．估算的大小，求出整数部分，进行判断即可；D．估算的大小，求出其整数部分和小数部分，进行判断即可． 【详解】解：A．∵4的算术平方根是2，∴此说法正确，故此选项不符合题意； B．∵2的平方根是，∴此说法错误，故此选项符合题意； C．∵，∴的整数部分是2，此说法正确，故此选项不符合题意； D．∵，∴的整数部分是5，小数部分是，此说法正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 7. 下列命题是假命题的是（ ） A. 全等三角形的面积相等 B. 如果两个角相等，那么它们是对顶角 C. 三角形的内角和等于 D. 同位角相等，两直线平行 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，根据全等三角形的性质，三角形内角和定理，对顶角的定义及平行线的判定即可判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、全等三角形的面积相等，是真命题，故选项不符合题意； B、两个角相等时，这两个不一定是对顶角，是假命题，故选项符合题意； C、三角形的内角和等于，是真命题，故选项不符合题意； D、同位角相等，两直线平行，是真命题，故选项不符合题意； 故选：B． 8. 的三边为a，b，c，不能判断为直角三角形的是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，涉及勾股定理的逆定理、三角形的内角和等知识，根据所给的条件，结合勾股定理逆定理、三角形内角和定理逐项判断即可作答． 【详解】解：A．∵ ∴设，，， ∴ ∴是直角三角形，故A选项不符合题意； B．∵， ∴可设，，， ∴， ∴是直角三角形，故B选项不符合题意； C．∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴是直角三角形，故C选项不符合题意； D．∵， ∴最大角， ∴不是直角三角形，故D选项符合题意， 故选：D． 9. 《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出元，多元；每人出元，少元，问有多少人？该物品价值多少？若设有个人，该物品价值元，则列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程组． 设有个人，该物品价值元，根据每人出元，多元；每人出元，少元，列出方程组即可． 【详解】解：设有个人，该物品价值元， 根据题意可得：； 故选：C 10. 如图，已知线段端点的坐标分别为，，若一次函数的图象与线段有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象与几何图形的综合，掌握一次函数图象的性质，平移的性质是解题的关键． 一次函数的图象与的图象平行，当一次函数的图象经过点时，有最小值；当一次函数的图象经过点时，有最大值；由此即可求解． 【详解】解：将代入中， 解得； 将代入中， 解得； ∴若一次函数的图象与线段有交点，则的取值范围为， 故选：B． 二、填空题（6小题，每题3分，共18分） 11. 若实数x、y满足，则x+y的值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可． 详解】根据题意得：x−3＝0，y+2=0， 解得：x＝3，y＝−2， 则x+y=3-2=1． 故答案是： 1． 【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 12. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，则这个三角形第三边的长为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，掌握直角三角形两边直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键．根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由勾股定理得：第三边的长为， 故答案为：5． 13. 一个正比例函数的图象过点，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查利用待定系数法求正比例函数的解析式，设出解析式形式，代点即可求出关系式，再把代入即可求解． 【详解】解：设正比例函数的解析式为：， 将点代入解析式可得：， 解得：， 正比例函数的解析式为：， 把代入得： ， 解得：． 故答案为：2． 14. 估计大小关系： _____（填或）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用求差法比较实数的大小．任意两个实数和比较大小，可以求这两个实数的差，当的差大于时，；当的差小于时，；当的差等于时，． 【详解】解： ， ． 故答案为： ． 15. 如图，在中，，，，以斜边为底作等腰直角三角形，则该等腰直角三角形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理；勾股定理求得，进而勾股定理求得等腰三角形的直角边长，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴ ∵以斜边为底作等腰直角三角形，如图所示， ∴ ∴， 则， ∴该等腰直角三角形的面积为， 故答案为：． 16. 有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为_______尺． 【答案】 【解析】 【分析】找到题中的直角三角形，设水深为尺，根据勾股定理解答．本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 【详解】解：设水深为尺，则芦苇长为（）尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 芦苇的长度=（尺）， 答：芦苇长尺． 故答案为： 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17. （1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，解二元一次方程组： （1）先进行乘方，开方，去绝对值运算，再进行加减运算即可； （2）加减消元法解方程组即可． 【详解】解：（1）原式； （2） ，得：，解得：； 把代入，得：，解得：； ∴方程组的解为． 18. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，为格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）． （1）请作出关于轴对称的； （2）判断的形状并说明理由． 【答案】（1）图见解析 （2）是直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，勾股定理及其逆定理： （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）勾股定理求出，勾股定理逆定理判断三角形的形状即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 是直角三角形，理由如下： 由勾股定理，得：， ∴， ∴是直角三角形． 19. 中考体育测试前，某区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽取了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图：请你根据图中的信息，解答下列问题： （1）写出扇形图中　　，并补全条形统计图； （2）该区体育中考选报引体向上的男生共有1200人，如果体育中考引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？ 【答案】（1），图见解析； （2）该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的大约有人． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据各组百分比的和为即可求出，再求出做个的学生数，补全条形统计图即可； （2）用总人数乘以能拿满分的学生占的百分比，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得：， 抽查的学生总数为：（人）， 做个的学生数为：（人）， 补全条形统计图如下： 故答案为：； 【小问2详解】 解：该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有： （人）， ∴该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的大约有人． 20. 如图，在中，，、分别是△的中线和高． （1）求证：； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形的外角，勾股定理以及三角形的中线： （1）根据三角形的外角的性质，得到，进而推出，即可得证； （2）勾股定理求出的长，中线求出的长，三角形的面积公式求出的面积即可． 【小问1详解】 证明：∵是的一个外角， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵是△的高， ∴， 由勾股定理，得：， ∴， ∵是△的中线， ∴， ∴的面积． 21. 如图，已知，到数轴的距离为1，数轴上点所表示的数，为不超过的最大整数． （1）数轴上点所表示的数为 ； （2）求代数式的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，进而得到的长，然后根据两点间的距离求出点所表示的数即可； （2）根据题意，求出，再将，的值代入代数式求值即可． 【小问1详解】 解：由勾股定理可得：， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵为不超过最大整数， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，无理数大小估算，不等式的性质，代数式求值，二次根式的混合运算等知识点，熟练掌握无理数大小估算的方法是解题的关键． 22. 已知：如图，在中，，，的周长为30． （1）证明：是直角三角形； （2）过点作于点，点为边上的一点，且，过点作交的角平分线于点． ①证明：； ②求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】此题重点考查勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定与性质等知识，正确地求出的长，并且推导出是解题的关键． （1）由，，的周长为30，求得，则，所以是直角三角形； （2）①由，得，由于点，得，则，由，得，所以，而，则，所以； ②由，，且，得，则，由，，证明，则，所以． 【小问1详解】 证明：，，的周长为30， ， ，， ， 是直角三角形． 【小问2详解】 ①证明：， ， 于点， ， ， ， ， ， 是的平分线， ， ， ． ②解：，，且， ， ， ，， ， ， ， ， ， 线段的长为． 23. 目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈．某校欲购置规格分别为和的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买瓶甲和瓶乙免洗手消毒液需要元，购买瓶甲和瓶乙免洗手消毒液需要元． （1）求甲、乙两种免洗手消毒液的单价． （2）为节约成本，该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将的免洗手消毒液全部装入最大容量分别为和的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗，请问如何分装能使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量． 【答案】（1）甲：元瓶，乙元瓶；（2）的瓶，的瓶使损耗最小． 【解析】 【分析】（1）设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元，根据“购买2瓶甲和1瓶乙免洗手消毒液需要55元，购买3瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要145元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设分装300ml免洗手消毒液m瓶，500ml的免洗手消毒液n瓶，根据需将9.6L的免洗手消毒液进行分装且分装时平均每瓶需损耗20ml，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数即可得出各分装方案，选择（m+n）最小的方案即可得出结论． 【详解】解：（1）设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元， 依题意，得： 解得， 答：甲种免洗手消毒液的单价为15元，乙种免洗手消毒液的单价为25元． （2）设分装300ml的免洗手消毒液m瓶，500ml的免洗手消毒液n瓶， 依题意，得：300m+500n+20（m+n）=9600， ， ∵m，n均为正整数， ∴和， ∵要使分装时总损耗20（m+n）最小， ∴． 即分装时需300ml的空瓶4瓶，500ml的空瓶16瓶，才能使总损耗最小． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与一次函数的图象交于点，与y轴交于点B． （1）求点A的坐标及b的值； （2）点P为直线上一动点，连接，若的面积为4，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，取位于第二象限的P点，以点P为直角顶点，在左侧作等腰直角三角形，连接．点Q是直线上一点，连接，若，求满足条件的点Q的坐标． 【答案】（1）； （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题是一次函数与图形综合问题，考查了求一次函数，一次函数的交点，全等三角形的判定和性质，作出对应的辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）将代入，即可解答；再将点A的坐标代入，即可得到的值； （2）分类讨论，分点P在A点下方和A点上方，设，根据的面积为4，列出方程，即可解答； （3）作出图形，过点作轴的平行线，分别过点做垂线段，交于点，证明，求得点的坐标，再利用勾股定理求得的长度，在轴上点B下方找一点，使得，过点做轴的垂线段，交的延长线于点，构造全等三角形，求得点的坐标，再求得直线的直线解析式，点为直线和直线的交点，即可解答． 【小问1详解】 解：将代入， 可得，解得， ； 把代入， 可得，解得； 【小问2详解】 解：把代入，可得， ， 设， 当点P在A点下方时，如图，过点做轴的平行线，交的图象于点， 可得点的纵坐标为，把代入，可解得， ， ， 根据，可得方程， 解得， ∴ ； 当点P在A点上方时，如图，设的图象交轴于点， 将代入，可得，， ， 根据，可得方程， 解得， ∴ ， 综上所述，点P的坐标为或 【小问3详解】 解：如图，作出图形，过点作轴的平行线，分别过点做垂线段，交于点， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 轴， 当时，可得，解得， ， 根据勾股定理可得两点之间的距离， ， 在轴上点B下方找一点，使得，过点做轴的垂线段，交的延长线于点， ，， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入， 可得， 解得， 直线的解析式为， 是直线与直线的交点， 可联立方程，解得， ． 25. 在和中，点D在边上，，． （1）若． ⅰ）如图1，当时，连接，证明：； ⅱ）如图2，当时，过点A作的垂线，交边于点F，若，，求线段的长； （2）如图3，已知，作的角平分线交边于点H，若，，当时，求线段的长． 【答案】（1）ⅰ）证明过程见详解；ⅱ）； （2） 【解析】 【分析】（1）ⅰ）用证明，进而证得是直角三角形，即可得结论； ⅱ）连接，作交的延长线于点G，用证明，得，都是等边三角形，再利用等边三角形的性质及勾股定理建立方程即可求解； （2）延长至N，使，连接，交的延长线于点M，连接， 作于P，用证明，再利用等腰三角形的性质及勾股定理建立方程即可求解； 【小问1详解】 ⅰ）证明：， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ； ⅱ）解：连接，作交的延长线于点G， ，，， ，都是等边三角形， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 是的垂直平分线， ， 设，则， 在中，， 即， 解得， 即线段的长为． 【小问2详解】 解：延长至N，使，连接，交的延长线于点M，连接， 作于P， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 中，，， ， ，即， ， ， ， ， ， ， 是的角平分线，， 是线段的垂直平分线， ， 设，则，， 在中，， 即， 解得，， 所以线段的长为． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及线段垂直平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版2025—2026学年八年级上册数学期末考试押题卷 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 下列实数中，无理数是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，在直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中两个正方形的面积分别是81和225，则字母B所代表的正方形的边长是（　　） A. 12 B. 13 C. 144 D. 306 3. 成都市近天日最低气温的扇形统计图如图所示，这天日最低气温的平均数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算中，正确的是（　　） A B. C. D. 5. 已知一次函数的图象过点，则下列结论正确的是（ ） A. 随的增大而增大 B. C. 直线过点 D. 直线与坐标轴围成的三角形面积是3 6. 下列说法错误的是（ ） A. 4算术平方根是2 B. 2的平方根是 C. 的整数部分是2 D. 的小数部分是 7. 下列命题是假命题的是（ ） A. 全等三角形的面积相等 B. 如果两个角相等，那么它们是对顶角 C. 三角形的内角和等于 D. 同位角相等，两直线平行 8. 的三边为a，b，c，不能判断为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出元，多元；每人出元，少元，问有多少人？该物品价值多少？若设有个人，该物品价值元，则列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知线段端点的坐标分别为，，若一次函数的图象与线段有交点，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、填空题（6小题，每题3分，共18分） 11. 若实数x、y满足，则x+y的值为__________． 12. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，则这个三角形第三边的长为_____． 13. 一个正比例函数的图象过点，则______． 14. 估计大小关系： _____（填或）． 15. 如图，在中，，，，以斜边为底作等腰直角三角形，则该等腰直角三角形面积为______． 16. 有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为_______尺． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17. （1）计算：； （2）解方程组：． 18. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，为格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）． （1）请作出关于轴对称的； （2）判断的形状并说明理由． 19. 中考体育测试前，某区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽取了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图：请你根据图中的信息，解答下列问题： （1）写出扇形图中　　，并补全条形统计图； （2）该区体育中考选报引体向上的男生共有1200人，如果体育中考引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？ 20. 如图，在中，，、分别是△的中线和高． （1）求证：； （2）若，，，求的面积． 21. 如图，已知，到数轴的距离为1，数轴上点所表示的数，为不超过的最大整数． （1）数轴上点所表示的数为 ； （2）求代数式的值． 22. 已知：如图，在中，，，的周长为30． （1）证明：是直角三角形； （2）过点作于点，点为边上的一点，且，过点作交的角平分线于点． ①证明：； ②求线段的长． 23. 目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈．某校欲购置规格分别为和甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买瓶甲和瓶乙免洗手消毒液需要元，购买瓶甲和瓶乙免洗手消毒液需要元． （1）求甲、乙两种免洗手消毒液的单价． （2）为节约成本，该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将的免洗手消毒液全部装入最大容量分别为和的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗，请问如何分装能使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与一次函数的图象交于点，与y轴交于点B． （1）求点A的坐标及b的值； （2）点P为直线上一动点，连接，若的面积为4，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，取位于第二象限的P点，以点P为直角顶点，在左侧作等腰直角三角形，连接．点Q是直线上一点，连接，若，求满足条件的点Q的坐标． 25. 在和中，点D在边上，，． （1）若． ⅰ）如图1，当时，连接，证明：； ⅱ）如图2，当时，过点A作的垂线，交边于点F，若，，求线段的长； （2）如图3，已知，作的角平分线交边于点H，若，，当时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $