精品解析：河南省许昌市鄢陵县彭店乡第二中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年九年级上册数学月考试卷（人教版） （满分120分，考试时间90分钟） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列说法正确的是（　　） A. 弦是直径 B. 弧是半圆 C. 半圆是弧 D. 通过圆心的线段是直径 2. 已知的半径为5，点到圆心的距离为4，则点与的位置关系是（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 不能确定 3. 已知是圆直径，C是圆上一点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 正六边形的中心角的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 若扇形的半径为3，圆心角为，则该扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 6. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B. 随意翻到一本书的某页，页码是奇数 C. 在1个标准大气压下，温度降到以下，纯净水结冰 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 7. 一个不透明袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，摸出白球的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆O的切线（切点为A，圆心为O），，则圆的半径为（ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 9. 用频率估计概率，抛掷一枚均匀的硬币“正面朝上”的概率为，是指（ ） A. 连续抛掷次，一定是“正面朝上”和“反面朝上”各次 B. 连续抛掷次，一定是“正面朝上”次 C. 抛掷次，当越来越大时，“正面朝上”频率会接近 D. 抛掷次，“正面朝上”的次数一定是次 10. 圆锥的底面半径为2，母线长为6，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知圆的直径为，则其半径为_____________，周长为_____________． 12. 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，如果 AB=8，OC=3，那么⊙O的半径等于_________． 13. 若扇形的弧长为，半径为4，则该扇形的面积为_____________． 14. 从，0，1，2这五个数中随机抽取一个数，抽到负数的概率为_____________． 15. 若等边三角形的外接圆半径为2，则该等边三角形的边长为_________． 三、解答题（共75分） 16. 已知是圆的直径，是圆上一点，，求的长． 17. 一个不透明的盒子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共60个，这些球除颜色外都相同，其中红球有20个，黄球有15个． （1）求从中随机摸出一个球是蓝球的概率； （2）若向盒子中再放入5个蓝球，求从中随机摸出一个球是蓝球的概率． 18. 已知是圆O切线（为切点），，求圆O的半径． 19. 已知扇形的圆心角为，半径为4，求该扇形的面积和弧长． 20. 在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个． （1）先从袋子中取出个红球，再从袋子中随机摸出1个球，若“摸出的球是黑球”为必然事件，求m的值； （2）先从袋子中取出n个红球，再放入n个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个黑球的概率等于，求n的值． 21. 已知是圆O的弦，于点D，且过圆心O，延长线交圆O于点C，连接，． （1）求证：； （2）若，，求圆的半径及的长． 22. 已知圆锥的底面圆直径为4，母线长为6，一只蚂蚁从圆锥底面圆周上一点出发，沿圆锥侧面爬行一周后回到该点，求蚂蚁爬行的最短路径长． 23. 已知圆O的半径为5，点P是圆O外一点，且，过点P作圆 O的切线（A为切点），连接（为圆O的直径）． （1）求切线的长； （2）若点C是圆O上一点，且，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学月考试卷（人教版） （满分120分，考试时间90分钟） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列说法正确的是（　　） A. 弦是直径 B. 弧是半圆 C. 半圆是弧 D. 通过圆心的线段是直径 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的弦、弧、直径等相关知识进行判断即可． 【详解】解：A、弦是连接圆上任意两点的线段，只有经过圆心的弦才是直径，不是所有的弦都是直径．故本选项错误； B、弧是圆上任意两点间的部分，只有直径的两个端点把圆分成的两条弧是半圆，不是所有的弧都是半圆．故本选项错误； C、圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．所以半圆是弧是正确的． D、过圆心的弦才是直径，不是所有过圆心的线段都是直径，故本选项错误． 故选C． 【点睛】此题考查了圆，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键． 2. 已知的半径为5，点到圆心的距离为4，则点与的位置关系是（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点在圆内；点在圆上；点在圆外是解题的关键．根据点在圆内，进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴，即点在圆内， 故选：A． 3. 已知是圆的直径，C是圆上一点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据直径所对的圆周角为直角，进行求解即可． 【详解】解：∵是圆的直径，C是圆上一点， ∴， ∵， ∴； 故选C． 4. 正六边形的中心角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的中心角，注意准确掌握定义是关键． 据正多边形的中心角的定义，可得正六边形的中心角． 【详解】解：正六边形的中心角的度数是， 故选：C． 5. 若扇形的半径为3，圆心角为，则该扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查扇形弧长的计算，熟练掌握公式 是解题的关键． 根据扇形弧长公式直接计算即可． 【详解】解：∵扇形的半径为3，圆心角为， ∴该扇形的弧长为． 故选：A． 6. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B. 随意翻到一本书的某页，页码是奇数 C. 在1个标准大气压下，温度降到以下，纯净水结冰 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了必然事件．必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件，据此解答即可． 【详解】解：A．抛硬币可能正面朝上或反面朝上，不是必然事件，故本选项不符合题意； B．书的页码可能是奇数或偶数，不是必然事件，故本选项不符合题意； C．在1个标准大气压下，温度降到以下，纯净水结冰，是必然事件，故本选项符合题意； D．射击可能命中或脱靶，不是必然事件，故本选项不符合题意． 故选：C． 7. 一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，摸出白球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求概率．直接利用概率公式求解即可． 【详解】解：∵总球数为个，白球有2个， ∴摸出白球的概率为． 故选：B 8. 已知圆O的切线（切点为A，圆心为O），，则圆的半径为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理．利用切线的性质，构造直角三角形，应用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是圆O的切线，A为切点， ∴， ∴为直角三角形． ∵ ， ∴， 即圆的半径为3． 故选：A 9. 用频率估计概率，抛掷一枚均匀的硬币“正面朝上”的概率为，是指（ ） A. 连续抛掷次，一定是“正面朝上”和“反面朝上”各次 B. 连续抛掷次，一定是“正面朝上”次 C. 抛掷次，当越来越大时，“正面朝上”的频率会接近 D. 抛掷次，“正面朝上”的次数一定是次 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率的定义，即随着试验次数的增加，事件发生的频率会稳定在概率附近． 【详解】解：抛掷一枚均匀的硬币“正面朝上”的概率为表示在大量重复试验中，事件发生的频率会接近； 则选项A、B、D错误，它们都使用了“一定是”，而概率只表示可能性，不保证具体结果； 选项C正确，它符合频率稳定性的性质， 故选：C． 10. 圆锥的底面半径为2，母线长为6，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，直接应用圆锥侧面积公式计算即可. 【详解】解：由题意，； 故选 B. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知圆的直径为，则其半径为_____________，周长为_____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了圆的直径与半径和周长的关系．根据圆的直径与半径的关系，半径等于直径的一半；周长等于圆周率乘以直径，即可求解． 【详解】解：圆的直径为， 半径为，周长为， 故答案为：，． 12. 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，如果 AB=8，OC=3，那么⊙O的半径等于_________． 【答案】5 【解析】 【详解】解：连接OA， ∵OC⊥AB，CO过圆心O， ∴AC=BC=AB=4， 在Rt△OAC中， ∵ OC=3，AC=4， ∴AO=5， 故答案为：5． 【点睛】考点：1．垂径定理；2．勾股定理． 13. 若扇形的弧长为，半径为4，则该扇形的面积为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求扇形的面积，根据扇形的面积公式，其中为弧长，为半径，直接代入计算即可. 【详解】解：由题意，. 故答案为：. 14. 从，0，1，2这五个数中随机抽取一个数，抽到负数的概率为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求概率．从五个数中随机抽取一个数，总可能结果为5，抽到负数的结果为2，再根据概率公式解答即可． 【详解】解：因为总可能结果数为5，抽到负数的结果为2， 所以这五个数中随机抽取一个数，抽到负数的概率为． 故答案为： 15. 若等边三角形的外接圆半径为2，则该等边三角形的边长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是三角形的外接圆与外心、等边三角形的性质，等边三角形一边上的高线也是这边上中线．在中，的余弦值是角的邻边与斜边的比值． 【详解】解：根据题意画出图形，得，． 过点O作于点D， ∴． 根据圆和等边三角形的对称性可知． 在中，， 由，得， ∴． 即该等边三角形的边长为． 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16. 已知是圆的直径，是圆上一点，，求的长． 【答案】6 【解析】 【分析】根据圆周角定理，可算出的度数，根据圆的半径得到，的关系，进而判断是等边三角形即可求解． 本题考查了圆周角定理，等边三角形判定与性质，根据圆周角定理求角度是解题关键． 【详解】由题可得图，连接, , , 为等边三角形， ． 故答案为：6． 17. 一个不透明的盒子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共60个，这些球除颜色外都相同，其中红球有20个，黄球有15个． （1）求从中随机摸出一个球是蓝球的概率； （2）若向盒子中再放入5个蓝球，求从中随机摸出一个球是蓝球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式的应用，熟练掌握概率公式，是解题的关键． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）根据再放入5个蓝球后盒子篮球的总个数和球的总个数求出从中随机摸出一个球是蓝球的概率即可． 【小问1详解】 解：蓝球个数：（个）， 摸出蓝球的概率：． 【小问2详解】 解：放入5个蓝球后，蓝球总个数为： （个）， 总球数为（个）， ∴此时摸出一个球是蓝球概率：． 18. 已知是圆O的切线（为切点），，求圆O的半径． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查切线长定理，切线的性质，含30度角的直角三角形，关键是由切线长定理得到，由含30度角的直角三角形的性质得到． 由切线长定理得到，由切线的性质定理得到，由含30度角的直角三角形的性质求出，得到的半径即可． 【详解】解：如图， 、是的两条切线， ，， ， ， ∴， ∴， ， ∴， ， 的半径等于． 19. 已知扇形的圆心角为，半径为4，求该扇形的面积和弧长． 【答案】面积为，弧长为 【解析】 【分析】本题考查扇形的弧长和面积的计算，熟练掌握扇形的弧长和面积是解题的关键． 根据弧长公式和扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得：扇形的面积为； 该扇形的弧长为． 20. 在一个不透明袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个． （1）先从袋子中取出个红球，再从袋子中随机摸出1个球，若“摸出的球是黑球”为必然事件，求m的值； （2）先从袋子中取出n个红球，再放入n个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个黑球的概率等于，求n的值． 【答案】（1）4 （2）2 【解析】 【分析】本题考查概率问题，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率；掌握概率的计算公式以及准确理解题意是解答本题的关键． （1）当袋子中全部为黑球时，摸出黑球才是必然事件； （2）利用概率公式列出方程，求得的值即可． 【小问1详解】 解：若事件为必然事件，则袋中应全为黑球，即摸出4个红球后，摸到黑球是必然事件； 的值为4． 【小问2详解】 摸出1个黑球的概率等于, , 解得： 21. 已知是圆O的弦，于点D，且过圆心O，延长线交圆O于点C，连接，． （1）求证：； （2）若，，求圆的半径及的长． 【答案】（1）见解析 （2）圆的半径为， 【解析】 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据等腰三角形三线合一的性质得到平分，则有，再利用弧、弦、圆心角之间的关系即可证明； （2）根据垂径定理得到，在中利用勾股定理求出的长，得出圆的半径，再在中利用勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接、， ∵，， ∴平分， ∴， 即， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴综上，圆的半径为，． 22. 已知圆锥底面圆直径为4，母线长为6，一只蚂蚁从圆锥底面圆周上一点出发，沿圆锥侧面爬行一周后回到该点，求蚂蚁爬行的最短路径长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角，勾股定理，把圆锥的侧面展开得到圆心角为，半径为的扇形，求出扇形中的圆心角所对的弦长即为最短路径．将圆锥中的数据对应到展开图中是解题的关键． 【详解】解：圆锥的侧面展开如图，过点作， 则， 设， 由题意得，， 得， 即， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴蚂蚁爬行的最短路径长为． 23. 已知圆O的半径为5，点P是圆O外一点，且，过点P作圆 O的切线（A为切点），连接（为圆O的直径）． （1）求切线的长； （2）若点C是圆O上一点，且，求的长． 【答案】（1）12 （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质和定理． （1）根据切线的性质得出，根据勾股定理求出结果即可； （2）根据直径所对圆周角为直角，得出，根据勾股定理求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵为的切线， ∴， ∴， ∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $