第16章 整式的乘法 复习讲义 2025-2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学讲义通过知识结构思维导图系统构建整式乘法的知识体系，涵盖单项式乘单项式、多项式乘多项式等基础运算，平方差公式、完全平方式等核心公式，以及几何面积解释、数形结合思想等方法，清晰呈现知识脉络与内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，从基础计算到综合探究，如几何直观题型通过长方形草坪通道面积问题培养几何直观，规律归纳题发展推理意识。答案解析详细，助力学生自主复习，教师可据此实施分层教学，提升不同层次学生的运算能力与应用意识。

八年级上册数学专题复习：整式的乘法 知识结构思维导图整式的乘法 单项式×单项式 式 单项式×多项式 多项式×多项式 平方差公式 法 同底数幂相乘 法 分配律应用 法 完全平方式 法 幂的乘方 法 逐项相乘 法 几何面积解释 数形结合思想 归纳推理能力 代数恒等变形 实际问题建模 类型一：单项式乘单项式（基础） 学习目标：掌握单项式乘法法则，能熟练进行系数相乘、同底数幂相乘运算。 【例题1】计算： (1) 3x²·5x³ (2) -2a³b·4ab² (3) (3x²y)²·(-2xy³) 【对应练习】请计算： 1. 4a·5a² = 2. -3x²y·2xy³ = 3. (2m²n)³·(-3mn²) = 4. 0.5a²b·(-4ab³)·(-2b) = 类型二：单项式乘多项式（基础） 学习目标：掌握单项式与多项式相乘的法则，能熟练运用乘法分配律进行计算。 【例题2】计算： (1) 2x·(3x² - 4x + 5) (2) -3a²b·(2ab - 5a + b²) (3) (x - 2y)·4xy 【对应练习】请计算： 1. 3a·(2a² - a + 4) = 2. -2x²·(3x - 5y + 1) = 3. (4x²y - 3xy²)·(-2xy) = 4. 0.5m·(2m² - 4m + 6) = 类型三：多项式乘多项式（核心） 学习目标：掌握多项式乘法法则，能进行二项式乘二项式、二项式乘三项式等运算。 【例题3】计算： (1) (x + 3)(x - 4) (2) (2a - b)(3a + 2b) (3) (x + 2)(x² - 3x + 5) 【对应练习】请计算： 1. (x + 5)(x - 3) = 2. (2m - 3n)(m + 4n) = 3. (a - 2)(a² + 3a - 1) = 4. (3x - 2y)(2x + 5y - 1) = 类型四：乘法公式应用（重点） 学习目标：掌握平方差公式和完全平方公式，能灵活运用公式简化计算。 【例题4】运用乘法公式计算： (1) (x + 7)(x - 7) (2) (2a + 3)² (3) (3x - 2y)² 【对应练习】请运用公式计算： 1. (x + 6)(x - 6) = 2. (3a - 4)(3a + 4) = 3. (2m + 5)² = 4. (4x - 3y)² = 类型五：几何直观题型（数形结合） 学习目标：通过几何图形理解整式乘法的本质，建立代数与几何的联系。 【例题5】13．（2025七下·藤县月考）在莹莹住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建一横一竖互相垂直且宽度均为a米的通道． （1）用含a、b的式子表示剩余草坪的面积； （2）若，，求剩余草坪的面积． 【对应练习】深圳高级中学准备开展五育融合的特色课程，计划在一块长为米，宽为米的长方形空地上修建一块长为米，宽为米的长方形菜园子，四周铺设地砖（阴影部分）． （1）求铺设地砖的面积；（用含、的式子表示，结果化为最简） （2）若，，铺设地砖的成本为80元平方米，则完成铺设地砖需要多少元？ 类型六：综合应用与探究（能力提升） 学习目标：综合运用整式乘法解决复杂问题，培养数学推理和探究能力。 【例题6】探究题：观察下列等式，发现规律： (x - 1)(x + 1) = x² - 1 (x - 1)(x² + x + 1) = x³ - 1 (x - 1)(x³ + x² + x + 1) = x⁴ - 1 (1) 根据规律，写出 (x - 1)(x⁴ + x³ + x² + x + 1) 的结果 (2) 计算：2⁵ + 2⁴ + 2³ + 2² + 2 + 1 【对应练习】综合应用题： 1. 已知 (x + a)(x + b) = x² + 5x + 6，求 a + b 和 ab 的值。 2. 若 3ˣ = 4，3ʸ = 5，求 3x+y+2 的值。 3. 一个长方体的长、宽、高分别是 (x+2)、(x-1)、(x+3)，求体积表达式并展开。 巩固练习 一、计算题 1．计算： （1） ． （2） ． 2．简便计算： （1）(-2019)2+2 018×(-2020) （2）20232-4046×2022+20222 3. 计算： 4. 计算：(5a+3b-2c )(5a-3b+6c)． 5．计算： ① ② 二、解答题 6．把图1的长方形看成一个基本图形，用若干相同的基本图形进行拼图（重合处无缝隙）． （1）如图2，将四个基本图形进行拼图，得到正方形和正方形，用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示），并写出一个等式； （2）如图3，将四个基本图形进行拼图，得到四边形，求阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示）； （3）如图4，将图3的上面两个基本图形作为整体图形向左运动x个单位，再向上运动2b个单位后得到一个长方形图形，若，把图中阴影部分分割成两部分，这两部分的面积分别记为，，若，求证：m与x无关． 7．（2024八上·长春高新技术产业开发期末）图①是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开．把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②拼成一个正方形． （1）图②中间空白部分的面积是　 　（填、或）． （2）观察图②，请写出代数式、、之间的等量关系式． （3）根据图②得到的关系式解答下列问题：若，，求的值． 8． 阅读下列文字，并解决问题． 已知 ， 求 的值． 分析： 考虑到满足 的 的可能值较多， 不可以逐一代入求解， 故考虑整体思想， 将 整体代入． 解： 将 代入， 请你用上述方法解决下面的问题： 已知 ， 求 的值． 9．阅读材料后解决问题． 小明遇到下面一个问题：计算．经过观察，小明发现如果将原式进行恰当地变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： 计算： （1） （2）． 答案解析与解题思路 类型一：单项式乘单项式 例题1解析： (1) 3x²·5x³ = (3×5)·(x²·x³) = 15x⁵ (2) -2a³b·4ab² = (-2×4)·(a³·a)·(b·b²) = -8a⁴b³ (3) (3x²y)²·(-2xy³) = 9x⁴y²·(-2xy³) = -18x⁵y⁵ 对应练习答案： 1. 20a³ 2. -6x³y⁴ 3. 8m⁶n³·(-3mn²) = -24m⁷n⁵ 4. 0.5a²b·(-4ab³)·(-2b) = [0.5×(-4)×(-2)]·(a²·a)·(b·b³·b) = 4a³b⁵ 关键点： 单项式乘法遵循：①系数相乘；②同底数幂相乘，指数相加；③只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数作为积的因式。 类型二：单项式乘多项式 例题2解析： (1) 2x·(3x² - 4x + 5) = 2x·3x² - 2x·4x + 2x·5 = 6x³ - 8x² + 10x (2) -3a²b·(2ab - 5a + b²) = -6a³b² + 15a³b - 3a²b³ (3) (x - 2y)·4xy = 4x²y - 8xy² 对应练习答案： 1. 6a³ - 3a² + 12a 2. -6x³ + 10x²y - 2x² 3. -8x³y² + 6x²y³ 4. m³ - 2m² + 3m 关键点： 单项式乘多项式的本质是乘法分配律的应用：m(a+b+c) = ma + mb + mc。注意符号处理，特别是负号。 类型三：多项式乘多项式 例题3解析： (1) (x + 3)(x - 4) = x·x + x·(-4) + 3·x + 3·(-4) = x² - 4x + 3x - 12 = x² - x - 12 (2) (2a - b)(3a + 2b) = 6a² + 4ab - 3ab - 2b² = 6a² + ab - 2b² (3) (x + 2)(x² - 3x + 5) = x³ - 3x² + 5x + 2x² - 6x + 10 = x³ - x² - x + 10 对应练习答案： 1. x² + 2x - 15 2. 2m² + 5mn - 12n² 3. a³ + a² - 7a + 2 4. 6x² + 11xy - 3x - 10y² + 2y 关键点： 多项式乘法是"分配律的连续应用"，确保每一项都与另一多项式的每一项相乘，合并同类项时注意符号。 类型四：乘法公式应用 例题4解析： (1) (x + 7)(x - 7) = x² - 7² = x² - 49 （平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²） (2) (2a + 3)² = (2a)² + 2·(2a)·3 + 3² = 4a² + 12a + 9 （完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²） (3) (3x - 2y)² = (3x)² - 2·(3x)·(2y) + (2y)² = 9x² - 12xy + 4y² （完全平方公式：(a-b)²=a²-2ab+b²） 对应练习答案： 1. x² - 36 2. 9a² - 16 3. 4m² + 20m + 25 4. 16x² - 24xy + 9y² 关键点： 平方差公式：结构为(a+b)(a-b)=a²-b²；完全平方公式：结构为(a±b)²=a²±2ab+b²。识别公式结构是关键。 类型五：几何直观题型 例题5【答案】（1）解：由题意得剩余草坪的面积为 答：剩余草坪的面积为平方米． （2）解：当，时，原式， ∴剩余草坪的面积是260平方米． 对应练习答案： （1）解：铺设地砖的面积表示为： 平方米， 故铺设地砖的面积为平方米； （2）解：当，时， 原式， 则(元)． 答：完成铺设地砖需要4800元． 关键点： 几何图形将多项式乘法可视化，体现了数形结合思想。通过面积的不同计算方法，验证代数恒等式。 类型六：综合应用与探究 例题6解析： (1) 根据规律：(x-1)(x⁴+x³+x²+x+1) = x⁵ - 1 (2) 观察 2⁵+2⁴+2³+2²+2+1，可看作 x=2, n=5 的情况 根据公式：(x-1)(x⁵+x⁴+x³+x²+x+1) = x⁶ - 1 所以 x⁵+x⁴+x³+x²+x+1 = (x⁶-1)/(x-1) 当 x=2 时，原式 = (2⁶-1)/(2-1) = (64-1)/1 = 63 对应练习答案： 1. 由 (x+a)(x+b) = x²+(a+b)x+ab = x²+5x+6，得 a+b=5，ab=6 2. 3x+y+2 = 3ˣ·3ʸ·3² = 4×5×9 = 180 3. 体积 V = (x+2)(x-1)(x+3) 先算 (x+2)(x-1) = x²+x-2 再算 (x²+x-2)(x+3) = x³+3x²+x²+3x-2x-6 = x³+4x²+x-6 关键点： 综合题考查知识迁移能力和数学探究思维。观察规律、灵活运用公式、整体代换是解决此类问题的关键。 综合训练答案 1．【答案】（1）解：（x+2y）（x-2y）=x2-（2y）2=x2-4y2. （2）解：（ab+3c）（ab-3c）=（ab）2-（3c）2=a2b2-9c2. 【解析】【分析】（1）通过观察可以发现符合平方差公式，所以可以利用平方差公式计算。 （2）通过观察可以发现符合平方差公式，所以可以利用平方差公式计算。 2．【答案】（1）解：原式. （2）解：原式=20232-2×2023×2022+20222=(2023-2022)2=1. 【解析】【分析】（1）将2018变成2019-1，2020变成2019+1，构成平方差形式计算； （2）4046=2×2023，原式是完全平方式的形式，直接套用公式即可求解. 3．【答案】解： ． 【解析】【分析】把(x+3y）和（x-3y)分别看作一个整体，利用完全平方公式转换，去括号后合并同类项，即可化简. 4．【答案】解：原式=(5a+3b+2c-4c )(5a-3b+2c+4c) =[(5a+2c)+(3b-4c)][(5a+2c)-(3b-4c)] =(5a+2c)2-(3b-4c)2 =25a2+20ac+4c2-9b2+24bc-16c2 =25a2+20ac-12c2-9b2+24bc. 【解析】【分析】先利用配方法将式子变形为(5a+3b+2c-4c )(5a-3b+2c+4c)，比较两个因式，将两个因式中符号相同的项与符号相反的项分别结合在一起，然后利用平方差公式计算，进而再利用完全平方公式计算，最后合并同类项即可得答案. 5．【答案】解：① ． ② ． 【解析】【分析】①添一个，从而和凑成平方差，然后再连续运用平方差公式进行计算即可． ②添加，然后根据平方差公式进行计算即可． 6．【答案】（1）解：∵在图2中，四边形ABCD是正方形， ∴正方形ABCD的面积为S正方形＝（a＋b）2． ∵四个基本图形的面积为4ab， ∴S阴影＝(a＋b)2−4ab； （2）解：∵NP＝a＋b，MN＝a＋b，∴四边形EFGH是正方形， ∴S阴影＝MN2−4ab＝(a＋b)2−4ab， 即S阴影＝(a＋b)2−4ab＝a2−2ab＋b2。 （3）证明：根据图形可知，AF＝a＋x−2b， m＝S1−S2＝2b•2b＋bx−（a−2b＋x）b−3b•b＝4b2＋bx−（ab−2b2＋bx）−3b2＝4b2＋bx−ab＋2b2−bx−3b2＝3b2−ab ∴S与x无关． 【解析】【分析】（1）阴影部分的面积有两种计算方法，①S阴影＝S大正方形−4S基本图形；②直接根据正方形EFGH的边长求正方形EFGH的面积。然后任选一种列出等量关系式即可； （2）先证明四边形ABCD是正方形，然后利用公式S阴影＝S正方形−4S基本图形，将字母代入变形计算即可； （3）把S1，S2分别用含a、b、x的式子表示出来，然后计算m＝S1−S2，即可证明m与x无关． （1）解：①∵在图2中，四边形ABCD是正方形， ∴正方形ABCD的面积为S正方形＝（a＋b）2． ∵四个基本图形的面积为4ab， ∴S阴影＝(a＋b)2−4ab； ②∵四边形EFGH是正方形， ∴EH＝EF＝a−b， ∴S阴影＝EH2＝(a−b)2； ∴（a＋b）2−4ab＝（a−b）2． （2）解：∵NP＝a＋b，MN＝a＋b， ∴四边形EFGH是正方形， ∴S阴影＝MN2−4ab＝(a＋b)2−4ab， 即S阴影＝(a＋b)2−4ab＝a2−2ab＋b2． （3）证明：根据图形可知，AF＝a＋x−2b， m＝S1−S2 ＝2b•2b＋bx−（a−2b＋x）b−3b•b ＝4b2＋bx−（ab−2b2＋bx）−3b2 ＝4b2＋bx−ab＋2b2−bx−3b2 ＝3b2−ab ∴S与x无关． 7．【答案】（1） （2）解：由图②可知：大正方形面积=空白部分的面积+4个长方形面积， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． ． 【解析】【解答】解：（1）由图形可知：空白部分的面积． 故答案为：； 【分析】（1）根据题意得到空白部分的面积=大正方形的面积-4个小长方形面积，进而计算即可得到代数式； （2）根据图②得到大正方形面积=空白部分的面积+4个长方形面积，进而根据整式的混合运算即可求解； （3）由（2）可得：，进而根据整式的混合运算进行计算即可求解。 （1）解：由图形可知：空白部分的面积． 故答案为：； （2）解：由图②可知：大正方形面积=空白部分的面积+4个长方形面积， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 8．【答案】解： 将 代入，原式 【解析】【分析】先把（2a3b2-3a2b+4a）·(-2b)根据单项式乘多项式的法则，展开，变形为：-4a3b3+6a2b2-8ab .再根据积的乘方的逆运算把它变形为：-4（ab）3+6（ab）2-8ab， 进而把ab=3整体代入，求出代数式的值即可. 9．【答案】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【解析】【分析】（1）根据小明的方法，将原式乘（2-1），再利用平方差公式计算即可； （2）根据小明的方法，将原式乘，再利用平方差公式计算即可. 学科网（北京）股份有限公司 $