第二部分 假期过关验收卷-【快乐假期】2025-2026学年高二数学寒假作业必刷题

快乐假期 第二部分 厚积薄发志在必得 假期过关验收卷 敏而好学，不耻下问。 完成日期： 日 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5 5.在等比数列{an}中，an>0(n∈N),公比 分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 q∈(0，l),且a1·a5+2a3·a5十a2·ag= 有一项是符合题目要求的 25,又2为a3与a5的等比中项，bn=log2an, 1.已知数列{an}的前n项和为Sn.若a1=2, 数列么，)的前n项和为S则当++… Sn+1=Sn十an十4，则S0= A.78 B.400 S最大时，m的值为 () 2 C.800 D.880 A.8 B.8或9 2.若点P(a,b)在圆C:x+y2=1内，则直线 C.16或17 D.17 a.x+by-1与圆C的位置关系为 ( ) 6.定义在R上的函数f(x)满足f(x)>1一 A.相交 B.相切 f(x),且f(0)=6,f(x)是f(x)的导函数， C.相离 D.不能确定 则不等式e·f(x)>e+5(其中e为自然 3.已知函数f(x)满足f(x)=2f(1)lnx+ 对数的底数)的解集为 () ，则f(e)= A.(-∞，0)U(1,+∞) e B.(-∞，0)U(3,+o∞) A.e-1 B.2+1 C.(0,+∞) e D.(3,+∞) C.1 D.-2+1 e 7设5分别是双商线二-芳=1a>0,6 4.矿山爆破时，在爆 安全抛物线 >0)的左、右焦点，O为坐标原点，过左焦点 破点处炸开的矿 F作直线F1P与圆x2十y2=a2切于点E, 石的运动轨迹可 看作是不同的抛 与双曲线右支交于点P,且满足O龙-2(O护 物线，根据地质、炸药等因素可以算出爆炸 十OF,),则双曲线的离心率为 的范围，这个范围的边界可以看作一条抛物 A.5 B.√2 线，叫“安全抛物线”，如图所示.已知某次矿 C.3 D.2 山爆破时的安全抛物线E:x2=一2y十4 8.如图，正方体的棱长为 (p>0)的焦点为F0,一引则这次爆破 1,A,B分别为所在棱的 中点，则四棱锥S-ABCD 时，矿石落点的最远处到点F的距离为 的外接球的表面积为 ( A.2 B.2 A.16π B.32π C.2√2 c是 n头 ·52· =0022 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共 分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 15分. 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对 12.已知数列(a,}满足a1=1,a+一n千1n∈ nan 的得3分，有选错的得0分 N',则an= 9.下列求导运算正确的是 13.函数y=x3+ax+b在(-1,1)上单调递减， A.若f(x)=sin(2x+3),则f(x)=2cos(2x+3) 在(1，十∞)上单调递增，则a B.若f(x)=ex+1,则f(x)=e2x+1 14.油纸伞是中国传统工艺 品，至今已有1000多年 C.若f(x)=乙，则f(x)=1- 的历史，为宣传和推广 D.若f(x)=xlnx,则f'(x)=lnx+1 这一传统工艺，新海市 文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术 10.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F 节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展 到准线的距离为4，过点F的直线与抛物 览场地，如图所示，该伞的伞沿是一个半径 线交于A,B两点，M为线段AB的中点， 为4的圆，圆心到伞柄底端的距离为4，阳 则下列结论正确的是 () 光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影 A.抛物线C的准线方程为y=一2 子（春分时，新海市的阳光与地面夹角为 B.若3AF=FB,则直线AB的倾斜角 60°)，若伞柄底正好位于该椭圆的焦点位 置，则该椭圆的离心率为 为30 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应 C.若|AB|=16,则点M到x轴的距离 写出文字说明、证明过程或演算步骤， 为8 15.(本小题满分13分)已知公差不为0的等 D.4|AF|+|BF|≥18 差数列{an},其前n项和为Sn,且满足a3 11.在直三棱柱ABCA1B,C =S3,3S4=4a2a3. (1)求数列{an}的通项公式； 中，底面△ABC为等腰直 B (2)设bn=an十3求数列{bn}的前n项 角三角形，且满足AB= 和Tn AC=AA1=2,点P满足 B. B,P=B,C,+BB,其中入∈[0,1]，∈ [0,1],则下列说法正确的是 ( ) A.当A=1时，△AB,P的面积S的最大 值为22 B.当=1时，三棱锥PAB,C1的体积为 定值 C.当以=时AP的最小值为 D.当入=2时，不存在点P,使得AP⊥BP ·53· 飞曼快乐假期 00= 16.(本小题满分15分)已知直线1过点P(2, 18.(本小题满分17分)已知精圆 =1 3),圆C:x2+4x+y-12=0. (1)若直线1与圆C相切，求直线1的 方程； a>>0)上一点P1.号)左，右焦成分 (2)若直线1是圆C的一条对称轴，交圆C 别为F1(-1,0),F2(1,0). 于A,B两点，过A,B分别作1的垂线与x (1)求椭圆的标准方程； 轴分别交于D,E两点，求|DE. (2)若点Q为椭圆的上顶点，椭圆上有异 于点Q的两点M,N满足kaw十kQy=1,求 证：直线MN恒过定点. 17.(本小题满分15分) 如图，在三棱台 B ABCA B C 中， A1A⊥平面ABC,AB 19.(本小题满分17分)已知函数f(x)= ⊥AC,AB=AC= N (2-a)Inx++2az. AA1=2,A1C1=1,N (1)讨论函数f(x)的单调性； 为AB的中点，M为 (2)当a∈(-8，-2)时，若存在x1,x2 棱BC上一动点（不包含端点）. [1,2],使得|f(x1)-f(x2)|>(m+ln2) (1)若M为BC的中点，求证：AN∥平 面C,MA; a-2n2+n(-a)成立，求实数m的取 (2)是否存在点M,使得平面C,MA与平 值范围。 面ACC,A,夹角的余弦值为？若存在。 求出BM的长度；若不存在，请说明理由. ·54·三022 若使函教f)=一子+72十2x十1的图象与直线 y=m在区间[-2,4]内有三个交点，则需使-6<m≤ 景脚m(日] 高考冲浪 1.解：(1)a=1,f(x)=ex一x一1，切，点(1，e-2),f(x)=ex -1,k=f'(1)=e-1 所以要求的切线方程为y-(e一2)=(e-1)(x-1),即y =(e-1)x-1. (2)f'(x)=e-a,当a≤0时，f(x)>0,f(x)在R上单 调递增，此时无极值 .a>0,令f(x)=0,x=lna f(x)在(-∞，lna)上单调递减，(lna,十o)上单调递增， f(x)极小值=f(lna)=a-alna-a3<0, .1-lna-a2<0 g(a)--a-Ina+1.8(a)--2a-1<0 g(a)在(0，十o∞)单调递减，而g(1)=0, .g(a)<0台a>1 ∴a的取值范围(1，十o∞). 2.解：(1)由题意，f(1)=1-m-2=0→m=-1→f(x)=x2 -x-lnx,故x2-x-lnx≤x2-1→x+lnx-1≥0.设g (x)=x十lnx-l,x>0,由y=x与y=lnx均为增函数， 故g(x)为增函数. 由g(1)=0得g(x)≥0曰x≥1，故解集为[1，十∞) (2)由题意，f(x)=2x-(m十2)十”= 2x2-(m+2)x+m_（x-1)(2.x-m) 故分类讨论，由当m≤0时， f(x)=-D2x-m≥0>x≥1. 故f(x)在(0,1)单调递减，在[1，十∞)单调递增，故f(x) 无极大值不成立： 当m>0时，分类讨论， ①当m=2时f(x)=21D≥0恒成立，f)在(0. 十∞)单调递增，故f'(x)无极大值不成立 ②当0<m<2时， f=12m2≥0>x≥1或0<≤受， fx)在(0，受]和[1，+∞)单调递增，在（受，1单洞递 减，故fx)在=受处取得板大值； ③当m>2时f)==124m>0→x≥受或0 <x≤1， f)在(0,1]和[受，+∞)单调递增，在(，受)单调递 减，故f(x)在x=1处取得极大值； 综上：m∈(0,2)U(2,+o∞). 8 二教类) 假期过关验收卷 1.C[由S+1=Sn十a十4得au+1=S,w+1-Sn=an十4， 数列{an}是以2为首项，4为公差的等差数列，S20= 20×2+20X19×4=800.] 2 2.C[因为点P(a,b)在圆C:x2+y2=1内，所以a2+<1, 设圆心C(0,0)到直线ax十by=1的距离为d,则d= 1一>1，圆C:x2+y2=1的半径r=1,因为d>r,所 √a2+b2 以直线ax十by=1与圆C的位置关系为相离.] 3.D[f(x)=2f')+1,当x=1时，f(1)=2f1)+ ,解得)=-，故f)=-2+名所以e) =20e+8=-名+1. e 4D[狼随志，抛物线E的预点坐标为(@，号)小则超物线 的预点到焦点F的距高为号-吕十受p>0,解泽=4， 于是得抛物线E的方程为x2=一8y十4，令y=0,得x= 士2，即抛物线E与x轴的交点为M(2,0),N(一2,0)，因 此，MF√2+（侵）=号，所以矿石落点的运处到 点F的距离为号] 5.B[a1·a5+2a3·a5+a2·ag=25,.a3+2a3·a5+ a3=25,即(a3十a5)2=25. 又因为an>0,∴.a3十a5=5.q∈(0,1)，.a3>a5.又a3 ·a=4,则ag=4,ag=1,∴g=分则e1=16,∴a =25-, b,=5-n,数列{b,}的前n项和Sn=9,心，则S 2 92,则当0<8时>0当7=9时，多=0当w>9 时，0十受+…叶会及大时的位为8或 2 6.C[设g(x)=e·f(x)-e(x∈R),则g'(x)=er· f(.x)+ex·f(x)-e2=ex[f(x)+f'(x)-1].f'(x) >1-f(x),.f(x)+f(x)-1>0,.g'(x)>0,.y= g(x)在定义域上单调递增，，e·f(x)>e十5，∴.g(x) >5.又.g(0)=e·f(0)-e°=6-1=5，.g(x)> g(0),x>0,∴.不等式的解集为(0，十o∞).] 7.A[连接PF2,OE,如图所示. E为圆x2+y2=a2上的点， :0E=a.:0=2(o+ 0 OF1),E是PF1的中点，又 O是F1F2的中点，PF2= 2|OE|=2a,且PF2∥OE,又|PF1|-|PF2|=2a, .|PF1=4a,:PF1是圆的切线，∴.OE⊥PF1, 飞蜜快乐假期 .PF2⊥PF1.在Rt△PF1F2中，|F1F2=2c, ∴.4c2=|PF112+|PF212=(2a)2+(4a)2=20a2, e2-c2 ==5,故双曲线的离心率e==6.] a 8.C[以C为坐标原点，以 CD,CS所在直线分别为x,之 轴，以与CD,CS垂直的棱所 在的直线为y轴，建立如图 所示的空间直角坐标系，则 C00,0A(11,2) B(01,2）s0.0D. D(1,0,0), 设四棱锥S-ABCD的外接球球心为O(x,y,2),半径为 R,则 -1+y-1+(-2)°=+y-1D2+(e-2）)月 x2+y2+(x-1)2=x2+y2+x2, 2+g-12+(-)}=2+y2+2, r= 1 29 解得)=8 ( 即外接球球心为O(合，音，)，外接球半径R √合)+()+合) 验证√合)+（信）+（合）=锋合 题意 所以可破锥SACD的外接章半径R=,则共表西 叔为4R=标×得-船] 9.ACD[A.因为f(x)=sin(2x+3),所以f(x)= 2cos(2.x十3)，故A正确；B.因为f(.x)=e2x+1,所以 f()=-2ex+l,故B错送：C.周为fx)=号，所以 f()=-,故C正确：D.因为f(x)=nx,所以 f(x)=lnx十1，故D正确.] 10.AD[对于A,易知p=4,从 而准线方程为y=一2，故A 正确.对于B,如图，分别过 A,B两，点作准线y=一2的 垂线，垂足分别为A1,B1,过y=-2 点A作BB1的垂线，垂足为 H.由于3AF=FB,不妨设|AF=t,则|BF=3t. 由抛物线的定义易知AA1|=t,|BB1|=3t,所以|BH =2t.在Rt△ABH中，易知∠BAH=30°，则此时直线 ·84 900 AB的倾斜角为30°，根据抛物线的对称性可知直线AB 的倾斜角为30°或150°，故B错误.对于C,设A(x1y1), B(x22),则点M十2，十y2） ,由抛物线的定义 2 2 知AF1+|BF|=y1十2+y2+2=16,所以y1+y2= 12,所以点M到x轴的距离为1十业=6，故C错误.对 2 于，由能物俄的定文知雨十部=号-子，所以 1 1 4IAFI+IBF1-241AFI+B)AF)- 26+器+)≥18，当仅当器-部， 即|BF|=2|AF|=6时取得等号，故D正确.] 11.ABC[对于A,当A=1时，B1P= B1C+B1B,则点P在棱CC1上BA 运动，由题可得A1B1⊥AA1,AB1 ⊥A1C1,又因为A1C1∩AA1=A1, A1C1,AA1C平面ACC1A1,所以 AB1⊥平面ACCA1,又因为A1PB C平面ACCA1,所以A1B1⊥A1P,则当点P与点C重 合时，△A1B1P面积S取得最大值，A1C= VA1C肾+CC=2E,则Sx=SAA BC=分AB· AC-×2X2E=2E,故A正确：对于B,当以=1 时，B1P=AB1C1+B1B P在棱BC上运动，则VpAB,C=V4PB,C, 由于点A到平面B1PC1的距离为定值√2，点P到线段 B1G的距离恒为2，则S△m代，=号X2万X2=2厄， 则VAag=VAP6=日×Ex2万-青，故BE 对于C,设BB1的中点为H,CC 的中点为G,连接AH,AG,HG,当 B =号时，B市=xBC+号B立. 则点P在线段HG上运动，因为 A AG=5,HG=BC1=2W2,所以当B 点P运动到线段HG的中点时，AP⊥HG,此时HP= V2,所以APmin=√(W5)2-(√2)2 C M(P =5,故C正确：对于D,当入=2 1 B 时BP=}BC+B店。 A ----C 设BC的中点为M,B1C的中点为B N(P) N,连接MN,AM,A1N,则，点P在MN上运动，当点P 与，点M重合时，BM⊥MN,BM⊥A1N,又MN∩A1N= N,MN,A1NC平面A1MN,则BM⊥平面A1MN,又因 为A1PC平面AMN,则BM⊥A1P,即BP⊥A1P, 当点P与，点N重合时，A1N⊥平面BCC1B1,即A1P⊥ 平面BCCB1,又BPC平面BCC1B1,则A1P⊥BP,故 D错误.] 三0022 12.解析：图为a1=1,a+1=所以(n+1Da,1=, 所以an}为常数列，且man=1,所以am=元 答案：日 13.解析：因为y=x3+ax十b在(-1,1)上单调递减，在 (1,十∞)上单调递增， 所以x=1为函数y=x3+ax十b的极值，点，且y=3x2+a, 所以y'|x=1=3十a=0,解得a=-3,且当a=-3时， y=3x2-3. 由y<0可得-1<x<1: 由y>0可得x<-1或x>1,所以函数y=x3-3x十b 的单调递减区间为（一1,1），单调递增区间为（一∞， 一1)，(1，十∞)，符合题意. 因此，a=一3. 答案：-3 14.解析：设椭圆的长半轴长为a,半 焦距为c. 如图所示，伞柄底正好位于该椭 圆的左焦，点，且左焦点到右顶，点 的距离为4√瓦，即a十c=4√2. 人60° 在△ABC中，由题意可得∠ACBB =45°，又因为∠B=60°， 20 8 由正弦定理得in80-60”-46sin60, 停×+× 所以a= 2 6√2+2√6 3 则c=42-6E+266区-26 3 3 所以该椭圆的离心率二=65一25=2-5 a6√2+26 答案：2-√5 15.解：(1)设{an}的公差为d(d≠0). a+2=a1+32, 根据题意得 3(a+4d)=4a+aa+2d. (舍). (d=4 d=0 所以an=-2+(n-1)×4=4n-6. (2)由题意知，bn=an十32m-3,故Tn=a1十a2十a3十…十 aw+31+31+38+…+3w-3=na+a2+ 2 3X,的-K2m-+”2 1-9 16.解：(1)圆C:x2+4x+y2-12=0,即(x+2)2+y2=16, 所以圆心C(一2,0)，半径r=4. 当直线1的斜率不存在时，直线1的方程为x=2,符合题 意； 当直线1的斜率存在时，设斜率为k,则直线1的方程为 y-3=k(x-2),即kx-y-2k+3=0, 则圆心C到直线1的距离d=一26-2k+3=4,解得 /k2+(-1)2 ·85 k=一2，所以切线方程为7x十24y-86=0. 7 综上可得，直线1的方程为x=2或7x十24y-86=0. (2)因为直线1是圆C的一条对称轴，所以直线1过圆心 C,则直线1的方程为y-3=92是2-2.即3r-0 +6=0, 则a∠ACD=子又an∠ACD=0即4P 是，所以AD1=3,1CD1-√AC+AD=5, 同理可得|CE1=5,所以DE=10. 17.(1)证明：连接NM,因为N 为AB的中点，M为BC的 B 中点， 所以NM∥AC.NM=2AC 因为空间几何体ABC A1B1C1,是三棱台，A1C1= A 1,AC=2,所以A1C1∥AC, AIC-FAC. 于是有NM∥A,C1,NM=A1C1,因此四边形NMC1A1 是平行四边形， 所以A1N∥CM,又因为A1N丈平面C1MA,C1MC平 面C1MA,所以A1N∥平面C1MA. (2)解：假设存在点M, 使得平面C,MA与平 A C 面ACC1A1夹角的余 B 欧值为 因为A1A⊥平面ABC, AB,ACC平面ABC, AO 所以A1A⊥AB,AA1 ⊥AC,而AB⊥AC,所 B 以建立如图所示的空 间直角坐标系 x 则A(0,0,0),C1(0,1,2),B(2,0,0),C(0,2,0), 设M(x,y,x),BM=入BC,A∈(0,1)，则(x-2,y,x)= A(-2,2,0),所以M(2-2入，2入，0)， 设平面C,MA的法向量为m=(a,b,c),又因为AC= (0,1,2),AM=(2-2入，2x,0), (m·AC1=b+2c=0, 所以 m·AM=(2-2)a+2ab=0, 令=1.可得m=(-21) 因为A1A⊥AB,AB⊥AC,AA1∩AC=A,AA1,ACC平 面ACC1A1, 人壁快乐假朝 所以AB⊥平面ACC1A1,所以平面ACC1A1的一个法 向量为A店=(2,0,0)，所以c0s(m,AB1=m·A3 mABI =6 6 4入 1-入 6 即 √(4)+(-2)+1×2 6 解得入=子(X=-1含去)，即M(告，号0） 所以√（信-2+(T-2 即BM的长度为2码 18.(1)解：根据描国定义得2a=PF+PF,√2+号 ,于=22，即a=区，又因为c=1,.b=a2-0- 1,长满司的标准方程为号+)2=1。 (2)证明：设M(x1,y1),N(x2,y2),当直线MN的斜率 存在时，设直线MN的方程为y=kx十t, Q(0,1D,则由题意得当二+二=1，将1=1十 y2=k.x2十t代入整理得(2k-1)·x1x2+(t-1)(x1十 x2)=0(*), 将y=kx十1代入橘国方程号+=1整理得(1+2k) x2+4ktx+2t2-2=0, 需满足△=8(2k2-P+1)>0,则x1十x2=1+21x2 -4kt =2t2-2 1+2k2 -4kt 路其代入(*武得(2D2是十1)1+2泥 =0, 整理得(t-1)(2k-t-1)=0, 当t一1=0时，直线MN过点Q,不合题意； 故2k-t-1=0,直线MN的方程为y=kx+2k-1, 即y=k(x+2)-1, 故此时直线MN过定，点(-2，一1). 当直线MN斜率不存在时，设直线MN的方程为x (-<<且≠0)，代入号+=1可得y=士 舌不坊授M一)N-号 由kQM十kQv=1可得 -s 得s=一2，直线x=一2与椭圆无交点，不符合题意. 综上所述，直线MN恒过定点（一2，一1）. 19.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，十∞). f=-是+a-1atD 若a≥0，则ax十1>0，令f(x)=0,得x=2, 当x(0,）时，()<0，f)单调道减： ·86 00-= 当x∈（分，+∞）时，f()>0,x)单调造增。 若a<0,令f)=0,得x=合或=-日 若a=-2,则f(x)≤0对x∈(0，十∞)恒成立，且仅有 f(2）=0 所以f(x)在(0，+o∞)上单调递减； 若-2a<0,日 所以当x∈(0，)时fx)<0,f)单洞道减， 当（合）时f✉)≥0，)单调论培。 当(。+∞）时，f)0,f)单调论减： 若a<-2,则2>日，所以当x∈(0，-日)时， a f(x)<0,f(x)单调递减， 当z(女)时f>0)单调道 当x(2,+∞）时，f()<0,fr)单调递减. 综上，若a≥0.则f()在(0，号)上单调递减，在 (合+∞)上单河运增： 若a=-2,则f(x)在(0，十∞)上单调递减； 若-2<a<0,则f()在(0，)上单调递减，在 (侵，日)上单调递增。 在（口+∞）上单调递减 若a<-2,剥f在(0，一日)）上单词运减， 在（日号）上单调递增， 在（分+∞）上单调造减 (2)因为a(-8,-2》,所以-a∈(g,7） 即f(x)在[1,2]上单调递减， 所以当x∈[1,2]时，f(x)mx=f(1)=1+2a, fx)m=f2)=(2-aln2+7+4a, 所以fa)-fls=fI)-f2)=号+a-2n2-2, 所以号+a-2n2-2a>ma+ah2-2h2+7ln(-a, 即m>1-ln-0-2对a∈(-8，-2》恒成立. 2a 设g(a)=1-ln6a-2,a∈(-8，-2. 2a 则g(a)=n（a）-2,令g'a)=0,得a=-e2, 2a2 当a∈(-8，-e2)时，g(a)>0,p(a)单调递增， 当a∈(-e2,-2)时，9'(a)<0,g(a)单调递减， 所以ga=9(-e)=0一2. 所以实最m的取值范国为（位一2十）